专题1 相交线与平行线中的微专题（4个重要考点）及专题提优集训 2025-2026学年人教版七年级数学下册重难点压轴题专题及单元期中期末试卷

专题1 相交线与平行线中的微专题及专题提优集训 第一部分 目录预览（☆为高频考点） 微专题1 与相交线有关的计算（☆） 微专题2 与平行线有关的计算 类型一 “M”字模型（☆） 类型二 铅笔头模型（☆） 类型三 “Z”字模型（☆） 微专题3 平行线中的数学思想 类型一 方程思想（☆） 类型二 分类讨论思想 第二部分 典例精析与针对训练 微专题1 与相交线有关的计算（☆） 【典例】（2024秋•南京期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE． （1）若∠AOC＝76°，求∠BOF的度数； （2）若∠BOF＝36°，求∠AOC的度数； （3）若|∠AOC﹣∠BOF|＝α°，请直接写出∠AOC和∠BOF的度数．（用含α的代数式表示） 【方法归纳】相交线中的计算问题 （1） 常用知识点：对顶角相等；领补角和为180°；角平分线的定义，垂直的性质等 （2） 当已知角与所求角之间的等量关系不容易利用或问题比较综合时，可以利用方程思想解决问题。一般设一个较小角魏x，并表示出其他角，进而根据各角之间的等量关系建立方程求解。 【针对训练】 1．（2024秋•蜀山区期末）如图，在同一平面内，过点O依次作射线OA、OB、OC、OD，其中∠AOD＝130°，射线OE、OF分别平分∠AOC和∠BOD． （1）若∠AOB＝20°，∠BOC＝40°，则∠EOF＝ 　 　 °； （2）若∠BOC＝α，∠EOF＝β，请用一个等式表示α、β的数量关系 　 　 ． 3．（2024秋•响水县期末）已知直线AB与CD相交于点O，且OM平分∠AOC，OE⊥AB于点O． （1）如图①，若ON平分∠BOC，求∠MON的度数； （2）如图②，若∠CON∠EON（∠EON＜180°），∠MON＝80°，求∠BON的度数． 4．（2025春•合阳县期末）如图，直线AB和CD相交于点O，OE把∠AOC分成两部分，且∠AOE：∠EOC＝1：2，OF平分∠BOE， （1）∠BOD的对顶角为 　 ，∠AOE的邻补角为 　 ； （2）若∠BOD＝69°，求∠BOF的度数． 5．（2025秋•兰溪市期末）如图1，已知∠BOC＝40°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC． （1）若AO⊥BO，则∠EOF是多少度？ （2）如图2，若角平分线OE的位置在射线OB和射线OF之间（包括重合），请说明∠AOC的度数应控制在什么范围． 微专题2 与平行线有关的计算 类型一 “M”字模型 【典例】（2025•紫金县开学）如图，AB∥CD，且∠PMQ＝2∠QMB，∠PNQ＝2∠QND，判断∠P与∠Q的数量关系，并说明理由．方法归纳 “M”字模型 两直线平行，折线的拐点内凹，形似字母M 解题策略 过拐点添加辅助线，利用平行公理的推论，构造内错角解答 结论：∠APC＝∠A+∠C 【针对训练】 1．（2024春•开化县月考）如图，已知AB∥CD，∠AFC＝120°，∠EAF∠EAB，∠ECF∠ECD，则∠AEC的度数为　 　 ． 2．（2024•明水县校级开学）如图，AB∥CD，△EFG的顶点F，G分别落在直线AB，CD上，GE平分∠FGD，若∠EFG＝90°，∠E＝35°，求∠EFB的度数． 类型二 铅笔头模型 【典例】（2024春•西工区期中）（1）发现问题：如图1，AB∥CD，试写出∠ABE，∠E，∠CDE之间的数量关系． （2）解决问题：已知AB∥CD，∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F． ①如图2，若∠E＝80°，求∠BFD的度数． ②如图3，若，试写出∠M与∠E之间的数量关系并证明你的结论． ③若，请直接用含有n，m°的代数式表示出∠M. 【方法归纳】 铅笔头模型 两直线平行，折线的拐点外凸，形似铅笔头，如图所示 解题策略 过拐点作平行线，利用平行公理的推论，构造内错角或同旁内角解答解答 结论：∠∠A+APC＋∠C＝180° 【针对训练】 1．（2025春•江岸区月考）已知∠A与∠B（∠A、∠B都是大于0°且小于180°的角）的两边一边平行，另一边垂直，且2∠A﹣∠B＝18°，则∠A的度数为（　　） A．18°或66° B．66°或96° C．18°或36° D．36°或96° 2．（2024春•高青县期末）乐乐观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知AB∥CD，∠BAE＝92°，∠DCE＝121°，则∠AEC的度数是（　　） A．30° B．29° C．28° D．27° 3．（2025春•道县校级月考）已知AB∥DE． （1）如图①，点C是夹在AB和DE之间的一点，当AC⊥CD时，垂足为C，你知道∠A+∠D是多少度吗？ （2）如图②，点C1，C2是夹在AB和DE之间的两点，请想一想：∠A+∠C1+∠C2+∠D的度数为 　 　 ； （3）如图③，随着AB与DE之间点的增加，那么∠A+∠C1+∠C2+⋯+∠Cn﹣1+∠D的度数为 　 　 ．（不必说明理由） 类型三 “Z字模型” 13．（2025春•硚口区期末）已知AB∥CD （1）如图1，求证：∠ABE+∠DCE﹣∠BEC＝180° （2）如图2，∠DCE的平分线CG的反向延长线交∠ABE的平分线BF于F ①若BF∥CE，∠BEC＝26°，求∠BFC．【方法归纳】 铅笔头模型 两直线平行，折线的拐点凸出在两直线外，形似字母Z，如图所示： 解题策略 巧过拐点作平行线，利用平行公理的推论，构造内错角或同位角解答，多拐点可以拆分为单拐点 结论：∠A＋∠C－APC＝180° ②若∠BFC﹣∠BEC＝74°，则∠BEC＝　 　 °． 【针对训练】 1．（2025秋•北林区校级期中）如图，若AB∥CD，CD∥EF，那么∠BCE＝（　　） A．∠1+∠2 B．∠2﹣∠1 C．180°﹣∠1+∠2 D．180°﹣∠2+∠1 2．（2025春•大石桥市校级月考）已知，AB∥DE，点C在AB上方，连接BC、CD． （1）如图1，若∠ABC＝145°，∠EDC＝116°，求∠BCD的度数； （2）如图2，过点C作CF⊥BC交ED的延长线于点F，写出∠ABC和∠F之间的数量关系． 微专题3 平行线中的数学思想 类型一 方程思想 【典例】（2025春•费县期末）如图所示，已知射线CB∥OA，AB∥OC，∠C＝∠OAB＝100°．点E、F在射线CB上，且满足∠FOB＝∠AOB，OE平分∠COF． （1）求∠EOB的度数； （2）若平行移动AB，那么∠OBC：∠OFC的值是否随之发生变化，找出变化规律，若不变，求出这个比值； （3）在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC＝∠OBA？若存在，求出其度数，若不存在，请说明理由．【方法归纳】 方程思想 （1） 当出现两个角之间的等量关系且不容易直接利用时，可以考虑方程思想 （2） 将某个合适的角的度数设为x,再利用x表示出其他角，即可代入等式建立方程求解 【针对训练】 1．（2024春•嵊州市期末）如图，AB∥CD，点E在AB上方，点F在AB，CD之间，AB平分∠EAF，CF平分∠ECD，EC交线段AB于点G．若∠F∠E＝72°，则∠EAF的度数为 　 　 ． 【针对训练】 1．（2025春•振兴区校级期中）如图，已知AB∥CD，∠A＝∠C＝50°，线段AD上从左到右依次有两点E、F（不与A、D重合） （1）求证：AD∥BC； （2）若，∠FBD：∠CBD＝1：4，BE平分∠ABF，且∠1＝∠BDC，判断BE与AD的位置关系，并说明理由． 2．（2025春•蒲城县期中）【问题提出】 如图，在三角形ABC中，D是AB上一点DE∥BC交AC于点E，F是线段DE延长线上的一点，连接FC，且∠BCF+∠ADE＝180°． （1）如图1，试说明AB∥CF； 【问题探究】 （2）如图2，连接BE，若∠ABE＝27°，∠ACF＝23°； ①求∠BEC的度数； ②点G是FC延长线上的一点，若∠EBC：∠ECB＝4：9，∠EBG＝2∠ABE，求∠CBG的度数． 类型二 分类讨论思想 【典例】（2024春•双台子区期末）（1）问题情境：如图1，AB∥CD，∠PMB＝140°，∠PND＝120°，求∠MPN的度数； （2）问题迁移：在（1）的条件下，如图2，∠AMP的角平分线与∠CNP的角平分线交于点F，则∠MFN的度数为多少？请说明理由； （3）问题拓展：如图3，AB∥CD，点P在射线OM上移动时（点P与点O，B，D三点不重合），记∠PAB＝α，∠PCD＝β，请直接写出∠APC与α，β之间的数量关系． 【方法归纳】 分类讨论 （1） 在动点问题中，若未明确说明点的位置，则需要针对点的位置进行分类讨论，分别作图解答。若题中说明动点在某条射线上运动则一般要分为动点在线段上和动点在线段延长线上进行讨论 （2） 若有多个位置均能满足题中药表达的某个特定条件，也要进行分类讨论。 【针对训练】 1．（2025春•石家庄期中）∠1与∠2的两边分别平行，且∠1比∠2的4倍少30°，则∠1的度数为（　　） A．10° B．42° C．138°或42° D．10°或138° 2．（2025春•青秀区期中）如图，l1∥l2，BC平分∠ABD，点E是射线BC上的一个动点，设∠BAE＝β，当∠BAE：∠CAE＝5：1时，则∠ACB的度数为（　　） A．90°β B．90°β C．90°β或90°β D．90°β或90°β 3．（2024春•如皋市校级月考）如图，已知AD∥BE，点C是直线FG上的动点，若点C在移动过程中，存在某时刻使得∠ACB＝45°，∠DAC＝23°，则∠EBC的度数为　 　 ． 4．（2024春•崆峒区期中）如图，∠ABC＝100°，MN∥BC，动点P在射线BA上从点B开始沿BA方向运动，连接MP，当∠PMN＝120°时，∠BPM的度数为　 　 ． 5．（2025春•朝阳区校级月考）如图，直线EF上有两点A，C，在直线EF两侧分别引射线AB，CD，使∠BAF＝110°，∠DCF＝60°．射线AB，CD分别绕点A，点C以1度/秒和6度/秒的速度同时顺时针转动，设转动时间为t秒，在射线CD转动一周的时间内，当转动时间t的值为多少时，CD与AB平行？ 6．（2024秋•仁寿县期末）如图，AB∥CD，直线EF与AB，CD分别相交于点G，H，∠EHD＝α（0°＜α＜90°）．小安将一个含30°角的直角三角尺PMN按如图（1）所示的方式放置，使点N，M分别在直线AB，CD上，且在点G，H的右侧，∠P＝90°，∠PMN＝60°． （1）填空：∠PNB+∠PMD＝ 　 　 ． （2）如图（2），∠MNG的平分线NO交直线CD于点O． ①当NO∥EF∥PM时，求α的度数． ②小安将三角尺PMN保持EF∥PM并向左平移，在平移过程中求∠MON的度数（用含α的代数式表示）． 第三部分 专题提优集训 1．（2024秋•仁寿县期末）如图，已知直线AB和CD相交于点O，∠COE是直角，OF平分∠AOE，∠COF＝34°，则∠BOD的度数为（　　） A．22° B．34° C．56° D．72° 2．（2025•韶关模拟）如图所示，直线a∥b，∠2＝31°，∠A＝28°，则∠1＝（　　） A．61° B．60° C．59° D．58° 3．（2024春•旌阳区校级月考）如图，若∠AOB与∠BOC是一对邻补角，OD平分∠AOB，在∠BOC内部，并且，∠DOE＝70°，则∠COE的度数是 　 　 ． 4．（2025春•南充校级期中）如图，将长方形纸片ABCD进行翻折，图中EF为折痕．如果∠1＝25°，∠2的度数为 　 　 ． 5．（2024春•法库县期末）观察下列图形：已知a∥b，在第一个图中，可得∠1+∠2＝180°，则按照以上规律，∠1+∠2+∠P1+…+∠Pn＝　 　 度． 6．（2025春•广饶县期末）为增强学生体质，某学校将抖空竹引入“阳光体育一小时”活动．图①是某同学抖空竹时的一个瞬间，小聪把它抽象成如图②所示的示意图．已知AB∥CD，∠EAB＝80°，∠ECD＝110°，则∠CEA的度数为（　　） A．70° B．10° C．20° D．30° 7．（2025春•海南期末）已知点O在直线AB上，OC⊥OD，OE平分∠BOC． （1）如图1，若∠AOC＝30°，则∠DOE的度数是　 　 ． （2）如图2，若∠DOE＝α，则∠AOC的度数是 　 （用含α的代数式表示）． 8．（2025秋•前郭县期末）如图，直线AB、CD相交于点O．已知∠AOC＝75°，在∠AOC内部引一条射线OE，且∠AOE＝30°，请解答下列问题： （1）∠COE度数是 　 　 ；∠BOC度数是 　 　 ； （2）将射线OE绕点O逆时针旋转a°（0°＜α＜360°）到OF． ①如图2，当OF平分∠BOE时，说明OB平分∠DOF； ②当∠AOF＝90°时，请求出α的度数． 9．（2025春•龙文区校级期中）如图，由线段AB，AM，CM，CD组成的图形像，称为“形BAMCD”． （1）如图1，形BAMCD中，若AB∥CD，∠AMC＝60°，则∠A+∠C＝ 　 　 °； （2）如图2，连接形BAMCD中B，D两点，若∠ABD+∠BDC＝160°，∠AMC＝α，试猜想∠BAM与∠MCD的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下，当点M在线段BD的延长线上从上向下移动的过程中，请直接写出∠BAM与∠MCD所有可能的数量关系． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1 相交线与平行线中的微专题及专题提优集训 第一部分 目录预览（☆为高频考点） 微专题1 与相交线有关的计算（☆） 微专题2 与平行线有关的计算 类型一 “M”字模型（☆） 类型二 铅笔头模型（☆） 类型三 “Z”字模型（☆） 微专题3 平行线中的数学思想 类型一 方程思想（☆） 类型二 分类讨论思想 第二部分 典例精析与针对训练 微专题1 与相交线有关的计算（☆） 【典例】（2024秋•南京期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE． （1）若∠AOC＝76°，求∠BOF的度数； （2）若∠BOF＝36°，求∠AOC的度数； （3）若|∠AOC﹣∠BOF|＝α°，请直接写出∠AOC和∠BOF的度数．（用含α的代数式表示） 【分析】（1）根据对顶角相等求得∠BOD的度数，然后根据角的平分线的定义求得∠EOD的度数，则∠COE即可求得，再根据角平分线的定义求得∠EOF，最后根据∠BOF＝∠EOF﹣∠BOE求解． （2）利用角平分线定义得出∠BOE＝∠EOD，∠COF＝∠FOE，进而表示出各角求出答案． （3）设∠BOE＝x，则∠DOE＝x，则∠COA＝2x，∠BOF＝90°x，根据|∠AOC﹣∠BOF|＝α°，得到方程|2x﹣（90°x）|＝α°，解方程即可求解． 【解答】解：（1）∵∠BOD＝∠AOC＝76°， 又∵OE平分∠BOD，【方法归纳】相交线中的计算问题 （1） 常用知识点：对顶角相等；领补角和为180°；角平分线的定义，垂直的性质等 （2） 当已知角与所求角之间的等量关系不容易利用或问题比较综合时，可以利用方程思想解决问题。一般设一个较小角魏x，并表示出其他角，进而根据各角之间的等量关系建立方程求解。 ∴∠DOE∠BOD76°＝38°． ∴∠COE＝180°﹣∠DOE＝180°﹣38°＝142°， ∵OF平分∠COE， ∴∠EOF∠COE142°＝71°， ∴∠BOF＝∠EOF﹣∠BOE＝71°﹣38°＝33°． （2）∵OE平分∠BOD，OF平分∠COE， ∴∠BOE＝∠EOD，∠COF＝∠FOE， ∴设∠BOE＝x，则∠DOE＝x， 故∠COA＝2x，∠EOF＝∠COF＝x+36°， 则∠AOC+∠COF+∠BOF＝2x+x+36°+36°＝180°， 解得：x＝36°， 故∠AOC＝72°． （3）设∠BOE＝x，则∠DOE＝x， 则∠COA＝2x，∠BOF＝90°x， ∵|∠AOC﹣∠BOF|＝α°， ∴|2x﹣（90°x）|＝α°， 解得：x＝（）°α°或x＝（）°α°， 当x＝（）°α°时， ∠AOC＝2x＝（）°α°， ∠BOF＝90°x＝（）°α°； 当x＝（）°α°时， ∠AOC＝2x＝（）°α°， ∠BOF＝90°x＝（）°α°． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，以及对顶角的性质，理解角平分线的定义是关键． 【针对训练】 1．（2024秋•蜀山区期末）如图，在同一平面内，过点O依次作射线OA、OB、OC、OD，其中∠AOD＝130°，射线OE、OF分别平分∠AOC和∠BOD． （1）若∠AOB＝20°，∠BOC＝40°，则∠EOF＝ 　45　 °； （2）若∠BOC＝α，∠EOF＝β，请用一个等式表示α、β的数量关系 　α+2β＝130°　 ． 【分析】（1）根据角平分线进行角度计算即可； （2）设∠AOB＝x，∠BOE＝y，根据角平分线列出等式，等量代换即可． 【解答】解：（1）∵∠AOB＝20°，∠BOC＝40°，∠AOD＝130°， ∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝60°，∠BOD＝∠AOD﹣∠AOB＝110°， ∵射线OE、OF分别平分∠AOC和∠BOD， ∴∠BOF，， ∴∠BOE＝∠AOE﹣∠AOB＝10°， ∴∠EOF＝∠BOF﹣∠BOE＝45°， 故答案为：45； （2）设∠AOB＝x，∠BOE＝y， ∴x+y+y＝α，， ∴α+2β＝130°， 故答案为：α+2β＝130°． 【点睛】本题考查了角的计算，角平分线的定义，掌握角平分线的定义是解题的关键． 3．（2024秋•响水县期末）已知直线AB与CD相交于点O，且OM平分∠AOC，OE⊥AB于点O． （1）如图①，若ON平分∠BOC，求∠MON的度数； （2）如图②，若∠CON∠EON（∠EON＜180°），∠MON＝80°，求∠BON的度数． 【分析】（1）由角平分线定义得到∠MON∠AOB，即可得到答案； （2）设∠BON＝x°，由条件得到50°x°+x°＝100°，求出x的值，即可得到答案． 【解答】解：（1）∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC， ∴∠MOC∠AOC，∠CON∠BOC， ∴∠MOC+∠CON（∠AOC+∠BOC）， ∴∠MON∠AOB180°＝90°； （2）设∠BON＝x°， ∵OE⊥AB， ∴∠BOE＝90°， ∴∠EON＝90°+x， ∴∠CON∠EON＝30°x°， ∵∠MON＝80°， ∴∠COM＝80°﹣（30°x°）＝50°x°， ∵OM平分∠AOC， ∴∠AOM＝∠COM＝50°x°， ∵∠AOM+∠BON＝100°， ∴50°x°+x°＝100°， ∴x＝75， ∴∠BON＝75°． 【点睛】本题考查了垂线，角平分线的定义以及角的计算，关键是掌握角平分线的定义，并能由平角定义列出关于∠BON的方程． 4．（2025春•合阳县期末）如图，直线AB和CD相交于点O，OE把∠AOC分成两部分，且∠AOE：∠EOC＝1：2，OF平分∠BOE， （1）∠BOD的对顶角为 　∠AOC ，∠AOE的邻补角为 　∠BOE ； （2）若∠BOD＝69°，求∠BOF的度数． 【分析】（1）根据对顶角及邻补角的定义即可得出答案； （2）根据对顶角性质及已知条件可求得∠AOE的度数，继而求得∠BOE的度数，再根据角平分线的定义即可求得答案． 【解答】解：（1）由图形可得∠BOD的对顶角为∠AOC，∠AOE的邻补角为∠BOE， 故答案为：∠AOC；∠BOE； （2）∵∠BOD＝69°， ∴∠AOC＝∠BOD＝69°， ∵∠AOE：∠EOC＝1：2， ∴∠AOE＝69°23°， ∴∠BOE＝180°﹣23°＝157°， ∵OF平分∠BOE， ∴∠BOF∠BOE＝78.5°． 【点睛】本题考查对顶角与邻补角，角平分线的定义，（2）中结合已知条件求得∠AOE的度数是解题的关键． 5．（2025秋•兰溪市期末）如图1，已知∠BOC＝40°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC． （1）若AO⊥BO，则∠EOF是多少度？ （2）如图2，若角平分线OE的位置在射线OB和射线OF之间（包括重合），请说明∠AOC的度数应控制在什么范围． 【分析】（1）根据AO⊥BO，可得∠AOB＝90°，进一步可得∠AOC的度数，根据OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，可得∠EOC∠AOC＝65°，∠FOC∠BOC＝20°，再根据∠EOF＝∠EOC﹣∠FOC求解即可； （2）当OE与OB重合时，∠AOC＝2∠BOC；当OE与OF重合时，∠AOC＝∠BOC，进一步可知∠AOC的取值范围． 【解答】解：（1）∵AO⊥BO， ∴∠AOB＝90°， ∵∠BOC＝40°， ∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝90°+40°＝130°， ∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOC， ∴∠EOC∠AOC＝65°，∠FOC∠BOC＝20°， ∴∠EOF＝∠EOC﹣∠FOC＝65°﹣20°＝45°； （2）∵角平分线OE的位置在射线OB和射线OF之间（包括重合）， 当OE与OB重合时，∠AOC＝2∠BOC＝80°， 当OE与OF重合时，∠AOC＝∠BOC＝40°， ∴∠AOC的取值范围是40°≤∠AOC≤80°． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，垂线，熟练掌握这些知识是解题的关键． 微专题2 与平行线有关的计算 类型一 “M”字模型 【典例】（2025•紫金县开学）如图，AB∥CD，且∠PMQ＝2∠QMB，∠PNQ＝2∠QND，判断∠P与∠Q的数量关系，并说明理由． 【分析】根据平行线的性质得出∠RQM＝∠QMB，RQ∥CD，推出∠MQN＝∠QMB+∠QND，同理∠MRN＝∠PMB+∠PND，代入求出即可．方法归纳 “M”字模型 两直线平行，折线的拐点内凹，形似字母M 解题策略 过拐点添加辅助线，利用平行公理的推论，构造内错角解答 结论：∠APC＝∠A+∠C 【解答】解：∠MPN＝3∠MQN， 理由如下：作QR∥AB，PL∥AB， ∵AB∥CD， ∴∠RQM＝∠QMB，RQ∥CD， ∴∠RQN＝∠QND， ∴∠MQN＝∠QMB+∠QND， ∵AB∥CD，PL∥AB， ∴AB∥CD∥PL， ∴∠MPL＝∠PMB，∠NPL＝∠PND， ∴∠MPN＝∠PMB+∠PND， ∵∠PMQ＝2∠QMB，∠PNQ＝2∠QND， ∴∠PMB＝3∠QMB，∠PND＝3∠QND， ∴∠MPN＝3∠MQN． 【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，主要考查学生运用性质进行推理的能力，根据题意作出合理的辅助线是解题的关键． 【针对训练】 1．（2024春•开化县月考）如图，已知AB∥CD，∠AFC＝120°，∠EAF∠EAB，∠ECF∠ECD，则∠AEC的度数为　150°　 ． 【分析】过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，利用平行线的性质可得出∠AEM＝∠EAB，∠CEM＝∠ECD，∠AFN＝∠FAB，∠CFN＝∠FCD，由，∠EAF∠EAB，∠ECF∠ECD可得出∠EAB，∠ECD，结合∠AEC＝∠AEM+∠CEM可得出∠AEC，代入∠AFC＝120°即可求出∠AEC的度数． 【解答】解过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，如图所示． ∵EM∥AB，AB∥CD， ∴EM∥CD， ∴∠AEM＝∠EAB，∠CEM＝∠ECD． 同理，可得：∠AFN＝∠FAB，∠CFN＝∠FCD． 又∵∠EAF∠EAB，∠ECF∠ECD， ∴∠FAB∠EAB，∠FCD∠ECD． ∴∠AEC＝∠AEM+∠CEM＝∠EAB+∠ECD∠AFC120°＝150°． 故答案为：150°． 【点睛】本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键． 2．（2024•明水县校级开学）如图，AB∥CD，△EFG的顶点F，G分别落在直线AB，CD上，GE平分∠FGD，若∠EFG＝90°，∠E＝35°，求∠EFB的度数． 【分析】求出∠EGF＝90°﹣35°＝55°，由角平分线定义得到∠DGH＝∠EGF＝55°，由平行线的性质推出∠BHE＝∠DGH＝55°，由三角形的外角性质即可求出∠EFB的度数． 【解答】解：∵∠EFG＝90°，∠E＝35°， ∴∠EGF＝90°﹣35°＝55°， ∵GE平分∠FGD， ∴∠DGH＝∠EGF＝55°， ∵AB∥CD， ∴∠BHE＝∠DGH＝55°， ∴∠EFB＝∠BHE﹣∠E＝20°． 【点睛】本题考查平行线的性质，三角形的外角性质，关键是由平行线的性质推出∠BHE＝∠DGH，由三角形的外角性质得到∠EFB＝∠BHE﹣∠E． 类型二 铅笔头模型 【典例】（2024春•西工区期中）（1）发现问题：如图1，AB∥CD，试写出∠ABE，∠E，∠CDE之间的数量关系． （2）解决问题：已知AB∥CD，∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F． ①如图2，若∠E＝80°，求∠BFD的度数． ②如图3，若，试写出∠M与∠E之间的数量关系并证明你的结论． ③若，请直接用含有n，m°的代数式表示出∠M. 【分析】（1）过点E作EG∥AB，利用铅笔模型进行计算即可解答； （2）①过点F作FH∥AB，利用猪脚模型可得：∠BFD＝∠ABF+∠CDF，再利用（1）的结论可得：∠ABE+∠CDE+∠BED＝360°，从而可得∠ABE+∠CDE＝280°，然后利用角平分线的定义可得∠ABFABE，∠CDF∠CDE，从而可得∠BFD＝∠ABF+∠CDF（∠ABE+∠CDE），进行计算即可解答； ②利用（1）的结论可得∠ABE+∠CDE＝360°﹣∠BED，再利用①可得：∠BFD（∠ABE+∠CDE）（360°﹣∠BED）＝180°∠BED，然后利用猪脚模型可得：∠M＝∠ABM+∠CDM，∠BFD＝∠ABF+∠CDF，从而可得∠M＝∠ABM+∠CDM（∠ABF+∠CDF）∠BFD（180°∠BED）＝60°∠BED，最后进行计算即可解答；【方法归纳】 铅笔头模型 两直线平行，折线的拐点外凸，形似铅笔头，如图 解题策略 过拐点作平行线，利用平行公理的推论，构造内错角或同旁内角解答解答 结论：∠∠A+APC＋∠C＝180° ③利用②的思路进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）过点E作EG∥AB， ∴∠B+∠1＝180°， ∵AB∥CD， ∴EG∥CD， ∴∠2+∠D＝180°， ∴∠B+∠1+∠2+∠D＝360°， ∴∠B+∠D+∠BED＝360°； （2）①过点F作FH∥AB， ∴∠ABF＝∠BFH， ∵AB∥CD， ∴FH∥CD， ∴∠CDF＝∠DFH， ∵∠BFD＝∠BFH+∠DFH， ∴∠BFD＝∠ABF+∠CDF， 由（1）可得：∠ABE+∠CDE+∠BED＝360°， ∵∠E＝80°， ∴∠ABE+∠CDE＝360°﹣∠BED＝360°﹣80°＝280°， ∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE， ∴∠ABFABE，∠CDF∠CDE， ∴∠BFD＝∠ABF+∠CDF ∠ABE∠CDE （∠ABE+∠CDE） 280° ＝140°， ∴∠BFD的度数为140°； ②6∠M+∠E＝360°， 理由：由（1）可得：∠ABE+∠CDE+∠BED＝360°， ∴∠ABE+∠CDE＝360°﹣∠BED， 由①可得：∠BFD（∠ABE+∠CDE）（360°﹣∠BED）＝180°∠BED， 由①可得：∠M＝∠ABM+∠CDM，∠BFD＝∠ABF+∠CDF， ∵， ∴∠M＝∠ABM+∠CDM （∠ABF+∠CDF） ∠BFD （180°∠BED） ＝60°∠BED， ∴6∠M＝360°﹣∠BED， 即6∠M+∠BED＝360°； ③∵， ∴∠M＝∠ABM+∠CDM （∠ABF+∠CDF） ∠BFD （180°∠BED） ， 即：∠M． 【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【针对训练】 1．（2025春•江岸区月考）已知∠A与∠B（∠A、∠B都是大于0°且小于180°的角）的两边一边平行，另一边垂直，且2∠A﹣∠B＝18°，则∠A的度数为（　　） A．18°或66° B．66°或96° C．18°或36° D．36°或96° 【分析】分两种情况：①利用猪脚模型进行计算，即可解答；②利用铅笔模型进行计算，即可解答． 【解答】解：分两种情况： ①如图所示：AD∥BE，AC⊥BC， 过点C作CF∥AD， ∴∠A＝∠ACF， ∵AD∥BE， ∴CF∥BE， ∴∠B＝∠BCF， ∵AC⊥CB， ∴∠ACB＝90°， ∴∠ACF+∠BCF＝90°， ∴∠A+∠B＝90°， ∵2∠A﹣∠B＝18°， ∴∠A＝36°； ②如图所示：AD∥BE，AC⊥BC， 过点C作CF∥AD， ∴∠A+∠ACF＝180° ∵AD∥BE， ∴CF∥BE， ∴∠B+∠BCF＝180°， ∴∠A+∠ACF+∠BCF+∠B＝360°， ∴∠A+∠ACB+∠B＝360°， ∵AC⊥CB， ∴∠ACB＝90°， ∴∠A+∠B＝360°﹣∠ACB＝270°， ∵2∠A﹣∠B＝18°， ∴∠A＝96°； 综上所述：∠A的度数为36°或96°， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的性质，分两种情况讨论是解题的关键． 2．（2024春•高青县期末）乐乐观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知AB∥CD，∠BAE＝92°，∠DCE＝121°，则∠AEC的度数是（　　） A．30° B．29° C．28° D．27° 【分析】延长DC交AE于F，依据AB∥CD，∠BAE＝92°，可得∠CFE＝92°，再根据三角形外角性质，即可得到∠AEC＝∠DCE﹣∠CFE． 【解答】解：如图，延长DC交AE于F， ∵AB∥CD，∠BAE＝92°， ∴∠CFE＝92°， 又∵∠DCE＝121°， ∴∠AEC＝∠DCE﹣∠CFE＝121°﹣92°＝29°． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等． 3．（2025春•道县校级月考）已知AB∥DE． （1）如图①，点C是夹在AB和DE之间的一点，当AC⊥CD时，垂足为C，你知道∠A+∠D是多少度吗？ （2）如图②，点C1，C2是夹在AB和DE之间的两点，请想一想：∠A+∠C1+∠C2+∠D的度数为 　540°　 ； （3）如图③，随着AB与DE之间点的增加，那么∠A+∠C1+∠C2+⋯+∠Cn﹣1+∠D的度数为 　（180n）°　 ．（不必说明理由） 【分析】（1）如图所示，过点C作AB的平行线CF，则CF∥DE∥AB，由平行线的性质得到∠A+∠ACF＝180°，∠DCF+∠D＝180°，进而得到∠A+∠ACD+∠D＝360°，再由AC⊥CD，即可得到∠A+∠D＝270°． （2）如图所示，过点C2作C2F∥AB，则C2∥AB∥DE，由平行线的性质得到∠D+∠FC2D＝180°，同（1）可得∠A+∠C1+∠C1C2F＝360°，∠A+∠C1+∠C1C2D+∠D＝540°； （3）由（1）（2）可知，AD、DE之间每多增加一个点，那么所得角度之和就会增加180°，据此规律求解即可． 【解答】解：（1）如图所示，过点C作AB的平行线CF， ∵AB∥DE， ∴CF∥DE， ∴∠A+∠ACF＝180°，∠DCF+∠D＝180°， ∴∠A+∠ACD+∠D＝180°×2＝360°． 又∵AC⊥CD， ∴∠A+∠D＝360°﹣90°＝270°． （2）如图所示，过点C2作C2F∥AB， ∵AB∥DE， ∴C2F∥AB∥DE， ∴∠D+∠FC2D＝180°， 同（1）可得∠A+∠C1+∠C1C2F＝360°， ∴∠A+∠C1+∠C1C2F+∠D+∠FC2D＝540°， ∴∠A+∠C1+∠C1C2D+∠D＝540°， 故答案为：540°； （3）由（1）（2）可知，AD、DE之间每多增加一个点，那么所得角度之和就会增加180°， ∴∠A+∠C1+∠C2+⋯+∠Cn﹣1+∠D＝（180n）°， 故答案为：（180n）°． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，图形类的规律探索，熟知平行线的性质是解题的关键． 类型三 “Z字模型” 13．（2025春•硚口区期末）已知AB∥CD （1）如图1，求证：∠ABE+∠DCE﹣∠BEC＝180° （2）如图2，∠DCE的平分线CG的反向延长线交∠ABE的平分线BF于F ①若BF∥CE，∠BEC＝26°，求∠BFC． ②若∠BFC﹣∠BEC＝74°，则∠BEC＝　32　 °． 【分析】（1）过E作EF∥AB，根据平行线的性质可求∠B＝∠BEF，∠C+∠CEF＝180°，进而可证明结论； （2）①易求∠ABE＝52°，根据（1）的结论可求解∠DCE＝154°，根据角平分线的定义可得∠DCG＝77°，过点F作FN∥AB，结合平行线的性质利用∠BFC＝∠BFN+∠NFC可求解； ②根据平行线的性质即角平分线的定义可求解∠BFC＝∠FCE＝180°﹣∠ECG＝180°﹣（90°∠BEC）＝90°∠BEC，设∠ABE∠FBE＝x，∠ECG＝∠DCG∠DCE＝y，结合已知条件∠BFC﹣∠BEC＝74°可求解∠BEC的度数．【方法归纳】 铅笔头模型 两直线平行，折线的拐点凸出在两直线外，形似字母Z，如图所示： 解题策略 巧过拐点作平行线，利用平行公理的推论，构造内错角或同位角解答，多拐点可以拆分为单拐点 结论：∠A＋∠C－APC＝180° 【解答】（1）证明：如图1，过E作EF∥AB， ∵AB∥CD， ∴DC∥EF， ∴∠B＝∠BEF，∠C+∠CEF＝180°， ∴∠C+∠B﹣∠BEC＝180°， 即：∠ABE+∠DCE﹣∠BEC＝180°； （2）解：①∵FB∥CE， ∴∠FBE＝∠BEC＝26°， ∵BF平分∠ABE， ∴∠ABE＝2∠FBE＝52°， 由（1）得：∠DCE＝180°﹣∠ABE+∠BEC＝180°﹣52°+26°＝154°， ∵CG平分∠ECD， ∴∠DCG＝77°， 过点F作FN∥AB，如图2， ∵AB∥CD， ∴FN∥CD， ∴∠BFN＝∠ABF＝26°，∠NFC＝∠DCG＝77°， ∴∠BFC＝∠BFN+∠NFC＝103°， ②∵BF平分∠ABE，CG平分∠DCE， 设∠ABE∠FBE＝x，∠ECG＝∠DCG∠DCE＝y， 由（1）可知，∠ABE+∠DCE﹣∠BEC＝180°， ∴2x+2y﹣∠BEC＝180°， 由（2）可知，∠BFC＝∠ABF+∠DCG， ∴∠BFC＝x+y， ∵∠BFC﹣∠BEC＝74°， ∴x+y＝74°+∠BEC， ∴2（74°+∠BEC）﹣∠BEC＝180° 解得∠BEC＝32°． 故答案为32°． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，灵活运用平行线的性质是解题的关键． 【针对训练】 1．（2025秋•北林区校级期中）如图，若AB∥CD，CD∥EF，那么∠BCE＝（　　） A．∠1+∠2 B．∠2﹣∠1 C．180°﹣∠1+∠2 D．180°﹣∠2+∠1 【分析】根据平行线的性质可得，∠1＝∠BCD，∠2+∠ECD＝180°，∠BCE＝∠BCD+∠ECD，进而可求出∠BCE的值． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠1＝∠BCD， ∵CD∥EF， ∴∠2+∠ECD＝180°， ∴∠ECD＝180°﹣∠2， ∴∠BCE＝∠BCD+∠ECD＝∠1+180°﹣∠2， ∴∠BCE＝180°﹣∠2+∠1． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的性质，难度不大，仔细审题即可． 2．（2025春•大石桥市校级月考）已知，AB∥DE，点C在AB上方，连接BC、CD． （1）如图1，若∠ABC＝145°，∠EDC＝116°，求∠BCD的度数； （2）如图2，过点C作CF⊥BC交ED的延长线于点F，写出∠ABC和∠F之间的数量关系． 【分析】（1）过点C作CM∥AB，可得∠BCM＝∠ABC＝145°，再由平行线的性质得∠DCM＝∠EDC＝116，则可求得∠BCD＝29°； （2）过点C作CN∥AB，可证得CN∥EF，由∠F＝∠FCN，结合垂线，从而可求得∠ABC﹣∠F＝90°． 【解答】解：（1）过点C作CM∥AB，如图1： ∴∠BCM＝∠ABC＝145°（两直线平行，内错角相等）， ∵AB∥DE， ∴CM∥DE（平行于同一直线的两直线相互平行）， ∴∠DCM＝∠EDC＝116°（两直线平行，内错角相等）， ∵∠BCM＝∠BCD+∠DCM， ∴∠BCD＝∠BCM﹣∠DCM＝145°﹣116°＝29°； （2）∠ABC﹣∠F＝90°，理由如下： 过点C作CN∥AB，如图： ∴∠ABC＝∠BCN， ∵AB∥ED， ∴CN∥EF， ∴∠F＝∠FCN， ∵∠BCN＝∠BCF+∠FCN， ∴∠ABC＝∠BCF+∠F， ∵CF⊥BC， ∴∠BCF＝90°， ∴∠ABC＝90°+∠F，即∠ABC﹣∠F＝90°． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是结合图形，分析清楚角与角之间的关系． 微专题3 平行线中的数学思想 类型一 方程思想 【典例】（2025春•费县期末）如图所示，已知射线CB∥OA，AB∥OC，∠C＝∠OAB＝100°．点E、F在射线CB上，且满足∠FOB＝∠AOB，OE平分∠COF． （1）求∠EOB的度数； （2）若平行移动AB，那么∠OBC：∠OFC的值是否随之发生变化，找出变化规律，若不变，求出这个比值； （3）在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC＝∠OBA？若存在，求出其度数，若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据OB平分∠AOF，OE平分∠COF，即可得出∠EOB＝∠EOF+∠FOB∠COA，从而得出答案； （2）根据平行线的性质，即可得出∠OBC＝∠BOA，∠OFC＝∠FOA，再根据∠FOA＝∠FOB+∠AOB＝2∠AOB，即可得出∠OBC：∠OFC的值为1：2； （3）根据（2）解答即可． 【解答】解：（1）∵∠FOB＝∠AOB， ∴OB平分∠AOF， 又∵OE平分∠COF， ∴∠EOB＝∠EOF+∠FOB∠COA80°＝40°； 故∠EOB的度数为：40°； （2）不变， ∵CB∥OA，则∠OBC＝∠BOA，∠OFC＝∠FOA， 则∠OBC：∠OFC＝∠AOB：∠FOA， 又∵∠FOA＝∠FOB+∠AOB＝2∠AOB， ∴∠OBC：∠OFC＝∠AOB：∠FOA＝∠AOB：2∠AOB； （3）∵CB∥OA，∠C＝∠OAB＝100°， ∴∠AOC＝∠ABC＝80°， 则四边形AOCB为平行四边形， 则∠OEC＝∠EOB+∠AOB，∠OBA＝∠BOC＝∠COE+∠EOB， 又∵∠OEC＝∠OBA， 则∠AOB＝∠COE， 则∠COE＝∠EOF＝∠FOB＝∠AOB＝80°÷4＝20°， 则∠EOB＝2×20°＝40°， 此时∠OBA＝∠OEC＝40°+20°＝60°． 【点睛】本题主要考查了平行线、角平分线的性质以及三角形内角和定理，熟记各性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键． 【针对训练】 1．（2024春•嵊州市期末）如图，AB∥CD，点E在AB上方，点F在AB，CD之间，AB平分∠EAF，CF平分∠ECD，EC交线段AB于点G．若∠F∠E＝72°，则∠EAF的度数为 　96°　 ． 【分析】作FP平行AB，根据平行线的性质可求出∠BAF+∠DCF＝∠AFC， 【解答】解：如图，作FP∥AB， 【方法归纳】 方程思想 （1） 当出现两个角之间的等量关系且不容易直接利用时，可以考虑方程思想 （2） 将某个合适的角的度数设为x,再利用x表示出其他角，即可代入等式建立方程求解 ∵AB平分∠EAF，CF平分∠ECD， ∴∠EAB＝∠FAB，∠DCF＝∠GCF， 设∠EAB＝∠FAB＝x，∠DCF＝∠GCF＝y， ∵FP∥AB，AB∥CD， ∴AB∥FP∥CD， ∴∠FAB＝∠AFP＝x，∠PFC＝∠DCF＝y， ∴∠AFC＝x+y，∠GCD＝2y，∠EAF＝2x， ∴∠EGB＝∠GCD＝2y， ∵∠EGB＝∠EAB+∠E， ∴∠EGB＝x+∠E， ∴x+∠E＝2y①， ∵∠F∠E＝72°， ∴x+y∠E＝72°②， 联立①②得x＝48°， ∴∠EAF＝2x＝2×48°＝96°． 【点睛】本题综合考查了平行线的性质，角平分线的性质以及外角的性质，熟记性质并灵活运用是解题的关键，两直线平行，同位角相等，同旁内角互补，内错角相等． 【针对训练】 1．（2025春•振兴区校级期中）如图，已知AB∥CD，∠A＝∠C＝50°，线段AD上从左到右依次有两点E、F（不与A、D重合） （1）求证：AD∥BC； （2）若，∠FBD：∠CBD＝1：4，BE平分∠ABF，且∠1＝∠BDC，判断BE与AD的位置关系，并说明理由． 【分析】（1）根据平行线的判定证明即可； （2）根据平行线的性质和角平分线的性质解答即可． 【解答】（1）证明：∵AB∥CD， ∴∠A+∠ADC＝180°， ∵∠A＝50°， ∴∠ADC＝130°， ∵∠C＝50°， ∴∠C+∠ADC＝180°， ∴AD∥BC； （2）解：BE⊥AD，理由如下： ∴∠1＝∠EBC， ∵AB∥CD， ∴∠BDC＝∠ABD， ∵∠1＝∠BDC， ∴∠ABE＝∠DBC， ∵BE平分∠ABF， 设∠FBD＝x°，则∠DBC＝4x°， ∴∠ABE＝∠EBF＝4x°， ∴4x+4x+x+4x＝130°， ∴x＝10°， ∴∠1＝4x+x+4x＝90°， ∴BE⊥AD． 【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理及性质定理是解题的关键． 2．（2025春•蒲城县期中）【问题提出】 如图，在三角形ABC中，D是AB上一点DE∥BC交AC于点E，F是线段DE延长线上的一点，连接FC，且∠BCF+∠ADE＝180°． （1）如图1，试说明AB∥CF； 【问题探究】 （2）如图2，连接BE，若∠ABE＝27°，∠ACF＝23°； ①求∠BEC的度数； ②点G是FC延长线上的一点，若∠EBC：∠ECB＝4：9，∠EBG＝2∠ABE，求∠CBG的度数． 【分析】（1）根据DE∥BC可得∠BCF+∠DFC＝180°，再由已知条件推出∠DFC＝∠ADE，即可证明AB∥CF； （2）①如图，过点E作EM∥AB，可得∠BEM＝∠ABE＝27°，继而证明CF∥EM，可得∠CEM＝∠ACF＝23°，根据∠BEC＝∠BEM+∠CEM求解即可； ②根据题意∠EBC＝4x，则∠ECB＝9x．根据∠AED+∠DEB+∠BEC＝180°，列一元一次方程解方程求解即可得∠EBC＝4x＝40°，根据∠CBG＝∠EBG﹣∠EBC求解即可． 【解答】（1）证明：∵DE∥BC， ∴∠BCF+∠DFC＝180°， ∵∠BCF+∠ADE＝180°， ∴∠DFC＝∠ADE， ∴AB∥CF； （2）解：①如图，过点E作EM∥AB， ∴∠BEM＝∠ABE＝27°． ∵CF∥AB， ∴CF∥EM， ∴∠CEM＝∠ACF＝23°， ∴∠BEC＝∠BEM+∠CEM＝50°． ②∵∠EBG＝2∠ABE，∠ABE＝27°， ∴∠EBG＝54°． ∵∠EBC：∠ECB＝4：9， ∴设∠EBC＝4x，则∠ECB＝9x． ∵DE∥BC， ∴∠DEB＝∠EBC＝4x，∠AED＝∠ECB＝9x． ∵∠AED+∠DEB+∠BEC＝180°， ∴9x+4x+50°＝180°， 解得x＝10°， ∴∠EBC＝4x＝40°． ∵∠EBG＝∠EBC+∠CBG， ∴∠CBG＝∠EBG﹣∠EBC＝14°． 【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，根据平行线的性求角度，一元一次方程的应用，掌握平行线的性质与判定是解题的关键． 类型二 分类讨论思想 【典例】（2024春•双台子区期末）（1）问题情境：如图1，AB∥CD，∠PMB＝140°，∠PND＝120°，求∠MPN的度数； （2）问题迁移：在（1）的条件下，如图2，∠AMP的角平分线与∠CNP的角平分线交于点F，则∠MFN的度数为多少？请说明理由； （3）问题拓展：如图3，AB∥CD，点P在射线OM上移动时（点P与点O，B，D三点不重合），记∠PAB＝α，∠PCD＝β，请直接写出∠APC与α，β之间的数量关系． 【分析】（1）过P作PQ∥AB，根据平行线的性质将两部分度数相加即可； （2）过F作FG∥AB，结合（1）根据角平分线性质，同（1）的性质即可求解； （3）分三种情况进行讨论，根据平行线的性质和“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和”以及等量代换即可得出答案．【方法归纳】 分类讨论 （1） 在动点问题中，若未明确说明点的位置，则需要针对点的位置进行分类讨论，分别作图解答。若题中说明动点在某条射线上运动则一般要分为动点在线段上和动点在线段延长线上进行讨论 （2） 若有多个位置均能满足题中药表达的某个特定条件，也要进行分类讨论。 【解答】解：（1）过P作PQ∥AB，如图， ∵AB∥CD， ∴AB∥PQ∥CD， ∴∠MPQ＝180°﹣∠PMB．∠NPM＝180°﹣∠PND， ∵∠PMB＝140°，∠PND＝120°， ∴∠MPQ＝40°，∠NPQ＝60°， ∴∠MPA＝100°； （2）∠MFN＝50°，理由如下： 过F作FG∥AB，如图， ∵AB∥CD， ∴AB∥PQ∥CD， ∴∠AMF＝∠MFG，∠CNF＝∠NFG， ∴∠AMF+∠CNF＝∠MFG+∠NFG＝∠MFN， ∵∠PMB＝140°，∠PND＝120°， ∴∠AMP＝40°，∠CNP＝60°， ∵∠AMP的角平分线与∠CNP的角平分线交于点F， ∴∠AMF＝20°，∠CNF＝30°， ∴∠MFN＝∠AMF+∠CNF＝50°； （3）当点P在BD上时同（1）理可得∠APC＝α+β； 当点P在BD延长线上时，如图，AP交CD于点E， ∵AB∥CD， ∴α＝∠DEP， 又∵∠DEP＝β+∠ACP， ∴∠APC＝α﹣β； 当点P在DB延长线上时，如图，CP交AB于点F， ∵AB∥CD， ∴∠BEP＝α+∠APC， ∴∠APC＝β﹣α， 综上所述，当点P在BD上时，∠APC＝α+β；当点P在BD延长线上时，∠APC＝α﹣β；当点P在DB延长线上时，∠APC＝β﹣α． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理，关键是能够正确作出辅助线，灵活使用平行线的性质以及角平分线的定义和平行线的性质，利用分类讨论的数学思想． 【针对训练】 1．（2025春•石家庄期中）∠1与∠2的两边分别平行，且∠1比∠2的4倍少30°，则∠1的度数为（　　） A．10° B．42° C．138°或42° D．10°或138° 【分析】根据两边分别平行的两个角相等或互补用∠1表示∠2，然后列方程求解． 【解答】解：∵∠1与∠2的两边分别平行， ∴∠1＝∠2或∠2＝180°﹣∠1， 又∵∠1比∠2的4倍少30°， ∴∠1＝4∠2﹣30°＝4∠1﹣30°或∠1＝4∠2﹣30°＝4（180°﹣∠1）﹣30°， 解得：∠1＝10°或∠1＝138°． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的性质，难点在于熟记两边分别平行的两个角相等或互补． 2．（2025春•青秀区期中）如图，l1∥l2，BC平分∠ABD，点E是射线BC上的一个动点，设∠BAE＝β，当∠BAE：∠CAE＝5：1时，则∠ACB的度数为（　　） A．90°β B．90°β C．90°β或90°β D．90°β或90°β 【分析】根据题意可分为两种情况：①当点E在直线AC上方时，根据已知条件求得∠CAB，再由平行线的性质得∠ABD＝180°，结合角平分线的定义即可∠CBD的度数，从而可得∠ACB的度数； ②当点E在直线AC下方时，参照①进行求解即可． 【解答】解：①当点E在直线AC上方时，如图， ∵∠BAE＝β，当∠BAE：∠CAE＝5：1， ∴∠CAE∠BAE， ∴∠BAC＝∠BAE﹣∠CAE， ∵l1∥l2， ∴∠ABD+∠BAC＝180°，∠ACB＝∠CBD， ∴∠ABD＝180°， ∵BC平分∠ABD， ∴∠CBD∠ABD＝90°， ∴∠ACB＝90°； ②当点E在直线AC下方时，如图， ∵∠BAE＝β，当∠BAE：∠CAE＝5：1， ∴∠CAE∠BAE， ∴∠BAC＝∠BAE+∠CAE， ∵l1∥l2， ∴∠ABD+∠BAC＝180°，∠ACB＝∠CBD， ∴∠ABD＝180°， ∵BC平分∠ABD， ∴∠CBD∠ABD＝90°， ∴∠ACB＝90°． 综上所述，∠ACB的度数为：90°β或90°β． 故选：D． 【点睛】此题考查了平行线的性质，角平分线的计算，求几何图形中角的度数，正确掌握平行线的性质是解题的关键． 3．（2024春•如皋市校级月考）如图，已知AD∥BE，点C是直线FG上的动点，若点C在移动过程中，存在某时刻使得∠ACB＝45°，∠DAC＝23°，则∠EBC的度数为　22°或68°　 ． 【分析】分两种情况讨论：当点C在AD、BE之间时，当点C在AD、BE外部时，分别过C作CH∥AD，则AD∥CH∥BE，依据平行线的性质以及角的和差关系，即可得到∠EBC的度数． 【解答】解：如图所示，当点C在AD、BE之间时， 过C作CH∥AD，则AD∥CH∥BE， ∵∠DAC＝23°， ∴∠ACH＝23°， 又∵∠ACB＝45°， ∴∠BCH＝22°， ∴∠EBC＝22°； 如图，当点C在AD、BE外部时， 过C作CH∥AD，则AD∥CH∥BE， ∵∠DAC＝23°， ∴∠ACH＝23°， 又∵∠ACB＝45°， ∴∠BCH＝∠ACH+∠ACB＝68°， ∴∠EBC＝∠BCH＝68°； 故答案为：22°或68°． 【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 4．（2024春•崆峒区期中）如图，∠ABC＝100°，MN∥BC，动点P在射线BA上从点B开始沿BA方向运动，连接MP，当∠PMN＝120°时，∠BPM的度数为　140°或20°　 ． 【分析】如图1，过P作PD∥BC，根据平行线的性质可得MN∥PD∥BC，再根据平行线的性质得到∠DPM＝60°，∠DPB＝80°，再根据角的和差关系即可求解； 如图2，过P作PD∥BC，根据平行线的性质可得MN∥PD∥BC，再根据平行线的性质得到∠DPM＝60°，∠DPB＝80°，再根据角的和差关系即可求解． 【解答】解：如图1，过P作PD∥BC， ∵MN∥BC， ∴MN∥PD∥BC， ∵∠PMN＝120°，∠ABC＝100°， ∴∠DPM＝60°，∠DPB＝80°， ∴∠BPM＝60°+80°＝140°； 如图2，过P作PD∥BC， ∵MN∥BC， ∴MN∥PD∥BC， ∵∠PMN＝120°，∠ABC＝100°， ∴∠DPM＝60°，∠DPB＝80°， ∴∠BPM＝80°﹣60°＝20°． 故答案为：140°或20°． 【点睛】考查了平行线的性质，关键是熟悉两直线平行，同旁内角互补的知识点． 5．（2025春•朝阳区校级月考）如图，直线EF上有两点A，C，在直线EF两侧分别引射线AB，CD，使∠BAF＝110°，∠DCF＝60°．射线AB，CD分别绕点A，点C以1度/秒和6度/秒的速度同时顺时针转动，设转动时间为t秒，在射线CD转动一周的时间内，当转动时间t的值为多少时，CD与AB平行？ 【分析】分①AB与CD在EF的两侧，分别表示出∠ACD与∠BAC，然后根据内错角相等两直线平行，列式计算即可得解； ②CD旋转到与AB都在EF的右侧，分别表示出∠DCF与∠BAC，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解； ③CD旋转到与AB都在EF的左侧，分别表示出∠DCF与∠BAC，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解． 【解答】解：分三种情况： ①如图，AB与CD在EF的两侧时， ∵∠BAF＝110°，∠DCF＝60°， ∴∠ACD＝180°﹣60°﹣（6t）°＝120°﹣（6t）°，∠BAC＝110°﹣t°， 要使AB∥CD，则∠ACD＝∠BAF， 即120°﹣（6t）°＝110°﹣t°， 解得t＝2； 此时（180°﹣60°）÷6＝20， ∴0＜t＜20； ②如图，CD旋转到与AB都在EF的右侧时， ∵∠BAF＝110°，∠DCF＝60°， ∴∠DCF＝360°﹣（6t）°﹣60°＝300°﹣（6t）°，∠BAC＝110°﹣t°， 要使AB∥CD，则∠DCF＝∠BAC， 即300°﹣（6t）°＝110°﹣t°， 解得t＝38， 此时（360°﹣60°）÷6＝50， ∴20＜t＜50； ③如图，CD旋转到与AB都在EF的左侧时， ∵∠BAF＝110°，∠DCF＝60°， ∴∠DCF＝（6t）°﹣（180°﹣60°+180°）＝（6t）°﹣300°，∠BAC＝t°﹣110°， 要使AB∥CD，则∠DCF＝∠BAC， 即（6t）°﹣300°＝t°﹣110°， 解得t＝38， 此时t＞50， ∵38＜50， ∴此情况不存在． 综上所述，当时间t的值为2秒或38秒时，CD与AB平行． 【点睛】本题考查了平行线的判定，读懂题意并熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键，要注意分情况讨论． 6．（2024秋•仁寿县期末）如图，AB∥CD，直线EF与AB，CD分别相交于点G，H，∠EHD＝α（0°＜α＜90°）．小安将一个含30°角的直角三角尺PMN按如图（1）所示的方式放置，使点N，M分别在直线AB，CD上，且在点G，H的右侧，∠P＝90°，∠PMN＝60°． （1）填空：∠PNB+∠PMD＝ 　90°　 ． （2）如图（2），∠MNG的平分线NO交直线CD于点O． ①当NO∥EF∥PM时，求α的度数． ②小安将三角尺PMN保持EF∥PM并向左平移，在平移的过程中求∠MON的度数（用含α的代数式表示）． 【分析】（1）根据题意，结合图形，分别得到∠PNB＝∠NPQ，∠PMD＝∠MPQ，即可得到∠PNB+∠PMD＝90°； （2）①根据题意得到∠ANO＝∠ONM＝60°，利用平行线的性质，得到α＝∠NOM＝60°； ②分类讨论，当点N在点G的右侧时，当点N在点G的左侧时，结合图形，得到∠MON的度数． 【解答】解：（1）如图1，过P点作PQ∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥PQ， ∴∠PNB＝∠NPQ，∠PMD＝∠MPQ， ∴∠PNB+∠PMD＝∠NPQ+∠MPQ＝∠MPN＝90°， 故答案为：90°； （2）①∵NO∥EF∥PM， ∴∠ONM＝∠NMP＝60°， ∵∠MNG的平分线NO交直线CD于点O， ∴∠ANO＝∠ONM＝60°， ∵AB∥CD， ∴∠NOM＝∠ANO＝60°， ∵NO∥EF， ∴α＝∠NOM＝60°； ②如图2，当点N在点G的右侧时， ∵PM∥EF，∠EHD＝α， ∴∠PMD＝α， ∴∠NMD＝60°+α， ∵AB∥CD， ∴∠ANM＝∠NMD＝60°+α， ∵NO平分∠MNG， ∴， 又∵AB∥CD， ∴∠MON＝∠ANO＝30°α； 如图3，当点N在点G的左侧时， ∵PM∥∥EF，∠EHD＝α， ∴∠PMD＝α， ∴∠NMD＝60°+α， ∵AB∥CD， ∴∠BNM+∠NMO＝180°，∠BNO＝∠MON， ∵NO平分∠MNG， ∴， ∴， 综上所述，∠MON的度数为或． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线，角的计算，正确认识图形，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 第二部分 专题提优集训 1．（2024秋•仁寿县期末）如图，已知直线AB和CD相交于点O，∠COE是直角，OF平分∠AOE，∠COF＝34°，则∠BOD的度数为（　　） A．22° B．34° C．56° D．72° 【分析】先根据∠COE是直角，∠COF＝34°求出∠EOF的度数，再根据OF平分∠AOE求出∠AOC的度数，根据对顶角相等即可得出结论． 【解答】解：∵∠COE是直角，∠COF＝34°， ∴∠EOF＝90°﹣34°＝56°， ∵OF平分∠AOE， ∴∠AOF＝∠EOF＝56°， ∴∠AOC＝56°﹣34°＝22°， ∴∠BOD＝∠AOC＝22°． 故选：A． 【点睛】本题考查的是角的计算，熟知角平分线的定义、直角的定义等知识是解答此题的关键． 2．（2025•韶关模拟）如图所示，直线a∥b，∠2＝31°，∠A＝28°，则∠1＝（　　） A．61° B．60° C．59° D．58° 【分析】根据三角形外角的性质∠DBC＝∠A+∠2，欲求∠1，需求∠DBC．根据平行线的性质，由a∥b，得∠1＝∠DBC，从而解决此题． 【解答】解：∵a∥b， ∴∠1＝∠DBC， ∵∠DBC＝∠A+∠2， ＝28°+31° ＝59°． 故选：C． 【点睛】本题主要考查平行线的性质、三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质、三角形外角的性质是解决本题的关键． 3．（2024春•旌阳区校级月考）如图，若∠AOB与∠BOC是一对邻补角，OD平分∠AOB，在∠BOC内部，并且，∠DOE＝70°，则∠COE的度数是 　80°　 ． 【分析】设未知数，把角用未知数表示出来，列方程组，求解．角平分线的运用，为解此题起了一个过渡的作用．设∠EOB＝x，∠EOC＝2x，把角用未知数表示出来，建立x的方程，用代数方法解几何问题是一种常用的方法． 【解答】解：∵， ∴设∠EOB＝x，则∠EOC＝2x， ∵OD平分∠AOB， ∴， 则， 则∠BOE+∠BOD＝∠DOE， 即， 解得x＝40°， 故∠EOC＝2x＝80°． 故答案为：80°． 【点睛】本题考查了对顶角、邻补角，掌握对顶角、邻补角的定义是解题的关键． 4．（2025春•南充校级期中）如图，将长方形纸片ABCD进行翻折，图中EF为折痕．如果∠1＝25°，∠2的度数为 　65°　 ． 【分析】延长MH交BC于点G，根据长方形的性质可得AD∥BC，∠B＝90°，再根据折叠的性质可得：∠B＝∠FHM＝90°，从而利用三角形的外角性质可得∠HGF＝65°，然后再利用平行线的性质，即可解答． 【解答】解：如图：延长MH交BC于点G， ∵四边形ABCD是长方形， ∴AD∥BC，∠B＝90°， 由折叠得：∠B＝∠FHM＝90°， ∵∠FHM是△FHG的一个外角， ∴∠HGF＝∠FHM﹣∠1＝65°， ∵AD∥BC， ∴∠2＝∠HGF＝65°， 故答案为：65°． 【点睛】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 5．（2024春•法库县期末）观察下列图形：已知a∥b，在第一个图中，可得∠1+∠2＝180°，则按照以上规律，∠1+∠2+∠P1+…+∠Pn＝　（n+1）×180　 度． 【分析】分别过P1、P2、P3作直线AB的平行线P1E，P2F，P3G，由平行线的性质可得出：∠1+∠3＝180°，∠5+∠6＝180°，∠7+∠8＝180°，∠4+∠2＝180°于是得到∠1+∠2＝10°，∠1+∠P1+∠2＝2×180，∠1+∠P1+∠P2+∠2＝3×180°，∠1+∠P1+∠P2+∠P3+∠2＝4×180°，根据规律得到结果∠1+∠2+∠P1+…+∠Pn＝（n+1）×180°． 【解答】解：如图，分别过P1、P2、P3作直线AB的平行线P1E，P2F，P3G， ∵AB∥CD， ∴AB∥P1E∥P2F∥P3G． 由平行线的性质可得出：∠1+∠3＝180°，∠5+∠6＝180°，∠7+∠8＝180°，∠4+∠2＝180° ∴（1）∠1+∠2＝180°，（2）∠1+∠P1+∠2＝2×180，（3）∠1+∠P1+∠P2+∠2＝3×180°，（4）∠1+∠P1+∠P2+∠P3+∠2＝4×180°， ∴∠1+∠2+∠P1+…+∠Pn＝（n+1）×180°． 故答案为：（n+1）×180． 【点睛】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，利用两直线平行，同旁内角互补是解答此题的关键． 6．（2025春•广饶县期末）为增强学生体质，某学校将抖空竹引入“阳光体育一小时”活动．图①是某同学抖空竹时的一个瞬间，小聪把它抽象成如图②所示的示意图．已知AB∥CD，∠EAB＝80°，∠ECD＝110°，则∠CEA的度数为（　　） A．70° B．10° C．20° D．30° 【分析】过点E作EF∥AB，根据平行线的性质即可解答． 【解答】解：如图，过点E作EF∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EF， ∴∠ECD+∠FEC＝180°，∠FEA+∠EAB＝180°， ∵∠EAB＝80°，∠ECD＝110°， ∴∠FEC＝70°，∠FEA＝100°， ∴∠CEA＝100°﹣70°＝30°， 故选：D． 【点睛】本题考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． 7．（2025春•海南期末）已知点O在直线AB上，OC⊥OD，OE平分∠BOC． （1）如图1，若∠AOC＝30°，则∠DOE的度数是　15°　 ． （2）如图2，若∠DOE＝α，则∠AOC的度数是　2α　 （用含α的代数式表示）． 【分析】（1）根据补角的性质，可得∠BOC的度数，由OE平分∠BOC可得∠BOC的度数，由垂线的性质可得∠DOC＝90°，由DOE＝∠DOC﹣∠EOC代入计算即可得出答案； （2）设∠COE＝x，根据OE平分∠BOC可得∠BOE＝∠COE＝x，根据垂线的性质可得∠DOC＝90°，则x+α＝90°可计算出x的度数，由∠BOC＝2∠COE＝2x＝180°﹣2α进行解答即可． 【解答】解：（1）∵∠AOC＝30°， ∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝180°﹣∠AOC＝150°， ∵OE平分∠BOC， ∴∠COE∠BOC＝75°， ∵OC⊥OD， ∴∠COD＝90°， ∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝15°； 故答案为：15°； （2）设∠COE＝x， ∵OE平分∠BOC， ∴∠BOE＝∠COE＝x， 又∵CO⊥DO， ∴∠DOC＝90°， ∴x+α＝90°， ∴x＝90°﹣α， ∴∠BOC＝2∠COE＝2x＝180°﹣2α， ∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣180°+2α＝2α． 故答案为：2α． 【点睛】本题主要考查了垂线、角平分线的性质、角的计算，熟练掌握垂线、角平分线的性质、角的计算的方法进行计算是解决本题的关键． 8．（2025秋•前郭县期末）如图，直线AB、CD相交于点O．已知∠AOC＝75°，在∠AOC内部引一条射线OE，且∠AOE＝30°，请解答下列问题： （1）∠COE度数是 　45°　 ；∠BOC度数是 　105°　 ； （2）将射线OE绕点O逆时针旋转a°（0°＜α＜360°）到OF． ①如图2，当OF平分∠BOE时，说明OB平分∠DOF； ②当∠AOF＝90°时，请求出α的度数． 【分析】（1）根据∠COE＝∠AOC﹣∠AOE，∠BOC＝180°﹣∠AOC，即可得出答案； （2）①求出∠BOD与∠BOF的度数，进行比较即可证得结论； ②考虑到有两种情况即可，即为OF在如图所示位置与OF在AB上方位置． 【解答】解：（1）∵∠AOC＝75°，∠AOE＝30°， ∴∠COE＝∠AOC﹣∠AOE＝75°﹣30°＝45°； ∵∠AOC＝75°， ∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣75°＝105°； 故答案为：45°；105°； （2）①当OF平分∠BOE时， ∵， 又∵∠BOD＝∠AOC＝75°， ∴∠BOF＝∠BOD＝75°， ∴OB平分∠DOF． ∴当OF平分∠BOE时，OB是平分∠DOF． ②当∠AOF＝90°时，且OF在AB下方时， ∵∠EOF＝∠AOF﹣∠AOE＝90°﹣30°＝60°， ∴α＝∠EOF＝60°， 当∠AOF＝90°时，且OF在AB上方时，OF相当于比在AB下方时多旋转了180°， ∴α＝60°+80°＝240°． 综上所述：当∠AOF＝90°时，α的度数为60°或者240°． 【点睛】本题考查了几何图形中角的计算，角平分线的定义，数形结合是解题的关键． 9．（2025春•龙文区校级期中）如图，由线段AB，AM，CM，CD组成的图形像，称为“形BAMCD”． （1）如图1，形BAMCD中，若AB∥CD，∠AMC＝60°，则∠A+∠C＝ 　60°　 °； （2）如图2，连接形BAMCD中B，D两点，若∠ABD+∠BDC＝160°，∠AMC＝α，试猜想∠BAM与∠MCD的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下，当点M在线段BD的延长线上从上向下移动的过程中，请直接写出∠BAM与∠MCD所有可能的数量关系． 【分析】（1）过M作MN∥AB，利用平行线的性质计算可求求解； （2）过A点作AP∥CD交BD于点P，利用平行线的性质及三角形的内角和定理可求得∠BAP＝20°，结合（1）的结论可求解； （3）可分两种情况：当D，C位于AM两侧时，当D，C位于AM同侧时，利用平行线的性质及三角形外角的性质可分别计算求解． 【解答】解：（1）过M作MN∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥MN∥CD， ∴∠AMN＝∠A，∠MCD＝∠C， ∴∠A+∠C＝∠AMN+∠MCD＝∠AMC＝60°， 故答案为：60°； （2）∠BAM+∠MCD＝α+20°， 理由：过A点作AP∥CD交BD于点P， ∴∠APB＝∠D， ∵∠BAP+∠APB+∠B＝180°，∠B+∠D＝160°， ∴∠BAP＝180°﹣160°＝20° 由（1）可得∠AMC＝∠PAM+∠MCD， ∵∠AMC＝α， ∴∠PAM+∠MCD＝α， ∴∠BAM+∠MCD＝α+20°； （3）如图，当D，C位于AM两侧时， ∵∠ABD+∠BDC＝160°，∠CDM+∠BDC＝180°， ∴∠CDM﹣∠ABD＝20°， ∵∠AMQ＝∠B+∠BAM，∠CMQ＝∠MCD+∠CDM，∠AMC＝α， ∴α＝∠AMQ﹣∠CMQ＝∠B+∠BAM﹣（∠MCD+∠CDM）＝∠BAM﹣∠MCD﹣20°， 即∠BAM﹣∠MCD＝α+20°； 当A，C，M三点共线时，∠AMC＝α＝0°， ∴∠BAM﹣∠MCD＝20° 当D，C位于AM同侧时， ∵∠ABD+∠BDC＝160°，∠CDM+∠BDC＝180°， ∴∠CDM﹣∠ABD＝20°， ∵∠AMO＝∠B+∠BAM，∠CMO＝∠MCD+∠CDM，∠AMC＝α， ∴α＝∠CMO﹣∠AMO＝∠MCD+∠CDM﹣（∠B+∠BAM）＝∠MCD﹣∠BAM+20°， 即∠MCD﹣∠BAM＝α﹣20°， 综上，∠BAM﹣∠MCD＝α+20°或∠MCD﹣∠BAM＝α﹣20°． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，三角形外角的性质，三角形的内角和定理，掌握平行线的性质是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $