专题06 新定义与跨学科专训（高效培优期末专项训练）八年级数学上学期苏科版2024

专题06 新定义与跨学科专训（1-5章）（共40题） 1．（25-26八年级上·江苏南京·月考）我们知道是函数的一种表达方式．形如（为常数）的一次函数，我们可把它记为．如：，当时，．已知函数满足，则下列说法正确的是（　　） A． B． C．的图象关于轴对称 D．的图象经过原点 【答案】D 【详解】解：设 ， ∵ ，∴ ， 化简得 ， ∴ ，∴ ，∴ ， ∴ ，∴ ，故选项A和B错误； ， 当 时，，图象经过原点，故D正确； 的图象关于原点对称，不关于y轴对称，故C错误．故选：D． 2．（25-26八年级上·安徽蚌埠·月考）法国数学家笛卡尔创立了平面直角坐标系，被誉为“解析几何之父”．在平面直角坐标系中，我们定义点的“笛卡尔变换”为：．已知点的坐标为，则经过2025次笛卡尔变换后得到的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，∴经过一次变换为：， 经过二次变换为：，经过三次变换为：， 经过四次变换为：，∴变换周期为4， ∵，∴．故选D． 3．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数的“关联点”．例如求的“关联点”：联立方程，解得，则的“关联点”为． ①一次函数的“关联点”为； ②若一次函数的“关联点”为，则，； ③若一次函数和一次函数的“关联点”相同，则； ④若一次函数的图像与轴交于点，与轴交于点，且一次函数上没有“关联点”，若点为轴上一个动点，使得，则点的坐标为．以上说法正确是（   ） A．①② B．①③ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【详解】解：①联立，解得：，一次函数的“关联点”为，故①正确； ②∵一次函数的“关联点”为，∴点在直线上，，， 一次函数的“关联点”为，，解得：，故②错误； ③∵一次函数的“关联点”为， ∴把代入得：，解得：，故③正确； ④直线上没有“关联点”，直线与直线平行， ，，当时，， 当时，，解得，，，， ∴，∵，∴，设， ，，， 解得：或，或，故④错误； 综上分析可知：正确的是①③．故选：B． 4．（24-25八年级上·北京·期中）在平面直角坐标系中，若将横、纵坐标之和为k的点记作“k和点”，有以下四个结论：①第四象限内有无数个“1和点”；②第一、三象限的角平分线上的“2和点”有两个；③y轴上没有“3和点”；④若第三象限内没有“k和点”，则．其中正确的是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】D 【详解】解：①“1和点”满足横、纵坐标之和为1，第四象限内的点横坐标，纵坐标， 只要，即可满足，有无数个这样的点， 所以第四象限内有无数个“1和点”，①正确； ②“2和点”满足，第一、三象限的角平分线上的点横、纵坐标相等，即， 将代入，解得：，，只有这一个点，所以②错误； ③y轴上的点横坐标，“3和点”满足， 当时，，所以y轴上有“3和点”，所以③错误； ④第三象限内的点横、纵坐标都为负数，即，，所以， 所以第三象限内没有“k和点”，则故④正确．故选：D 5．（24-25八年级下·安徽亳州·期末）定义：如图，点M，N把线段分割成三条线段，和，若以，，为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段的勾股分割点．若，则的长为 ． 【答案】或5 【详解】解：分两种情况：①当为最大线段时， 点 、是线段的勾股分割点，； ②当为最大线段时， 点、是线段的勾股分割点，． 综上所述：的长为或5．故答案为：或5． 6．（25-26八年级上·重庆·开学考试）如果三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．在三角形纸片中，，，将纸片沿着折叠，使得点落在边上的点处．设，则能使和同时成为“准直角三角形”的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵，∴， ∵将纸片沿着折叠，使得点落在边上的点处，∴， 当为“准直角三角形”时，或， ∴或，∴或， ①当时，即，∴， ∴，∴， 此时，∴不是“准直角三角形”； ②当时，即，∴， ∴，∴， 此时，∴是“准直角三角形”； 综上所述，能使和同时成为“准直角三角形”的值为，故答案为：． 7．（25-26八年级上·河南三门峡·期中）如图 1，与满足，，，我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”．如图2，在中，，点 D、E 在线段上，且，则图中“伪全等三角形”的对数为 ． 【答案】4/4对 【详解】解：∵，∴， 在和中，，∴，∴，， ∵，， ∴和是“伪全等三角形”； ∵，，∴和是“伪全等三角形”； ∵，，∴和是“伪全等三角形”； ∵，，∴和是“伪全等三角形”．故答案为：4 8．（25-26八年级上·上海徐汇·月考）我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做“可爱三角形”．若是“可爱三角形”，，，则 ． 【答案】或 【详解】解：在中，，，设，，则根据勾股定理，有，即，由“可爱三角形”的定义，需考虑三种情况：  ①若，但，前后矛盾，故不成立 ； ②若，即，则代入， 得，整理得，解得（负根舍去），则， ∴（负根舍去），即； ③若，即，则代入， 得，整理得，解得，则， ∴（负根舍去），；综上所述：或；故答案为：或． 9．（25-26八年级上·四川成都·期中）定义：若三个正整数，，满足，，且，则称为“邻近”勾股数组．例如：，都是“邻近”勾股数组，将从小到大排列，分别记为，，，，（为正整数），若时，的值为 ；若时，的值为 ． 【答案】 7 41 【详解】解：三个正整数，，满足，，且，则称为“邻近”勾股数组， ， ∵b是正整数，为奇数，∵“邻近”勾股数组中，a是连续的奇数， ∴当时，（对应数组）； 当时，（对应数组）； 当时，下一个奇数为7，验证：，， 满足且，∴， 由规律可知，是第n个符合条件的奇数，∴， ∴当时，．故答案为：7；41． 10．（2025·湖北十堰·模拟预测）如图1，对于平面内的点、，如果将线段绕点逆时针旋转得到线段，就称点是点关于点的“放垂点”，如图2，已知点，点是轴上一点，点是点关于点的“放垂点”，连接、，则的最小值是 ，此时点的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：如图，设，过点作轴， ，，， ，，， ，，，，，点在上， 当垂直直线时，取得最小值， 设直线与轴和轴的交点分别为， 令，得，令，得，∴， ∴是等腰直角三角形，∴， ∵，∴，即的最小值是， 此时，点的坐标为，∴点的坐标为， ∵，∴，∴点的坐标为，故答案为：，． 11．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）在平面直角坐标系中，对于任意两点，，若点满足，，则称点是点，的“和谐点”．如图，点，点是直线：上任意一点，若点是点，的“和谐点”，直线交轴于点，当为直角时，则点到直线的距离为 ． 【答案】 【详解】解：设点的坐标为， 点，点是点，的“和谐点”，点的坐标为， ∵，点的横坐标和点的横坐标相同．∴．解得：． 点的坐标为，点的坐标为．设直线的解析式为． ∴．解得：．直线的解析式为． 当时，．点的坐标为．∴．作于点． 由题意得：与轴的交点为．∴，． ∵．∴．故答案为：． 12．（24-25八年级上·广东深圳·期末）对于平面直角坐标系中的点，若x，y满足，则点就称为“好点”．例如：，因为，所以是“好点”．已知一次函数（m为常数）图象上有一个“好点”的坐标是，则一次函数（m为常数）图象上另一“好点”的坐标是 ． 【答案】 【详解】解：将点坐标代入得，；∴，∴， 又∵，∴或， ①当时，联立和得，解得， 将代入得，∴为其本身； ②当时，联立和得，解得 将代入得，∴另一个“好点”的坐标为， 综上所述，一次函数（m为常数）图象上另一“好点”的坐标是．故答案为：． 13．（25-26八年级上·江苏·期中）新定义：关于x的一次函数与叫做一对交换函数．例如：一次函数与就是一对交换函数．若一次函数过点，则一次函数与它的交换函数和y轴围成的三角形的面积为 ． 【答案】4 【详解】解：∵一次函数过点，代入得，解得． ∴原函数为，其交换函数为． ，令时，，∴点．，令时，，∴点． 联立方程，解得∴点，∴． ∵点A和点B在y轴上，线段的长度为．因此，三角形面积为．故答案为：4． 14．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，已知a，b，c分别是的三条边长，，我们把关于x的形如的一次函数称为“勾股一次函数”，若点在“勾股一次函数”的图像上，且的面积是，则c的值是 ． 【答案】 【详解】解：∵点在“勾股一次函数”的图象上，，即， ∵分别是的三条边长，，的面积为，∴，，∴， ，∴，解得：（负值舍去）．故答案为：． 15．（24-25八年级下·四川成都·期中）定义：在平面直角坐标系中，对于任意一次函数的图象，作该图象在直线的右侧部分关于直线的轴对称图形，与原图象在直线的右侧部分及与直线的交点共同构成一个新函数的图象，则这个新函数叫做原函数关于直线的“型函数”．例如：图就是一次函数关于直线的“型函数”图象．若函数关于直线的“型函数”图象与轴只有一个交点，则 ．如图，点，以为斜边在轴上方作等腰，当函数关于直线的“型函数”图象与的边只有两个交点时，则的取值范围为 ． 【答案】 或 【详解】解：令，则，， 函数关于直线的“型函数”图象与轴只有一个交点，； 等腰中，点，，点， 直线的解析式为，解方程，，函数与轴的交点为， 当时，函数关于直线的“型函数”图象与的边只有两个交点， 直线与的边已经有两个交点， 函数关于直线的“型函数”图象与的边不能再有交点，即在点的左侧， 与点关于对称， 时，函数关于直线的“型函数”图象经过点， 函数关于直线的“型函数”图象与的边只有两个交点时，的取值范围为或． 故答案为：①；②或． 16．（24-25八年级下·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，点Q的坐标为，定义其“镜像点”的坐标如下：当时，；当时，．已知，线段，其上的点的“镜像点”坐标为 ．线段上所有点的“镜像点”形成新图象为，若直线与有且仅有一个交点，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 或 【详解】解：∵，，∴； 作直线，直线，直线，如图： 根据对称的坐标变化可得，图中粗线部分即为新图象， ∵，设点Q在线段上，∴当时，， ∴当时，点的对称点为，当时，点的对称点为， 当时，，当时，，∴分界点为，最高点为， ∴图象右侧端点为，左侧端点为：，与y轴交点分别为：和， ∴当直线经过时，有且只有一个交点，当直线，在右端点和之间时，有且只有一个交点，∴，，∴或， ∴m的取值范围为：或．故答案为：，或． 17．（24-25八年级下·四川成都·期末）我们把对角线互相垂直且相等的四边形称为“和谐四边形”．如图，在平面直角坐标系中，已知，两点，是线段上一点，且，点是直线上的动点，若在内部（不包含边界）始终有一点，使得四边形为“和谐四边形”，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：∵四边形为“和谐四边形”，∴，， 如图，当在上时，过作轴于点，过作交延长线于点，设与交于点，与轴交于点，∴， ∴，，∴， ∵，∴，∴， ∵，，∴，∴，，， ∴，∴，∵，∴， ∴，∴，，∴此时点横坐标为， 如图，当在上时，过作轴于点，过作交延长线于点，过作于点，与轴交于点，由上可得：，，，， 同理可证：，∴， ∵，∴，∴，∴， ∴，∴，∴，设解析式为， ，解得：，∴解析式为， 联立，解得：，∴此时点横坐标为， ∴的取值范围是，故答案为：． 18．（25-26八年级上·江苏南京·期末）定义：在平面直角坐标系中，为坐标原点，任意两点、，称的值为、两点的“直角距离”．若，，则，的“直角距离”为 ；若，为直线上任意一点，则，的“直角距离”的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：对于和，直角距离为； 对于，Q为直线上任意一点，设，则直角距离为． 表示数轴上点x到点和点11的距离之和，当点x在点和点11之间（含端点）时，该和最小，最小值为．故答案为：11，14． 19．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成长方形的周长的值恰好等于其面积的值的2倍，则这个点叫做“趣点”．例如：图中过点P分别作x轴、y轴的垂线，与坐标轴围成长方形的周长的值等于其面积的值的2倍，则点P是“趣点”． (1)若“趣点”M的横坐标为2，则点M的纵坐标为 ； (2)若“趣点”在直线上，则b的值为 ． 【答案】(1)2或(2)或 【详解】（1）解：设点，则点与轴和轴的垂线与坐标轴围成的长方形的周长为，面积为，由题意得，，，， 或，即点M的纵坐标为2或．故答案为：2或． （2）解：同理可得，，，，，或， “趣点”N的坐标为或． 当“趣点”N为时，代入直线，得，解得； 当“趣点”N为时，代入直线，得，解得．故答案为：或． 20．（25-26八年级上·安徽亳州·阶段练习）定义：在平面直角坐标系中，点的坐标为，则为点到坐标原点的“折线距离”．若点在直线上，且点到坐标原点的“折线距离”，则点的坐标为 ． 【答案】或 【详解】解：设点的坐标为， ∵，∴，即，解得：， ∴，∴点的坐标为或．故答案为：或． 21．（25-26八年级上·四川成都·期中）将矩形，其中、、、沿直线折叠，得到矩形，设矩形内的点折叠后的对应点为．定义：若落在原矩形内部（不包含边界），且到y轴的距离比到x轴的距离大1，则称P为“重叠关联点”． （1）原矩形内点折叠后的对应点坐标为 ；（2）“重叠关联点”P的横坐标m的取值范围是 ． 【答案】 / 【详解】解：（1）点沿直线折叠后的对应点坐标为，故答案为：①； （2）设点，沿直线折叠后的对应点坐标为， ∵在原矩形内部（不含边界），∴，； ∵在原矩形内部（不含边界），∴，； ∵到y轴的距离比到x轴的距离大1，∴，即， 将代入上述不等式：由得，即； 由和得，综合得，故答案为：②． 22．（2025九年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形． (1)如图1，在中，，垂直平分交于点，垂足为，且，，为上一点，求证：四边形是邻余四边形； (2)如图2，在邻余四边形中，（和均为钝角），为的中点，，，时，求的长． 【答案】(1)见详解(2) 【详解】（1）证明：连接，如图所示： ∵垂直平分交于点，∴， ∵，，∴， ∵，∴，∴是直角三角形， ∴，∴，∴四边形是邻余四边形； （2）解：延长至点，使得，连接 ∵为的中点，∴， ∵，，∴，∴， ， ∵四边形是邻余四边形，且和均为钝角， ∴，∴，∴， ∵，，∴， ∵，∴， ∵，，∴，∴． 23．（25-26八年级上·浙江嘉兴·期中）如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“奇妙三角形” (1)如图1，在中， ，，求证：是“奇妙三角形”； (2)如图2，在中， ，若是“奇妙三角形”，求的长． 【答案】(1)见解析(2)3或4 【详解】（1）解：如图，过点A作， ∵， ∴D为BC中点，即，∴， ∵，∴为“奇妙三角形”． （2）解： ①若中线为的中线，如图a，可得，不满足“奇妙三角形”的条件； ②若中线为的中线，如图，可得，且，则； ③若中线为的中线，如图，可得，设，则， 由可得，即，解得，∴的长为4． 综上，的长为3或4． 24．（25-26八年级上·河南信阳·月考）在学习等腰三角形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究．定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． (1)操作理解：小明用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有____________；（填序号） (2)性质探究：根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质．如图，四边形是邻等对补四边形，，是它的一条对角线． 求证：平分； 若，，，，则四边形的面积为____________； (3)拓展应用：如图，在中，，，分别在边、上取点，使四边形是邻等对补四边形，当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，则的度数为____________．（直接写出答案即可） 【答案】(1)；(2)见解析；；(3)或． 【详解】（1）解：和中对角不互补；符合邻等对补四边形的定义，故答案为：； （2）证明：过作于点，作，交于点，如图，∴， ∵四边形是邻等对补四边形，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴， ∴点在角平分线上，∴平分； 由得，，∴， ∵，平分，∴，∴， ∴四边形的面积为， 故答案为：； （3）解：在中，，，∴， ∵四边形是邻等对补四边形，∴当时，如图， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴； 当时，如图，∵，，∴， ∵，∴，∴，， ∴；（不满足四边形仅有一组邻边相等，舍去） 当时，如图，同理；（不满足四边形仅有一组邻边相等，舍去） 当时，如图， ∵，，∴，∴， 综上所述：的大小为或 或．故答案为：或． 25．（25-26八年级上·内蒙古乌兰察布·期中）【学科融合】如图①，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角等于入射角．这就是光的反射定律． 【问题解决】如图②，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜，手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点F到地面的高度，点A、点C到平面镜B点的距离相等，图中点A、B、C、D在同一条直线上．求手电筒到地面的高度． 【答案】 【详解】解：由题意得：，    ，     在和中，，    ． 26．（25-26八年级上·江苏泰州·月考）根据以下素材，回答问题： 素材1：在魏晋时期，数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法．所谓割圆术，即通过圆内接正多边形细割圆，并使正多边形的周长与面积无限接近圆的周长与面积，进而求得较为精确的圆周率．刘徽形容“割圆术”：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣．” 素材2：“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和即有，其中a，b，c，d为正整数，则是x的更为精确的近似值．例如：已知，则利用一次“调日法”后可得到的一个更为精确的近似分数为；由于，可得，之后可以再次使用“调日法”得到的更为精确的近似分数． (1)任务1：①如图①，已知圆的内接正六边形可分为六个全等的等边三角形，每个三角形的边长均为圆的半径若将圆内接正六边形的周长等同于圆的周长，则可得的估计值为 ． ②如图②，已知圆的内接正十二边形可分为十二个全等的等腰三角形，且等腰三角形的顶角为若将圆内接正十二边形的面积等同于圆的面积，则可得的估计值为 ． (2)任务2：约公元前240年，阿基米德算得，已知，请在此基础上使用两次“调日法”得到的更为精确的近似分数． 【答案】(1)3；3(2)3.1412 【详解】（1）解：①根据题意可知，解得；故答案为：3； ②如图，过点O作，交于点C， ∵，∴，∴. ∵正十二边形的面积等同于圆的面积，∴，解得.故答案为：3； （2）解：∵，即， 利用一次“调日法”可得的精确的近似分数为；由于，得， 再利用一次“调日法”可得的精确的近似分数为. 27．（25-26七年级上·上海·月考）中国古代数学家很早就会利用数形结合思想来解决生活中的一些问题． 杨辉是我国南宋时期的数学家，一次他画了一张“弦图”，解决了如下问题：一块长方形田地的面积是864平方步，已知它的宽比长少12步，问长与宽是多少？（注：“步”是长度单位，“平方步”是面积单位.1步尺） 解：设宽为步，则长为步，得方程 ． 如图，杨辉将题目中所说长方形的田地安排成“弦图”中四个相同的长方形，并组成了一个大正方形，由题目条件可知小正方形面积是 平方步，大正方形面积是 平方步，于是矩形的长与宽的和是 步，得到宽（即的一个正数解）为 步．（在对应序号处填空，写在答题纸上） 请你仿造杨辉的“画图”方法，解方程（求出一个正数解即可）．（注意：画出示意图，所画图上要有必要数据标记） 【答案】；144；3600；60；24；图见解析； 【详解】解：设宽为步，则长为步，得方程． 如图，杨辉将题目中所说长方形的田地安排成“弦图”中四个相同的长方形，并组成了一个大正方形， 由题目条件得：小正方形的边长为：，面积为平方步， 大正方形的面积是平方步， 于是矩形的长与宽的和是步，解得：步，∴宽为24步． 故答案为：；144；3600；60；24； ∵，∴，∴，如图所示： ∴，矩形的面积为616，∴， ∴，解得：． 28．（25-26八年级上·甘肃兰州·期中）对于平面直角坐标系中的任意两点，，我们把叫做，两点间的直角距离，记作． (1)已知，求．(2)已知点O为坐标原点，动点满足，请写出y与x之间的关系式．(3)设点是一定点，点是直线上的动点，我们把的最小值叫做点到直线的直角距离．试求点到直线的直角距离． 【答案】(1)7(2)(3)6 【详解】（1）解：∵，； （2）解：∵，，，∴，； （3）解：∵点在直线上，∴， ∵，， 又可取一切实数，表示数轴上实数所对应的点到数1和所对应的点的距离之和，其最小值为6，到直线的直角距离为6． 29．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）若一个点的横、纵坐标都是关于某个相同变量的一次式，则这个点必定在一条固定的直线上．如：点，易知点在直线上；又如：，令，，消去得，故点在直线上． (1)点所在直线的解析式为 ；点所在直线的解析式为 ； (2)已知点，，三点． 判断和两点所在直线的位置关系，证明你的结论；当时，直接写出的最小值； (3)一次函数与（，是常数且）交于点，对于的某个确定的值，当变化时，点到直线的距离是一个定值，求的值． 【答案】(1)，；(2)互相垂直，证明见解析；；(3)． 【详解】（1）解：令，，∴； 令，，∴，∴故答案为：，； （2）解：令，，∴， ∴点在直线上，令，，∴点在直线上， 设直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点， 与轴交于点，两直线交于点， ∵，，∴，∴， ∴，∴，∴和两点所在直线互相垂直； 当时，，作点关于直线的对称点，如图， ∴，当三点共线时，的值最小， ∵和两点所在直线互相垂直，∴关于直线的对称点所在的直线与平行， ∴所在的直线为，设，∵，∴， ∵，∴，解得（舍去）或， ∴，∴，∴的最小值为； （3）解：当时，解得，∴，∴点所在的直线为， ∵点到直线的距离是一个定值， ∴直线与直线平行，∴，解得． 30．（25-26八年级上·江苏·期末）如图1，长度为9千米的国道两侧有M，N两个城镇，连接点为C和D，其中A、C之间的距离为3千米，C、D之间的距离为2千米，M、C之间的乡镇公路长度为千米，N、D之间的乡镇公路长度为千米．为了发展乡镇经济，现需要在国道（包含端点A，B）上修建一个物流基地T．设A、T之间的距离为x千米，物流基地T沿公路到M、N两个城镇的距离之和为y千米． (1)请直接写出y与x的函数表达式并注明自变量x的取值范围；(2)在给定的平面直角坐标系中，画出y与x的函数图象；(3)结合画出的函数图象，解决问题：①若要使物流基地T沿公路到M、N两个城镇的距离之和最小，则物流基地T应该修建在何处？（直接写出所有满足条件的位置）②如图3，若有三个城镇M、N、P分别位于国道两侧，从城镇到公路分别有乡镇公路连接，使得T沿公路到M、N、P的距离之和最小．则物流基地T应该修建在何处？（直接写出所有满足条件的位置） 【答案】(1)(2)见解析 (3)①物流基地T应该修建在C、D之间（含C、D两点）；②物流基地T应该修建在点D处． 【详解】（1）解：由题意得：千米，千米，千米，千米，千米，千米，M、N两个城镇的距离之和为y千米． 如图，当物流基地T位于段（不包括C），即时， ∵， ∴， 如图，当物流基地T位于段（包括C，D），即时， ∴； 如图，当物流基地T位于段（不包括D），即时， ， ∴； 综上所述，； （2）解：列表： x/千米   0   3   5   9 y/千米   16   10   10   18 函数的图象如下： （3）解：①由图象可知，若物流基地修建在区间之外，则距离会大于10， 故若要使物流基地T沿公路到M、N两个城镇的距离之和最小，物流基地T应该修建在C、D之间（含C、D两点）； ②类比①可知，若要使物流基地T沿公路到M、P两个城镇的距离之和最小，物流基地T应该修建在C、E之间（含C、E两点），在C、E之间（含C、E两点）段，物流基地T位于D处时，物流基地T到城镇N的距离最小，故物流基地T应该修建在点D处． 31．（25-26八年级上·江西九江·月考）定义：我们把一次函数的图象与正比例函数的图象的交点称为一次函数图象的“星光点”．例如，求一次函数图象的“星光点”时，联立方程，解得，则一次函数图象的“星光点”为． (1)一次函数图象的“星光点”为_____； (2)关于x的一次函数图象的“星光点”为，求的立方根； (3)在平面直角坐标系中，若一次函数的图象分别与轴，轴交于点，，且一次函数的图象上没有“星光点”，点在轴上，且，连接，直接写出直线的“星光点”． 【答案】(1)(2)(3)或 【详解】（1）根据“星光点”的定义得解得故答案为． （2）一次函数图象的“星光点”为根据“星光点”的定义得 解得则 ∴的立方根为 （3）解：如图， ∵若一次函数没有“星光点”即与没有交点， 联立，得，整理得由于无解，∴ 一次函数的图象分别与轴，轴交于点， 令，，则点令，，则点 ∴∴ 设点，∵∴∴或∴点， ①当点，设，将点，代入得 ；解得则，联立；解得 ∴的“星光点”是． ②当点，设，将点，代入得 ；解得则联立；解得 ∴的“星光点”是． 综上，直线的“星光点”为或． 32．（25-26八年级上·北京海淀·期中）在平面直角坐标系中，已知点，直线和图形，给出如下定义：若图形内部或边上存在一点，使和关于直线轴对称，则称点为图形关于直线的“反射内含点”．已知的三个顶点的坐标分别是，，．设点，直线为过点且与轴垂直的直线． (1)若，在点，，中，点_____是关于直线的“反射内含点”； (2)当时，若轴上存在关于直线的“反射内含点”，则的最大值为_____； (3)已知直线过点且与第二、四象限角平分线平行． ①若直线上存在关于直线的“反射内含点”，直接写出的取值范围为_____； ②已知点为边长为1的正方形的对角线交点，且正方形的边与坐标轴平行．若正方形边上的所有点都是关于直线的“反射内含点”，直接写出的取值范围为_____． 【答案】(1)、(2)(3)①；②． 【详解】（1）解：将各个点标示在平面直角坐标系中，，，， ∵，，关于直线的对称点为，，， ∴点和点是关于直线的“反射内含点”．故答案为：、． （2）解∶由题意可知：直线为， 设y轴上点坐标为，则其关于直线的对称点为， ∴的三个顶点的坐标分别是，，，∴， ∵轴上存在关于直线的“反射内含点”，∴，∴，∴t的最大值为． （3）解：①由题意可知直线的解析式为， 则直线上的点关于的对称点为，∴点在直线上， ∴与直线有交点，且交点的临界值为和． ∴当过点时，有，解得：，即t的最大值为5； 当过点B时，有，解得：，即t的最大值为； ∴直线上存在关于直线的“反射内含点”，的取值范围为． ②正方形的对角线交点为，边长为1，则四个顶点坐标分别为，由①可知：直线的解析式为， 设正方形上一点，过点P作轴交直线于点A，则点，连接，结合直线和对称性即可知， 那么，点关于直线的对称点． ∴正方形四个顶点及对角线交点关于直线的对称点的坐标分别为，，，， ∵正方形边上的所有点都是关于直线的“反射内含点”，且直线的解析式为， ∴，，，， ∴，，，，综上，t的取值范围为． 33．（25-26八年级上·安徽淮北·月考）在平面直角坐标系中，给出定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值，称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“等距点”．(1)若点是“等距点”，求a的值．(2)若点的“长距”为6，且点B在第二象限内，求m的值． (3)已知直线经过（1）（2）中的点A，B，求所有满足条件的直线的函数表达式． 【答案】(1)或(2)(3)或 【详解】（1）解：∵点是“等距点”，∴，解得或． （2）解：∵点的“长距”为6，且点B在第二象限内， ∴，解得． （3）解：由（1）得：点或，由（2）得：， ①将点代入，得，解得， ∴该直线的函数表达式为； ②将点代入，得，解得， ∴该直线的函数表达式为． 34．（25-26八年级上·河南郑州·期中）定义：一次函数和一次函数称为“逆反函数”，如和为“逆反函数”．(1)点在的“逆反函数”图象上，则_________； (2)图象上一点又是它的“逆反函数”图象上的点，求点的坐标． 【答案】(1)；(2)． 【详解】（1）解：由题意得，的“逆反函数”图象为， ∵点在的“逆反函数”图象上，∴，解得：，故答案为：； （2）解：由题意得的“逆反函数”图象为， ∵图象上一点又是它的“逆反函数”图象上的点， ∴，解得：，∴点的坐标． 35．（24-25八年级上·北京·月考）在平面直角坐标系中，有一点，定义： ①直线表示过点且平行于x轴的直线； ②若点P向左（当时）或向右（当时）平移个单位得到点，再作点关于直线对称的点，则称点是点P的“关联点”．例如，点的“关联点”为． (1)若点R是点的“关联点”，则点R的坐标为________； (2)若点是点的“关联点”，则点的坐标为________； (3)的“关联点”分别是点，且平行于x轴，点O为原点，的面积为5，求t和b的值；(4)点，以为边在直线的上方作正方形，点，在上存在一点T，它的“关联点”在正方形的边上，直接写出b的取值范围． 【答案】(1)(2)(3)t的值为2，b的值为3或(4) 【详解】（1）解：∵点R是点的“关联点”， ∴点R的坐标为，即．故答案为：； （2）解：由题意得，点的“关联点”为， ∵点是点的“关联点”，∴，，解得，， ∴点的坐标为．故答案为：； （3）解：∵的“关联点”分别是点， ∴，， ∵平行于x轴，∴，解得， ∴，，∴， ∵的面积为5，平行于x轴，点O为原点， ∴，即，解得或， ∴综上所述，t的值为2，b的值为3或； （4）解：由题意，作出正方形和，如图所示： 则，，设点的“关联点”分别为，，， 则，，， ∵在上存在一点T，它的“关联点”在正方形的边上， ∴与正方形有交点，∴，解得，∴b的取值范围为． 36．（25-26八年级上·江苏泰州·月考）已知：在平面直角坐标系中点，若满足，其中k为常数，且，则称点P与点Q互为“k阶点”． (1)填空：下列互为“阶点”的是_________ ①点与点  ②与点   ③与点 (2)若直线与x轴的交点与点互为“4阶点”，求c的值． (3)对于动点，直线上始终存在一点与点A互为“t阶点”，求t的值． (4)已知：，点P为函数图像上一点，横坐标为m，且与N互为“k阶点”；点Q为函数图像上一点，横坐标为n，且与N互为“阶点”，当且时，求n的最大值． 【答案】(1)②③；(2)；(3)；(4)的最大值为 【详解】（1）解：①∵点与点，∴，， 又，∴，∴点与点不是互为“阶点”； ∵与点，∴，，∴，∴与点互为“阶点”； ∵与点，∴，， ∴，∴与点互为“阶点”； （2）解：令，解得，∴交点坐标为， 根据题意，得，解得； （3）解：设直线上与点A互为“t阶点”的点为， 则，整理得， ∵直线上始终存在一点与点A互为“t阶点”，∴，且成立，∴； （4）解：根据题意，得，， ∵P与N互为“k阶点”；Q与N互为“阶点”，∴，， 整理得，，两式相乘，得，化简得， ∵，∴n随m的增大而增大， ∵且，∴当时，n有最大值为． 37．（24-25八年级上·广东深圳·期末）定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数的“不动点”．例如求的“不动点”；联立方程，解得，则的“不动点”为．(1)由定义可知，一次函数的“不动点”为 ． (2)若一次函数的“不动点”为，求m、n的值． (3)若直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且直线上没有“不动点”，若P点为x轴上一个动点，使得，求满足条件的P点坐标． 【答案】(1)(2)(3)或 【详解】（1）解：由定义可知，一次函数的“不动点”为一次函数解析式与正比例函数的交点，即解得一次函数的“不动点”为 （2）解：根据定义可得，点在上，解得 点又在上，， 又解得 （3）直线上没有“不动点”，直线与平行 ，令，令，则设 即或解得或或 38．（25-26八年级上·辽宁·阶段练习）综合与实践 阅读材料：一个三角形有三条中线，这三条中线相交于一点．三角形三条中线的交点叫做三角形的重心．如图1，的重心的横、纵坐标分别为，．如图2，正方形的重心是对角线与的交点，重心的横、纵坐标分别为，（或，）．若一个平面图形的重心坐标为，面积为，被分成部分的重心坐标分别为，，…，，面积分别为，，…，，则，．如图3，正方形的重心，面积为4，正方形的重心，面积为16，由正方形与正方形组成的组合图形的面积为20，重心的横坐标为，纵坐标为． 根据上述阅读材料，解决下面的问题： (1)如图4，的顶点坐标分别为，，，正方形的顶点，，求四边形的重心坐标；(2)如图5，四边形的顶点坐标分别为，，，，求四边形的重心坐标． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：由题意得，的面积， 的重心的横坐标为，纵坐标为．． 正方形的面积，重心的横坐标为， 纵坐标为，．四边形的面积． 四边形的重心横坐标为，纵坐标为． 四边形的重心坐标为； （2）解：如图，连接，过作轴，垂足为，过作轴，垂足为． 则， ，． 的重心的坐标为，即． 的重心的坐标为，即． 四边形的重心横坐标为， 四边形的重心纵坐标为．四边形的重心坐标为． 39．（25-26八年级上·河南平顶山·期中）在如图所示的平面直角坐标系中，已知，，． (1)在平面直角坐标系中画出．(2)和关于轴对称，画出． (3)横、纵坐标都是整数的点叫做整点若点在一次函数的图象上，一次函数图象与轴和轴围成的封闭区域（不含边界上的点）为，求区域内整点的个数． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)整点的个数为 【详解】（1）如图，即为所求； （2）如图，即为所求； （3）点在一次函数的图象上，直线经过点，点， 观察图象可知满足条件的区域内的整点为，个数为． 40．（24-25八年级下·河北衡水·阶段练习）已知点，点，其中．一束光从点沿直线发出，形成的光线与线段交于点，若点为整数点（横、纵坐标都为整数的点），则光线穿过线段得到图1，否则光线在点处被反射得到射线（光线的反射符合反射定律），进而得到图2． (1)若点，①求射线的表达式（不必写自变量的取值范围）；②射线是否经过？请说明理由；(2)若，且上的整数点被点分为个数之比为的两部分，求的取值范围； (3)若光线穿过线段，且为正整数，点为的中点，直接写出此时满足条件的整数的个数． 【答案】(1)①；②不经过，见解析；(2)或； (3)满足条件的整数的个数为2． 【详解】（1）解：①直线经过点，， 射线的表达式为． ②不经过．根据光的反射定律，可知直线与直线关于直线对称， 点关于直线的对称点在射线上． 设射线的表达式为．将，代入， 得解得射线的表达式为． 当时，，射线不经过点．； （2）解：时，点，点， 线段上的整数点有，，，，，，，，，共9个． 上的整数点被点分为个数之比为的两部分， 点在和之间或在和之间，将代入，得， 将代入，得；将代入，得， 将代入，得．的取值范围为或； （3）点为线段的中点，．将代入直线， 得，解得． 为正整数，且为整数，且点为整数点，可列表如下： 1 2 5 10 11 6 3 2 5 2.5 1 0.5 3 4 7 12 综上所述，满足条件的整数的个数为2，分别是11和3． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 新定义与跨学科专训（1-5章）（共40题） 1．（25-26八年级上·江苏南京·月考）我们知道是函数的一种表达方式．形如（为常数）的一次函数，我们可把它记为．如：，当时，．已知函数满足，则下列说法正确的是（　　） A． B． C．的图象关于轴对称 D．的图象经过原点 2．（25-26八年级上·安徽蚌埠·月考）法国数学家笛卡尔创立了平面直角坐标系，被誉为“解析几何之父”．在平面直角坐标系中，我们定义点的“笛卡尔变换”为：．已知点的坐标为，则经过2025次笛卡尔变换后得到的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数的“关联点”．例如求的“关联点”：联立方程，解得，则的“关联点”为． ①一次函数的“关联点”为； ②若一次函数的“关联点”为，则，； ③若一次函数和一次函数的“关联点”相同，则； ④若一次函数的图像与轴交于点，与轴交于点，且一次函数上没有“关联点”，若点为轴上一个动点，使得，则点的坐标为．以上说法正确是（   ） A．①② B．①③ C．①③④ D．②③④ 4．（24-25八年级上·北京·期中）在平面直角坐标系中，若将横、纵坐标之和为k的点记作“k和点”，有以下四个结论：①第四象限内有无数个“1和点”；②第一、三象限的角平分线上的“2和点”有两个；③y轴上没有“3和点”；④若第三象限内没有“k和点”，则．其中正确的是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 5．（24-25八年级下·安徽亳州·期末）定义：如图，点M，N把线段分割成三条线段，和，若以，，为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段的勾股分割点．若，则的长为 ． 6．（25-26八年级上·重庆·开学考试）如果三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．在三角形纸片中，，，将纸片沿着折叠，使得点落在边上的点处．设，则能使和同时成为“准直角三角形”的值为 ． 7．（25-26八年级上·河南三门峡·期中）如图 1，与满足，，，我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”．如图2，在中，，点 D、E 在线段上，且，则图中“伪全等三角形”的对数为 ． 8．（25-26八年级上·上海徐汇·月考）我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做“可爱三角形”．若是“可爱三角形”，，，则 ． 9．（25-26八年级上·四川成都·期中）定义：若三个正整数，，满足，，且，则称为“邻近”勾股数组．例如：，都是“邻近”勾股数组，将从小到大排列，分别记为，，，，（为正整数），若时，的值为 ；若时，的值为 ． 10．（2025·湖北十堰·模拟预测）如图1，对于平面内的点、，如果将线段绕点逆时针旋转得到线段，就称点是点关于点的“放垂点”，如图2，已知点，点是轴上一点，点是点关于点的“放垂点”，连接、，则的最小值是 ，此时点的坐标为 ． 11．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）在平面直角坐标系中，对于任意两点，，若点满足，，则称点是点，的“和谐点”．如图，点，点是直线：上任意一点，若点是点，的“和谐点”，直线交轴于点，当为直角时，则点到直线的距离为 ． 12．（24-25八年级上·广东深圳·期末）对于平面直角坐标系中的点，若x，y满足，则点就称为“好点”．例如：，因为，所以是“好点”．已知一次函数（m为常数）图象上有一个“好点”的坐标是，则一次函数（m为常数）图象上另一“好点”的坐标是 ． 13．（25-26八年级上·江苏·期中）新定义：关于x的一次函数与叫做一对交换函数．例如：一次函数与就是一对交换函数．若一次函数过点，则一次函数与它的交换函数和y轴围成的三角形的面积为 ． 14．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，已知a，b，c分别是的三条边长，，我们把关于x的形如的一次函数称为“勾股一次函数”，若点在“勾股一次函数”的图像上，且的面积是，则c的值是 ． 15．（24-25八年级下·四川成都·期中）定义：在平面直角坐标系中，对于任意一次函数的图象，作该图象在直线的右侧部分关于直线的轴对称图形，与原图象在直线的右侧部分及与直线的交点共同构成一个新函数的图象，则这个新函数叫做原函数关于直线的“型函数”．例如：图就是一次函数关于直线的“型函数”图象．若函数关于直线的“型函数”图象与轴只有一个交点，则 ．如图，点，以为斜边在轴上方作等腰，当函数关于直线的“型函数”图象与的边只有两个交点时，则的取值范围为 ． 16．（24-25八年级下·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，点Q的坐标为，定义其“镜像点”的坐标如下：当时，；当时，．已知，线段，其上的点的“镜像点”坐标为 ．线段上所有点的“镜像点”形成新图象为，若直线与有且仅有一个交点，则实数m的取值范围是 ． 17．（24-25八年级下·四川成都·期末）我们把对角线互相垂直且相等的四边形称为“和谐四边形”．如图，在平面直角坐标系中，已知，两点，是线段上一点，且，点是直线上的动点，若在内部（不包含边界）始终有一点，使得四边形为“和谐四边形”，则的取值范围是 ． 18．（25-26八年级上·江苏南京·期末）定义：在平面直角坐标系中，为坐标原点，任意两点、，称的值为、两点的“直角距离”．若，，则，的“直角距离”为 ；若，为直线上任意一点，则，的“直角距离”的最小值为 ． 19．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成长方形的周长的值恰好等于其面积的值的2倍，则这个点叫做“趣点”．例如：图中过点P分别作x轴、y轴的垂线，与坐标轴围成长方形的周长的值等于其面积的值的2倍，则点P是“趣点”． (1)若“趣点”M的横坐标为2，则点M的纵坐标为 ；(2)若“趣点”在直线上，则b的值为 ． 20．（25-26八年级上·安徽亳州·阶段练习）定义：在平面直角坐标系中，点的坐标为，则为点到坐标原点的“折线距离”．若点在直线上，且点到坐标原点的“折线距离”，则点的坐标为 ． 21．（25-26八年级上·四川成都·期中）将矩形，其中、、、沿直线折叠，得到矩形，设矩形内的点折叠后的对应点为．定义：若落在原矩形内部（不包含边界），且到y轴的距离比到x轴的距离大1，则称P为“重叠关联点”． （1）原矩形内点折叠后的对应点坐标为 ；（2）“重叠关联点”P的横坐标m的取值范围是 ． 22．（2025九年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形． (1)如图1，在中，，垂直平分交于点，垂足为，且，，为上一点，求证：四边形是邻余四边形； (2)如图2，在邻余四边形中，（和均为钝角），为的中点，，，时，求的长． 23．（25-26八年级上·浙江嘉兴·期中）如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“奇妙三角形” (1)如图1，在中， ，，求证：是“奇妙三角形”； (2)如图2，在中， ，若是“奇妙三角形”，求的长． 24．（25-26八年级上·河南信阳·月考）在学习等腰三角形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究．定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． (1)操作理解：小明用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有____________；（填序号） (2)性质探究：根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质．如图，四边形是邻等对补四边形，，是它的一条对角线． 求证：平分； 若，，，，则四边形的面积为____________； (3)拓展应用：如图，在中，，，分别在边、上取点，使四边形是邻等对补四边形，当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，则的度数为____________．（直接写出答案即可） 25．（25-26八年级上·内蒙古乌兰察布·期中）【学科融合】如图①，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角等于入射角．这就是光的反射定律． 【问题解决】如图②，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜，手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点F到地面的高度，点A、点C到平面镜B点的距离相等，图中点A、B、C、D在同一条直线上．求手电筒到地面的高度． 26．（25-26八年级上·江苏泰州·月考）根据以下素材，回答问题： 素材1：在魏晋时期，数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法．所谓割圆术，即通过圆内接正多边形细割圆，并使正多边形的周长与面积无限接近圆的周长与面积，进而求得较为精确的圆周率．刘徽形容“割圆术”：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣．” 素材2：“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和即有，其中a，b，c，d为正整数，则是x的更为精确的近似值．例如：已知，则利用一次“调日法”后可得到的一个更为精确的近似分数为；由于，可得，之后可以再次使用“调日法”得到的更为精确的近似分数． (1)任务1：①如图①，已知圆的内接正六边形可分为六个全等的等边三角形，每个三角形的边长均为圆的半径若将圆内接正六边形的周长等同于圆的周长，则可得的估计值为 ． ②如图②，已知圆的内接正十二边形可分为十二个全等的等腰三角形，且等腰三角形的顶角为若将圆内接正十二边形的面积等同于圆的面积，则可得的估计值为 ． (2)任务2：约公元前240年，阿基米德算得，已知，请在此基础上使用两次“调日法”得到的更为精确的近似分数． 27．（25-26七年级上·上海·月考）中国古代数学家很早就会利用数形结合思想来解决生活中的一些问题． 杨辉是我国南宋时期的数学家，一次他画了一张“弦图”，解决了如下问题：一块长方形田地的面积是864平方步，已知它的宽比长少12步，问长与宽是多少？（注：“步”是长度单位，“平方步”是面积单位.1步尺） 解：设宽为步，则长为步，得方程 ． 如图，杨辉将题目中所说长方形的田地安排成“弦图”中四个相同的长方形，并组成了一个大正方形，由题目条件可知小正方形面积是 平方步，大正方形面积是 平方步，于是矩形的长与宽的和是 步，得到宽（即的一个正数解）为 步．（在对应序号处填空，写在答题纸上） 请你仿造杨辉的“画图”方法，解方程（求出一个正数解即可）．（注意：画出示意图，所画图上要有必要数据标记） 28．（25-26八年级上·甘肃兰州·期中）对于平面直角坐标系中的任意两点，，我们把叫做，两点间的直角距离，记作． (1)已知，求．(2)已知点O为坐标原点，动点满足，请写出y与x之间的关系式．(3)设点是一定点，点是直线上的动点，我们把的最小值叫做点到直线的直角距离．试求点到直线的直角距离． 29．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）若一个点的横、纵坐标都是关于某个相同变量的一次式，则这个点必定在一条固定的直线上．如：点，易知点在直线上；又如：，令，，消去得，故点在直线上． (1)点所在直线的解析式为 ；点所在直线的解析式为 ； (2)已知点，，三点． 判断和两点所在直线的位置关系，证明你的结论；当时，直接写出的最小值； (3)一次函数与（，是常数且）交于点，对于的某个确定的值，当变化时，点到直线的距离是一个定值，求的值． 30．（25-26八年级上·江苏·期末）如图1，长度为9千米的国道两侧有M，N两个城镇，连接点为C和D，其中A、C之间的距离为3千米，C、D之间的距离为2千米，M、C之间的乡镇公路长度为千米，N、D之间的乡镇公路长度为千米．为了发展乡镇经济，现需要在国道（包含端点A，B）上修建一个物流基地T．设A、T之间的距离为x千米，物流基地T沿公路到M、N两个城镇的距离之和为y千米． (1)请直接写出y与x的函数表达式并注明自变量x的取值范围；(2)在给定的平面直角坐标系中，画出y与x的函数图象；(3)结合画出的函数图象，解决问题：①若要使物流基地T沿公路到M、N两个城镇的距离之和最小，则物流基地T应该修建在何处？（直接写出所有满足条件的位置）②如图3，若有三个城镇M、N、P分别位于国道两侧，从城镇到公路分别有乡镇公路连接，使得T沿公路到M、N、P的距离之和最小．则物流基地T应该修建在何处？（直接写出所有满足条件的位置） 31．（25-26八年级上·江西九江·月考）定义：我们把一次函数的图象与正比例函数的图象的交点称为一次函数图象的“星光点”．例如，求一次函数图象的“星光点”时，联立方程，解得，则一次函数图象的“星光点”为． (1)一次函数图象的“星光点”为_____； (2)关于x的一次函数图象的“星光点”为，求的立方根； (3)在平面直角坐标系中，若一次函数的图象分别与轴，轴交于点，，且一次函数的图象上没有“星光点”，点在轴上，且，连接，直接写出直线的“星光点”． 32．（25-26八年级上·北京海淀·期中）在平面直角坐标系中，已知点，直线和图形，给出如下定义：若图形内部或边上存在一点，使和关于直线轴对称，则称点为图形关于直线的“反射内含点”．已知的三个顶点的坐标分别是，，．设点，直线为过点且与轴垂直的直线． (1)若，在点，，中，点_____是关于直线的“反射内含点”； (2)当时，若轴上存在关于直线的“反射内含点”，则的最大值为_____； (3)已知直线过点且与第二、四象限角平分线平行． ①若直线上存在关于直线的“反射内含点”，直接写出的取值范围为_____； ②已知点为边长为1的正方形的对角线交点，且正方形的边与坐标轴平行．若正方形边上的所有点都是关于直线的“反射内含点”，直接写出的取值范围为_____． 33．（25-26八年级上·安徽淮北·月考）在平面直角坐标系中，给出定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值，称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“等距点”．(1)若点是“等距点”，求a的值．(2)若点的“长距”为6，且点B在第二象限内，求m的值． (3)已知直线经过（1）（2）中的点A，B，求所有满足条件的直线的函数表达式． 34．（25-26八年级上·河南郑州·期中）定义：一次函数和一次函数称为“逆反函数”，如和为“逆反函数”．(1)点在的“逆反函数”图象上，则_________； (2)图象上一点又是它的“逆反函数”图象上的点，求点的坐标． 35．（24-25八年级上·北京·月考）在平面直角坐标系中，有一点，定义： ①直线表示过点且平行于x轴的直线； ②若点P向左（当时）或向右（当时）平移个单位得到点，再作点关于直线对称的点，则称点是点P的“关联点”．例如，点的“关联点”为． (1)若点R是点的“关联点”，则点R的坐标为________； (2)若点是点的“关联点”，则点的坐标为________； (3)的“关联点”分别是点，且平行于x轴，点O为原点，的面积为5，求t和b的值；(4)点，以为边在直线的上方作正方形，点，在上存在一点T，它的“关联点”在正方形的边上，直接写出b的取值范围． 36．（25-26八年级上·江苏泰州·月考）已知：在平面直角坐标系中点，若满足，其中k为常数，且，则称点P与点Q互为“k阶点”． (1)填空：下列互为“阶点”的是_________ ①点与点  ②与点   ③与点 (2)若直线与x轴的交点与点互为“4阶点”，求c的值． (3)对于动点，直线上始终存在一点与点A互为“t阶点”，求t的值． (4)已知：，点P为函数图像上一点，横坐标为m，且与N互为“k阶点”；点Q为函数图像上一点，横坐标为n，且与N互为“阶点”，当且时，求n的最大值． 37．（24-25八年级上·广东深圳·期末）定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数的“不动点”．例如求的“不动点”；联立方程，解得，则的“不动点”为．(1)由定义可知，一次函数的“不动点”为 ． (2)若一次函数的“不动点”为，求m、n的值． (3)若直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且直线上没有“不动点”，若P点为x轴上一个动点，使得，求满足条件的P点坐标． 38．（25-26八年级上·辽宁·阶段练习）综合与实践 阅读材料：一个三角形有三条中线，这三条中线相交于一点．三角形三条中线的交点叫做三角形的重心．如图1，的重心的横、纵坐标分别为，．如图2，正方形的重心是对角线与的交点，重心的横、纵坐标分别为，（或，）．若一个平面图形的重心坐标为，面积为，被分成部分的重心坐标分别为，，…，，面积分别为，，…，，则，．如图3，正方形的重心，面积为4，正方形的重心，面积为16，由正方形与正方形组成的组合图形的面积为20，重心的横坐标为，纵坐标为． 根据上述阅读材料，解决下面的问题： (1)如图4，的顶点坐标分别为，，，正方形的顶点，，求四边形的重心坐标；(2)如图5，四边形的顶点坐标分别为，，，，求四边形的重心坐标． 39．（25-26八年级上·河南平顶山·期中）在如图所示的平面直角坐标系中，已知，，． (1)在平面直角坐标系中画出．(2)和关于轴对称，画出． (3)横、纵坐标都是整数的点叫做整点若点在一次函数的图象上，一次函数图象与轴和轴围成的封闭区域（不含边界上的点）为，求区域内整点的个数． 40．（24-25八年级下·河北衡水·阶段练习）已知点，点，其中．一束光从点沿直线发出，形成的光线与线段交于点，若点为整数点（横、纵坐标都为整数的点），则光线穿过线段得到图1，否则光线在点处被反射得到射线（光线的反射符合反射定律），进而得到图2． (1)若点，①求射线的表达式（不必写自变量的取值范围）；②射线是否经过？请说明理由；(2)若，且上的整数点被点分为个数之比为的两部分，求的取值范围； (3)若光线穿过线段，且为正整数，点为的中点，直接写出此时满足条件的整数的个数． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $