专题2 第8章实数中的微专题及专题培优集训 2025-2026学年人教版七年级数学下册重难点压轴题专题及单元期中期末试卷

专题2 第8章实数中的微专题及专题培优集训 第一部分 目录预览（☆为高频考点） 微专题1 平方根、算术平方根、立方根的应用 类型一 非负性的应用 类型二 平方根与立方根的综合运用（☆） 类型三 无理数的估算 类型四 实数与数轴（☆） 微专题2 实数的运算（☆） 微专题3 与实数有关的规律探究题 类型一 数字规律题 类型二 数是规律题 第二部分 典例精析及针对训练 微专题1 平方根、算术平方根、立方根的应用 类型一 非负性的应用 【典例】（2024春•河北区期中）已知实数a，b，c满足|a+6|（c﹣3）2＝0，求的值． 【分析】首先利用非负数的性质求得a、b、c，进一步代入求得数值即可． 【解答】解：∵|a+6|（c﹣3）2＝0，★方法归纳 如果几个非负数的和为0，那么这几个非负数都必为0，根据非负数的这一性质列出方程，进而求得未知数的值 ∴a+6＝0，b﹣2＝0，c﹣3＝0， ∴a＝﹣6，b＝2，c＝3， ∴ ＝6． 即的值是6． 【点睛】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0． 【针对训练】 1．（2025春•清原县期末）若x，y为实数，且（x﹣1）2与互为相反数，则x2+y2的平方根为（　　） A． B． C．±5 D． 【分析】直接利用非负数的性质得出x，y的值，进而利用平方根的定义得出答案． 【解答】解：∵（x﹣1）2与互为相反数， ∴（x﹣1）20， ∴x﹣1＝0，3y﹣6＝0， 解得：x＝1，y＝2， 则x2+y2＝12+22＝5， 故x2+y2的平方根为：±． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了非负数的性质以及平方根的定义，正确得出x，y的值是解题关键． 2．（2025春•朔州期末）已知：，那么（a+b）2025的值为 　﹣1　 ． 【分析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解 【解答】解：由题意得，a+2＝0，b﹣1＝0， 解得a＝﹣2，b＝1， 所以（a+b）2025＝（﹣2+1）2025＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点睛】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0． 3．（2025•曹县一模）若|a﹣1|+（b﹣3）2＝0，则的值为 　2　 ． 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【解答】解：∵|a﹣1|+（b﹣3）2＝0， ∴a﹣1＝0，b﹣3＝0， ∴a＝1，b＝3， ∴2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解 4．（2025•成都开学）已知，求m+n的平方根． 【分析】先利用二次根式有意义的条件，得出m≥4，再利用不等式的性质得出7﹣3m的符号，将化为，利用绝对值非负性，利用算术平方根的非负性解题，求得m，n的值，再代入m+n求出值后求平方根． 【解答】解：由题意可得：m﹣4≥0，解得：m≥4， ∴3m≥12， ∴﹣3m≤﹣12， ∴7﹣3m≤7﹣12＝﹣5， ∴7﹣3m≤0， ∴， ∴， ∴5﹣n＝0，m﹣4＝0，解得：n＝5，m＝4， ∴m+n＝5+4＝9， ∴m+n的平方根为±3． 【点睛】本题考查了绝对值非负性，二次根式有意义的条件，利用算术平方根的非负性解题，求一个数的平方根，已知字母的值求代数式的值，不等式的性质，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 题的关键． 类型二 平方根与立方根的综合运用 【典例】（2024秋•思明区期中）如果2a﹣1的算术平方根是3，3a+b﹣9的立方根是2，解下列关于x的方程：（a+2）x+b2＝a﹣1． 【分析】根据平方根和立方根的定义列出关于a、b的方程组，解之求得a、b的值，再代入方程，解方程可得．★方法归纳 正数有两个平方根，且互为相反数，有一个立方根，负数没有平方根，有一个立方根，当题目中出现平方根，又出现立方根时，一定要正确使用平方根，立方根的定义和性质，不要混淆 【解答】解：依题意得：， 解得：， ∴关于x的方程为：7a+4＝5﹣1， 解得：x＝0． 【点睛】本题主要考查平方根、立方根，解题的关键是熟练掌握平方根、立方根的定义及解方程的能力． 【针对训练】 1．（2024秋•新都区期中）已知实数a满足a0，那么|a﹣1|+|a+1|＝　2　 ． 【分析】根据a为非负数和负数两种情况判断a可能的值，进而代入所给代数式计算即可． 【解答】解：由条件知a+|a|+a＝0， 即2a+|a|＝0， 当a≥0时，2a+a＝0，∴a＝0； 当a＜0时，2a﹣a＝0，得a＝0，矛盾． 综上知a＝0， 于是得|a﹣1|+|a+1|＝2． 故答案为2． 【点睛】本题考查了平方根，立方根及绝对值的计算；分类探讨出a的值是解决本题的难点． 2．（2025秋•武侯区期中）已知x，y都是实数，且，则x+3y的立方根为　3　 ． 【分析】由题意知，x﹣3≥0，3﹣x≥0，可求x＝3，则y＝8，再计算x+3y，然后根据立方根的定义求解即可． 【解答】解：由题意知， 解得x＝3， ∴y＝8， ∴x+3y＝3+3×8＝27， ∵27的立方根是3， ∴x+3y的立方根为3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，立方根．熟练掌握二次根式有意义的条件，立方根是解题的关键． 3．（2025春•金安区期中）已知：2a﹣7和a+1是某正数的两个不相等的平方根，b﹣10的立方根为﹣2． （1）求a、b的值； （2）求a+b的算术平方根． 【分析】（1）根据平方根与立方根的定义即可求出答案．根据2a﹣7和a+1是某正数的两个不相等的平方根，可得2a﹣7和a+1互为相反数，其和为0；由b﹣10的立方根为﹣2得b﹣10＝﹣8． （2）根据第一问求出的值代入得a+b＝4，再由算术平方根的定义求出答案． 【解答】解：（1）由题意2a﹣7和a+1是某正数的两个不相等的平方根可得， （2a﹣7）+（a+1）＝0， ∴3a﹣6＝0， ∴a＝2， 由于b﹣10的立方根为﹣2， ∴b﹣10＝（﹣2）3＝﹣8， ∴b＝2； （2）由（1）可得a＝2，b＝2， ∴a+b＝4， ∴． 【点睛】本题考查平方根与立方根，解题的关键是熟练掌握平方根与立方根的定义，本题的易错点在于平方根和算出平方根的区分． 4．（1）已知：x﹣2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，求x2+y2的平方根； （2）已知一个正数的平方根是3a+1和a+11，求这个数的立方根； （3）|2|； （4）比较与的大小． 【分析】（1）根据题意，列关于x和y的二元一次方程组并求解，再将解代入x2+y2，求其平方根即可； （2）根据一个正数的平方根互为相反数，求得a值，从而求出这个正数，进而求出其立方根； （3）先求算术平方根、去绝对值符号、求立方根，再合并同类项即可； （4）根据34进行比较． 【解答】解：（1）根据题意，得，解得． ∴x2+y2＝62+82＝100， ∴x2+y2的平方根是±10． （2）根据题意，得3a+1+a+11＝0，解得a＝﹣3． ∴3a+1＝﹣3×3+1＝﹣8，a+11＝﹣3+11＝8， ∴这个正数是64，它的立方根是4． （3）|2| ＝5﹣（2）﹣（﹣3） ＝6． （4）∵34， ∴0， ∴． 【点睛】本题考查平方根、立方根、实数的运算及比较大小，熟练掌握并灵活运用它们是本题的关键． 5．（2024秋•永修县期末）已知是m+3的算术平方根，N是n﹣2的立方根，求：M﹣N的值的平方根． 【分析】根据算术平方根及立方根的定义，求出m、n的值，进一步得到M、N的值，代入可得出M﹣N的平方根． 【解答】解：∵M是m+3的算术平方根， ∴m﹣4＝2， ∴m＝6， 则：， ∵N是n﹣2的立方根， ∴2m﹣4n+3＝3， 解得：n＝3， ∴N1， ∴， 即M﹣N的值的平方根为． 【点睛】此题考查了立方根、平方根及算术平方根的定义，求出m、n的值是解答本题的关键． 类型三 无理数的估算 【典例3】（2025春•崇川区月考）（1）已知a是的整数部分，b是它的小数部分，求（﹣a）3+（b+3）2的值． （2）已知m、n都是有理数，且，求m+n的平方根． 【分析】（1）先估算出的值的范围，从而求出a，b的值，然后把a，b的值代入式子中进行计算，即可解答； （2）根据已知可得m﹣m+2n3，从而可得m＝1，﹣m+2n＝3，进而求出m，n的值，然后把m，n的值代入式子中进行计算，即可解答．★方法归纳 利用夹逼思想求出无理方程的整数部分，利用求差思想求出无理数的小数部分 【解答】解：（1）∵9＜10＜16， ∴34， ∴的整数部分是3，小数部分是3， ∴a＝3，b3， ∴（﹣a）3+（b+3）2 ＝（﹣3）3+（3+3）2 ＝﹣27+10 ＝﹣17， ∴（﹣a）3+（b+3）2的值为﹣17； （2）∵， ∴m﹣m+2n3， ∵m、n都是有理数， ∴m＝1，﹣m+2n＝3， ∴n＝2， ∴m+n＝1+2＝3， ∴m+n的平方根是±． 【点睛】本题考查了估算无理数的大小，实数的运算，平方根，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【针对训练】 1．（2025•南通）如图，数轴上A，B，C，D，E五个点分别表示数1，2，3，4，5，则表示数 的点应在（　　） A．线段AB上 B．线段BC上 C．线段CD上 D．线段DE上 【分析】根据算术平方根的定义，估算无理数的大小，再根据数轴上A，B，C，D，E五个点在数轴上的位置进行判断即可． 【解答】解：∵34，而数轴上A，B，C，D，E五个点分别表示数1，2，3，4，5， ∴表示数 的点应在线段CD上， 故选：C． 【点睛】本题考查估算无理数的大小，实数与数轴，掌握算术平方根的定义以及数轴表示数的方法是正确解答的前提． 2．（2024•绵阳）正整数a、b分别满足a、b，则ba＝（　　） A．4 B．8 C．9 D．16 【分析】根据a、b的取值范围，先确定a、b，再计算ba． 【解答】解：∵，， ∴a＝4，b＝2． ∴24＝16． 故选：D． 【点睛】本题考查了无理数的估值，掌握立方根、平方根的意义，并能根据a、b的取值范围确定a、b的值是解决本题的关键． 3．（2024春•铜官区期中）阅读理解： ∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为， ∴，∴的整数部分为1，的小数部分为． 解决问题：已知a是的整数部分，b是的小数部分． （1）求a，b的值； （2）求（﹣a）3+（b+4）2的值． 【分析】（1）直接运用夹逼法求出a，b的值既可； （2）把a，b的值代入计算即可得到答案． 【解答】解：（1）∵16＜17＜25， ∴， ∴，即， ∴， （2）当时， （﹣a）3+（b+4）2 ＝﹣1+17 ＝16． 【点睛】本题主要考查无理数的估算以及实数的混合运算，解题的关键是正确运算． 类型四 实数与数轴（☆） 【典例4】（2024秋•成都月考）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬行2个单位长度到达点B，点A表示的数n为﹣1.2，点B所表示的数为m． （1）求的值； （2）对﹣2（mn﹣3m2）﹣[m2﹣5（mn﹣m2）+2mn]化简，再求值． 【分析】（1）根据蚂蚁从点A沿数轴向右爬行2个单位长度到达点B，点A表示的数n为﹣1.2，得点B所表示的数为m＝﹣1.2+2＝0.8，代入化简后的式子计算即可； （2）先去括号，再合并同类项，然后把m、n的值代入化简后的代数式计算即可． 【解答】解：（1）∵A表示的数n为﹣1.2，★方法归纳 利用数轴化简含平方根、立方根的式子的步骤 （1） 先化简根号 （2） 再利用数轴判定绝对值的符号，进而化简 ∴点B所表示的数为m＝﹣1.2+2＝0.8， ∴原式＝1﹣m+3﹣m﹣m+n ＝﹣3m+n+4 ＝﹣3×0.8﹣1.2+4 ＝0.4； （2）原式＝﹣2mn+6m2﹣m2+5mn﹣5m2﹣2mn ＝mn， 当m＝﹣1.2，n＝0.8时， 原式＝﹣1.2×0.8＝﹣0.96． 【点睛】此题考查了实数与数轴，二次根式的性质与化简，熟练掌握去括号法则与合并同类项法则是解本题的关键． 【针对训练】 1．（2025春•商城县期末）如图，数轴上，AB＝AC，A、B两点对应的实数分别是和﹣1，则点C所对应的实数是（　　） A． B． C． D． 【分析】求出AB的距离，再求出点C所表示的数． 【解答】解：设点C所表示的数是m， ∵数轴上，A、B两点对应的实数分别是和﹣1， ∴， ∵AB＝AC，点A表示的实数是，点C在点A的右侧， ∴， ∴． ∴点C所对应的实数是． 故选：B． 【点睛】本题考查用数轴上的点表示实数及数轴上两点间的距离．掌握数轴上两点间的距离是解题的关键． 2．（2025春•赛罕区月考）如图，a，b，c是数轴上A、B、C对应的实数，化简结果是（　　） A．2a+b B．﹣2a﹣c C．﹣b﹣a﹣c D．﹣3b﹣a+c 【分析】由数轴可得b＜a＜0＜c，则a+b＜0，b﹣c＜0，利用算术平方根及立方根的定义，绝对值的性质化简并计算即可． 【解答】解：由数轴可得b＜a＜0＜c， 则a+b＜0，b﹣c＜0， 原式＝﹣b﹣（a+b）﹣（c﹣b） ＝﹣b﹣a﹣b﹣c+b ＝﹣b﹣a﹣c， 故选：C． 【点睛】本题考查实数的运算，立方根，实数与数轴，熟练掌握相关运算法则及性质是解题的关键． 微专题2 实数的运算（☆） 【典例】（2024春•柘城县期中）计算： （1）（﹣1）2024+（﹣2）3； （2）． 【分析】（1）利用有理数的乘方法则，立方根的意义和算术平方根的意义解答即可； （2）利用立方根的意义和算术平方根的意义，绝对值的意义和二次根式的性质化简计算即可． 【解答】解：（1）原式＝1+（﹣8）（﹣3）×（）★方法归纳 先算乘方开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，先算括号内的，同级运算，按照从左到右的顺序进行，能用运算律的，可用运算律简化运算。 ＝1﹣1﹣1 ＝﹣1； （2）原式＝﹣22+4 ＝﹣22+4 ． 【点睛】本题主要考查了实数的运算，有理数的乘方法则，立方根的意义和算术平方根的意义以及二次根式的性质和绝对值的意义，确定正确的运算顺序和运算符号是解题的关键． 【针对训练】 1．（2025秋•原阳县期中）（1）计算：； （2）计算：； （3）求x值；4x2﹣16＝0； （4）求x值：27（x﹣3）3+64＝0． 【分析】（1）先求算术平方根和立方根，然后再进行加减计算即可； （2）先计算平方，根式，绝对值，再进行加减计算即可； （3）利用平方根的定义解方程即可； （4）利用立方根定义解方程即可． 【解答】解：（1）； （2）原式； （3）原方程移项可得：4x2＝16， 则x2＝4， 即x1＝2，x2＝﹣2； （4）原方程移项可得：27（x﹣3）3＝﹣64， 则， 那么， 即． 【点睛】本题考查利用平方根，立方根，绝对值，以及利用平方根和立方根解方程，熟练掌握基础运算是解题关键． 微专题3 与实数有关的规律探究题 类型一 数字规律题 【典例1】（2024春•无棣县期末）例、下面是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，应该在第 　45　 行． 【分析】由各行数的个数，可得出前n行共n2个数，结合是第2024个数，且2024＝442+88，即可得出应该在第45行． 【解答】解：∵第1行1个数，第2行3个数，第3行5个数，…，★方法归纳 数阵规律中探究某个数位置的方法 （1） 分析数阵中每行每列的个数 （2） 观察相邻数据的变化特点 （3） 看数据具有什么特征（平方数，倍数，立方根等） ∴第n行2n﹣1个数， ∴前n行共1+3+5+…+2n﹣1＝n2个数． ∵是第2024个数，2024＝442+88， ∴应该在第44+1＝45（行）． 故答案为：45． 【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，根据每行数的个数之间的关系，找出前n行共n2个数是解题的关键． 【针对训练】 1．（2025秋•道里区月考）在，π，，0.10010001，，，，中，有理数的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】先化简各数，然后根据有理数的定义一一判断即可． 【解答】解：，， 有理数有：，，0.10010001，，共4个， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了实数，熟练掌握素数的分类和性质是解题的关键． 2．（2024春•夏邑县期中）已知按照一定规律排成的一列实数：﹣1，，，﹣2，，，，，，，…则按此规律可推得这一列数中的第2025个数应是（　　） A． B． C． D．2025 【分析】根据题目中的数字，可以发现数字的变化特点，从而可以得到这一列数中的第2025个数． 【解答】解：∵一列实数：﹣1，，，﹣2，，，，，，，…， ∴每三个数为一组，每组出现的特点一样，依次是这个数的算术平方根的相反数、算术平方根、立方根， ∵2025÷3＝674…1， ∴这一列数中的第2025个数应是， 故选：B． 【点睛】此题主要考查实数的规律探索，解题的关键是根据已知的式子发现规律求解． 3．（2024秋•三原县期中）观察分析下列数据：，，…，根据数据排列的规律，得到第28个数据应是　9　 ． 【分析】观察前面几个数可知，奇数项的符号为负，偶数项的符号为正，根号下的数为3乘以序号减1的结果，据此规律求解即可． 【解答】解：根据题意可知，第一个数为， 第二个数为， 第三个数为， 第四个数为， 第五个数为， ……， 以此类推，可知，第n个数为， ∴第28个数据应是． 故答案为：9． 【点睛】本题主要考查了与实数有关的规律探索，算术平方根，掌握数据排列的规律是关键． 4．（2024•瑶海区三模）将一组数，2，，，…，，按下列方式进行排列： ，2，，，； ，，4，，； … 若2的位置记为（1，2），的位置记为（2，4），则的位置可记为（　　） A．（6，2） B．（5，2） C．（3，4） D．（4，2） 【分析】根据该组数据每5个数1行，第n个数可表示为进行求解． 【解答】解：∵第1个数为， 第2个数为2， 第3个数为， 第4个数为2， ……， ∴第n个数可表示为， ∴3， ∴3是第27个数， ∵该组数据每5个数1行， ∴27÷5＝5……2， ∴3位于第6行第2个数， ∴的位置可记为（6，2）， 故选：A． 【点睛】此题考查了数字变化类规律问题的解决能力，关键是能准确理解题意，猜想、归纳出此题的规律． 5．（2024春•望花区月考）对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数， 例如：． （1）仿照以上方法计算：　2　 ；　5　 ． （2）若，写出满足题意的x的整数值 　1，2，3　 ． （3）如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止，探究连续求根整数的次数． 例如：对10连续求根整数2次，这时候结果为1． ①对200连续求根整数，多少次结果为1，请写出你的求解过程． ②只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，求满足条件的最大整数． 【分析】（1）根据题意得22＝4，52＝25，62＝36，则，再根据题干的规定即可解答； （2）根据，12＝1，22＝4，然后确定x的取值范围，最后确定x的整数值即可； （3）①由142＝196，152＝225可得第一次：；同理：第二次：；第三次：，即可解答；②由（2）得，进行1次求根整数运算后结果为1的正整数最大为3，进行1次求根整数运算后结果为3的正整数最大为15，则进行1次求根整数运算后结果为15的正整数最大为255即可解答． 【解答】解：（1）∵22＝4，52＝25，62＝36， ∴， ∴，， 故答案为：2，5． （2）∵，12＝1，22＝4， ∴1≤x＜4 ∴x＝1或x＝2或x＝3， 故答案为：1，2，3． （3）①∵142＝196，152＝225， ∴， ∴， 同理：第二次：， 第三次：， ∴第3次之后结果为1． ②由（2）得，进行1次求根整数运算后结果为1的正整数最大为3， ∵，， ∴进行1次求根整数运算后结果为3的正整数最大为15， ∵，， ∴进行1次求根整数运算后结果为15的正整数最大为255， ∴只对一个正整数进行3次连续求根整数运算后结果为1，则这个正整数最大值是255． 【点睛】本题主要考查了无理数的估算，理解题意并掌握无理数的估算是解题的关键． 类型二 数式规律题 【典例2】（2025春•芜湖期中）观察下列算式： ①；②；③；④；… （1）写出第⑥个等式 　7　 ； （2）猜想第n个等式 　n+1　 ；（用含n的式子表示） （3）计算：．★方法归纳 1+2+3+……+n= 【分析】（1）观察所给的等式，直接写出即可； （2）通过观察可得第n个等式为n+1； （3）利用（2）的规律，将所求的式子化为2+3+4+…+201，再运算即可． 【解答】解：（1）第⑥个等式为7， 故答案为：7； （2）第n个等式为n+1， 故答案为：n+1； （3）••• ＝2+3+4+…+201 ＝20300． 【点睛】本题考查了数字的变化规律，通过观察所给的等式，探索出等式的一般规律，并能灵活应用规律运算是解题的关键． 【针对训练】 1．（2025春•淮北月考）观察下列各式：，，4，… （1）你能发现上述式子有什么规律吗？请你将猜想到的规律用含n（n为正整数）的代数式表示出来，并运用你所发现的规律写出第10个式子； （2）请你验证所发现的规律． 【分析】（1）认真观察，可发现根号内第一个数和第二个数的分母相差为2，结果为第一个数和第二个数的分母和的一半与第二个数的算术平方根的积． （2）运用二次根式的性质进行化简即可． 【解答】解：（1）规律：， 第10个式子：； （2）证明： ． 【点睛】此题考查了二次根式的化简问题．注意认真观察题中式子的特点，找出其中的规律是解此题的关键． 2．（2025•大通区开学）先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③； （1）根据上面三个等式，请猜想的结果（直接写出结果）； （2）根据上述规律，解答问题： 设，求不超过m的最大整数是多少？ 【分析】（1）根据题干列举的等式，即可得出答案； （2）先总结规律可得，再利用规律进行计算即可． 【解答】解：（1）； （2）••• ， ∴不超过m的最大整数是2025． 【点睛】本题考查了实数的运算，实数大小比较，数字的变化类，掌握实数的运算法则是关键． 第三部分 专题提优集训 1．（2024秋•茂名月考）关于x的多项式7x3﹣11mx2﹣15x+9与多项式22x2﹣5nx﹣7相加后不含x的二次项和一次项，则﹣（mn+n）平方根为（　　） A．3 B．﹣3 C．±3 D． 【分析】先根据合并同类项法则进行运算，由相加后不含x的二次项和一次项，则二次项和一次项系数为0列方程可得m和n的值，代入所求式可解答． 【解答】解：7x3﹣11mx2﹣15x+9+22x2﹣5nx﹣7 ＝7x3+（22﹣11m）x2﹣（15+5n）x+2， ∵7x3﹣11mx2﹣15x+9与多项式22x2﹣5nx﹣7相加后不含x的二次项和一次项， ∴22﹣11m＝0，15+5n＝0， ∴m＝2，n＝﹣3， ∴﹣（mn+n）＝﹣（﹣3×2﹣3）＝9， ∵9的平方根是±3， ∴﹣（mn+n）平方根为±3． 故选：C． 【点睛】本题考查了平方根，整式的运算法则，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型． 2．（2025春•禹城市期中）已知m与n为两个连续的自然数，且满足，则m+n的值为（　　） A．1 B．3 C．5 D．7 【分析】根据无理数的估算可得：，，据此即可解答． 【解答】解：∵， ∴， ∴， ∴m＝0，n＝1， ∴m+n＝0+1＝1， 故选：A． 【点睛】本题考查了无理数的估算，绝对值，代数式求值问题，求得是解决本题的关键． 3．（2025秋•杭州期中）若（a﹣5）2+|b3﹣27|＝0，则a﹣b的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．5 D．8 【分析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，再代入进行计算即可求解． 【解答】解：根据题意得，a﹣5＝0，b3﹣27＝0， 解得a＝5，b＝3， ∴a﹣b＝5﹣3＝2． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了偶次方的非负数的性质，绝对值的非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键． 4．（2025春•东兰县期末）有一列数按如下规律排列：则第10个数是（　　） A． B． C． D． 【分析】将这列数据改写成：，，，，，，按照三步确定结果：一确定符号，二确定分子，三确定分母即可． 【解答】解：可写出： ，，，，，， ∴第10个数为， 故选：D． 【点睛】本题考查数字类变化规律，解题的关键是把已知的一列数变形，找到变化规律． 5．（2025春•当阳市期末）已知a，b是两个连续整数，若，则a+b的值为（　　） A．11 B．9 C．7 D．5 【分析】由于16＜17＜25，根据算术平方根的定义得到45，然后根据题意得到a＝4，b＝5，则a+b＝4+5＝9． 【解答】解：∵16＜17＜25， ∴45， ∵a、b是两个连续的自然数，且ab， ∴a＝4，b＝5， ∴a+b＝4+5＝9． 故选：B． 【点睛】本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．也考查了算术平方根． 6．（2025春•临洮县期中）命题：①实数和数轴上的点一一对应；②不带根号的数一定是有理数；③1的平方根与立方根都是1；④±5；⑤的算术平方根是9．其中真命题有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据实数、有理数、平方根和算术平方根进行判断解答即可． 【解答】解：①实数和数轴上的点一一对应，是真命题； ②不带根号的数不一定是有理数，如π，原命题是假命题； ③1的平方根是±1，1的立方根都是1，原命题是假命题； ④，原命题是假命题； ⑤的算术平方根是3，原命题是假命题； 故选：A． 【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 7．设[x]表示不大于x的最大整数，例如[3.15]＝3，[3.7]＝3，[3]＝3，则（　　） A．2000000 B．2001000 C．2002000 D．2003001 【分析】解答前首先理解[x]表示的含义，根据取整知识可知1，2，3，2000，把这些数进行求和即可． 【解答】解：∵[x]表示不大于x的最大整数， ∴1，2，3，2000， ∴ ＝1+2+3+…+2000 ＝2001000， 故选：B． 【点睛】本题主要考查取整函数的知识点，熟练掌握取整函数的性质与应用．注意x﹣1＜[x]≤x，[n+θ]＝n+[θ]（n是整数）的应用． 8．（2024春•广元期末）已知x，y两个实数在数轴上位置如图所示，则化简的结果是 　2y﹣2x ． 【分析】根据点在数轴上的位置，得到x＜y＜0，进而得到式子的符号，化简即可． 【解答】解：由数轴可知：x＜y＜0， ∴y﹣x＞0，x﹣y＜0， ∴； 故答案为：2y﹣2x． 【点睛】本题考查实数与数轴，二次根式的性质与化简，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 9．（2025春•昌平区期中）比较大小：（1）　＜　 3；（2）　＜　 2．（填“＞、＜、＝”） 【分析】（1）先确定介于哪两个相邻整数之间，然后比较大小即可； （2）先确定介于哪两个相邻整数之间，然后利用不等式的性质比较大小即可． 【解答】解：（1）∵23， ∴3． 故答案为：＜； （2）∵23， ∴12， ∴2． 故答案为：＜． 【点睛】本题考查了实数比较大小，能够确定无理数介于哪两个相邻整数之间是解题的关键． 10．计算题： （1） （2） （3） （4）比较大小：①　＜　 5；②　＜　 （5）若，求x+y+z的值． 【分析】（1）开方后求出即可； （2）把带分数化成假分数，再开方即可； （3）根据立方根、平方根求出每一部分的值，再代入进行计算就能求出答案； （4）求出的范围，再加上1，即可和5进行比较； （5）根据三个非负数的和为0，必须每个数都为0，就能得出三个一元一次方程，即可求出xyz的值． 【解答】解：（1）6﹣9＝﹣3； （2）±±±； （3）原式＝﹣3﹣00.5， ； （4）①34， ∴41＜5， ∴1＜5， ②∵， ∴， 故答案为：＜，＜． （5）|x﹣1|+（y﹣2）20， 即三个非负数的和为0，必须每个数都为0， x﹣1＝0，y＝2＝0，z﹣3＝0， ∴x＝1，y＝2，z＝3，∴x+y+z＝1+2+3＝6． 【点睛】本题考查了对平方根，立方根，二次根式的加减，非负数的性质，实数的运算和比较大小，二次根式的性质等知识点的运用，主要考查学生能否熟练地运用这些性质和法则进行计算． 11．（2024秋•灞桥区月考）求下列各式中的x的值： （1）5（x﹣1）2＝125． （2）（x+2）3+27＝0． 【分析】（1）由原式得（x﹣1）2＝25，利用平方根的定义求解可得； （2）由原式得（x+2）3＝﹣27，由立方根的定义可得． 【解答】解：（1）∵5（x﹣1）2＝125， ∴（x﹣1）2＝25， ∴x﹣1＝5或x﹣1＝﹣5， 解得x＝6或x＝﹣4； （2）∵（x+2）3+27＝0， ∴（x+2）3＝﹣27， ∴x+2＝﹣3， 解得x＝﹣5． 【点睛】本题主要考查平方根和立方根，如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根． 12．（2024春•章贡区期末）（1）用“＜”“＞”或“＝”填空： 　＜　 ， 　＜　 ； （2）由以上可知： ①|1|＝　1　 ， ②||＝　　 ． （3）计算：|1|+||+||+…+||．（结果保留根号） 【分析】（1）比较两个数的算术平方根，只需比较被开方数的大小，被开方数较大的大，由此即可求解； （2）根据负数的绝对值是它的相反数进行化简即可； （3）首先化简绝对值，发现抵消的规律，由此即可得到结果． 【解答】解：（1）∵1＜2，2＜3， ∴，； 故答案为：＜；＜； （2）∵10，0， ∴①|1|1； ②||； 故答案为：1；； （3）原式11． 【点睛】本题考查了算术平方根，绝对值和二次根式的加减，能正确去掉绝对值符号是解题的关键． 13．（2025秋•尤溪县期中）定义：对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“组合平方数”．例如：﹣1，﹣4，﹣9这三个数，，，，其结果2，3，6都是整数，所以﹣1，﹣4，﹣9这三个数称为“组合平方数”． （1）﹣4，﹣16，﹣25这三个数是“组合平方数”吗？请说明理由； （2）若三个数﹣3，m，﹣12是“组合平方数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求m的值； （3）写出一组含有﹣2的“组合平方数”　﹣2，﹣18，﹣72　 ． 【分析】（1）先分别求出这三个数两两乘积的算术平方根，然后根据已知条件中的新定义，进行判断即可； （2）根据两个数乘积的算术平方根为12，求出这两个数的乘积，列出关于m的方程，解之可得； （3）根据的定义，写出一组“组合平方数”． 【解答】解：（1）﹣4，﹣16，﹣25这三个数是“组合平方数”，理由如下： ∵，，，8，20，10都是整数， ∴﹣4，﹣16，﹣25这三个数是“组合平方数”； （2）∵三个数﹣3，m，﹣12是“组合平方数”， ∴或， ∴﹣3m＝144或﹣12m＝144， ∴m＝﹣48或﹣12（不合题意舍去）， ∴m＝﹣48； （3）一组含有﹣2的“组合平方数”为：﹣2，﹣18，﹣72， 故答案为：﹣2，﹣18，﹣72． 