专题12.4 超几何分布、二项分布、正态分布 讲义——2026届高三数学一轮复习

专题12.4 超几何分布、二项分布、正态分布

 

1. 两点分布

⑴若随机变量服从两点分布，即其分布列为

其中，则称离散型随机变量服从参数为的两点分布．其中称为成功概率．

⑵两点分布的均值与方差：若随机变量服从参数为的两点分布，则，．

注意：

⑴两点分布的试验结果只有两个可能性，且其概率之和为；

⑵两点分布又称分布、伯努利分布，其应用十分广泛．

2. 伯努利试验与二项分布

⑴ 重伯努利试验的定义

①    我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.

②    将一个伯努利试验独立地重复进行次所组成的随机试验称为重伯努利试验.

⑵ 二项分布

一般地，在重伯努利试验中，设每次试验中事件发生的概率为，用表示事件发生的次数，则的分布列为.

如果随机变量的分布列具有上式的形式，则称随机变量服从二项分布，记作．

⑶两点分布与二项分布的均值、方差

①若随机变量服从两点分布,则. 

②若,则.

3. 超几何分布

一般地，假设一批产品共有件，其中有件次品，从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用表示抽取的件产品中的次品数，则的分布列为.

其中．

如果随机变量的分布列具有上式的形式，那么称随机变量服从超几何分布．

4. 正态分布

⑴正态分布定义：

若随机变量的概率密度函数为，(,其中，为参数)，称随机变量服从正态分布，记为.

⑵正态曲线的特点

①    曲线位于轴上方，与轴不相交；

②    曲线是单峰的，它关于直线对称；

③    曲线在时达到峰值；

④    当时，曲线上升；当时，曲线下降.并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以轴为渐近线，向它无限靠近.

⑤    曲线与轴之间的面积为1；

⑥    决定曲线的位置和对称性；

当一定时，曲线的对称轴位置由确定；如下图所示，曲线随着的变化而沿轴平移。

⑦    确定曲线的形状；

当一定时，曲线的形状由确定.越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散.

⑶正态分布的原则：正态分布在三个特殊区间的概率值

假设，可以证明：对给定的,是一个只与有关的定值.

特别地，，

，

.

上述结果可用右图表示.

此看到，尽管正态变量的取值范围是，但在一次试验中，的值几乎总是落在区间内，而在此区间以外取值的概率大约只有,通常认为这种情况几乎不可能发生.

在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取中的值，这在统计学中称为原则.

【重要结论】

1. 对于小概率事件要有一个正确的理解：

小概率事件是指发生的概率小于的事件．对于这类事件来说，在大量重复试验中，平均每试验大约次，才发生1次，所以认为在一次试验中该事件是几乎不可能发生的．不过应注意两点：一是这里的“几乎不可能发生”是针对“一次试验”来说的，如果试验次数多了，该事件当然是很可能发生的；二是当我们运用“小概率事件几乎不可能发生的原理”进行推断时，也有犯错的可能性．

2. 超几何分布和二项分布的区别

⑴超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要；

⑵超几何分布是“不放回”抽取，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的；而二项分布是“有放回”抽取（独立重复），在每次试验中某一事件发生的概率是相同的.

1. 【人教A版选择性必修三 习题7.4 第8题 P81】为试验一种新药，某医院把该药分发给位患有相关疾病的志愿者服用试验方案为：若这位患者中至少有人治愈，则认为这种新药有效否则认为这种新药无效假设新药有效，治愈率为．

(1)    用表示这位志愿者中治愈的人数，求的期望

(2)    若位志愿者中治愈的人数恰好为，从人中随机选取人，求人全部治愈的概率

(3)    求经试验认定该药无效的概率保留位小数根据值的大小解释试验方案是否合