精品解析：江苏省泰州市姜堰区娄庄中学2025-2026学年上学期八年级数学阶段测试

2025-2026学年度初二数学阶段性测试（12月） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（　　） A. 3，4，5 B. 4，5，6 C. 5，6，7 D. 6，7，8 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理．若三角形中两较小边的平方和等于最大边的平方，则该三角形为直角三角形，依次验证各选项即可．熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：A、∵，， ∴， ∴长为3，4，5的三条线段能组成直角三角形，故此选项符合题意； B、∵，， ∴， ∴长为4，5，6的三条线段不能组成直角三角形，故此选项不符合题意； C、∵，， ∴， ∴长为5，6，7的三条线段不能组成直角三角形，故此选项不符合题意； D、∵，， ∴， ∴长为6，7，8的三条线段不能组成直角三角形，故此选项不符合题意． 故选：A． 2. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．根据各象限内点的坐标特征解答． 【详解】解：∵， ∴ 点在第二象限． 故选：B． 3. 如图，直线上有三个正方形、、，若正方形、的面积分别是5和7，则正方形的面积为（ ） A. 9 B. 12 C. 14 D. 35 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余、全等三角形判定与性质、勾股定理，解本题的关键在证明． 根据正方形的性质，得出，，，，再根据直角三角形两锐角互余，得出，再根据等量代换，得出，再根据“角角边”，得出，再根据全等三角形的性质和勾股定理，结合正方形的面积，求解即可． 【详解】解：如图，作以下标记： ∵、、都是正方形， ∴，，，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在中， ∴， 又∵，，， ∴， 故选：B． 4. 直角三角形的两直角边长分别为和，则斜边上的高为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的面积公式．先根据勾股定理求出斜边长，再利用直角三角形的面积公式求斜边上的高即可． 【详解】解：∵直角三角形的两直角边分别为和， ∴三角形的斜边为； 故三角形的面积为， 设斜边上的高为，则三角形的面积为， 即， 解得， 则斜边上的高为． 故选：B． 5. 如图，点，的坐标分别为，，若将线段AB平移至的位置，点的坐标为，则的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系中线段的平移，解题的关键是利用已知点的坐标变化确定平移规律（横、纵坐标的变化量），再将规律推广到其他点．要解决线段平移后点的坐标问题，需先确定点到的平移规律（横坐标和纵坐标的变化量），再将该规律应用到点 上，从而得到 的坐标． 【详解】已知点的坐标为，平移后点 的坐标为． 横坐标的变化量：，即点的横坐标向左平移了4个单位； 纵坐标的变化量：，即点的纵坐标向下平移了3个单位． 点的坐标为，根据上述平移规律（横坐标减4，纵坐标减3）： 横坐标：； 纵坐标：． 因此，点 的坐标为． 故选D 6. 如图，在平面直角坐标系中，，连接，以点A为圆心，以半径作弧，交x轴于点C，则点C的横坐标为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，数轴上表示无理数， 先求出，再根据勾股定理求出，可得，然后求出，则答案可得. 【详解】解：∵， ∴. ∵， ∴， 由题意可知，， ∴， ∴C的横坐标为1． 故选：B． 7. 图直角三角形，两直角边长，，将三角形折叠，使点与点重合，折痕为，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了折叠问题和勾股定理的综合运用，根据折叠的性质得到是解决本题的关键． 根据折叠的性质得，设，则，在中，根据勾股定理得， 然后解方程即可． 【详解】解：折叠，点与点重合，折痕为， ， 设，则， 在中，， ， 解得， 即等于 ． 故选：D． 8. 如图，在平面直角坐标系中，，把一根长为2025个单位长度且没有弹性的细线(线的粗细忽略不计)的一端固定在点处，并按的规律绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查点的坐标，矩形的周长，掌握知识点是解题的关键． 由点A，B，C，D的坐标可得出，的长，矩形的周长，结合，细线的另一端所在位置是点C，点C的坐标是，即可解答． 【详解】解：由题意得， ∴四边形的周长为：， ∵，， ∴细线的另一端所在位置是点C，点C的坐标是． 故选：C． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 如图，这是一个台阶的模型图．已知每级台阶的宽度都是，每级台阶的高度都是，连接，则的长为_______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：如图，由题意得， ， 故． 故答案为：10． 10. 点关于原点对称的点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，由两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反特点进行求解即可，解题关键是掌握关于原点对称点的坐标规律． 【详解】解：∵两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反， ∴点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为：． 11. 如图，在平面直角坐标系中，是等边三角形，轴且，则点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了等边三角形的性质，勾股定理，解题的关键是理解坐标与长度的关系． 过点作轴的垂线，交轴于点，分别求出、的长度即可． 【详解】解：是等边三角形，， 如图所示，过点作轴的垂线，交轴于点， ． 根据等边三角形的性质， ，， 由于轴， 则轴 轴， ， 则， 根据所对直角边等于斜边的一半， 可知， 根据勾股定理，有， 故点的坐标为， 故答案为：． 12. 如图，长为的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为，则梯子顶端的高度h为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，根据长为的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵长为的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为， ∴， 故答案为：． 13. “江南水乡琉璃瓦，白墙墨瓦凌霄开．”凌霄花在苏州园林绿化中随处可见．如图，凌霄枝蔓绕着附近的树干沿最短路线盘旋而上，如果把树干看成圆柱体，它的底面周长是，当一段枝蔓绕树干盘旋1圈升高时，这段枝蔓的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平面展开—最短路径问题、勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题关键．根据题意画出图形，利用圆柱侧面展开图，结合勾股定理求解即可得． 【详解】解：由题意，画出圆柱的侧面展开图，则，，， 所以这段枝蔓的长是， 故答案为：． 14. 已知在第一三象限的角平分线上，则a的值为______； 【答案】 3 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中第一、三象限角平分线上点的坐标性质，解题的关键是利用“第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等”列方程求解． 由第一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等，得，解方程求出的值． 【详解】解：∵点在第一、三象限的角平分线上， ∴第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等， 即， 移项得，． 故答案为：． 15. 凹四边形的各边长度如题图所示，已知，那么凹四边形的面积为______．（其中，） 【答案】36 【解析】 【分析】本题考查的是三角形面积以及勾股定理的应用，连接，过B作于，因为，所以，由勾股定理计算，，凹四边形的面积，由此解答本题． 【详解】解：连接，过B作于， ∵，， ∴， 解得（负值舍弃）， ∵，， ∴， ∴，即， ∴凹四边形的面积为， 故答案为：． 16. 如图，，点是射线上的定点，，点是射线上的动点，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接、．则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了含有的直角三角形的性质、勾股定理、旋转的性质、轴对称等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．过作交于，过作，在射线上取一点，使，连接、，即可得到，再证明，得到，即，则点在直线上，再作点关于的对称点，连接交于点，连接，，过作交直线于，则，，，得到，当点在线段上时最小，最后根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，过作交于，过作，在射线上取一点，使，连接、， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵将线段绕点逆时针旋转，得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点在直线上， 作点关于的对称点，连接交于点，连接，，过作交直线于，则，，， ∴， ∴当点在线段上时最小， 中，，，则，， 中，，则，， ∴，， ∴中，，，， ∴， ∴中， ， ∴的最小值是， 故答案为：． 三、解答题（本大题共12小题，共82分） 17. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． （1）先根据二次根式的性质化简，再合并同类二次根式，即可求解； （2）根据二次根式的乘法进行计算即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 解方程：． 【答案】原方程无解 【解析】 【详解】解： 方程两边同时乘以得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得， 检验：当时， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【解析】 【分析】先利用分式的运算规则将分式进行化简，然后将x值带入即可． 【详解】解：原式 代入 原式 【点睛】本题考查分式的基础运算，掌握运算规则且细心是本题关键． 20. 已知一个直角三角形的两直角边的长是和，求这个直角三角形的斜边长． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，理解在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方是解答关键． 利用勾股定理来计算求解． 【详解】解：由勾股定理得 斜边的长为：． 21. 在平面直角坐标系中，已知点． （1）若点在轴上，求点的坐标； （2）若点的坐标为，且轴，求点的坐标． 【答案】（1）点的坐标为； （2）点的坐标为． 【解析】 【分析】本题考查坐标轴上的点的坐标特点，平行于坐标轴的点的坐标特点．熟练掌握平面直角坐标系中的点的坐标特点是解答本题的关键． （1）根据x轴上点的特征进行解答，即可得出答案； （2）由平行于y轴的点的横坐标相同，可得，即，求得a的值，再将a的值代入求得纵坐标即可解答． 【小问1详解】 解：点在轴上， ， 解得， ， 点的坐标为； 【小问2详解】 解：点坐标为，且轴， ， 解得， 则， 点的坐标为． 22. 《九章算术》有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？这道题的意思是：有一个正方形的池塘，边长为10尺，有一棵芦苇生长在池塘的正中央，并且芦苇高出水面部分有1尺，如果把芦苇拉向岸边则恰好碰到岸沿，求芦苇的长度． 【答案】芦苇的长度为13尺 【解析】 【分析】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答． 【详解】解：设水深为x尺，则芦苇长为尺， 根据勾股定理得： ， 解得：， 芦苇的长度（尺）， 答：芦苇的长度为13尺． 23. 在如图所示的正方形网格中建立平面直角坐标系，的顶点坐标分别为，，，请按要求解答下列问题： （1）画出关于x轴对称的，并写出点A的对应点的坐标为(______，______)； （2）平行于y轴的直线l经过，画出关于直线l对称的图形，并写出的坐标为(______，______)； 【答案】（1）-5，-2； （2）7，2． 【解析】 【分析】（1）关于x轴对称的两点横坐标不变，纵坐标相反，据此画图即可． （2）按要求画出并求出坐标即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 的坐标为； 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图，即为所求； 的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查坐标系的点的对称变化，能够熟练运用对称的性质找到对应的点是解题关键． 24. 如图，圆柱形容器的高为，底面周长为，有一只蚂蚁想从处沿圆柱表面爬到对角处搜集食物． （1）实践与操作：如图是该圆柱的侧面展开图，请用尺规作图法找出点的位置；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）应用与计算：在（1）的条件下，连接，求出蚂蚁爬行的最短矩离的长． 【答案】（1） 解：如图，点即为所求． （2）最短矩离的长为 【解析】 【分析】本题考查的知识点是尺规作图—垂直平分线、勾股定理的应用，解题关键是熟练掌握勾股定理的应用． （1）点即为侧面展开图中长的垂直平分线与长的交点，作垂直平分线找到点后，连接即可； （2）结合勾股定理计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由题意知，，，， 在中，． 答：蚂蚁爬行的最短矩离的长为． 25. 在平面直角坐标系中，对于点，若点Q的坐标为（a为常数，且）．例如：点的“2阶智慧点”为点，即． （1）点的“3阶智慧点”的坐标为 　 　． （2）若点的“a阶智慧点”在第三象限，求a的整数解． （3）若点的“阶智慧点”到x轴的距离为1，求m的值． 【答案】（1） （2）1 （3）或 【解析】 【分析】（1）依据“a阶智慧点”的定义，结合点的坐标进行计算即可得出结论； （2）依据点的“a阶智慧点”在第三象限，即可得到关于a的不等式组，进而得到a的整数解； （3）点的“阶智慧点”到x轴的距离为1，即可得到关于m的方程，进而得到m的值． 【小问1详解】 解：点的“3阶智慧点”的坐标为， 即坐标为； 【小问2详解】 解：∵点， ∴点B的“a阶智慧点”为． 又∵在第三象限， ∴， 解得 ， ∵a取整数， ∴； 【小问3详解】 解：∵点， ∴点C的“阶智慧点”为． ∵点C的“阶智慧点”到x轴的距离为1， ∴， ∴或． 解得 或 ． 【点睛】本题考查点的坐标，解题的关键是理解“a阶智慧点”的定义，灵活运用不等式、方程来解决问题，找准等量关系，正确列出一元一次不等式组． 26. 如图，在平面直角坐标系中，点，， （1）求的面积； （2）点P是y轴上一动点，当面积为面积的两倍时，求点P的坐标． 【答案】（1）10 （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了直角坐标系中点的坐标、三角形的面积等知识点，灵活运用数形结合思想是解题的关键． （1）先求出，再根据点C的坐标知点C到的距离为4，然后根据三角形的面积公式求解即可； （2）设点P坐标为，根据三角形面积公式得，再根据面积为面积的两倍时，然后解方程求得m的值，即可确定点P的坐标． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴，点C到的距离为4， ∴． 【小问2详解】 解：设点P坐标为，即，， ∵面积为面积的两倍 ∴，即，解得：， ∴点P坐标为或． 27. 我们把三角形的一条边与这条边上的高的长度之差叫做这条边的“边高差”．如图1，中，为边上高，边的“边高差”等于，记为． （1）如图2，若中，，，，则_____； （2）若中，，，，则_____； （3）若中，，，边上的高为15，求的值． 【答案】（1）1 （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查三角形的边长、高的计算，根据三角形的性质和公式求出“边长”和“这条边上的高”是解题关键． （1）利用等腰三角形三线合一、勾股定理直接求边长； （2）在直角三角形中，用面积法求出斜边上的高； （3）三角形形状不确定，分“高在上”和“高在的延长线上”两种情况，用勾股定理求的长度，再计算边高差． 【小问1详解】 解：，，， ，， ， 故答案为：1． 【小问2详解】 解：如图，作于， ，，， ， ， ，， ， 故答案为：． 【小问3详解】 如图，分两种情况讨论： 当是锐角三角形时： ，，，， ， ， ，， ， ； 当是钝角三角形时： 同理可得，，， ． ∴的值为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度初二数学阶段性测试（12月） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（　　） A. 3，4，5 B. 4，5，6 C. 5，6，7 D. 6，7，8 2. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 如图，直线上有三个正方形、、，若正方形、的面积分别是5和7，则正方形的面积为（ ） A. 9 B. 12 C. 14 D. 35 4. 直角三角形的两直角边长分别为和，则斜边上的高为（ ）． A. B. C. D. 5. 如图，点，的坐标分别为，，若将线段AB平移至的位置，点的坐标为，则的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平面直角坐标系中，，连接，以点A为圆心，以半径作弧，交x轴于点C，则点C的横坐标为（ ） A. 3 B. C. D. 7. 图直角三角形，两直角边长，，将三角形折叠，使点与点重合，折痕为，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，，把一根长为2025个单位长度且没有弹性的细线(线的粗细忽略不计)的一端固定在点处，并按的规律绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是( ) A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 如图，这是一个台阶的模型图．已知每级台阶的宽度都是，每级台阶的高度都是，连接，则的长为_______． 10. 点关于原点对称的点的坐标是______． 11. 如图，在平面直角坐标系中，是等边三角形，轴且，则点的坐标为________． 12. 如图，长为的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为，则梯子顶端的高度h为____． 13. “江南水乡琉璃瓦，白墙墨瓦凌霄开．”凌霄花在苏州园林绿化中随处可见．如图，凌霄枝蔓绕着附近的树干沿最短路线盘旋而上，如果把树干看成圆柱体，它的底面周长是，当一段枝蔓绕树干盘旋1圈升高时，这段枝蔓的长是______． 14. 已知在第一三象限的角平分线上，则a的值为______； 15. 凹四边形的各边长度如题图所示，已知，那么凹四边形的面积为______．（其中，） 16. 如图，，点是射线上的定点，，点是射线上的动点，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接、．则的最小值是______． 三、解答题（本大题共12小题，共82分） 17. 计算： （1）； （2） 18. 解方程：． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 已知一个直角三角形的两直角边的长是和，求这个直角三角形的斜边长． 21. 在平面直角坐标系中，已知点． （1）若点在轴上，求点的坐标； （2）若点的坐标为，且轴，求点的坐标． 22. 《九章算术》有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？这道题的意思是：有一个正方形的池塘，边长为10尺，有一棵芦苇生长在池塘的正中央，并且芦苇高出水面部分有1尺，如果把芦苇拉向岸边则恰好碰到岸沿，求芦苇的长度． 23. 在如图所示的正方形网格中建立平面直角坐标系，的顶点坐标分别为，，，请按要求解答下列问题： （1）画出关于x轴对称的，并写出点A的对应点的坐标为(______，______)； （2）平行于y轴的直线l经过，画出关于直线l对称的图形，并写出的坐标为(______，______)； 24. 如图，圆柱形容器的高为，底面周长为，有一只蚂蚁想从处沿圆柱表面爬到对角处搜集食物． （1）实践与操作：如图是该圆柱的侧面展开图，请用尺规作图法找出点的位置；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）应用与计算：在（1）的条件下，连接，求出蚂蚁爬行的最短矩离的长． 25. 在平面直角坐标系中，对于点，若点Q的坐标为（a为常数，且）．例如：点的“2阶智慧点”为点，即． （1）点的“3阶智慧点”的坐标为 　 　． （2）若点的“a阶智慧点”在第三象限，求a的整数解． （3）若点的“阶智慧点”到x轴的距离为1，求m的值． 26. 如图，在平面直角坐标系中，点，， （1）求的面积； （2）点P是y轴上一动点，当面积为面积的两倍时，求点P的坐标． 27. 我们把三角形的一条边与这条边上的高的长度之差叫做这条边的“边高差”．如图1，中，为边上高，边的“边高差”等于，记为． （1）如图2，若中，，，，则_____； （2）若中，，，，则_____； （3）若中，，，边上的高为15，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $