精品解析：云南省昆明市第一中学普通高中2027届高三上学期复习诊断新卷(三)数学试题

普通高中2027届高三复习诊断新卷（三） 数学 本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则=（ ） A. B. C. D. 2. 若复数（其中为虚数单位），则的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 已知为等比数列，若，则的公比（ ） A. B. 2 C. D. 4. 陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，也称陀罗，图1是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图2所示，其中是圆锥的顶点，，分别是圆柱的上、下底面圆的圆心，且，，底面圆的半径为，则该陀螺的体积是（ ） A. B. C. D. 5. 设是非零向量，则“”是“与共线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 若点关于轴的对称点为，则的一个取值为（） A. B. C. D. 7. 过原点的一条直线与圆：相切，交曲线于点M，若M的横坐标为4，则p的值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 8. 已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则函数在上的零点个数为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 一组数据从小到大依次为，，，，．这组数据的极差为，平均数为，方差为，若则（ ） A. ，，，，的第百分位数为 B. ，，，，的极差为 C. ，，，，的平均数为 D. ，，，，的方差为 10. 记等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 是递减数列 B. 当时，取得最大值 C. 若，则的最大值为11 D. 数列的前10项和为50 11. 已知正方体的棱长为，为棱的中点，为空间内一动点，则下列说法中正确的是（ ） A. 经过，，的平面将正方体分成体积之比为的两部分 B. 四面体的外接球半径为 C. 当点在正方体表面上运动时，若，则的轨迹长度为 D. 空间中，若点满足，则的轨迹与正方体表面的交线长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数在处的切线方程为______． 13. 将5名文旅讲解员分配到大理、丽江、香格里拉和西双版纳4个景区开展讲解工作，每名讲解员只分配到1个景区，每个景区至少分配1名讲解员，则不同的分配方案共有______种． 14. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，斜率为的直线过与的右支相交于，两点，若在第一象限，且，则的值为______． 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 随着全民健身理念持续普及，越来越多市民参加体育锻炼．某市体育局为调研本市成年人日常锻炼情况，随机抽取120名成年人开展问卷调查，统计他们每周体育锻炼的频次．规定：一周内锻炼不少于4次的认定为经常参加体育锻炼，不足4次的认定为不经常参加体育锻炼，按年龄分组整理调查数据，得到如下列联表： 年龄段 经常参加体育锻炼的人 不经常参加体育锻炼的人 不超过40岁 45 15 超过40岁 25 35 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为该市成年人是否经常参加体育锻炼与年龄有关； （2）将频率视作概率，调研进一步发现，经常锻炼的成年人中有愿意报名参加城市运动会群众项目，不经常锻炼的成年人中有愿意报名参加城市运动会群众项目，现从这120名成年人中随机抽取一人，求此人愿意报名参加城市运动会群众项目的概率． 附：，其中． 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 16. 如图，在正方体中，点，，分别为，，的中点． （1）证明：平面； （2）若与平面的交点为， ①证明：为的重心； ②求与平面所成角的正弦值． 17. 在中，角，，所对的边分别为，，，是的面积，且满足． （1）证明：； （2）若，求的最大值． 18. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过点的直线与椭圆相交于，两点，当垂直于轴时，． （1）求椭圆的标准方程； （2）设过点且与直线垂直的直线交椭圆于，两点，点，分别是弦，的中点，若直线和直线均不与轴重合， ①求证：直线过定点； ②当两直线和的斜率为何值时，的面积取得最大值？ 19. 已知函数，，． （1）记，讨论函数的单调性； （2）若，， ①求的取值集合； ②若恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 普通高中2027届高三复习诊断新卷（三） 数学 本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意得，又，则. 2. 若复数（其中为虚数单位），则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的除法运算和复数的概念求解. 【详解】， 所以的虚部为， 故选：C． 3. 已知为等比数列，若，则的公比（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用等比数列通项公式列方程即可解得公比. 【详解】根据等比数列定义由可得， 显然，所以， 解得. 故选：D 4. 陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，也称陀罗，图1是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图2所示，其中是圆锥的顶点，，分别是圆柱的上、下底面圆的圆心，且，，底面圆的半径为，则该陀螺的体积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意，圆柱的高为，底面半径为． 所以该陀螺的体积为． 5. 设是非零向量，则“”是“与共线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】向量模相等转化为平方相等，利用向量数量积定义展开计算得出共线，逆向考虑同向共线时不符合即可求解. 【详解】因为， 则， 则， 则， 所以， 所以， 所以共线； 但若与共线也可能是同向共线， 例如当它们方向一致大小相同时，有 ， 而此时， 所以“”是“与共线”的充分不必要条件. 故选：A. 6. 若点关于轴的对称点为，则的一个取值为（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意，得方程组， 对第一个等式用两角和的余弦公式展开：， 整理得，即得， 对第二个等式用两角和的余弦公式展开：， 整理得，即得， 因此,取，得的一个取值为， 此时,关于轴对称，符合题意. 7. 过原点的一条直线与圆：相切，交曲线于点M，若M的横坐标为4，则p的值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】求出直线方程，从而得到的坐标，代入中，求出答案 【详解】过原点的一条直线与圆相切，显然直线斜率存在，设直线方程为， 由得，所以直线方程为， 因为的横坐标为，所以纵坐标为，将的坐标代入中， 可得，所以. 8. 已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则函数在上的零点个数为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】根据题设条件可推出2是的一个周期，且函数在一个周期上的零点分别为，由周期性即可推得函数在上的零点个数. 【详解】由，得， 又是上的奇函数，则，且，可得， 用取代，可得，故2是的一个周期． 在中，取，得，由周期可得 ， 当时，恒为正，无零点，又是奇函数，所以当时，也无零点， 即函数在一个周期上的零点分别为. 根据函数的周期性，可知函数在上有11个零点，分别为. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 一组数据从小到大依次为，，，，．这组数据的极差为，平均数为，方差为，若则（ ） A. ，，，，的第百分位数为 B. ，，，，的极差为 C. ，，，，的平均数为 D. ，，，，的方差为 【答案】BCD 【解析】 【详解】对于A，数据从小到大排列依次为，，，，，共个， ， 第百分位数为，故A错误； 对于B，由题意，，， 所以，故B正确； 对于C，由，得，故C正确； 对于D，方差满足，因，则，故D正确. 10. 记等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 是递减数列 B. 当时，取得最大值 C. 若，则的最大值为11 D. 数列的前10项和为50 【答案】AC 【解析】 【分析】先利用与求出公差，得到通项与前项和公式，再逐一分析单调性、最值、的范围以及的前项和来判断选项正误 【详解】设等差数列公差为，由，，解得， 因此通项公式为，前项和． 对于A：公差，所以是递减数列，A正确； 对于B：令，解得，即，，前6项均为正，第7项起为负， 故在时取得最大值，B错误； 对于C：令，解得（为正整数），因此时的最大值为11，C正确； 对于D：前10项和为，D错误． 11. 已知正方体的棱长为，为棱的中点，为空间内一动点，则下列说法中正确的是（ ） A. 经过，，的平面将正方体分成体积之比为的两部分 B. 四面体的外接球半径为 C. 当点在正方体表面上运动时，若，则的轨迹长度为 D. 空间中，若点满足，则的轨迹与正方体表面的交线长度为 【答案】ABD 【解析】 【分析】分别利用棱柱体积、外接球性质、线面垂直及球的截面性质，逐项计算并核对结论． 【详解】对于A，取棱的中点，则，， 又，，所以，， 所以四边形为平行四边形， 所以平面与正方体的截面为平行四边形． 该截面将正方体分成两部分，其中三棱柱的底面为直角三角形，高为， 故其体积为． 正方体体积为，另一部分体积为，所以，故A正确； 对于B，由正方体的面可知，且，所以为以为斜边的直角三角形． 取的中点，则． 取的中点，连接，，． 在中，由中位线定理得，． 又平面，故平面． 因此，又为的中点，所以． 于是，故为四面体的外接球球心，外接球半径为，故B正确； 对于C，取棱，的中点分别为，，则，． 由及，得，所以． 又平面，在该平面内，所以． 因为与相交于点，平面， 所以平面，故过点且与垂直的直线均在平面内． 因此满足的点在正方体表面上的轨迹为矩形的边界，其一组边长为，另一组边长为． 所以轨迹长度为，故C错误； 对于D，在线段上取点，使． 设，由，，得，解得，所以，． 因为，，依次在同一直线上，所以． 因为，， 由向量数量积的运算律得，． 第一式减去第二式的倍，得． 各线段长度均非负，所以等价于，即； 又，故． 因此点的轨迹是以为球心、为半径的球面． 球心在棱上，面与面均经过，所以球面与这两个面的交圆半径均为． 在线段上取点，使，则、、、、依次在棱上． 在每个正方形面内，圆心位于边上，该边所在直线与圆交于、； 圆还与过且垂直于的面内棱相切． 圆心到过的对应棱及另一条对边的距离分别为和，均大于圆半径． 因此每个正方形面内的交线恰为以、为端点的半圆，如图所示． 又棱垂直于面，故面； 因等于球半径，该面与球面相切于． 球心到其余三个面、、所在平面的距离分别为、、，均大于球半径，所以球面与这三个面不相交． 两段半圆弧除端点、外不相交，故交线总长度为，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数在处的切线方程为______． 【答案】 【解析】 【详解】由题设，，，又因为 则切线方程为：，即. 13. 将5名文旅讲解员分配到大理、丽江、香格里拉和西双版纳4个景区开展讲解工作，每名讲解员只分配到1个景区，每个景区至少分配1名讲解员，则不同的分配方案共有______种． 【答案】240 【解析】 【分析】将5名讲解员分为4组，再将这4组讲解员分配到4个不同的景区，利用分步乘法计数原理可得结果. 【详解】5名讲解员分配到4个景区，每名讲解员只分配到1个景区，每个景区至少分配1名讲解员，则有2名讲解员分配到同一景区， 先选出2名讲解员捆绑为1组，有种方法，然后4组进行全排列，有种，所以不同的分配方案共有种. 14. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，斜率为的直线过与的右支相交于，两点，若在第一象限，且，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先得到，，由双曲线定义和余弦定理可得，，，由余弦定理可得. 【详解】因为直线的斜率为，所以， 即，又， 解得，故， 又因为，所以， 在中，由余弦定理得，所以， 在中，由余弦定理得， 所以，， 在△中， . 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 随着全民健身理念持续普及，越来越多市民参加体育锻炼．某市体育局为调研本市成年人日常锻炼情况，随机抽取120名成年人开展问卷调查，统计他们每周体育锻炼的频次．规定：一周内锻炼不少于4次的认定为经常参加体育锻炼，不足4次的认定为不经常参加体育锻炼，按年龄分组整理调查数据，得到如下列联表： 年龄段 经常参加体育锻炼的人 不经常参加体育锻炼的人 不超过40岁 45 15 超过40岁 25 35 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为该市成年人是否经常参加体育锻炼与年龄有关； （2）将频率视作概率，调研进一步发现，经常锻炼的成年人中有愿意报名参加城市运动会群众项目，不经常锻炼的成年人中有愿意报名参加城市运动会群众项目，现从这120名成年人中随机抽取一人，求此人愿意报名参加城市运动会群众项目的概率． 附：，其中． 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 【答案】（1）认为该市成年人是否经常参加体育锻炼与年龄有关 （2） 【解析】 【分析】（1）先列出列联表，代入卡方公式计算χ2统计量，和临界值比较，完成独立性检验判断两个变量是否有关； （2）区分经常锻炼、不经常锻炼两类人群，用全概率公式，结合两类条件报名概率，求随机抽到一人愿意报名的总概率. 【小问1详解】 零假设：成年人是否经常参加体育锻炼与年龄无关； ，，，，， ， ，依据小概率的独立性检验，零假设不成立， 即认为该市成年人是否经常参加体育锻炼与年龄有关. 【小问2详解】 设事件：抽到经常参加体育锻炼的成年人；：抽到不经常参加体育锻炼的成年人； 事件此人愿意报名参加城市运动会群众项目. ，，，， . 16. 如图，在正方体中，点，，分别为，，的中点． （1）证明：平面； （2）若与平面的交点为， ①证明：为的重心； ②求与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明：连接，，因为，分别为，的中点，所以， 又因为为正方形，所以，故， 又平面，平面，故， 平面，平面，， 所以平面，平面，故. 同理， 平面，平面，， 所以平面. （2）①连接，，， 因为，，分别为，，的中点， 所以，故， 所以为等边三角形， 又因为平面，所以， 所以为的重心. ② 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的性质及线面垂直的判定定理证明即可； （2）①根据正棱锥的性质及三角形重心性质证明即可；②根据线面角的定义计算求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （2） ①略 ② 取的中点为，连接， 要求与平面所成角的正弦值， 即求与平面所成角的正弦值，连接， 所以为与平面所成角， 不妨设，则，，由等边三角形知，， 所以， 所以与平面所成角的正弦值为. 17. 在中，角，，所对的边分别为，，，是的面积，且满足． （1）证明：； （2）若，求的最大值． 【答案】（1）因为，所以， 由，所以，可得， 由余弦定理可得，即. 由正弦定理得，即， 所以， 即. 因为，所以，即. （2）3 【解析】 【分析】（1）先利用三角形面积公式代入条件约去得到边的关系式，再结合余弦定理、正弦定理以及三角恒等变换化简，最后由正弦相等结合三角形内角范围推出； （2）利用第（1）问结论，先用内角和把表示为，借助正弦定理将统一为的表达式，确定范围后，把目标式转化为关于的二次函数，进而求最大值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由得，，由正弦定理得， 即， ，又因为，得， 所以，所以， 当时，取得最大值. 18. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过点的直线与椭圆相交于，两点，当垂直于轴时，． （1）求椭圆的标准方程； （2）设过点且与直线垂直的直线交椭圆于，两点，点，分别是弦，的中点，若直线和直线均不与轴重合， ①求证：直线过定点； ②当两直线和的斜率为何值时，的面积取得最大值？ 【答案】（1） （2）①证明：由题意，设直线的方程为， 则直线的方程为．设，． 由消去，整理得． ，则． 由题意，得， 所以，则． 将点坐标中的用代换，得弦的中点． 当，得，所以， 所以直线的方程为． 当时，直线的斜率， 所以直线的方程为， 整理得， 所以直线过点． ②直线和的斜率分别为和 【解析】 【分析】（1）由焦点坐标可知，又，联立求解得到，即可得到椭圆方程； （2）①设出直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理求出弦中点的坐标，再推导直线的方程，整理为点斜式形式即可判断定点； ②先写出三角形面积关于的表达式，通过换元、利用函数单调性求最值，进而得到对应直线斜率. 【小问1详解】 由题意，当垂直于轴时，． 由题意，得，解得， 所以椭圆的标准方程为． 【小问2详解】 ①略； ②由题意，得的面积 ． 设 ，则， ． 由对勾函数的性质，得函数在上单调递增， 所以当，即时，取得最大值为，即面积的最大值为． 此时两直线和的斜率分别为和. 19. 已知函数，，． （1）记，讨论函数的单调性； （2）若，， ①求的取值集合； ②若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）在区间 上单调递增，在区间上单调递减 （2）①；②. 【解析】 【分析】（1）求导，利用导函数的符号求函数的单调区间. （2）①问题转化为，分别讨论与的取值范围，可得的取值范围，再根据，可得的取值集合. ②先讨论的符号，把问题转化成：恒成立，求的取值范围.再分离参数，得恒成立，设，求该函数的最小值即可. 【小问1详解】 因为，，则 由得. 当时，令，解得，令，解得， 故在区间 上单调递增，在区间上单调递减. 【小问2详解】 ①因为，所以， 所以不等式等价于， 设，由（1）知，在区间 上单调递增，在区间上单调递减； 故； 设，则， 令，解得，令，解得， 故在区间上单调递减，在区间上单调递增， 故， 因为恒成立， 所以，即． 因为，所以的取值集合为. ②由①知1或2. 因为，设， 当时，； 当时，，在区间上单调递增，所以. 所以，当时，，所以. 所以只需讨论当时，恒成立的情况. 对任意的，由可得， 构造函数，其中， 则， 令，其中，则， 故函数在上为增函数， 因为，， 所以存在唯一的，使得，即，即， 所以，构造函数， 其中，则，所以函数在上为增函数， 因为，则，所以， 由可得，所以，可得， 当时，，则，即函数在上单调递减， 当时，，则，即函数在上单调递增， 所以函数在处取得极小值，也是最小值， 即， 故，所以实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $