安徽省马鞍山市中加双语学校2025-2026学年高二上学期第一次月考数学试题

2024-2025学年高二上学期第一次月考试题 数学 2025.10.12 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 注意事项： 1.本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己 的姓名、准考证号填写在答题卡上： 2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑.如需改动，用橡皮干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效； 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合要求的， 1.已知两点A(a,3),B(1,-2),若直线AB的倾斜角为135°，则a的值为() A.-6 B.6 C.-4 D.4 2.己知向量ā=(1,1,0)，b=(-1,0,2),且ka+6与2a-6互相垂直，则k=() 7 A.-1 B.2 c.5 D.5 1 3.直线X+Y=1与直线y=2x- 24 3的交点到直线y=x+2的距离为() A.√2 B.2 C.Z D. 4.设平面a内不共线的三点A,B,C以及平面外一点P,若平面a内存在一点D满足 PD=xPA+(2-x)PB+3xPC,则x的值为( ) A.0 B._1 9 c、I D.-2 3 3 5.已知点A(2,3),B(-5,2),若过点C(-1,5)的直线1与线段AB相交，则直线1的斜率的取 值范围是() a[*wa(m引[（[*w).(引 6.己知△ABC的顶点A(-2,1),AC边上的高BE所在直线方程为x+y-5=0,AC边上中 线BD所在的直线方程为3x-5y+1=0,则高BE的长度为( 试卷第1页，共4页 A.3V 2 B.2v Z C.V2 D. BP=1,当 7.已知动点P是棱长为1的正方体ABCD-ABCD的对角线BD上一点，记 ∠APC为钝角时，2的取值范围为() A.( B. c.( 8.如图，在正方体ABCD-AB,CD,中，过点A作一平面 a,使得正方体的各个顶点都在a的同一侧，且A,B, D B D三个点到a的距离分别为3,4,5，则该正方体的棱长为 () A.45B.5√2C.45D.12 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个 选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分， 有选错的得0分， 9.已知{ā，b,c是空间的一个基底，则下列说法正确的是（) Aa,b,c两两共面 B.若a⊥b,b⊥c,则aLc C.对空间任一向量p,总存在有序实数组(x,y,z),使p=xa+yb+zC D.{a+b,b+c,c+a不一定能构成空间的一个基底 10.已知点M(-1,1),N(2,1),且点P在直线1：x+y+2=0上，则() A.存在点P,使得PM⊥PWB.存在点P,使得2PM=PN C.PM+PN的最小值为√29D.若P(a,b),则a2+b2的最小值为1 11.如图，在多面体ABCDEP中，PA⊥平面ABCD,四 边形ABCD是正方形，且DEIIPA, PA=AB=2DE=2,M,N分别是线段BC,PB的中点， Q是线段DC上的一个动点（不含端点D,C),则下列 说法正确的是() A.存在点Q,使得NQ⊥PB 试卷第2页，共4页 B.不存在点Q,使得异面直线NQ与PE所成的角为30° C.当点Q运动到DC中点时，平面QMN的法向量可以为(1，L,2) D.三棱锥Q-AMN体积的取值范围为 别 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.若直线l:2x+y-1=0与直线l2:x-y+a=0平行，则直线l与l2之间的距离为_ 13.平行六面体BCD-4BC0中，4=Mc,-号B+号D+写杯，则实数的 值为 14.在平面直角坐标系中，定义d(P,Q)=x-x+以-为P(x,y),Q(x2,y2)两点之间的 “折线距离”.已知O(0,0),A(2,0),B(2,1),C(0,1),点M在矩形OABC内（含边界） 且到点O,B的“折线距离”相等，则点M的轨迹长度为 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程 及验算步骤. 15.已知向量a=(1,2,-2),b=(4,-2,4). (1)求cos<a,b>: (2)求d在b方向上的投影向量. 16.已知直线I:x-3y+2k+3=0(k∈R) (1)证明：直线l过定点： (2)若直线I交x轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点B,O为坐标原点，设VAOB的面 积为S,求S的最小值及此时直线l的方程. 试卷第3页，共4页 17.如图甲，在梯形ABCD中，AD∥BC,∠ADC=90°，BC=CD=2AD=4,E是CD 的中点，将VADE沿AE折起，使点D到达 点P的位置，如图乙，且PC=2√5 (I)求证：平面PAE⊥平面ABCE: (2)求点E到平面PBC的距离： 18.如图，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥AD,CD⊥AD,AB=AD=PD=CD=1, PA=√2，PC=V5,点Q为棱PC上一点. (1)证明：PA⊥CD: D (2)当二面角P-BD-Q的余弦值为3时，求P巴 11 PC 19.如图，已知4(6,65)，B(0,0),C(12,0),直线1：(k+√5)x-y-2k=0. (1)若直线I等分VABC的面积，求直线l的一般式方程； (2)若P(2,2√5)，李老师站在点P用激光笔照出一束光线，依次由BC(反射点为K)、AC (反射点为I)反射后，光斑落在P点，求入射光线PK的直线方程. 试卷第4页，共4页2024-2025学年高二上学期第一次月考试题 数学答案 2025.10.12 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 注意事项： 1.本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生 务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上： 2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案 标号涂黑。如需改动，用橡皮干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无 效： 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效； 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合要求的. 1.1.已知两点A(a,3),B(1,-2),若直线AB的倾斜角为135°，则a的值为() A.6 B.6 C.4 D.4 【答案】C 【分析】由题意可知直线AB的斜率k=-1,再结合斜率公式运算求解 【详解】因为直线AB的倾斜角为l35°，则直线AB的斜率k=tal35°=-1， 又因为4a3).-2引，则32到1，解得a=4 a-1 故选：C 2.己知向量a=(11,0),6=(-1,0,2),且&+6与2a-6互相垂直，则k=（) 7 1 A.-1 B.2 C. D. 5 5 【答案】C 【分析】由向量线性关系的坐标运算及垂直的坐标表示列方程求参数即可 【详解】由题设ka+b=k-0,1,0)+(-1,0,2)=(k-1,k,2), 2a-b=2-0,10)-(-1,0,2)=6,2,-2), 试卷第1页，共20页 又&+6与2五-6互相垂直，则3(k-1)+2k-4=0,解得k=7 故选：C 3.直线+Y=1与直线y=2x- 的交点到直线y=x+2的距离为() 24 A. B.2 c D 2 2 【答案】A 【解析】 44 【分析】联立方程得出交点 33 再应用点到直线距离公式计算即可. y=-2x+4, 44 44+2 【详解】联立 4得交点为 所以距离 33 y=2x- 33 d= 3 2 故选：A. 4.设平面内不共线的三点A,B,C以及平面外一点P,若平面a内存在一点D满足 PD=xPM+(2-x)PB+3xP℃，则x的值为（） 1 A.0 1 B. C.- D.- 9 3 3 答案】C 【解析】 【分析】由空间向量共面定理构造方程求得结果 【详解】Q空间A、B、C、D四点共面，但任意三点不共线， 1 ∴x+2-x+3x=1,解得：x=- 3 故选：C 5.已知点A(2,3),B(5,2),若过点C(-1,5)的直线1与线段AB相交，则直线1的斜率的取 值范围是() [m A. B. D 【答案】B 【分析】求出CA,CB的斜率，结合图象可得结论. 试卷第2页，共20页 1-23,w-5-2-3 【详解】k=5-3=2 -1+54 存在与线段AB相交的直线CD与x轴垂直， 所以直线I的斜率的范围是 m引[尽 故选：B 6.己知△ABC的顶点A(-2,1),AC边上的高BE所在直线方程为x+y-5=0,AC边上中 线BD所在的直线方程为3x-5y+1=0,则高BE的长度为(） A32B,22C2D. 【答案】B 【解答】 解：~AC边上的高BE所在直线方程为x+y-5=0,AC边上中线BD所在的直线方程为3 x-5y+1=0, 6y51°0解得=2即8(32， 易得AC边所在直线斜率为1， ·AC边所在直线方程为y-1=x+2,即x-y+3=0, 联立任+y+二0解得6二4即E14, 所以BE1=V(1-3)2+(4-2)2=2V2. 故选：B. BP=，当 7.已知动点P是棱长为1的正方体ABCD-ABCD的对角线BD,上一点，记 ∠APC为钝角时，的取值范围为() A. .(G C. D. 【答案】C 【分析】以点D为原点建立空间直角坐标系，由∠APC为钝角，可得 试卷第3页，共20页 cos∠APC=cos(P,PC)<0,得到不等式，解不等式，可得出答案 【详解】如图，以点D为原点建立空间直角坐标系， 则AL,0,0),B(L,1,0),C(0,1,0)D(0,0,1), Ba=(0,-1,0),范=(1，-1,1)，8C=(10,0), 故Pa=Ba-P=Ba-BD=(0,1,0)-(1-1,=(,1-1,-), 元=BP=Bc-BD=(1,0,0)(-1,-1,)=(-1,2,-), 则sA-s咒咒- (元-1)+(-1)+ PP、 2+(-1)2+2-12+2+ 32-21 <0 32-21+1 西为-21=0 所以32-21<0，解得0<元< 2 所以的取值范阻为0号) D B D B 故选：C 8.如图，在正方体ABCD-AB,CD,中，过点A作一平面α，使得正方体的各个顶点都在 α的同一侧，且A,B,D三个点到α的距离分别为3,4,5，则该正方体的棱长为 () A.4V2 B.5N2 C.4W5 D.12 B 试卷第4页， B A 答案.B 【知识点】求点面距离 【分析】以A为原点建系，设正方体的棱长为a,平面x的法向量为m=(x,y,z,根据点 到面的距离公式列出关于x,y,z,a的方程组即可求解 【详解】以A为原点，AD,AB,A4所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为a, d(0.0.0).4(0.0.a).8(0.a.0).D(c.0.0).ol2.0.2).D(c.0.a). 则器-(00店-aa)5=ao叭.品（受a 设平面a的法向量为m=(x,y,z), % az B y 4, 带品 ax 则 +2+23, +产5， 则2+y2+z2-dza'y a'x 91625 令x2=25k,y2=16k,z2=9k,k≥0，则50k=a2, 设APOAD=O,则O为线段AD的中点， 因A,D到a的距离分别为3,5，则O到a的距离分别为4， 因Aea,且O为线段AD的中点，则D到a的距离分别为8， 拉A 则 ax+az lm+z_r+匹=x+z=8, x2++z50k a 又B到a的距离为4，则OBla,则-x+y-C2=0,即2y=x+z,则y=4, 2 2 则k=1,a=5V2, 则该正方体的棱长为5√2 故选：B 试卷第5页，共20页 ZA A B 0 C O B D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四 个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分 分，有选错的得0分， 9.已知{位，方，}是空间的一个基底，则下列说法正确的是() A6,b,E两两共面 B.若a1b,b1&,则a1心 C.对空间任一向量p,总存在有序实数组（化，y,z),使D=xd+b+无 D.石+i,b+,+8品不一定能构成空间的一个基底 【答案】AC 【解析】 【分析】AC选项，根据基底的定义以及空间向量基本定理可得；B选项，a,&不一定垂 直：D选项，判断出a+b,6+c,c+a一定不共面，所以一定能构成空间的一个基底 【详解】A选项，由基底的定义可知，日，，不能共面，石，，&两两共面，A正确： B选项，&⊥b,b1&,但a,c不一定垂直，B错误； C选项，根据空间向量基本定理，对空间任一向量p,总存在有序实数组(x,y,z), 使p=xa+yb+zc,C正确： 试卷第6页，共20页 n=1 D选项，设a+b=m(6+)+n(+a),故{m=1 ,无解， m+n=0 故a+方，i+c,c+a一定不共面，所以一定能构成空间的一个基底，D错误 故选：AC 10.已知点M(1,1),N(2,1),且点P在直线1：x+y+2=0上，则() A.存在点P,使得PM⊥PW B.存在点P,使得2PM=PW C.PM+PW的最小值为√29 D.若P(a,b),则a2+b的最小值为1 【答案】BC 【分析】对于A,设P(a,-a-2),分a=-1,a=2和a≠-1且a≠2三类情况，利用斜率 判断PM与PN是否垂直即可；对于B,设P(a,-a-2),通过将坐标代入等式，利用方程 有实根即可判断；对于C,通过作点关于直线的对称点，利用三点共线时线段和最短即可 判断；对于D,通过消元后化成二次函数，利用其性质求得最小值即可判断 【详解】对于A:依题意，设P(a,-a-2), 当a=-1时，P(L-),此时PM1x轴，但太m=1,?40,此时PM与PW不垂 -1-23 直； 同理当a=2时，P(2,4),此时PM与PN不垂直； 而当a≠1且a≠2时，由kwkm=-a-3-a3-1,可得2d2+5a+7=0, a+1a-2 该方程无实数解，此时PM与PW不垂直. 综上可知，不存在点P,使得PM LPN,故A错误； 对于B:设P(a,-a-2),由M(-1,1),N(2,1),2PM=PN, 可得2(a+1)2+(-a-3)2=V(a-2)2+(-a-3)2，化简得2a2+10a+9=0, 因A=102-4×2x9=28>0,则方程有解，故存在点P,使得2PM=PN,故B正确； 试卷第7页，共20页 对于C:如图设M(-1,1)关于直线1的对称点为M'(m,n), n-1-1 m+1 m=-3 m-1n+l+2=0 ，解得 a=-1,即M(-3,-, 2 所以PM+PW=PM+PW≥MW=V(-3-22+(-1-1)=v29 当且仅当M'PN三点共线时取等号(P在两点M,N之间)，故C正确： -3 2 x 对于D,因b=-a-2,则a2+b2=a2+(-a-2)2=2a2+4a+4=2(a+1)2+2≥2， 当a=-1时等号成立，故a2+b2的最小值为2，故D错误 故选：BC 11.如图，在多面体ABCDEP中，PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是正方形，且 DEI∥PA,PA=AB=2DE=2,M,N分别是线段BC,PB的中点，是线段DC上的一个 动点（不含端点D,C),则下列说法正确的是(） A.存在点2，使得Ng⊥PB B.不存在点2，使得异面直线Ng与PE所成的角为30° C.当点2运动到DC中点时，平面2MW的法向量可以为(L,l,2) D.三棱锥Q-AMN体积的取值范围为 B M 答案：BCD 试卷第8页，共20页 【知识点】锥体体积的有关计算、求平面的法向量、异面直线夹角的向量求法、点到平面 距离的向量求法 【分析】以点A为坐标原点，AB,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标 系，假设存在点Q使得Q⊥PB,利用向量数量积为0求出m可判断A;假设存在点2， 使得异面直线NQ与PE所成的角为30°，由向量夹角公式计算可判断B;求出平面OMN的 法向量可判断C；对于D,方法一利用向量法求出点到平面距离，再求三棱锥Q-AMN 的体积可判断D:方法二利用等体积'。-w=VN-Ae可判断D. 【详解】以A为坐标原点，以AB,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则A0,0,0),B(2,0,0),E(0,2,1),P(0,0,2),N(1,0,1),M(2,1,0) 对于A,假设存在点2(m,2,0)0<m<2),使得N9⊥PB, 因为N2=(m-1,2,-),PB=(2,0,2,所以0.PB=2(m-1)+2=0, 解得m=0,不合题意，故A错误； 对于B,假设存在点2(m,2,0)0<m<2),使得异面直线N9与PE所成的角为30°， 因为2=(m-1,2,-1),P元=(0,2，-1)， LRI UN r题， NO.PE 5 所以cos(Ne,PE NO PE V(m-102+5×v5 =cos30°=V3 2 解得m=1t1 ,不符合0<m<2, 则不存在点2，使得异面直线N9与PE所成的角为30°，故B正确； 对于C,当点2运动到DC中点时，，2,0)，又N(1,0,1),M(2,1,0), 所以=0,2，-1)，m=(11,-1), 设=(x,y,z)是平面OMN的法向量， 则值益2-0 ,令y=1,则n=(1,1,2),故C正确； n·NM=x+y-z=0 对于D,方法一因为A=(L,0,),M=(21,0) 试卷第9页，共20页 UrU题 所以cos(AN,AM ·AM 210 题 ANAM 2xV55, 如，w 2x2x5x5-v6 52 U Wr 设元=(：，X,)是平面AMW的法向量， 则 nAN=x+=0 iuu雕 n2·AM=2x+y=0 令x=1,则2=0，-2，-)，设Q(m,20)0<m<2), 则42=(m2,0)0<m<2), 则点2到平面AMN的距离d= 0局4-m 6 则三棱锥2-AMN的体积为 1×4-mxV64-m 6 26 因为0cm<2.所以(G》 故D正确 方法二设D2=m(0<m<2),则C2=2-m, 因为SAMe=S正方形ABcD-S,AM-ecM-SvADe， =4-1-22-m）-m=2-%, -2’ 点N到平面AMg的距离d=PA=l, 2 所以么me》1号名因为0<m<2 所以6引 故D正确. 故选：BCD B 试卷第10页，共20页