专题08 压轴题（解答题）专项（高效培优期末专项训练）八年级数学上学期苏科版2024

专题08 压轴题（解答题）专项（第1章-第5章） （共35题） 解答题（共35题） 1．（25-26八年级上·江苏·月考）在中，，． (1)如图，过点作于点，求证：； (2)如图，在中，，，点，，在同一条直线上，为中边上的高，连接．则的度数为多少？并用线段，表示，并说明理由； (3)在图，图中，在同一平面内有一点，满足，，且，请求出点到边上的高． 2．（25-26八年级上·广东广州·期中）在中，，点为的中点，点、分别在边、上．  (1)本小题为多项选择题有多个选项符合题目要求，要求回答时，全部选对的得满分，选对但不全的视正确答案数相应给分，有选错的得分，题目如下： 如图，若，则下列结论正确的有（   ） A． B．是等腰直角三角形 C． D．当在内绕顶点旋转时（点不与，重合）， (2)如图，若，求的值； (3)如图，若，求证：． 3．（25-26八年级上·北京西城·期中）【阅读理解】数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题： 如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． (1)【方法探索】 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1，延长到点E，使，连接．这样就能把线段集中在中．请根据小明的方法思考： ①补全图形，由已知和作图能得到的理由是______； A．；B．；C．；D． ②利用三角形的三边关系可以确定的取值范围，从而可以得到的取值范围是______． (2)【问题解决】由第（1）问方法的启发，请解决下面问题： ①如图2，在中，D是边上的一点，是的中线，，，证明； ②如图3，是的中线，过点A分别向外作、，使得，，直接写出线段与的关系． (3)【问题拓展】我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． ①如图4，已知为直角三角形，，以为边向外作正方形，正方形，连接．求证：与为偏等积三角形； ②如图5，将分别以为边向外作正方形，正方形，正方形，连接，则图中有______组偏等积三角形． (4)【综合运用】如图6，四边形是一片绿色花园，、是等腰直角三角形，，已知，的面积为，计划修建一条经过点C的笔直的小路，点F在边上，的延长线经过的中点．若小路每米造价600元，请计算修建小路的总造价为______元． 4．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图1，中，，，点F、E分别在、边上，连接，． (1)求证：； (2)如图2，点D在的延长线上，连接、，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接交于点H，点G在线段上，连接、，若，，，求的面积． 5．（25-26八年级上·江西宜春·月考）【问题背景】如图1，现有一副直角三角尺，在等腰直角三角尺中，，另一直角三角尺的直角顶点落在的中点上，绕点转动直角三角尺，两直角边与始终有交点，分别交于点，连接． 【操作发现】（1）求证：是等腰直角三角形． （2）猜想，，之间的数量关系，并说明理由． 【类比探究】（3）如图2，现有三角形纸片和，在中，，．在中，，三角形纸片的顶点落在的中点上，边分别与交于点，连接，则的形状是___________；之间的数量关系是___________． 6．（25-26八年级上·福建龙岩·期中）已知是边长为的等边三角形，点在射线上运动，点在线段上运动，连接，以为边向右作等边，连接． (1)如图，当点与点重合，点在点右侧时，求证； (2)如图，在（1）的条件下，过点作于，且，求线段的长； (3)如图，当点与点不重合，点在点左侧，且时，求线段的最小值． 7．（25-26八年级上·江苏泰州·月考）如图1，在中，，，D是边上一动点（不与A、B重合），连接，将绕点D顺时针旋转到，连接． (1)求证：；(2)①若，，求的值；②试探索与有怎样的数量关系，并说明理由；(3)如图2，过A点作，垂足为O，连接，取中点G，连接、，求证： 8．（25-26九年级上·福建龙岩·期中）阅读与思考 构图法在初中数学解题中的应用 构图法指的是构造与数量关系对应的几何图形，用几何图形中反映的数量关系来解决数学问题的方法．巧妙地构造图形有助于我们把握问题的本质，明晰解题的路径，也有利于发现数学结论．以下通过列举一个例子，介绍构图法在解题中的应用． 例：17世纪有着“业余数学家之王”美誉的法国律师皮耶·德·费马，提出一个问题： 求作三角形内的一个点，使它到三角形三个顶点的距离之和最小，后来这点被称之为“费马点”． 解决这种问题的经典方法，就是利用旋转变换，将三条线段进行转化： 如图：把绕点A逆时针旋转60度得到，连接，这样就把确定的最小值的问题转化成确定的最小值的问题了．当四点共线时，线段的长为所求的最小值【依据】，此时点P为的“费马点”． 任务：【发现】用数学的眼光观察（1）上面文中的“依据”是________． 【探索】用数学的思维思考（2）请你根据文中所给解决思路．证明：当点P为的“费马点”时， ． 【应用】用数学的语言表达（3）如图，在等腰直角三角形内任取一点P，连接． 求证：． 9．（25-26九年级上·安徽芜湖·月考）某数学实践小组用旋转相关知识来探究三角形的有关线段之间的关系，如图，在中，，． (1)如图1，为斜边上的一点，连接，将绕点逆时针旋转，得到，连接．猜想，，之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，和是大小不同的等腰直角三角形，且．将绕着点逆时针旋转一定的角度，当，且点，点和的中点三点共线时，探究线段和的数量关系．(3)如图3，在四边形中，，是对角线，若，，求的长． 10．（24-25八年级上·江苏淮安·期末）综合与探究 【问题背景】如图1，在中，是中线，，，．求的长． （1）下面是小明的解题过程，请完成填空： 解：如图2，延长中线至点，使得，连接． ∵是中线，∴． 在和中， ∴（______） ∴． 在中， ∵，， ∴．∴______． ∴． ∴．∴______． 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，运用转化思想，把分散的已知条件和所求的结论集中到同一个三角形之中． 【类比分析】（2）如图3，在四边形中，，点是的中点，若是的平分线，试猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想； 【学以致用】（3）如图4，在中，，，点为中点，点在边上且，将沿折叠到，若射线恰好经过的中点，请你参照小明的思路；求出的长度． 11．（25-26九年级上·广西南宁·月考）阅读下面材料，并解决问题： (1)如图①等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数． 为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出______； (2)基本运用：请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题 已知如图②，中，，，E、F为上的点且，求证：； (3)能力提升：如图③，在中，，，，点O为内一点，连接，，，且，求的值． 12．（25-26八年级上·江苏泰州·月考）如图①，在等边中，，分别是，上的点，且，连接，交于点． (1)求证：；(2)求的度数． (3)如图②，等边内有一点，若点到顶点、、的距离分别为3，4，5，求的度数． 为了解决本题，我们可以将绕顶点旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段，，转化到一个三角形中，从而求出________； (4)如图③，为边长的等边三角形，分别为，上两点，且，连接，交于点F，连接，若，求的周长． 13．（25-26八年级上·江苏无锡·期末）如图，中，于点D，，点E在CD上，，连接． (1)求证：；(2)延长交于点F，连接，点G在上，且，求的度数； (3)过点C作连接交于点N，若，直接写出的面积_______． 14．（25-26八年级上·辽宁沈阳·月考）在中，，，为线段上一点，连接．    (1)如图1，，于点，，求线段的长； (2)如图2，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，取的中点，连接，． ①求证：；②探究并证明线段，，的数量关系；③求的度数（用含的代数式表示）． 15．（25-26八年级上·陕西西安·期中）问题初探 （1）如图1，等边三角形中，是的平分线，发现与、之间存在数量关系，请你写出它们之间的数量关系：______，______． 请你运用上面的结论来解决下面的问题： 深入研究（2）已知是等边三角形，点是直线上一动点，连接，以为边构造等边三角形，连接，过点作，交直线于点． ①如图2，当点在延长线上时，线段、、之间存在怎样的数量关系？请写出结论并证明； ②如图3，当点在延长线上时，请你直接写出线段、、之间的数量关系：________ 拓展延伸（3）如图4，已知、是等腰三角形，且，，，、、三点在同一条直线上，过点作，交直线于点．若，，求的长度． 16．（25-26八年级上·安徽淮北·月考）【观察】（1）如图，和交于点，且和互相平分，则_____．（填“”“”或“”） 【总结】当题目中出现“平分”“中点”等词语时，可寻找或构造全等三角形，通过证明三角形全等来解决问题． 【应用】（）如图，，和交于点，且和互相平分，，，则的度数为______． （）如图，点，在上，为的中点，平分．求证：． 【拓展】（4）如图，在中，，边上的中线长为，分别为边上的两个动点，在运动过程中始终保持，连接，且，请求出整数的值． 17．（2025·河南安阳·模拟预测）课本精彩再现：我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是，求它的立方根．华罗庚很快就说出了答案． (1)还原思考过程：①由，，而，由此可确定是一个_______位数． ②由个位上的数是9，可以确定的个位数是_______． ③由，，可以确定的十位数字是_______． 从而可得_______． (2)类比解决问题：已知是某整数的平方，是某整数的立方，请你从中任选一个，确定的平方根或的立方根，并写出你的确定过程． 18．（24-25七年级下·湖北孝感·期中）学习《实数》之后，在数学活动课上，丁老师出示了一组有规律的算式．阅读观察下列算式，探求规律： … 【实践探究】（1）按照此规律，①计算：________； ②第n个式子是_______（用含n的式子表示，n是大于等于1整数）； （2）计算：； 【迁移应用】（3）若符合上述规律，请求出x的值． 19．（2025·河南平顶山·三模）观察下列等式： ；；；… (1)根据以上规律可得，则的值为 ．(2)写出的值，并通过计算说明其正确性． 20．（24-25八年级下·广东·期末）如图，以直角的直角顶点为原点，以，所在直线为轴和轴建立平面直角坐标系，点，满足． (1)点的坐标为________；点的坐标为________．(2)已知坐标轴上有两动点，同时出发，点从点出发沿轴负方向以每秒个单位长度的速度匀速移动，点从点出发沿轴正方向以每秒个单位长度的速度匀速移动，点到达点整个运动随之结束．的中点的坐标是，设运动时间为秒．问：是否存在这样的，使得与的面积相等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． (3)在（2）的条件下，若，点是第二象限中一点，并且轴平分．点是线段上一动点，连接交于点，当点在线段上运动的过程中，探究，，之间的数量关系，并证明你的结论． 21．（25-26八年级上·湖北孝感·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，是以点D为直角顶点的等腰直角三角形，点E在第三象限，点D在x轴上运动． (1)如图1所示，当点D的坐标为时，则点E的坐标为________；(2)如图2所示，点D在线段上运动时，连接、，连接并延长与y轴交于点P，求点P的坐标； (3)如图3，设的边与y轴交于点G，与x轴交于点F，当点D在线段上运动，且满足时，在线段上取点H，且，连接交y轴于点Q．试判断线段与的数量关系，并说明理由． 22．（25-26八年级上·辽宁大连·期中）已知点，点，且，若点关于直线的对称点为点，则称为的“线镜像点”． (1)当时，在，，中，“线镜像点”在轴上的点是______； (2)已知点，点若线段上存在点，使得点的“线镜像点”在轴上，则的取值范围是______；(3)当时，已知点，点的“线镜像点”分别是点，如图，第一、三象限角平分线下方和轴上方的公共部分构成区域（含边界），若在区域中有且只有个点使得为等腰直角三角形，则的取值范围是______． 23．（25-26八年级上·广东珠海·期中）在平面直角坐标系中，点A是射线上的一点，点B是轴正半轴上的一个动点，连接，垂直平分． (1)如图1，当，时，连接与，若点B的坐标为，P的坐标为，则点A的坐标是______；(2)如图2，当时，的平分线与的垂直平分线相交于点P，过点P作于点M，点B与点M不重合，过点P作于点N，请说明，与之间的数量关系；(3)如图3，当，的平分线与的垂直平分线相交于点P，时，点D是射线上的一点，连接，过点P作于点N，且交于点F，F是的中点．若点N的坐标为，A的坐标是，求的长度． 24．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，且，满足． (1)点的坐标为________；点的坐标为________； (2)如图1，，连接，于，交于点，交的延长线于点，在轴的负半轴上有一点，连接，满足，求点坐标； (3)如图2，是射线上一点（不与、、的中点重合），连接，过点作交于，在的上方作，交轴于点，与直线交于点，探究、、三条线段之间的数量关系，并证明（写出一种结论的证明过程即可）． 25．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知，． (1)若存在点，使与全等．请直接写出点的坐标为______． (2)若为第一象限内的点，且是等腰直角三角形．求点的坐标． (3)设点是轴上一个动点，若在轴上存在点，使，以为边在的上方作等边．请直接写出的最小值为______． 26．（24-25八年级上·福建漳州·期末）如图，直线经过点，，点在轴上，且，连接．(1)求直线的表达式；(2)若平分，交于点，点是轴上的动点，求的最小值；(3)在直线上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 27．（25-26八年级上·辽宁锦州·期中）【观察发现】如图1，将含有的三角板的直角顶点放在直线l上，过两个锐角顶点分别向直线l作垂线，这样就得到了两个全等的直角三角形．这种三个直角的顶点都在同一条直线上的基础图形在数学解题中被广泛使用． 【探究迁移】（1）如图2，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点． ①的度数为；②C，D是正比例函数的图象上的两个动点，连接，．若，，则的最小值是 ．（2）如图3，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，将直线顺时针旋转得到直线l，求直线l对应的函数表达式． 【问题解决】（3）如图4，是某试验田的一块区域示意图，，点O为试验田的供水中心，点P为进出水口点，且在线段上．现要规划一片等腰直角三角形区域作为新品种小麦的研究基地，点M在线段上，点N在线段的下方，为了便于确定点N的位置，以O为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知点P的坐标为，按设计要求，点N处设置为另一个进出水口，要用水管把O，P，N三点连接起来，若使所需的水管长度最短，求所需要水管长度的最小值． 28．（24-25八年级下·四川成都·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，过点的直线分别交轴、轴的正半轴于点C、D，与直线交于点． (1)若点的坐标为；①求点的坐标；②点是直线上一点，且，求点的坐标． (2)如图2，一束光线从点出发经过镜面和反射后正好通过原点O，当光线经过的路径的总长为时，求直线的解析式． 29．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）阅读以下材料，完成问题． 如图1，在中，，若已知的对边与邻边的比值，则可得到的度数．如：若，则；若，则． (1)小试牛刀：如图2，在中，，，，则___________； (2)问题探究：如图3，在中，，，，，点是线段上一点，求的最小值； (3)问题解决：如图4，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点、，点，点为直线上的动点，以为边在其下方作等边．连接、，那么是否存在最小值，若存在求出其最小值及此时点的坐标，若不存在请说明理由． 30．（25-26八年级上·江苏连云港·月考）已知关于x的一次函数，解决下列问题： (1)如果这个函数的图象经过原点，求m的值． (2)不论m取何值，的图象一定经过某个定点，求这个点的坐标． (3)在坐标系中，点，如果此坐标系中，函数的图象与线段有交点，求m的取值范围，并求m最大值与最小值时对应的函数图象与直线三条线段围成的三角形的面积． 31．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，点A在x轴负半轴上，直线与x轴、y轴分别相交于点B，C，且． (1)求直线的表达式；(2)点P，Q分别为直线上一点，连接，设点P的横坐标为t． ①当点P在线段 上且轴时，请用含t的代数式表示点Q的坐标； ②当点Q是的中点且时，请直接写出t的值． 32．（25-26八年级上·江苏无锡·期末）如图（1），在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于，两点，过点作交于点，交轴于点，且． (1)B的坐标为_______，线段的长为_______．(2)求直线的解析式和点D的坐标． (3)如图（2），点是线段上一动点（不与点，重合），交于点，连接． ①在点移动过程中，线段与数量关系是否不变，并证明； ②连接，当面积最大时，求的长度和的面积． 33．（25-26八年级上·江苏南京·月考）如图1，直线与轴、轴分别交于点和点，点在轴负半轴，且． (1)求直线的解析式； (2)点是的中点，为直线上的一个动点，连接，若，求点的坐标； (3)点是直线上的一个动点，连接，请直接写出使是直角三角形的点坐标___________ 34．（25-26八年级上·重庆南岸·月考）如图，平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点C，B为上一点，其中点的坐标为，点的坐标为．直线与轴交于点，与轴交于点．直线与直线交于点． (1)求出直线的函数表达式，及交点的坐标；(2)如图2，过点作直线的平行线交轴于点，点为直线上一动点，连接，求出的面积；(3)如图3，在（2）问条件下，连接，当最大时，在直线下方找一点，使得为等腰直角三角形，请直接写出点的坐标． 35．（25-26八年级上·江苏盐城·月考）（1）如图1，与都是等腰三角形，，且，则与的数量关系是______； （2）如图2，直线与x轴、y轴分别交于点A，B，在第二象限内直线l上取一点C，使得点C到原点O的距离等于3，且，以为直角边在的左侧作等腰直角，且，连接，求线段的长； （3）如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B为x负半轴上一动点，以为边在直线的右侧作等边，若点P为的中点，连接，求长的最小值． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 压轴题（解答题）专项（第1章-第5章） （共35题） 解答题（共35题） 1．（25-26八年级上·江苏·月考）在中，，．(1)如图，过点作于点，求证：；(2)如图，在中，，，点，，在同一条直线上，为中边上的高，连接．则的度数为多少？并用线段，表示，并说明理由；(3)在图，图中，在同一平面内有一点，满足，，且，请求出点到边上的高． 【答案】(1)证明见详解(2)，(3)或 【详解】（1）证明：，，， ，是斜边上的中线，； （2）解：，，，， ，，，， ，，， ，，， ，，，； （3）①如图，连接，作交于点，设与交于点， ，，，， ，， 在和中，， ，，， 作交于点，交延长线于点， 则，，， 在和中，， ，点到边上的高为； ②如图，连接，作交延长线于点， ，，， ，， 在和中，，，， ，，， 作交延长线于点，交于点，则，， 平分，，，， 点到边上的高为；点到边上的高为或． 2．（25-26八年级上·广东广州·期中）在中，，点为的中点，点、分别在边、上．  (1)本小题为多项选择题有多个选项符合题目要求，要求回答时，全部选对的得满分，选对但不全的视正确答案数相应给分，有选错的得分，题目如下： 如图，若，则下列结论正确的有（   ） A． B．是等腰直角三角形 C． D．当在内绕顶点旋转时（点不与，重合）， (2)如图，若，求的值； (3)如图，若，求证：． 【答案】(1)；(2)；(3)证明见详解． 【详解】（1）解：，，， 点为的中点，，，， ，，， 在和中，，，， 是等腰直角三角形；故正确；正确； ，， ，故正确； ，， 点不与，重合，，， ，， ，，故错误，故选：； （2）解：如图，连接，  点为的中点，, 又，，，，， ，，，，同理得，； （3）证明：如图，连接，作于点，作于点，    ，，，， 又，，，， ，，，， ，， 在和中，， 在和中，， ，，， ，，， ，，，． 3．（25-26八年级上·北京西城·期中）【阅读理解】数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题： 如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． (1)【方法探索】 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1，延长到点E，使，连接．这样就能把线段集中在中．请根据小明的方法思考： ①补全图形，由已知和作图能得到的理由是______； A．；B．；C．；D． ②利用三角形的三边关系可以确定的取值范围，从而可以得到的取值范围是______． (2)【问题解决】由第（1）问方法的启发，请解决下面问题： ①如图2，在中，D是边上的一点，是的中线，，，证明； ②如图3，是的中线，过点A分别向外作、，使得，，直接写出线段与的关系． (3)【问题拓展】我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． ①如图4，已知为直角三角形，，以为边向外作正方形，正方形，连接．求证：与为偏等积三角形； ②如图5，将分别以为边向外作正方形，正方形，正方形，连接，则图中有______组偏等积三角形． (4)【综合运用】如图6，四边形是一片绿色花园，、是等腰直角三角形，，已知，的面积为，计划修建一条经过点C的笔直的小路，点F在边上，的延长线经过的中点．若小路每米造价600元，请计算修建小路的总造价为______元． 【答案】(1)①B；②(2)①见解析；②且(3)①见解析；②6(4)42000 【详解】（1）解：①如图1，延长到点E，使，是的中点，， 在和中，，，故答案为：B； ②，， 在中，，，，故答案为：； （2）①证明：如图2，延长到点F，使得，连接 是边上的中线，， 在和中，，， ，，，， ，，， ，，， 在和中，，，， ，； ②；；理由如下：如图3，延长交于点P，延长使，连接， 为边上的中线，， 在和中，，， ，，，， ，，， ，， ，，， 在和中，，，，， ，；，， ，，； 综上所述，且； （3）①证明：作交的延长线于H，如图， 四边形是正方形，，， 四边形是正方形，，， ，， 在和中，，，， ，，，与为偏等积三角形； ②延长到点H，使得，连接，如图5，， 四边形，四边形是正方形， ，，，，， ，， 在和中，，， ，与是偏等积三角形； 同理可得， 偏等积三角形有与，与，与，与，与，与6组；故答案为：6； （4）如图6，过点A作，交的延长线于M， ，点G为的中点，， 在和中，，，， ，， ，，，， 在和中，，， ， ，，，， ，，，（元）， 答：修建小路的总造价为42000元．故答案为：． 4．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图1，中，，，点F、E分别在、边上，连接，． (1)求证：； (2)如图2，点D在的延长线上，连接、，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接交于点H，点G在线段上，连接、，若，，，求的面积． 【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)． 【详解】（1）证明：∵，，∴是等腰直角三角形，∴， ∵，∴，∴； （2）证明：∵，，∴是等腰直角三角形，∴，，∴， ∵，∴，∴， ∵，，∴， 即，∵，∴， 在和中，，∴，∴； （3）解：过点G作于点M，如图所示， ∵，∴，∵，， ∴，即， ∵，∴， 在和中，，∴， ∴，∴， ∵，，， ∴，∴，∵，∴， ∵，∴，，∴， ∵，∴，∵，，， ∴，解得：，∴，， ∴，∵，，∴，∴， 在中，由勾股定理，得，， ∴，解得：（负根舍去），∴， ∴，， 在中，， ∴，． 5．（25-26八年级上·江西宜春·月考）【问题背景】如图1，现有一副直角三角尺，在等腰直角三角尺中，，另一直角三角尺的直角顶点落在的中点上，绕点转动直角三角尺，两直角边与始终有交点，分别交于点，连接． 【操作发现】（1）求证：是等腰直角三角形． （2）猜想，，之间的数量关系，并说明理由． 【类比探究】（3）如图2，现有三角形纸片和，在中，，．在中，，三角形纸片的顶点落在的中点上，边分别与交于点，连接，则的形状是___________；之间的数量关系是___________． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3）等边三角形， 【详解】解：（1）证明：连接， ∵为等腰直角三角形，点为的中点，∴，，， ∴，∴，， 在和中，，∴，∴， 又∵，∴是等腰直角三角形； （2），理由如下：由①可知：，∴， ∵，∴； （3）连接，作，，垂足分别为，如图，则， ∵，为的中点，∴，平分，，，∵，，∴， ∵，∴， 在和中，∴，∴， 又∵，∴为等边三角形； 取的中点，连接，则：， ∵，，∴， ∵平分，∴，∴为等边三角形， ∴，∴， 在和中，，∴，∴， ∴，∴． 6．（25-26八年级上·福建龙岩·期中）已知是边长为的等边三角形，点在射线上运动，点在线段上运动，连接，以为边向右作等边，连接． (1)如图，当点与点重合，点在点右侧时，求证； (2)如图，在（1）的条件下，过点作于，且，求线段的长； (3)如图，当点与点不重合，点在点左侧，且时，求线段的最小值． 【答案】(1)证明见解析(2)(3) 【详解】（1）证明：∵是等边三角形，∴，， ∵是等边三角形，点与点重合，∴是等边三角形，∴，， ∴，∴，∴， 在和中，，∴，∴； （2）解：如图，过点作于点，交于点，∴， ∵，，∴，由（1）知：，即， 在和中，，∴，∴， ∵是边长为的等边三角形，∴，， ∴，∴，∴， ∵∠BPO=∠ABC-∠POB=60°-30°，∴，∴； （3）如图，过点作于，作射线，过点作于， ∴，，∵是边长为的等边三角形，∴，， ∴，，∴， ∵，∴，∴， ∵是等边三角形，∴，， ∴，∴， 在和中，，∴，∴， ∴，∴点在与成的定直线上运动， ∴当点在处时，最小， ∵，，，∴，∴的最小值为． 7．（25-26八年级上·江苏泰州·月考）如图1，在中，，，D是边上一动点（不与A、B重合），连接，将绕点D顺时针旋转到，连接． (1)求证：；(2)①若，，求的值；②试探索与有怎样的数量关系，并说明理由；(3)如图2，过A点作，垂足为O，连接，取中点G，连接、，求证： 【答案】(1)见解析(2)①；②，理由见解析；(3)见解析 【详解】（1）证明：在上取点，使得， ∵线段绕点顺时针旋转得到线段，∴，． ∵，∴， ∴，∴，∴， ∵，∴∴， ∴，∴，∴； （2）①解：作交延长线于， ∵线段绕点顺时针旋转得到线段，∴，． ∵，∴，∴，∴，∴， ∵∴，∴为等腰直角三角形，∴， ∵，∴ ②解：，理由如下：作交延长线于， ∵线段绕点顺时针旋转得到线段，∴，． ∵，∴，∴，∴，∴， ∵∴，∴为等腰直角三角形，∴； （3）证明：延长与交于点，连接，，设和交于点P， ∵，，，∴，，， ∵，∴，∴， ∴，∴，， ∵是中点，∴，∴，∴，，∴， ∵，，∴， 又∵，∴，∴，， ∴，∴为等腰直角三角形， ∵，∴，即． 8．（25-26九年级上·福建龙岩·期中）阅读与思考 构图法在初中数学解题中的应用 构图法指的是构造与数量关系对应的几何图形，用几何图形中反映的数量关系来解决数学问题的方法．巧妙地构造图形有助于我们把握问题的本质，明晰解题的路径，也有利于发现数学结论．以下通过列举一个例子，介绍构图法在解题中的应用． 例：17世纪有着“业余数学家之王”美誉的法国律师皮耶·德·费马，提出一个问题： 求作三角形内的一个点，使它到三角形三个顶点的距离之和最小，后来这点被称之为“费马点”． 解决这种问题的经典方法，就是利用旋转变换，将三条线段进行转化： 如图：把绕点A逆时针旋转60度得到，连接，这样就把确定的最小值的问题转化成确定的最小值的问题了．当四点共线时，线段的长为所求的最小值【依据】，此时点P为的“费马点”． 任务：【发现】用数学的眼光观察（1）上面文中的“依据”是________． 【探索】用数学的思维思考（2）请你根据文中所给解决思路．证明：当点P为的“费马点”时， ． 【应用】用数学的语言表达（3）如图，在等腰直角三角形内任取一点P，连接． 求证：． 【答案】（1）两点之间线段最短；（2）见解析；（3）见解析 【详解】（1）上面文中的“依据”是两点之间线段最短； 如图，把绕点逆时针旋转60度得到，连接， 当点P为的“费马点”时， 、、、在同一直线上， ， ，由旋转得：， ∴，∴， 所以当点P为的“费马点”时，， （3）如图，把绕点逆时针旋转90度得到，连接， ∴，，，，，∴ 当、、在同一直线上时，的值为最小， ∵∴ 又∵是等腰直角三角形，∴，∴垂直平分 设交于点，连接，∴，∴ ∵点P是内一点∴∴． 9．（25-26九年级上·安徽芜湖·月考）某数学实践小组用旋转相关知识来探究三角形的有关线段之间的关系，如图，在中，，． (1)如图1，为斜边上的一点，连接，将绕点逆时针旋转，得到，连接．猜想，，之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，和是大小不同的等腰直角三角形，且．将绕着点逆时针旋转一定的角度，当，且点，点和的中点三点共线时，探究线段和的数量关系．(3)如图3，在四边形中，，是对角线，若，，求的长． 【答案】(1)，理由见解析(2)(3) 【详解】（1）解：，理由：由旋转可知， ， ，， ，． （2）解：如图，过点作，则， 为的中点，，，，， ，， ，，， 为等腰直角三角形，，， ，，， ，，， ，， ． （3）解：，是等边三角形，， ∴将绕点顺时针旋转得到，连接，如图， 由旋转的性质知，， 则为等边三角形，，， ，，， ，，，． 10．（24-25八年级上·江苏淮安·期末）综合与探究 【问题背景】如图1，在中，是中线，，，．求的长． （1）下面是小明的解题过程，请完成填空： 解：如图2，延长中线至点，使得，连接． ∵是中线，∴． 在和中， ∴（______） ∴． 在中， ∵，， ∴．∴______． ∴． ∴．∴______． 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，运用转化思想，把分散的已知条件和所求的结论集中到同一个三角形之中． 【类比分析】（2）如图3，在四边形中，，点是的中点，若是的平分线，试猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想； 【学以致用】（3）如图4，在中，，，点为中点，点在边上且，将沿折叠到，若射线恰好经过的中点，请你参照小明的思路；求出的长度． 【答案】（1），，10；（2）．理由见解析；（3）的长度为． 【详解】（1）解：如图，延长中线至点，使得，连接． ∵是中线，∴． 在和中，，∴，∴． 在中，∵，， ∴．∴．∴．∴．∴； （2）解：．理由如下，理由：如图中，延长，交于点F， ∵，∴， 在和中， ，∴，∴， ∵是的平分线，∴，∴，∴， ∵，∴； （3）解：设，如图，过点作交的延长线于点，连接， ∵将沿折叠到，∴，，，，则，∴， ∵，∴， ∵，，∴，∴，， ∵，∴， ∴， ∵，，，∴， ∴，，， ∴， ∴，即，解得，∴的长度为． 11．（25-26九年级上·广西南宁·月考）阅读下面材料，并解决问题： (1)如图①等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数． 为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出______； (2)基本运用：请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题 已知如图②，中，，，E、F为上的点且，求证：； (3)能力提升：如图③，在中，，，，点O为内一点，连接，，，且，求的值． 【答案】(1)(2)见解析(3) 【详解】（1）解：由题意得，， ，，，， ∵是等边三角形，，，即， ∵，∴是等边三角形，∴，， ∵，∴， ∴，故答案为：； （2）解：如图，将绕点A逆时针旋转得到，连接 、，∴， ∵，，∴， ∵，∴， 又∵，，∴， ∴，， ∵，∴， ∴，∴， ∵，，∴， 又∵，，∴， ∴，∴； （3）解：将绕点B顺时针旋转得到，连接， ∴，，∴，， ∵，∴是等边三角形， ∴，， ∵，∴点C、O、、在一条直线上， ∴， ∵，，，∴，∴， ∵，， ∴,；∴． 12．（25-26八年级上·江苏泰州·月考）如图①，在等边中，，分别是，上的点，且，连接，交于点． (1)求证：； (2)求的度数． (3)如图②，等边内有一点，若点到顶点、、的距离分别为3，4，5，求的度数． 为了解决本题，我们可以将绕顶点旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段，，转化到一个三角形中，从而求出________； (4)如图③，为边长的等边三角形，分别为，上两点，且，连接，交于点F，连接，若，求的周长． 【答案】(1)见解析(2)(3)(4) 【详解】（1）证明：为等边三角形，，． 在和中，． （2）解：，， ，． （3）解：点到顶点、、的距离分别为3，4，5， ，，，由旋转得，， ，，，， ，即， 为等边三角形，，． ，是直角三角形，， ． （4）解：如图，将绕点逆时针旋转得到，连接， 又， ，，，， 为等边三角形，，， ．同理（1）可得，， ，， ，，． 在中，，设，则，， ．为边长的等边三角形，． 在中，，即，解得，（负值已舍去）， ，，， 即的周长为． 13．（25-26八年级上·江苏无锡·期末）如图，中，于点D，，点E在CD上，，连接． (1)求证：；(2)延长交于点F，连接，点G在上，且，求的度数； (3)过点C作连接交于点N，若，直接写出的面积_______． 【答案】(1)证明见解析(2)(3)21 【详解】（1）证明：，， 在和中，，，； （2）解：由（1）知，， ，， ，，即， ，， ，； （3）解：延长交于F． 由（1）（2）知，，， ，，， ，， 在和中，，， ，，．故答案为：21． 14．（25-26八年级上·辽宁沈阳·月考）在中，，，为线段上一点，连接．    (1)如图1，，于点，，求线段的长； (2)如图2，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，取的中点，连接，． ①求证：；②探究并证明线段，，的数量关系；③求的度数（用含的代数式表示）． 【答案】(1)(2)①详见解析；②，证明详见解析；③ 【详解】（1）解：∵于点，∴， ∵，∴，∴， 在直角中，，∴， ∵，∴，∴； （2）①在中，， ，，， ②；证明：如图，延长到点，使，连接，，    在和中，∴， ，，，， 由①可知，，，， 在和中，∴，，， 是的中点，，； ③由②知，，，， ∵，， ∵，． 15．（25-26八年级上·陕西西安·期中）问题初探 （1）如图1，等边三角形中，是的平分线，发现与、之间存在数量关系，请你写出它们之间的数量关系：______，______． 请你运用上面的结论来解决下面的问题： 深入研究（2）已知是等边三角形，点是直线上一动点，连接，以为边构造等边三角形，连接，过点作，交直线于点． ①如图2，当点在延长线上时，线段、、之间存在怎样的数量关系？请写出结论并证明； ②如图3，当点在延长线上时，请你直接写出线段、、之间的数量关系：________ 拓展延伸（3）如图4，已知、是等腰三角形，且，，，、、三点在同一条直线上，过点作，交直线于点．若，，求的长度． 【答案】（1），；（2）① ；②；（3） 【详解】（1）等边三角形中，是的平分线， ，，， ，故答案为：，； （2）①，证明：和是等边三角形， ，，， ，即， 在和中，，， ，，， ，，， ，，即； ②和是等边三角形，，，， ，即， 在和中，，， ，，， ，， ，，； （3）如图，连接，过作于点， ，， ，，， 在和中，，， ，， ， ，，， ，，， ，，， ，， ，，， ，，，，． 16．（25-26八年级上·安徽淮北·月考）【观察】（1）如图，和交于点，且和互相平分，则_____．（填“”“”或“”） 【总结】当题目中出现“平分”“中点”等词语时，可寻找或构造全等三角形，通过证明三角形全等来解决问题． 【应用】（）如图，，和交于点，且和互相平分，，，则的度数为______． （）如图，点，在上，为的中点，平分．求证：． 【拓展】（4）如图，在中，，边上的中线长为，分别为边上的两个动点，在运动过程中始终保持，连接，且，请求出整数的值． 【答案】（）；（）；（）见解析；（）或 【详解】（）解：∵和互相平分，∴，， 又∵(对顶角相等)，∴，∴且，故答案为：=． （）∵和互相平分，∴， 在和中∴∴ ， ∵，∴， 又∵，∴，∴， ∴．故答案为：． （）（证法不唯一）证明：如图，延长到点，使得，连接． ∵是的中点，∴． 在和中，，∴，∴． ∵平分，∴，∴． 在和中，，∴，∴． （）如图，过点作，且，在上截取，连接． ∵，∴． ∵，∴．∵，∴，∴． ∵，∴，∴，∴， ∴当点共线时，有最小值，此时可得，∴， ∴是的中点，此时的值最小，最小值为．∴， ∴，∴整数的值为或． 17．（2025·河南安阳·模拟预测）课本精彩再现：我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是，求它的立方根．华罗庚很快就说出了答案． (1)还原思考过程：①由，，而，由此可确定是一个_______位数． ②由个位上的数是9，可以确定的个位数是_______． ③由，，可以确定的十位数字是_______． 从而可得_______． (2)类比解决问题：已知是某整数的平方，是某整数的立方，请你从中任选一个，确定的平方根或的立方根，并写出你的确定过程． 【答案】(1)①两；②9；③3；(2)的平方根是，的立方根是 【详解】（1）解：∵由，，而， ∴是一个两位数， ∵由个位上的数是9，∴的个位数是9， ∵，，∴的十位数字是3，∴，故答案为：两；9；3；； （2）解：①选择确定的平方根，∵，， 又，∴的平方根是两位数， ∵，，∴的平方根的个位数是3或7， ∵，，又，∴的平方根的十位数是8， ∵，，∴的平方根是； ②选择确定的立方根，∵，， 又，∴的立方根是两位数， ∵，∴的立方根的个位数是5， ∵，，又， ∴的立方根的十位数是4，∴的立方根是． 18．（24-25七年级下·湖北孝感·期中）学习《实数》之后，在数学活动课上，丁老师出示了一组有规律的算式．阅读观察下列算式，探求规律： … 【实践探究】（1）按照此规律，①计算：________； ②第n个式子是_______（用含n的式子表示，n是大于等于1整数）； （2）计算：； 【迁移应用】（3）若符合上述规律，请求出x的值． 【答案】（1）①；②；（2）；（3） 【详解】解：（1）①第1个：， 第2个：， 第3个：， 第4个：， ②第n个：，故答案为：；； （2）、； （3）符合上述规律，， 19．（2025·河南平顶山·三模）观察下列等式： ；；；… (1)根据以上规律可得，则的值为 ．(2)写出的值，并通过计算说明其正确性． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解： ，故答案为：； （2）解：， ，，， ． 20．（24-25八年级下·广东·期末）如图，以直角的直角顶点为原点，以，所在直线为轴和轴建立平面直角坐标系，点，满足． (1)点的坐标为________；点的坐标为________．(2)已知坐标轴上有两动点，同时出发，点从点出发沿轴负方向以每秒个单位长度的速度匀速移动，点从点出发沿轴正方向以每秒个单位长度的速度匀速移动，点到达点整个运动随之结束．的中点的坐标是，设运动时间为秒．问：是否存在这样的，使得与的面积相等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． (3)在（2）的条件下，若，点是第二象限中一点，并且轴平分．点是线段上一动点，连接交于点，当点在线段上运动的过程中，探究，，之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)，(2)存在时，与的面积相等 (3)，理由见详解 【详解】（1）解：根据题意得，∵， ∴，解得，，∴，， （2）解：由（1）可知，，，∴， 根据运动的情况可得，，∴， ∵，∴，， 若与的面积相等，∴，解得，， ∴存在时，与的面积相等． （3）解：，理由如下： ∵以所在直线为轴和轴建立平面直角坐标系， ∴，∴， ∵，∴， ∵平分，∴，∴，∴， 如图所示，过点作交轴于点，∴， ∴，同理，， ∵，∴，∴，即， ∴． 21．（25-26八年级上·湖北孝感·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，是以点D为直角顶点的等腰直角三角形，点E在第三象限，点D在x轴上运动． (1)如图1所示，当点D的坐标为时，则点E的坐标为________；(2)如图2所示，点D在线段上运动时，连接、，连接并延长与y轴交于点P，求点P的坐标； (3)如图3，设的边与y轴交于点G，与x轴交于点F，当点D在线段上运动，且满足时，在线段上取点H，且，连接交y轴于点Q．试判断线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)(2)(3)，见解析 【详解】（1）解：如图，过点E作轴于点F， 则， ∵，∴，又∵∴， 在和中，，∴， ∴，，∴，∴点E的坐标为：． （2）过点E作轴于点F，如图： 由（1）知，，∴，， ∵点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为， ∴，∴，∴， 即，∴，∴， ∴，∴，∴点P的坐标为． （3）解：；理由：如图在x轴上截取，连接， ∵，∴，∵， ∴，∴， 在和中，，∴． ∴，，，∴， ∵，∴，∴， 在和中，，∴， ∴，∴，∴． 22．（25-26八年级上·辽宁大连·期中）已知点，点，且，若点关于直线的对称点为点，则称为的“线镜像点”． (1)当时，在，，中，“线镜像点”在轴上的点是______； (2)已知点，点若线段上存在点，使得点的“线镜像点”在轴上，则的取值范围是______；(3)当时，已知点，点的“线镜像点”分别是点，如图，第一、三象限角平分线下方和轴上方的公共部分构成区域（含边界），若在区域中有且只有个点使得为等腰直角三角形，则的取值范围是______． 【答案】(1)，(2)(3) 【详解】（1）设点为，如图： 以点为原点建立新平面直角坐标系，则在新的平面直角坐标系中，点，点，即直线是新的坐标系第二、四象限的角平分线， ∵点关于直线的对称点为点， ∴由关于第二、四象限的角平分线对称点坐标的特征可知： ∴在原平面直角坐标系中点关于直线的对称点为点，坐标为 ∴点的“线镜像点”是即，不在轴上， 的“线镜像点”是，即，在轴上， 的“线镜像点”是即，在轴上， 的“线镜像点”是，即，不在轴上， 综上所述：，的“线镜像点”在轴上的点，故答案为，． （2）∵点，∴它们的“线镜像点”为：点， 即，点∴轴， ∵线段上存在点，使得点的“线镜像点”在轴上，∴线段与轴有交点， 解得：，故答案为． （3）∵当时，点，点的“线镜像点”分别是点， ∴ 若为等腰直角三角形，则点坐标可能为：，，，，，易得 ∴在区域中有且只有个点，则在区域外、在区域内， ∴只需要保证在区域内，在区域外即可， 交第一、三象限角平分线于，则， 解得故答案为． 23．（25-26八年级上·广东珠海·期中）在平面直角坐标系中，点A是射线上的一点，点B是轴正半轴上的一个动点，连接，垂直平分． (1)如图1，当，时，连接与，若点B的坐标为，P的坐标为，则点A的坐标是______；(2)如图2，当时，的平分线与的垂直平分线相交于点P，过点P作于点M，点B与点M不重合，过点P作于点N，请说明，与之间的数量关系；(3)如图3，当，的平分线与的垂直平分线相交于点P，时，点D是射线上的一点，连接，过点P作于点N，且交于点F，F是的中点．若点N的坐标为，A的坐标是，求的长度． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：如图，过点作轴于点，过点作交延长线于点，则， ∵垂直平分，∴，，∴， ∵，∴为等腰直角三角形，∴， ∴，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，即轴，∴，故答案为：； （2）解：连接，∵平分，，，∴， ∵垂直平分， ∴，∴，∴， ∵，，，∴，∴， ∵，，∴，∴； （3）解：连接，过点作轴于点，过点B作交的延长线于点， ∵垂直平分，∴，，∴， ∵，∴为等腰直角三角形，∴，∴， ∵，轴，∴，∵，∴，即，’ ∴，∵平分，，轴，∴ ∵，∴，∴， ∵点N的坐标为，A的坐标是，∴， ∵，，，∴，同理， ∴，∴，同理， ∵F是的中点，∴，∵， ∴，∴，同理可得，∴． 24．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，且，满足． (1)点的坐标为________；点的坐标为________； (2)如图1，，连接，于，交于点，交的延长线于点，在轴的负半轴上有一点，连接，满足，求点坐标； (3)如图2，是射线上一点（不与、、的中点重合），连接，过点作交于，在的上方作，交轴于点，与直线交于点，探究、、三条线段之间的数量关系，并证明（写出一种结论的证明过程即可）． 【答案】(1)；(2)(3)或，证明见解析 【详解】（1）解：， ，，，故答案为：；； （2）解：，，， ，，， 又在中，，， 在和中，，，， 在和中，，， ，，； （3）解：或， 当N在线段上时，过点作，延长交于点，设于P．如图，   ，，， ，， 又，．，． 在和中，，，， 在和中，，，， ， 当N在的延长线上时，如图，   同理可得，． 25．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知，． (1)若存在点，使与全等．请直接写出点的坐标为______． (2)若为第一象限内的点，且是等腰直角三角形．求点的坐标． (3)设点是轴上一个动点，若在轴上存在点，使，以为边在的上方作等边．请直接写出的最小值为______． 【答案】(1)或(2)或或(3)2 【详解】（1）解：∵，，∴， ∵为直角三角形，为斜边，且与全等，∴，为对应边， ①当时，如图，则，， ∴轴，轴，故点； ②当时，则：，如图，连接交于点，作轴， ∵，，∴垂直平分，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴， 设，则，由勾股定理，得：， ∴，解得， ∴，，∴；综上：或； （2）∵，，∴， 当是等腰直角三角形时，分三种情况： ①当时，则，作轴于点，则：， ∵，，∴， ∴，∴，∴； ②当时，则，作轴于点， 同法可得：，∴，∴，∴； ③当时，，作轴于点，轴于点，则：，， 同法可得：，∴， ∴，∴，∴， ∴，∴；综上：或或． （3）∵点在轴上，且，则关于轴对称，∴，∴， 连接，以为边，在上方构造等边三角形，连接，则：， ∵点在轴上，∴，∵等边三角形，∴，， ∵，∴，∴，∴，∴点在直线上运动， 当点恰好在轴上时，则，∴，∴， 当点恰好在轴上时，∵，∴两点重合，∴点在直线上， 作，则当点与点重合时，的长最小， 当点在轴上时，，，∴， ∵，即，∴，即的最小值为2． 26．（24-25八年级上·福建漳州·期末）如图，直线经过点，，点在轴上，且，连接．(1)求直线的表达式；(2)若平分，交于点，点是轴上的动点，求的最小值；(3)在直线上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)(3)存在， 或 【详解】（1）解： 直线 经过点 ， ， ，解得 ， 直线 的表达式为 ． （2）解：， ，，． ， ． 过点作轴，垂足为点 ， ，均为等腰直角三角形， ， 作点关于轴的对称点 ，连接，与轴交于点， 则的最小值为的长， ． 在 中，由勾股定理，得，的最小值为． （3）解：存在点，使得，理由如下： ①当点在线段上时，取点，连接，并延长与线段交于点，． ，，，． ， ． 点在轴的正半轴上， ，设直线的表达式为 ， ，解得，直线的表达式为． 联立 ，解得 ，． ②当点在线段的延长线上时，作点关于直线的对称点，连接，如图所示． 由对称，得 ，，． ，．设直线的表达式为 ， ，解得，直线的表达式为． 联立 ，解得 ，． 在直线上存在点或，使得． 27．（25-26八年级上·辽宁锦州·期中）【观察发现】如图1，将含有的三角板的直角顶点放在直线l上，过两个锐角顶点分别向直线l作垂线，这样就得到了两个全等的直角三角形．这种三个直角的顶点都在同一条直线上的基础图形在数学解题中被广泛使用． 【探究迁移】（1）如图2，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点． ①的度数为；②C，D是正比例函数的图象上的两个动点，连接，．若，，则的最小值是 ．（2）如图3，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，将直线顺时针旋转得到直线l，求直线l对应的函数表达式． 【问题解决】（3）如图4，是某试验田的一块区域示意图，，点O为试验田的供水中心，点P为进出水口点，且在线段上．现要规划一片等腰直角三角形区域作为新品种小麦的研究基地，点M在线段上，点N在线段的下方，为了便于确定点N的位置，以O为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知点P的坐标为，按设计要求，点N处设置为另一个进出水口，要用水管把O，P，N三点连接起来，若使所需的水管长度最短，求所需要水管长度的最小值． 【答案】（1）①；②；（2）；（3） 【详解】（1）解：①∵直线与轴、轴分别交于，两点， ∴，，∴，∴，故答案为：； ②解：根据垂线段最短，得到时，取得最小值， ∵，，∴， ∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，故答案为：； （2）解：过点D作于点D，过点D作轴于点F，过点B作于点E， 则四边形为矩形，∴， ∵∴，∴， ∵，，∴， ∴，∴， ∵，∴，∴， ∵一次函数的图象与轴、轴分别交于，两点，∴，，∴， ∴， 解得．∴，设直线的解析式为， 根据题意，得，解得，∴解析式为； （3）解：如图，过点作轴，过点作轴，与相交于点，过点作轴，交直线于点．，，． ，．． 设点，点，即，解得． 则．即点在直线上， 过点作直线的对称点，当点三点共线时，最小，即的值最小，如图，设直线与轴交于点，与轴交于点，连接， 则点，点，，， ， ，点， ，， =，所需要水管长度的最小值为． 28．（24-25八年级下·四川成都·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，过点的直线分别交轴、轴的正半轴于点C、D，与直线交于点． (1)若点的坐标为；①求点的坐标；②点是直线上一点，且，求点的坐标． (2)如图2，一束光线从点出发经过镜面和反射后正好通过原点O，当光线经过的路径的总长为时，求直线的解析式． 【答案】(1)①点；②点的坐标为或；(2) 【详解】（1）解：①设直线的解析式为：， 把点，代入得：，解得：，∴直线的解析式为：， 联立得：，解得：，∴点； ②当时，，∴点，∴， 当时，即，解得：，∴点，∴， ∴，设点， 当点在点下方时，如图： ∵，∴，∴， ∴，解得：，∴点， 当点在点上方时，如图：∵，∴， ∴，∴，解得：，∴点， ∴点的坐标为或； （2）解：作点关于的对称点，交于点，作点关于的对称点，交于点，连接，，则点为中点，点为中点，，，如图： ∵的总长为时，∴，设点，则， ∵，∴所在直线为，又∵点在上，∴， 联立得：，解得：，∴点，设点，则， ∴，即， ∵，，∴，∵点关于的对称点，∴， ∴，∴，由得：， 设直线的解析式为：，∵点在直线上， ∴，∴，∴， ∵，∴设所在直线解析式为：， 把代入得：，∴，∴所在直线解析式为：， 联立得：，解得：，∴点， ∴，，∴，， ∴把，代入③，得， 化简整理，得，∴或．∴或， ∵直线分别交轴、轴的正半轴于点C、D， ∴，∴，∴直线的解析式为：． 29．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）阅读以下材料，完成问题． 如图1，在中，，若已知的对边与邻边的比值，则可得到的度数．如：若，则；若，则． (1)小试牛刀：如图2，在中，，，，则___________； (2)问题探究：如图3，在中，，，，，点是线段上一点，求的最小值； (3)问题解决：如图4，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点、，点，点为直线上的动点，以为边在其下方作等边．连接、，那么是否存在最小值，若存在求出其最小值及此时点的坐标，若不存在请说明理由． 【答案】(1)(2)(3)6 【详解】（1）解：作，垂足为，则：， 在中，，∴，∴， 在中，，∴，，∴； （2）作于点，∵，∴为等腰直角三角形， ∴，∴， ∴当在线段上，且时，的值最小，为的长， 当时：∵，∴， ∴，∴，∴，∴ 的最小值为； （3）以为边构造等边三角形，过点作轴，作轴，交的延长线于点，则：，，，∴， ∵，∴，∴，∴，，∴， ∵， ∴当时，，当时，，当时，， ∴，点在直线上，∴， ∴，∴，∴， ∵轴，∴，∴，∴， ∵为等边三角形，∴，∴， 又∵，∴，∴，∴， ∴当在线段上，且时，的值最小为的长，此时点与点重合， ∴的最小值为的长，即的最小值为6． 30．（25-26八年级上·江苏连云港·月考）已知关于x的一次函数，解决下列问题： (1)如果这个函数的图象经过原点，求m的值． (2)不论m取何值，的图象一定经过某个定点，求这个点的坐标． (3)在坐标系中，点，如果此坐标系中，函数的图象与线段有交点，求m的取值范围，并求m最大值与最小值时对应的函数图象与直线三条线段围成的三角形的面积． 【答案】(1)(2)(3)的取值范围为，m最大值与最小值时对应的函数图象与直线三条线段围成的三角形的面积为21 【详解】（1）解：将原点代入函数，得，解得； （2）解：函数变形为，当，即时，与无关， 所以图象一定经过定点； （3）解：设直线的解析式为．可得，解得， 直线的解析式为．函数恒过定点， 设过点的直线与线段相交．当直线经过点时，的值最大；经过点时，的值最小． 设直线的解析式为．可得 ，解得，直线的解析式为． 设直线的解析式为．可得 ，解得，直线的解析式为． 所以的取值范围是． 当时，函数为，当时，函数为， ∴函数与函数的图象和线段所围成的三角形为， 令，得，解得，设函数为与轴交于点C，则． ，． 综上，的取值范围为；m最大值与最小值时对应的函数图象与直线三条线段围成的三角形的面积为21． 31．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，点A在x轴负半轴上，直线与x轴、y轴分别相交于点B，C，且． (1)求直线的表达式；(2)点P，Q分别为直线上一点，连接，设点P的横坐标为t． ①当点P在线段 上且轴时，请用含t的代数式表示点Q的坐标； ②当点Q是的中点且时，请直接写出t的值． 【答案】(1)(2)①；②或 【详解】（1）解：在中，当时，，当时，， ∴，∴，∵，∴，∴； 设直线的表达式为，∴，∴，∴直线的表达式为； （2）解：①∵点P的横坐标为t，且点P在直线上，∴点P的坐标为， ∵轴，∴点Q的纵坐标为， ∵点Q在直线上，∴，∴，∴点Q的坐标为； ②如图所示，当点P在点C下方时，过点Q作交直线于D，过点Q作轴，过点分别作的垂线，垂足分别为点E和点F， ∴，∴，∴； ∵，∴是等腰直角三角形， ∴，∴，∴， ∵点Q为的中点，且∴， ∵，∴， ∴ ，即， ∵点D在直线上，∴，解得； 如图所示，当点P在点C上方时，过点Q作交直线于D，过点Q作轴，过点分别作的垂线，垂足分别为点E和点F， ∴，∴，∴； ∵，∴是等腰直角三角形，∴， ∴，∴，∵点Q为的中点，且∴， ∵，∴，∴ ，即， ∵点D在直线上，∴，解得；综上所述，或． 32．（25-26八年级上·江苏无锡·期末）如图（1），在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于，两点，过点作交于点，交轴于点，且． (1)B的坐标为_______，线段的长为_______．(2)求直线的解析式和点D的坐标． (3)如图（2），点是线段上一动点（不与点，重合），交于点，连接． ①在点移动过程中，线段与数量关系是否不变，并证明； ②连接，当面积最大时，求的长度和的面积． 【答案】(1)；4(2)；(3)①不变，见解析；②， 【详解】（1）解：当时，直线， 当时，直线，解得：，，，故答案为：；． （2）解：过点作交于点，交轴于点，且， ，，， 设过点，，直线的解析式为：， 则：解得：，直线的解析式为：，、交于点， 解得：，，故答案为：；． （3）解：①，，， ，，， ，，， ，即线段与线段数量关系，保持不变， ②，， ，， ，，即：，， ，，， ，，，，， ，∴为定值， ，∴要使最大，求最小即可， ，∴当取最小值时，最小， ，，，， 当时，取最小值， ，即：，解得：， 面积最小为，， 故答案为：①相等，不变，见解析；②，． 33．（25-26八年级上·江苏南京·月考）如图1，直线与轴、轴分别交于点和点，点在轴负半轴，且． (1)求直线的解析式； (2)点是的中点，为直线上的一个动点，连接，若，求点的坐标； (3)点是直线上的一个动点，连接，请直接写出使是直角三角形的点坐标___________ 【答案】(1)(2)(3)或 【详解】（1）解：对于，当时，，∴点，即， ∵，∴，即点， 设直线的解析式为，把点，代入得： ，解得：，∴直线的解析式为； （2）解：对于，当时，，∴点， 点是的中点，点，点，点，设点， 如图，当点在点下方时，过点作交直线于，过点作，过点作于点，过点作于点， ，，， ，是等腰直角三角形，，， ，， ，，，∴点坐标为； 当点在点上方时，构造同样辅助线：同理， ，， ，，， 此时点N与点B重合，不符合题意；综上所述：点； （3）解：设点，∵点，点， ∴，，， 当时，， ∴，解得：或0（舍去），∴点P的坐标为； 当时，， ∴，解得：，∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或． 34．（25-26八年级上·重庆南岸·月考）如图，平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点C，B为上一点，其中点的坐标为，点的坐标为．直线与轴交于点，与轴交于点．直线与直线交于点． (1)求出直线的函数表达式，及交点的坐标；(2)如图2，过点作直线的平行线交轴于点，点为直线上一动点，连接，求出的面积；(3)如图3，在（2）问条件下，连接，当最大时，在直线下方找一点，使得为等腰直角三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)，(2)4(3)或或 【详解】（1）解：设直线的函数表达式为， 把点A、B的坐标分别代入得：，解得：，∴直线的函数表达式为， 联立直线与直线的函数表达式得：，解得：，即点D的坐标为； （2）解：连接，如图，对于，令，得；对于，令，得； ∴，∴，∵，∴， ∵，∴点E、点P到的距离相等，∴的面积等于的面积， 而，∴； （3）解：连接并延长，交直线于点N， ∵，∴当点P与点N重合时，取得最大值， 设直线解析式为，把代入得：，∴，即直线解析式为， ∵，∴设直线解析式为，把点代入中，得， ∴直线解析式为，令，解得：，∴，∴； 当时，如图，由于A、P两点的横坐标相同，连接，则轴，过点E作于M，过点作交的延长线于点T，∴，，， ∵，∴， ∵，∴，∴， ∴点的横坐标为1，纵坐标为，即； 当时，同理证明， 得，∴； 当，时，如上图，此时点Q为线段的垂直平分线与的交点，也是的中点，见上图，则，即； 综上，满足条件的点Q的坐标为或或． 35．（25-26八年级上·江苏盐城·月考）（1）如图1，与都是等腰三角形，，且，则与的数量关系是______； （2）如图2，直线与x轴、y轴分别交于点A，B，在第二象限内直线l上取一点C，使得点C到原点O的距离等于3，且，以为直角边在的左侧作等腰直角，且，连接，求线段的长； （3）如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B为x负半轴上一动点，以为边在直线的右侧作等边，若点P为的中点，连接，求长的最小值． 【答案】（1）；（2）4；（3）3 【详解】解：（1）， 理由：∵，∴，即， 在和中，，∴，∴；故答案为：； （2）∵与x轴、y轴分别交于点A、B，∴， ∴，∴，过C作轴于E，过D作轴于F，∴， ∵，∴是等腰直角三角形，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵，，∴， ∴，∴，∴，， ∴，∴； （3）在x轴的正、负半轴上各取一点H、J，连接，使，作直线， ∵， ∴， ∵，∴是等边三角形，∴， ∵是等边三角形，∴，∴， 在和中，，∴， ∴，∴， ∴点C在经过点H且与x轴的夹角等于的直线上运动， 设直线交y轴于点E，作于点F，则， ∵，∴，∵点P为的中点，∴， 在和中，，∴， ∴∴，∴， ∵，∴，∴的最小值为3． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $