专题12.2 事件的相互独立性与条件概率 讲义——2026届高三数学一轮复习

专题12.2 事件的相互独立性与条件概率

 

 

1. 条件概率

⑴定义：一般地，设为两个随机事件，且，我们称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率，简称条件概率．

⑵乘法公式：对任意两个事件与，若，则．我们称之为概率的乘法公式．

(3)条件概率的性质

条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质．设，则

①；

②如果和是两个互斥事件，则；

③设和互为对立事件，则．

④任何事件的条件概率都在0和1之间，即：.

注意：

⑴如果知道事件发生会影响事件发生的概率，那么；

⑵已知发生，在此条件下发生，相当于发生，要求，相当于把看作新的基本事件空间计算发生的概率，即．

2. 相互独立与条件概率的关系

3. 全概率公式

⑴定义：一般地,设是一组两两互斥的事件,,且，,则对任意的事件,有,我们称此公式为全概率公式.

⑵全概率公式的直观意义：

①某事件B的发生有各种可能的原因（）,并且这些原因两两互斥不能同时发生，如果事件B是由原因所引起的，且事件发生时，必同时发生，则与有关，且等于其总和

.

②“全概率”的“全”就是总和的含义，若要求这个总和，需已知概率,或已知各原因发生的概率及在发生的条件下发生的概率.通俗地说，事件发生的可能性，就是其原因发生的可能性与已知在发生的条件下事件发生的可能性的乘积之和.

4.贝叶斯公式：

设

【重要结论】

1. 在利用乘法公式解决实际问题时，要注意区分和的不同，表示在事件发生的条件下，事件发生的概率；而则表示在事件发生的条件下，事件发生的概率.
2. 概率与的联系与区别：

⑴联系：事件都发生了；

⑵区别：①在中，事件发生有时间上的差异，事件先发生，事件后发生；

在中，事件同时发生；

②基本事件空间不同在中，事件成为样本空间，即；在中，基本事件空间保持不变，仍为原基本事件空间，即.

 

 

教材改编

1. 【人教A版必修二 P251 习题10.2 T1】先后抛掷两枚骰子，甲表示事件“第一次掷出正面向上的点数是”，乙表示事件“第二次掷出正面向上的点数是”，丙表示事件“两次掷出的点数之和是”，丁表示事件“两次掷出的点数之和是”，则(    )

A. 甲与丙相互独立 B. 甲与丁相互独立      C. 乙与丁相互独立    D. 丙与丁相互独立

2. 【人教A版选择性必修三  P48  练习T3】（多选）一个袋子中装有除颜色外完全相同的个球，其中有个红球，个白球，每次从中随机摸出个球，则下列结论中正确的是(    )

1. 若不放回的摸球次，则第一次摸到红球的概率为
2. 若不放回的摸球次，则在第一次摸到红球的条件下第二次摸到红球的概率为
3. 若有放回的摸球次，则仅有前次摸到红球的概率为
4. 若有放回的摸球次，则恰有次摸到红球的概率为

 

 

 

考点一

【典例精讲】

例1.(2025·江苏省·模拟)盒中有4个大小相同的小球，其中2个红球、2个白球，第一次在盒中随机摸出2个小球，记下颜色后放回，第二次在盒中也随机摸出2个小球，记下颜色