专题3 第9章平面直角坐标系微专题及专题提优集训 2025-2026学年人教版七年级数学下册重难点压轴题专题及单元期中期末试卷

专题3 第9章平面直角坐标系微专题及专题提优集训 第一部分 目录预览 微专题1 平面直角坐标系中点的坐标特征 类型一 象限内点的坐标特征 类型二 坐标轴上点的坐标特征 类型三 象限角平分线上点的坐标特征 类型四 与坐标轴平行的直线上的点的坐标特征 微专题2 点的坐标与分类讨论思想 微专题3 平面直角坐标系中的图形的面积 类型一 割补法求不规则图形的面积 类型二 由图形面积求点的坐标 第二部分 典例精析及针对训练 微专题1 平面直角坐标系中点的坐标特征 类型一 象限内点的坐标特征 【典例】在平面直角坐标系中，已知点M（1﹣2m，﹣m）． （1）若点M在y轴上，求m的值； （2）若点M在第一、三象限的角平分线上，求m的值； （3）若点M在第三象限，且到两坐标轴的距离和为8，请确定点M的坐标． 【分析】（1）根据y轴上点的坐标特征即可解决问题；★方法归纳 四个象限的符号特点分别是： 第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限 （+，﹣）． 据此可判断参数的取值范围或点在哪个象限中 （2）根据第一、三象限的角平分线上点的坐标特征即可解决问题； （3）根据两坐标轴的距离和为8的坐标特征即可解决问题． 【解答】解：（1）∵点M在y轴上， ∴1﹣2m＝0， 解得m， ∴m的值为； （2）∵点M在第一、三象限的角平分线上， ∴点M的横纵坐标相等， 即﹣m＝1﹣2m， 解得m＝1， ∴m的值为1； （3）∵点M在第三象限，且到两坐标轴的距离和为8， ∴﹣（﹣m）﹣（1﹣2m）＝8， 则m﹣1+2m＝8， 解得：m＝3， ∴﹣m＝﹣3，1﹣2m＝1﹣2×3＝﹣5， ∴点M的坐标为（﹣5，﹣3）． 【点睛】本题考查坐标与图形性质，熟知x轴、第一、三象限角平分线及平行于y轴的直线上点的坐标特征是解题的关键． 【针对训练】 1．（2024春•南开区期末）在平面直角坐标系中，若点P（3﹣m，14﹣3m）在第二象限，则整数m的值为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【分析】根据点P（3﹣m，14﹣3m）在第二象限，可得，然后求出不等式组的解集，即可得到整数m的值． 【解答】解：∵点P（3﹣m，14﹣3m）在第二象限， ∴， 解得3＜m， ∴整数m的值为4， 故选：B． 【点睛】本题考查解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，点的坐标，解答本题的关键是明确解一元一次不等式组的方法． 2．（2025春•路南区期中）已知a﹣b＝1，则在平面直角坐标系中，点P（a，b）不可能出现在第 　二　 象限． 【分析】根据已知可得：a＝b+1，从而可得点P的横坐标一定比纵坐标大，然后根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数，即可解答． 【解答】解：∵a﹣b＝1， ∴a＝b+1， ∴点P（a，b）为（b+1，b）， ∴点P的横坐标一定比纵坐标大， ∵第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数， ∴点P（a，b）不可能出现在第二象限， 故答案为：二． 【点睛】本题考查了点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系中每一象限点的坐标特征是解题的关键． 3．在平面直角坐标系中，点P[m（m+1），m﹣1]（m为实数）不可能在第　二　 象限． 【分析】先确定点P的横坐标的符号，进而判断点P的纵坐标的符号，即可得到它可能在象限，也就求得了不可能在的象限． 【解答】解：（1）当m（m+1）＞0时，有或，所以m＞0或m＜﹣1，因此m﹣1＞﹣1或m﹣1＜﹣2，即P[m（m+1），m﹣1]可能经过第一或四象限． （2）当m（m+1）＜0时，有或，所以﹣1＜m＜0，因此﹣2＜m﹣1＜﹣1，即P[m（m+1），m﹣1]经过第三象限． 综合得，P[m（m+1），m﹣1]不经过第二象限． 【点睛】考查所给点不可能经过的象限，根据象限内的点的符号判断出所给点可能的横纵坐标的符号是解决本题的突破点． 4．（2025•阳春市一模）在平面直角坐标系中，点P（a2+1，﹣1）位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】依据a2+1＞0，即可得出点P（a2+1，﹣1）在第四象限． 【解答】解：∵a2+1＞0， ∴点P（a2+1，﹣1）在第四象限． 故选：D． 【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征和平方的非负性，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）． 类型二 坐标轴上点的坐标特征 【典例2】（2024秋•抚州期末）已知点P（m+3，m﹣2）． （1）若点P在x轴上，求点P的坐标； （2）若点P在过点A（﹣2，﹣3）且与y轴平行的直线上，求点P的坐标． 【分析】（1）根据x轴上点的坐标特点，纵坐标为0，可得m﹣2＝0，求出m即可求P点坐标； （2）根据平行线的特点，确定P点的横坐标为﹣2，则m+3＝﹣2，求出m即可求P点坐标． 【解答】解：（1）∵点P在x轴上，★方法归纳 坐标轴上点的坐标特征 （1） x轴上的点的综坐标为0，y轴上的点的综坐标为0 （2） 当点在坐标轴上时，注意分类讨论，两种情况均要考虑到 ∴m﹣2＝0， ∴m＝2， ∴P（5，0）； （2）∵过点A（﹣2，﹣3）且与y轴平行的直线为x＝﹣2， ∴P点的横坐标为﹣2， ∴m+3＝﹣2， ∴m＝﹣5， ∴P（﹣2，﹣7）． 【点睛】本题考查坐标与图形性质，熟练掌握平面直角坐标系中点的坐标与点的位置关系是解题的关键． 【针对训练】 1．（2024春•尧都区期中）若A（2m﹣1，m+2）是x轴上一点，则m的值为（　　） A．2 B．﹣2 C． D． 【分析】根据x轴上的点纵坐标为0列方程计算即可． 【解答】解：∵A（2m﹣1，m+2）是x轴上一点， ∴m+2＝0，解得m＝﹣2． 故选：B． 【点睛】本题考查数轴上点的坐标特征，熟记x轴上的点纵坐标为0是解题的关键． 2．（2024春•银川期中）已知：点A（a﹣3，2b﹣1）在y轴上，点B（3a+2，b+5）在x轴上，则点C（a，b）向右平移3个单位，再向下平移2个单位后的坐标为 　（6，﹣7）　 ． 【分析】根据坐标轴上是点的坐标特征，构建方程组，求出a，b的值即可解决问题． 【解答】解：由题意，， ∴， ∴C（3，﹣5）， ∴C（3，﹣5）向右平移3个单位，再向下平移2个单位后的坐标为（6，﹣7）， 故答案为：（6，﹣7）． 【点睛】此题主要考查了坐标与图形变化﹣平移，掌握点的坐标变化规律是解题的关键． 3．（2025春•萍乡期末）将点P（m+2，2m﹣3）向下平移1个单位，向左平移3个单位得到点Q，点Q恰好落在y轴上，则点Q的坐标是 　（0，﹣2）　 ． 【分析】利用平移的性质构建方程即可解决问题． 【解答】解：由题意：m+2﹣3＝0， ∴m＝1， ∴P（3，﹣1）， ∴Q（0，﹣2）． 故答案为（0，﹣2）． 【点睛】本题考查坐标与图形变化﹣平移，解题的关键是理解题意学会利用参数构建方程解决问题． 4．（2024春•源汇区期中）A，B两点的坐标分别为（2，4），（6，0），点P是x轴上一点，且三角形ABP的面积为8，则点P的坐标为 　（2，0）或（10，0）　 ． 【分析】设P点坐标为（x，0），则根据三角形面积公式得到 ，然后去绝对值求出x的值，再写出P点坐标即可． 【解答】解：设P点坐标为（x，0）， 根据题意得：， 解得x＝2或x＝10， ∴P点坐标为（2，0）或（10，0）， 故答案为：（2，0）或（10，0）． 【点睛】本题考查了坐标与图形性质，三角形的面积公式，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 类型三 象限角平分线上点的坐标特征 【典例3】（2024秋•长清区期中）（1）若点（2a+3，a﹣3）在第一、三象限的角平分线上，求a的值； （2）已知点P的坐标为（4﹣a，3a+6），且点P到两坐标轴的距离相等，求点P的坐标． 【分析】（1）由点（2a+3，a﹣3）在第一、三象限的角平分线上知2a+3＝a﹣3，解之即可； （2）根据到两坐标轴的距离相等的点的特点解答即可．★方法归纳 象限角平分线上点的坐标特征 （1）象限角平分线上点的横、纵坐标的绝对值相等； （2）第一、三象限的角平分线上各点的横纵坐标相等； （3）第二、四象限的角平分线上个点的横纵坐标互为相反数 【解答】解：（1）∵点（2a+3，a﹣3）在第一、三象限的角平分线上， ∴2a+3＝a﹣3， 解得a＝﹣6； （2）∵点P的坐标为（4﹣a，3a+6），且点P到两坐标轴的距离相等， ∴4﹣a＝3a+6或（4﹣a）+（3a+6）＝0； 解得a或a＝﹣5， ∴P点坐标为（，）或（9，﹣9）． 【点睛】本题主要考查坐了点的坐标，解题的关键是平面直角坐标系中第一、三象限角平分线上点的坐标特点；到两坐标轴的距离相等的点的特点是：横纵坐标相等或横纵坐标互为相反数． 【针对训练】 1．已知点P（3a+1，﹣2a﹣3）在第二、四象限的角平分线上，则点P的坐标是　（7，﹣7）　 ． 【分析】根据第二、第四象限坐标轴夹角平分线上的点，横纵坐标互为相反数，由此就可以得到关于a的方程，解出a的值，即可求得P点的坐标． 【解答】解：∵点P（3a+1，﹣2a﹣3）在第二、四象限的角平分线上， ∴（3a+1）+（﹣2a﹣3）＝0， 解得：a＝2， ∴P（7，﹣7）． 故答案为：（7，﹣7）． 【点睛】本题考查了点的坐标的知识，注意掌握知识点：第二、四象限的夹角角平分线上的点的横纵坐标互为相反数． 2．（2025春•栾城区期中）若点M（x，y）的坐标满足x+y＝0，则点M位于（　　） A．第二象限 B．第一、三象限的夹角平分线上 C．第四象限 D．第二、四象限的夹角平分线上 【分析】先整理为y＝﹣x，再根据点的坐标的特征判断即可． 【解答】解：∵x+y＝0， ∴y＝﹣x， ∴点M（x，y）位于第二、四象限的夹角平分线上． 故选：D． 【点睛】本题考查了点的坐标，熟练掌握各象限内点的坐标特征是解题的关键． 3．（2025春•花垣县期中）已知点P、Q的坐标分别为（2m﹣5，m﹣1）、（n+2，2n﹣1），若点P在第二、四象限的角平分线上，点Q在第一、三象限的角平分线上，则mn的值为　8　 ． 【分析】根据一、三象限的角平分线上各点的横纵坐标相；第二、四象限的角平分线上个点的横纵坐标互为相反数求解即可． 【解答】解：∵点P（2m﹣5，m﹣1）在第二、四象限的角平分线上， ∴2m﹣5+m﹣1＝0． 解得：m＝2． ∵点Q（n+2，2n﹣1）在第一、三象限的角平分线上， ∴n+2＝2n﹣1． 解得：n＝3． ∴mn＝23＝8． 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查的是坐标与图象的性质，明确是解题的关键．一、三象限的角平分线上各点的横纵坐标相等；第二、四象限的角平分线上个点的横纵坐标互为相反数 4．（2025春•青秀区期末）如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，…都在x轴上，点B1，B2，B3，…都在第一象限角平分线上，△B1A1A2，△B2A2A3，△B3A3A4，…都是等腰直角三角形，且OA1＝1，则点B2025的坐标是（　　） A．（22024，22024） B．（22024，22024） C．（22025，22025） D．（22024，22024） 【分析】由OA1＝1，得到点B1的坐标，然后利用等腰直角三角形的性质得到A1A2＝1，进而得到点B2的坐标，A2B2＝2，然后再依次类推得到点B2025的坐标． 【解答】解：∵OA1＝1， ∴点A1的坐标为（1，0），当x＝1时，y＝1， ∴B1（1，1）， ∴A1B1＝1， ∵△B1A1A2是等腰直角三角形， ∴A1A2＝1，则OA2＝2，当x＝2时，y＝2， ∴B2（2，2），A2B2＝2， ∵△B2A2A3是等腰直角三角形， ∴A2A3＝2，则OA3＝4，当x＝4时，y＝4， ∴， 同理可得：，…， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了坐标轴角平分线上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质，解题的关键是通过等腰直角三角形的性质依次求出系列点B的坐标找出规律． 类型四 与坐标轴平行的直线上的点的坐标特征 【典例4】（2025春•青云谱区期中）已知点P（a﹣1，﹣2），Q（﹣3，b+1），分别根据下列要求确定a，b的值． （1）直线PQ∥x轴． （2）P，Q两点在第二、第四象限的角平分线上． 【分析】（1）由PQ∥x轴，可得纵坐标相等，横坐标不相等，即可求出答案． （2）由P，Q两点在第二、第四象限的角平分线上，可得纵坐标与横坐标相加得零，即可求出答案． 【解答】解：（1）因为直线PQ∥x轴，★方法归纳 （1） 平行于x轴的直线上的点所有点的纵坐标相同。 （2） 平行于y轴的直线上的所有点的横坐标相同。 （3） 注意根据平行求点的坐标时，要排除两个点重合的特殊情况。 所以点P（a﹣1，﹣2），Q（﹣3，b+1）的纵坐标相等， 所以b+1＝﹣2，即b＝﹣3， 又P、Q两点不能重合， 所以a﹣1≠﹣3， 即a≠﹣2． （2）解：因为P，Q两点在第二、第四象限的角平分线上， 所以a﹣1﹣2＝0，解得a＝3， ﹣3+b+1＝0，解得b＝2， 所以a＝3，b＝2． 【点睛】本题考查了点的坐标规律的探索，熟练掌握点的坐标的规律是解题关键． 【针对训练】 1．（2025春•澧县期末）已知点P的坐标为（2x，x+3），点M的坐标为（x﹣1，2x），PM平行于y轴，则线段PM的长 　4　 ． 【分析】根据题意可得，点P与点M的横坐坐标值相等，可得2x＝x﹣1，即可求出x的值，再根据线段长度计算方法进行计算即可得出答案． 【解答】解：根据题意可得， 2x＝x﹣1， 解得：x＝﹣1， ∴PM＝|x+3﹣2x|＝|﹣x+3|＝|﹣（﹣1）+3|＝4． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形的性质，熟练掌握坐标与图形的性质进行求解是解决本题的关键． 2．（2025春•洛宁县期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是矩形，AB＝4，AD＝6，AB∥x轴．已知点A（﹣2，﹣2），则点C的坐标是（　　） A．（2，4） B．（4，2） C．（3，4） D．（2，3） 【分析】先由矩形的性质得出线段的长，再结合点A的坐标即可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD＝4，AD＝BC＝6， ∵点A（﹣2，﹣2）， ∴BH＝CE＝2，BF＝2， ∴CF＝4， ∴点C的坐标为（2，4）， 故选：A． 【点睛】本题考查矩形的性质和点的坐标，熟练掌握矩形的性质是解题关键． 3．（2024•鼓楼区模拟）如图，已知点A（1，0），B（4，m），若将线段AB平移至CD，其中点C（﹣2，1），D（a，n），则m﹣n的值为 　﹣1　 ． 【分析】根据平移的性质即可求解． 【解答】解：∵将线段AB平移至CD，且A（1，0），B（4，m），C（﹣2，1），D（a，n）， ∴m﹣n＝0﹣1＝﹣1， 故答案为：﹣1． 【点睛】本题考查了平移的性质，熟练掌握基础知识是解题的关键． 4．（2025春•济源期中）已知A（1，﹣2）、B（﹣1，2）、E（2，a）、F（b，3），若将线段AB平移至EF，点A、E为对应点，则a+b的值为　﹣1　 ． 【分析】利用A点与E点的横坐标，B点与F点的纵坐标坐标可判定线段AB先向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到EF，然后根据此平移规律得到﹣2+1＝a，﹣1+1＝b，则可求出a和b的值，从而得到a+b的值． 【解答】解：∵线段AB平移至EF，即点A平移到E，点B平移到点F， 而A（1，﹣2），B（﹣1，2），E（2，a），F（b，3）， ∴线段AB先向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到EF， ∴﹣2+1＝a，﹣1+1＝b， ∴a＝﹣1，b＝0， ∴a+b＝﹣1+0＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点睛】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．解决本题的关键是通过点的坐标之间的关系确定线段平移的方向和距离． 5．（2024春•珲春市期中）在平面直角坐标系中，过A（0，4）的直线a垂直于y轴，点M（9，4）为直线a上一点，若点P从点M出发，以每秒2cm的速度沿直线a向左移动，点Q从原点同时出发，以每秒1cm的速度沿x轴向右移动． （1）几秒后PQ平行于y轴？ （2）在点P、Q两点运动的过程中，若线段OQ＝2AP，求点P的坐标． 【分析】（1）（1）设x秒后PQ平行于y轴，由于AP∥OQ，所以当AP＝OQ时，四边形AOQP是平行四边形，那么PQ平行于y轴，根据AP＝OQ列出关于x的方程，解方程即可； （2）分点P在y轴的右侧和左侧得出AP＝9﹣2x或AP＝2x﹣9，根据OQ＝2AP列出关于x的方程，解之求得x的值即可得出答案． 【解答】解：（1）设x秒后PQ平行于y轴． ∵AP∥OQ， ∴当AP＝OQ时，四边形AOQP是平行四边形， ∴PQ平行于y轴． 由AP＝OQ，得9﹣2x＝x， 解得x＝3． 故3秒后PQ平行于y轴； （2）由题意知AP＝9﹣2x或AP＝2x﹣9，OQ＝x， 若OQ＝2AP，则2（9﹣2x）＝x或2（2x﹣9）＝x， 解得：x或x＝6， 当x时，AP＝9﹣2x，即P（，4）； 当x＝6时，AP＝2x﹣9＝3，即P（﹣3，4）． 【点睛】本题考查了坐标与图形性质和平行四边形的性质．运用数形结合与方程思想是解题的关键． 微专题2 点的坐标与分类讨论思想 【典例】（2024春•罗庄区期中）已知M（3|a|﹣9，4﹣2a）在y轴负半轴上，直线MN∥x轴，且线段MN长度为4． （1）求点M的坐标； （2）求（2﹣a）2024+1的值； （3）求N点坐标． 【分析】（1）由点M在y轴负半轴上，可得点M的横坐标等于0，列出关于a的绝对值方程，可解得a的值，则点M的坐标可求得； （2）将（1）中所求得的a的值代入计算即可； （3）由直线MN∥x轴及点M的坐标，可设N（x，﹣2），结合线段MN长度为4，可得关于x的方程，解得x的值，则点N的坐标可得． 【解答】解：（1）∵M在y轴负半轴上， ∴3|a|﹣9＝0， ∴a＝±3，★方法归纳 （1） 点P（x，y）到x轴的距离是|y|,到y轴的距离是|x|; （2） 平行于x轴上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2）的距离为|x1－x2| （3） 平行于y轴上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2）的距离为|y1－y2| （4） 通过距离，绝对值，长度，面积等条件或其他动态问题确定点的坐标时，要注意结合图像判断是否有多个位置。能够满足题意，若有则需要分类讨论求解。 当a＝3时，4﹣2a＝4﹣2×3＝﹣2＜0， 当a＝﹣3时，4﹣2a＝4﹣2×（﹣3）＝10＞0， ∴a＝3， ∴4﹣2a＝﹣2， ∴点M的坐标为（0，﹣2）； （2）∵a＝3， ∴（2﹣a）2024+1＝（2﹣3）2024+1＝1+1＝2； （3）∵直线MN∥x轴，点M的坐标为（0，﹣2）， ∴设点N的坐标为（x，﹣2）， 又∵线段MN长度为4， ∴MN＝|x﹣0|＝|x|＝4， ∴x＝±4， ∴点N的坐标为（4，﹣2）或（﹣4，﹣2）． 【点睛】本题考查了坐标与图形性质，明确平面直角坐标系中点的坐标特点是解题的关键． 【针对训练】 1．（2025春•兰山区期中）在平面直角坐标系中，第二象限内的点P到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，已知线段PQ∥x轴且PQ＝5，则点Q的坐标是（　　） A．（﹣3，7）或（﹣3，﹣3） B．（2，2）或（﹣8，2） C．（﹣3，3）或（﹣7，3） D．（﹣2，8）或（﹣2，﹣2） 【分析】根据第二象限内点的坐标特征和点到坐标轴的距离可得P（﹣3，2），根据平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等可设Q（a，2），由两点间的距离公式列出方程求解即可． 【解答】解：∵第二象限内的点P到x轴的距离是2，到y轴的距离是3， ∴P（﹣3，2）， ∵线段PQ∥x轴， ∴点Q的纵坐标为2， 设Q（a，2）， ∵PQ＝5， ∴|﹣3﹣a|＝5， 解得：a＝2或﹣8， ∴Q（2，2）或（﹣8，2）， 故选：B． 【点睛】本题考查了坐标与图形性质，熟知各个象限内的坐标特征、点到坐标轴的距离与坐标的关系和平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等是解题关键． 2．（2024春•云梦县期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，1），将线段AB平移，使其一个端点到C（3，2），则平移后另一端点的坐标为（　　） A．（1，3） B．（5，1） C．（1，3）或（3，5） D．（1，3）或（5，1） 【分析】分两种情况①当A平移到点C时，②当B平移到点C时，分别利用平移中点的变化规律求解即可． 【解答】解：①如图1，当A平移到点C时， ∵C（3，2），A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，1）， ∴点A的横坐标增大了1，纵坐标增大了2， 平移后的B坐标为（1，3）， ②如图2，当B平移到点C时， ∵C（3，2），A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，1）， ∴点B的横坐标增大了3，纵坐标增大1， ∴平移后的A坐标为（5，1）， 故选：D． 【点睛】本题考查坐标系中点、线段的平移规律，关键要理解在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同，从而通过某点的变化情况来解决问题．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 3．（2024春•海淀区月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣1，0），B（﹣3，﹣3），若BC∥OA，且BC＝4OA，直接写出点C的坐标 　（1，﹣3）或（﹣7，﹣3）　 ． 【分析】由已知条件得出BC＝4，点C的纵坐标为﹣3，分两种情况：①当点C在点B的右边时，点C横坐标为﹣3+4＝1，，即可得出点C的坐标；②当点C在点B的左边时，点C横坐标为﹣3﹣4＝﹣7，即可得出点C的坐标． 【解答】解：如图所示：∵A（﹣1，0）， ∴OA＝1， ∴BC＝4， ∵B（﹣3，﹣3），BC∥OA， ∴C点纵坐标为﹣3， 分两种情况： ①当点C在点B的右边时，点C横坐标为﹣3+4＝1， ∴点C的坐标为（1，﹣3）； ②当点C在点B的左边时，点C横坐标为﹣3﹣4＝﹣7， ∴点C的坐标为（﹣7，﹣3）； 故答案为：（1，﹣3）或（﹣7，﹣3）． 【点睛】本题考查了坐标与图形性质、三角形面积的计算；熟练掌握坐标与图形性质，进行分类讨论是解决问题（1）的关键． 4．（2024春•涧西区期中）已知一平面直角坐标系内有点A（﹣4，3），点B（1，3），点C（﹣2，5），若在该坐标系内存在一点D，使CD∥y轴，且S△ABD＝10，点D的坐标为　（﹣2，7）或（﹣2，﹣1）　 ． 【分析】将点A（﹣4，3），点B（1，3），点C（﹣2，5）的坐标在平面直角坐标系中标出来，由点A和点B的坐标可知，AB∥x轴，从而可求得AB的长；再由点C的坐标及CD∥y轴，可知点D的横坐标，设点D的纵坐标为m；然后根据S△ABD＝10，可得关于m的方程，解得m的值即可． 【解答】解：将点A（﹣4，3），点B（1，3），点C（﹣2，5）的坐标在平面直角坐标系中标出来，如图所示： ∵点A（﹣4，3），点B（1，3）， ∴AB∥x轴， ∴AB＝1﹣（﹣4）＝5， ∵点C（﹣2，5），CD∥y轴， ∴点D的横坐标为﹣2，设点D的纵坐标为m， ∵S△ABD＝10， ∴5×|m﹣3|＝10， ∴|m﹣3|＝4， ∴m＝7或m＝﹣1． ∴点D的坐标为（﹣2，7）或（﹣2，﹣1）． 故答案为：（﹣2，7）或（﹣2，﹣1）． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中的坐标与图形的性质，明确平面直角坐标系中点的坐标特点并数形结合是解题的关键． 5．（2025春•怀仁市期中）已知平面直角坐标系中有一点M（2m﹣1，m﹣3）． （1）当点M在y轴上时，求m的值； （2）当点M在第四象限且到x轴的距离为2时，求点M的坐标． 【分析】（1）根据y轴上的点的横坐标为0，即可求出m的值； （2）根据点到x轴的距离为其纵坐标的绝对值，可求m的值，再根据点M在第四象限，即可得到坐标． 【解答】解：（1）∵点M（2m﹣1，m﹣3）在y轴上， ∴2m﹣1＝0， 解得 （2）∵点M（2m﹣1，m﹣3）到x轴的距离为2， ∴|m﹣3|＝2， 解得m＝5或1， 又∵点M在第四象限， ∴m＝1， 则2m﹣1＝2×1﹣1＝1， ∴M（1，﹣2）． 【点睛】本题考查的是点在坐标轴上及点到坐标轴的距离求点的坐标，解题的关键是熟练掌握坐标轴上点的坐标特征和点到坐标轴的距离求点的坐标特征． 6．（2025春•天门期末）如图，在长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，点A坐标为（a，0），点C的坐标为（0，b），且a、b满足|b﹣6|＝0，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O→A→B→C→O的线路移动 （1）求点B的坐标． （2）当点P移动4秒时，请求出点P的坐标． （3）当点P移动到距离x轴5个单位长度时，求点P移动的时间． 【分析】（1）利用非负数的性质可以求得a、b的值，根据长方形的性质，可以求得点B的坐标； （2）根据题意点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O→A→B→C→O的线路移动，可以得到当点P移动4秒时，点P的位置和点P的坐标； （3）由题意可以得到符合要求的有两种情况，分别求出两种情况下点P移动的时间即可． 【解答】解：（1）∵a、b满足|b﹣6|＝0， ∴a﹣4＝0，b﹣6＝0， 解得a＝4，b＝6， ∴点B的坐标是（4，6）； （2）∵点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O→A→B→C→O的线路移动， ∴点P的路程：2×4＝8， ∵OA＝4，OC＝6， ∴当点P移动4秒时，在线段AB上，AP＝8﹣4＝4， 即当点P移动4秒时，此时点P的坐标是（4，4）； （3）由题意可得，在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度时，存在两种情况， 第一种情况，当点P在OC上时， 点P移动的时间是：[2（4+6）﹣5]÷2＝7.5（秒）， 第二种情况，当点P在BA上时． 点P移动的时间是：（5+4）÷2＝4.5（秒）， 故在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度时，点P移动的时间是4.5秒或7.5秒． 【点睛】本题考查矩形的性质，坐标与图形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题． 微专题3 平面直角坐标系中的图形的面积 类型一 割补法求不规则图形的面积 【典例1】（2020春•香洲区期末）如图，已知在平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别为A（0，0），B（9，0），C（7，4），D（2，8），求四边形ABCD的面积． 【分析】利用分割法，把四边形分割成两个三角形加上一个梯形后再求面积． 【解答】解：过D，C分别作DE，CF垂直于AB，E、F分别为垂足，则有：★方法归纳 割补法 当在坐标系中遇到不规则图形求面积或者所给图形无法直接利用面积公式时，可用割补法 （1） 割：即先将图形分别构成三角形，平行四边形或者梯形等，然后用公式计算出各部分的面积，最后求面积之和。 （2） 补：即先将图形用一个最小的长方形框起来，然后用长方形的面积减去其余各部分的面积。 S＝S△OED+SEFCD+S△CFB AE×DE（CF+DE）×EFFC×FB． 2×8（8+4）×52×4＝42． 故四边形ABCD的面积为42平方单位． 【点睛】此题主要考查了点的坐标的意义以及与图形相结合的具体运用．要掌握两点间的距离公式和图形有机结合起来的解题方法． 【针对训练】 1．（2025春•平顶山期末）如图，点A、B的坐标分别是为（﹣3，1），（﹣1，﹣2），若将线段AB平移至A1B1的位置，A1与B1坐标分别是（m，4）和（3，n），则线段AB在平移过程中扫过的图形面积为（　　） A．18 B．20 C．28 D．36 【分析】直接利用平移中点的变化规律求出m，n的值，再根据线段AB在平移过程中扫过的图形面积＝四边形ABB1A1的面积＝2△ABB1的面积求解即可． 【解答】解：∵点A、B的坐标分别是为（﹣3，1），（﹣1，﹣2），若将线段AB平移至A1B1的位置，A1与B1坐标分别是（m，4）和（3，n）， ∴可知将线段AB向右平移4个单位，向上平移3个单位得到A1B1的位置， ∴m＝1，n＝1， ∴A1与B1坐标分别是（1，4）和（3，1）， ∴线段AB在平移过程中扫过的图形面积＝四边形ABB1A1的面积＝2△ABB1的面积＝26×3＝18， 故选：A． 【点睛】本题主要考查坐标系中点、线段的平移规律．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 2．如图，在直角坐标系中，A（﹣1，2），B（3，﹣2），则△AOB的面积为　2　 ． 【分析】直接利用A，B点坐标，再利用△AOB所在直角三角形面积减去周围图形面积得出答案． 【解答】解：△AOB的面积为：4×41×2﹣22×3＝2． 故答案为：2． 【点睛】此题主要考查了坐标与图形的性质，正确得出特殊三角形面积是解题关键． 3．（2024•平泉市期末）如图，两个形状、大小完全相同的直角三角形叠放在一起，将直角三角形ABC沿着x轴正方向平移到直角三角形DEF的位置．已知点A（1，5），点B（1，1），DG＝1，平移距离为2． （1）点G的坐标为 　（3，4）　 ； （2）阴影部分的面积S＝　7　 ． 【分析】（1）求出BE，GE的长度即可得出答案； （2）根据平移的性质得S△ABC＝S△DEF，从而S△ABC﹣S△CEG＝S△DEF﹣S△CEG，梯形ABEG的面积＝阴影部分的面积，求梯形的面积即可得到阴影部分的面积． 【解答】解：（1）∵A（1，5），点B（1，1）， ∴AB＝4， ∵平移距离为2， ∴BE＝2，DE＝AB＝4， ∵DG＝1， ∴GE＝DE﹣DG＝4﹣1＝3， ∴G（3，4）； 故答案为：G（3，4）； （2）∵将直角三角形ABC沿着x轴正方向平移到直角三角形DEF的位置， ∴S△ABC＝S△DEF， ∴S△ABC﹣S△CEG＝S△DEF﹣S△CEG， ∴梯形ABEG的面积＝阴影部分的面积， ∴S（AB+EG）×BE （4+3）×2 ＝7． 故答案为：7． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，掌握梯形ABEG的面积＝阴影部分的面积是解题的关键． 4．（2025春•江津区期末）如图，在平面直角坐标系中，AB∥CD∥x轴，BC∥DE∥y轴，且AB＝CD＝3，OA＝4，DE＝2，动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿A→B→C路线向点C运动；动点Q从点O出发，以每秒2个单位长度速度，沿路线O→E→D向点D运动．若P，Q两点同时出发，其中一点到达终点时，两点都停止运动． （1）直接写出B，C，D三个点的坐标； （2）当P，Q两点出发2s时，求三角形OPQ的面积； （3）设P，Q两点运动的时间为ts，当三角形OPQ的面积为6时，求t的值． 【分析】（1）根据坐标与图形性质求出B，C，D三个点的坐标； （2）过点P作PM⊥x轴于M，延长BC交x轴于点N，延长DC交PM于点K，根据三角形的面积公式求出三角形PQC的面积； （3）分0≤t＜3、3≤t≤5两种情况，根据三角形的面积公式计算即可． 【解答】解：（1）∵AB∥CD∥x轴，BC∥DE∥y轴，AB＝CD＝3，OA＝4，DE＝2， ∴B（3，4），C（3，2），D（6，2）； （2）如图1，当P，Q两点运动2s时，点P（2，4），Q（4，0）， 过点P作PM⊥x轴于M，延长BC交x轴于点N，延长DC交PM于点K， 则M（2，0），N（3，0），K（2，2）， ∴QM＝2，CK＝MN＝1，PK＝BC＝2，CN＝2，NQ＝1， ∴S△PQO4×4＝8； （3）由题意得，点P运动的路径长为AB+BC＝3+2＝5，用时需要5秒， 点Q运动的路径长为OE+DE＝6+2＝8，用时需要4秒， ∵其中一点到达终点时，运动停止， ∴时间t的取值范围为0≤t≤4， ①当0≤t＜3时，如图2，OA＝4，OQ＝2t， 则2t×4＝6， 解得：t＝1.5； ②当3≤t≤4时，如图3，过点P作PM⊥ED，交ED的延长线于M， 则OE＝6，EM＝7﹣t，PM＝3，EQ＝2t﹣6，MQ＝13﹣3t， 则（3+6）×（7﹣t）3×（13﹣3t）6×（2t﹣6）＝6， 解得：t＝4； 综上所述，三角形OPQ的面积为6时，t＝1.5或t＝4． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查的是三角形的面积计算，灵活运用分情况讨论思想、熟记三角形的面积公式是解题的关键． 类型二 由图形面积求点的坐标 【典例】（2025春•滑县期末）平面直角坐标系中，O为原点，点A（0，2），B（﹣1，0），C（2，0）． （1）如图①，三角形ABC的面积为　3　 ； （2）如图②，将点B向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到对应点D． ①点D的坐标　（3，3）　 ；按照这样的平移方式，直接写出A、C平移后对应点E、F的坐标分别为　（4，5）　 、　（6，3）　 ； ②点P（0，m）是一动点，若三角形PAD的面积等于三角形ABC的面积，直接写出点P坐标． 【分析】（1）利用三角形面积公式求解即可；★方法归纳 （1） 不规则图形计算面，割补方式有多种。要灵活选择，如围成长方形或梯形，或将某个图形用两种不同的方法分割建立等量关系。 （2） 在动态问题中，已知面积求点的坐标时，一般可利用方程思想。即用未知数表示出面积，进而得到方程，同时注意是否需要分类讨论。 （2）①利用平移变换的坐标变换规律求解即可； ②根据两三角形面积相等，构建方程求解即可． 【解答】解：（1）∵A（0，2），B（﹣1，0），C（2，0）， ∴OA＝2，OB＝1，OC＝2， ∴BC＝1+2＝3， ∴△ABC的面积， 故答案为：3； （2）①将点B（﹣1，0）向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到对应点D， ∴点D的坐标为 （﹣1+4，0+3），即点D（3，3）， 同理， ∵A（0，2），C（2，0）， ∴点E的坐标为 （4，5），点F的坐标为 （6，3）， 故答案为：（3，3），（4，5），（6，3）； ②∵A（0，2），D（3，3），P（0，m）， ∴S△APD＝S△ABC＝3， ∴， 解得：m＝0 或m＝4， ∴点P坐标（0，0）或（0，4）． 【点睛】本题考查平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握平移的坐标变换规律“左减右加，上加下减”，属于中考常考题型． 【针对训练】 1．（2025春•蕲春县期末）如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点B（0，9），线段AB向右平移3个单位至线段CD，线段CD与y轴交于点E，若图中阴影部分面积是21，则点C的坐标为 　（，0）　 ． 【分析】连接BC，AE．设OE＝x，OC＝y．构建方程组求出x，y即可． 【解答】解：连接BC，AE．设OE＝x，OC＝y． ∵CE∥AB， ∴S△ACB＝S△ABE， ∴3×9（9﹣x）×（3+y） ①， 又∵（3+y）×9xy＝21 ②， 由①②可得， ∴C（，0）． 故答案为：（，0）． 【点睛】本题考查坐标与图形变化﹣平移，解题的关键是学会利用参数，构建方程组解决问题，属于中考常考题型． 2．（2025春•赣县区期末）已知平面直角坐标系下，点A，C的坐标为A（1，﹣2），C（3，0），点B在坐标轴上．若△ABC的面积为3，则点B的坐标为 　（0，0）或（6，0）或（0，﹣6）　 ． 【分析】先确定点A、C的位置，再分类讨论：当点B在x轴上时，①点B在点C左侧或点B在点C右侧；当点B在y轴负半轴上，利用三角形面积公式列方程求解即可． 【解答】解：当点B在x轴上， ∵S△ABC＝3， ∴， ∴BC＝3， 当点B在点C左侧时，B（0，0）；当点B在点C右侧时，B（6，0）， 当点B在y轴负半轴上， ∵S△ABC＝3， ∴， 解得OB＝6， ∴B（0，﹣6）， 当B点在y轴正半轴上时， ∵S△ABC＝3， ∴S△ABC＝S△OBC+S△AOC﹣S△ABO＝3， ∴OBOB＝3， 解得OB＝0（舍）； 故答案为：（0，0）或（6，0）或（0，﹣6）． 【点睛】本题考查三角形的面积，坐标与图形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 3．（2025春•玉林期中）如图，A（﹣2，0）、B（0，3）、C（2，4）、D（3，0），点P在x轴上，直线CP将四边形ABCD的面积分成1：2两部分，则点P坐标为 　（1，0）或（﹣1，0）　 ． 【分析】连接OC，利用三角形面积公式，根据S四边形ABCD＝S△AOB+S△BOC+S△COD求出四边形ABCD的面积，设点P坐标为（x，0），利用三角形面积公式分别根据S△PCDS四边形ABCD或S△PCDS四边形ABCD时列关于x的方程并求解，从而得到点P的坐标即可． 【解答】解：如图，连接OC． S四边形ABCD＝S△AOB+S△BOC+S△COD|﹣2|×33×23×4＝12， 设点P坐标为（x，0）， 当S△PCD＝124时，得4（3﹣x）＝4， 解得x＝1， 当S△PCD＝12﹣4＝8时，得4（3﹣x）＝8， 解得x＝﹣1， ∴点P坐标为（1，0）或（﹣1，0）． 故答案为：（1，0）或（﹣1，0）． 【点睛】本题考查三角形的面积、坐标与图形性质，掌握三角形的面积计算公式是解题的关键． 第三部分 专题提优集训 1．（2025春•浉河区期末）下列说法不正确的是（　　） A．点A（﹣a2﹣1，|b|+1）一定在第二象限 B．点P（﹣2，3）到y轴的距离为2 C．若P（x，y）中xy＝0，则P点在x轴上 D．若x+y＝0，则点P（x，y）一定在第二、第四象限角平分线上 【分析】根据各象限角平分线上点的坐标特征，坐标轴上点的坐标特征以及点到y轴的距离等于横坐标的长度对各选项分析判断即可得解． 【解答】解：A、因为﹣a2﹣1＜0，|b|+1＞0，所以点A（﹣a2﹣1，|b|+1）一定在第二象限，说法正确，故此选项不符合题意． B、点P（﹣2，3）到y轴的距离是2，说法正确，故此选项不符合题意； C、若P（x，y）中xy＝0，则P点在x轴或y轴上，说法不正确，故此选项符合题意； D、若x+y＝0，则x、y互为相反数，点P（x，y）一定在第二、四象限角平分线上，原说法正确，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）． 2．（2017秋•邗江区期末）如图，A，B的坐标分别为（2，0），（0，1），将线段AB平移至A1B1，连接BB1，AA1，则四边形ABB1A1的面积为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】先利用点A平移都A1、B点得到B1得到平移的规律，于是可求出a、b的值，然后利用四边形的面积解答即可． 【解答】解：如图： 由A，B的坐标分别为（2，0），（0，1），平移后得到（3，b），（a，2）， 2+1＝3，0+1＝a，1+1＝2，0+1＝b， 可得：a＝1，b＝1， 所以四边形ABB1A1的面积， 故选：B． 【点睛】此题主要考查图形的平移及平移特征．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 3．（2024春•陵城区期中）已知点A（﹣1，1），B（﹣1，﹣2），C（3，﹣2），D（3，1）在平面直角坐标系中的位置如图所示，一只瓢虫从点A出发以每秒2个单位长度的速度沿A→B→C→D→A循环爬行，第2025秒瓢虫所在点的坐标为 　（0，﹣2）　 ． 【分析】先算出矩形的周长，再2025秒运动的路程，再根据周期求解． 【解答】解：∵AB+BC+CD+DA＝3+4+3+4＝14， 2025×2＝4050， 4050÷14＝289……4， ∴第2025秒瓢虫所在点的坐标为（0，﹣2）， 故答案为：（0，﹣2）． 【点睛】本题考查了点的坐标的规律，找到变化规律是解题的关键． 4．（2024春•兰陵县期中）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是（﹣2，﹣1），若AB∥y轴，且AB＝9，则点B的坐标是 　（﹣2，8）或（﹣2，﹣10）　 ． 【分析】根据点A的坐标是（﹣2，﹣1），AB∥y轴，且AB＝9，可以得到点B的横坐标为﹣2，纵坐标为﹣1+9＝8或﹣1﹣9＝﹣10，然后即可写出点B的坐标． 【解答】解：∵点A的坐标是（﹣2，﹣1），AB∥y轴，且AB＝9， ∴点B的横坐标为﹣2，纵坐标为﹣1+9＝8或﹣1﹣9＝﹣10， ∴点B的坐标为（﹣2，8）或（﹣2，﹣10）， 故答案为：（﹣2，8）或（﹣2，﹣10）． 【点睛】本题考查坐标与图形的性质，解答本题的关键是明确题意，求出点B的坐标． 5．（2025•高青县一模）已知点A（﹣2，3）和点B是坐标平面内的两个点，它们关于直线x＝1对称，则B的坐标为 　（4，3）　 ． 【分析】根据轴对称的性质可知A，B两点到直线x＝1的距离相等，据此可解决问题． 【解答】解：因为A，B两点关于直线x＝1对称， 所以A，B两点的纵坐标相等， 则yB＝yA＝3； A，B两点到直线x＝1的距离相等， 则1﹣（﹣2）＝xB﹣1， 所以xB＝4， 则点B的坐标为（4，3）． 故答案为：（4，3）． 【点睛】本题考查坐标与图形变化﹣对称，熟知轴对称的性质是解题的关键． 6．（2024春•沾化区期中）平面直角坐标系中，A（2，1），B（4，1），将线段AB平移，使得AB的中点落在对应点（﹣1，﹣2）的位置，则点A的对应点的坐标为 　（﹣2，﹣2）　 ． 【分析】先求出AB的中点坐标，再由AB的中点落在对应点（﹣1，﹣2）的位置可得平移的方式，再求出点A的对应点的坐标． 【解答】解：∵A（2，1），B（4，1）， ∴线段AB平行于x轴， ∴线段AB的中点坐标为（3，1）， ∵将线段AB平移，使得AB的中点落在对应点（﹣1，﹣2）的位置， ∴平移方式是：先向左平移4个单位，再向下平移3个单位， ∴点A的对应点的坐标为（﹣2，﹣2）， 故答案为：（﹣2，﹣2） 【点睛】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，确定出平移规律是解题的关键． 7．如图所示，在平面直角坐标系中，A1（2，0），B1（0，1），A1B1的中点为C1；A2（0，3），B2（﹣2，0），A2B2的中点为C2；A3（﹣4，0），B3（0，﹣3），A3B3的中点为C3；A4（0，﹣5），B4（4，0），A4B4的中点为C4；…；按此作法进行下去，则点C2026的坐标为 　（﹣1013，）　 ． 【分析】根据题意得点∁n的位置按4次一周期的规律循环出现，可求得点C2024在第二象限，从而可求得该题结果． 【解答】解：由题意可得，点∁n的位置按4次一周期的规律循环出现， ∵2026÷4＝506…2， ∴点C2026在第二象限， ∵位于第二象限内的点C2的坐标为（﹣1，）， 点C6的坐标为（﹣3，）， 点C10的坐标为（﹣5，）， …… ∴点∁n的坐标为（，）， ∴点C2026的坐标为（﹣1013，）， 故答案为：（﹣1013，）． 【点睛】此题考查了点的坐标方面规律性问题的解决能力，关键是能根据题意确定出该点的出现规律． 8．（2024•台儿庄区一模）在直角坐标系中，点A1从原点出发，沿如图所示的方向运动，到达位置的坐标依次为：A2（1，0），A3（1，1），A4（﹣1，1），A5（﹣1，﹣1），A6（2，﹣1），A7（2，2），…．若到达终点An（506，﹣505），则n的值为 　2024　 ． 【分析】根据所给点的运动方式，发现第一象限角平分线上点的坐标规律即可解决问题． 【解答】解：由题知， 点A3的坐标为（1，1）； 点A7的坐标为（2，2）； 点A11的坐标为（3，3）； 点A15的坐标为（4，4）； …， 由此可见，点A4n﹣1的坐标可表示为（n，n）（n为正整数）， 当n＝506时， 4n﹣1＝2025， 即点A2025的坐标为（506，506）， 所以点A2024的坐标为（506，﹣505）． 即n的值为2024． 故答案为：2024． 【点睛】本题考查点的坐标变化规律，能根据所给点的运动方式发现点A4n﹣1的坐标可表示为（n，n）（n为正整数）是解题的关键． 9．（2024春•盐山县期末）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（0，2），B（﹣2，0），C（4，0）． （1）如图1，三角形ABC的面积为 　6　 ； （2）如图2，将点B向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点D． ①直接写出点D的坐标； ②求三角形ACD的面积． 【分析】（1）根据题意得出OA＝2，OB＝2，OC＝4，然后根据三角形面积公式直接计算即可； （2）①由平移的性质可得点D坐标；②连接OD，过点D作DE⊥y轴于点E，DF⊥x轴于点F，根据S△ACD＝S△AOD+S△COD﹣S△AOC，求解即可． 【解答】解：（1）∵A（0，2），B（﹣2，0），C（4，0）， ∴OA＝2，OB＝2，OC＝4， ∴BC＝6， ∴． 故答案为：6． （2）①∵B（﹣2，0），将点B向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点D， ∴D（5，4）； ②如图，连接OD，过点D作DE⊥y轴于点E，DF⊥x轴于点F， ∵D（5，4）， ∴DE＝5，DF＝4， S△ACD＝S△AOD+S△COD﹣S△AOC ＝9． 【点睛】本题考查了坐标与图形、点的平移等知识，掌握运用数形结合的思想分析解决问题是解题关键． 10．（2024春•中山区期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A（﹣3，3），B（﹣4，﹣1），C（1，﹣2），在坐标平面内，将△ABC平移，点A的对应点为点D，点B的对应点为点E，点C的对应点为点F． （1）将△ABC向左平移2个单位，再向上平移3个单位，则点D的坐标为 　（﹣5，6）　 ； （2）若平移后D，E两点都在坐标轴上，则点F的坐标为 　（4，﹣1）或（5，﹣5）　 ； （3）若在△ABC内部存在一点P，点P的坐标为（﹣3，y）（y＞0），在（2）的平移下，点P的对应点为点Q，使得△BPQ的面积为5，求点P的坐标． 【分析】（1）根据平移的性质可得答案． （2）当△ABC向右平移3个单位长度，向上平移1个单位长度时，满足平移后D，E两点都在坐标轴上，即可得点F的坐标；当△ABC向右平移4个单位长度，向下平移3个单位长度时，满足平移后D，E两点都在坐标轴上，即可得点F的坐标． （3）由（2）可知，有两种平移方式，结合平移的性质以及割补法求三角形的面积分别列方程计算即可． 【解答】解：（1）由题意得，点D的横坐标为﹣5，纵坐标为6， ∴点D的坐标为（﹣5，6）． 故答案为：（﹣5，6）． （2）当△ABC向右平移3个单位长度，向上平移1个单位长度得到△D'E'F'， 此时，点D'，E'两点都在坐标轴上，点F'的坐标为（4，﹣1）； 当△ABC向右平移4个单位长度，向下平移3个单位长度得到△D''E''F''， 此时，点D''，E''两点都在坐标轴上，点F''的坐标为（5，﹣5）． 综上所述，点F的坐标为（4，﹣1）或（5，﹣5）． 故答案为：（4，﹣1）或（5，﹣5）． （3）若平移方式为：向右平移3个单位长度，向上平移1个单位长度， 则点Q（0，y+1）． 如图所示， 则S△BPQ＝S△BPM+S△PQM﹣S△BQM， ∴5， 解得y， ∴点P坐标为（﹣3，）， 满足点P在△ABC内部． 若平移方式为：向右平移4个单位长度，向下平移3个单位长度， 则点Q（1，y﹣3）． 如图所示， 则S△BPQ＝S梯形BQHG﹣S△BGP﹣S△PHQ， ∴5， 解得y， ∴点P坐标为（﹣3，）， 满足点P在△ABC内部． 综上所述，点P的坐标为（﹣3，）或（﹣3，）． 【点睛】本题考查作图﹣平移变换、三角形的面积，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3 第9章平面直角坐标系微专题及专题提优集训 第一部分 目录预览 微专题1 平面直角坐标系中点的坐标特征 类型一 象限内点的坐标特征 类型二 坐标轴上点的坐标特征 类型三 象限角平分线上点的坐标特征 类型四 与坐标轴平行的直线上的点的坐标特征 微专题2 点的坐标与分类讨论思想 微专题3 平面直角坐标系中的图形的面积 类型一 割补法求不规则图形的面积 类型二 由图形面积求点的坐标 第二部分 典例精析及针对训练 微专题1 平面直角坐标系中点的坐标特征 类型一 象限内点的坐标特征 【典例】在平面直角坐标系中，已知点M（1﹣2m，﹣m）． （1）若点M在y轴上，求m的值； （2）若点M在第一、三象限的角平分线上，求m的值； （3）若点M在第三象限，且到两坐标轴的距离和为8，请确定点M的坐标．★方法归纳 四个象限的符号特点分别是： 第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限 （+，﹣）． 据此可判断参数的取值范围或点在哪个象限中 【针对训练】 1．（2024春•南开区期末）在平面直角坐标系中，若点P（3﹣m，14﹣3m）在第二象限，则整数m的值为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 2．（2025春•路南区期中）已知a﹣b＝1，则在平面直角坐标系中，点P（a，b）不可能出现在第 　 　 象限． 3．在平面直角坐标系中，点P[m（m+1），m﹣1]（m为实数）不可能在第　 　 象限． 4．（2025•阳春市一模）在平面直角坐标系中，点P（a2+1，﹣1）位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 类型二 坐标轴上点的坐标特征 【典例2】（2024秋•抚州期末）已知点P（m+3，m﹣2）． （1）若点P在x轴上，求点P的坐标； （2）若点P在过点A（﹣2，﹣3）且与y轴平行的直线上，求点P的坐标．★方法归纳 坐标轴上点的坐标特征 （1） x轴上的点的综坐标为0，y轴上的点的综坐标为0 （2） 当点在坐标轴上时，注意分类讨论，两种情况均要考虑到 【针对训练】 1．（2024春•尧都区期中）若A（2m﹣1，m+2）是x轴上一点，则m的值为（　　） A．2 B．﹣2 C． D． 2．（2024春•银川期中）已知：点A（a﹣3，2b﹣1）在y轴上，点B（3a+2，b+5）在x轴上，则点C（a，b）向右平移3个单位，再向下平移2个单位后的坐标为 　 　 ． 3．（2025春•萍乡期末）将点P（m+2，2m﹣3）向下平移1个单位，向左平移3个单位得到点Q，点Q恰好落在y轴上，则点Q的坐标是 　 　 ． 4．（2024春•源汇区期中）A，B两点的坐标分别为（2，4），（6，0），点P是x轴上一点，且三角形ABP的面积为8，则点P的坐标为 　 　 ． 类型三 象限角平分线上点的坐标特征 【典例3】（2024秋•长清区期中）（1）若点（2a+3，a﹣3）在第一、三象限的角平分线上，求a的值； （2）已知点P的坐标为（4﹣a，3a+6），且点P到两坐标轴的距离相等，求点P的坐标．★方法归纳 象限角平分线上点的坐标特征 （1）象限角平分线上点的横、纵坐标的绝对值相等； （2）第一、三象限的角平分线上各点的横纵坐标相等； （3）第二、四象限的角平分线上个点的横纵坐标互为相反数 【针对训练】 1．已知点P（3a+1，﹣2a﹣3）在第二、四象限的角平分线上，则点P的坐标是　 　 ． 2．（2025春•栾城区期中）若点M（x，y）的坐标满足x+y＝0，则点M位于（　　） A．第二象限 B．第一、三象限的夹角平分线上 C．第四象限 D．第二、四象限的夹角平分线上 3．（2025春•花垣县期中）已知点P、Q的坐标分别为（2m﹣5，m﹣1）、（n+2，2n﹣1），若点P在第二、四象限的角平分线上，点Q在第一、三象限的角平分线上，则mn的值为　 　 ． 4．（2025春•青秀区期末）如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，…都在x轴上，点B1，B2，B3，…都在第一象限角平分线上，△B1A1A2，△B2A2A3，△B3A3A4，…都是等腰直角三角形，且OA1＝1，则点B2025的坐标是（　　） A．（22024，22024） B．（22024，22024） C．（22025，22025） D．（22024，22024） 类型四 与坐标轴平行的直线上的点的坐标特征 【典例4】（2025春•青云谱区期中）已知点P（a﹣1，﹣2），Q（﹣3，b+1），分别根据下列要求确定a，b的值．★方法归纳 （1） 平行于x轴的直线上的点所有点的纵坐标相同。 （2） 平行于y轴的直线上的所有点的横坐标相同。 （3） 注意根据平行求点的坐标时，要排除两个点重合的特殊情况。 （1）直线PQ∥x轴． （2）P，Q两点在第二、第四象限的角平分线上． 【针对训练】 1．（2025春•澧县期末）已知点P的坐标为（2x，x+3），点M的坐标为（x﹣1，2x），PM平行于y轴，则线段PM的长 　4　 ． 2．（2025春•洛宁县期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是矩形，AB＝4，AD＝6，AB∥x轴．已知点A（﹣2，﹣2），则点C的坐标是（　　） A．（2，4） B．（4，2） C．（3，4） D．（2，3） 3．（2024•鼓楼区模拟）如图，已知点A（1，0），B（4，m），若将线段AB平移至CD，其中点C（﹣2，1），D（a，n），则m﹣n的值为 　 ． 4．（2025春•济源期中）已知A（1，﹣2）、B（﹣1，2）、E（2，a）、F（b，3），若将线段AB平移至EF，点A、E为对应点，则a+b的值为　 　 ． 5．（2024春•珲春市期中）在平面直角坐标系中，过A（0，4）的直线a垂直于y轴，点M（9，4）为直线a上一点，若点P从点M出发，以每秒2cm的速度沿直线a向左移动，点Q从原点同时出发，以每秒1cm的速度沿x轴向右移动． （1）几秒后PQ平行于y轴？ （2）在点P、Q两点运动的过程中，若线段OQ＝2AP，求点P的坐标． 微专题2 点的坐标与分类讨论思想 【典例】（2024春•罗庄区期中）已知M（3|a|﹣9，4﹣2a）在y轴负半轴上，直线MN∥x轴，且线段MN长度为4．★方法归纳 （1） 点P（x，y）到x轴的距离是|y|,到y轴的距离是|x|; （2） 平行于x轴上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2）的距离为|x1－x2| （3） 平行于y轴上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2）的距离为|y1－y2| （4） 通过距离，绝对值，长度，面积等条件或其他动态问题确定点的坐标时，要注意结合图像判断是否有多个位置。能够满足题意，若有则需要分类讨论求解。 （1）求点M的坐标； （2）求（2﹣a）2024+1的值； （3）求N点坐标． 【针对训练】 1．（2025春•兰山区期中）在平面直角坐标系中，第二象限内的点P到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，已知线段PQ∥x轴且PQ＝5，则点Q的坐标是（　　） A．（﹣3，7）或（﹣3，﹣3） B．（2，2）或（﹣8，2） C．（﹣3，3）或（﹣7，3） D．（﹣2，8）或（﹣2，﹣2） 2．（2024春•云梦县期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，1），将线段AB平移，使其一个端点到C（3，2），则平移后另一端点的坐标为（　　） A．（1，3） B．（5，1） C．（1，3）或（3，5） D．（1，3）或（5，1） 3．（2024春•海淀区月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣1，0），B（﹣3，﹣3），若BC∥OA，且BC＝4OA，直接写出点C的坐标 　 ． 4．（2024春•涧西区期中）已知一平面直角坐标系内有点A（﹣4，3），点B（1，3），点C（﹣2，5），若在该坐标系内存在一点D，使CD∥y轴，且S△ABD＝10，点D的坐标为　 　 ． 5．（2025春•怀仁市期中）已知平面直角坐标系中有一点M（2m﹣1，m﹣3）． （1）当点M在y轴上时，求m的值； （2）当点M在第四象限且到x轴的距离为2时，求点M的坐标． 6．（2025春•天门期末）如图，在长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，点A坐标为（a，0），点C的坐标为（0，b），且a、b满足|b﹣6|＝0，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O→A→B→C→O的线路移动 （1）求点B的坐标． （2）当点P移动4秒时，请求出点P的坐标． （3）当点P移动到距离x轴5个单位长度时，求点P移动的时间． 微专题3 平面直角坐标系中的图形的面积 类型一 割补法求不规则图形的面积 【典例1】（2020春•香洲区期末）如图，已知在平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别为A（0，0），B（9，0），C（7，4），D（2，8），求四边形ABCD的面积．★方法归纳 割补法 当在坐标系中遇到不规则图形求面积或者所给图形无法直接利用面积公式时，可用割补法 （1） 割：即先将图形分别构成三角形，平行四边形或者梯形等，然后用公式计算出各部分的面积，最后求面积之和。 （2） 补：即先将图形用一个最小的长方形框起来，然后用长方形的面积减去其余各部分的面积。 【针对训练】 1．（2025春•平顶山期末）如图，点A、B的坐标分别是为（﹣3，1），（﹣1，﹣2），若将线段AB平移至A1B1的位置，A1与B1坐标分别是（m，4）和（3，n），则线段AB在平移过程中扫过的图形面积为（　　） A．18 B．20 C．28 D．36 第1题 第2题 第3题 2．如图，在直角坐标系中，A（﹣1，2），B（3，﹣2），则△AOB的面积为　 　 ． 3．（2024•平泉市期末）如图，两个形状、大小完全相同的直角三角形叠放在一起，将直角三角形ABC沿着x轴正方向平移到直角三角形DEF的位置．已知点A（1，5），点B（1，1），DG＝1，平移距离为2． （1）点G的坐标为 　 　 ；（2）阴影部分的面积S＝　 　 ． 4．（2025春•江津区期末）如图，在平面直角坐标系中，AB∥CD∥x轴，BC∥DE∥y轴，且AB＝CD＝3，OA＝4，DE＝2，动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿A→B→C路线向点C运动；动点Q从点O出发，以每秒2个单位长度速度，沿路线O→E→D向点D运动．若P，Q两点同时出发，其中一点到达终点时，两点都停止运动． （1）直接写出B，C，D三个点的坐标； （2）当P，Q两点出发2s时，求三角形OPQ的面积； （3）设P，Q两点运动的时间为ts，当三角形OPQ的面积为6时，求t的值． 类型二 由图形面积求点的坐标 【典例】（2025春•滑县期末）平面直角坐标系中，O为原点，点A（0，2），B（﹣1，0），C（2，0）． （1）如图①，三角形ABC的面积为　 ； （2）如图②，将点B向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到对应点D． ①点D的坐标　 　 ；按照这样的平移方式，直接写出A、C平移后对应点E、F的坐标分别为　 　 、　 　 ； ②点P（0，m）是一动点，若三角形PAD的面积等于三角形ABC的面积，直接写出点P坐标． ★方法归纳 （1） 不规则图形计算面，割补方式有多种。要灵活选择，如围成长方形或梯形，或将某个图形用两种不同的方法分割建立等量关系。 （2） 在动态问题中，已知面积求点的坐标时，一般可利用方程思想。即用未知数表示出面积，进而得到方程，同时注意是否需要分类讨论。 【针对训练】 1．（2025春•蕲春县期末）如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点B（0，9），线段AB向右平移3个单位至线段CD，线段CD与y轴交于点E，若图中阴影部分面积是21，则点C的坐标为 　 　 ． 2．（2025春•赣县区期末）已知平面直角坐标系下，点A，C的坐标为A（1，﹣2），C（3，0），点B在坐标轴上．若△ABC的面积为3，则点B的坐标为 　 ． 3．（2025春•玉林期中）如图，A（﹣2，0）、B（0，3）、C（2，4）、D（3，0），点P在x轴上，直线CP将四边形ABCD的面积分成1：2两部分，则点P坐标为 　 　 ． 第三部分 专题提优集训 1．（2025春•浉河区期末）下列说法不正确的是（　　） A．点A（﹣a2﹣1，|b|+1）一定在第二象限 B．点P（﹣2，3）到y轴的距离为2 C．若P（x，y）中xy＝0，则P点在x轴上 D．若x+y＝0，则点P（x，y）一定在第二、第四象限角平分线上 2．（2017秋•邗江区期末）如图，A，B的坐标分别为（2，0），（0，1），将线段AB平移至A1B1，连接BB1，AA1，则四边形ABB1A1的面积为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（2024春•陵城区期中）已知点A（﹣1，1），B（﹣1，﹣2），C（3，﹣2），D（3，1）在平面直角坐标系中的位置如图所示，一只瓢虫从点A出发以每秒2个单位长度的速度沿A→B→C→D→A循环爬行，第2025秒瓢虫所在点的坐标为 　 　 ． 4．（2024春•兰陵县期中）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是（﹣2，﹣1），若AB∥y轴，且AB＝9，则点B的坐标是 　 　 ． 5．（2025•高青县一模）已知点A（﹣2，3）和点B是坐标平面内的两个点，它们关于直线x＝1对称，则B的坐标为 　（ 　 ． 6．（2024春•沾化区期中）平面直角坐标系中，A（2，1），B（4，1），将线段AB平移，使得AB的中点落在对应点（﹣1，﹣2）的位置，则点A的对应点的坐标为 　 　 ． 7．如图所示，在平面直角坐标系中，A1（2，0），B1（0，1），A1B1的中点为C1；A2（0，3），B2（﹣2，0），A2B2的中点为C2；A3（﹣4，0），B3（0，﹣3），A3B3的中点为C3；A4（0，﹣5），B4（4，0），A4B4的中点为C4；…；按此作法进行下去，则点C2026的坐标为 　 ． 8．（2024•台儿庄区一模）在直角坐标系中，点A1从原点出发，沿如图所示的方向运动，到达位置的坐标依次为：A2（1，0），A3（1，1），A4（﹣1，1），A5（﹣1，﹣1），A6（2，﹣1），A7（2，2），…．若到达终点An（506，﹣505），则n的值为 　 ． 9．（2024春•盐山县期末）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（0，2），B（﹣2，0），C（4，0）． （1）如图1，三角形ABC的面积为 　 ； （2）如图2，将点B向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点D． ①直接写出点D的坐标； ②求三角形ACD的面积． 10．（2024春•中山区期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A（﹣3，3），B（﹣4，﹣1），C（1，﹣2），在坐标平面内，将△ABC平移，点A的对应点为点D，点B的对应点为点E，点C的对应点为点F． （1）将△ABC向左平移2个单位，再向上平移3个单位，则点D的坐标为 　 ； （2）若平移后D，E两点都在坐标轴上，则点F的坐标为 　 　 ； （3）若在△ABC内部存在一点P，点P的坐标为（﹣3，y）（y＞0），在（2）的平移下，点P的对应点为点Q，使得△BPQ的面积为5，求点P的坐标． 1 学科网（北京）股份有限公司 $