【点睛】本题主要考查了新定义，解题关键是能够熟练理解新定义的含义． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2 第8章实数中的微专题及专题培优集训 第一部分 目录预览（☆为高频考点） 微专题1 平方根、算术平方根、立方根的应用 类型一 非负性的应用 类型二 平方根与立方根的综合运用（☆） 类型三 无理数的估算 类型四 实数与数轴（☆） 微专题2 实数的运算（☆） 微专题3 与实数有关的规律探究题 类型一 数字规律题 类型二 数是规律题 第二部分 典例精析及针对训练 微专题1 平方根、算术平方根、立方根的应用 类型一 非负性的应用 【典例】（2024春•河北区期中）已知实数a，b，c满足|a+6|（c﹣3）2＝0，求的值． ★方法归纳 如果几个非负数的和为0，那么这几个非负数都必为0，根据非负数的这一性质列出方程，进而求得未知数的值 【针对训练】 1．（2025春•清原县期末）若x，y为实数，且（x﹣1）2与互为相反数，则x2+y2的平方根为（　　） A． B． C．±5 D． 2．（2025春•朔州期末）已知：，那么（a+b）2025的值为 　 ． 3．（2025•曹县一模）若|a﹣1|+（b﹣3）2＝0，则的值为 　 　 ． 4．（2025•成都开学）已知，求m+n的平方根． 类型二 平方根与立方根的综合运用 【典例】（2024秋•思明区期中）如果2a﹣1的算术平方根是3，3a+b﹣9的立方根是2，解下列关于x的方程：（a+2）x+b2＝a﹣1．★方法归纳 正数有两个平方根，且互为相反数，有一个立方根，负数没有平方根，有一个立方根，当题目中出现平方根，又出现立方根时，一定要正确使用平方根，立方根的定义和性质，不要混淆 【针对训练】 1．（2024秋•新都区期中）已知实数a满足a0，那么|a﹣1|+|a+1|＝　 　 ． 2．（2025秋•武侯区期中）已知x，y都是实数，且，则x+3y的立方根为　 　 ． 3．（2025春•金安区期中）已知：2a﹣7和a+1是某正数的两个不相等的平方根，b﹣10的立方根为﹣2． （1）求a、b的值； （2）求a+b的算术平方根． 4．（1）已知：x﹣2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，求x2+y2的平方根； （2）已知一个正数的平方根是3a+1和a+11，求这个数的立方根； （3）|2|； （4）比较与的大小． 5．（2024秋•永修县期末）已知是m+3的算术平方根，N是n﹣2的立方根，求：M﹣N的值的平方根． 类型三 无理数的估算 【典例3】（2025春•崇川月考）（1）已知a是的整数部分，b是它的小数部分，求（﹣a）3+（b+3）2的值． （2）已知m、n都是有理数，且，求m+n的平方根．★方法归纳 利用夹逼思想求出无理方程的整数部分，利用求差思想求出无理数的小数部分 【针对训练】 1．（2025•南通）如图，数轴上A，B，C，D，E五个点分别表示数1，2，3，4，5，则表示数 的点应在（　　） A．线段AB上 B．线段BC上 C．线段CD上 D．线段DE上 2．（2024•绵阳）正整数a、b分别满足a、b，则ba＝（　　） A．4 B．8 C．9 D．16 3．（2024春•铜官区期中）阅读理解： ∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为， ∴，∴的整数部分为1，的小数部分为． 解决问题：已知a是的整数部分，b是的小数部分． （1）求a，b的值； （2）求（﹣a）3+（b+4）2的值． 类型四 实数与数轴（☆） 【典例4】（2024秋•成都月考）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬行2个单位长度到达点B，点A表示的数n为﹣1.2，点B所表示的数为m．★方法归纳 利用数轴化简含平方根、立方根的式子的步骤 （1） 先化简根号 （2） 再利用数轴判定绝对值的符号，进而化简 （1）求的值； （2）对﹣2（mn﹣3m2）﹣[m2﹣5（mn﹣m2）+2mn]化简，再求值． 【针对训练】 1．（2025春•商城县期末）如图，数轴上，AB＝AC，A、B两点对应的实数分别是和﹣1，则点C所对应的实数是（　　） A． B． C． D． 2．（2025春•赛罕区月考）如图，a，b，c是数轴上A、B、C对应的实数，化简结果是（　　） A．2a+b B．﹣2a﹣c C．﹣b﹣a﹣c D．﹣3b﹣a+c 微专题2 实数的运算（☆） 【典例】（2024春•柘城县期中）计算：★方法归纳 先算乘方开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，先算括号内的，同级运算，按照从左到右的顺序进行，能用运算律的，可用运算律简化运算。 （1）（﹣1）2024+（﹣2）3； （2）． 【针对训练】 1．（2025秋•原阳县期中）（1）计算：； （2）计算：； （3）求x值；4x2﹣16＝0； （4）求x值：27（x﹣3）3+64＝0． 微专题3 与实数有关的规律探究题 类型一 数字规律题 【典例1】（2024春•无棣县期末）例、下面是一个按某种规律排列的数阵：★方法归纳 数阵规律中探究某个数位置的方法 （1） 分析数阵中每行每列的个数 （2） 观察相邻数据的变化特点 （3） 看数据具有什么特征（平方数，倍数，立方根等） 根据数阵排列的规律，应该在第 　 　 行． 【针对训练】 1．（2025秋•道里区月考）在，π，，0.10010001，，，，中，有理数的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（2024春•夏邑县期中）已知按照一定规律排成的一列实数：﹣1，，，﹣2，，，，，，，…则按此规律可推得这一列数中的第2025个数应是（　　） A． B． C． D．2025 3．下列数据：，，…，根据数据排列的规律，得到第28个数据应是　 　 ． 4．（2024•瑶海区三模）将一组数，2，，，…，，按下列方式进行排列： ，2，，，； ，，4，，； … 若2的位置记为（1，2），的位置记为（2，4），则的位置可记为（　　） A．（6，2） B．（5，2） C．（3，4） D．（4，2） 5．（2024春•望花区）对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数， 例如：． （1）仿照以上方法计算：　 　 ；　 　 ． （2）若，写出满足题意的x的整数值 ． （3）如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止，探究连续求根整数的次数． 例如：对10连续求根整数2次，这时候结果为1． ①对200连续求根整数，多少次结果为1，请写出你的求解过程． ②只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，求满足条件的最大整数． 类型二 数式规律题 【典例2】（2025春•芜湖期中）观察下列算式： ①；②；③；④；… （1）写出第⑥个等式 　7　 ；★方法归纳 1+2+3+……+n= （2）猜想第n个等式 　n+1　 ；（用含n的式子表示） （3）计算：． 【针对训练】 1．（2025春•淮北月考）观察下列各式：，，4，… （1）你能发现上述式子有什么规律吗？请你将猜想到的规律用含n（n为正整数）的代数式表示出来，并运用你所发现的规律写出第10个式子； （2）请你验证所发现的规律． 2．（2025•大通区开学）先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③； （1）根据上面三个等式，请猜想的结果（直接写出结果）； （2）根据上述规律，解答问题： 设，求不超过m的最大整数是多少？ 第三部分 专题提优集训 1．（2024秋•茂名月考）关于x的多项式7x3﹣11mx2﹣15x+9与多项式22x2﹣5nx﹣7相加后不含x的二次项和一次项，则﹣（mn+n）平方根为（　　） A．3 B．﹣3 C．±3 D． 2．（2025春•禹城市期中）已知m与n为两个连续的自然数，且满足，则m+n的值为（　　） A．1 B．3 C．5 D．7 3．（2025秋•杭州期中）若（a﹣5）2+|b3﹣27|＝0，则a﹣b的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．5 D．8 4．（2025春•东兰县期末）有一列数按如下规律排列：则第10个数是（　　） A． B． C． D． 5．（2025春•当阳市期末）已知a，b是两个连续整数，若，则a+b的值为（　　） A．11 B．9 C．7 D．5 6．（2025春•临洮县期中）命题：①实数和数轴上的点一一对应；②不带根号的数一定是有理数；③1的平方根与立方根都是1；④±5；⑤的算术平方根是9．其中真命题有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．设[x]表示不大于x的最大整数，例如[3.15]＝3，[3.7]＝3，[3]＝3，则（　　） A．2000000 B．2001000 C．2002000 D．2003001 8．（2024春•广元期末）已知x，y两个实数在数轴上位置如图所示，则化简的结果是 　 ． 9．（2025春•昌平区期中）比较大小：（1）　 　 3；（2）　 　 2．（填“＞、＜、＝”） 10．计算题： （1） （2） （3） （4）比较大小：①　 　 5；②　 　 （5）若，求x+y+z的值． 11．（2024秋•灞桥区月考）求下列各式中的x的值： （1）5（x﹣1）2＝125． （2）（x+2）3+27＝0． 12．（2024春•章贡区期末）（1）用“＜”“＞”或“＝”填空： 　 ， 　　 ； （2）由以上可知： ①|1|＝　 　 ， ②||＝　 ． （3）计算：|1|+||+||+…+||．（结果保留根号） 13．（2025秋•尤溪县期中）定义：对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“组合平方数”．例如：﹣1，﹣4，﹣9这三个数，，，，其结果2，3，6都是整数，所以﹣1，﹣4，﹣9这三个数称为“组合平方数”． （1）﹣4，﹣16，﹣25这三个数是“组合平方数”吗？请说明理由； （2）若三个数﹣3，m，﹣12是“组合平方数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求m的值； （3）写出一组含有﹣2的“组合平方数”　 　 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $