12.3 离散型随机变量及其分布列、数字特征 讲义——2026届高三数学一轮复习

专题12.3 离散型随机变量及其分布列、数字特征

 

1. 随机变量的有关概念

(1)    随机变量：一般地，对于随机试验样本空间中的每个样本点都有唯一的实数与之对应，我们称为随机变量．用大写英文字母表示随机变量，如；用小写英文字母表示随机变量的取值，如.

(2)    离散型随机变量：可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量.

注：离散型随机变量X的每一个可能取值为实数,其实质代表的是“事件”,即事件是用一个反映结果的实数表示的.

2. 离散型随机变量的分布列

一般地，设离散型随机变量的可能取值为，我们称取每一个值的概率为的概率分布列，简称分布列．

与函数的表示方法类似，离散型随机变量的分布列也可以用表格表示：

3. 离散型随机变量的分布列的性质

⑴；

⑵.

注意：① 列出随机变量的所有可能取值；② 求出随机变量的每一个值发生的概率.

4. 离散型随机变量的均值与方差

⑴离散型随机变量的均值的概念

一般地，若离散型随机变量的概率分布为：

则称为随机变量的均值或数学期望,数学期望简称期望.

⑵离散型随机变量的方差的概念

一般地，若离散型随机变量的概率分布列为：

则称

为随机变量的方差，有时也记为.称为随机变量的标准差.

【重要结论】

1. 随机变量的线性关系

若是随机变量, 是常数, 则也是随机变量.

2. 分布列性质的两个作用

(1)    利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值.

(2)    随机变量所取的值分别对应的事件是两两互斥的,利用这一点可以求相关事件的概率.

3. 离散型随机变量的均值与方差的常用性质

⑴,其中为常数；

⑵，为常数，是随机变量；

⑶；

⑷；

⑸若相互独立,则；

1. 【人教A选择性必修三P60 练习 T3】设某项试验的成功率是失败率的倍，用随机变量去描述次试验的成功次数，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

2. 【人教A版选择性必修三P71习题7.3 T3】若是离散型随机变量，

，又已知，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

【典例精讲】

例1.(2025·河北省·期末考试)随机变量的分布列为，其中是常数，则(    )

A.  B.  C.  D.

 

例2.(2025·河北省衡水市·月考试卷)（多选）设随机变量的分布列为，，则(    )

A.  B.
C.  D.

 

【方法储备】

离散型随机变量分布列的性质的应用：

(1)    利用“概率之和为1”可以求相关参数的值．

(2)    利用“在某个范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率．

(3)    可以根据性质判断所得分布列结果是否正确．

【拓展提升】

练1-1(2025·黑龙江省绥化市期末)(多选)设随机变量的分布列