专题04 十类几何最值模型专训（高效培优期末专项训练）八年级数学上学期苏科版2024

专题04 十类重要的几何最值模型 专训 考点01 将军饮马模型 考点02逆等线模型 考点03瓜豆模型（直线型） 考点04费马点模型 考点05梯子模型（三边关系求最值） 考点06垂线段求最值模型 考点07配方法求几何最值模型 考点08空间最值模型 考点09胡不归模型 考点10其他转化法最值模型 考点01 将军饮马模型 1．（24-25八年级上·江苏南通·月考）如图，点E在等边的边上，，射线，垂足为点C，点P是射线上一动点，点F是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为（   ） A．8.5 B．9 C．9.5 D．10 【答案】A 【详解】解：作点E关于射线的对称点，连接，如图，则，， 当点F、P、三点共线，且时，的值最小，即为的长，则， ∵是等边三角形，，在中，，， ，，，，故选：A． 2．（25-26八年级上·江苏无锡·期末）在中，，点D在边上（不与B、C点重合），点P、点Q分别是、边上的动点，当的周长最小时（提示：四边形的各个内角之和为），则的度数（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：作D关于的对称点E，作D关于的对称点F，连接交于P，交于Q，如图所示：根据轴对称可得：，，∴， ∵两点之间线段最短，∴此时最小，∴此时的周长最小， 根据轴对称可得：， ∵，，， ，，均为等腰三角形．， ，．故选：C． 3．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，直线与轴、轴分别交于点和点，轴上有一点，为直线上的一个动点，当的值最小时，点的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：如图，作点关于直线的对称点，连接，交直线于点，则点即为所求，∵直线与轴、轴分别交于点和点， ∴当时，，当时，，∴，，∴， ∵，∴，∴， ∵点，关于直线对称，∴是线段的垂直平分线， ∴是等腰直角三角形，∴，∴， 设直线的解析式为，∴，解得，∴直线的解析式为， ∴，解得，∴，故答案为：． 4．（25-26八年级上·江苏南通·期中）某机器人社团开展机器人比赛．比赛场地如图所示：在四边形中，，E，F分别为上的点，，，，，则 °．经测量．现要求机器人从边上的一点P出发，沿直线匀速到达上，然后到上，最后回到点P，若，机器人的速度为，则机器人完成比赛所用的最短时间为 s． 【答案】 78 98 【详解】解：如图1，过C作于G， ∵，∴，．又∵，∴． ∵，，∴．∴， ∵，，∴．∴． ∴； 如图2，过B作于H，∵，，∴． ∵，，∴．∴． 又∵，，∴． ∴．当P运动到H时，最短，此时． 如图3，现要求机器人从边上的一点P出发，沿直线匀速到达上，然后到上，最后回到点P， ∴P的路程为：． 又分别作P关于的对称点，，连接交于点M，交于点N， ∴根据对称性可得此时最小． 又根据对称性可得，，，， ∴．∴为等边三角形． ∴．∴．又∵当时，路程最小，最小值为49， ∴机器人完成比赛所用的最短时间为：．故答案为：78；98． 5．（25-26八年级上·福建龙岩·期中）请根据以下素材，完成探究任务． 探索最短距离 背景材料 我国古代对最短距离原理的运用充满智慧，不仅解决了具体的工程和军事问题，更体现出转化的数学思想．这些古老的思想在今天依然充满活力，在网络优化、物流配送和人工智能路径规划中，我们依然在使用这些最朴素的几何原理来解决最前沿的科技问题． 任务1 如图，牧童在处放牛，其家在处，A、B到河岸的距离分别为和，且，若点到河岸的中点的距离为米，则牧童从处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是_____米． 任务2 如图，直线是中边的垂直平分线，点P是直线上的一动点，若．（1）求的最小值，并说明理由；（2）求周长的最小值． 任务3 如图，点M、N分别在边、上，且，点P、Q分别在边、上，则当取最小值时，求的值． 【答案】任务1：520米任务2：（1）6，理由见解析      （2）10任务3：9 【详解】任务1解：作关于河岸的对称点，设的中点为M，连接， ∵，且点到中点的距离为米，∴到该中点的距离为米， ∵， ∴，∴，， 又点C、M、D在同一条直线上，则, ∴,∴点在同一条直线上， 最短距离（米）．故答案为：． 任务2（1）解：由“两点之间线段最短”，当在与直线的交点时，∴的最小值为． （2）解：∵直线是边的垂直平分线，∴，∴， ∵的最小值为,∴的最小值为6, ∴周长最小值． 任务3解：作关于的对称点，关于的对称点，连接交于、交于，则此时，取得最小值．连接． 则，，，， ，， ∵，，∴． 考点02逆等线模型 6．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）如图，已知直线分别交轴、轴于点、两点，，、分别为线段和线段上一动点，交轴于点，且．当的值最小时，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：直线分别交轴、轴于点、两点，当时，； 当时，，，．，． 如图，取点，连接，，， ，，． ，，，． ，，，，． ，的最小值为线段的长， 即当，，三点共线时，的值最小．设直线的解析式为：，， 将点，代入，得， ，解得，，．令，则，即点的坐标为， 故当的值最小时，则点的坐标为．故选：B． 7．（25-26八年级上·天津南开·期中）如图，在中，，，，垂足为点．若，分别是线段，上的动点，且，当最小时，的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：在右侧作，使，连接． 则，．