专题05 图形变换综合问题专训（高效培优期末专项训练）八年级数学上学期苏科版2024

专题05 图形变换综合问题专训 考点01 几何图形与平移综合问题（选填题） 考点02几何图形与轴对称综合问题（选填题） 考点03几何图形与旋转综合问题（选填题） 考点04几何图形与轴对称综合问题（解答题） 考点05几何图形与旋转综合问题（解答题） 考点06几何图形与平移综合问题（解答题） 考点07一次函数与图形变换综合问题（选填题） 考点08一次函数与图形变换综合问题（解答题） 考点01 几何图形与平移综合问题 1．（24-25成都市八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为，是第二象限内一动点，将点向下平移个单位长度得到点，连接，，，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：∵点坐标为，点坐标为，∴，， 如图，将点向下平移个单位长度，得到点，则，连接，， 则，将绕点顺时针旋转，得到，连接， 则，，，， ∴是等边三角形，∴，∴， ∴的最小值为的长，过点作轴于点， ∵，，∴，， 在中，，， 由勾股定理，得， ∴的最小值为，故答案为： 2．（25-26八年级上·山西运城·期中）如图，中，，于点，将沿平移到位置，交于点，交于点．此时为中点，已知，，则 ． 【答案】 【详解】解：在中，，，， ∴，，∴， ∵，∴， ∴，，如图所示，连接， ∵平移，∴，，， ∴，且， ∴，∴，， ∴，∴，∴， ∵，∴， ∴，即，解得，，故答案为： ． 3．（25-26八年级上·浙江丽水·期中）如图，在中，，将沿射线的方向平移，得到，再将绕点逆时针旋转一定角度后，点恰好与点重合，则的周长是 ． 【答案】/ 【详解】解：∵，∴，∴， 在中，由勾股定理得：，∴， ∵将沿射线的方向平移，得到，∴，， ∵绕点逆时针旋转一定角度后，点恰好与点重合，∴， ∵，∴是等边三角形，∴，∴， ∴的周长，故答案为：． 4．（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，在边长为5的等边三角形中，，分别是，边上的动点，，的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：∵为边长为5的等边三角形，∴，， 如图，将线段平移到点与点重合，点与点重合，连接、， ， 由平移的性质可得：，，∴， ∵，∴，∴，， ∵，∴，∴， ∵，∴， 由垂线段最短可得，当时，此时最短，为， ∴的最小值是，故答案为：． 5．（25-26八年级上·河南周口·期中）如图，在一个长方形公园中，，，凉亭P在的中点处，社区计划在公园边缘设计一个宽为的出入口（点E在点F左侧），并将，，改建为跑道以供居民锻炼．为避免跑道影响公园的整体设计，要使四边形的周长最小，则此时的长为 m． 【答案】20 【详解】解：在长方形中，，，， ∵凉亭P在的中点处，∴，∴， ∵，∴四边形的周长为， 要使四边形的周长最小，则需满足的值最小， 在边上取一点H，使得，作点H关于的对称点G，连接，，如图所示： 由轴对称的性质可知：，在长方形中，，即，且， 由平移的性质可知：，∴， 根据三角形三边不等关系可得， ∴当且仅当点G、F、P三点共线时，取得最小值，最小值为的长， 过点P作于点M，如图，∴，， ∴；即是等腰直角三角形，∴， ∵，，∴， ∴是等腰直角三角形，∴；故答案为． 考点02几何图形与轴对称综合问题（选填题） 6．（2025八年级上·江苏苏州·专题练习）如图，中，，，，点是的中点，将沿翻折得到，连接、，则线段的长等于 ． 【答案】 【详解】解：如图，延长交于点， 在中，由勾股定理得， ∵为的中点， ∴， 由翻折的性质可知，，，， ∴是的垂直平分线，∴， ，设，则， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴，解得，∴，∴， ∵，∴，， ∵，∴， ∴，故答案为：． 7．（25-26八年级上·浙江衢州·期中）在Rt中，为斜边的中点．是直角边上的一点，连接，将沿折叠至交于点，若的面积是的面积的一半，则 【答案】 【详解】解：如图所示，连接，过作于，由折叠可得，与全等， ∵的面积是的面积的一半，，. 同理可得的面积是的面积的一半，，∴是的中点，∴. 又∵是的中点，∴，. 在和中，∴，∴. 又∵，∴中，.故答案为：. 8．（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，已知在中，，，，点D，E分别在边，上，连接，．将沿翻折，将沿翻折，翻折后，点B，C分别落在点，处，且边与在同一直线上，连接，当是以为腰的等腰三角形时，则 ． 【答案】 【详解】解：当时，设，得， ∵，∴，在中，， ∴，∴，∴． 当时，∵，∴是的中点，∴，∴， 设，则，∴，∴，∴，∴． ∴ 当或时，是以为腰的等腰三角形．故答案为：或． 9．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，在中，，于点，为边上一点，将沿直线翻折到所在平面内，点的对应点为，连接交于点，若，则点到的距离为 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点作于点． ，，，，∴， ，关于对称，，，， ， ，，，，， ∵，∴，， ∴，．故答案为：． 10．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，，，，C、D是上的点，将沿翻折至，与交于点E，若A和E关于对称，则 ． 【答案】 【详解】解：在中，，，， ∴由勾股定理得，， ∵，∴，解得， ∵和关于对称，∴，， 在中，， ∴，，， ∵将沿翻折至，∴，，∴， ∵在中，，，，且， ∴，∴，设，则，， 在中，，即，解得或， 当时，，此时， ∵，，得到，进而可知， 与已知，矛盾，故舍去．故答案为：． 考点03几何图形与旋转综合问题（选填题） 11．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，是钝角三角形（），将绕点A顺时针旋转至，连接、，取的中点F，连接并延长交于点G，其中，，，则 （用含m、n的式子表示） 【答案】 【详解】解：延长至点，使，连接，在上截取点，使，连接，如图所示：由题意可知，，且， 为的中点 在和中， 、 在和中， ,, 设， 在中， 在和中，， ，即 ，， ，即．故答案为：． 12．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，，点E是高上一个动点，连接．若将线段绕点A逆时针旋转60°得到，连接，则点E在运动的过程中，线段扫过的面积是 ． 【答案】/ 【详解】解：如图，以为边作等边三角形，∴，， 又∵由旋转可知：，，∴，即， ∴，∴，， ∴点在过点垂直于的直线上，当点与点重合时，点在点处，当点与点重合时，点在点处，此时，∴线段扫过的面积是的面积， 过点D作，垂足为，∵，，∴， ∴，， ∵等边三角形，∴，，∴，∴，， ∴的面积．故答案为：． 13．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，在中，为边上的高，，把绕A点逆时针旋转得到，连接交于点F，若，，则的长为 ．    【答案】 【详解】解：如图，过点D作交的延长线于点G，    ∵，∴， ∴，由旋转的性质可知：， 在和中，，∴，∴，， ∵，，∴，∴，∴， 在和中，，∴， ，，即点F为，中点， ∵，∴设，则， ∴，，，则，， ∵，∴， ∴，解得（负值舍去），∴．故答案为：． 14．（2025·山西·模拟预测）如图，在等边三角形中，将边绕点顺时针旋转得到线段，连接，．点，点分别为线段，上一点，连接，．如果，当取得最小值时，的面积为 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴是等边三角形， ∴， 由旋转的性质得，，， ∴，， ∴， ∴， 如图，当时取最小值，∴是等腰直角三角形， 当时，取最小值，即点与点重合， 当都取最小值时，的值最小， ∵是等腰直角三角形， ∴，∴，故答案为：． 15．（24-25八年级下·四川成都·期末）已知等边三角形边长为6，点为上的一点，连接，将三角形沿翻折得，将绕中点旋转得，连接，若，则点到直线的距离为 ；若点在边上运动，则的最小值为 ． 【答案】 3 【详解】解：延长交于点，连接， ∵等边三角形边长为6，∴， ∵将三角形沿翻折得，将绕中点旋转得， ∴， ∴四边形为平行四边形，∴，∴， ∴，∴为等边三角形，∴， 当时，则：，∴， 作，在中，，∴， ∴，，∴点到直线的距离为； 作点关于的对称点，连接，则：， ∴当三点共线时，最小，如图，当时， 此时，，∴， ∵，∴为等边三角形，∴， ∵四边形为平行四边形，∴，∴，∴， ∵三点共线，∴此时三点共线，∴此时最小，为3；故答案为：． 考点04几何图形与轴对称综合问题（解答题） 16．（25-26八年级上·重庆开州·月考）已知等边，过点作的垂线交延长线于点． (1)如图1，点P为内部一点，满足，为延长线上一点．且，连接、，求证：为等边三角形； (2)如图2，在（1）的条件下，点F是中点连接并延长，交于点G，连接，若，求证：；(3)如图3，的面积为12，点M为线段上一动点，连接、，将沿着直线翻折得到，连接、，当取得最小值时，请直接写出的面积． 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3) 【详解】（1）解：是等边三角形，，， ，，， ，， 在和中，，，，， ，，是等边三角形； （2）解：延长至，使，连接，如下图所示： 点是中点在和中，，， ，， 由（1）得：是等边三角形 在和中，，  ， （3）解：沿着直线翻折得到， 当点在上运动时，点在关于直线对称的直线上运动，， 当时，可取得最小值，过作于点， ∵∴， ∴,∴，∴， 则当取得最小值时，在边上，如下图所示： 设，则，是等边三角形，，， ，， ，，，，是等边三角形， ，，， ，，即； 是等边三角形，，，， ． 17．（25-26八年级上·江苏南京·期中）【问题情境】折纸，常常能为证明提供思路和方法．我们曾用正方形纸片折叠过等边三角形，用直角三角形纸片能折出等边三角形吗？ 【复习回顾】课本第57页，第22题： (1)如图1中的（1），把正方形纸片对折后再展开．折痕为；如（2）．将点A翻折到上的点处，且使折痕过点B；如（3），沿折叠，得[如图1（4）]． 阅读上述材料，是等边三角形的判定依据是 ； (2)【小慧的思考】小慧做完了这题后进行了思考：尝试用直角三角形折出等边三角形，她先从特殊的直角三角形进行研究（见图2）：如图2中的①是一张直角三角形纸片（，）．如②，将此三角形纸片折叠，使得点B与点A重合，再展开，折痕为，连接；如③，将点C翻折到上的点处，连接，得到．请你帮小慧证明是等边三角形． (3)【你的思考】请你以此图3的直角三角形纸片（，），再设计一个不同于上述的折纸方法（要求：折纸次数不得超过四次，并且画出示意图），使得折出的等边三角形与此直角三角形有一个顶点重合，并说明你折法的正确性． (4)【再思考】一般的直角三角形纸片可以折出等边三角形吗？如果能，请说明你的折纸思路：若不能，请说明理由． 【答案】(1)三边相等的三角形是等边三角形；(2)见解析(3)见解析(4)能．理由见解析 【详解】（1）解：是等边三角形的判定依据是三边相等的三角形是等边三角形， 理由：由折叠可知：，是的垂直平分线，∴， ∵正方形，∴，∴，∴是等边三角形． （2）解：由折叠可知：，∴，∴， 又∵，∴， ∵由折叠可知：，∴是等边三角形， （3）解：方法1，如图，将点A翻折到上的点处，再展开，将点A翻折到上的点处，连接，得到．即是等边三角形． ∵，，∴， 又∵，∴，∴，∴， 又∵，∴是等边三角形， 方法2， 将点翻折到上的点处，再展开．折痕为；如（2）．将点翻折到上的点处，连接，得到．即是等边三角形． ∵是的垂直平分线，∴，又∵，∴是等边三角形． （4）解：如图，在较短边上取一点（，为保证以后折叠时在内部）， 将点翻折到上的点处，再展开．折痕为；如（2）．将点翻折到上的点处，连接，得到．即是等边三角形． ∵是的垂直平分线，∴，又∵，∴是等边三角形． 18．（25-26八年级上·江苏南通·期中）如图，等边中，、分别在边、上，且，连，点、关于对称，、交于点． (1)求证：；(2)若，求（用表示）； (3)若，，求的长（用，表示）． 【答案】(1)见解析(2)(3) 【详解】（1）证明：∵是等边三角形，∴， ∵，∴是等边三角形，∴， ∵、关于对称，∴，∴； （2）解：∵是等边三角形，是等边三角形，∴， ∴，∴， ∵、关于对称，∴，∴， ∵，∴， ∴； （3）解：连接并延长交延长线于点，∴， ∵等边中，， 又∵，∴，∵， ∴，∴， ∵点、关于对称，∴，, ∴， ∵，∴，∴， ∵，∴， ∴，∴，为等边三角形，∴， 在和中，∴， ∴，∴． 19．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法．例如，在中，（如图1），怎样证明呢？ 把沿的平分线翻折，因为，所以点落在上的点处（如图2）．于是，由，，可得． 【感知】（1）如图2，将沿的平分线翻折，使得点C落在上的点处，则： ①在中，若，，则______°； ②在中，若，求证：； 【探究】（2）若将图2中是角平分线的条件改成是高线，其他条件不变（图3），即在中，，，请探索线段之间的等量关系，并说明理由． 【拓展】（3）如图4，在中，，，点P是边上的一个动点（不与B、C重合），将沿翻折，点C的对应点是点．若以B、C、为顶点的三角形是直角三角形，直接写出的长度______． 【答案】（1）①②见详解（2）（3）或 【详解】解：（1）①∵，， ∴，∴，故答案为：； ②证明：∵折叠，∴，∵， 又，∴，∴， ∴，即； （2），理由如下，如图，将沿折叠， ∵，∴点落在上的点处，∴，，， ∵，，∴，∴， ∴，即； （3）依题意，∵点在上，以为顶点的三角形若为直角三角形， 则点不能为直角顶点，分两种情况讨论， ①若，如图，过点作于点， ∵，，∴四边形是矩形，∴， 在中，，∴， 设，则，在中，，即，解得，即， ②若，如图， ∵，∴，∴，， ∴，∴，∴，综上所述，或． 20．（25-26八年级上·广东广州·期中）【读一读】数形结合是初中阶段的一种重要数学思想方法，其应用可分为两种情形：第一种情形是“以数解形”，借助于数的精确性来阐明形的某些属性；第二种情形是“以形助数”，借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系．著名的数学家华罗庚曾强调：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”可见通过结合抽象的数学语言和直观的几何图形，可以简化复杂问题，使抽象问题具体化，从而找到更优的解题路径． 【做一做】如图，中，点、在轴上，点在轴上，且，，． (1)尺规作图：分别作出点关于轴的对称点，点关于轴的对称点（保留作图痕迹，不写作法），连接、，并直接写出点的坐标； (2)在（）的条件下，作点关于直线（直线可左右平移，直线上各点的横坐标都为）的对称点，若的面积为，求的值； (3)点、分别为、上的动点，求的最小值． 【答案】(1)作图见解析，，(2)(3)的最小值为4 【详解】（1）解：点D和点E如图所示： 在中，，∴，， ∵，∴， 在中，，∴， 点D和点A关于x轴对称，∴，∴； （2）解：如图，∵，∴，由题可知， ∴，即，∴； （3）解：如图，连接， 则，，，， ∴都是等边三角形， ∵，∴，∴平分， ∴所在直线垂直平分，∴，∵点A和点D关于x轴对称，∴， ∴，当且仅当点A、P、Q、B共线时取等， 故的最小值为4． 考点05几何图形与旋转综合问题（解答题） 21．（25-26八年级上·广东深圳·月考）（1）如图1，将绕顶点B按顺时针方向旋转，得到，连接、、，，求证：； （2）如图2，在四边形中，为等边三角形，，，，则______________． 【答案】（1）证明过程见解析；（2）10 【详解】（1）解：由旋转可得，，∴是等边三角形，∴， ∵，∴，∴． （2）解：∵为等边三角形，∴， 将绕顶点B按逆时针方向旋转，得到，连接、， 由旋转可得，，，∴为等边三角形， ∴，，∴， ∴，∴．故答案为：． 22．（25-26八年级上·四川成都·期中）（1）如图1，在，，，，求边上高的长；（2）如图2，在中，，，，线段与线段交于点（点不在上），连接．①在（1）的条件下，若，求的长； ②将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，若为等腰三角形，求的度数． 【答案】（1）；（2）①；②的度数为或 【详解】解：（1）∵，，，∴, 设边上的高为，则，∴； （2）①过点作于点， ∵， ，∴，即， ∵，，∴，∵，∴， ∵，∴，∴ ②当，在下方时，如图，过点作交延长线于点，过点作交延长线于点，过点作于点， 则，，则由平行线间的距离相等得到，由旋转得， ∵，，∴， ∴，∴，∴， 设，， 在中，由勾股定理得，∴， 在中，由勾股定理得，∴， ∵，∴， 在中，由勾股定理得，即， 联立①②解得，代入②求得（负值舍去）， ∴，， ∴，而∴为等腰直角三角形，∴； 当，在上方时，如图，过点作于，过点作交于点， ∴同上可证明，∴， 设，则， 作点作关于的对称点，连接，则， ∴为等边三角形，∴， ∵，∴，∴，∵，∴ ∵，∴，∵，∴， ∴；当，在左侧时，如图： ∵，∴，∴为多边形三角形， ∴，∵，∴∵，∴， ∴； 当，在右侧时，如图：∵，∴， ∴为等边三角形，∴， ∵，∴∵，∴， ∴； 综上所述：为等腰三角形时，的度数为或． 23．（25-26八年级上·江苏连云港·月考）如图，在平面直角坐标系内，等边的顶点，，于点H，点D为线段上一点，把点D绕点C逆时针旋转至点E． (1)点D从A到H运动的过程中，求点E运动的路线长度；(2)若点E的坐标为，求y关于x的函数表达式；(3)点D运动过程中，的最小值为 ． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：连接，如图， ∵为等边三角形，∴，， ∵是绕点C逆时针旋转得到，∴，， ∴，∴， 在与中，，∴，∴， ∴点E运动的路线长即为点D运动的路线长，即为的长度， ∵，∴，且，在中，， ∴点E运动的路线长为；故答案为：； （2）解：由（1）可知，点E在线段上运动，∵点E的坐标为，∴，， 过点E作交于点F，如图， 由（1）知，，∴，∴，，则， 在中，，即，整理可得，∵，，∴， ∵当点D与点H重合时，过点E作交于点F，如图， ∴，，∴，∴， 在中，，∴此时点E的坐标为，∴， 则y关于x的函数表达式为；故答案为：； （3）解：以为边作等边，连接，，过点G作轴于点K，如图， ∵，，，∴， 在与中，，∴，∴， ∵，∴， 即当点B，点D，点G三点共线时，最小，为的长度， ∵，∴，在中，，∴，即， ∴，∴在中，， ∴的最小值为．故答案为：． 24．（25-26九年级上·西安·期中）问题提出（1）如图①，在内有一点，连接、、，把绕点顺时针旋转得到，连接，当点，，，在同一直线上时，此时 ； 问题拓展（2）如图②，在中，，，点是内一点，连接、、，若，，，求的长； 问题应用（3）如图③，是，，三座城市位置的平面示意图，若，，，要在内规划建设一个物流基地，连接，，，求物流基地到三座城市，，的距离和的最小值． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【详解】解：（1）∵把绕点顺时针旋转得到，∴， ∴是等边三角形，∴， ∵点，，，四点共线，∴， ∴，∴，故答案为：； （2）如图，把，绕点逆时针旋转得到，连接， ∴，∴， ∴， 在中，由勾股定理得：，∴； （3）把绕点顺时针旋转得到，分别连接，过点作交的延长线于点，∴， ∴是等边三角形，∴，∴， ∴当、、、四点共线时，最小，此时，， ∵，∴，∴， ∴在中，，，∴， 在中，由勾股定理得：， ∴的最小值为 25．（25-26八年级上·江西吉安·月考）【模型建立】从反思中总结基本活动经验是一个重要的学习方法，如图，等腰直角三角形中，，，经过点，过点作于点，过点作于点，则，我们称这种全等模型为“型全等”．模型方法可以使得我们在观察新问题的时候很迅速地联想，从而借助已有经验，迅速解决问题． 【模型应用】（1）如图，一次函数的图像与轴、轴分别交于点、点．将线段绕点顺时针旋转得到线段，直接写出点的坐标（______，______）． （2）如图，一次函数的图像与坐标轴分别交于点、． 过点在轴右侧作，且，连接，求的面积； 当的取值变化时，点随之在轴上运动．将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则长的最小值为______； 【模型拓展】（3）如图，一次函数与轴、轴分别交于点、．以点为直角顶点，在两侧分别作等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接，交轴于点，求的长． 【答案】（），；（），；（）． 【详解】解：（1）如图，过点作轴于点， ∴，∴, ∴，由旋转性质可得：，∴，∴，， 由一次函数可得，当时，，当时，， ∴，，∴，，∴，∴，故答案为：，； （2）如图，过点作轴于点， ∴，∴, ∴，由旋转性质可得：， ∴，∴，由一次函数可得，当时，， ∴，∴，∴； 如图，连接，∵，∴当三点共线时，，的值最小，如图， ∵，，∴，∴长的最小值为，故答案为：； （3）如图，过点作轴于点， ∵是等腰直角三角形，∴，， 同理可得：，∴，， 由一次函数可得，当时，，∴，∴， ∵是等腰直角三角形，∴，∴，， ∵，∴，∴． 考点06几何图形与平移综合问题（解答题） 26．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）定义：在平面直角坐标系中，对于点，若点N坐标为，我们称点N是点M的等距平移点，其中a为等距平移常量．例如：当时，点的等距平移点N为．(1)①当等距平移常量时，点M坐标为，则它的等距平移点N的坐标为______；②若点M坐标为，它的等距平移点N在坐标轴上，则等距平移常量a=______． (2)点的等距平移点是，其中a为等距平移常量，若，且其中一个点到x轴的距离等于另一个点到x轴的距离的2倍，求a的值． 【答案】(1)①：②1或(2)或或或6 【详解】（1）解：①∵当等距平移常量时，点M坐标为， ∴点N的横坐标为，纵坐标为，∴点N的坐标为，故答案为：； ②∵点M坐标为，∴它的等距平移点为， 当点N在y轴上时，，解得：； 当点N在x轴上时，，解得：，故答案为：1或； （2）解：∵点，∴点的等距平移点是， 又点的等距平移点是，∴， 又，解得，∴，， ∵其中一个点到x轴的距离等于另一个点到x轴的距离的2倍， ∴当点M到x轴的距离等于点N到x轴的距离的2倍时，， ∴或，解得：，， 当N点到x轴的距离等于点M到x轴的距离的2倍时，， ∴或，解得：，， 综上，a的值为或或或6． 27．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）【阅读材料】定义：在平面直角坐标系中，对于任意一点，如果把点P平移，得到点，那么就把Q叫做点P的“t型平移”点． 例如：当时，点的“型平移”点的坐标就是． 【问题解决】(1)点的“3型平移”点的坐标为______． 若点的“t型平移”点的坐标是，则______，______． (2)已知线段的两个端点分别是，． ①端点A，B的“－1型平移”点分别是，，请在图中画出线段及线段． ②若线段上的每个点作“t型平移”后，得到的线段与坐标轴有公共点，求t的取值范围． 【答案】(1)；2；2(2)①见解析；②或 【详解】（1）解：将点进行“3型平移”的对应点坐标为，即， 点的“t型平移”点的坐标是，则，解得故答案为：；2；2； （2）（2）①∵端点A，B的“型平移”点分别是，， ∴，，即，如图，线段、线段即为所求． ②当平移后得到的线段与坐标轴有公共点时，则或， 解得或，即t的取值范围是或． 28．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）在平面直角坐标系中，如图①，第二象限内有一点，过点B作线段垂直于x轴，垂足为A，实数a、b满足．，将线段向右平移使点A和点D重合得到线段，连接与y轴相交于点M，动点P从A点出发，沿折线运动，运动到点C停止运动，速度为每秒2个单位长度，设运动时间为t秒． (1)求点C的坐标；(2)如图②，y轴上有一点，在点P沿折线运动过程中是否存在t值，使三角形的面积为2？若存在，求出t的值，并求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)存在，当时，；当时， 【详解】（1）解：，，解得，点， ，根据平移的性质可知：，，C，B两点的纵坐标相同，纵坐标都为3， ∵垂直x轴，∴垂直x轴，∴C，D两点的横坐标相同，横坐标都是4，点C的坐标为； （2）解：存在，根据题意分以下两种情况讨论： 当点P在线段上运动时，点P的坐标为，则，如图， ∵，，∴，∵，点，∴，解得，∴； 当点P在线段上运动时，点P的坐标为，即，如图， ∵，，∴，∵，，∴， ∵，点，∴，解得，∴，∴此时． 综上所述，当时，；当时，． 29．（25-26八年级上·江苏·课后作业）在平面直角坐标系中，如图①，将线段平移至线段，连结． (1)直接写出图中相等的线段、平行的线段； (2)已知，点在轴的正半轴上．点在第一象限内，且，求点的坐标； (3)如图②，在平面直角坐标系中，已知一定点，两个动点，请你探索是否存在以两个动点为端点的线段平行于线段且等于线段．若存在，求由点为顶点的四边形的面积，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)(3)存在，面积为1或3 【详解】（1）解：∵将线段平移至线段，∴； （2）解：连结， ∵，∴向右平移1个单位长度再向下平移2个单位长度得到， ∵将线段平移至线段，∴， ∴向右平移1和单位长度再向下平移2个单位长度得到，设， ∴向右平移1和单位长度再向下平移2个单位长度得到， ∴， 解得；∴，； （3）解：存在， ∵以两个动点为端点的线段平行于线段且等于线段．∴， ∵，∴在轴上，轴， ∵∴， ∴，或．∴或，如图， 当时，轴，； 当时，轴，；或． 30．（22-23七年级下·吉林·月考）综合与实践 问题背景：如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为；点的坐标为，点的坐标为，将线段沿射线方向平移，平移距离为线段的长度． 动手操作（1）画出线段平移后的线段，直接写出的对应点的坐标； 探究证明（2）连接，试探究、的数量关系，并说明理由； 拓展延伸（3）若点在线段上，连接、，且满足，请求出与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析，；（2），理由见解析；（3），理由见解析 【详解】（1）解：如图，为所作， 线段的长度为，即向右平移个单位，所以点坐标为． （2）解：．理由如下： ∵线段是由平移得到的，∴，， ∴，，∴． （3）解：；理由如下： ∵，∴，， ∵，∴， ∴． 考点07一次函数与图形变换综合问题（选填题） 31．（25-26八年级上·广东深圳·月考）如图，直线与x轴交于点A，以为斜边在x轴上方作等腰直角．（1）点A的坐标是 ，点B的坐标是 ； （2）将沿x轴向右平移，当点B落在直线上时，则平移的距离是 ． 【答案】 【详解】（1）解：对于函数，当时，，解得：，∴，∴， 过作于， ∵是以为斜边的等腰直角三角形，，，， ∴，∴，∴点B的坐标是，故答案为：，． （2）解：设向右平移的距离为，则点平移后的坐标为， ∵点平移后落在直线上，∴，解得， ∴平移的距离是6．故答案为：6． 32．（24-25八年级下·北京海淀·期末）如图，中，，把放在平面直角坐标系中，且点，的坐标分别为，，将沿轴向左平移，当点落在直线上时，线段扫过的区域面积为（    ） A．66 B．108 C．132 D．16 【答案】C 【详解】过点C作轴于点D，如图所示． ∵点A，B的坐标分别为，，，∴，∴． ∴点C的坐标为．当时，有，解得：， ∴点C平移后的坐标为．∴沿x轴向左平移个单位长度， ∴线段扫过的面积．故选C． 33．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）已知，，与交于点A，垂直于轴的直线交轴于点．若点为直线上一点，将沿折叠，使得点落在直线上，则点的纵坐标为 ． 【答案】1或7/7或1 【详解】解：联立，解得：，∴，则， 设点F的对应点为，设点的坐标为，点P的坐标为， 根据折叠可知：，，∴， 即，解得：或，∴或， 当时，，即，解得：； 当时，，即，解得：； 综上分析可知，点P的横坐标为1或7．故答案为：1或7． 34．（24-25九年级下·江苏南通·月考）如图，一次函数的图像与轴、轴交于点、，把直线绕点顺时针旋转交轴于点，则点坐标为 ． 【答案】 【详解】解：一次函数的图像与轴、轴交于点，把直线绕点顺时针旋转交轴于点，则,，则，， ， 作，则， ，故，过点A作于点E， 则，，故， 故，故， ，故点坐标为． 35．（24-25八年级下·重庆渝北·开学考试）如图，一次函数过点和点，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接，点D在线段上，点E在线段上，且，当最小值为时，则k的值为 ． 【答案】 【详解】解：过C作，使，连接， 由条件可知，∴，， ∵，∴，， ∴， ∵，∴， ∴，∴， ∴当E在上时取最小值，最小值，∴， ∵点和点，∴，解得或， ∵由图形可知在第一象限，∴，∴，∴， 把和，代入得，解得，故答案为：． 36．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，C在y轴的正半轴上，D在直线AB上，且，．若点P为线段AB上的一个动点，横坐标为m，且P关于x轴的对称点Q总在内（不包括边界）． （1）点C的坐标为 ．（2）点P的横坐标m的取值范围为 ． 【答案】 【详解】解：（1）在中，当时，， 当时，即，，， ∵C在y轴的正半轴上，，，故答案为：； （2），∴点D在线段的垂直平分线上，即在直线上， 在中，当时，即，解得：，； 设直线解析式为，，，∴直线解析式为， 同理可得直线的解析式为， ∵点P为线段上的一个动点，且其横坐标为m，， ∵P、Q关于x轴对称，，∵点Q总在内（不包括边界）， ，解得：．故答案为：． 考点08一次函数与图形变换综合问题（解答题） 37．（2025·北京·一模）在平面直角坐标系xOy中，直线与坐标轴分别交于，两点．将直线在x轴上方的部分沿x轴翻折，其余的部分保持不变，得到一个新的图形，这个图形与直线分别交于点C，D．(1)求k，b的值；(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记线段AC，CD，DA围成的区域（不含边界）为W．①当m=1时，区域W内有______个整点；②若区域W内恰有3个整点，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)(2)1； 【详解】（1）∵直线与坐标轴分别交于，两点, ∴，解得，且． （2）如图所示，点B关于x轴的对称点坐标为(0，-4) 当m=1时，直线l2的解析式为，恰好过(0，-4)，即为交点C，此时区域W内有1个整点E， 故答案为：1 如图所示，当m=1时，直线l2的解析式为，恰好经过整点G，F， 当直线恰好经过整点H时，区域W内恰有3个整点，此时把整点H的坐标(0，-5)代入得，，解得， ∴区域W内恰有3个整点时，m的取值范围为：． 38．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）在平面直角坐标系中，，将点向上平移3个单位得到点，过点作，如图1．(1)求直线的表达式；(2)如图2，分别作和的角平分线，相交于点，①求证：；②求的度数． 【答案】(1)(2)①见解析；② 【详解】（1）解：∵在平面直角坐标系中，，设直线的表达式为， ∴，解得，∴直线的表达式为， ∵点向上平移3个单位得到点，且，∴，即直线的表达式为； （2）解：①记与y轴交点为点Q，如图， ∵为的角平分线，为的角平分线，∴，， ∵，∴，∴， 在与中，有， 即，即， ∵，∴； ②连接，如图，在中，， 在中，，∴， ∵，，∴， 由①可知，，∴． 39.（25-26九年级上·重庆万州·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于点、点，直线与直线交于点，与轴交于点，且． (1)求直线的解析式；(2)如图2，若点是线段上的一动点，连接、，点、分别是轴和轴上的两个动点，连接、、，当，求点的坐标及周长的最小值； (3)如图3，将直线向右平移个单位长度得到直线，直线与轴交于点，连接，在轴是否存在动点，使得，若不存在，请说明理由；若存在，请求出点的坐标（写出其中一种情况的求解过程） 【答案】(1)(2)周长的最小值为(3)或 【详解】（1）解：∵直线经过点，∴，∴点． 当时，，∴，∴，∴，∴点． 设直线的关系式为，代入， ∴，解得，∴直线的关系式为； （2）解：连接，如图所示， 将代入直线得，∴． ∵，∴D点为的中点， ∴是的中线，是的中线，∴． ∵，∴．∵点，∴， ∴，∴， ∴，∴， 即，解得或．∵点P是线段上一动点，∴． 将代入直线，得，解得，∴点． 作点关于x，y轴的对称点，连接，交y轴于点E，交x轴于点F， ∴， ∴，此时达到最小值，最小值为的长度， 过点作x轴的平行线，过点作y轴的平行线，两线交于点Q，如图所示， ∴点，∴， ∴，∴的最小值为． 综上，，的最小值为； （3）解：存在，或，理由如下： ∵将直线向右平移个单位长度得到直线，∴直线：， 当时，，∴点，设直线为，代入点， ∴，∴，∴直线为． 第一种情况：过点B作交x轴于点，如图所示， ∵，∴，设直线为，代入， ∴，∴直线为，当代入，得，∴； 第二种情况：由第一种情况可知，,此时，作关于的对称直线交x轴于点M，∴平分，过点C作，交的延长线于点W，过点C作于点V，如图所示，∴．∵，∴， ∴是等腰直角三角形，∴． ∵点，∴，∴，∴． 设，那么，∵，∴． ∵，∴， 解得（舍）或，∴点．综上所述，存在，点或． 40．（25-26八年级上·四川成都·阶段练习）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点，已知．(1)求点A的坐标；(2)已知点，在y轴上是否存在点P，使得是等腰三角形?若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；(3)在x轴上有一动点M，连接，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接，求的最小值的平方． 【答案】(1)(2)在y轴上存在点P，使得是等腰三角形，点P的坐标为或或或(3)的最小值平方为 【详解】（1）解：设点A的坐标为（），则， ∵，，∴，， 在中，由勾股定理得， 即， 解得或（负值舍去）， ∴点A的坐标为． （2）解：在y轴上存在点P，使得是等腰三角形，理由如下： 设点，则：，，， 当时，如图：则，解得（舍去）或，∴； 当时，如图：则，解得或，∴或； 当时，如图：则，解得，∴； 综上所述，在y轴上存在点P，使得是等腰三角形，点P的坐标为或或或； （3）解：根据题意的要求，如图所示： 将绕点B顺时针旋转至，连接， ∵，∴，∴， 又∵，，在和中，， ∴，∴， 作点B关于点的对称点，连接，，则当O，N，三点共线时，则， ∴的最小值为的距离；过点作轴交y轴于点H， ∵，，∴为等腰直角三角形 ∵，∴在中，由勾股定理得：， ∴，过点作轴交y轴于点D， ∵，，∴为等腰直角三角形，， 又∵点此时为中点，，∴三点共线，∴也是等腰直角三角形， 又∵轴，∴，即点是的中点， ∴，，∴， ∴，， ∴，此时点的坐标为， ∴，即的最小值平方为． 41．（24-25八年级下·江西新余·期末）【模型构建】如图，将含有的三角板的直角顶点放在直线上，过两个锐角顶点分别向直线作垂线这样就得到了两个全等的直角三角形，由于三个直角的顶点都在同一条直线上，因此我们将其称为“一线三直角”，这模型在数学解题中被广泛使用． 【模型应用】（1）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点， ①则点坐标为______；点坐标为______；②，是正比例函数图象上的两个动点，连接，，若，，则的最小值是______； （2）如图2，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点．将直线绕点逆时针旋转得到直线，求直线对应的函数表达式； 【模型拓展】（3）如图3，直线的图象与轴，轴分别交于、两点，直线与轴交于点．点、分别是直线和直线上的动点，点的坐标为，当是以为斜边的等腰直角三角形时，直接写出点的坐标． 【答案】（1）①；；②；（2）；（3）或 【详解】解：（1）①当时，得：；当时，得：，解得， ∴点A坐标为，点B坐标为，故答案为：；； ②在图1中，过A作于， ∵，∴， ∴，∴， ∵点A坐标为，点B坐标为，∴，∴，∴， 在中，； ∵D是正比例函数图象上的动点，∴根据垂线段最短，得的最小值是的长， 故的最小值是，故答案为：； （2）在图2中，过B作交直线l于C，过C作轴于D， 则，∴，∴， ∵直线绕点A逆时针旋转得到直线l，∴， ∴是等腰直角三角形，则，∴，∴，， 当时，，当时，由得，∴，， ∴，，∴，，∴， 设直线l对应的函数表达式为，将、代入， 得，解得，∴直线l对应的函数表达式为； （3）直线的图象与x轴，y轴分别交于、，分以下两种情况： 当时，如图3，过点P作轴于S，过点Q作，交延长线于T， ∴，∴，∵，∴，∴， 又∵，，∴，∴，， ∴，∴点Q的坐标为， 将点Q的坐标代入得，，解得， ∴，，∴点Q的坐标为； 当时，过点P作轴于S，过点Q作，交延长线于T， ∴，∴， ∵，∴，∴， 又∵，，∴， ∴，，∴，∴点Q的坐标为， 将点Q的坐标代入得，，解得：，∴点Q的坐标为． 综上，点Q的坐标为或． 42．（24-25八年级下·重庆·开学考试）如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与坐标轴交于，两点，点为轴正半轴上一点，且满足． (1)求直线的解析式；(2)如图2，过点的直线交线段于点，且满足，点为轴上一动点，求出点的坐标及的最大值；(3)在（2）的条件下，将点沿射线方向平移单位长度得到，若点是直线上一动点，当时，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1)(2)，的最大值为(3)点N的坐标为或 【详解】（1）解：直线分别与坐标轴交于，两点，则点，的坐标分别为、， ，则，即点，设直线的解析式为； 把点C的坐标代入得，∴直线的解析式为； （2）解：设直线交y轴于点E，设点， 由点A、D的坐标得，直线的表达式为，则点， 则，，， 即，解得，即点； 如图2，作点D关于y轴的对称点P，连接并延长交y轴于点N，连接 则，，∴， 当点Q与点N重合时，取得最大值，且最大值为线段的长； 由勾股定理得；的最大值为； （3）解：过点D作，连接，过点D、分别作x轴与y轴的平行线，两线交于点E，过点D、分别作y轴与x轴的平行线，两线交于点F，交y轴于T，如图： 当点N在直线下方的点时， ∵，∴，∵，∴直线与x轴所夹的锐角为， ∵轴，∴，∴是等腰直角三角形，由题意知，∴， 由辅助线作法知，四边形是正方形，其边长为2； 设交于H，交于点M，连接；由题意知，， ∴；把绕点逆时针旋转得到， 易得点K在延长线上，，，， ∴， ∵公共，∴，∴； 在中，由勾股定理得：；由题意 设直线的解析式为，把B、坐标代入得， 解得，即直线的解析式为；则，，； ∵，∴由，有 解得：；∴，∴； 由待定系数法求得直线的解析式为：， 由，得，则，即； 当点N在直线上方的点时，如图，延长到P，使，连接交直线于点； ∵，∴，∴， ∴，则点是满足题意的点； 与前一情况类似，得，∴； ∵，∴，，∴；设直线解析式为， 则有，得，即直线解析式为， 令，解得：，则，∴， 综上，点N的坐标为或． 43．（25-26八年级上·江苏校考期末）【问题背景】如图①，直线：与x轴、y轴分别交于点B，A，过点A的直线与x轴交于点． (1)【夯实基础】求直线的函数表达式； (2)【构建联系】过x轴上一点，作于点E，交y轴于点F，求点F的坐标； (3)【深入探究】将向左平移m个单位长度（，直线，随一起平移）得到图②，与y轴交于点P，在的延长线上取一点Q，使，连接交x轴于点在向左平移的过程中，线段的长是否发生变化？若不变，求出的长；若改变，请说明理由． 【答案】(1)(2)(3)不变， 【详解】（1）解：在中，令，得，点A的坐标为， 设直线的函数表达式为，将，代入， 得，解得，直线的函数表达式为； （2）解：，，， ，，，， 又，， 又，，，， ，，，点F的坐标为； （3）解：的长不发生变化． 在题图①中，由直线：得，，， 又，，如图，过点Q作轴于点， ，，又，， 又，，， ，，， ，，， ，，． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 图形变换综合问题专训 考点01 几何图形与平移综合问题（选填题） 考点02几何图形与轴对称综合问题（选填题） 考点03几何图形与旋转综合问题（选填题） 考点04几何图形与轴对称综合问题（解答题） 考点05几何图形与旋转综合问题（解答题） 考点06几何图形与平移综合问题（解答题） 考点07一次函数与图形变换综合问题（选填题） 考点08一次函数与图形变换综合问题（解答题） 考点01 几何图形与平移综合问题 1．（24-25成都市八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为，是第二象限内一动点，将点向下平移个单位长度得到点，连接，，，则的最小值为 ． 2．（25-26八年级上·山西运城·期中）如图，中，，于点，将沿平移到位置，交于点，交于点．此时为中点，已知，，则 ． 3．（25-26八年级上·浙江丽水·期中）如图，在中，，将沿射线的方向平移，得到，再将绕点逆时针旋转一定角度后，点恰好与点重合，则的周长是 ． 4．（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，在边长为5的等边三角形中，，分别是，边上的动点，，的最小值是 ． 5．（25-26八年级上·河南周口·期中）如图，在一个长方形公园中，，，凉亭P在的中点处，社区计划在公园边缘设计一个宽为的出入口（点E在点F左侧），并将，，改建为跑道以供居民锻炼．为避免跑道影响公园的整体设计，要使四边形的周长最小，则此时的长为 m． 考点02几何图形与轴对称综合问题（选填题） 6．（2025八年级上·江苏苏州·专题练习）如图，中，，，，点是的中点，将沿翻折得到，连接、，则线段的长等于 ． 7．（25-26八年级上·浙江衢州·期中）在Rt中，为斜边的中点．是直角边上的一点，连接，将沿折叠至交于点，若的面积是的面积的一半，则 8．（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，已知在中，，，，点D，E分别在边，上，连接，．将沿翻折，将沿翻折，翻折后，点B，C分别落在点，处，且边与在同一直线上，连接，当是以为腰的等腰三角形时，则 ． 9．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，在中，，于点，为边上一点，将沿直线翻折到所在平面内，点的对应点为，连接交于点，若，则点到的距离为 ． 10．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，，，，C、D是上的点，将沿翻折至，与交于点E，若A和E关于对称，则 ． 考点03几何图形与旋转综合问题（选填题） 11．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，是钝角三角形（），将绕点A顺时针旋转至，连接、，取的中点F，连接并延长交于点G，其中，，，则 （用含m、n的式子表示） 12．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，，点E是高上一个动点，连接．若将线段绕点A逆时针旋转60°得到，连接，则点E在运动的过程中，线段扫过的面积是 ． 13．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，在中，为边上的高，，把绕A点逆时针旋转得到，连接交于点F，若，，则的长为 ．    14．（2025·山西·模拟预测）如图，在等边三角形中，将边绕点顺时针旋转得到线段，连接，．点，点分别为线段，上一点，连接，．如果，当取得最小值时，的面积为 ． 15．（24-25八年级下·四川成都·期末）已知等边三角形边长为6，点为上的一点，连接，将三角形沿翻折得，将绕中点旋转得，连接，若，则点到直线的距离为 ；若点在边上运动，则的最小值为 ． 考点04几何图形与轴对称综合问题（解答题） 16．（25-26八年级上·重庆开州·月考）已知等边，过点作的垂线交延长线于点． (1)如图1，点P为内部一点，满足，为延长线上一点．且，连接、，求证：为等边三角形； (2)如图2，在（1）的条件下，点F是中点连接并延长，交于点G，连接，若，求证：；(3)如图3，的面积为12，点M为线段上一动点，连接、，将沿着直线翻折得到，连接、，当取得最小值时，请直接写出的面积． 17．（25-26八年级上·江苏南京·期中）【问题情境】折纸，常常能为证明提供思路和方法．我们曾用正方形纸片折叠过等边三角形，用直角三角形纸片能折出等边三角形吗？ 【复习回顾】课本第57页，第22题： (1)如图1中的（1），把正方形纸片对折后再展开．折痕为；如（2）．将点A翻折到上的点处，且使折痕过点B；如（3），沿折叠，得[如图1（4）]． 阅读上述材料，是等边三角形的判定依据是 ； (2)【小慧的思考】小慧做完了这题后进行了思考：尝试用直角三角形折出等边三角形，她先从特殊的直角三角形进行研究（见图2）：如图2中的①是一张直角三角形纸片（，）．如②，将此三角形纸片折叠，使得点B与点A重合，再展开，折痕为，连接；如③，将点C翻折到上的点处，连接，得到．请你帮小慧证明是等边三角形． (3)【你的思考】请你以此图3的直角三角形纸片（，），再设计一个不同于上述的折纸方法（要求：折纸次数不得超过四次，并且画出示意图），使得折出的等边三角形与此直角三角形有一个顶点重合，并说明你折法的正确性． (4)【再思考】一般的直角三角形纸片可以折出等边三角形吗？如果能，请说明你的折纸思路：若不能，请说明理由． 18．（25-26八年级上·江苏南通·期中）如图，等边中，、分别在边、上，且，连，点、关于对称，、交于点．(1)求证：；(2)若，求（用表示）；(3)若，，求的长（用，表示）． 19．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法．例如，在中，（如图1），怎样证明呢？ 把沿的平分线翻折，因为，所以点落在上的点处（如图2）．于是，由，，可得． 【感知】（1）如图2，将沿的平分线翻折，使得点C落在上的点处，则： ①在中，若，，则______°； ②在中，若，求证：； 【探究】（2）若将图2中是角平分线的条件改成是高线，其他条件不变（图3），即在中，，，请探索线段之间的等量关系，并说明理由． 【拓展】（3）如图4，在中，，，点P是边上的一个动点（不与B、C重合），将沿翻折，点C的对应点是点．若以B、C、为顶点的三角形是直角三角形，直接写出的长度______． 20．（25-26八年级上·广东广州·期中）【读一读】数形结合是初中阶段的一种重要数学思想方法，其应用可分为两种情形：第一种情形是“以数解形”，借助于数的精确性来阐明形的某些属性；第二种情形是“以形助数”，借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系．著名的数学家华罗庚曾强调：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”可见通过结合抽象的数学语言和直观的几何图形，可以简化复杂问题，使抽象问题具体化，从而找到更优的解题路径． 【做一做】如图，中，点、在轴上，点在轴上，且，，． (1)尺规作图：分别作出点关于轴的对称点，点关于轴的对称点（保留作图痕迹，不写作法），连接、，并直接写出点的坐标； (2)在（）的条件下，作点关于直线（直线可左右平移，直线上各点的横坐标都为）的对称点，若的面积为，求的值； (3)点、分别为、上的动点，求的最小值． 考点05几何图形与旋转综合问题（解答题） 21．（25-26八年级上·广东深圳·月考）（1）如图1，将绕顶点B按顺时针方向旋转，得到，连接、、，，求证：； （2）如图2，在四边形中，为等边三角形，，，，则___． 22．（25-26八年级上·四川成都·期中）（1）如图1，在，，，，求边上高的长；（2）如图2，在中，，，，线段与线段交于点（点不在上），连接．①在（1）的条件下，若，求的长； ②将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，若为等腰三角形，求的度数． 23．（25-26八年级上·江苏连云港·月考）如图，在平面直角坐标系内，等边的顶点，，于点H，点D为线段上一点，把点D绕点C逆时针旋转至点E． (1)点D从A到H运动的过程中，求点E运动的路线长度；(2)若点E的坐标为，求y关于x的函数表达式；(3)点D运动过程中，的最小值为 ． 24．（25-26九年级上·西安·期中）问题提出（1）如图①，在内有一点，连接、、，把绕点顺时针旋转得到，连接，当点，，，在同一直线上时，此时 ； 问题拓展（2）如图②，在中，，，点是内一点，连接、、，若，，，求的长； 问题应用（3）如图③，是，，三座城市位置的平面示意图，若，，，要在内规划建设一个物流基地，连接，，，求物流基地到三座城市，，的距离和的最小值． 25．（25-26八年级上·江西吉安·月考）【模型建立】从反思中总结基本活动经验是一个重要的学习方法，如图，等腰直角三角形中，，，经过点，过点作于点，过点作于点，则，我们称这种全等模型为“型全等”．模型方法可以使得我们在观察新问题的时候很迅速地联想，从而借助已有经验，迅速解决问题． 【模型应用】（1）如图，一次函数的图像与轴、轴分别交于点、点．将线段绕点顺时针旋转得到线段，直接写出点的坐标（______，______）． （2）如图，一次函数的图像与坐标轴分别交于点、． 过点在轴右侧作，且，连接，求的面积； 当的取值变化时，点随之在轴上运动．将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则长的最小值为______； 【模型拓展】（3）如图，一次函数与轴、轴分别交于点、．以点为直角顶点，在两侧分别作等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接，交轴于点，求的长． 考点06几何图形与平移综合问题（解答题） 26．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）定义：在平面直角坐标系中，对于点，若点N坐标为，我们称点N是点M的等距平移点，其中a为等距平移常量．例如：当时，点的等距平移点N为．(1)①当等距平移常量时，点M坐标为，则它的等距平移点N的坐标为______；②若点M坐标为，它的等距平移点N在坐标轴上，则等距平移常量a=______． (2)点的等距平移点是，其中a为等距平移常量，若，且其中一个点到x轴的距离等于另一个点到x轴的距离的2倍，求a的值． 27．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）【阅读材料】定义：在平面直角坐标系中，对于任意一点，如果把点P平移，得到点，那么就把Q叫做点P的“t型平移”点． 例如：当时，点的“型平移”点的坐标就是． 【问题解决】(1)点的“3型平移”点的坐标为______． 若点的“t型平移”点的坐标是，则______，______． (2)已知线段的两个端点分别是，． ①端点A，B的“－1型平移”点分别是，，请在图中画出线段及线段． ②若线段上的每个点作“t型平移”后，得到的线段与坐标轴有公共点，求t的取值范围． 28．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）在平面直角坐标系中，如图①，第二象限内有一点，过点B作线段垂直于x轴，垂足为A，实数a、b满足．，将线段向右平移使点A和点D重合得到线段，连接与y轴相交于点M，动点P从A点出发，沿折线运动，运动到点C停止运动，速度为每秒2个单位长度，设运动时间为t秒． (1)求点C的坐标；(2)如图②，y轴上有一点，在点P沿折线运动过程中是否存在t值，使三角形的面积为2？若存在，求出t的值，并求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 29．（25-26八年级上·江苏·课后作业）在平面直角坐标系中，如图①，将线段平移至线段，连结． (1)直接写出图中相等的线段、平行的线段； (2)已知，点在轴的正半轴上．点在第一象限内，且，求点的坐标； (3)如图②，在平面直角坐标系中，已知一定点，两个动点，请你探索是否存在以两个动点为端点的线段平行于线段且等于线段．若存在，求由点为顶点的四边形的面积，若不存在，请说明理由． 30．（22-23七年级下·吉林·月考）综合与实践 问题背景：如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为；点的坐标为，点的坐标为，将线段沿射线方向平移，平移距离为线段的长度． 动手操作（1）画出线段平移后的线段，直接写出的对应点的坐标； 探究证明（2）连接，试探究、的数量关系，并说明理由； 拓展延伸（3）若点在线段上，连接、，且满足，请求出与的数量关系，并说明理由． 考点07一次函数与图形变换综合问题（选填题） 31．（25-26八年级上·广东深圳·月考）如图，直线与x轴交于点A，以为斜边在x轴上方作等腰直角．（1）点A的坐标是 ，点B的坐标是 ； （2）将沿x轴向右平移，当点B落在直线上时，则平移的距离是 ． 32．（24-25八年级下·北京海淀·期末）如图，中，，把放在平面直角坐标系中，且点，的坐标分别为，，将沿轴向左平移，当点落在直线上时，线段扫过的区域面积为（    ） A．66 B．108 C．132 D．16 33．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）已知，，与交于点A，垂直于轴的直线交轴于点．若点为直线上一点，将沿折叠，使得点落在直线上，则点的纵坐标为 ． 34．（24-25九年级下·江苏南通·月考）如图，一次函数的图像与轴、轴交于点、，把直线绕点顺时针旋转交轴于点，则点坐标为 ． 35．（24-25八年级下·重庆渝北·开学考试）如图，一次函数过点和点，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接，点D在线段上，点E在线段上，且，当最小值为时，则k的值为 ． 36．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，C在y轴的正半轴上，D在直线AB上，且，．若点P为线段AB上的一个动点，横坐标为m，且P关于x轴的对称点Q总在内（不包括边界）． （1）点C的坐标为 ．（2）点P的横坐标m的取值范围为 ． 考点08一次函数与图形变换综合问题（解答题） 37．（2025·北京·一模）在平面直角坐标系xOy中，直线与坐标轴分别交于，两点．将直线在x轴上方的部分沿x轴翻折，其余的部分保持不变，得到一个新的图形，这个图形与直线分别交于点C，D．(1)求k，b的值；(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记线段AC，CD，DA围成的区域（不含边界）为W．①当m=1时，区域W内有______个整点；②若区域W内恰有3个整点，直接写出m的取值范围． 38．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）在平面直角坐标系中，，将点向上平移3个单位得到点，过点作，如图1．(1)求直线的表达式；(2)如图2，分别作和的角平分线，相交于点，①求证：；②求的度数． 39.（25-26九年级上·重庆万州·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于点、点，直线与直线交于点，与轴交于点，且． (1)求直线的解析式；(2)如图2，若点是线段上的一动点，连接、，点、分别是轴和轴上的两个动点，连接、、，当，求点的坐标及周长的最小值； (3)如图3，将直线向右平移个单位长度得到直线，直线与轴交于点，连接，在轴是否存在动点，使得，若不存在，请说明理由；若存在，请求出点的坐标（写出其中一种情况的求解过程） 40．（25-26八年级上·四川成都·阶段练习）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点，已知．(1)求点A的坐标；(2)已知点，在y轴上是否存在点P，使得是等腰三角形?若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；(3)在x轴上有一动点M，连接，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接，求的最小值的平方． 41．（24-25八年级下·江西新余·期末）【模型构建】如图，将含有的三角板的直角顶点放在直线上，过两个锐角顶点分别向直线作垂线这样就得到了两个全等的直角三角形，由于三个直角的顶点都在同一条直线上，因此我们将其称为“一线三直角”，这模型在数学解题中被广泛使用． 【模型应用】（1）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点， ①则点坐标为______；点坐标为______；②，是正比例函数图象上的两个动点，连接，，若，，则的最小值是______； （2）如图2，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点．将直线绕点逆时针旋转得到直线，求直线对应的函数表达式； 【模型拓展】（3）如图3，直线的图象与轴，轴分别交于、两点，直线与轴交于点．点、分别是直线和直线上的动点，点的坐标为，当是以为斜边的等腰直角三角形时，直接写出点的坐标． 42．（24-25八年级下·重庆·开学考试）如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与坐标轴交于，两点，点为轴正半轴上一点，且满足． (1)求直线的解析式；(2)如图2，过点的直线交线段于点，且满足，点为轴上一动点，求出点的坐标及的最大值；(3)在（2）的条件下，将点沿射线方向平移单位长度得到，若点是直线上一动点，当时，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 43．（25-26八年级上·江苏校考期末）【问题背景】如图①，直线：与x轴、y轴分别交于点B，A，过点A的直线与x轴交于点． (1)【夯实基础】求直线的函数表达式； (2)【构建联系】过x轴上一点，作于点E，交y轴于点F，求点F的坐标； (3)【深入探究】将向左平移m个单位长度（，直线，随一起平移）得到图②，与y轴交于点P，在的延长线上取一点Q，使，连接交x轴于点在向左平移的过程中，线段的长是否发生变化？若不变，求出的长；若改变，请说明理由． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $