精品解析：天津市第二十中学2025-2026学年高一上学期学情调研（二）数学试题

2025-2026第一学期高一年级数学学科学情调研（二） 一、单选题（每小题3分，共27分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数的单调性解不等式分别求出集合，再求交集即可. 【详解】集合， 集合， 则. 故选：A. 2. 若，则是的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要 【答案】A 【解析】 【分析】根据指、对数函数单调性解不等式，再根据包含关系分析充分、必要条件. 【详解】对于，则，解得； 对于，则，解得； 因为是的真子集， 所以是的充分不必要条件. 故选：A. 3. 已知，则（ ） A. 25 B. 5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出． 【详解】因为，，即，所以． 故选：C. 4. 在下列区间中，方程的解所在区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令，根据零点存在性定理判断各选项区间端点值的符号，即可知零点所在的区间. 【详解】令，则该函数的定义域为且在定义域上单调递增， ， 所以，函数的零点所在区间为. 故选：C. 5. 一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存1 MB，然后每3秒自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机（ ）秒，该病毒占据内存8 GB(1 GB＝210 MB)． A. 13 B. 12 C. 36 D. 39 【答案】D 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式计算． 【详解】由题意可得每病毒占的内存容量构成一个等比数列，设病毒占据内存时自身复制了次，则，解得，从而所求时间为． 故选：D． 6. 已知（且且），则函数与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由对数的运算性质可得，讨论的范围，结合指数函数和对数函数的图象的单调性，即可得到答案. 【详解】由，即为，即有； 当时，， 函数在上为增函数，在为增函数，选项B满足； 当时，， 函数在上为减函数，在为减函数， 四个图象均不满足，在同一坐标系中的图象只能是B． 故选：B 7. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先求出的定义域，然后求出的单调递增区间即可. 【详解】由得或 所以的定义域为 因为在上单调递增 所以在上单调递增 所以 故选：D 【点睛】在求函数的单调区间时一定要先求函数的定义域. 8. 若函数是定义在上的增函数，且对一切，满足，则不等式的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，根据函数作差的性质，可得函数作和的性质，由此整理不等式，利用函数的单调性，解不等式，结合定义域，可得答案. 【详解】解：∵对一切满足，则， ∴对一切满足，且， ∴变形为：， 又函数是定义在上的增函数，∴，即， 解得：，又，解得，则所求符合题意的解集为． 故选：C． 9. 已知正实数a，b，c满足，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据方程，可分别看作两函数图象交点的横坐标，作出图象，数形结合得解. 【详解】由可把看作函数与函数在上交点的横坐标， 同理，可看作函数与在上交点的横坐标， 在同一平面直角坐标系中，作，，的图象， 由图象可知， 故选：A 二、填空题（每小题3分，共18分） 10. 已知且，则函数的图像过定点______. 【答案】 【解析】 【分析】根据，结合指数函数性质即可求得恒过的定点. 【详解】令，得，此时， 故函数的图像过定点. 故答案为： 11. 已知扇形的弧长为2π，圆心角为弧度，则扇形的面积为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，求出扇形所在圆的半径，再利用扇形面积公式计算得解. 【详解】扇形的弧长为2π，圆心角为弧度，则该扇形所在圆半径， 所以该扇形的面积为. 故答案为： 12. 已知 ， 则________ . 【答案】## 【解析】 【分析】先由将所求原式变形，再弦化切即可求解. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 13. 已知，且，则的最小值为_______； 【答案】 【解析】 【分析】根据对数运算可得，则，结合基本不等式可得最值. 【详解】由已知，则，且，， 所以， 又，所以， 则， 当且仅当，即，时取等号， 即的最小值为， 故答案为：. 14. 已知函数的值域为，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】令，分析可知是函数在时的值域的子集，分、两种情况讨论，利用二次函数和一次函数的基本性质可得出结论. 【详解】令，因为函数的值域为， 则可知是函数在上的值域的子集. ①当时，. 当时，函数在时的值域为，合乎题意； 当时，函数在时的值域为，合乎题意； ②若，则有，解得或. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 15. 已知函数（且）在上单调递减，且关于的方程恰有两个不相等的实数解，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用函数是减函数,根据对数的图象和性质判断出的大致范围，再根据为减函数，得到不等式组,利用函数的图象,方程的解的个数,推出的范围． 【详解】函数（且）， 在上单调递减，则：； 解得，． 由图象可知，在上,有且仅有一个解， 故在上,同样有且仅有一个解， 当即时,联立, 则,解得或1（舍去）， 当时,由图象可知，符合条件， 综上：的取值范围为. 故答案为． 【点睛】本题考查函数的单调性和方程的零点,对于分段函数在定义域内是减函数,除了每一段都是减函数以外,还要注意右段在左段的下方,经常会被忽略,是一个易错点；复杂方程的解通常转化为函数的零点,或两函数的交点,体现了数学结合思想,属于难题. 三、解答题 16. 