精品解析：山东省青岛市市南区青岛大学附属中学2025-2026学年九年级上学期数学第17周测试卷（第二章二次函数）

九下第二章二次函数测试题 一、选择题．（每小题4分共32分．） 1. 关于二次函数y=-(x+2)2-1，下列说法错误的是（ ） A. 图象开口向下 B. 图象顶点坐标是(-2，-1) C. 当x＞0时，y随x增大而减小 D. 图象与x轴有两个交点 【答案】D 【解析】 【分析】由二次函数的图像和性质直接判断即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴函数图像开口向下，故选项A说法正确，不符合题意； 由函数解析式可知顶点坐标是，故选项B说法正确，不符合题意； 由函数性质可知当时，y随x的增大而减小，故选项C的说法正确，不符合题意； ∵方程 无实数解， ∴图像与x轴无交点，故选项D说法错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 2. 如果抛物线的对称轴是直线，与x轴的一个交点的坐标是，那么它与x轴的一个交点的坐标是（ ） A. （﹣6，0） B. （﹣4，0） C. （﹣2，0） D. （4，0） 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的对称性解答即可． 【详解】解： 抛物线与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线， 抛物线与x轴另一交点的横坐标为 ， 抛物线与x轴的另一个交点坐标为 ， 故选：C 【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点坐标，正确理解抛物线的对称性是解题的关键． 3. 将抛物线y=ax2﹣1平移后与抛物线y=a（x﹣1）2重合，抛物线y=ax2﹣1上的点A（2，3）同时平移到A′，那么点A′的坐标为（　　） A. （3，4） B. （1，2） C. （3，2） D. （1，4） 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵抛物线y=ax2﹣1的顶点坐标是（0，﹣1），抛物线y=a（x﹣1）2的顶点坐标是（1，0）， ∴将抛物线y=ax2﹣1向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到抛物线y=a（x﹣1）2，∴将点A（2，3）向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到点A′的坐标为（3，4）． 故选：A． 4. 点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质、比较二次函数的函数值的大小，根据二次函数解析式得出抛物线开口向上，对称轴为直线，再求出、、到对称轴的距离，进行比较即可得出答案． 【详解】解：二次函数的抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵，，，， ， 故选：D． 5. 汽车刹车后行驶的距离s（单位：m）关于行驶的时间（单位：s）的函数解析式是汽车刹车后到停下来前进了（　　）秒． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出s取最大值时的时间即可得解． 【详解】∵， ∴当时，s取得最大值， 即汽车刹车后到停下来前进了秒， 故选：D． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，根据题意理解前进的时间是s取最大值时的时间是解题的关键． 6. 在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系式为，由此可知小宇此次训练实心球落地时的水平距离为（　　） A. 85米 B. 8米 C. 10米 D. 2米 【答案】B 【解析】 【分析】小宇此次实心球训练的成绩就是抛物线与x轴交点的横坐标，即当y＝0时，求x的值即可． 【详解】解：当y＝0时，即， 解得：＝﹣2（舍去），＝8， 所以小宇此次实心球训练的成绩为8米． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的应用中函数式中变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键． 7. 如图，二次函数的图象与反比例函数的图象交于三点．若，则的取值范围是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】若成立，则二次函数的图象要到反比例函数图象的上方，利用数形结合，找到满足条件的部分图象所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：由题意在图上把三个交点的横坐标标注出来，如下图： 根据若成立，则二次函数的图象要到反比例函数图象的上方，通过观察知， 在或时，二次函数的图象在反比例函数的上方， 即：若成立，则或， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数和反比例函数的性质，解题的关键是：利用数形结合的思想，把，转化为二次函数的图象到反比例函数图象的上方即可． 8. 已知二次函数的部分函数图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据的函数图象可知，，，即可确定一次函数图象，根据时，，即可判断反比例函数图象，即可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向上，则，与轴存在2个交点，则， ∴一次函数图象经过一、二、三象限， 二次函数的图象，当时，， 反比例函数图象经过一、三象限 结合选项，一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是B选项 故选B 【点睛】本题考查了一次函数，二次函数，反比例函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与系数的关系是解题的关键． 二、填空题．（每空4分．共40分） 9. 将二次函数化成一般式为_____，图像与轴交点坐标为_____，当时，函数的取值范围是_____，若，则自变量取值范围是_____． 【答案】 ①. ②. 和 ③. ④. 【解析】 【分析】本题考查二次函数的表达形式变换、图像与坐标轴交点的求解、函数在指定区间内的取值范围，以及根据函数值范围反求自变量的取值范围． 将顶点式展开得一般式；令解方程求交点；根据抛物线开口向下及区间端点求出函数的取值范围；根据，函数取得最大值．确定时自变量取值范围． 【详解】解：二次函数； 当y=0时，解方程，得，，故交点坐标为和； 函数为开口向下的抛物线，顶点，在区间内， 当时，函数取得最大值． 当时：， 当时：， ∵当时，随增大而增大，此时， 当时，随增大而减小，此时， 综上所述：当时，函数的取值范围是， ∵，函数取得最大值． ∴，则自变量取值范围是． 故答案为： ；和；；． 10. 学校打算用长的篱笆围成长方形的生物园饲养小兔，则小兔活动的最大范围是_____． 【答案】25 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，对于，当时，开口向下，函数有最大值，最大值为k．熟练掌握运用顶点式求最值是解题的关键． 设长方形的长为米，则宽为米，面积，并写成顶点式即可求出面积S的最大值．此二次函数开口向下，顶点处取得最大值，即当时，最大值为．故答案为 【详解】解：设长方形的长为米，则宽为米， 则面积． 此二次函数开口向下，顶点处取得最大值， 即当时，最大值为． 故答案为． 11. 如图是二次函数图象的一部分，其对称轴为直线，若其与轴一交点为，则由图象可知，方程的解是________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据二次函数图像的对称性求解即可.. 【详解】由题意可知ax2＋bx＋c＝0的一个解为x＝3，由二次函数图像的对称性，可知（3,0）的对称点是（﹣1,0），因此方程的另一个解是﹣1.所以答案是x＝﹣1或x＝3. 【点睛】本题主要考查二次函数图像的性质，熟练掌握二次函数图像的性质是解答此题的关键. 12. 抛物线与轴有两个交点，则的最小整数解为_____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象与x轴的交点情况与判别式的值之间的关系，掌握抛物线与轴有两个交点，则判别式的值大于零，是解题的关键． 抛物线与轴有两个交点需满足判别式大于零且二次项系数不为零，通过求解不等式确定的范围，再求最小整数解. 【详解】解：∵抛物线与轴有两个交点， ∴即， ∴， ∵抛物线的解析式， ∴， ∴且， 则的最小整数解为1， 故答案为：． 13. 如图，已知，是抛物线上的两点，在抛物线对称轴上有一动点，当的周长最小时，则此时的面积为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，二次函数图象上的点的坐标特征以及待定系数法求解析式，作出B的对称点是本题的关键． 先求出点A、B坐标，再根据抛物线的性质，作出B关于y轴的对称点，连接交y轴于P，点P即为所求，再求出的面积即可． 【详解】解：如图，作出B关于y轴的对称点，则⊥y轴于点H，连接交y轴于P， 则点就是使的周长最小时的位置． ∵抛物线的对称轴是y轴，B、关于y轴对称， ∴点P在抛物线的对称轴上，且， ∴， ∴此时的周长最小， 当时，，当时，， ∴，， ∴=6，点H的坐标是， ∵， ∴点A到的距离为， 设直线的直线方程为，把点A和点的坐标代入后得到， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴P点的坐标为 ∴， 此时， 即的面积为， 故答案为：． 14. 已知抛物线的图象如图①所示，现将抛物线在轴下方的部分沿轴翻折，图象其余部分不变，得到一个新图象如图②，当直线与图象②恰有三个公共点时，则的值为________． 【答案】或 【解析】 【分析】先求出翻折部分的解析式，利用数形结合找出当y=x+b经过点A或者y=x+b与y=-x2+2x+3相切时，直线y=x+b与新图象恰好有三个不同的交点，①当直线y=x+b经过点A（-1，0）时，利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出b值；②当y=x+b与y=-x2+2x+3相切时，将一次函数解析式代入抛物线解析式中，利用根的判别式Δ=0，即可求出b值．综上即可得出结论 【详解】解：将抛物线=x2-2x-3的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，则翻折上来的部分解析式为y=-x2+2x+3． ∵直线y=x+b平行于y=x， ∴当y=x+b经过点A或者y=x+b与y=-x2+2x+3相切时，直线y=x+b与新图象恰好有三个不同的交点． ①当直线y=x+b经过点A（-1，0）时，0=-1+b， ∴b=1； ②当y=x+b与y=-x2+2x+3相切时， 只有一组公共解， 即方程x2-x+b-3=0中判别式等于0， ∴△=（-1）2-4（b-3）=0， ∴b=． 综上，b=1或b=． 故答案为：或 【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，根据题意画出如图，找出新图象与直线y=x+m有三个不同公共点的条件是解题的关键． 三、解答题． 15. 如图①：是古代的一种远程投石机，其投出去的石块运动轨迹是抛物线的一部分．据《范蠡兵法》记载：“飞石重二十斤，为机发，行三百步”，其原理蕴含了物理中的“杠杆原理”，在如图②：所示的平面直角坐标系中，将投石机置于斜坡的底部（原点O处），石块从投石机竖直方向上的点C处被投出，在斜坡上的点A处建有垂直于水平面的城墙AB，已知，石块运动轨迹所在抛物线的顶点坐标是，，， ； （1）求石块运动轨迹所在抛物线的表达式； （2）请判断石块能否飞越城墙，并说明理由． 【答案】（1） （2）解：石块不能飞越城墙，理由： 当时，， ∴当到城墙时，石块高度为， ， ∵， ∴石块不能飞越城墙． 【解析】 【分析】（1）根据可得点，根据抛物线的顶点坐标，设表达式为，代入点C的坐标求解即可； （2）先求出的长度，再求出，最后求出当时的函数值，于的长度进行比较即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线的顶点坐标是， ∴设抛物线的表达式为：， 将点代入得：，解得：， ∴石块运动轨迹所在抛物线的表达式为：． 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键是熟练掌握根据二次函数的顶点求出表达式，以及明确在实际问题中二次函数的实际应用． 16. 随着人们生活水平提升，我市市民对花卉需求量也在增加．新春佳节临近，购买自己喜爱的鲜花装饰家庭成为青岛市民必备的时尚年货．市民走进花卉市场，寻找春景春色，赏花买花，体验浓浓年味．春节前夕，某花卉市场店铺老板用5400元按批发价购买了一批花卉．若将批发价降低10%，则可以多购买该花卉20盆．据市场调查反映，该花卉每盆售价42元时，每天可卖出20盆；若调整价格，每盆花卉每涨价2元，每天要少卖出1盆． （1）该花卉每盆批发价是多少元？ （2）店铺老板决定在每盆售价42元的基础上，每盆花卉涨价不超过10元，问该花卉一天最大的销售利润是多少元？ （3）该店铺开展快递托运送货到家活动，但每盆花卉店铺还需增加元的快递成本，若每盆花卉售价不低于60元时，每天的利润将随着售价的增长不断降低，则快递成本最多是_____元． 【答案】（1）30元 （2）330元 （3）8元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． （1）设批发价是x元，根据若将批发价降低10%，则可以多购买该花卉20盆列方程求解即可； （2）设涨价m元，利润W元，根据总利润=单盆利润×数量列函数关系式求解即可； （3）考虑快递成本后，列出利润函数，根据售价不低于60元时利润随售价增长降低的条件，结合二次函数的性质确定对称轴位置，求的最大值即可. 【小问1详解】 解：设批发价是x元， ， 解得， 经检验，是原方程解， 答：花卉每盆批发价30元． 【小问2详解】 解：设涨价m元，利润W元， 对称轴是，且开口向下， ∴当时，W有最大值，是330元． 【小问3详解】 解：设涨价元，售价为，即， 每盆利润为， 销售数量为， 利润， ∵ ，开口向下， 对称轴， ∵ 当时，W随m增大而减小， ∴ 对称轴， 解得， ∴ 快递成本最多是8元． 附加题 17. 如图，抛物线分别与轴正半轴、轴交于点，．点在线段上运动（不与点A，B重合），过点作轴交抛物线于点，则的最大值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握二次函数以及一次函数的性质是解本题的关键． 令可得点的坐标，令可得点的坐标，再运用待定系数法求一次函数解析式；设点，则点，表示出的长度表达式，根据二次函数的性质解答即可． 【详解】解：令，即， 解得：， ∴点， 将，代入，得， ∴点， 设直线的函数表达式为， ∴， 解得：， ∴直线的函数表达式为； 设点，则点， ∵点Q在线段上方的抛物线上，始终在一次函数图像的上方， ∴， ∴当时，的长度最大，最大值为． 故答案为：． 18. 榴莲靠着独特风味和口感深受广大消费者喜爱，多数品质较好的榴莲都需要进口，所以价格居高不下，国产高品质榴莲在三亚成功挂果上市，某水果店购进一批三亚榴莲，进价为元，设售价为x元，图中线段是总进价（元）与x关系的图象，抛物线是总销售额（元）与x关系的图象，经过原点．假定购买和销售数量相同，当售价为元时，销售量为． （总利润=总销售额﹣总进价） （1）直接写出t、p、q的值； （2）分别求出与x的关系式； （3）当售价定为多少，该水果店出售这批榴莲所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）与x的关系式为；与x的关系式为 （3）当售价定为元时，该水果店出售这批榴莲所获利润最大，最大利润是 【解析】 【分析】（1）由图象可知当售价为元时，销售量为，则，此时进价为，当总进价为元时，，即利润为0，此时进价=售价，进而可求值； （2）待定系数法求一次函数、二次函数解析式即可； （3）设该水果店出售这批榴莲所获利润为w元，依题意得，，根据二次函数的图象与性质，求解作答即可． 【小问1详解】 解：∵当售价为元时，销售量为， ∴， ∴此时进价为（元）， ∴； 当总进价为元时，，即利润为0，此时进价=售价， ∴； 【小问2详解】 解：设，把，代入得，， 解得，， ∴； 设，把，代入得，， 解得，， ∴； ∴与x的关系式为；与x的关系式为； 【小问3详解】 解：设该水果店出售这批榴莲所获利润为w元， 依题意得，， ∵， ∴当时，w有最大值， ∴当售价定为元时，该水果店出售这批榴莲所获利润最大，最大利润是． 【点睛】本题考查了一次函数解析式，二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数的应用，二次函数的最值．熟练掌握函数图象，二次函数的应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九下第二章二次函数测试题 一、选择题．（每小题4分共32分．） 1. 关于二次函数y=-(x+2)2-1，下列说法错误的是（ ） A. 图象开口向下 B. 图象顶点坐标是(-2，-1) C. 当x＞0时，y随x增大而减小 D. 图象与x轴有两个交点 2. 如果抛物线的对称轴是直线，与x轴的一个交点的坐标是，那么它与x轴的一个交点的坐标是（ ） A. （﹣6，0） B. （﹣4，0） C. （﹣2，0） D. （4，0） 3. 将抛物线y=ax2﹣1平移后与抛物线y=a（x﹣1）2重合，抛物线y=ax2﹣1上的点A（2，3）同时平移到A′，那么点A′的坐标为（　　） A. （3，4） B. （1，2） C. （3，2） D. （1，4） 4. 点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 汽车刹车后行驶的距离s（单位：m）关于行驶的时间（单位：s）的函数解析式是汽车刹车后到停下来前进了（　　）秒． A. B. C. D. 6. 在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系式为，由此可知小宇此次训练实心球落地时的水平距离为（　　） A. 85米 B. 8米 C. 10米 D. 2米 7. 如图，二次函数的图象与反比例函数的图象交于三点．若，则的取值范围是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 8. 已知二次函数的部分函数图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ） A. B. C. D. 二、填空题．（每空4分．共40分） 9. 将二次函数化成一般式为_____，图像与轴交点坐标为_____，当时，函数的取值范围是_____，若，则自变量取值范围是_____． 10. 学校打算用长的篱笆围成长方形的生物园饲养小兔，则小兔活动的最大范围是_____． 11. 如图是二次函数图象的一部分，其对称轴为直线，若其与轴一交点为，则由图象可知，方程的解是________． 12. 抛物线与轴有两个交点，则的最小整数解为_____． 13. 如图，已知，是抛物线上的两点，在抛物线对称轴上有一动点，当的周长最小时，则此时的面积为_____． 14. 已知抛物线的图象如图①所示，现将抛物线在轴下方的部分沿轴翻折，图象其余部分不变，得到一个新图象如图②，当直线与图象②恰有三个公共点时，则的值为________． 三、解答题． 15. 如图①：是古代的一种远程投石机，其投出去的石块运动轨迹是抛物线的一部分．据《范蠡兵法》记载：“飞石重二十斤，为机发，行三百步”，其原理蕴含了物理中的“杠杆原理”，在如图②：所示的平面直角坐标系中，将投石机置于斜坡的底部（原点O处），石块从投石机竖直方向上的点C处被投出，在斜坡上的点A处建有垂直于水平面的城墙AB，已知，石块运动轨迹所在抛物线的顶点坐标是，，， ； （1）求石块运动轨迹所在抛物线的表达式； （2）请判断石块能否飞越城墙，并说明理由． 16. 随着人们生活水平提升，我市市民对花卉需求量也在增加．新春佳节临近，购买自己喜爱的鲜花装饰家庭成为青岛市民必备的时尚年货．市民走进花卉市场，寻找春景春色，赏花买花，体验浓浓年味．春节前夕，某花卉市场店铺老板用5400元按批发价购买了一批花卉．若将批发价降低10%，则可以多购买该花卉20盆．据市场调查反映，该花卉每盆售价42元时，每天可卖出20盆；若调整价格，每盆花卉每涨价2元，每天要少卖出1盆． （1）该花卉每盆批发价是多少元？ （2）店铺老板决定在每盆售价42元的基础上，每盆花卉涨价不超过10元，问该花卉一天最大的销售利润是多少元？ （3）该店铺开展快递托运送货到家活动，但每盆花卉店铺还需增加元的快递成本，若每盆花卉售价不低于60元时，每天的利润将随着售价的增长不断降低，则快递成本最多是_____元． 附加题 17. 如图，抛物线分别与轴正半轴、轴交于点，．点在线段上运动（不与点A，B重合），过点作轴交抛物线于点，则的最大值是_____． 18. 榴莲靠着独特风味和口感深受广大消费者喜爱，多数品质较好的榴莲都需要进口，所以价格居高不下，国产高品质榴莲在三亚成功挂果上市，某水果店购进一批三亚榴莲，进价为元，设售价为x元，图中线段是总进价（元）与x关系的图象，抛物线是总销售额（元）与x关系的图象，经过原点．假定购买和销售数量相同，当售价为元时，销售量为． （总利润=总销售额﹣总进价） （1）直接写出t、p、q的值； （2）分别求出与x的关系式； （3）当售价定为多少，该水果店出售这批榴莲所获利润最大？最大利润是多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $