吉林省长春市二道区长春五十二中赫行实验学校2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

九年级数学学科试题 2026.01 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的， 1.若二次根式√x-2有意义，则实数x的取值范围是 A.x≤2 B.x<2 C.x≥2 D.x>2 2.已知关于x的一元二次方程x2+:-9=0的一个根为-1，则k的值为 A.8 B.-8 C.9 D.-9 3.用配方法将方程x2-4x+1=0变形为(x+m)2=3,则m的值是 A.m=-2 B.m=2 C.m=-4 D.m=4 4.若4m=5n(m≠0)，则下列等式成立的是 C. D. 5.如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段OD上.若 OA:OD=1:2,且△ABC的面积为1，则△DEF的面积为 A.2 B. C.6 D.9 B (第5题) (第6题) 6.如图，为测量池塘两端A、B的距离，小明在池塘外选取了一个点C,使得点C可以 直接到达A、B,他分别找到AC、BC的中点D、E,并且测得DE的长为16米，则池 塘两端A、B的距离为 A.8米 B.20米 C.25米 D.32米 7.如图，在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为6米，那么相邻两 树在坡面上的距离AB为 6 A -米 B.6c0sa米 C. 一米 D.6sina米 cosa sina (第7题) (第8题) 九年数学第1页（共6页） 8.如图，在长为32米，宽为20米的矩形空地上修建同样宽的道路（图中阴影部分），剩 余部分种植草坪，使草坪的面积为540平方米.设道路的宽为x米，根据题意，下面 列出的方程正确的是 A.32x+20x-2x2=540 B.32x+20x=32×20-540 C.(32-x)20-x)=540 D.(32-x20-x)=32×20-540 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分. 9.计算： V- 10.已知最简二次根式√x-1与二次根式2是同类二次根式，则x的值为 11.若一元二次方程x2-3x+k=0有两个相等的实数根，则k的值是 12.下表是一位同学篮球罚球的实验结果，根据表中数据回答问题： 实验总次数 100 200 300 500 1500 2000 3000 投中的次数 61 93 165 246 753 996 1503 投中的频率 0.610 0.465 0.550 0.492 0.502 0.498 0.501 根据表中的数据，估计这位同学下一次投篮投中的概率为 (结果保留两位 小数) 13.如图，AB∥CD∥EF,直线，I2与这三条平行线分别交于点A、C、E,和点B、 D、F.已知AC=3,CE=6,BF=8,则BD的长为 A/B■ E 2 D (第13题) （第14题) 14.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC交边BC于点D,DE⊥AD交 边AB于点E,M为线段AE的中点，连结DM.给出下面四个结论： ①△AED∽△ADC; ②△BMD∽△BAC; ③ED:AD=BD:AC: ④当BD=4,CD=3时，AB=7BE. 上述结论中，正确结论的序号有 三、解答题：本题共10小题，共78分. 15.(6分)计算：1-V2-8+(W5+15-1). 九年数学第2页（共6页) 16.（6分)解方程：x2-6x+4=0. 17.(6分)“石头、剪子、布”是一个广为流传的游戏，游戏时，甲乙双方每次做“石 头”、“剪刀”、“布”三种手势中的一种，规定：“石头”胜“剪刀”，“剪刀” 胜“布”，“布”胜“石头”，同种手势不分胜负。假设甲乙两人每次都等可能地 做这三种手势.用画树状图或列表的方法，求乙获胜的概率. 18.(7分)学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这 两年的年平均增长率. 19.（7分)图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点， △ABC的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺按要求作图，并保留适当的作图痕迹 (1)在图①中的AC边上确定一点D,连结BD,使得S△ABC=3 SAABD: (2)在图②中的AB边上确定一点E,连结CE,使得SAAEC=3 SABEC: (3)在图③中的AB边上确定一点M,AC边上确定一点N,连结MN,使得 S四边形MNCB=3S△MMN, B B 图① 图② 图③ 九年数学第3页（共6页） 20.(7分)如图，一座金字塔被发现时，顶部已经荡然无存，但底部未曾受损.已知该 金字塔的下底面是一个边长为130米的正方形，且每一个侧面与底面成65°角，这 座金字塔原来有多高？（参考数据：sin65≈0.906，c0s65≈0.423，tan652.145,结 果取整数) 21.(8分)【学科融合】如图①，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一 个平面内：反射光线和入射光线分别位于法线两侧：反射角，等于入射角i.这就是 光的反射定律.由反射定律可得：反射光线与反射面的夹角等于入射光线与反射面 的夹角. 【问题解决】如图②，为测量信号塔AB的高度，小明同学在脚下点M处水平放置 了一面镜子，然后向后退一段距离，直到他恰好在镜子中看到信号塔顶点A的像. 已知小明同学身高为1.65米，其眼晴到地面的距离CD为1.50米，同时测得小明到 镜子的水平距离DM=0.3米，信号塔到镜子的水平距离BM=4米.请根据以上数 据，求信号塔AB的高度. 法线 入射光线 反射光线 反射面 光的反射定律 B MD 九年数学第4页（共6页） 22.(9分)【知识储备】如图①，在△ABC中，点D是B的中点，DE∥BC,则AE 与AC的数量关系为 D 图① 图② 图③ 图④ 【类比探究】小明同学在学习时遇到这样一个问题： 如图②，在△ABC中，点D是边BC的中点，点E是边AB上一点，且BE=2AE, AD、CE相交于点O.求证：AO=DO. 小明同学发现：如图③，可以过点D作DF∥CE,交边AB于点F,从而可以得 到△AFD∽△AEO,再利用线段间的数量关系推出结论.下面是小明同学的部分证 明过程： 证明：如图③，过点D作DF∥CE,交AB于点F DF∥CE,点D是边BC的中点， 点F是BE的中点， ∴.BE=2EF. 请你补全余下的证明过程， 【拓展迁移】如图④，在△ABC中，点D是边BC的中点，点E是边BA延长线上 一点，且BE=3AB,射线DA与射线CE相交于点O,则线段AO和线段DO的数量 关系是 23.（10分)如图，用总长64米的篱笆靠墙围成如图所示的①②③三块矩形区域（墙足 够长)，且三块区域面积相等，设E长为x米， (1)求证：BE=2AE: (2)BE的长为 米，AD的长为 米；（用含x的代数式表示） (3)当矩形ABCD的面积为192平方米时，求BC的长。 墙 S11331541311140010555 ① ② 九年数学第5页（共6页） 24.(12分)如图，在平行四边形ABCD中，AB=10,AD=14,osB=3 ·点0是 边AD上一点，AO=6.动点P从点O出发，沿折线O一D一C运动至点C停止， 当点P不与点O重合时，连结OP,将线段OP绕点O顺时针旋转90°，得到线段 O2,连结P2 (1)点B到直线AD的距离为： (2)当PO∥BC时，求PD的长度： (3)当点？到BC的距离为3时，求此时点P运动过的路径长： (4)连结B2,当∠B2P=135°时，直接写出P2的长， D B (备用图) 九年数学第6页（共6页) 九年级数学学科参考答案 2026.01 一、选择题（每小题3分，共24分） 1.C2.B3.A4.D 5.B 6.D 7.A8.C 二、填空题（每小题3分，共18分） 9210.41.号12.05013.月 14.①②④ 三、解答题（本大题10小题，共78分） 15.解：原式=√2-1-3√5+3-1 (4分) =1-22. (6分) 16.解：x2-6x+4=0 x2-6x+9=5, (x-3)2=5, x-3=±V5, 所以x=3+5，x2=3-5. (6分) 注：利用其它方法求解，过程结果正确不扣分. 17.解：根据题意，树状图如下： 石头 剪刀 布 石头剪刀布石头剪刀布石头剪刀布 (4分) P(乙获能)号 (6分) 18.解：设这两年的年平均增长率为x,根据题意，得 5(1+x2=7.2. (3分) 解这个方程，得x=0.2,x2=-2.2(舍去). (7分) 答：这两年的年平均增长率为20%. 19.解：(1) (2) (3) B: 图① (3分) 割② (2分) 图③ (2分) 注：不标字母总体扣1分，第(2)、(3)问没有作图痕迹不给分. 第1页共3页 20.解0B=×130=65 在Rt△AOB中，∠AOB=90°，∠ABO=65°， (1分) tan∠ABo=A0 (3分) OB ∴.AO=BOx tan∠ABO =65×tan∠65° ≈139（米）. (7分) 答：这座金字塔原来约有139米高. 注：(1)计算过程加单位，不加单位均不扣分.(2)计算过程中“≈”写成“=”可得分. 21.解：，∠ABM=∠CDM=90°，∠AMB=∠CMD, ∴.△ABM△CDM, (4分) ·A=BM CD DM' 即AB4 1.500.3' (6分) .AB=20（米)· (8分) 答：信号塔AB的高度为20米. 22.解：(1)AC=2AE: (2分) (2),BE=2AE ∴.EF=AE. ,'DF∥CE, ..40AE (5分) OD EF' ∴.AO=D0. (7分) (3)A0=2D0. 3 (9分) 23.(1)证明：①②三块矩形区域面积相等， ∴.AE·EF=BE·EG. ,②③三块矩形区域面积相等， GFG-TEF .BE =2AE. (3分) (2)2x,(32-4x): (5分) (3)根据题意可列 3x(32-4x)=192. (7分) 解这个方程，得x=x2=4. (9分) ∴.BC=32-4×4=16(米). (10分) 第2页共3页 24.解：(1)8： (2分) (2)如图，当PQ∥BC时，设PD=5x. 在△POD中，过点P作PH⊥AD交AD于点H. PQ∥BC ∴.∠QPO=∠POH=45°， ∴.PH=OH. 在△PHD中， 5 PD-5w cosD=3, ..PH=4x,HD=3x. ∴.OH=4x. 即OD=Ol+D=3x+4=8. 解的：x=号 即当PO∥BC时，PD得长度为40 (6分) (3)i.如图①，当点P在边AD上运动时 ,直线AD和直线BC间的距离为8，点Q到直线BC的距离为3， ∴点Q到直线AD的距离为5. 即00=0P=5. (8分) iⅱ.如图②，当点P在边CD上运动时. ,△OQF≌△POE, ..FO=OE=5. DE=OD-OE=3. 在Rt△PED中， COsD=DE-3 ,DE=3, PD 5 ∴.PD=5. 即点P运动过的路径长=OD+PD=8+5=13. (10分) 综上，当点Q到BC的距离为3时，点P运动过的路径长为I3. 0 D 图① 图② (4)82或3226 (12分) 17 第3页共3页