求值 （1）; （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据指数幂的运算法则计算可得. （2）根据对数的运算性质、换底公式及指数对数恒等式计算可得. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 17. 已知. （1）化简，并求； （2）求函数的值域. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先利用诱导公式对函数化简，再代值计算即可， （2）由（1）可得，化简后结合二次函数的性质可求得函数的值域. 【小问1详解】 由题意可得， 故； 【小问2详解】 因为， 因为， 所以当时，，当时， 所以的值域为. 18. 已知函数（为常数） （1）若函数的定义域为，求实数的取值集合： （2）当时，是否存在正整数，使得关于的不等式在区间上有解?若存在，求出的最大值，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）； （2）存在，的最大值为. 【解析】 【分析】（1）由函数的定义域为，将问题转化为对于恒成立，然后分和两种情况分别进行求解即可； （2）根据题意将问题转化为在区间上有解，进而利用二次函数的性质求解即可. 【小问1详解】 由题意函数的定义域为， 则对于恒成立， 当时，，不恒成立； 当时，，无解； 综上所述，实数的取值范围为. 【小问2详解】 存在；的最大值为，理由如下： 当时，，则， 则不等式可化为， 则，即在区间上有解， 令，，则， 因为，， 可得：在区间上单调递增. 所以， 又因为为正整数，所以的最大值为. 19. 已知函数的图象过点，且满足. （1）求函数的解析式； （2）设函数在上的最小值为，求； （3）若满足，则称为函数的不动点.函数有两个不相等的不动点，且， ①求实数的取值范围；②求的最小值. 【答案】（1） （2） （3）①，②最小值为6 【解析】 【分析】（1）根据，即可求解， （2）根据二次函数的单调性，解分类讨论即可求解， （3）根据一元二次方程根的分布即可由判别式以及韦达定理求解①，根据韦达定理，结合基本不等式即可求解最值. 【小问1详解】 根据的图象过点，且 可得，故， 故. 【小问2详解】 的对称轴为， 当时，在单调递增，故， 当时，即，在单调递减， 故， 当时，即，故， 综上可得. 【小问3详解】 根据题意可得， 故有两个不相等的正实数根， 故，解得， 由于， 故， 由于，则， 故，当且仅当时取等号， 故，故最小值为6 20. 已知函数为奇函数. （1）求实数的值并定义法证明的单调性； （2）若，求的取值范围； （3）设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1），证明： 函数 中，， 因为为奇函数，所以，即 ， 整理得，所以， 即，定义域为 ， 令，则 ，而， 所以，即在上单调递减，同理上也单调递减， 综上，在、上单调递减. （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1） 根据奇函数的定义求实数的值，根据单调性定义证明单调性； （2）根据函数的单调性，利用分类讨论的方法求解； （3）将双变量双函数相等关系的问题转化为两函数值域的包含关系. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为在和上单调递减，且， 当时，则，可得； 当时，则，可得； 画出函数草图如下， 由图知： 当时，，解得； 当时，，无解； 当时，，此时解得； 综上所述，的取值范围为； 【小问3详解】 由上知， 当时，，故， 所以在上值域为， 又， 令，则， 所以当时，，当时，， 所以函数在上值域为， 因为对任意的,总存在，使得成立， 所以，所以，解得， 所以实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026第一学期高一年级数学学科学情调研（二） 一、单选题（每小题3分，共27分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则是的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要 3. 已知，则（ ） A. 25 B. 5 C. D. 4. 在下列区间中，方程的解所在区间为（ ） A. B. C. D. 5. 一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存1 MB，然后每3秒自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机（ ）秒，该病毒占据内存8 GB(1 GB＝210 MB)． A. 13 B. 12 C. 36 D. 39 6. 已知（且且），则函数与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若函数是定义在上的增函数，且对一切，满足，则不等式的解为（ ） A. B. C. D. 9. 已知正实数a，b，c满足，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 10. 已知且，则函数的图像过定点______. 11. 已知扇形的弧长为2π，圆心角为弧度，则扇形的面积为___________. 12. 已知 ， 则________ . 13. 已知，且，则的最小值为_______； 14. 已知函数的值域为，则实数的取值范围是___________. 15. 已知函数（且）在上单调递减，且关于的方程恰有两个不相等的实数解，则的取值范围是_____． 三、解答题 16. 求值 （1）; （2） 17. 已知. （1）化简，并求； （2）求函数的值域. 18. 已知函数（为常数） （1）若函数的定义域为，求实数的取值集合： （2）当时，是否存在正整数，使得关于的不等式在区间上有解?若存在，求出的最大值，若不存在，请说明理由. 19. 已知函数的图象过点，且满足. （1）求函数的解析式； （2）设函数在上的最小值为，求； （3）若满足，则称为函数的不动点.函数有两个不相等的不动点，且， ①求实数的取值范围；②求的最小值. 20. 已知函数为奇函数. （1）求实数的值并定义法证明的单调性； （2）若，求的取值范围； （3）设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $