精品解析：广东省佛山市南海区桂城街道映月中学2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

映月中学2025-2026学年第一学期绿色调研 九年级数学科问卷 说明：1．全卷共6页，满分为120分，考试用时120分钟． 2．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔填写自己的准考证号、姓名、考场号、座位号． 3．必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，选择题在相应的表格中作答，非选择题在相应的答题区域作答；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生务必保持卷面的整洁． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1. 二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（） A. 3，2，5 B. 3，，5 C. 3，2， D. 3，， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义：形如(a、b、c是常数，)的函数叫做x的二次函数，其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 根据二次函数一般形式，直接读取系数即可． 【详解】解：∵， ∴二次项系数，一次项系数，常数项． 故选：C． 2. 如图所示的几何体，其左视图为（    ） A.   B.   C.   D.   【答案】B 【解析】 【分析】本题考查简单几何体的三视图，掌握相关知识是正确解答的关键．根据几何体的左视图画法得出答案． 【详解】解：这个几何体的左视图为． 故选：B． 3. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查比的性质，熟练掌握比的性质是解题的关键；利用已知比例，通过代入法或分式运算求解目标表达式即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选：A． 4. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，利用配方法，将方程左边配成完全平方式即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 5. 如图1，在边长为8cm的正方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），为测算阴影部分面积，小亮利用计算机进行模拟试验，通过计算机在正方形区域随机投放一个点，并记录该点落在阴影上的频率数据，结果如图2所示．小亮由此估计阴影部分面积约为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，关键在于读懂折线统计图的含义，随着实验次数的增加，频率稳定于附近，由此得实验的频率，并把它作为概率． 根据折线统计图知，当实验的次数逐渐增加时，样本的频率稳定在，因此用频率估计概率，再根据几何概率知，不规则图案的面积与矩形面积的比为，即可求得不规则图案的面积． 【详解】解：由折线统计图知，随着实验次数的增加，投放点落在不规则图案上的频率稳定在，于是把作为概率． 设不规则图案的面积为，则有， 解得：， 即不规则图案的面积为． 故答案为：D． 6. 小明准备利用周末时间去种花，如图，在菱形花坛中，，在其中两个正六边形部分种花，若种花部分图形的周长（不含图中虚线）为，则菱形花坛的边长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质的运用． 根据已知可得到为正三角形，从而可求得正六边形的边长是边长的，根据种花部分图形共有 10 条边和其周长，即可求解． 【详解】解：∵为菱形， ∴， ∴为正三角形， 以的顶点所在的小三角形也是正三角形，所以正六边形的边长是边长的， 则种花部分图形共有 10 条边， 所以菱形花坛的边长为， 故选：C． 7. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，的三个顶点都在网格线的交点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正弦函数的计算．连接，格点正方形的边长为，根据题意，得，故，根据正弦函数的定义，解答即可． 【详解】解：连接，格点正方形的边长为， 根据题意，得，且， ∴， ∴， 故选：A． 8. 下列说法错误的是（ ）． A. 平行四边形的对角相等． B. 矩形的对角线相等且互相平分． C. 有一组邻边相等的四边形是菱形 D. 有一个角是的菱形是正方形 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质，矩形的性质，菱形的判定以及正方形的判定定理进行分析判断． 【详解】解：A、平行四边形的对角相等，说法正确； B、矩形的对角线相等且互相平分，说法正确； C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，原说法不正确； D、有一个角是的菱形是正方形，说法正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，菱形的判定以及矩形的性质，解题时，需要熟练运用平行四边形，矩形，正方形以及菱形间的区别与联系． 9. 已知二次函数部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表所示，那么关于它的图象的一些性质，下列判断正确的是（ ） A. 该函数图象的开口向上 B. 当时，随的增大而减小 C. 抛物线的对称轴为 D. 当时， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，利用给定点求对称轴和开口方向，逐一判断选项即可，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵点和的纵坐标相同， ∴对称轴为， 由表格数据可知，点在抛物线上，故该抛物线的顶点坐标为， 设抛物线为，代入点， ， ∴， ∴解析式为， 、由，开口向下，原选项错误，不符合题意； 、当时，随增大而减小，原选项正确，符合题意； 、由，得对称轴为，原选项错误，不符合题意； 、当时，，故错误； 故选：． 10. 如图，已知在矩形中，是边的中点，与垂直，交直线于点，连接，则下列四个结论中：①；②；③；④．正确的有（ ） A. ①③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】通过证明，可得，可证；过作交于，可证四边形是平行四边形，可得，由直角三角形的性质和等腰三角形的性质可得；通过证明，可得，可求，即可得；由平行线性质可得，，可证，则可求解． 【详解】解：， ， ， 是边的中点， ， ， ，故①正确； 如图，过作交于， ，， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 是的垂直平分线， ，故②正确； ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，故③错误， 四边形是矩形， ，，， ， ， ，故④正确； 故选：C． 【点睛】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，平行四边形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，以及解直角三角形的综合应用，正确的作出辅助线构造平行四边形是解题的关键． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 已知反比例函数的图象经过点，则k的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求反比例函数，将点代入反比例函数表达式，即可求出的值． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴得， 解得， 故答案为：． 12. 如图，在中，是斜边的中点，连接，，则的长为___________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查直角三角形斜边的中线的性质：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，由此即可计算． 【详解】解：∵中，D是斜边的中点， ∴． 故答案为：3． 13. 《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点，，在同一水平线上，和均为直角，与相交于点．测得，则树高______m． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得，然后相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵和均为直角 ∴， ∴， ∴ ∵， ∴, 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 14. 如图，，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，若，则的面积是_____． 【答案】##25平方厘米 【解析】 【分析】本题考查平行投影，与是位似图形，求出位似比，再根据面积比等于位似比的平方即可求解． 【详解】解：由平行投影可知与是位似图形， ， ， 与的位似比为， ， ， 故答案为：． 15. 欧几里得的《几何原本》中记载，形如的方程的图解法如下：如图，以和为两直角边长作，再在斜边上截取，则的长就是所求方程的正根．利用以上方法解关于的一元二次方程时，若构造后的图形满足，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解决本题的关键是构造直角三角形．根据题意构造以和为直角边长的直角三角形，再根据，结合勾股定理即可求解． 【详解】解：根据题意，构造图形如图所示， 则，，（） ， ． ． 在中， 由勾股定理得，， 即， 解得，（负值已舍去）． 故答案为：． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共24分． 16. 计算：； 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，解题的关键是正确化简计算每一项． 先代入特殊角的三角函数值，计算绝对值，零指数幂，化简二次根式，再进行实数的混合运算． 【详解】解： ． 17. 小颖在解方程时出现了错误，解答过程如图所示： 解方程： 解：，① ，② ，③ ，④ ，⑤ ⑥ （1）小颖的解答过程从第几步开始出错，其错误的原因是什么； （2）请你写出此题正确的解题过程． 【答案】（1）小颖的解答过程从第②步开始出错，其错误的原因是等式右边没有除以2 （2），． 【解析】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，正确计算是解题关键； （1）发现第二步等式右边没有除以2； （2）直接利用配方法解方程即可． 【小问1详解】 解：小颖的解答过程从第②步开始出错，其错误的原因是等式右边没有除以2； ②，等式的右边没有除以2； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ，． 18. 如图，是以为底的等腰三角形，． （1）尺规作图：作平分线，与的交点记为点D．（保留作图痕迹，不写作法） （2）证明． 【答案】（1） 如图，射线即为所作， （2） 证明：，， ， 由作图可得：平分， ， ， ， 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图—作角平分线，等腰三角形的性质以及相似三角形的判定，熟练掌握相关性质定理和判定定理是解题的关键． （1）根据尺规作角平分线的方法作图即可； （2）根据等腰三角形的性质求出，根据角平分线定义可得，根据相似三角形的判定定理可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 二、解答题（二）：本大题共3小题，每小题8分，共27分． 19. 图①是一种手机平板支架放在桌面上，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图②是其侧面结构示意图，托板长，支撑板长，托板固定在支撑板顶点处，且，托板可绕点转动，支撑板可绕点转动，若，时，求点到桌面的距离（计算结果精确到个位）（参考数据：，） 【答案】点到桌面的距离约为 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用； 过点，作，过点作于点，根据可得，然后求出和，在中，解直角三角形求出，然后可得答案． 【详解】解：过点，作，过点作于点， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴点到桌面的距离为． 20. 随着国产AI大模型DeepSeek的爆火，全球科技界对人工智能的关注度持续飙升．为了让更多爱好者深入了解人工智能技术，某知名科技论坛精心策划了四场网络直播，分别以“A．机器人技术”“B．计算机视觉”“C．自然语言处理”“D．专家系统”为主题进行直播．甲、乙两位同学准备各自随机选择一场直播深入学习，随后分享收获，两位同学选择四个主题的可能性均相同，且相互不影响． （1）甲同学选择“B．计算机视觉”的概率是________； （2）请用画树状图或列表的方法求甲、乙两位同学中至少有一人选择“B．计算机视觉”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，画树状图或列表的方法求概率，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据概率公式进行列式计算，即可作答． （2）运用列表法，得共有16种等可能的结果，其中甲、乙两位同学中至少有一人选择“B．计算机视觉”的结果有7种，再列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：∵四场网络直播，分别围绕“A．机器人技术”“B．计算机视觉”“C．自然语言处理”“D．专家系统”为主题进行直播． ∴甲同学选择“B．计算机视觉”的概率是； 【小问2详解】 解：列表如下： 甲 乙 A B C D A B C D 如上表，共有16种等可能的结果，其中甲、乙两位同学中至少有一人选择“B．计算机视觉”的结果有7种， （甲、乙两位同学中至少有一人选择“B．计算机视觉”）． 21. 在2025年春节联欢晚会上，新年吉祥物“巳升升”特别惹人注目，其设计灵感源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形愁态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，我们在电商平台和实体店了解其销售情况． （1）统计某电商平台，2024年12月份吉祥物一月的销售量是5万件，2025年2月份吉祥物一月的销售量是7.2万件，若近两个月月平均增长率相同，求月平均增长率； （2）对某实体店的销售情况进行了解，该店吉祥物的进价为每件60元，若售价定为每件100元，则每天能销售量20件．通过市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了进一步推广宣传，商家决定降价促销，要求尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，请你分析售价应降低多少元？ 【答案】（1）月平均增长率为 （2）售价应降低20元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程实际应用问题，根据题意找到相等关系是解题的关键． （1）设月平均增长率为，根据题意列出方程即可； （2）设售价应降低元，则可卖出件，利用每件获利乘以销售数量等于每天销售获利，列方程即可解答． 【小问1详解】 解：设月平均增长率为， 由题意得，， 解得：（不合题意，舍去）， 答：月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设售价应降低元， 由题意得，， 整理得：， 解得：， 尽量减少库存， ， 答：售价应降低20元． 三、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题共14分，共27分． 22. 【项目式学习】 项目主题：守护生命，“数”说安全． 项目背景：随着社会的发展，安全问题变得日益重要．某校为了提高学生的安全意识，开展以“守护生命，'数'说安全”为主题的项目式学习活动．创新小组通过考察测量、模拟探究和成果迁移等环节，开展地下弯道对通行车辆长度的限制研究． 任务一：考察测量 （1）如图1，创新小组所选取弯道的内、外侧均为直角，道路宽均为，则 ； 任务二：模拟探究 如果汽车在行驶中与弯道内、外侧均无接触，则可安全通过． （2）创新小组用线段模拟汽车通过宽度相同的直角弯道，探究发现： ①当时（如图1），线段能通过直角弯道； ②当时，必然存在线段的中点E与点B重合的情况，线段恰好不能通过直角弯道（如图2）．此时，的度数是　 　； ③当时，线段不能通过直角弯道． （3）如图3，创新小组用矩形模拟汽车通过宽均为的直角弯道，发现当的中点E与点B重合，且时，矩形恰好不能通过该弯道．若，且矩形能通过该直角弯道，求a的最大整数值． 任务三：成果迁移 （4）如图4，某弯道外侧形状可近似看成反比例函数的图象，其对称轴交图象于点A．弯道内侧的顶点B在射线上，两边分别与x轴，y轴平行， ．创新小组探究发现通过该弯道的原理与通过直角弯道类似．有一辆长为，宽为的汽车需要安全通过该弯道，则b的最大整数值为　　　　．（参考数据：） 【答案】（1）；（2）；（3）a的最大整数值为7；（4）10 【解析】 【分析】（1）延长内侧交外侧于点，则，根据勾股定理，即可求解； （2）根据等腰直角三角形的性质，即可求解； （3）解法一：设与相交于点G，根据题意得：，证明，可得到，即可求解；解法二：设直线分别与直线相交于点I，H，根据等腰直角三角形的性质，以及勾股定理可得，即可求解； （4）过点A作轴于点，求出反比例函数的解析式，设直线与的交点为P，则，过点P作轴于点，延长交x轴于点K，求出，，可求出直线的解析式，从而得到的长，即可求解． 【详解】解：（1）如图1，延长内侧交外侧于点，则， ∴， ∴， 故答案为：； （2）由图形可知是等腰直角三角形，则， 故答案为：； （3）解法一、如图3（1），设与相交于点G，根据题意得：， ∴， 又∵， ∴， ∴， ， 又∵， ∴， ∴根据实际情况得：a的最大整数值为7． 解法二：如图3（2），设直线分别与直线相交于点I，H， ∵四边形为矩形， ∴， ， 又∵， ∴， ∴， ∴根据实际情况得：a的最大整数值为7． （4）如图4，过点A作轴于点， 由勾股定理可得， ∴， 把代入，得：， ∴反比例函数的解析式为； 设直线与的交点为P，则， 过点P作轴于点，延长交x轴于点K，则，是等腰直角三角形， ∴，， ∴，， 设直线的解析式为：， ∴，解得：， ∴直线的解析式为：， 令， 解得：， ， ∴， ∵， ∴的最大整数值为10． 故答案为：10． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，反比例函数与一次函数的图象和性质，勾股定理等知识，利用类比思想和数形结合思想解答是解题的关键． 23. 问题情境： （）综合与实践课上，老师让每个小组准备了一张矩形纸片，其中，．如图，把矩形绕点逆时针旋转得到矩形纸片，点的对应点为，，，如图，连接，当在的延长线上时，延长，交于点．判断与的数量关系并说明理由． 数学思考： （）老师将矩形纸片绕点逆时针方向再次旋转，并让同学们提出新的问题． ①“爱数小组”提出问题：如图，当点落在上时，连接，取的中点，连接、，求的长．请你解答此问题： ②“好学小组”提出问题：如图，当点落在上时，连接，求的面积．请你解答此问题． 【答案】 （1），理由如下： 连接， ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， 由旋转得，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴； （2）①；② 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质可证，得到，由旋转的性质可得，即得，即得到，即可得四边形是平行四边形，得到，即可求证； （2）①连接，由勾股定理得，由旋转得，，进而可得，即得，再根据直角三角形的性质即可求解；②过点A作于E，于H，设与相交于点F，由三角形的面积可得，进而由勾股定理得，得，再由旋转和等腰三角形的性质可得，即得，得到，即得到，，即可得，得，得到，由三线合一得，即得到，最后根据三角形面积公式计算即可求解． 【详解】解：（1） 略 （2）①如图，连接， ∵，，， ∴， 由旋转得，，， ∵， ∴， 即， ∴， ∵点是的中点， ∴； ②如图，过点作于，于，设与相交于点，则， ∵，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由旋转得，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 映月中学2025-2026学年第一学期绿色调研 九年级数学科问卷 说明：1．全卷共6页，满分为120分，考试用时120分钟． 2．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔填写自己的准考证号、姓名、考场号、座位号． 3．必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，选择题在相应的表格中作答，非选择题在相应的答题区域作答；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生务必保持卷面的整洁． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1. 二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（） A. 3，2，5 B. 3，，5 C. 3，2， D. 3，， 2. 如图所示的几何体，其左视图为（    ） A.   B.   C.   D.   3. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图1，在边长为8cm的正方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），为测算阴影部分面积，小亮利用计算机进行模拟试验，通过计算机在正方形区域随机投放一个点，并记录该点落在阴影上的频率数据，结果如图2所示．小亮由此估计阴影部分面积约为（　　） A. B. C. D. 6. 小明准备利用周末时间去种花，如图，在菱形花坛中，，在其中两个正六边形部分种花，若种花部分图形的周长（不含图中虚线）为，则菱形花坛的边长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，的三个顶点都在网格线的交点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 下列说法错误的是（ ）． A. 平行四边形的对角相等． B. 矩形的对角线相等且互相平分． C. 有一组邻边相等的四边形是菱形 D. 有一个角是的菱形是正方形 9. 已知二次函数部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表所示，那么关于它的图象的一些性质，下列判断正确的是（ ） A. 该函数图象的开口向上 B. 当时，随的增大而减小 C. 抛物线的对称轴为 D. 当时， 10. 如图，已知在矩形中，是边的中点，与垂直，交直线于点，连接，则下列四个结论中：①；②；③；④．正确的有（ ） A. ①③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ②③④ 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 已知反比例函数的图象经过点，则k的值是______． 12. 如图，在中，是斜边的中点，连接，，则的长为___________． 13. 《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点，，在同一水平线上，和均为直角，与相交于点．测得，则树高______m． 14. 如图，，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，若，则的面积是_____． 15. 欧几里得的《几何原本》中记载，形如的方程的图解法如下：如图，以和为两直角边长作，再在斜边上截取，则的长就是所求方程的正根．利用以上方法解关于的一元二次方程时，若构造后的图形满足，则的值为______． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共24分． 16. 计算：； 17. 小颖在解方程时出现了错误，解答过程如图所示： 解方程： 解：，① ，② ，③ ，④ ，⑤ ⑥ （1）小颖的解答过程从第几步开始出错，其错误的原因是什么； （2）请你写出此题正确的解题过程． 18. 如图，是以为底的等腰三角形，． （1）尺规作图：作平分线，与的交点记为点D．（保留作图痕迹，不写作法） （2）证明． 二、解答题（二）：本大题共3小题，每小题8分，共27分． 19. 图①是一种手机平板支架放在桌面上，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图②是其侧面结构示意图，托板长，支撑板长，托板固定在支撑板顶点处，且，托板可绕点转动，支撑板可绕点转动，若，时，求点到桌面的距离（计算结果精确到个位）（参考数据：，） 20. 随着国产AI大模型DeepSeek的爆火，全球科技界对人工智能的关注度持续飙升．为了让更多爱好者深入了解人工智能技术，某知名科技论坛精心策划了四场网络直播，分别以“A．机器人技术”“B．计算机视觉”“C．自然语言处理”“D．专家系统”为主题进行直播．甲、乙两位同学准备各自随机选择一场直播深入学习，随后分享收获，两位同学选择四个主题的可能性均相同，且相互不影响． （1）甲同学选择“B．计算机视觉”的概率是________； （2）请用画树状图或列表的方法求甲、乙两位同学中至少有一人选择“B．计算机视觉”的概率． 21. 在2025年春节联欢晚会上，新年吉祥物“巳升升”特别惹人注目，其设计灵感源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形愁态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，我们在电商平台和实体店了解其销售情况． （1）统计某电商平台，2024年12月份吉祥物一月的销售量是5万件，2025年2月份吉祥物一月的销售量是7.2万件，若近两个月月平均增长率相同，求月平均增长率； （2）对某实体店的销售情况进行了解，该店吉祥物的进价为每件60元，若售价定为每件100元，则每天能销售量20件．通过市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了进一步推广宣传，商家决定降价促销，要求尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，请你分析售价应降低多少元？ 三、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题共14分，共27分． 22. 【项目式学习】 项目主题：守护生命，“数”说安全． 项目背景：随着社会的发展，安全问题变得日益重要．某校为了提高学生的安全意识，开展以“守护生命，'数'说安全”为主题的项目式学习活动．创新小组通过考察测量、模拟探究和成果迁移等环节，开展地下弯道对通行车辆长度的限制研究． 任务一：考察测量 （1）如图1，创新小组所选取弯道的内、外侧均为直角，道路宽均为，则 ； 任务二：模拟探究 如果汽车在行驶中与弯道内、外侧均无接触，则可安全通过． （2）创新小组用线段模拟汽车通过宽度相同的直角弯道，探究发现： ①当时（如图1），线段能通过直角弯道； ②当时，必然存在线段的中点E与点B重合的情况，线段恰好不能通过直角弯道（如图2）．此时，的度数是　 　； ③当时，线段不能通过直角弯道． （3）如图3，创新小组用矩形模拟汽车通过宽均为的直角弯道，发现当的中点E与点B重合，且时，矩形恰好不能通过该弯道．若，且矩形能通过该直角弯道，求a的最大整数值． 任务三：成果迁移 （4）如图4，某弯道外侧形状可近似看成反比例函数的图象，其对称轴交图象于点A．弯道内侧的顶点B在射线上，两边分别与x轴，y轴平行， ．创新小组探究发现通过该弯道的原理与通过直角弯道类似．有一辆长为，宽为的汽车需要安全通过该弯道，则b的最大整数值为　　　　．（参考数据：） 23. 问题情境： （）综合与实践课上，老师让每个小组准备了一张矩形纸片，其中，．如图，把矩形绕点逆时针旋转得到矩形纸片，点的对应点为，，，如图，连接，当在的延长线上时，延长，交于点．判断与的数量关系并说明理由． 数学思考： （）老师将矩形纸片绕点逆时针方向再次旋转，并让同学们提出新的问题． ①“爱数小组”提出问题：如图，当点落在上时，连接，取的中点，连接、，求的长．请你解答此问题： ②“好学小组”提出问题：如图，当点落在上时，连接，求的面积．请你解答此问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $