山东省菏泽第一中学人民路校区2025-2026学年高三上学期12月学情检测数学试题

2025菏泽一中人民路校区高三12月学情检测数学试题

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合，，则　　

A．， B．， C．， D．，

2．若复数满足，则的实部为　　

A． B． C．1 D．2

3．若甲、乙、丙、丁、戊随机站成一排，则甲、乙不相邻的概率为　　

A． B． C． D．

4．若向量满足，且，则的夹角为　　

A． B． C． D．

5．已知，则　　

A． B． C． D．

6．已知函数在时取极小值，则其导函数的最小值为　　

A． B． C． D．

7．如图，在四棱锥中，底面是边长为6的正方形，平面，点是平面内的动点，且满足线段的长度是点到的距离的2倍，则点的轨迹的长度为　　

A． B． C． D．

8．已知双曲线左顶点为，右焦点为，以为直径的圆与双曲线的右支相交于，两点．若四边形是正方形，则双曲线的离心率为　　

A． B． C． D．

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

（多选）9．（6分）下列说法正确的是　　

A．数据1，3，5，7，9，11，13的第80百分位数为11 

B．已知随机变量，设，则的方差 

C．用简单随机抽样的方法从51个个体中抽取2个个体，则每个个体被抽到的概率都是 

D．若样本数据，，，的平均数为2，则，，，的平均数为8

（多选）10．（6分）已知函数，则下列说法正确的是　　

A．的最小正周期为 

B．的图象关于点对称 

C．在区间上的值域为 

D．若的图象向右平移个单位长度后所得图象关于轴对称，则的最小值为

（多选）11．（6分）对于无穷数列，下列命题中正确的是　　

A．若既是等差数列，又是等比数列，则是常数列 

B．若等差数列满足，则是常数列 

C．若等比数列满足，则是常数列 

D．若各项为正数的等比数列满足，则是常数列

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12．椭圆的离心率为 　　

13．已知是偶函数，则的最大值为 　　 ．

14．已知集合且中至少含有2个元素，若对于中的任意两个不同元素，，都有，则称具有性质，若，2，，，且同时具有性质（4）和（7），则中至多有 　　 个元素．

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15．如图，在直三棱柱中，，，．

（1）证明：平面平面；

（2）求平面与平面夹角的余弦值．

16．某汽车模型公司共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示：

	红色外观	蓝色外观
棕色内饰	7	10
米色内饰	3	5

（1）若小明从这些模型中随机抽取一个模型，记事件为抽到的模型为红色外观，事件为抽到的模型是米色内饰，求（B），，并据此判断事件，是否相互独立；

（2）该公司举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人可以从这些模型中一次性抽两个汽车模型，根据这两个汽车模型的外观和内饰颜色确定奖金：若外观异色且内饰异色，则奖励600元，若外观同色且

内饰同色，则奖励300元，若仅外观同色或仅内饰同色，则奖励150元，设一次抽奖的奖金为元，求的分布列与期望．

17．已知数列满足，，数列满足，且．

（1）求的通项公式；

（2）求的通项公式；

（3）将中的项按从小到大的顺序插入中，且在任意的，之间插入项，从而构成一个新数列，设的前项和为，求．

18．已知是抛物线的焦点，在点处的切线交轴于点，过点的直线与交于，两点．

（1）求的方程；

（2）比较与的大小，并说明理由；

（3）过点的直线与交于，两点，，线段，的延长线分别交于点，，试判断直线是否过定点，如果是，请求出该定点的坐标，如果不是，请说明理由．

19．已知函数，．

（1）求函数在，（1）处的切线方程；

（2）若，

当时，求函数的最小值；

若有两个实根，，且，证明：．