内蒙古包头市第九中学外国语学校2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

包九外2024-2025学年第二学期高二期中考试 数学试题 一、单选题：（本大题共8小题，每个小题5分，共40分在每小题给出的选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.设随机变量X的方差D(X)=1,则D(2X+1)的值为() A.2 B.3 C.4 D.5 2.某校迎新晚会上有A,B,C,D,E,F共6个节目，为了考虑整体效果，对节目演出顺 序有如下要求：节目A,B不相邻，节目D,F必须连在一起，则不同的节目编排方案种数 为() A.60 B.72 C.120 D.144 3.函数f(x)=ex-x+1在[-2,2]上的值域为() A.[2,e2-1] B.[2,e-2+3] C.[e2+3,e2-1]D.[e,e2-1] 4.一袋中有大小相同的4个红球和2个白球.若从中不放回地取球2次，每次任取1个球， 记第一次取到红球”为事件A,“第二次取到红球”为事件B,则P(BA)=() A.吉 B. c. D. 5.设a∈R,函数f(x)=x4-(a+3)x3+ax2的导函数是f(x),若f(x)是奇函数，则曲线y= f(x)在x=1处的切线方程为() A.y=-3x+1 B.y=-2x C.y=2x+4 D.y=-2X+4 6.甲，乙，丙，丁四位师范生分配到A,B,C三所学校实习，若每所学校至少分到一人， 且甲不去A学校实习，则不同的分配方案的种数是() A.48 B.36 C.24 D.12 7.若函数f()=lx+x2-ax在（侵3）上怡有2个极值点，则实数a的取值范围是() A.(2) B.(2引 c.(9) D.(2) 8.若a=-,b=1n子，c=-则() A.c<a<b B.b<c<a C.c<b<a D.b<a<c 试卷第1页，共4页 二、多选题：（本大题共3小题，每个小题6分，共18分.全部选对得6分，部分选对得3 分，有选错的得0分) 9.若P(A)=子，P(B)=子，P(B1A=则下列说法正确的是（） A.P(AB) B.事件A与B相互独立 C.P(AUB)- D.P(AB)=月 10.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x),且函数g(x)=xf(x)的图象如图所示，则 下列结论中一定成立的是() g(x A.f(x)有三个极值点 B.f(O)为函数的极大值 C.f(-1)为f(x)的极小值 D.f(x)有两个极小值 11.一个不透明的箱子中装有5个小球，其中白球3个，红球2个，小球除颜色不同外，材 质大小全部相同，现投掷一枚质地均匀的硬币，若硬币正面朝上，则从箱子里抽出一个小球 且不再放回；若硬币反面朝上，则不抽取小球：重复该试验，直至小球全部取出，假设试验 开始时，试验者手中没有任何小球，下列说法正确的有() A,经过两次试验后，试验者手中恰有2个白球的概率为品 B.若第一次试验抽到一个白球，则第二次试验后，试验者手有白红球各1个的概率为好 C.经过6次试验后试验停止的概率为号 D.经过6次试验后试验停止的概率最大 三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分把答案填在答题卡中的横线上.） 12.(2-x)(x+)°的展开式中的系数为 试卷第2页，共4页 13.某市举办全运会开幕式.现从A、B、C、D、E5个节目中任选3个节目进行开幕式表演， 若3个节目中有A和B时，A需排在B的前面出场（不一定相邻），则不同的出场方法有种， 14.已知函数f(x)=nx-ax+2(a∈R)有两个不同的零点，则实数a的取值范围是 四、解答题：（本大题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤。) 15.(13分)若(1-2x)7=0+a1x+a2x2+…+a7x7,求： (1)求a4的值； (2)a1+a2+…+a7: (3)laol+lal+.+lazl. 16.(15分)中国传统文化中，过春节吃饺子，饺子是我国的传统美食，不仅味道鲜美而且 寓意美好现有甲、乙两个箱子装有大小、外观均相同的速冻饺子，已知甲箱中有3盒肉馅 的“饺子”，2盒三鲜馅的“饺子”和5盒青菜馅的饺子”，乙箱中有3盒肉馅的“饺子”，3盒三 鲜馅的“饺子”和4盒青菜馅的饺子问： (1)从甲箱中取出一盒“饺子”是肉馅的概率是多少？ (2)若依次从甲箱中取出两盒“饺子”，求第一盒是肉馅的条件下，第二盒是三鲜馅的概率； (3)若先从甲箱中随机取出一盒“饺子”放入乙箱，再从乙箱中随机取出一盒“饺子”，从乙箱取 出的“饺子”是肉馅的概率 17.(15分)我市拟建立一个博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司， 经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标现从建筑设计院聘请专家设计了一个 招标方案：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司 能正确回答其中4道题日，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为子，甲、乙两家公司对 每题的回答都是相互独立，互不影响的 (1)求甲公司至少答对2道题目的概率； (2)分别求甲、乙两家公司答对题数的分布列，请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪 家公司竞标成功的可能性更大？ 试卷第3页，共4页 18.(17分)已知函数f)=-2ax2+(1+o)x-nx(a∈R). (1)当a=0时，求函数f(x)的最小值： (2)当a=1时，x∈[1,3]，证明不等式f(x)>-4nx: (3)当a∈R时，求函数f(x)的单调区间. 19.(17分)对于函数f(x),若存在实数xo,使f(xo)fxo+)=1,其中1≠0，则称f(x) 为“可移倒数函数”，xo为“f(x)的可移倒数点”.己知g(x)=e,h(x)=x+a(a>0). (1)设p(x)=g(x)h2(x),若V2为h(x)的可移-2倒数点”，求函数p(x)的单调区间： (g(x),x>0 (2)设ω(x)= x<0,若函数如()怡有3个可移1倒数点”，求的取值范国。 试卷第4页，共4页报告查询：登录zhixue.con或扫描二维码下载App (用户名和初始密码均为准考证号) 包九中外国语学校高二数学期中考试答题卡 考场/座位号： 姓名： 班级： 贴条形码区 回▣ (正面制上，切勿贴出虚线方框 递 正确填涂 ■ 缺考标记 客观题(18为单选题；9-11为多选题) 1[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 2[A][B][c][D] 7[A][B][c][D] 3[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 10[A][B][C][D] 填空题 12. 13. 14. 囚▣■ 第1页共6页 解答题 15. 囚囚■ 第2页共6页 16. ■ 第3页共6页 並9并连崽 囚■囚 ■ 0 0 LI ■ 亚9并亚9嵬 囚■囚 8L ▣ 19. ■ 第6页共6页《2025年4月29日高中数学作业》参考答案 题号 1 2 3 6 7 8 9 10 答案 C D A B C A A ACD ABD 题号 11 答案 ABC 12.-13: 13.51: 14.(0,e) 15.(1)560 (2)-2 (3)2187 【详解】(1)二项式(1-2x)展开式的通项为T,+1=C17-r(-2x)=C5(-2)'x', 其中0≤r≤10，r∈N. 因为(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,所以a4=C(-2)4=560. (2)(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+.+a7x, 令x=0,解得a0=1; 令x=1,整理得a0+a1+.+a7=-1, 故a1+a2+ag+…+a7=-2. (3)(1-2x)的展开式通项为Tk+1=C·(-2x)=C·(-2)x,则ak=C·(-2), 其中0≤k≤7且k∈N,当k为偶数时，ak>0;当k为奇数时，ak<0. 所以aol+|a1l+…+lal=ao-a1+a2-a3+a4-as+a6-a7 令x=-1可得a-a1+a2-ag+a4-a5+a6-a7=37=2187, 所以|aol+l|a1l+…+la2l=2187. 16.(1品 (呢 品 【详解】(1)设事件A=“取出饺子是肉馅，P(0=品 (2)设事件B=“甲箱中取出的第一盒饺子是肉馅”， 事件C=“取出第二个盒饺子是三鲜馅”， 3.2 P(CIB)= P(BC) 10×92 P(B) 3 10 (3)设事件D=“从乙箱取出的“饺子”是肉馅”. 设事件A1,A2,A3分别是甲箱中取出肉馅的“饺子”，三鲜馅的“饺子和青菜馅的“饺子”， P(D)=P(A1)P(DIA)+P(A2)P(DIA2)+P(A3)P(DIA3) 3.42.35.33 =i0×1+0×立+0×五-0 17.(0月 (2)分布列见解析，甲公司竞标成功的可能性更大，分析见解析 【详解】(1)由题意可知甲公司至少答对2道题目可分为答对2题和答对3题， 所求概率P-警+是-目 (2)设甲公司正确完成面试的题数为X,则X的可能取值为1,2,3， PX=1)=装=PK=2)=警=号PK=3)-是= 则X的分布列为 X 1 y 3 5 5 5 所以E(0=1×+2×+3×写=2，DW=1-2)2×+(2-2)2×号+6-22×= 设乙公司正确完成面试的题数为Y,则Y的可能取值为0,1,2,3， PW=0)=c9×)°×)°=PW=1)=C×(③×)- PY=2）)=c×③)×)'-pY=3)=Gx③×°-号 则Y的分布列为 0 y 2 1 2 4 8 27 27 所以B()=0×号+1×号+2×+3×号=2， 1 D0=0-2)2×+(1-2)2×号+(2-2)2×号+(3-2)2×号=子 由于E(X)=E(Y),D(X)<D(Y),所以甲公司竞标成功的可能性更大. 18.(1)1 (2)证明见详解 (3)答案见详解 【详解】(1)因为f(x)的定义域为(0，+oo), 当a=0时，则f)=x-lx,且f()=1-=号 当0<x<1时，f'(x)<0;当x>1时，f(x)>0: 可知f f(x) 在(0，1)内单调递减，在 (1，+∞) 内单调递增， 所以函数 f(x) 的最小值为 f(1)=1. (2)当 a=1 时，则 $$f \left( x \right) = - \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } + 2 x - \ln x ，$$ 构建 $$g \left( x \right) = f \left( x \right) + 4 \ln x = - \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } + 2 x + 3 \ln x ， x \in \left[ 1 ， 3 \right] ，$$ 则 $$g ' \left( x \right) = - x + 2 + \frac { 3 } { x } = \frac { \left( x + 1 \right) \left( 3 - x \right) } { x } \ge 0$$ 在[1，3]内恒成立， 可知 g g(x) )在[1，3]内单调递增，则 $$g \left( x \right) \ge g \left( 1 \right) = \frac { 3 } { 2 } > 0 ，$$ 所以当 x∈[1，3]，f(x)>-4lnx. (3)因为 f(x) 的定义域为 (0，+∞)， 1f $$f ' \left( x \right) = - a x + \left( 1 + a \right) - \frac { 1 } { x } = \frac { \left( x - 1 \right) \left( 1 - a x \right) } { x } ，$$ (1-ax) x (i)若 a≤0， ，可知 1-ax>0， 当 0<x<1 时， f'(x)<0； 当 x>1 时， f'(x)>0； 可知f(x)的单调递减区间为 (0，1)， ，单调递增区间为( (1，+∞)； (ii)若 a>0， 令 f'(x)=0， ，解得 x=1 或 $$x = \frac { 1 } { a } > 0 ，$$ ① 当 $$1 > \frac { 1 } { a } ，$$ ，即 a>1 时，f( \left.x) 的单调递减区间为 $$\left( 0 ， \frac { 1 } { a } \right) ， \left( 1 ， + \infty \right) ，$$ ，单调递增区间为 $$\left( \frac { 1 } { a } ， 1 \right) ；$$ ②当 $$1 = \frac { 1 } { a } ，$$ 即 a=1 时， f(x) 的单调递减区间为 (0，+∞)， ，无单调递增区间： ③ $$1 < \frac { 1 } { a } ，$$ ，即 0<a<1 时， f(x) 的单调递减区间为 $$\left( 0 ， 1 \right) ， \left( \frac { 1 } { a } ， + \infty \right) ，$$ ，单调递增区间为 $$\left( 1 ， \frac { 1 } { a } \right) ；$$ 综上所述： a≤0，f(x) 的单调递减区间为 (0，1)， 单调递增区间为 $$y \left( \frac { 1 } { a } ， + \infty \right) ；$$ a>1，f(x) 的单调递减区间为 $$\left( 0 ， \frac { 1 } { a } \right) ， \left( 1 ， + \infty \right) ，$$ ，单调递增区间为 $$\left( \frac { 1 } { a } ， 1 \right) ；$$ a=1，f(x) )的单调递减区间为 (0，+∞)， ，无单调递增区间； 0<a<1，f(x) 的单调递减区间为 $$\left( 0 ， 1 \right) ， \left( \frac { 1 } { a } ， + \infty \right) ，$$ ，单调递增区间为 $$\left( 1 ， \frac { 1 } { a } \right)$$ 19.(1)单调递增区间为 (-∞，-3)，(-1，+∞)， 递减区间为(-3，-1)； (2)(2，e). 【详解】(1)由 $$\left. { \sqrt 2 } \right)$$ "h(x) 的可移-2倒数点”，得 $$h \left( \sqrt 2 \right) h \left( \sqrt 2 - 2 \right) = 1 ，$$ 即 $$\left( \sqrt 2 + a \right) \left( \sqrt 2 - 2 + a \right) = 1 ，$$ ，整理 $$a ^ { 2 } + \left( 2 \sqrt 2 - 2 \right) a + 1 - 2 \sqrt 2 = 0 ，$$ $$且 \left( a + 2 \sqrt 2 - 1 \right) \left( a - 1 \right) = 0$$ ，解得 a=1， 由 $$\varphi \left( x \right) = e ^ { x } \left( x + 1 \right) ^ { 2 }$$ ²的定义域为 R， ，求导得 $$\varphi ' \left( x \right) = e ^ { x } \left( x + 1 \right) ^ { 2 } + 2 e ^ { x } \left( x + 1 \right) = e ^ { x } \left( x + 1 \right) \left( x + 3 \right)$$ 当 x∈(-∞，-3) 时 ，φ'(x)>0，φ(x) 单调递增； x∈(-3，-1) 时 ，φ'(x)<0，φ(x) 单调递减； x∈(-1，+∞) 时， 4 φ'(x)>0，φ(x) 单调递增， p(x) 的单调递增区间为 (-∞，-3)，(-1，+∞)， ，递减区间为 (-3，-1) (2)依题意，w( $$\omega \left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} e ^ { x } ， x > 0 \\ \frac { 1 } { x + a } ， x < 0 \end{array} \right. ，$$ 由ω(x)恰有3个“可移1倒数点”，得方程ω(x)ω(x+1)=1恰有3个不等实数根， ①当x>0时，x+1>0,方程ω6)ω(x+1)=1可化为e2x+1=1,解得x=-2》 这与x>0不符，因此在(0，+o)内ω(x)ω(x+1)=0没有实数根： ②当-1<x<0时，x+1>0,方程w()w(x+1)=1可化为=1， x十a 该方程又可化为a=ex+1-x. 设k(x)=ex+1-x,则k'(x)=e+1-1, 因为当x∈(-1,0)时，k(x)>0,所以k(x)在(-1,0)内单调递增， 又因为k(-1)=2,k(0)=e,所以当x∈(-1,0)时，k(x)∈(2，e), 因此，当a∈(2，e)时，方程w(x)ω(x+1)=1在(-1,0)内恰有一个实数根： 当a∈(0,2]U[e,+o)时，方程ω(x)w(x+1)=1在(-1,0)内没有实数根. ③当x=-1时，x+1=0,ω(x+1)没有意义，所以x=-1不是ω(x)ω(x+1)=1的实数根. ④当x<-1时，x+1<0,方程0Cc+1)=1可化为=1， 化为x2+(2a+1)x+a2+a-1=0,于是此方程在(-o,-1)内恰有两个实数根， (2a+1)2-4(a2+a-1)>0 则有 -2a1<-1,解得a>1+5, 2 1-(2a+1)+a2+a-1>0 因此当a>+5时，方程ω()w(x+1)=1在(-0，-1)内恰有两个实数根， 当0<a≤1+5时，方程a()ω(x+1)=1在(-0，-1)内至多有一个实数根， 2 综上，a的取值范围为(2，e9n(5+o)=(2e).