∴， 当A、N、三点在同一直线上时，最小值为． ∵，，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴， ∴，∴，故选：A． 8．（25-26八年级上·辽宁锦州·月考）在中，，，，点在边上，且，则的最小值 ． 【答案】 【详解】解：如图，作，使得．作交的延长线于G． ∵，∴，， 又∵，∴，∴， ∵，当B、E、K共线时取等号，∴的最小值为的长， ∵，∴是等腰直角三角形，又，， ∴，， 在中，由勾股定理得，， 故的最小值为．故答案为：． 9．（25-26八年级上·广东广州·期末）如图，在等边中，平分，，分别为，上的一点，且，当时，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点C作，且，连接，则， ∵是等边三角形，∴，， 平分．，， ，，，， 当，，三点共线时，的最小值等于的长， ，，， 是等腰直角三角形，．的最小值为． 故答案为：． 10．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，，平分，，分别为边，上一点，且，当的长为时，则的最小值为 . 【答案】 【详解】解：如图，作，使得，连接，则， ，， 平分，，． 在和中，，，， ，当、、三点共线时，有最小值等于的长， 又，，， ，是等边三角形，，即的最小值为，故答案为：． 考点03瓜豆模型（直线型） 11．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）如图，在中，，，，点为边上一动点（不与点重合），为等边三角形，过点作的垂线，为垂线上任意一点，连接，为的中点，连接，则的最小值是 ． 【答案】3 【详解】解：连接，，与交于点，如图， ，为的中点，，点在的垂直平分线上． 为等边三角形，，，点在的垂直平分线上， 为的垂直平分线，，， ，，，， 点在以为始边的角的终边上，过点作于点，如图，则此时最小． 在和中，，，． ，，，∴，∴， 即，∴，的最小值是．故答案为：． 12．（25-26八年级上·广西柳州·期中）如图，在中，．其中分别是边上的动点，在运动过程中始终保持，连接，并将绕点逆时针旋转得到，连接．已知，且为中点，连接，则周长的最小值为 ． 【答案】/ 【详解】解：如图，在线段上取一点H，使得，连接， ∵，∴，即， ∵，∴，∴， ∵，∴ 又∵，∴，∴，∴， ∵，∴，∴， 结合题意可知动点E在与成60度角的射线上移动， 如图，作点G关于直线对称的点P，连接，延长，过点P作的垂线，交于点Q， 由轴对称可得，∴， ∵，∴，∴，由勾股定理得， ∵，∴，由勾股定理得， 根据图形可知， ∴当C、E、P三点共线时，值最小，此时，同时，的周长最小，为，故答案为：． 13．（25-26九年级上·重庆·月考）如图，是边长为6的等边三角形，点为高上的动点．连接，将绕点顺时针旋转得到．连接，，，当移动到某处，使，此时的长为 ；在整个上移动的过程中，周长的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：∵是等边三角形，∴， ∵是高，∴，∴， ∵将绕点顺时针旋转得到，∴，∴是等边三角形， ∴，∴，∴， 在中，，∴， ∴，∴， 在中，；∴， ∵，∴，∴点在射线上运动， 如图所示，作点关于的对称点，连接交射线于点，连接交射线于点，则， ∵对称，∴，且， 当点三点共线时，此时值最小， ∵周长为，∴周长的最小值是的值， 在中，，，且， ∴，，∴， ∴，∴周长的最小值是；故答案为：①；② ． 14．（25-26八年级上·四川成都·月考）在等腰三角形中，，点 D 为线段 上任意一点（D 点不与端点重合），连接 ，将线段 绕点 A 逆时针旋转 到点 E ，连接 ．延长 至点 F ，使得 ，连接 的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，延长到K，使，连接， ， ， ，，是等边三角形，，； 在和中，∴，∴， ∴，∴点F在直线上运动， 作点A关于直线的对称点G，连接交于点N，则， ∴，当且仅当G、F、B三点共线时取相等， 延长交于点L，则， ∵，∴， ∵，∴，由对称可知，，∴， 在中，，∴的最小值为，故答案为：． 15．（25-26八年级上·重庆南岸·月考）如图，． (1)如图1，点点分别在和上，连接，若，求的长度；(2)如图2，连接，F为上一点，连接，满足，请探究和的数量关系并证明；(3)如图3，在（1）问条件下，为直线上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转到，当周长最小时，直接写出的面积． 【答案】(1)(2)，理由见解析(3) 【详解】（1）解：作， ∵，∴，且 ， ∴，在中，； （2）解：；理由：延长至M，使，连接， ∵，，∴，， ∴，∴，∴， ∴，∴， ∵，，∴，∴ ∵∴，∵∴，即， ∵，∴，∵，∴， 又∵∴，∴； （3）解：延长交的延长线于点G，延长至使连接 ，∴，∴， ∵，∴，，∴， ∵，∴∴ ∵旋转至，∴且，∴ ∴，∴， ∵，，∴，∴， ∴Q的运动轨迹在过且与夹角为的直线上， ∵，∴， ∵为定值，若周长最小，即最小，故过A作的对称点，连接与的交点即为所求点Q；作，则四边形为长方形，则， ∵，∴， 由（1）可知：，∴，则． 考点04费马点模型 16．（2025九年级下·全国·专题练习）已知，在中，，点P是内一动点，则的最小值为 【答案】 【详解】解：如图，将绕点C逆时针旋转得到，连接． 则是等边三角形，∴由旋转得，，∴， ∴当共线时，的值最小，最小值的长， ∵∴， 过点作，则∴，， ∴，∴， ∵，∴的最小值为．故答案为：． 17．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，P为三角形内一点，则的最小值为 ．    【答案】 【详解】如图，将绕点顺时针旋转，得到，连接、，      ，，，， ∴是等边三角形，，∴∴， ∵，． 在中，，，，， 即的最小值为．故答案为：． 18．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，在中，，，，点是内一点，则点到三个顶点的距离和的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：将绕着点A逆时针旋转，得到，连接，，如图所示： 根据旋转可知：，，，， ∴为等边三角形，∴，∴， ∵两点之间线段最短，∴当、O、E、D在同一直线上时，最小，即最小， ∴的最小值为的长，∵，∴， ∴为直角三角形，∴．故答案为：． 19．（23-24八年级下·山东枣庄·期中）如图，中，，，为内一点，，则的最小值为 ．    【答案】5 【详解】解：如图，将绕点逆时针旋转得到△，连接，      由旋转的性质，得，，，， ，，为等边三角形，，， ，点，，共线， ，点，，共线，点，，，共线， 过点作于点，，， ，，，，， 延长交于点，，， ，，，，， ，，，， ， ，最小，的最小值为5．    故答案为：5． 20．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）背景资料：在已知所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小．这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．如图1，当三个内角均小于120°时，费马点P在内部，当时，则取得最小值． (1)如图2，等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数，为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出___________．知识生成：怎样找三个内角均小于120°的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边在外侧作等边三角形并连接等边三角形的顶点与的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点，请同学们探索以下问题． (2)如图3，三个内角均小于120°，在外侧作等边三角形，连接，求证：过的费马点．(3)如图4，在中，，，，点P为的费马点，连接AP、BP、CP，求的值． 【答案】(1)(2)答案见解析(3) 【详解】（1）解：如图2中，连接． 点到顶点、、的距离分别为3、4、5，，，， 由旋转的性质得：，，，，， ，即， 是等边三角形，，， 是等边三角形，，， ，，△是直角三角形，， ，，故答案为：； （2）证明：在上取点，使．连接，再在上截取，连接． ，，为正三角形，，，． 为正三角形，，，， △，，， ，为的费马点．过的费马点； （3）解：将绕点顺时针旋转至△处，连接，如图4所示： 则，，，，，， 是等边三角形，，， 点为直角三角形的费马点，，， ，、、、四点共线， ，，，，， 在中，由勾股定理得：，，， 在△中，由勾股定理得：， ． 考点05梯子模型（三边关系求最值） 21．（25-26九年级上·安徽宿州·月考）如图，墙面与地面垂直，一块矩形木板的顶点分别在和上滑动，连接（图中各点均在同一平面内），已知，在木板滑动的过程中，下面说法正确的是（   ） A．的最大值为9，最小值为3 B．的最大值为，最小值为3 C．的最大值为9，最小值为2 D．的最大值为，最小值为1 【答案】A 【详解】解：如图，取的中点， ，， ，， ，即存在最大值为9， 根据图形，可知当在上时，存在最小值，此时．故选：A． 22．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，AB＝8，P为AC边上的一个动点，D为PB上的一个动点，连接AD，当∠CBP＝∠BAD时，线段CD的最小值是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【详解】如图，取AB的中点T，连接CT，DT． ∵∠ABC=90°，∴∠ABD+∠CBD=90°， ∵∠BAD=∠CBD，∴∠ABD+∠BAD=90°，∴∠ADB=90°， ∵AT=TB=4，∴DT=AB=4，CT=， ∵CD≥CT-DT，∴CD≥-4，∴CD的最小值为-4，故选：D． 23．（25-26八年级上·北京海淀·期中）在平面直角坐标系中，点，点，点D为线段外一动点，且，以为斜边作如图所示的等腰直角，，．连接，以为直角边，作如图所示的等腰直角，，，连接，则线段长的最大值为 ． 【答案】/ 【详解】解：如图，连接， ∵，∴，即， ∵，，∴，∴， ∴当最大时，线段的长取得最大值，在中，， ∴当点D，B，C三点共线时，取得最大值，此时的长取得最大值，为， ∵，点，∴，∵，∴线段的长的最大值为．故答案为： 24．（25-26九年级上·广东揭阳·期末）如图，在矩形中，点F是边的中点，点E是边上一动点，连接，将沿折叠使点C落到点处，连接，在上任取一点G，连接，，若，，则周长的最小值为 ． 【答案】/ 【详解】解：如图，当点E固定时，连接交于点G，连接，，此时的周长最小，最小值为，由折叠的性质知， ∵四边形为矩形，∴，，， 在中，，∴， 当最小时，的周长最小， ∵，∴在中，， ∵，∴的最小值为， ∴．故答案为：． 25．（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图，已知直线：（b为任意实数）与y轴交于点A，将直线绕点A逆时针旋转得到直线并与x轴相交于点C，点D为平面内一动点，且满足，，连接，线段的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：直线的解析式为， 点坐标为，点坐标为，， 又，，根据旋转可知，是等边三角形，， 如图，以线段构造等边三角形，连接，，，， 又，，，根据三角形三边关系可知， 当三点共线时，线段有最小值，为．故答案为：． 考点06垂线段求最值模型 26．（25-26八年级上·浙江嘉兴·期中）在中，，，，的中垂线交于，交于点，交直线于点．若点为直线上一动点，点为直线上一动点，则的最小值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，连接，，在上截取， ∵垂直平分，∴，， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， ∴当三点共线，且时，的值最小，即的长，如图， ∵，∴，设，则， ∵，∴，解得：，∴，则， ∵，∴，∴， ∴的值最小为，故选：． 27．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，，点分别在射线上，，，点P是直线上的一个动点，点P关于的对称点为，点P关于的对称点为，连接、、，当点P在直线上运动时，则面积的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，连接，过点作交的延长线于， ，且，， 点关于对称的点为，点关于对称的点为， ，，， ，， 的面积为， 由垂线段最短可知，当点与点重合时，取得最小值，最小值为， 的面积的最小值为．故选：A． 28．（25-26八年级上·江苏宿迁·月考）如图，在直角坐标系中，点在轴正半轴上，点、在轴正半轴上，且，，点是轴上的一个动点，点关于直线、的对称点为、，则当线段最小时，点的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：如下图所示，连接、、， 点关于直线、的对称点为、，， 由轴对称可知，， ，是等边三角形，， ，， 点是轴上的一个动点，当轴时，最短，， 如下图所示，，，点关于直线的对称点在上， ，轴，， 延长交轴于点，则轴， ，， ，，点的坐标是故答案为：． 29．（25-26九年级上·湖北咸宁·期中）如图，等腰中，是上一动点，连接．将绕点逆时针旋转得到，连接．若，则当 ，周长最小值是 ． 【答案】 【详解】解：∵为等腰直角三角形，，∴， ∵将绕点逆时针旋转得到，∴，， ∴，是等腰直角三角形，∴， ∴当取最小值时，的值最小，则周长的值最小， 当时，的值最小，∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∴的值最小时，，∴， ∴周长最小值是，故答案为：；． 30．（25-26八年级上·湖北武汉·月考）如图，在中，，，点D为中点，连接，点E、点F分别为、上两动点，过点F作于点H，当取最小值时，，则的面积是（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】D 【详解】解：如图，连接，作点C关于的对称点O，连接，过点F作于点N，作于点P，由对称可知，，， ∵，，点D为中点，∴，即垂直平分，∴， ∵，，，∴，∴， ∵两点之间线段最短，垂线段最短，∴当点C，E，F，N，P共线时，取得最小值，此时点P与点N重合，如图，设，交于点Q，∵，，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，∴， 又∵，∴为等边三角形，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵C，O关于对称，∴，，∴．故选：D． 考点07配方法求几何最值模型 31．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，Q是直线上的一个动点，将Q绕点顺时针旋转，得到点，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：过点Q作轴于点轴于N， ∵，∴，∴， 在和中，，∴，∴， 设，∴，，∴，， ∴，∴， 当时，有最小值为5，∴最小值为，故答案为：． 32．（24-25.山东九年级期末）如图，点，，P为x轴上一动点，将线段绕点P顺时针旋转 90°得到，连接．则的最小值是 【答案】 【详解】解：如图1所示，过点C作轴交x轴于D，设， 由旋转的性质可得， ∴，∴， 又∵，∴， ∵∴，∴，∴， ∵，∴， ∴的最小值为18，∴的最小值是．故答案为：． 33．（25-26八年级上·江苏·校考期末）在平面直角坐标系中，点A坐标为，点坐标为，则A，之间距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵点A坐标为，点坐标为， ∴， ∴有最小值是．故选：D． 34．（25-26八年级上下·陕西西安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P是线段的中点．若动点C在x轴上，连接，以为直角边，点B为直角顶点作等腰直角，连接，则长度的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：如图，作轴且，连接，作轴于点， ， 直线与轴交于点，与轴交于点， 令，则，解得，令，， 点坐标为，点坐标为，， 轴，，，点坐标为， 设点，则，是等腰直角三角形，，， ，， 在和中，，， ，，，， ，，三点横坐标相同，都为，，，三点共线， ，，点是线段的中点，， ，， 当即时，最小，为，的最小值为，故答案为：． 35．（2023上·河北廊坊·九年级校考期中）如图，是等腰直角三角形，，，为边上一点，连接，将绕点旋转到的位置． (1)若，求的度数；(2)连接，求长度的最小值． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：∵是等腰直角三角形，，∴， 由旋转的性质可得，∴； （2）解：由旋转的性质可得， ∴，设，则， 在中，由勾股定理得 ， ∴， ∵，∴当时，有最小值32，∴当时，有最小值． 考点08空间最值模型 36.（2025八年级上·浙江·专题练习）如图，用一条花带从高的圆柱的底部向柱顶均匀地缠绕3圈，一直缠到起点的正上方为止．若柱子的底面周长是，则这条花带的长度至少为 ． 【答案】 【详解】解：把圆柱沿展开三圈，B点的对应点为C点，如图，则， ∵，∴（）．∴这条花带的长度至少为．故答案为：． 37.（24-25八年级上·山东青岛·开学考试）如图，有一个长方体的长15，宽为20，高为25，如果一只蚂蚁要沿长方体的表面从A点爬到B点，设爬行的最短路程的长是x，则是 ． 【答案】 【详解】解：设定字母如图所示： ①如图，展开后连接，则就是在表面上从A到B的最短距离， 在中，由勾股定理得：； ②如图2，展开后连接，则就是在表面上从A到B的最短距离， 在中，由勾股定理得：； ③如图，展开后连接，则就是在表面上A到B的最短距离， 在中，由勾股定理得：． ∵，爬行的最短路程的长的平方为．故答案为：． 38.（24-25八年级下·山东聊城·期中）将矩形纸片按如图所示折叠，已知，，，，则蚂蚁在纸片表面从点处到达点处需要走的最短路程是 ． 【答案】26 【详解】解：如图，展开矩形，则， ∵矩形，∴，，∴，故答案为：26 ． 39．（25-26八年级上·湖北襄阳·月考）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图：将容器侧面展开，作A关于EC的对称点，过作交的延长线于D，    则四边形是矩形，∴，，连接，则即为最短距离， ∵高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿与饭粒相对的点A处，∴，， 在中，．故选B． 40．（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，有一圆柱形下水管道紧靠墙砖竖直安放，墙砖为长方形，分米，分米，该管道底面是周长为分米的圆，一只蚂蚁从点爬过管道到达，需要走的最短路程是 分米． 【答案】 【详解】解：把圆柱侧面展开，如图，则分米，分米， 由两点之间，线段最短，可知线段为蚂蚁爬行的最短路径， 由勾股定理得，分米， ∴需要走的最短路程是分米，故答案为：． 考点09胡不归模型 41．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在等腰直角中，，，点D是边的中点，若点P是边上一点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】如图，作，于，于交于， ∵是等腰直角三角形，， ，，， ∵点D是边的中点，∴，，，∴， ，，，，， ∵，，，， ，，，，， 根据垂线段最短可知，当点与重合时，的值最小，最小值为的长， 故答案为：． 42．（24-25八年级下·广东河源·期末）如图，在中，是的平分线．若点是线段上的一个动点，连接，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：由题意知，，， 如图，过作于，过作于， ∴，，∴，， ∴当三点共线，且时，的值最小，为， 由勾股定理得，，故答案为：． 43．（24-25八年级下·辽宁鞍山·开学考试）如图，已知在等边中，，，若点在线段上运动，当有最小值时，最小值为 ． 【答案】12 【详解】解：如图，作于，于， ， ∵是等边三角形，，∴，， ∵，∴，∴， ∵，∴，∵，∴，∴， ∵，∴的最小值为，故答案为：． 44．（2022·内蒙古·统考中考真题）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足为D，P为线段AD上的一动点，连接PB、PC．则PA+2PB的最小值为 ． 【答案】4 【详解】解：如图， 在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于F，交AD于P，此时PA+2PB最小，∴∠AFB＝90° ∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠CAD＝∠BAD＝， ∴∠EAD＝∠CAE+∠CAD＝30°，∴PF＝，∴PA+2PB＝2＝＝2BF， 在Rt△ABF中，AB＝4，∠BAF＝∠BAC+∠CAE＝45°， ∴BF＝4，∴（PA+2PB）最大＝2BF＝，故答案为：． 45．（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点E，易证明，我们将这个模型称为“K形图”．接下来我们就利用这个模型来解决一些问题： (1)如图1，若，，则___________． (2)如图2，，，求证：． (3)如图3，直线交坐标轴于A、B两点，C为中点，点D为上一动点，点E在x轴正半轴上，且满足，求的最小值． 【答案】(1)(2)见解析(3) 【详解】（1）解：过作于点，过作于点， ∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，则∴故答案为：． （2）证明：如图，过点作交的延长线于点，∴ 又∵∴， ∵，∴ 又∵，∴∴ ∵∴∴； （3）解：∵直线交坐标轴于A、B两点，C为中点， 当时，当时，，∴，，则， 设，则∵，∴∴ 又∵在上，则 ∴， 如图，以为直角边，作等腰直角，过点作轴于点，过点作于点， ∵∴，由“K形图”可得， ∴，∴， 当时，点在的上方，则，， 当时，点在的下方，则，， ∵是等腰直角三角形，且为斜边，则∴， ∴当点在线段上时，的最小值为的长， 设直线的解析式为，代入， ∴解得：∴直线的解析式为 当时，代入，得 解得：（负值舍去）∴，∴， ∴ 当时，代入，得 解得：，∴，，∴， ∵，∴的最小值为，即的最小值为． 考点10转化法最值模型（如全等转化） 46．（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，点D在边上，，，点E是边上一动点，连接，在的上方作，使得，且，则面积的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：过点A作，过点D作，如图所示： ∵，∴，∵，∴， ∵，，∴，∴当取得最小时，面积最小， ∵D为顶点，E为动点，当时，取得最小值即， ∴，∴，∴，∴面积最小为，故答案为：． 47．（25-26九年级上·广东珠海·期中）如图，在中，，，，是边上一动点，连接，把线段绕点逆时针旋转到线段，连接，则线段的最小值为（    ） A．3 B．6 C．9 D． 【答案】D 【详解】解：如图，在上取一点E，使，连接，过点E作于F， 由旋转知，， ∵，∴，∴，∴， 又∵，∴，∴， 要使最小，则有最小，而点E是定点，点P是上的动点， ∴当（点P和点F重合）时，最小，即点P与点F重合，最小，最小值为， 在中，，，，∴， ∵，∴， 在中，，∴，故线段长度的最小值是，故选：D． 48．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）如图，中， ∠，点D是边上的动点， 连接，以为边在其左侧作等边，在点D 的运动过程中，线段的中点M与点E 距离的最小值为 ． 【答案】3 【详解】解：如图，取的中点Q，连接，即， ∵中， ∠，∴， ∵线段的中点M，∴，∴，， ∵是等边三角形，∴，∴， ∴，即 ∴．∴．∴当时，最小， 此时的值最小． ∵，∴． ∴的最小值为3， 即线段的中点M与点E 距离的最小值为3．故答案为：3． 49.（25-26八年级上·江苏南通·期中）如图，已知平分中的，过点作，点是边的中点，若，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为（    ） A． B．8 C．6 D．4 【答案】B 【详解】解：延长交于点，设交于点， ，，，， ，，， ，，，， ，，，， ，，， ， ，当时，△的面积最大，最大面积为． 图中两个阴影部分面积之差的最大值为8，故选：B． 50．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，，分别以，为直角边，为直角顶点向外作等腰和等腰，连接，．在的边变化的过程中，当最大时，的长是 ． 【答案】 【详解】解：，，即， 在和中，，，， ，，， ，在中，由三角形三边关系可得，则当三点共线，即点在上时，最大，如图所示： ，最大值为， 过点作于，如图所示：由等腰三角形“三线合一”得， ，∴BC，故答案为：． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 十类重要的几何最值模型 专训 考点01 将军饮马模型 考点02逆等线模型 考点03瓜豆模型（直线型） 考点04费马点模型 考点05梯子模型（三边关系求最值） 考点06垂线段求最值模型 考点07配方法求几何最值模型 考点08空间最值模型 考点09胡不归模型 考点10其他转化法最值模型 考点01 将军饮马模型 1．（24-25八年级上·江苏南通·月考）如图，点E在等边的边上，，射线，垂足为点C，点P是射线上一动点，点F是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为（   ） A．8.5 B．9 C．9.5 D．10 2．（25-26八年级上·江苏无锡·期末）在中，，点D在边上（不与B、C点重合），点P、点Q分别是、边上的动点，当的周长最小时（提示：四边形的各个内角之和为），则的度数（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，直线与轴、轴分别交于点和点，轴上有一点，为直线上的一个动点，当的值最小时，点的坐标为 ． 4．（25-26八年级上·江苏南通·期中）某机器人社团开展机器人比赛．比赛场地如图所示：在四边形中，，E，F分别为上的点，，，，，则 °．经测量．现要求机器人从边上的一点P出发，沿直线匀速到达上，然后到上，最后回到点P，若，机器人的速度为，则机器人完成比赛所用的最短时间为 s． 5．（25-26八年级上·福建龙岩·期中）请根据以下素材，完成探究任务． 探索最短距离 背景材料 我国古代对最短距离原理的运用充满智慧，不仅解决了具体的工程和军事问题，更体现出转化的数学思想．这些古老的思想在今天依然充满活力，在网络优化、物流配送和人工智能路径规划中，我们依然在使用这些最朴素的几何原理来解决最前沿的科技问题． 任务1 如图，牧童在处放牛，其家在处，A、B到河岸的距离分别为和，且，若点到河岸的中点的距离为米，则牧童从处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是_____米． 任务2 如图，直线是中边的垂直平分线，点P是直线上的一动点，若．（1）求的最小值，并说明理由；（2）求周长的最小值． 任务3 如图，点M、N分别在边、上，且，点P、Q分别在边、上，则当取最小值时，求的值． 考点02逆等线模型 6．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）如图，已知直线分别交轴、轴于点、两点，，、分别为线段和线段上一动点，交轴于点，且．当的值最小时，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·天津南开·期中）如图，在中，，，，垂足为点．若，分别是线段，上的动点，且，当最小时，的大小为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·辽宁锦州·月考）在中，，，，点在边上，且，则的最小值 ． 9．（25-26八年级上·广东广州·期末）如图，在等边中，平分，，分别为，上的一点，且，当时，则的最小值为 ． 10．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，，平分，，分别为边，上一点，且，当的长为时，则的最小值为 . 考点03瓜豆模型（直线型） 11．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）如图，在中，，，，点为边上一动点（不与点重合），为等边三角形，过点作的垂线，为垂线上任意一点，连接，为的中点，连接，则的最小值是 ． 12．（25-26八年级上·广西柳州·期中）如图，在中，．其中分别是边上的动点，在运动过程中始终保持，连接，并将绕点逆时针旋转得到，连接．已知，且为中点，连接，则周长的最小值为 ． 13．（25-26九年级上·重庆·月考）如图，是边长为6的等边三角形，点为高上的动点．连接，将绕点顺时针旋转得到．连接，，，当移动到某处，使，此时的长为 ；在整个上移动的过程中，周长的最小值是 ． 14．（25-26八年级上·四川成都·月考）在等腰三角形中，，点 D 为线段 上任意一点（D 点不与端点重合），连接 ，将线段 绕点 A 逆时针旋转 到点 E ，连接 ．延长 至点 F ，使得 ，连接 的最小值为 ． 15．（25-26八年级上·重庆南岸·月考）如图，． (1)如图1，点点分别在和上，连接，若，求的长度；(2)如图2，连接，F为上一点，连接，满足，请探究和的数量关系并证明；(3)如图3，在（1）问条件下，为直线上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转到，当周长最小时，直接写出的面积． 考点04费马点模型 16．（2025九年级下·全国·专题练习）已知，在中，，点P是内一动点，则的最小值为 17．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，P为三角形内一点，则的最小值为 ．    18．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，在中，，，，点是内一点，则点到三个顶点的距离和的最小值是 ． 19．（23-24八年级下·山东枣庄·期中）如图，中，，，为内一点，，则的最小值为 ．    20．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）背景资料：在已知所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小．这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．如图1，当三个内角均小于120°时，费马点P在内部，当时，则取得最小值． (1)如图2，等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数，为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出___________．知识生成：怎样找三个内角均小于120°的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边在外侧作等边三角形并连接等边三角形的顶点与的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点，请同学们探索以下问题． (2)如图3，三个内角均小于120°，在外侧作等边三角形，连接，求证：过的费马点．(3)如图4，在中，，，，点P为的费马点，连接AP、BP、CP，求的值． 考点05梯子模型（三边关系求最值） 21．（25-26九年级上·安徽宿州·月考）如图，墙面与地面垂直，一块矩形木板的顶点分别在和上滑动，连接（图中各点均在同一平面内），已知，在木板滑动的过程中，下面说法正确的是（   ） A．的最大值为9，最小值为3 B．的最大值为，最小值为3 C．的最大值为9，最小值为2 D．的最大值为，最小值为1 22．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，AB＝8，P为AC边上的一个动点，D为PB上的一个动点，连接AD，当∠CBP＝∠BAD时，线段CD的最小值是（   ） A． B．2 C． D． 23．（25-26八年级上·北京海淀·期中）在平面直角坐标系中，点，点，点D为线段外一动点，且，以为斜边作如图所示的等腰直角，，．连接，以为直角边，作如图所示的等腰直角，，，连接，则线段长的最大值为 ． 24．（25-26九年级上·广东揭阳·期末）如图，在矩形中，点F是边的中点，点E是边上一动点，连接，将沿折叠使点C落到点处，连接，在上任取一点G，连接，，若，，则周长的最小值为 ． 25．（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图，已知直线：（b为任意实数）与y轴交于点A，将直线绕点A逆时针旋转得到直线并与x轴相交于点C，点D为平面内一动点，且满足，，连接，线段的最小值为 ． 考点06垂线段求最值模型 26．（25-26八年级上·浙江嘉兴·期中）在中，，，，的中垂线交于，交于点，交直线于点．若点为直线上一动点，点为直线上一动点，则的最小值为（   ）． A． B． C． D． 27．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，，点分别在射线上，，，点P是直线上的一个动点，点P关于的对称点为，点P关于的对称点为，连接、、，当点P在直线上运动时，则面积的最小值是（    ） A． B． C． D． 28．（25-26八年级上·江苏宿迁·月考）如图，在直角坐标系中，点在轴正半轴上，点、在轴正半轴上，且，，点是轴上的一个动点，点关于直线、的对称点为、，则当线段最小时，点的坐标为 ． 29．（25-26九年级上·湖北咸宁·期中）如图，等腰中，是上一动点，连接．将绕点逆时针旋转得到，连接．若，则当 ，周长最小值是 ． 30．（25-26八年级上·湖北武汉·月考）如图，在中，，，点D为中点，连接，点E、点F分别为、上两动点，过点F作于点H，当取最小值时，，则的面积是（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 考点07配方法求几何最值模型 31．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，Q是直线上的一个动点，将Q绕点顺时针旋转，得到点，连接，则的最小值为 ． 32．（24-25.山东九年级期末）如图，点，，P为x轴上一动点，将线段绕点P顺时针旋转 90°得到，连接．则的最小值是 33．（25-26八年级上·江苏·校考期末）在平面直角坐标系中，点A坐标为，点坐标为，则A，之间距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 34．（25-26八年级上下·陕西西安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P是线段的中点．若动点C在x轴上，连接，以为直角边，点B为直角顶点作等腰直角，连接，则长度的最小值是 ． 35．（2023上·河北廊坊·九年级校考期中）如图，是等腰直角三角形，，，为边上一点，连接，将绕点旋转到的位置． (1)若，求的度数；(2)连接，求长度的最小值． 考点08空间最值模型 36.（2025八年级上·浙江·专题练习）如图，用一条花带从高的圆柱的底部向柱顶均匀地缠绕3圈，一直缠到起点的正上方为止．若柱子的底面周长是，则这条花带的长度至少为 ． 37.（24-25八年级上·山东青岛·开学考试）如图，有一个长方体的长15，宽为20，高为25，如果一只蚂蚁要沿长方体的表面从A点爬到B点，设爬行的最短路程的长是x，则是 ． 38.（24-25八年级下·山东聊城·期中）将矩形纸片按如图所示折叠，已知，，，，则蚂蚁在纸片表面从点处到达点处需要走的最短路程是 ． 39．（25-26八年级上·湖北襄阳·月考）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（   ） A． B． C． D． 40．（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，有一圆柱形下水管道紧靠墙砖竖直安放，墙砖为长方形，分米，分米，该管道底面是周长为分米的圆，一只蚂蚁从点爬过管道到达，需要走的最短路程是 分米． 考点09胡不归模型 41．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在等腰直角中，，，点D是边的中点，若点P是边上一点，则的最小值为 ． 42．（24-25八年级下·广东河源·期末）如图，在中，是的平分线．若点是线段上的一个动点，连接，则的最小值是 ． 43．（24-25八年级下·辽宁鞍山·开学考试）如图，已知在等边中，，，若点在线段上运动，当有最小值时，最小值为 ． 44．（2022·内蒙古·统考中考真题）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足为D，P为线段AD上的一动点，连接PB、PC．则PA+2PB的最小值为 ． 45．（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点E，易证明，我们将这个模型称为“K形图”．接下来我们就利用这个模型来解决一些问题： (1)如图1，若，，则___________． (2)如图2，，，求证：． (3)如图3，直线交坐标轴于A、B两点，C为中点，点D为上一动点，点E在x轴正半轴上，且满足，求的最小值． 考点10转化法最值模型（如全等转化） 46．（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，点D在边上，，，点E是边上一动点，连接，在的上方作，使得，且，则面积的最小值为 ． 47．（25-26九年级上·广东珠海·期中）如图，在中，，，，是边上一动点，连接，把线段绕点逆时针旋转到线段，连接，则线段的最小值为（    ） A．3 B．6 C．9 D． 48．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）如图，中， ∠，点D是边上的动点， 连接，以为边在其左侧作等边，在点D 的运动过程中，线段的中点M与点E 距离的最小值为 ． 49.（25-26八年级上·江苏南通·期中）如图，已知平分中的，过点作，点是边的中点，若，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为（    ） A． B．8 C．6 D．4 50．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，，分别以，为直角边，为直角顶点向外作等腰和等腰，连接，．在的边变化的过程中，当最大时，的长是 ． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $