专题07 压轴题（选填题）专项（高效培优期末专项训练）八年级数学上学期苏科版2024

专题07 压轴题（选填题）专项（1-5章） （共51题） 1．（25-26八年级上·湖北随州·期中）如图，已知，，，直角的顶点是的中点，两边，分别交于点、．给出以下四个结论：①；②；③是等腰直角三角形；④，上述结论始终正确的有（    ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：如图，连接，，，， 直角的顶点是的中点，，，， ，，， 在和中，，， ，，是等腰直角三角形，故①、③正确； ，且， ，故④正确； ，， 点不与，重合 ， ， ，，，，故②错误， 综上，①③④正确，共3个．故选：C． 2．（25-26八年级上·河南漯河·期中）如图，点为线段上一点，都是等边三角形，与交于点，与交于点，与交于点，下列结论：①；②平分；③是等边三角形；④．其中正确的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【详解】解：、是等边三角形， ，， 在和中，，， ，故正确； 如图，过点作于于， ，，，， 在和中，，， ，平分，故正确； ，， 在和中，，，， ，是等边三角形，故③正确， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴ ，故④正确；综上所述：正确的有共4个，故选：． 3．（25-26八年级上·河南洛阳·期中）如图，在和中，，，，C，D，E三点在同一条直线上，连接，．以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的为（   ） A．① B．①② C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【详解】解：①∵， ∴，即， 在和中，，∴，∴，故①正确． ②∵为等腰直角三角形，∴， ∵，∴，∴，故②正确． ③由②知，，∴， ∴，故③正确． ④∵，∴，故④正确． 故①②③④都正确．故选：D． 4．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，中，，，，点是的中点，将沿翻折得到，连接，，则线段的长等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，延长交于点，作，垂足为， ∵中，，，，∴， ∵为的中点，∴， ∵，∴，解得， 由翻折的性质可知：，，，∴，， ∵，，∴，∴，故选：B． 5．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，，点为边上一点，连接，将沿翻折，使点落在点处，点为边上一点，连接，将沿翻折，点恰好与点重合．，则下列结论：①点是的中点；②是等腰三角形；③与互补；④的长是1；⑤的面积是2．其中结论正确的有（   ）个． A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【详解】解：根据折叠的性质，得，，，， ∴，∴点是的中点，故①正确； ∵，，∴，∴是等腰三角形，故②正确； 根据折叠的性质，得，，，， ∵，， ∴，，∴，，∴， ∵，∴，∴与互补，故③正确； ∵，∴，∴， ∵，，∴，， 设，∴，根据勾股定理，得， ∴,解得，∴的长是， ∴的面积是，故④⑤错误；∴结论正确的有3个，故选：C． 6．（25-26八年级上·福建厦门·月考）如图，在等边中，，为上一点，连接，，将沿折叠，使点落在点处，连接．下列结论：①；②，③；④，其中正确的结论个数是（    ） A．①②③④ B．①③ C．①②④ D．①②③ 【答案】D 【详解】解：判断结论①：∵是等边三角形，， 是的垂直平分线，，由折叠可知，， ∴，是的垂直平分线，即：∴结论①正确 判断结论②：由折叠可知，，∴， ∵是等边三角形，，是的垂直平分线，，， 又∵，∴，则， ，， ∴，即， 在和中，，，∴结论②正确 判断结论③：由翻折可知：，， ，，，∴结论③正确； 判断结论④：，， 又，，两个底相同，高相同，， ，结论④错误； 综上，正确的结论是①②③，故选：． 7．（25-26八年级上·重庆开州·期中）如图，的外角的平分线交于点于点于点，下列结论中：①周长为；②；③连接，则垂直平分线段；④的面积为与的面积和；⑤．其中正确的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】解：如图，过点P作于点G，∵平分，∴， ∵，∴，∵，∴， ∴，；同理得， ∴，，∴，， ∵，，∴，∴， ∴周长为，即①正确； ∵，即②正确； ∵，∴在线段的垂直平分线上， 即垂直平分线段，但不垂直平分线段，即③错误； ∵，，∴， ∴，即④正确；在上截取，连接，如图， ∵，∴，∴，， ∵，，∴，∵，∴， ∴，∴ ， ∵∴，即⑤正确； 综上，正确的有①②④⑤，即4个正确，故选：D． 8．（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）如图等边中，点D，E为线段上动点且，连接交于点F，连接，下面结论：①；②；③若，则；④若，则．其中结论正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：∵是等边三角形，∴， ∵∴，故①正确， ∴，∴， ∴，故②正确， ∵，∴点D、E为的中点， ∵是等边三角形，∴是的垂直平分线，∴，故③正确， 过点A作于G， ∵，∴， 在和中，，∴，∴ ∵，∴是和边上的高，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴，∴，故④错误， 综上所述：正确的结论有①②③，共3个，故选：C． 9．（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图是学校举办的数学文化节设计的标志，在中，，以的边为边作三个正方形，点G落在上，若，空白部分的面积为，则阴影部分面积为（   ） A． B．12 C．15 D．17 【答案】D 【详解】解：四边形是正方形，，， ∵，， ，， 在与中，，， ，，在中，，， ，， ，， ∵空白部分的面积为，∴，， ，，， 阴影部分面积为，故选：D． 10（25-26八年级上·山东济宁·期中）在平面直角坐标系中，已知点．将点作如下的位置变换：第1步：找点关于直线的对称点，记为，再找点关于直线的对称点，记为；第2步：找点关于直线的对称点，记为，再找点关于直线的对称点，记为；第3步：找点关于直线的对称点，记为，再找点关于直线的对称点，记为；……按照这样的步骤继续操作下去，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设的坐标为 ． 点关于直线的对称点，记为，横坐标，即， 点关于直线的对称点，记为；纵坐标， 即， ∵已知点，∴，，，，，，…… 当为偶数时，当为奇数时， ∴ 的坐标为，故选B． 11．（24-25八年级上·浙江金华·期末）如图，正方形的顶点，分别在轴，轴上，点在直线：上．将正方形沿轴正方向向右平移（）个单位长度后，点恰好落在直线上．则的值为（　　） A．5 B． C． D．2 【答案】B 【详解】解：过作于，过作于，如下图，∴， ∵四边形是正方形，∴，， ∴，∴， 在和中，，∴，∴，， ∵，∴，，∴，∴，∴， 同理可证，∴，，∴，∴， ∵点在直线：上，∴，∴，∴直线的解析式为， 设正方形沿轴向右平移个单位长度后点的坐标为， ∵点在直线上，∴，解得．故选：B． 12．（24-25八年级上·广东梅州·期末）如图，直线与轴、轴分别交于点、，是线段上一点，若将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则直线的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：把代入，得，∴， 把代入，得，解得，∴，∴，， ∴，由折叠可得，，， ∴，设，则， 在中，，∴，解得，∴， 设直线的函数解析式为，把和代入得， ，解得，∴直线的函数解析式是，故选：． 13．（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）如图，已知直线与直线交于点，直线在轴上的截距为．过直线上一点作轴的垂线交直线于点，交直线于点．下列说法不正确的是（   ） A．， B．当时，或 C．当时， D．当时， 【答案】C 【详解】解：直线在轴上的截距为，， 将代入，得：，解得：， ，故A选项不符合题意，由题意得：，， ，或， 解得：或，故B选项不符合题意， ，， 当时，即：或 解得：或，故C选项符合题意， 当，即，，解得：或 当时，，故D选项不符合题意，故选：C 14．（2025·湖北·一模）如图1，四边形中，，，P从A点出发，以每秒一个单位长度的速度，按的顺序在边上匀速运动，设P点的运动时间为t秒，的面积为S，S关于t的函数图像如图2所示，当P运动到中点时，的面积为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【详解】解：根据题意得：四边形是梯形， 当点P从C运动到D处需要2秒，则，面积为4，则， 根据图像可得当点P运动到B点时，面积为， 则，则运动时间为5秒，∴， 设当时，函数解析式为， ∴，解得：， ∴当时，函数解析式为， 当P运动到中点时时间，则，故选：D． 15．（24-25八年级上·山东济宁·期末）如图，在等边三角形中，，点E是线段上一动点，连接，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接，则长的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：连接，∵等边三角形中，， ∴，，， ∵线段绕点A顺时针旋转，得到线段， ∴，，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴点P的运动轨迹是线段，∴当时，取得最小值， 过点D作于点M，∴当P与M重合时，取得最小值， ∴，∴长的最小值为，故答案为：． 16．（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，是等边三角形，D，E分别为，边上的点，且，，相交于点F，连接并延长到点M，与相交于点G，延长到点N，连接，，若，，点F是的中点．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是 ． 【答案】②③ 【详解】解：∵为等边三角形，∴，， ∵，∴，即， 在和中，，∴，∴， ∵，∴，∴，故①错误； ∵，∴设，则，∴， ∵，， ∴，又∵，∴，故②正确； ∵，∴， ∵，∴，即， ，∴，故④错误； 延长到，使，连接，如图， 又∵，，∴，∴， 又∵，，∴，即， 又∵，∴，∴， 在和中，，∴，， 又∵，∴，∴，故③正确．故答案为：②③． 17．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，，高、交于点，是的中线，过点作于，连接、．点在边上，且，．下列结论：；平分；是等边三角形；若，则与的面积比为．其中正确结论的序号是 ． 【答案】①③④ 【详解】解：，，， ，是等腰直角三角形，， 在中，， 在中，， ，， 在和中，，， ，，，故正确； 如下图所示，过点作，， ，，，， ，平分，平分错误，故错误； 如下图所示，过点作，连接，， ，，， ，，， ，， ，，，， ，， ，，， ， 是的中线，，，是等边三角形，故正确； 是等边三角形，，，，，， 设，则，在中，， ，，解得：，，， ，，，， 设，则，在，， ，解得：，，，故正确； 综上所述，正确的结论有．故答案为：． 18．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图，在中，平分，平分，若：，，则 （用含的式子表示）． 【答案】 【详解】解：如图，过点作，，，连接，过点作，， ∵平分，，，∴，∴， ∵，，∴，， 同理平分，∴， ∵，，∴，； ∵平分，平分，∴，， ∴，∴， ∵， ∴，，， ∴．故答案为： ． 19．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，，当点D在的延长线上时，且，，垂足为H，交于点E，交于点F，且满足，若，，则 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点作交延长线于，延长交的延长线于，过点作于，，，，， ，， 在和中，，， ，，， ∵在中，，，， ，，，， ，， 又∵，， 在和中，，，， ，，，， ，，，，， 在和中，，，， ，， ． ，则．故答案为：． 20．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）如图，和都是等腰直角三角形，，连接交于点，连接交于点，连接，，则下列结论： ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．正确的有 （填序号）． 【答案】①②⑤⑥ 【详解】解：①由题知：，，， ∴，∴，∴，∴，①正确． ②∵，∴， 又∵，∴， ∴，②正确； ∵不一定等于，∴不一定平行， ∴不一定等于，即不一定等于，③错误； ④∵，不一定平分，即不一定等于， ∴无法判断，④错误． ⑤∵，∴，， ∴，即，故⑤正确． ⑥∵，∴，，，， ∴，， ∴，故⑥正确． ⑦过B作于M，过C作于N， ∴，，要使，只需， 由勾股定理得，， ∵，且无法证明成立， ∴不一定成立，即不一定成立，故⑦错误， 综上，正确的有①②⑤⑥．故答案为：①②⑤⑥． 21．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，在中，，，点为内部一点，点为线段上一点，连接，，，，作于，若，，，则的周长为 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，分别以为边向下作等边三角形，连接， 则， ∵，，∴，∵，∴， ∵∴，在中，， 在中，，∴∴， ∴∴， 设∵是等边三角形，∴垂直平分，∴， 又∵，∴∴， ∵，∴ ∵，∴，∴， ∵∴ ∵∴∴∴∴ 在中， ∴ ∴ 又∵ ∴∴在上， ∴的周长为故答案为：． 22．（25-26八年级上·江苏南京·月考）如图，在中，已知，于点M，于点N，P为边的中点，连接，，则下列结论：①；②；③；④当时，，其中正确的是 （填写序号） 【答案】①②③④ 【详解】解：于点N，，是直角三角形， 点P为边的中点，是的斜边上的中线， ，，故结论①正确； 于点M，，是直角三角形， 点P为边的中点，是的斜边上的中线， ，，故结论②正确； 设与相交于点O，如图所示： ，，，， 是的外角，是的外角， ，， ， 在四边形中，， 又，，，， ，， 在中，， ，， 又，是等边三角形，，故结论③正确； ，，是等腰直角三角形，， 在中，由勾股定理得：， 又，，故结论④正确， 综上所述：结论正确的是①②③④，故答案为：①②③④． 23．（24-25八年级下·重庆永川·月考）如图，点在线段上，，点F为平分线上的一点，且和均为等边三角形，，则的长是 ． 【答案】 【详解】解：， ，，， 在和中，，)，，， ∵是等边三角形，，， ，即， 在和中，，，，， ，，是等边三角形． ∵和、均为等边三角形， ∴，， ∵，∴， ∵为等边三角形，∴，∵∴ 设交于点，如图 ∵∴∴ 在中，∴∴，， ∴∴过点作于点 ∴在中， ∵∴∴故答案为：． 24．（25-26八年级上·浙江衢州·期中）已知在等边三角形中，点D是的中点，点E在的延长线上，且，连接，时，P，Q分别为射线、射线上的动点，且若，则 ，的长为 ． 【答案】 9或1 【详解】解：是等边三角形，点D是的中点， ，，，，， ，，，； 当点Q在线段的延长线上时，如图③，作交AC于点M， 由知为等边三角形，，， 为等边的边的中点，，， ，，， ，，，， 在和中，，，； 当点Q在线段上时，如图④， 同理可证明，则， 综上所述，的长为9或故答案为：，9或 25．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，在△中，，，，动点从点出发，沿线段以每秒1个单位的速度向运动，过点作交所在的直线于点，连接，．设点运动时间为秒．当△是等腰三角形时，则 秒． 【答案】5或或4 【详解】解：在△中，，，， 由勾股定理得：，当△是等腰三角形时，有以下三种情况： ①当时，如图， 交所在的直线于点，，此时点运动时间为（秒； ②时，如图，，，，， 由三角形的面积公式得：，， 在△中，由勾股定理得：， 此时点运动时间为（秒； ③当时，如图，，， 在△中，由勾股定理得：， 交所在的直线于点，， 由三角形面积公式得：，， 在△中，由勾股定理得：，此时点运动时间为（秒， 综上所述：当△是等腰三角形时，点运动时间为为5秒或秒或4秒．故答案为：5或或4． 26．（25-26八年级上·浙江·期中）如图，在中，，，，点为的中点，点是边上动点，将沿直线折叠，折叠后点的对应点为，与交于，当为直角三角形时，线段的长为 ． 【答案】或 【详解】解：在中， ，，，∴， 由勾股定理得： ， ∵点为的中点，∴，由折叠性质得，，， ∴当为直角三角形时，有以下两种情况： 当时，如图所示，∴，∴， ∴，，∴， 在中，∴， 由勾股定理得：，∴， ∴，∴； 当时，过点作于点，如图所示， 同上理可得：，，∵，∴， ∵，∴，∴，∴， 由勾股定理得：，∴，∴，∴， ∴，∴，∴， 综上所述：当为直角三角形时，线段的长为或，故答案为：或． 27．（25-26八年级上·四川·阶段练习）如图在中，，，是它的角平分线，是边上的中线，的周长比的周长大4，过点作于，若，则到的距离 ． 【答案】 【详解】解：∵是边上的中线，∴； ∵的周长比的周长大4，∴，∴， ∵，∴；∵，，∴； ∵是边上的中线，∴； 如图所示，过点D作于G，于H， ∵是的角平分线，，，∴； ∵，∴， ∴，∴，∴到的距离为，故答案为：．故答案为：14． 28．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）已知表示不大于的最大整数，例如．现对69进行如下操作： （1）对28进行一次操作后变为 ． （2）若正整数进行3次操作后变为2，的最大值为 ． 【答案】 5 6560 【详解】解：（1），，故答案为：． （2）设三次操作依次结果为、、，其中， ， (b为整数)，取时，， ，，取时，，，， 为整数，故最大值为．验证：当时，，，，符合要求；若，则，，，故不能为．故答案为：． 29．（24-25八年级上江苏·期中）将、、、……按如图方式排列．若规定（x，y）表示第x排从左向右第y个数，则：①（6，6）表示的数是 ；②若在（x，y），则（2x﹣y）3的值为 ． 【答案】 【详解】解：观察式子可得， 第1排的个数为，前1排的总数为， 第2排的个数为，前2排的总数为，从右到左依次增大排列， 第3排的个数为，前3排的总数为，从左到右依次增大排列， 第4排的个数为，前4排的总数为，从右到左依次增大排列，…… 第排的个数为个，前排的总数为个，奇数排是从左到右依次增大排列，偶数排是从右到左依次增大排列，（6，6）表示第6排从左向右第6个数 前5排的总数为25，第6排的个数为11个，为偶数排，从右向左依次增大， 第6排中，从左向右第6个数，也就是从右向左第6个数，所以（6，6）表示的数为； 因为，所以是在第45排，即 第45排，为奇数排，从左向右依次增大， 因为，所以将，代入得 故答案为：， 30．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）请先在草稿纸上计算下列四个式子的值：①；②；③；④，观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出下面式子的值 ． 【答案】351 【详解】=1 =3 =6 =10 发现规律：1+2+3+ ∴1+2+3=351 故答案为：351 31．（25-26八年级上·湖北武汉·月考）如图，在中，，，分别以的三边为边向外作三个正方形，，，连接．过点C作的垂线，垂足为J，分别交，于点I，K．若，，则的长是 ． 【答案】 【详解】解：过点作的垂线，垂足为，分别交，于点，，作交的延长线于点，作于点， ，，，，，， ，， 在和中，，， ，；同理，，，， 在和中，，， ，； 在和中，，，； 设，则，， ，∴故答案为：． 32．（25-26八年级上·江苏·期中）如图，直线交轴于，交轴于，轴上一点，为轴上一动点，把线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则当长度最小时，线段的长为 ． 【答案】 【详解】解：如图，将线段绕点逆时针旋转得到线段，过点作轴于点，在上取点，使得，过点作轴于点，连接， 令，解得，则，∴， ∵，∴，∴， 由旋转的性质得，∴， ∵轴，即，∴，∴， ∴，，∴； 由旋转的性质得，， ∴，即， ∵，∴，∴，， ∵，∴，∴为定角， ∴点在过点，且与垂直的直线上运动， ∵，轴，轴，∴，∴， ∴，∴，， ∴，，∴， 当时，长度有最小值，此时，， 设直线的解析式为，则，解得，∴直线的解析式为， 设直线的解析式为，则，解得， ∴此时，直线的解析式为，设， 在中，，∴， 整理得，，即，解得或， 当时，，即， 当时，，即，与点重合，舍去， ∴此时，，∴．故答案为：． 33．（24-25八年级下·重庆大足·期末）如图，直线，点、点为轴负半轴上的两点，轴交直线于点，轴交直线于点、相交于点，当时，则 ． 【答案】 【详解】解：设，，∴， ∵轴交直线于点，、相交于点， ∴，，∴，， ∴，， ∵，∴， ∴，∴， ∴，∴，故答案为：． 34．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知点，直线与两坐标轴分别交于、两点，、分别是、上的动点，则周长的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：直线的解析式为，当时，， 当时，，解得，，，， 是等腰直角三角形，， 如图，作点C关于y轴的对称点，关于直线的对称点， 由对称得：，，，，， ，， 如图，当四点共线时，，周长取最小值， 由勾股定理得，，即周长的最小值是，故答案为：． 35．（23-24八年级下·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，．直线分别交线段于点E，G．直线分别交线段OA，BC于点D，F．连接DE，FG．四边形DEFG的面积为 ；的最小值为 ．    【答案】 【详解】解：∵四边形为正方形，，∴,， ∵直线分别交线段于点E，G，∴； 直线分别交线段OA，BC于点D，F，∴； ∴四边形DEFG的面积为: ； ， 可根据勾股定理构造直角三角形，满足，    ∵，∴三点共线时，取最小值，即为的最小值， 在中，， ∴．故答案为：，． 36．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）已知点，为函数图象上两点，下列结论： ①函数的最小值为0；②当时，；③若，则； ④若方程有两个解，且都满足，则k的取值范围是； 其中正确的结论是 ．（填写序号） 【答案】①③④ 【详解】解：①∵，∴该函数的最小值为0，故①正确； ②∵，∴，∴， ∵，∴y随x的增大而减小，∴，即②错误； ③由题可知：函数图象对称轴为直线， ∵，∴A、B关于对称，即，故③正确； ④将方程转化为， ∵方程有两个解，且都满足， ∴函数与函数在有两个解， ∵，∴函数的图象必过， ∵，当时，直线与的交点为A，即， ∴，∴直线的解析式为，即； 当时，直线与的交点为B，即， ∴，∴，解得：； 当时，直线与的交点为C，即， ∴，∴，解得：； 由函数图象可得：方程有两个解，且都满足，则k的取值范围是，即③正确．故答案为∶①③④． 37．（24-25八年级下·福建龙岩·期末）如图是一个游戏装置，四边形是正方形，点光源为的中点．点、点为的三等分点，是一个感光元件．若从点发出的光线照向平面镜，其反射光线照射到上（含端点），该感光元件就会发光．已知点，反射光线所在直线为，当感光元件发光时的取值范围为 ． 【答案】 【详解】解：如图，取点关于轴的对称点． ∵点为的中点，∴， ∵四边形是正方形，∴，∵点、点为的三等分点，∴，， ∵点关于轴的对称点，∴，根据光的反射定律，反射光线所在的直线经过点， 设反射光线所在的直线的解析式为为常数，且， 将代入，得，∴，∴， 当反射光线经过时，得，解得； 当反射光线经过时，得，解得， ∴，故答案为：． 38．（24-25八年级上·山东淄博·月考）如图，直线与轴，轴分别交于，两点，射线于点，若点是射线上一动点，点是轴上的一动点，若以，，为顶点的三角形与全等，则点的坐标为 　                  　 【答案】或 【详解】解：对于直线，当时，，当时，， 点，点，，，当以，，为顶点的三角形与全等时， 则以，，为顶点的三角形是直角三角形，因此有以下两种情况： ①当时，如图所示： ，，，，， 当时，，，，点的坐标为； ②时，如图所示：过点作于， 由①知，当时，，， 在中，由勾股定理得：， 由三角形的面积公式得：，∴， 在中，由勾股定理得：， ，点的坐标为． 综上所述：点的坐标为或．故答案为：或． 39．（24-25八年级下·辽宁·阶段练习）如图，中，，点是上一点，过点作的垂线，与边（或）相交于点，设，的面积为，关于的函数图象如图所示，以下结论：①点的坐标为；②的面积为；③当时，．其中正确的有： ． 【答案】①② 【详解】解：，的最大值为，即，点的坐标为，故①正确； 由图象可得，当时，的面积取得最大值， 此时点与点重合，，故②正确； 设的解析式为，将，代入得， ，解得，，时， ，故③错误；综上所述，正确的有①②．故答案为：①②． 40．（24-25八年级下·河北衡水·阶段练习）直线：，：的图象如图所示，当动点在，与x轴所围成的封闭区域内部（不包括边界）时，m的取值范围为 ． 【答案】 【详解】解：对于直线：，当时，，解得， 直线：与x轴的交点坐标为， 对于直线：，当时，，解得， 直线：与x轴的交点坐标为， 动点在，与x轴所围成的封闭区域内部（不包括边界）， 且，解得故答案为： 41．（2025·河南驻马店·三模）如图，在平面直角坐标系中，点，，点C在第二象限内且，，交y轴于点D，将沿x轴向左平移使点D落在上，则平移后的点B对应的点的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：∵点，，∴． 又∵， ，∴，过点C作x轴的垂线，垂足为M， ∵，∴，∴， ∴则点C的坐标为令直线的函数解析式为， 则，解得：∴直线的函数解析式为， 同理可求出的函数解析式为：，将代入，则， ∴点，将代入，解得：， ∴沿x轴向左平移个单位长度后，点D落在上，∴， 则平移后点B对应的点的坐标为，故答案为： 42．（24-25九年级下·河北沧州·月考）如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，把绕点A旋转，点B落在点C处，则直线的表达式为 ． 【答案】或 【详解】解：直线与x轴交于点A，与y轴交于点B， 令，则，令，则，，则， ①绕点A顺时针旋转得，如图所示， ，，，， 设直线的解析式为，把代入得， ，解得，，∴直线的解析式为； ②绕点A逆时针旋转得，如图所示， ，，，， 设直线的解析式为，把代入得， ，解得，，∴直线的解析式为； 综上所述，直线的解析式为或． 43．（25-26八年级上·北京·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知关于的函数图象与轴有且只有三个公共点，坐标分别为，，．关于该函数的四个结论如下： ①当时，；②当时，有最大值；③将该函数图象向右平移个单位长度后得到的函数图象经过原点；④点是该函数图象上一点，则符合要求的点有三个． 其中正确的结论有 ． 【答案】 【详解】解：由函数图象可知，当和时，，故错误； 由函数图象可知，当时，有最大值，故错误； 将该函数图象向右平移个单位长度后点到达，函数图象过原点，故正确； 设，，则有，画函数的图象，如下图所示， 由函数图象可知：符合要求的点只有一个，故错误；综上所述，正确的结论有． 44．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，另一条经过B点的直线交x轴于点C且与直线构成的夹角，则直线的解析式为 ． 【答案】或 【详解】解：由题意，∵直线与x轴、y轴分别交于A、B两点， ∴，∴． 分两种情形，①当C在x轴负半轴上，如图1，过A作交于D，再过D作轴于E， ∵，∴，∴． ∵，，∴． 又∵，∴()．∴． ∴．∴． 又∵，设直线解析式为，则，解得：， ∴此时直线解析式为； ②当C在x轴正半轴上，如图2，过A作交于D，再过D作轴于E， 同理可得．又∵，设直线解析式为， 则，解得：，∴此时直线BC为． 综上，直线为或．故答案为：或． 45．（24-25八年级上·江苏·期末）如图，三个顶点坐标分别为是线段上的一点，连接并延长交于点．若平分，则点的坐标是 ．    【答案】 【详解】解：，，，，． 如图，过点M作于点P，      平分，，，， 在和中，，， ，， 设点M的坐标为，则，，， 在中，由勾股定理得，即， 解得，点M的坐标为，设直线的解析式为， 将和代入，得：，解得，直线的解析式为， 同理可得直线的解析式为， 联立，解得，点的坐标是．故答案为：． 46．（25-26八年级上·安徽蚌埠·月考）在平面直角坐标系中，线段的端点是，，直线．（1）直线恒过一定点，该点的坐标为 ． （2）若直线与线段有交点，则k的取值范围为 ． 【答案】 或 【详解】解：（1）直线方程可化为， 当时，，与无关，故恒过定点； （2）如下图，设直线恒过定点， 由（1）可知，，设直线的解析式为，将点，代入， 可得，解得，∴直线的解析式为， 设直线的解析式为，将点，代入， 可得，解得，∴直线的解析为， 结合一次函数的图像与性质，可知若直线与线段有交点，则k的取值范围为或． 故答案为：（1）；（2）或． 47．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点，点，点在上，且，动点在内（不包括的边界），连接，过点作的垂线交直线于点，若，则点的纵坐标的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：令，则；令，则； ∴，∴；∵，∴； 设，则，解得或（舍），∴； 过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，交于点，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，交于点，如图所示： 由题意得：且，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴， 设点，则，∴，即； ∵动点在内（不包括的边界）， ∴，解得：，∴， 即：点的纵坐标的取值范围是；故答案为： 48．（24-25八年级下·四川南充·期末）在平面直角坐标系中，直线与一次函数和的图象分别交于、，直线与它们分别交于、，直线与它们分别交于、，……，则 ． 【答案】/ 【详解】解：由题意可得，点、的横坐标为1，点、的横坐标为2，点、的横坐标为3，…… ∴点、的横坐标为2023，点、的横坐标为2024， 把代入，得，∴； 把代入，得，∴，∴； 把代入，得，∴； 把代入，得，∴； ∴，∴．故答案为：． 49．（25-26九年级上·江苏苏州·月考）平面直角坐标系中，点和分别在直线和轴上．都是等腰直角三角形，如果，则点的横坐标是 ． 【答案】10 【详解】解：过点作轴于点过点作轴于点过点作轴于点 ∵∴，，，， ∵是等腰直角三角形，轴，∴，∴， ∵是等腰直角三角形，轴，∴，∴， 设点的横坐标为n，则，， ∵是等腰直角三角形，轴，∴， ∴，∴点的坐标为， ∵点在直线上，∴，解得，∴点的横坐标为10．故答案为：10． 50．（2024·广东·模拟预测）如图，点，……在x轴上，点A在y轴上，轴，轴，交点为点C，直线经过原点O和点C；点是的中点， ，轴，轴，直线经过点O和点；点是的中点， ，轴，轴，直线经过点O和点……以此类推，若点，则直线的解析式为 ． 【答案】 【详解】解：设直线的解析式为， ，，解得，直线的解析式为， ，，， 点是的中点， ，，，， 同上可得直线的解析式为；同理，直线的解析式为；…… 以此类推，直线的解析式为，故答案为：． 51．（25-26八年级上·四川成都·期中）《庄子·天下篇》记载“一尺之锤；日取其半，万世不竭．”如图，直线与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交直线于点，过点作y轴的平行线交直线于点，以此类推，令，，…，，则的面积 ． 【答案】 【详解】解：在第一象限内任取直线上一点P，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点Q、R，则分别代表点P的纵坐标与横坐标，即有：，则四边形是正方形，平分 ∴直线与y轴的夹角是，∴…都是等腰直角三角形． 令，代入直线中得，得到点A的坐标为， ∴点的横坐标为1，∴当时，点的坐标为， ∴，∴点的横坐标 当时，得出点的坐标为，， 以此类推，得，， 当时得到：，时得到：， ∴，的面积 故答案为：． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 压轴题（选填题）专项（1-5章） （共51题） 1．（25-26八年级上·湖北随州·期中）如图，已知，，，直角的顶点是的中点，两边，分别交于点、．给出以下四个结论：①；②；③是等腰直角三角形；④，上述结论始终正确的有（    ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26八年级上·河南漯河·期中）如图，点为线段上一点，都是等边三角形，与交于点，与交于点，与交于点，下列结论：①；②平分；③是等边三角形；④．其中正确的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．（25-26八年级上·河南洛阳·期中）如图，在和中，，，，C，D，E三点在同一条直线上，连接，．以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的为（   ） A．① B．①② C．①②③ D．①②③④ 4．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，中，，，，点是的中点，将沿翻折得到，连接，，则线段的长等于（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，，点为边上一点，连接，将沿翻折，使点落在点处，点为边上一点，连接，将沿翻折，点恰好与点重合．，则下列结论：①点是的中点；②是等腰三角形；③与互补；④的长是1；⑤的面积是2．其中结论正确的有（   ）个． A．5 B．4 C．3 D．2 6．（25-26八年级上·福建厦门·月考）如图，在等边中，，为上一点，连接，，将沿折叠，使点落在点处，连接．下列结论：①；②，③；④，其中正确的结论个数是（    ） A．①②③④ B．①③ C．①②④ D．①②③ 7．（25-26八年级上·重庆开州·期中）如图，的外角的平分线交于点于点于点，下列结论中：①周长为；②；③连接，则垂直平分线段；④的面积为与的面积和；⑤．其中正确的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 8．（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）如图等边中，点D，E为线段上动点且，连接交于点F，连接，下面结论：①；②；③若，则；④若，则．其中结论正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图是学校举办的数学文化节设计的标志，在中，，以的边为边作三个正方形，点G落在上，若，空白部分的面积为，则阴影部分面积为（   ） A． B．12 C．15 D．17 10（25-26八年级上·山东济宁·期中）在平面直角坐标系中，已知点．将点作如下的位置变换：第1步：找点关于直线的对称点，记为，再找点关于直线的对称点，记为；第2步：找点关于直线的对称点，记为，再找点关于直线的对称点，记为；第3步：找点关于直线的对称点，记为，再找点关于直线的对称点，记为；……按照这样的步骤继续操作下去，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 11．（24-25八年级上·浙江金华·期末）如图，正方形的顶点，分别在轴，轴上，点在直线：上．将正方形沿轴正方向向右平移（）个单位长度后，点恰好落在直线上．则的值为（　　） A．5 B． C． D．2 12．（24-25八年级上·广东梅州·期末）如图，直线与轴、轴分别交于点、，是线段上一点，若将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则直线的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 13．（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）如图，已知直线与直线交于点，直线在轴上的截距为．过直线上一点作轴的垂线交直线于点，交直线于点．下列说法不正确的是（   ） A．， B．当时，或 C．当时， D．当时， 14．（2025·湖北·一模）如图1，四边形中，，，P从A点出发，以每秒一个单位长度的速度，按的顺序在边上匀速运动，设P点的运动时间为t秒，的面积为S，S关于t的函数图像如图2所示，当P运动到中点时，的面积为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 15．（24-25八年级上·山东济宁·期末）如图，在等边三角形中，，点E是线段上一动点，连接，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接，则长的最小值为 ． 16．（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，是等边三角形，D，E分别为，边上的点，且，，相交于点F，连接并延长到点M，与相交于点G，延长到点N，连接，，若，，点F是的中点．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是 ． 17．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，，高、交于点，是的中线，过点作于，连接、．点在边上，且，．下列结论：；平分；是等边三角形；若，则与的面积比为．其中正确结论的序号是 ． 18．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图，在中，平分，平分，若：，，则 （用含的式子表示）． 19．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，，当点D在的延长线上时，且，，垂足为H，交于点E，交于点F，且满足，若，，则 ． 20．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）如图，和都是等腰直角三角形，，连接交于点，连接交于点，连接，，则下列结论： ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．正确的有 （填序号）． 21．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，在中，，，点为内部一点，点为线段上一点，连接，，，，作于，若，，，则的周长为 ． 22．（25-26八年级上·江苏南京·月考）如图，在中，已知，于点M，于点N，P为边的中点，连接，，则下列结论：①；②；③；④当时，，其中正确的是 （填写序号） 23．（24-25八年级下·重庆永川·月考）如图，点在线段上，，点F为平分线上的一点，且和均为等边三角形，，则的长是 ． 24．（25-26八年级上·浙江衢州·期中）已知在等边三角形中，点D是的中点，点E在的延长线上，且，连接，时，P，Q分别为射线、射线上的动点，且若，则 ，的长为 ． 25．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，在△中，，，，动点从点出发，沿线段以每秒1个单位的速度向运动，过点作交所在的直线于点，连接，．设点运动时间为秒．当△是等腰三角形时，则 秒． 26．（25-26八年级上·浙江·期中）如图，在中，，，，点为的中点，点是边上动点，将沿直线折叠，折叠后点的对应点为，与交于，当为直角三角形时，线段的长为 ． 27．（25-26八年级上·四川·阶段练习）如图在中，，，是它的角平分线，是边上的中线，的周长比的周长大4，过点作于，若，则到的距离 ． 28．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）已知表示不大于的最大整数，例如．现对69进行如下操作： （1）对28进行一次操作后变为 ． （2）若正整数进行3次操作后变为2，的最大值为 ． 29．（24-25八年级上江苏·期中）将、、、……按如图方式排列．若规定（x，y）表示第x排从左向右第y个数，则：①（6，6）表示的数是 ；②若在（x，y），则（2x﹣y）3的值为 ． 30．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）请先在草稿纸上计算下列四个式子的值：①；②；③；④，观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出下面式子的值 ． 31．（25-26八年级上·湖北武汉·月考）如图，在中，，，分别以的三边为边向外作三个正方形，，，连接．过点C作的垂线，垂足为J，分别交，于点I，K．若，，则的长是 ． 32．（25-26八年级上·江苏·期中）如图，直线交轴于，交轴于，轴上一点，为轴上一动点，把线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则当长度最小时，线段的长为 ． 33．（24-25八年级下·重庆大足·期末）如图，直线，点、点为轴负半轴上的两点，轴交直线于点，轴交直线于点、相交于点，当时，则 ． 34．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知点，直线与两坐标轴分别交于、两点，、分别是、上的动点，则周长的最小值是 ． 35．（23-24八年级下·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，．直线分别交线段于点E，G．直线分别交线段OA，BC于点D，F．连接DE，FG．四边形DEFG的面积为 ；的最小值为 ．    36．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）已知点，为函数图象上两点，下列结论： ①函数的最小值为0；②当时，；③若，则； ④若方程有两个解，且都满足，则k的取值范围是； 其中正确的结论是 ．（填写序号） 37．（24-25八年级下·福建龙岩·期末）如图是一个游戏装置，四边形是正方形，点光源为的中点．点、点为的三等分点，是一个感光元件．若从点发出的光线照向平面镜，其反射光线照射到上（含端点），该感光元件就会发光．已知点，反射光线所在直线为，当感光元件发光时的取值范围为 ． 38．（24-25八年级上·山东淄博·月考）如图，直线与轴，轴分别交于，两点，射线于点，若点是射线上一动点，点是轴上的一动点，若以，，为顶点的三角形与全等，则点的坐标为 　                  　 39．（24-25八年级下·辽宁·阶段练习）如图，中，，点是上一点，过点作的垂线，与边（或）相交于点，设，的面积为，关于的函数图象如图所示，以下结论：①点的坐标为；②的面积为；③当时，．其中正确的有： ． 40．（24-25八年级下·河北衡水·阶段练习）直线：，：的图象如图所示，当动点在，与x轴所围成的封闭区域内部（不包括边界）时，m的取值范围为 ． 41．（2025·河南驻马店·三模）如图，在平面直角坐标系中，点，，点C在第二象限内且，，交y轴于点D，将沿x轴向左平移使点D落在上，则平移后的点B对应的点的坐标为 ． 42．（24-25九年级下·河北沧州·月考）如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，把绕点A旋转，点B落在点C处，则直线的表达式为 ． 43．（25-26八年级上·北京·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知关于的函数图象与轴有且只有三个公共点，坐标分别为，，．关于该函数的四个结论如下： ①当时，；②当时，有最大值；③将该函数图象向右平移个单位长度后得到的函数图象经过原点；④点是该函数图象上一点，则符合要求的点有三个． 其中正确的结论有 ． 44．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，另一条经过B点的直线交x轴于点C且与直线构成的夹角，则直线的解析式为 ． 45．（24-25八年级上·江苏·期末）如图，三个顶点坐标分别为是线段上的一点，连接并延长交于点．若平分，则点的坐标是 ．    46．（25-26八年级上·安徽蚌埠·月考）在平面直角坐标系中，线段的端点是，，直线．（1）直线恒过一定点，该点的坐标为 ． （2）若直线与线段有交点，则k的取值范围为 ． 47．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点，点，点在上，且，动点在内（不包括的边界），连接，过点作的垂线交直线于点，若，则点的纵坐标的取值范围是 ． 48．（24-25八年级下·四川南充·期末）在平面直角坐标系中，直线与一次函数和的图象分别交于、，直线与它们分别交于、，直线与它们分别交于、，……，则 ． 49．（25-26九年级上·江苏苏州·月考）平面直角坐标系中，点和分别在直线和轴上．都是等腰直角三角形，如果，则点的横坐标是 ． 50．（2024·广东·模拟预测）如图，点，……在x轴上，点A在y轴上，轴，轴，交点为点C，直线经过原点O和点C；点是的中点， ，轴，轴，直线经过点O和点；点是的中点， ，轴，轴，直线经过点O和点……以此类推，若点，则直线的解析式为 ． 51．（25-26八年级上·四川成都·期中）《庄子·天下篇》记载“一尺之锤；日取其半，万世不竭．”如图，直线与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交直线于点，过点作y轴的平行线交直线于点，以此类推，令，，…，，则的面积 ． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $