专题12.5 随机抽样与用样本估计总体 讲义——2026届高三数学一轮复习

专题12.5 随机抽样与用样本估计总体

 

1. 随机抽样

⑴简单随机抽样

一般地,设一个总体含有 (为正整数)个个体,从中逐个抽取个个体作为样本,如果抽取是放回的,且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等,我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样；如果抽取是不放回的,且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等,我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样.放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样.通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本.

⑵常见的简单随机抽样方法：

①抽签法：一般地，抽签法就是把总体中的个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取一个号签，连续抽取次，就得到一个容量为的样本；

②随机数法：即利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样．这里仅介绍随机数表法．随机数表由数字，，，…，组成，并且每个数字在表中各个位置出现的机会都是一样的．

注意：为了保证所选数字的随机性，需在查看随机数表前就指出开始数字的横、纵位置．

⑶简单随机抽样的特征

①    有限性：简单随机抽样要求被抽取的样本的总体个数是有限的，便于通过样本对总体进行分析．

②    逐一性：简单随机抽样是从总体中逐个地进行抽取，便于实践中操作．

③    不放回性：简单随机抽样是一种不放回抽样，便于进行有关的分析和计算．

④    等可能性：简单单随机抽样中各个个体被抽到的机会都相等，从而保证了抽样方法的公平．

只有四个特点都满足的抽样才是简单随机抽样．

2. 分层随机抽样

⑴定义：一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层.在分层抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么成这种样本量的分配方式为比例分配.

⑵分层随机抽样的步骤

①按某种特征将总体分成若干部分(层)；

②计算各层所占比例所占比例=；

③计算各层抽取的个体数,各层抽取的个体数=样本量×各层所占比例;

④按简单随机抽样从各层抽取样本，综合每层抽样，组成样本.

3. 总体平均数与样本平均数

名称	定义
总体均值（总体平均数）	一般地，总体中有个个体，它们的变量值分别为，则称为总体均值，又称总体平均数.
	如果总体的个变量值中，不同的值共有 个，不妨记为，其中出现的频率,则总体均值还可以写成加权平均数的形式.
样本均值（样本平均数）	如果从总体中抽取一个容量为的样本，它们的变量值分别为，则称 为样本均值，又称样本平均数.
说明：⑴在简单随机抽样中，我们常用样本均值去估计总体平均数； ⑵总体平均数是一个确定的数，样本平均数具有随机性（因为样本具有随机性）； ⑶一般情况下，样本量越大，估计越准确.

 

4. 统计图表

常见的统计图表有条形图、扇形图、折线图、频率分布直方图等.

①条形统计图的特点

优点：从条形统计图中能够很直观地看出各组中数据的多少,每一个条形都能体现该组中的具体数据,也易比较数据间的差别.

缺点：不能显示出部分与整体的关系.

②扇形统计图的特点

i.圆代表总体；

ii.扇形代表总体中的不同部分；

iii.扇形的大小反映部分占总体的百分比的大小；

iv.各个扇形所占的百分比之和为1.但是,在不同的统计图中,不能简单地根据百分比的大小来比较部分量的大小.

③折线统计图

折线统计图和条形统计图很相似,制图步骤与条形统计图也基本相同,只是不画直条,而是按照数据的大小描出各点,再用线段顺次连接起来.它不但可以表示出数量的多少,而且能够从折线的起伏中清楚直观地表示出数量增减变化的情况.

④频率分布直方图

i.作频率分布直方图的步骤
求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)决定组距与组数将数据分组列频率分布表画频率分布直方图.

ii.与频率分布直方图有关的常用结论

a.小长方形的面积=组距.

b.各小长方形的面积之和等于1.

c. ，此关系式的变形为，样本容量频率=频数.

d.在频率分布直方图中,各小矩形的面积之比等于频率之比,各小矩形的高度之比也等于频率之比.

5. 总体百分位数的估计