第1章 集合与逻辑（7知识8题型3解题方法）（期末复习知识清单）高一数学上学期沪教版

该高中数学知识清单系统梳理“集合与逻辑”单元内容，涵盖元素与集合、集合关系与运算、命题与逻辑推理等核心范畴，为学生搭建从基础概念到逻辑应用的递进式学习支架。 清单采用“知识清单+题型分类+解题方法”三级架构，标注易错点如集合互异性，设计8类典型题型含新定义题，培养数学思维与逻辑推理能力。配套反证法步骤等实用指引，助力学生自主高效学习，教师可据此精准设计教学活动。

第1章 集合与逻辑（7知识8题型3解题方法） 【清单01】元素与集合 1、元素与集合的关系： 一般地，我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体称为集合，简称集．元素一般用小写字母a，b，c表示，集合一般用大写字母 A，B，C表示，两者之间的关系是属于与不属于关系，符号表示如：a∈A或a∉A． 2、集合中元素的三大特征： （1）确定性：集合中的元素是确定的，即任何一个对象都说明它是或者不是某个集合的元素，两种情况必居其一且仅居其一，不会模棱两可。 （2） 互异性：一个给定的集合中，元素互不相同，就是在同一集合中不能出现相同的元素． （3） 无序性：集合中的元素，不分先后，没有如何顺序． ·易错点：集合中元素的互异性是最易忽略的性质，尤其在含参数的集合问题中，常因未检验参数是否导 致元素重复而丢分。 【清单02】集合的分类与表示方法 1.集合的分类 一般地，含有有限个元素的集合称为有限集，含有无限个元素的集合称为无限集.我们把不含任何元素的集合称为空集，记作.例如，集合就是空集. 2.常用数集及其记法 ①自然数集 （包含和正整数） ②正整数集 或 ③整数集 ④有理数集 ⑤实数集 3.集合的表示方法 （1）列举法：将集合中的元素一一列举出来（不考虑元素的顺序），并且写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法，例如，方程的解的集合，可表示为，也可表示为 （2）描述法：在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式，再划一条竖线，在竖线后面写上集合中元素所共同具有的特性，即：（集合中的元素都具有性质，而且凡具有性质的元素都在集合中），这种表示集合的方法叫做描述法．例如，方程的解的集合可表示为 （3）区间法：在数学上，常常需要表示满足一些不等式的全部实数所组成 的集合．为了方便起见，我们引入区间（ｉｎｔｅｒｖａｌ）的概念 闭区间在数轴上表示 开区间在数轴上表示 半开半闭区间在数轴上表示 这里的实数a,b统称为这些区间的端点． 常见集合的表示方法 ①方程的解集： ②不等式的解集： ③函数自变量构成的集合： ④函数因变量构成的集合： ⑤函数图象上的点构成的集合： ⑥方程组的解：或 ⑦奇数集： ⑧偶数集： 【清单03】集合之间的关系 1．子集 定义 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集 记法与读法 记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即 A⊆A； (2)对于集合A，B，C，若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C 2.一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B.也就是说，若A⊆B，且B⊆A，则A＝B. 3．真子集 定义 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集 记法与读法 记作A⊂B(或BA)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”) 图示 4.空集 定义 一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集 记法 ∅ 规定 空集是任何集合的子集，即∅⊆A 特性 (1)空集只有一个子集，即它本身，∅⊆∅；(2)A≠∅，则∅⊂A 5.性质： (1)反身性：任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A； (2)传递性：对于集合A，B，C，如果A⊂B，且B⊂C，那么A⊂C. 6．与子集、真子集个数有关的4个结论 假集合A中含有n个元素，则有 (1)A的子集的个数有2n个． (2)A的非空子集的个数有2n－1个． (3)的真子集的个数有2n－1个． (4)A的非空真子集的个数有2n－2个． 【清单04】集合的运算 1.交集：由集合与集合的所有公共元素组成的集合叫做与的交集，记作“”，读作“A交B”，即 ①；②，；③； ④；⑤若，则； 2.文氏图直观地反映 A ∩ B的几种不同情况 （ １ ） 表示集合A与B既有公共元素又都有非公共元素的情况 ， 此时阴影部分A∩B既是A的真子集又是B的真子集 ； （ ２ ） 表示集合A是B的子集的情况 ， 此时A∩B＝A ； （ ３ ） 表示集合A与B没有公共元素的情况 ，此时A∩B＝∅． 3.并集：由所有属于集合或者属于集合的元素组成的集合叫做集合与的并集，记作“”，读作“A并B”，即 4 ；②，；③； ④；⑤若，则； 4.文氏图直观地反映 A∪B的几种不同情况 （ １ ） 表示集合A与B既有公共元素又都有非公共元素的情况 ， 此时A和B都是A∪B的真子集 （ ２ ） 表示集合A是B的子集的情况 ， 此时A∪B＝B （ ３ ） 表示集合A与B没有公共元素的情况 5．全集 (1)定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． (2)记法：全集通常记作U. 6．补集 文字语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作 符号语言 ＝{x|x∈U，且x∉A} 图形语言 U A ·易错点： 1.集合运算中 “边界值” 处理错误 集合运算（交集、并集、补集）常结合不等式（如区间形式），此时区间的端点（边界值）是否包含是关 键，容易因 “等号是否保留” 出错。 2.补集运算中 “全集” 范围混淆 补集是 “相对于全集的剩余部分”，若忽略 “全集的限定范围”，会导致补集求解错误。沪教版教材中，若无特殊说明，全集通常是实数集R，但在具体题目中可能限定为 “整数集”“正实数集” 等。 【清单05】命题 1. 定义：能判断真假的、不带有变元的陈述句，叫做命题（proposition）. 判断为真的命题叫做真命题，判断为假的命题叫做假命题. 说明：①命题必定由条件与结论两部分组成； ②假命题的确定：举反例（举出一个满足条件，不满足结论的例子，一个即可，一票否决）； 【注意】构造反例有时候不容易，要充分注意命题的条件和结论，还要注意极端情况，或运用类比手段. ③真命题的确定：直接法和反证法. 2. 推出关系： 如果命题“若，则”是真命题，那么就称推出，记作（或）. 因为子集关系满足传递性，所以推出关系也满足传递性：若且，则. 它是逻辑推理的基础. 【清单06】 充分条件，必要条件、充要条件 1.充分条件、必要条件：对于两个陈述句与，如果，就称是的充分条件，亦称是的必要条件. 2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件． 3.判断充要条件的方法是： ①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件； ②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件； ③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件； ④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件． ⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系． 【清单07】反证法 1．证明思路：肯定条件，否定结论→推出矛盾→推翻假设，肯定结论 2．反证法的一般步骤： （1）分清命题的条件和结论； （2）作出与命题结论相矛盾的假设； （3）由假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果； （4）断定产生矛盾的原因，在于开始所作的假设不真，于是原结论成立，从而间接地证明命题为真． 【题型一】元素与集合 【例1】（25-26高一上·上海·期末）用符号或填空：设集合D是由满足的有序实数对组成的，则 D． 【答案】 【详解】是有序实数对，且满足，故． 故答案为： 【变式1-1】（24-25高一上·上海·期中）已知集合，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由集合，可得，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 【变式1-2】（24-25高一上·上海徐汇·期末）设是实数，集合，若，则 . 【答案】 【详解】若，则，不符合集合元素的互异性； 若，则（正值舍），此时，满足； 综上，. 故答案为： 【变式1-2】（24-25高一上·上海浦东新·期末）已知集合 ，其中.若存在正数，使得对任意， 都有，则的值是 . 【答案】 【详解】因为，则只需考虑下列三种情况： 因为，，则， 又因为，则， 因为，则且， 可得， 所以，，解得， 故答案为：. 【题型二】集合的表示方法 【例2-1】（24-25高一上·上海长宁·期末）关于与的二元一次方程组的解集为 ． 【答案】； 【详解】由消去可得：， 可得：，， 所以解集为， 故答案为： 【例2-2】（22-23高一上·上海崇明·期末）直角坐标平面上由第二象限所有点组成的集合用描述法可以表示为 ． 【答案】 【详解】依题意，第二象限所有点组成的集合是. 故答案为： 【例2-3】（22-23高一上·上海徐汇·期末）用列举法表示 ． 【答案】 【详解】解：. 故答案为： 【变式2-1】（23-24高一上·上海普陀·期中）若全集，，则用列举法表示集合 ． 【答案】 【详解】因为， 所以， 所以， 故答案为：. 【变式2-2】已知集合，则集合= ．（用列举法表示） 【答案】 【详解】因，而，所以. 故答案为： 【题型三】集合之间的关系 【例3】（24-25高一上·上海·期末）已知集合，，且，则实数的值为 . 【答案】 【详解】由题意可知， 解得：， 故答案为： 【变式3-1】（24-25高一上·上海·期中）已知集合，.若，则实数的值为 . 【答案】1 【详解】由题意，，则， 又，则， 此时，，符合题意. 故答案为：1. 【变式3-2】（24-25高一上·上海杨浦·期末）已知集合，且，则 ． 【答案】 【详解】由题意，, 若时，，满足题意； 若时，，不满足集合元素的互异性，不满足题意； 又，故若时，解得或， 若时，，满足题意， 当时，，不满足集合元素的互异性，不满足题意； 综上所述，. 故答案为：. 【题型四】 集合的运算 【例4-1】（24-25高一上·上海金山·期末）已知集合，，则 . 【答案】 【详解】由题意可得. 故答案为：. 【例4-2】（24-25高一上·上海金山·期末）集合，，若，则 . 【答案】 【详解】由知，. 故答案为： 【例4-3】（24-25高一上·上海·期末）设全集，集合，则 ． 【答案】 【详解】由全集，且，则. 故答案为： 【例4-4】（24-25高一上·上海静安·期末）设全集为，若的子集集合，子集，则= 【答案】 【详解】由，，解得或，则； 由，解得，则，可得或； 所以. 故答案为：. 【变式4-1】（24-25高一上·上海虹口·期末）已知集合，则 . 【答案】 【详解】由得， 所以， 故答案为： 【变式4-2】（24-25高一上·上海长宁·期末）已知全集，集合，集合，则 ． 【答案】 【详解】由题设. 故答案为： 【变式4-3】（24-25高一上·上海·期末）已知全集， ，则 ． 【答案】； 【详解】因为全集， ， 所以. 故答案为： 【变式4-4】（24-25高一上·上海徐汇·期末）已知集合，集合或，全集. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 【详解】（1）由题设，则或， 所以或. （2）由且恒成立，即为非空集， 所以或，即或. 【题型五】 命题 【例5-1】（24-25高一上·上海嘉定·期末）命题：存在定义域为R的函数，对任意的实数，满足；命题：存在定义域为R的函数，对任意的实数，满足.关于这两个命题的真假判断，正确的是（   ）. A．、都是真命题 B．、都是假命题 C．是真命题，是假命题 D．是假命题，是真命题 【答案】C 【详解】令，其定义域为R， 对任意的实数，满足， 则存在定义域为R的函数，对任意的实数，满足， 即是真命题； 假设存在定义域为R的函数，对任意的实数，满足， 当时，， 由，则，则，出现矛盾， 所以不存在定义域为R的函数，对任意的实数，满足， 即是假命题. 故选：C. 【例5-2】（24-25高一上·上海·期末）陈述句“或”的否定形式为 ． 【答案】且 【详解】由或命题的否定为且命题，则原命题的否定为且. 故答案为：且. 【变式5-1】（23-24高一上·上海·期末）已知集合是由某些正整数组成的集合，且满足：若，则当且仅当（其中正整数、且）或（其中正整数、且）．现有如下两个命题：①；②集合．则下列判断正确的是（    ） A．①对②对 B．①对②错 C．①错②对 D．①错②错 【答案】A 【详解】因为若，则当且仅当其中且，或其中且， 且集合是由某些正整数组成的集合， 所以，， 因为，满足其中且，所以， 因为，且，，所以， 因为，，，所以，故①对； 下面讨论元素与集合的关系， 当时，； 当时，，，，所以； 当时，，，，所以； 当时，，，，所以；依次类推， 当时，，，， 所以，则，故②对. 故选：A. 【变式5-2】（24-25高一上·上海浦东新·期末）已知陈述句或，则的否定形式为 【答案】 【详解】由或，则的否定形式为. 故答案为： 【题型六】 充分条件和必要条件 【例6-1】（24-25高一上·上海长宁·期末）已知，则“”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】A 【详解】易知若，由可得，可知充分性成立， 又推不出，因此必要性不成立， 所以“”是“”的充分非必要条件. 故选：A 【例6-2】（24-25高一上·上海静安·期末）已知是的充分非必要条件，的充要条件是，则是的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】B 【详解】因为是的充分非必要条件，所以，， 又的充要条件是，所以，所以，， 所以是的必要非充分条件. 故选：B. 【例6-3】（24-25高一上·上海·期末）古人云“一屋不扫，何以扫天下”，这句谚语说明古人认为“能扫一屋”的一个（    ）条件是“能扫天下” A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】A 【详解】“能扫天下”一定得到“能扫一屋”， 所以“能扫天下”是“能扫一屋”的充分条件. 故选：A. 【变式6-1】（24-25高一上·上海嘉定·期末）若：，：，则是的（   ）. A．充分非必要条件 B．必要非充要条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【详解】由可得， 且：，所以是的必要非充要条件. 故选：B 【变式6-2】（24-25高一上·上海浦东新·期末）已知，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知，，若是的充分不必要条件， 则，所以，. 故选：B. 【变式6-3】（24-25高一上·上海·期末）已知全集，集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)命题，命题，若是的必要条件，求实数的取值范围. 【详解】（1）对于集合，由， 等式两边平方得， 所以，， 可得，解得，则， 因为，则， 所以，， 因为，则或，解得或， 因此，实数的取值范围是或. （2）已知命题，命题，若是的必要条件，则， 所以，，解得或， 因此，实数的取值范围是或. 【题型七】 反证法 【例7-1】（24-25高一上·上海金山·期末）用反证法证明命题“设，已知是偶数，则n是偶数”时，应假设 . 【答案】已知是偶数，则n是奇数 【详解】命题“设，已知是偶数，则n是偶数”， 可得题设为，“（a，）为偶数， 反设的内容是：假设已知是偶数，则n是奇数. 故答案为：已知是偶数，则n是奇数. 【例7-2】（24-25高一上·上海奉贤·期末）设，若，则或是真命题．这个命题可以用反证法去证明，可以假设： ． 【答案】且 【详解】依题意，或的否定是：且， 所以所求假设为：且. 故答案为：且 【变式7-1】（23-24高一上·上海·月考）用反证法证明命题“设，如果能被5整除，那么中至少有一个能被5整除”，假设应该是（    ） A．都能被5整除 B．至多有一个能被5整除 C．或不能被5整除 D．都不能被5整除 【答案】D 【详解】用反证法只否定结论即可，而“至少有一个”的反面是“一个也没有” 故选：D 【变式7-2】（25-26高一上·上海松江·期中）用反证法证明命题“若，则或”时，第一步应该假设的内容为 . 【答案】且 【详解】由反证法解题思路，应假设且， 故答案为：且 【变式7-3】（24-25高一上·上海金山·期末）集合A中的元素都是正整数，元素最小值为1，最大值为100，除1之外每个元素都等于A中的两个数（可以相同）的和.求集合A中元素至少有 个元素. 【答案】9 【详解】设A中的数从小到大排列为 则；；；；； 于是A至少有八个数； 假设A恰好有八个元素，由于； 故必须有，， 又，同理， 但此时，，矛盾， 故A不可能恰好有八个元素， 因此A至少有九个元素. 其九个数可以为：1，2，3，6，12，13，25，50，100. 故答案为：9. 【题型八】 集合新定义 【例8-1】（22-23高一上·上海·期末）若对任意，均有，就称集合是伙伴关系集合．设集合，则的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为（    ） A．15 B．16 C．32 D．128 【答案】A 【详解】根据题意，可得具有伙伴关系的元素有， 其中有，共4组， 它们中任选一组、二组、三组或四组均可组成伙伴关系集合， 所以共有. 故选：A. 【例8-2】（22-23高一上·上海徐汇·期末）若集合A同时具有以下三个性质：（1），；（2）若，则；（3）若且，则．则称A为“好集”．已知命题：①集合是好集；②对任意一个“好集”A，若，则．以下判断正确的是（    ） A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 【答案】D 【详解】对于①，因为，而， 所以集合不是好集，故①错误； 对于②，因为集合为“好集”， 所以， 所以，故②正确， 所以①为假命题，②为真命题. 故选：D. 【变式8-1】（25-26高一上·上海·期中）已知，用表示非空集合A中元素个数，定义，集合，，若，则a的可能的取值有（    ）个. A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【详解】由题意可知，，故， 由题中定义可得，或. 由题意可知，为关于的方程的一根. 当时，则，则方程只有一个实根，可得， 此时，方程无实根，则满足条件； 当时，则关于的方程有三个根，必有， 此时，关于的方程的两根分别为，，分以下两种情况讨论： ①若是方程的一根时，则，解得. 当时，则，合乎题意； 当时，则，合乎题意； ②当方程有两个相等的实根，则，解得. 当时，，合乎题意； 当时，，合乎题意. 综上，a的可能的取值为 故选：D. 【变式8-2】（24-25高一上·上海闵行·期末）已知集合，n是正整数，，…，，都是实数．若，则称A为n元“M集”，记作． (1)判断是否为真命题； (2)若，x、y均为正实数，求的取值范围； (3)若，，，且，．记，．证明：当时，对任意实数x恒成立，且． 【详解】（1）为真命题，理由如下： ，， 所以满足，为真命题； （2）由题意得，故，， ， 因为x、y均为正实数，故，所以， 故当时，取得最大值， 且，所以， 的取值范围为 （3），故， 所以，同理可得， 故 ， 又， 所以 ， 因为，，，所以， ， 故， 下证， 由于， 即 ， 若，因为，， 所以， 所以， 满足，满足要求， 又 因为，，， 若，其中， 此时，， 此时，不合要求， 综上，. 【题型一】Venn图法解决集合运算问题 【例1】（25-26高一上·上海松江·期中）设全集为，集合，是的子集，其文氏图如图所示.下列选项中，能够表示该图中阴影部分的集合是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】图中阴影部分的集合是. 故选：B. 【变式1-1】（25-26高一上·上海·期中）为解决上下班的交通问题，调查了某地100名职工，其中78人持有交通卡，52人拥有自行车，而持有交通卡又有自行车的有37人，则既无交通卡又无自行车的共有 人. 【答案】7 【详解】作出韦恩图，如图所示：    可知持有交通卡或有自行车的人数为， 所以既无交通卡又无自行车的人数为. 故答案为：7. 【变式1-2】（24-25高一上·上海奉贤·期末）已知全集为，集合． (1)求集合A和； (2)将图中阴影部分表示的集合用数学表达式写出来并求解． 【详解】（1）由或，解得或， 故， 由， 等价于，解得或， 故或； （2）图中阴影部分表示的集合为或， 因为， 故图中阴影部分表示的集合为. 【变式1-3】（24-25高一上·上海松江·期末）设全集，集合. (1)求图中阴影部分表示的集合 : (2)在① ; ② ; ③这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围. 【详解】（1）解不等式，得，则， 不等式，解得，则， 或，所以. （2）选择条件①，，则， 当，即时，，满足，则； 当，即时，由，得，解得， 所以实数的取值范围是. 选择条件②，，则， 当，即时，，满足，则； 当，即时，由，得，解得， 所以实数的取值范围是. 选择条件③，，而，因此， 当，即时，，满足，则； 当，即时，由，得，解得， 所以实数的取值范围是. 【题型二】分类讨论法解决元素与集合关系问题 【例2-1】（22-23高一上·上海浦东新·期末）已知集合，且，则实数a的值为 . 【答案】或 【详解】因为，， 所以，解得或， 故答案为：或 【例2-2】（22-23高一上·上海静安·期中）已知集合，若，求实数的值． 【答案】 【详解】分情况讨论： ①若，则，，，不符合集合元素的互异性原则； ②若，则，，， 此时，符合题意； ③若，则或， 当时，，，不符合集合元素的互异性原则； 当时，，，不符合集合元素的互异性原则. 综上：. 【变式2-1】（22-23高一上·上海徐汇·期末）已知集合，，如果存在正数，使得对任意，都满足，则实数t＝ . 【答案】－4或0 【详解】当时，当时，则， 当时，则， 即当时，；当时，；所以， 当时，；当时，，所以， 因此有； 当时，当时，则， 当时，则， 即当时，；当时，；所以， 当时，；当时，，所以， 因此有， 当时，同理可得无解， 综上所述：实数t的值为－4或0， 故答案为：－4或0 【变式2-2】（25-26高一上·上海徐汇·期中）非空有限集合是由若干个正实数组成，集合的元素个数不少于2个，对于任意，，若数或中至少有一个属于，则称集合是“好集”，否则，称集合是“坏集”. (1)判断和是“好集”还是“坏集”，并简单说明理由； (2)题设的有限集合中，既有大于1的元素，又有小于1的元素，证明：集合是“坏集”； (3)若题设中的或都属于，则称集合为“超级好集”，写出一个“超级好集”（无须证明）. 【详解】（1），当时，，，是“坏集”. ，不妨设， 当时，； 当，时，，； 当，时，，； 当，时，，； 对于任意，，若数或中至少有一个属于，所以集合是“好集”. （2）假设有限集合中的大于1的最小元素为，小于1的最大元素为， 则，，，， ，，有限集合是“坏集”. （3）当且时，，则为“超级好集”； 下面证明：集合中不可能存在其它元素. 由（2）知：集合不可能同时大于1和小于1的元素， 若，且为中大于1的元素中最大的元素 此时，，不是“超级好集”； 若，且为中小于1的元素中最大的元素 此时，，不是“超级好集”； 中不可能存在其它元素. 满足题意的“超级好集”且. 【变式2-3】（25-26高一上·上海·月考）设为实数，集合． (1)若，求； (2)若，求满足的条件； (3)设，当时，如果，且集合均恰有两个元素，求三元数对． 【详解】（1）若，则方程为， 即，解得或，故； （2）由题意知； 又，即集合S中有且仅有一个元素， 若，即，即是的根； 若不是的根，则需满足； 若是的根，则需满足，且，则； 综合上述，满足的条件为或； （3）由题意知，则， 且方程与的判别式相同，， 故两方程的根的个数相同，由于集合均恰有两个元素，故， ，，即是或的根， ，，即是或的根， ①当，即时，是的根，，则，则， 此时，则是的根，即， 若，则可得， 此时， ，符合题意； 若，则有两个不相等的实数根， 结合，即得的两根必为和2，则，即， 此时， ，符合题意； ②当时，，即是的根，则，则， 结合，知是的根，即，即， 若，则解得， 此时， ，符合题意； 若，则有两个不相等的实数根， 结合，即得的两根必为，则，即， 此时， ，符合题意； ③当且时，即不是的根，也不是的根， 由，知是的根，是的根， 故，解得，此时且， ，S中有3个元素，不符合题意； 综合上述，三元数对为. 【题型三】根据集合包含关系求参数值或范围 【例3-1】（25-26高一上·上海静安·月考）设集合，集合，若，求实数的取值范围. 【详解】因为， ，且， 所以，解得， 因此实数的取值范围是. 【例3-2】（25-26高一上·上海·月考）已知集合，，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【详解】（1）因为，所以， 当时，由，得，符合， 当时，由得，解得，即， 综上，的取值范围为； （2）当时，，此时，不符合题意； 当时，由得或，所以， 当时，，要使得，则，解得， 当时，，要使得，则，解得， 综上，的取值范围为. 【例3-3】（25-26高一上·上海·月考）设集合，. (1)写出集合的所有子集； (2)若，求实数的取值范围. 【详解】（1）由，得到或，所以    ， 故集合的所有子集为. （2）因为，则，又， 方程，， 若，即，方程无解，此时，满足题意； 若，即，由，即，解得， 此时，满足题意； 若，即，要使，则方程的解集为或， 则，解得， 综上所述，或. 【变式3-3】（25-26高一上·上海·月考）已知集合，，全集． (1)当时，求； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【详解】（1）当时，， ，故. （2）因为是的必要不充分条件，所以是的真子集， ①若，则，解得； ②若，由于是的真子集，所以，解得. 综上所述，的取值范围是． 【变式3-2】（25-26高一上·上海·月考）设全集为R，集合，集合 (1)若，求集合A，B，，； (2)若，求实数a的取值范围． 【详解】（1）若，则，所以， 解得，所以， 由，得，即， 所以，解得或， 所以， 所以，． （2）由，得，则， 由（1）知，， 因为，且，所以或， 解得或， 所以实数a的取值范围为． 【变式3-3】（25-26高一上·上海·期中）设全集为，集合 (1)求集合和； (2)若，求实数的取值范围． 【详解】（1），所以， 所以，所以， 所以； 集合； （2）因为， 所以或， 所以或， 所以实数的取值范围为或． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 集合与逻辑（7知识8题型3解题方法） 【清单01】元素与集合 1、元素与集合的关系： 一般地，我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体称为集合，简称集．元素一般用小写字母a，b，c表示，集合一般用大写字母 A，B，C表示，两者之间的关系是属于与不属于关系，符号表示如：a∈A或a∉A． 2、集合中元素的三大特征： （1）确定性：集合中的元素是确定的，即任何一个对象都说明它是或者不是某个集合的元素，两种情况必居其一且仅居其一，不会模棱两可。 （2） 互异性：一个给定的集合中，元素互不相同，就是在同一集合中不能出现相同的元素． （3） 无序性：集合中的元素，不分先后，没有如何顺序． ·易错点：集合中元素的互异性是最易忽略的性质，尤其在含参数的集合问题中，常因未检验参数是否导 致元素重复而丢分。 【清单02】集合的分类与表示方法 1.集合的分类 一般地，含有有限个元素的集合称为有限集，含有无限个元素的集合称为无限集.我们把不含任何元素的集合称为空集，记作.例如，集合就是空集. 2.常用数集及其记法 ①自然数集 （包含和正整数） ②正整数集 或 ③整数集 ④有理数集 ⑤实数集 3.集合的表示方法 （1）列举法：将集合中的元素一一列举出来（不考虑元素的顺序），并且写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法，例如，方程的解的集合，可表示为，也可表示为 （2）描述法：在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式，再划一条竖线，在竖线后面写上集合中元素所共同具有的特性，即：（集合中的元素都具有性质，而且凡具有性质的元素都在集合中），这种表示集合的方法叫做描述法．例如，方程的解的集合可表示为 （3）区间法：在数学上，常常需要表示满足一些不等式的全部实数所组成 的集合．为了方便起见，我们引入区间（ｉｎｔｅｒｖａｌ）的概念 闭区间在数轴上表示 开区间在数轴上表示 半开半闭区间在数轴上表示 这里的实数a,b统称为这些区间的端点． 常见集合的表示方法 ①方程的解集： ②不等式的解集： ③函数自变量构成的集合： ④函数因变量构成的集合： ⑤函数图象上的点构成的集合： ⑥方程组的解：或 ⑦奇数集： ⑧偶数集： 【清单03】集合之间的关系 1．子集 定义 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集 记法与读法 记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即 A⊆A； (2)对于集合A，B，C，若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C 2.一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B.也就是说，若A⊆B，且B⊆A，则A＝B. 3．真子集 定义 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集 记法与读法 记作A⊂B(或BA)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”) 图示 4.空集 定义 一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集 记法 ∅ 规定 空集是任何集合的子集，即∅⊆A 特性 (1)空集只有一个子集，即它本身，∅⊆∅；(2)A≠∅，则∅⊂A 5.性质： (1)反身性：任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A； (2)传递性：对于集合A，B，C，如果A⊂B，且B⊂C，那么A⊂C. 6．与子集、真子集个数有关的4个结论 假集合A中含有n个元素，则有 (1)A的子集的个数有2n个． (2)A的非空子集的个数有2n－1个． (3)的真子集的个数有2n－1个． (4)A的非空真子集的个数有2n－2个． 【清单04】集合的运算 1.交集：由集合与集合的所有公共元素组成的集合叫做与的交集，记作“”，读作“A交B”，即 ①；②，；③； ④；⑤若，则； 2.文氏图直观地反映 A ∩ B的几种不同情况 （ １ ） 表示集合A与B既有公共元素又都有非公共元素的情况 ， 此时阴影部分A∩B既是A的真子集又是B的真子集 ； （ ２ ） 表示集合A是B的子集的情况 ， 此时A∩B＝A ； （ ３ ） 表示集合A与B没有公共元素的情况 ，此时A∩B＝∅． 3.并集：由所有属于集合或者属于集合的元素组成的集合叫做集合与的并集，记作“”，读作“A并B”，即 4 ；②，；③； ④；⑤若，则； 4.文氏图直观地反映 A∪B的几种不同情况 （ １ ） 表示集合A与B既有公共元素又都有非公共元素的情况 ， 此时A和B都是A∪B的真子集 （ ２ ） 表示集合A是B的子集的情况 ， 此时A∪B＝B （ ３ ） 表示集合A与B没有公共元素的情况 5．全集 (1)定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． (2)记法：全集通常记作U. 6．补集 文字语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作 符号语言 ＝{x|x∈U，且x∉A} 图形语言 U A 集合运算（交集、并集、补集）常结合不等式（如区间形式），此时区间的端点（边界值）是否包含是关 键，容易因 “等号是否保留” 出错。 补集是 “相对于全集的剩余部分”，若忽略 “全集的限定范围”，会导致补集求解错误。沪教版教材中，若无特殊说明，全集通常是实数集R，但在具体题目中可能限定为 “整数集”“正实数集” 等。 【清单05】命题 1. 定义：能判断真假的、不带有变元的陈述句，叫做命题（proposition）. 判断为真的命题叫做真命题，判断为假的命题叫做假命题. 说明：①命题必定由条件与结论两部分组成； ②假命题的确定：举反例（举出一个满足条件，不满足结论的例子，一个即可，一票否决）； 【注意】构造反例有时候不容易，要充分注意命题的条件和结论，还要注意极端情况，或运用类比手段. ③真命题的确定：直接法和反证法. 2. 推出关系： 如果命题“若，则”是真命题，那么就称推出，记作（或）. 因为子集关系满足传递性，所以推出关系也满足传递性：若且，则. 它是逻辑推理的基础. 【清单06】 充分条件，必要条件、充要条件 1.充分条件、必要条件：对于两个陈述句与，如果，就称是的充分条件，亦称是的必要条件. 2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件． 3.判断充要条件的方法是： ①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件； ②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件； ③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件； ④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件． ⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系． 【清单07】反证法 1．证明思路：肯定条件，否定结论→推出矛盾→推翻假设，肯定结论 2．反证法的一般步骤： （1）分清命题的条件和结论； （2）作出与命题结论相矛盾的假设； （3）由假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果； （4）断定产生矛盾的原因，在于开始所作的假设不真，于是原结论成立，从而间接地证明命题为真． 【题型一】元素与集合 【例1】（25-26高一上·上海·期末）用符号或填空：设集合D是由满足的有序实数对组成的，则 D． 【变式1-1】（24-25高一上·上海·期中）已知集合，则实数的取值范围为 ． 【变式1-2】（24-25高一上·上海徐汇·期末）设是实数，集合，若，则 . 【变式1-2】（24-25高一上·上海浦东新·期末）已知集合 ，其中.若存在正数，使得对任意， 都有，则的值是 . 【题型二】集合的表示方法 【例2-1】（24-25高一上·上海长宁·期末）关于与的二元一次方程组的解集为 ． 【例2-2】（22-23高一上·上海崇明·期末）直角坐标平面上由第二象限所有点组成的集合用描述法可以表示为 ． 【例2-3】（22-23高一上·上海徐汇·期末）用列举法表示 ． 【变式2-1】（23-24高一上·上海普陀·期中）若全集，，则用列举法表示集合 ． 【变式2-2】已知集合，则集合= ．（用列举法表示） 【题型三】集合之间的关系 【例3】（24-25高一上·上海·期末）已知集合，，且，则实数的值为 . 【变式3-1】（24-25高一上·上海·期中）已知集合，.若，则实数的值为 . 【变式3-2】（24-25高一上·上海杨浦·期末）已知集合，且，则 ． 【题型四】 集合的运算 【例4-1】（24-25高一上·上海金山·期末）已知集合，，则 . 【例4-2】（24-25高一上·上海金山·期末）集合，，若，则 . 【例4-3】（24-25高一上·上海·期末）设全集，集合，则 ． 【例4-4】（24-25高一上·上海静安·期末）设全集为，若的子集集合，子集，则= 【变式4-1】（24-25高一上·上海虹口·期末）已知集合，则 . 【变式4-2】（24-25高一上·上海长宁·期末）已知全集，集合，集合，则 ． 【变式4-3】（24-25高一上·上海·期末）已知全集， ，则 ． 【变式4-4】（24-25高一上·上海徐汇·期末）已知集合，集合或，全集. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 【题型五】 命题 【例5-1】（24-25高一上·上海嘉定·期末）命题：存在定义域为R的函数，对任意的实数，满足；命题：存在定义域为R的函数，对任意的实数，满足.关于这两个命题的真假判断，正确的是（   ）. A．、都是真命题 B．、都是假命题 C．是真命题，是假命题 D．是假命题，是真命题 【例5-2】（24-25高一上·上海·期末）陈述句“或”的否定形式为 ． 【变式5-1】（23-24高一上·上海·期末）已知集合是由某些正整数组成的集合，且满足：若，则当且仅当（其中正整数、且）或（其中正整数、且）．现有如下两个命题：①；②集合．则下列判断正确的是（    ） A．①对②对 B．①对②错 C．①错②对 D．①错②错 【变式5-2】（24-25高一上·上海浦东新·期末）已知陈述句或，则的否定形式为 【题型六】 充分条件和必要条件 【例6-1】（24-25高一上·上海长宁·期末）已知，则“”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【例6-2】（24-25高一上·上海静安·期末）已知是的充分非必要条件，的充要条件是，则是的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【例6-3】（24-25高一上·上海·期末）古人云“一屋不扫，何以扫天下”，这句谚语说明古人认为“能扫一屋”的一个（    ）条件是“能扫天下” A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【变式6-1】（24-25高一上·上海嘉定·期末）若：，：，则是的（   ）. A．充分非必要条件 B．必要非充要条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【变式6-2】（24-25高一上·上海浦东新·期末）已知，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（24-25高一上·上海·期末）已知全集，集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)命题，命题，若是的必要条件，求实数的取值范围. 【题型七】 反证法 【例7-1】（24-25高一上·上海金山·期末）用反证法证明命题“设，已知是偶数，则n是偶数”时，应假设 . 【例7-2】（24-25高一上·上海奉贤·期末）设，若，则或是真命题．这个命题可以用反证法去证明，可以假设： ． 【变式7-1】（23-24高一上·上海·月考）用反证法证明命题“设，如果能被5整除，那么中至少有一个能被5整除”，假设应该是（    ） A．都能被5整除 B．至多有一个能被5整除 C．或不能被5整除 D．都不能被5整除 【变式7-2】（25-26高一上·上海松江·期中）用反证法证明命题“若，则或”时，第一步应该假设的内容为 . 【变式7-3】（24-25高一上·上海金山·期末）集合A中的元素都是正整数，元素最小值为1，最大值为100，除1之外每个元素都等于A中的两个数（可以相同）的和.求集合A中元素至少有 个元素. 【题型八】 集合新定义 【例8-1】（22-23高一上·上海·期末）若对任意，均有，就称集合是伙伴关系集合．设集合，则的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为（    ） A．15 B．16 C．32 D．128 【例8-2】（22-23高一上·上海徐汇·期末）若集合A同时具有以下三个性质：（1），；（2）若，则；（3）若且，则．则称A为“好集”．已知命题：①集合是好集；②对任意一个“好集”A，若，则．以下判断正确的是（    ） A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 【变式8-1】（25-26高一上·上海·期中）已知，用表示非空集合A中元素个数，定义，集合，，若，则a的可能的取值有（    ）个. A．2 B．3 C．4 D．5 【变式8-2】（24-25高一上·上海闵行·期末）已知集合，n是正整数，，…，，都是实数．若，则称A为n元“M集”，记作． (1)判断是否为真命题； (2)若，x、y均为正实数，求的取值范围； (3)若，，，且，．记，．证明：当时，对任意实数x恒成立，且． 【题型一】Venn图法解决集合运算问题 【例1】（25-26高一上·上海松江·期中）设全集为，集合，是的子集，其文氏图如图所示.下列选项中，能够表示该图中阴影部分的集合是（   ）    A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高一上·上海·期中）为解决上下班的交通问题，调查了某地100名职工，其中78人持有交通卡，52人拥有自行车，而持有交通卡又有自行车的有37人，则既无交通卡又无自行车的共有 人. 【变式1-2】（24-25高一上·上海奉贤·期末）已知全集为，集合． (1)求集合A和； (2)将图中阴影部分表示的集合用数学表达式写出来并求解． 【变式1-3】（24-25高一上·上海松江·期末）设全集，集合. (1)求图中阴影部分表示的集合 : (2)在① ; ② ; ③这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围. 【题型二】分类讨论法解决元素与集合关系问题 【例2-1】（22-23高一上·上海浦东新·期末）已知集合，且，则实数a的值为 . 【例2-2】（22-23高一上·上海静安·期中）已知集合，若，求实数的值． 【变式2-1】（22-23高一上·上海徐汇·期末）已知集合，，如果存在正数，使得对任意，都满足，则实数t＝ . 【变式2-2】（25-26高一上·上海徐汇·期中）非空有限集合是由若干个正实数组成，集合的元素个数不少于2个，对于任意，，若数或中至少有一个属于，则称集合是“好集”，否则，称集合是“坏集”. (1)判断和是“好集”还是“坏集”，并简单说明理由； (2)题设的有限集合中，既有大于1的元素，又有小于1的元素，证明：集合是“坏集”； (3)若题设中的或都属于，则称集合为“超级好集”，写出一个“超级好集”（无须证明）. 【变式2-3】（25-26高一上·上海·月考）设为实数，集合． (1)若，求； (2)若，求满足的条件； (3)设，当时，如果，且集合均恰有两个元素，求三元数对． 【题型三】根据集合包含关系求参数值或范围 【例3-1】（25-26高一上·上海静安·月考）设集合，集合，若，求实数的取值范围. 【例3-2】（25-26高一上·上海·月考）已知集合，，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【例3-3】（25-26高一上·上海·月考）设集合，. (1)写出集合的所有子集； (2)若，求实数的取值范围. 【变式3-3】（25-26高一上·上海·月考）已知集合，，全集． (1)当时，求； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【变式3-2】（25-26高一上·上海·月考）设全集为R，集合，集合 (1)若，求集合A，B，，； (2)若，求实数a的取值范围． 【变式3-3】（25-26高一上·上海·期中）设全集为，集合 (1)求集合和； (2)若，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $