期末复习10用一元一次方程解决实际问题讲义(知识梳理+题型精析+备考通关) 2025-2026学年苏科版七年级数学上册

该初中数学讲义通过框架图系统梳理一元一次方程知识体系，将核心概念、解法步骤、实际应用等量关系等要点用表格呈现，清晰呈现配套问题、工程问题等15类题型的内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于15类常考题型的“典例精讲+跟踪训练”设计，如方案选择问题通过临界值分析培养模型意识，动点问题结合数轴发展几何直观。易错点提醒与数学思想方法指导，助力不同层次学生提升运算能力与推理意识，为教师实施分层教学提供精准支持。

期末复习10用一元一次方程解决实际问题讲义 期末 必备 知识 点梳 理 1.核心基础概念 2.一元一次方程解法(核心步骤) 3.列一元一次方程解决实际问题(核心应用 4.常见题型与核心等量关系 45易错点与解题技巧 6.数学思想方法 常考 题型 精讲 精炼 1.一元一次方程应用之配套问题 2.一元一次方程应用之工程问题 3.一元一次方程应用之销售盈亏问题 4.一元一次方程应用之比赛积分问题 5.一元一次方程应用之方案选择问题 6.一元一次方程应用之数字问题 7.一元一次方程应用之几何问题 8.一元一次方程应用之动点问题 9.一元一次方程应用之和差倍分问题 10.一元一次方程应用之水电费问题 11.一元一次方程应用之行程问题 12.一元一次方程应用之比列分配问题 13.一元一次方程应用之日历问题 14.一元一次方程应用之古代问题 15.一元一次方程应用之其他问题 期末备考 压轴通关 压轴题(15题) 【知识点01.核心基础概念】 1.方程：含有未知数的等式，是刻画实际问题的数学模型。 2.一元一次方程：只含一个未知数，未知数次数为 1，等号两边均为整式的方程，标准形式为 ax + b = 0（a≠0，a、b 为常数）。 3.方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，也叫方程的根；求方程解的过程叫解方程。 4.等式的性质 *性质 1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。若 a = b，则 a ± c = b ± c。 *性质 2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为 0 的数，结果仍相等。若 a = b，则 ac = bc；若 a = b 且 c≠0，则 a/c = b/c。这是解方程的依据。 【知识点02.一元一次方程的解法(核心步骤)】 解一元一次方程的一般步骤可根据方程特点灵活调整，步骤如下： 1.去分母：方程两边同乘各分母的最小公倍数，消除分母，注意不要漏乘不含分母的项。 2.去括号：按去括号法则和乘法分配律去括号，括号前是负号时，括号内各项要变号。 3.移项：把含未知数的项移到等号左边，常数项移到右边，移项必须变号。 4.合并同类项：将同类项合并，把方程化为 ax = b（a≠0）的形式。 5系数化为 1：方程两边同除以未知数的系数 a，得解 x = 。 6.检验：将解代入原方程，验证左右两边是否相等；实际问题中还需检验解是否符合实际意义（如人数、长度不能为负）。 【知识点03.列一元一次方程解实际问题(核心应用)】 解题通用六步 1.审：审题，圈画已知量、未知量，找出关键等量关系提示词（如 “共”“比… 多”“是”“占” 等）。 2.设：设未知数，优先直接设所求量为 x；复杂问题可间接设关键量为 x，再用含 x 的式子表示其他相关量。 3.列：根据等量关系，用含 x 的代数式表示相关量，建立一元一次方程。 4.解：按上述解方程步骤求出 x 的值。 5.检：检验解是否为方程的解，且是否符合实际情境，不符合则舍去。 6.答：规范书写答案，注明单位。 【知识点04.常见题型与等量核心关系】 1. 配套问题 核心逻辑：生产或配置的不同部件需满足固定比例，才能完全配套。 例如 “1 个甲部件配 2 个乙部件”，则乙部件的总数量 = 2 × 甲部件的总数量；若 “3 个 A 部件配 1 个 B 部件”，则 A 部件的总数量 = 3 × B 部件的总数量。 解题时需根据题目给定的配套比例，建立部件数量间的等式。 2. 工程问题 核心公式：工作总量 = 工作效率 × 工作时间（效率表示单位时间完成的工作量）。 *若题目未明确工作总量，通常将总工作量设为 “1”，此时工作效率 = 1 / 完成工作的总时间（如单独完成需 5 天，效率为 1/5）； *多人合作时，总工作效率 = 各参与方的工作效率之和，合作完成时间 = 工作总量 ÷ 总效率； *等量关系常围绕 “各部分工作量之和 = 总工作量” 建立（如甲做 3 天 + 乙做 2 天 = 完成全部工作）。 3. 销售利润问题 核心公式： 利润 = 售价 - 成本价（进价）； 利润率 = （利润 ÷ 成本价）× 100%（利润率是利润占成本的比例）； 售价 = 成本价 × (1 + 利润率)（已知成本和利润率求售价）； 折扣价 = 标价 × 折扣率（如打 8 折，折扣率为 0.8，折扣价 = 标价 ×0.8）； 等量关系多基于 “利润计算”“售价构成” 或 “不同销售方式下利润对比” 建立（如 “打折后获利 20 元” 即折扣价 - 成本 = 20）。 4. 行程问题 核心公式：路程 = 速度 × 时间（s = vt）， 衍生公式：速度 = 路程 ÷ 时间，时间 = 路程 ÷ 速度。 *相遇问题：两人（或物体）从两地相向而行，相遇时各自走的路程之和 = 两地总距离； *追及问题：两人（或物体）同向而行，追及时快者走的路程 - 慢者走的路程 = 初始距离（追及开始时两者的距离）； *航行问题：顺水速度 = 静水速度 + 水流速度，逆水速度 = 静水速度 - 水流速度（风速问题同理，顺风 / 逆风速度与静风速度、风速的关系一致）； *环形跑道问题：同向相遇时，快者路程 - 慢者路程 = 跑道周长（首次相遇）；反向相遇时，两人路程之和 = 跑道周长（首次相遇）。 5. 增长率 / 下降率问题 核心公式： 增长后量 = 原量 × (1 + 增长率)ⁿ（n 为增长的期数，如年、月，单次增长 n=1）； 下降后量 = 原量 × (1 - 下降率)ⁿ（n 为下降的期数，单次下降 n=1）； 等量关系围绕 “变化后的量” 建立（如 “去年产量 500 吨，今年增长 10%，求今年产量” 或 “原价 100 元，连续两次降价后为 81 元，求每次降价率”）。 6. 利息问题 核心公式： 利息 = 本金 × 利率 × 期数（利率需与期数对应，如年利率对应年数，月利率对应月数）； 本息和 = 本金 + 利息（无利息税时）；若有利息税，实际所得利息 = 利息 × (1 - 税率)，本息和 = 本金 + 实际所得利息； 等量关系常为 “到期后本息和为 XX 元”“实际获得利息 XX 元” 等，据此建立方程。 7. 数字问题 核心逻辑：多位数的表示方法 —— 两位数 = 10× 十位数字 + 个位数字（如十位是 a，个位是 b，两位数为 10a+b）； 三位数 = 100× 百位数字 + 10× 十位数字 + 个位数字（如百位 a、十位 b、个位 c，三位数为 100a+10b+c）。 等量关系基于 “数字位置变化后得到新数，新数与原数的关系”（如 “一个两位数，十位数字是个位的 2 倍，交换位置后新数比原数小 36，求原数”）或 “数字间的和、差、倍数关系” 建立。 8. 方案选择问题 核心逻辑：分别计算不同方案的总费用（或总收益），用含未知数的代数式表示各方案的费用（收益），再通过以下方式建立关系： *求 “两种方案费用相等时的临界值”（如 “购买多少件商品时，方案 A 和方案 B 花费相同”）； *比较不同取值范围内各方案的费用高低，选择最优方案（需先通过方程找到临界值，再分区间讨论）。 9. 盈亏问题 核心逻辑：从 “盈利” 和 “亏损” 两个角度描述同一批物品的总量（或总价），总量（总价）不变是关键等量关系。 例如 “把一些物品分给若干人，每人分 3 个剩 5 个，每人分 4 个缺 2 个，求人数和物品数”，此时 “物品总数 = 3× 人数 + 5 = 4× 人数 - 2”。 10. 浓度问题 核心公式：溶质质量 = 溶液质量 × 浓度（浓度为溶质占溶液的比例，如浓度 20% 表示 100g 溶液中含 20g 溶质）； 等量关系：混合前后溶质总质量不变（如 “将 10% 的盐水 200g 与 20% 的盐水 300g 混合，求混合后浓度”，或 “用多少克水稀释 100g30% 的盐水，得到 20% 的盐水”）。 【知识点05.易错点与解题技巧】 1.易错点 *去分母漏乘不含分母的项；去括号时符号错误，尤其是括号前是负号的情况。 *移项忘记变号；系数化为 1 时，除数与被除数颠倒。 *实际问题中忽略单位统一，或未检验解的实际意义。 2.解题技巧 *复杂方程先观察结构，简化后再按步骤解；含多个括号的方程可先去小括号，再去中括号、大括号。 *找等量关系时，可借助线段图、表格等梳理数量关系，使关系更直观。 *设未知数时，尽量选择能简化计算的量，减少分数或复杂代数式的出现。 【知识点06.数学思想方法】 1.建模思想：将实际问题抽象为一元一次方程模型，用数学方法解决实际问题。 2.化归思想：通过去分母、去括号等步骤，将复杂方程逐步转化为 ax = b 的简单形式，化未知为已知。 3.方程思想：用等式关系表示未知量与已知量的联系，通过解方程求解未知量。 【题型1.一元一次方程应用之配套问题】 【典例】几个人共同种一批树苗，如果每人种12棵，则剩下5棵树苗；如果每人种14棵，则缺7棵树苗，求参与种树的人数和这批树苗的数量． 【跟踪训练1】有一批生产桌椅的木料，已知一块木料可以生产桌子2张或椅子5把，现有39块木料，如何分配可使生产的桌子和椅子恰好配套（一张桌子配4把椅子）？ 【跟踪训练2】劳动技术课上王老师带领七（1）班45名学生制作圆柱形小鼓，并且每名学生每小时可制作2个鼓身或剪6个鼓面． (1)老师组织全班学生制作小鼓，要求一个鼓身配两个鼓面，为了使每小时制作的鼓身与剪出的鼓面刚好配套，应该分配多少名学生制作鼓身？多少名学生剪鼓面？ (2)若想每小时制作78个小鼓，且制作的鼓身与剪出的鼓面刚好配套，应再加入多少名学生？请你直接写出结果和新加入人员具体的分配方案． 【题型2.一元一次方程应用之工程问题】 【典例】某工程队计划在天内修路，施工前天修完后，计划发生变化，准备提前天完成修路任务，剩下的工期内平均每天至少要修路多少千米？ 【跟踪训练1】今年年初，新民大街历史文化街区保护提升活化利用工程启动，新民大街历史文化街区全长1445米，施工团队在修建了80天后，为加快建设脚步，抢抓工期，施工团队决定提升修建速度，每天修建长度是原来的1.5倍，共用140天完成全部任务，求原来每天施工长度． 【跟踪训练2】某水稻实验基地防治病害虫有无人机喷洒和人工打药两种方式．在一次作业中，一架无人机工作2小时和一名工人工作6小时，共完成了320亩的打药任务（不重复作业），通过测量对比发现无人机每小时作业的面积恰好是人工的5倍． (1)请问一名工人和一架无人机每小时各完成多少亩？ (2)一架无人机和一名工人共同作业8小时能否完成1000亩的打药任务？请说明理由． 【题型3.一元一次方程应用之销售盈亏问题】 【典例】一种皮鞋，先按成本价提高后标价，为了促销，又按标价打八折出售，现知每双皮鞋卖出后赚8元，则这种皮鞋的成本价是多少？ 【跟踪训练1】为了防控冬季呼吸道疾病，我校积极进行校园环境消毒工作，购买了甲、乙两种消毒液共100瓶，其中甲种每瓶6元，乙种每瓶9元，如果购买这两种消毒液共花去780元，求甲、乙两种消毒液各购买了多少瓶？ 【跟踪训练2】某品牌运动鞋原价元/双，促销方案如下： 方案一（普通优惠）：购买2双及以上时，超出2双的部分打8折． 方案二（会员优惠）：办理会员卡需付元工本费（仅首次办理需要，之后购买都享受会员价），会员价元/双． 小华发现在某个购买数量下，两种方案的总花费相同．请问小华购买了多少双运动鞋？总花费是多少元？ 【题型4.一元一次方程应用之比赛积分问题】 【典例】某中学篮球赛小组赛积分榜（小组赛每队进行10场比赛）如下表： 队名 比赛场次 胜场 负场 积分 勤勉队 10 8 2 26 无限队 10 ？ ？ 22 进取队 10 5 5 20 超越队 10 0 10 10 (1)胜一场积_____分，负一场积_______分； (2)求无限队的胜场数和负场数． 【跟踪训练1】某小区组织了篮球比赛，比赛分初赛阶段和决赛阶段．在初赛阶段中，每队有10场比赛，每场比赛都要分出胜负．积分规则如下：胜1场积2分，负1场积1分，积分超过15分才能获得决赛资格． (1)若甲队在初赛阶段获得4场胜利，问：甲队是否有资格参加决赛？请说明理由， (2)已知乙队在初赛阶段的积分为18分，求乙队在初赛阶段胜、负的场数． 【跟踪训练2】开学初，张老师在七（2）班组织了一次“疫情防控”知识竞赛，共有30道题，答对一题得4分，不答或答错一题扣2分． (1)设小明同学参加了竞赛，共答对了x道题，则他的成绩是 (用含有x的字母表示) (2)小明同学参加了竞赛，竞赛成绩是84分，请问小明同学在竞赛中答对了多少道题？ 【题型5.一元一次方程应用之方案选择问题】 【典例】为进一步加强居民对电信诈骗的防范意识，提高对电信诈馅的鉴别、自我保护能力，营造全民反诈的浓厚氛围，某小区志愿者们积极配合社区开展反诈骗宣传工作，准备印制一些反诈骗宣传小册子，利用中秋国庆假期到公园里开展防诈骗、反诈骗宣传活动，现有甲、乙两家印刷店可供选择，两家收费情况如下： 印刷店 设计费/元 印刷单价/（元/册） 甲 6 4 乙 12 (1)请你替该小区志愿者们计算一下，印刷多少册，两家的印刷总费用是相等的？ (2)乙店得知志愿者们用零花钱集资印刷宣传册后，将印刷单价给予打折优惠，志愿者们花费201元即可印刷60册，请你计算一下，乙店是打几折优惠的？ 【跟踪训练1】“华南最大的人工湖”——万绿湖风景名胜区，碧波万顷，生态优美，是国家5A级旅游景区，暑假期间，景区门票定价35元/张，团队票可享受两种优惠方案： 方案一：全体人员享受门票8折优惠． 方案二：团队中4人可免票，其余成员享受门票9折优惠． (1)某团队共有40人，为节省购票费用，应选择哪种购票方案？ (2)如果该团队人数为x人（），当x为多少时，购票费用刚好相同？ 【跟踪训练2】齐齐哈尔市某中学组织学生参观扎龙自然保护区，租用了3辆大客车和2辆小客车，一共坐了180人，已知每辆大客车比每辆小客车多坐15人，每辆大客车和小客车各坐多少人？ 【题型6.一元一次方程应用之数字问题】 【典例】若与的值互为相反数，求的值． 【跟踪训练1】规定，当时，试求的值． 【跟踪训练2】阅读材料：在一次数学活动课上，小智发现：若一个两位正整数，十位上的数字为，个位上的数字为（），把十位上的数字与个位上的数字交换位置，原数与所得新数的差等于与的差的倍． 回答问题： (1)请证明小智的发现； (2)已知一个三位正整数的百位上的数字为，个位上的数字为，把百位上的数字与个位上的数字交换位置，十位上的数字不变，原数与所得新数的差等于594，请直接写出的值． 【题型7.一元一次方程应用之几何问题】 【典例】若一个锐角的度数为，且这个锐角比它的余角小． (1)这个锐角的余角为______（用含的式子表示）； (2)求这个锐角的度数． 【跟踪训练1】已知一个圆柱的底面半径为，高为，则该圆柱的表面积，若，，求的值．（取3.14） 【跟踪训练2】对于数轴上不同的三个点，，，若满足，则称点是点关于点的“倍分点”．例如，如图，在数轴上，点，表示的数分别是，，可知原点是点关于点的“倍分点”，原点也是点关于点的“倍分点”．在数轴上，已知点表示的数是，点表示的数是． (1)若点在线段上，且点是点关于点的“倍分点”，则点表示的数是 ； (2)若点在数轴上，，且点是点关于点的“倍分点”，求的值； 【题型8.一元一次方程应用之动点问题】 【典例】在数轴上，点、表示的数分别是 和 ，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动；同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动；设运动时间为秒． (1)运动秒后，点表示的数是 ，点表示的数是 ． (2)当点与点相遇时，求的值及相遇点表示的数． 【跟踪训练1】如图，在数轴上，点表示最大的负整数，点表示的数的立方等于8，点在正半轴，且到点的距离是10． (1)点表示的数是 ，点表示的数是 ，点表示的数是 ； (2)点从点出发，以每秒2个单位的速度向右运动，到达点后速度立即减小为原来的一半并继续向右运动，点从点出发，以每秒3个单位的速度向左运动，到达点后立即按原速度折返继续运动，设运动时间是秒（）． i）当时，求点和点之间的距离； ii）是否存在这样的值，使得点到点距离是点到点距离的2倍？若存在，请求出满足条件的所有值；若不存在，请说明理由． 【跟踪训练2】如图，在数轴上有A、B两点，点A表示的数为，点B表示的数为14，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t秒（）． (1)当时， ，此时点P表示的数为 ； (2)当时，求t的值； (3)若动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点P、Q同时出发，经过多少秒后，P、Q两点之间的距离为6个单位长度？ 【题型9.一元一次方程应用之和差倍分问题】 【典例】某中学体育队原来有队员120人，女队员增加，男队员减少后，现在有队员114人，现在男、女队员各有多少人？ 【跟踪训练1】2024年9月份强台风“摩羯”袭击海南，造成严重的破坏．一方有难八方支援，全国各地纷纷来支援海南，其中有来自广东“粤粤”、广西“桂桂”的两个电网支援队伍参与其中，认真阅读以下“粤粤”与“桂桂”的对话后，求“粤粤”、“桂桂”两个电网支援队各有多少人？ 【跟踪训练2】开学初乐乐用自己积攒的零用钱购买一些文具，他先花了零用钱的买了一支钢笔，接着又用剩下零用钱的买了一个全自动削笔机，已知这个全自动削笔机比这支钢笔贵了21元，请问乐乐购买这支钢笔花了多少钱？ 【题型10.一元一次方程应用之水电费问题】 【典例】为了鼓励节约用电，某市电力公司规定了以下的电费计算方法：每月的用电不超过100千瓦时，按每千瓦时0.52元收费；每月用电超过100千瓦时，超过的部分按每千瓦时0.6元收费．小明家十月份的电费是64.6元，用电多少千瓦时？ 【跟踪训练1】小明家最近购买了一台电动汽车，为方便给电动汽车充电，小明家安装了家庭充电桩．根据国家有关政策，该充电桩给电动汽车充电时，实行“峰谷电”计价的方式：峰时电费单价为元/度；谷时电费单价为元/度． (1)已知小明家所购买的这台电动汽车平均电耗为12度/百公里，在不考虑其他因素的情况下，这台电动汽车平均行驶300公里，至少需要电费______________元； (2)若该充电桩在七月份充电总量为210度，峰时充电量为x度，求该充电桩在七月份的电费（用含x的代数式表示）； (3)在（2）的条件下，若小明家在七月份使用该充电桩所花电费为95.8元，则七月份该充电桩峰时充电多少度？谷时充电多少度？ 【跟踪训练2】为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段达到节水的目的，该市自来水收费的价目表如下表（注：水费按月份结算，表示立方米）； 每月用水量 单价 不超出的部分 元/ 超出不超出的部分 元/ 超出的部分 元/ (1)填空：若该户居民月份用水，则应收水费___________元； (2)若该户居民月份水费为元，求该居民用了多少水？ (3)若该户居民，两个月共用水（月份用水量超过了月份），设月份用水，求该户居民，两个月共交水费多少元？（用含的代数式表示） 【题型11.一元一次方程应用之行程问题】 【典例】甲，乙两船从港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是，水流速度是． (1)后甲，乙两船相距多远？ (2)若甲船从港口顺水航行到达港口；从港口返回港口逆水而行，用了，求水流速度． 【跟踪训练1】小明要在早上之前到达距家米的学校上学．一天，小明以80米/分的速度从家出发，5分钟后，爸爸发现小明忘了带数学书，于是爸爸立即以米/分的速度去追小明，并在中途追上了他．爸爸追上小明用了多少分钟？（列方程计算） 【跟踪训练2】如图，分别为数轴上的两个点，点 表示的数为，点表示的数为．一只电子蚂蚁从点出发，以每秒个单位长度的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁从点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动，经过多长时间这两只电子蚂蚁在数轴上相距个单位长度？ 【题型12.一元一次方程应用之比列分配问题】 【典例】列方程解应用题：洗衣机厂某月计划生产Ⅰ型、Ⅱ型、Ⅲ型洗衣机共2550台，其中Ⅰ型、Ⅱ型、Ⅲ型三种洗衣机的数量之比为，洗衣机厂该月计划生产这三种洗衣机各多少台？ 【跟踪训练1】A、B两种商品的价格比是，如果每种商品的价格上涨元，A、B两种商品的价格比变为，这两种商品的原价分别是多少？ 【跟踪训练2】如图，两根铁棒直立于桶底水平的桶中，在桶中加入水后，一根铁棒在水面以上的长度是总长度的，另一根铁棒在水面以上的长度是总长度的，已知两根铁棒的长度之和是31厘米，桶内水深多少厘米？ 【题型13.一元一次方程应用之日历问题】 【典例】如表是年月日历，如图，用一长方形框在表中任意框个数． (1)若记长方形框左上角的一个数为，则另三个数用含的式子表示出来，从小到大依次是______，______，______． (2)移动长方形框，被长方形框所框的个数之和可能是吗？请说明理由． 【跟踪训练1】在月历中，每个字母都代表某个具体日期． (1)在图（1）中任意框出五个数，则______，这5个数的和为______(都用含x的式子表示)； (2)在图（1）中，的和与x的关系是什么？通过计算说明； (3)已知图（2）是某个月的月历，如果用框出的5个数的和为80，求中间的那个数． 【跟踪训练2】数学活动课上，王老师带领同学们探究月历中的奥秘．老师将如图1的2025年10月的月历复印给同学们，同学们设计了如图的形框，框住的数在形框中的位置如图2所示，形框框住的五个数中，最小数与最大数的乘积能否等于260？若能，请求出的值；若不能，请说明理由． 【题型14.一元一次方程应用之古代问题】 【典例】我国古代数学著作《算学启蒙》一书记载：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里；驽马先行一十二日，问良马几何追及之．其大意是：良马每天走240里，劣马每天走150里；劣马先走12天．问良马几天可以追上劣马？（列方程求解） 【跟踪训练1】古代民间流传着这样一道题：“李白街上走，提壶去打酒．遇店加一倍，见花喝一斗．三遇店和花，喝光壶中酒．试问酒壶中，原有多少酒？”意思是李白在街上走，提着酒壶边喝边打酒，每次遇到店就将壶中的酒加一倍，每次看见花就喝去一斗．这样，他先遇到店，再看见花，共反复三次，在最后一次看到花时，把酒喝完了．壶中原来有多少斗酒？请解答上述问题． 【跟踪训练2】中国古代人民在生产生活中发现了许多数学问题，在《孙子算经》中记载了这样一个问题，大意为：有若干人乘车，若每车乘坐人，则辆车无人乘坐；若每车乘坐人，则人无车可乘，问共有多少辆车，多少人？ 【题型15.一元一次方程应用之其他问题】 【典例】一条路，第一天修了180米，第二天修了全长的，未修的比已修的少30米，这条路全长多少米？ 【跟踪训练1】将一些长为，宽为的长方形白纸，按照下图所示的方法粘合起来，粘合部分的宽为． 观察图形中的规律，解答下列问题： (1)将2张白纸粘合起来，2张白纸的总长度是________； (2)设白纸有x张，则粘合后的总长度为：_______（用含x的代数式表示）； (3)你认为白纸粘合起来的总长度可能为吗？为什么？ 【跟踪训练2】2025年10月20日，我校八年级计划前往中国科学院国家授时中心进行研学活动．学校研学团队计划租用甲、乙两种不同类型的客车作为交通工具．已知租用了甲、乙两种车辆共15辆．假设1辆甲型车每公里的油耗成本为6元（每公里油耗固定），1辆乙型车每公里的油耗成本为5元．若此次行程为100公里，总油耗成本为8000元．请求出甲、乙两种类型车辆各租多少辆？ 1．一箱桃子分给甲、乙、丙．甲分得了全部的加7个，乙分得了全部的加5个，丙分得其余的一半，最后剩下的是全部的．这箱桃子有几个？ 2．某纺织厂生产床品四件套（1个床单，1个被套，2个枕套），现计划安排15名工人缝制枕套和被套，已知每人每天可缝制200个枕套或50个被套． (1)为使每天缝制的枕套和被套刚好配套，则每天缝制的被套有多少个？ (2)若每个枕套和每个被套均需1个拉链，现有600个枕套，300个被套，300个床单以及885个拉链，则最终能组成多少套四件套？ 3．某商场进了20台A、B、C三种型号的冰箱，根据下表提供的信息，解答以下问题： 冰箱类型 A B C 购进的台数（台） 8 6 每台冰箱的销售价（元） 2000 3000 (1)商场购进A型号冰箱______________台； (2)每台A型号冰箱的销售价比每台型号冰箱的销售价便宜． ①每台C型号冰箱的销售价是_______________元； ②如果每台A、B两种型号冰箱的成本价之比是，每台C型号冰箱的成本价比每台B型号冰箱的成本价少500元，且每台C型号冰箱的成本价比每台A型号冰箱的成本价多300元，则每台C型号冰箱的成本价是多少元？每台C型号冰箱的盈利率是多少？（百分号前保留一位小数） ③如果要使A、B两种型号冰箱的总利润达到6000元，那么需要销售A种型号冰箱______________台． 4．某超市开业，为了吸引顾客，实行优惠，方案如下表： 购物标价 小于200元 满200元且不超过500元 超过500元 优惠方式 不予优惠 按标价9折优惠 500元部分（包括500元）给予9折优惠，超过500元部分给予8折优惠 (1)小张付款189元，则购买了标价为 元的商品； (2)小张购买标价为x（） 元的商品，则他付款 元；（用含x 的代数式表示） (3)小张两次购物，第一次购买了标价为260元的商品，商家获利，第二次购买了标价550元的商品，商家获利，如果他把两次购买的商品合并为一次，请你计算，商家获利多少元? 5.．为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．如表是该市“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息： 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 17吨及以下 a 超过17吨但不超过30吨的部分 b 超过 30 吨的部分 （说明：①每户产生的污水量等于该户自来水用量；②水费=自来水费用+污水处理费） 已知小王家2024年7月用水15吨，交水费30元；8月份用水26吨，交水费61元． (1)求a，b的值． (2)如果小王家9月份上交水费108元，则小王家这个月用水多少吨？ (3)小王家10月份忘记去交水费，当他11月去交水费时发现两个月一共用水52吨（其中10月份用水超过30吨），一共交水费元（其中包含10月份的滞纳金，即10月份水费的），求小王家11月份用水多少吨．（滞纳金：因未能按期缴纳水费，逾期要缴纳的“罚款金额”） 6．综合与实践 【问题情境】某学校七年级举行篮球比赛，七年级共15个班参加比赛，比赛采取单循环赛（每两队之间比赛一场）．下表记录了5支篮球队的积分情况： 班名 比赛场次 胜场 负场 积分 七（2） 14 12 2 26 七（5） 14 8 6 22 七（9） 14 7 7 21 七（11） 14 4 10 18 七（15） 14 0 14 14 【提出问题】 某班的胜场总积分能等于它的负场总积分吗？请说明理由． 【分析问题】 小智：观察积分榜，从七（15）班的比赛数据可以看出，负一场积1分．若设胜一场的积分为分，则根据七（2）班的比赛数据，可以得到方程___________①___________ 小慧：从七（9）班的比赛数据看，胜一场的积分+负一场的积分共为3分．若设胜一场的积分为分，则负一场的积分用含的式子可以表示__________②__________分，再根据七（5）班的比赛数据，还可以列出方程__________③__________． 小聪：根据七（2）班的比赛数据，若设胜一场的积分为分，则负一场的积分用含的式子可以表示为___________④___________分，再根据七（5）班的比赛数据，还可以列出方程___________⑤___________． 小明：只要我们求出了负一场和胜一场的积分各是多少分，就能解决上述问题了． 【解决问题】根据上面展示交流的过程，完成下列学习任务： (1)请将上述展示交流过程中，序号处缺少的内容补充出来： ①__________；②__________；③__________；④__________；⑤__________； (2)请求出胜一场的积分； (3)请你解决上述提出的问题：某班的胜场总积分能等于它的负场总积分吗？请说明理由． 7．若一个两位数十位、个位上的数字分别为m，n，我们可将这个两位数记为，易知；同理，一个三位数也可以用此记法，如． 【基础训练】 (1)填空： ①若，则______． ②若，则x=______． 【能力提升】 (2)交换一个两位数的个位数字与十位数字，可得到一个新两位数，如果所得的新两位数比原两位数大9，那么请求出这样的两位数． 【探索发现】 (3)数学中有一个有趣的黑洞现象：任选一个三位数，要求个、十、百位的数字各不相同，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数（例如若选的数为325，则用），再将这个新数按上述方式重新排列，再相减，像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”． 通过探索发现：该“卡普雷卡尔黑洞数”为______． 8．列方程解应用题： 长期坚持跑步可以增强心肺功能，让身体更加健康．周六早上小健和小乐相约去奥森跑步．小健家离奥森近，决定步行前往，他从家出发时刻与到达奥森时手表显示信息分别如图1和图2所示． 小乐出发比小健晚了5分钟，且家离奥森比小健家离奥森远米，所以小乐决定骑自行车前往，小乐骑行的平均速度是小健步行的平均速度的倍，最终小乐与小健在同一时刻到达奥森．求小健步行的平均速度和平均步长． 9．将正整数至按一定规律排列成如图所示的列，规定从上到下依次为第行，第行，，从左至右依次为第列至第列． (1)数在第_____行第_____列； 数在第_____行第_____列； (2)平移图中带阴影的方框，使方框框住相邻的三个数，设被框住的三个数中，最小的一个数为． 直接写出被框住的三个数的和_____（用含的式子表示）； 被框的三个数的和是否可以等于？若能，请求出；若不能，请说明理由． 10．一项工程，甲独做要 12 小时完成，乙独做 18 小时完成．如果先由甲工作 1 小时，然 后由乙接替甲工作 1 小时，再由甲接替乙工作 1 小时……两人如此交替工作，那么： (1)完成任务时共用了多少小时？ (2)如果把条件中的“乙独做 18 小时完成”改为“乙独做 15 小时完成”，则完成任务时 共用了多少小时呢？ 11．已知直线为直线上一点，过作交于为直线上两点，连接，．（本题出现的角均指不大于平角的角） (1)如图1，若，平分，平分，求的度数． (2)如图2，若射线是内的一条射线，射线是内的一条射线．当，，求的度数． (3)如图3，若，射线从与射线重合的位置绕点顺时针方向旋转，速度为每秒10°，射线同时从与射线重合的位置绕点逆时针方向旋转，速度为每秒．当射线运动到与射线重合时，射线都同时停止运动．设运动时间为秒，当时，请你直接写出的值． 12．某化工厂每天产生超过100吨的工业废水，为使排放的工业废水达到国家的排放标准，建设了一座工业废水处理站．该处理站无论是否处理废水，都需要支付设备维护费用200元/天，且处理废水还需其他费用5元/吨．随着生产规模的扩大，该废水处理站已无法完成当天工业废水的处理任务，需要将一部分废水交给第三方企业处理，该企业处理工业废水的价格如表二所示． 表二 收费方式 废水处理量/吨 费用 第一阶梯 0～50 500元 第二阶梯 50～100的部分 5元/吨 第三阶梯 100以上的部分 4元/吨 (1)设某天有m吨废水在处理站处理，直接写出处理站处理废水产生的总费用； (2)若某天该工厂将一半的废水由处理站处理，另一半废水由第三方企业处理，该废水处理站处理废水产生的总费用与第三方企业处理废水产生的费用相同，求这一天该工厂产生的废水总量； (3)经测算，扩大生产规模后，每天产生的废水量超过该处理站日废水处理量至少50吨，为实现降本增效，工厂设计了两种废水处理方案：方案A：超出该处理站的日废水处理量的废水交给第三方企业处理；方案B：保留处理站的设备，但废水全部交给第三方企业处理．根据以上信息，请帮助工厂选择最优方案，并说明理由． 13．如图，数轴上有A，B，C三个点对应的数分别为a，b，c，且满足． (1)直接写出a，b，c的值； (2)若数轴上有两个动点P，Q分别从A，B两点出发沿数轴同时出发向右匀速运动，点P速度为3单位长度/秒，点Q速度为1单位长度/秒，若运动时间为t秒，运动过程中，是否存在线段的中点M到点的中点N距离为3，若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由； (3)在（2）的条件下，另外两个动点E，F分别随着P，Q一起运动，且始终保持线段，线段（点E在P的左边，点F在Q的左边），当点P运动到点C时，线段立即以相同的速度返回，当点P再次运动到点A时，线段和立即同时停止运动，在整个运动过程中，是否存在使两条线段和重叠部分为的一半，若存在，请直接写出t的值，若不存在，请说明理由． 14．定义：点M、N是数轴上不重合的两点，当数轴上的点P满足，则称点P是点M和点N的“双倍点”. 已知：点O、A、B在数轴上表示的数分别为0、a、b，回答下面的问题： (1)当，时，点A和点B的“双倍点”所表示的数为：______； (2)当且时，如果O、A、B中恰有一点是另外两个点的“双倍点”，则______； (3)若，，点C、D在数轴上表示的数分别为、，线段和点B同时沿数轴正方向移动，点B的速度是每秒3个单位长度，线段的速度是每秒8个单位长度，设运动的时间为t秒，当线段上存在点A和点B的“双倍点”时，求t的取值范围． 15．综合与实践 阅读材料，解答下列问题： 幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，如图1．把图1的洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，如图2，它的每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等． (1)在图2中，每行、每列、每条对角线上三个数的和都是______； (2)设图3所示的三阶幻方中间的数为x（x为整数），请用含x的代数式将图3幻方补充完整； (3)如图4是一个三阶幻方，按方格中已给的信息，求x的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习10用一元一次方程解决实际问题讲义 期末 必备 知识 点梳 理 1.核心基础概念 2.一元一次方程解法(核心步骤) 3.列一元一次方程解决实际问题(核心应用 4.常见题型与核心等量关系 45易错点与解题技巧 6.数学思想方法 常考 题型 精讲 精炼 1.一元一次方程应用之配套问题 2.一元一次方程应用之工程问题 3.一元一次方程应用之销售盈亏问题 4.一元一次方程应用之比赛积分问题 5.一元一次方程应用之方案选择问题 6.一元一次方程应用之数字问题 7.一元一次方程应用之几何问题 8.一元一次方程应用之动点问题 9.一元一次方程应用之和差倍分问题 10.一元一次方程应用之水电费问题 11.一元一次方程应用之行程问题 12.一元一次方程应用之比列分配问题 13.一元一次方程应用之日历问题 14.一元一次方程应用之古代问题 15.一元一次方程应用之其他问题 期末备考 压轴通关 压轴题(15题) 【知识点01.核心基础概念】 1.方程：含有未知数的等式，是刻画实际问题的数学模型。 2.一元一次方程：只含一个未知数，未知数次数为 1，等号两边均为整式的方程，标准形式为 ax + b = 0（a≠0，a、b 为常数）。 3.方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，也叫方程的根；求方程解的过程叫解方程。 4.等式的性质 *性质 1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。若 a = b，则 a ± c = b ± c。 *性质 2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为 0 的数，结果仍相等。若 a = b，则 ac = bc；若 a = b 且 c≠0，则 a/c = b/c。这是解方程的依据。 【知识点02.一元一次方程的解法(核心步骤)】 解一元一次方程的一般步骤可根据方程特点灵活调整，步骤如下： 1.去分母：方程两边同乘各分母的最小公倍数，消除分母，注意不要漏乘不含分母的项。 2.去括号：按去括号法则和乘法分配律去括号，括号前是负号时，括号内各项要变号。 3.移项：把含未知数的项移到等号左边，常数项移到右边，移项必须变号。 4.合并同类项：将同类项合并，把方程化为 ax = b（a≠0）的形式。 5系数化为 1：方程两边同除以未知数的系数 a，得解 x = 。 6.检验：将解代入原方程，验证左右两边是否相等；实际问题中还需检验解是否符合实际意义（如人数、长度不能为负）。 【知识点03.列一元一次方程解实际问题(核心应用)】 解题通用六步 1.审：审题，圈画已知量、未知量，找出关键等量关系提示词（如 “共”“比… 多”“是”“占” 等）。 2.设：设未知数，优先直接设所求量为 x；复杂问题可间接设关键量为 x，再用含 x 的式子表示其他相关量。 3.列：根据等量关系，用含 x 的代数式表示相关量，建立一元一次方程。 4.解：按上述解方程步骤求出 x 的值。 5.检：检验解是否为方程的解，且是否符合实际情境，不符合则舍去。 6.答：规范书写答案，注明单位。 【知识点04.常见题型与等量核心关系】 1. 配套问题 核心逻辑：生产或配置的不同部件需满足固定比例，才能完全配套。 例如 “1 个甲部件配 2 个乙部件”，则乙部件的总数量 = 2 × 甲部件的总数量；若 “3 个 A 部件配 1 个 B 部件”，则 A 部件的总数量 = 3 × B 部件的总数量。 解题时需根据题目给定的配套比例，建立部件数量间的等式。 2. 工程问题 核心公式：工作总量 = 工作效率 × 工作时间（效率表示单位时间完成的工作量）。 *若题目未明确工作总量，通常将总工作量设为 “1”，此时工作效率 = 1 / 完成工作的总时间（如单独完成需 5 天，效率为 1/5）； *多人合作时，总工作效率 = 各参与方的工作效率之和，合作完成时间 = 工作总量 ÷ 总效率； *等量关系常围绕 “各部分工作量之和 = 总工作量” 建立（如甲做 3 天 + 乙做 2 天 = 完成全部工作）。 3. 销售利润问题 核心公式： 利润 = 售价 - 成本价（进价）； 利润率 = （利润 ÷ 成本价）× 100%（利润率是利润占成本的比例）； 售价 = 成本价 × (1 + 利润率)（已知成本和利润率求售价）； 折扣价 = 标价 × 折扣率（如打 8 折，折扣率为 0.8，折扣价 = 标价 ×0.8）； 等量关系多基于 “利润计算”“售价构成” 或 “不同销售方式下利润对比” 建立（如 “打折后获利 20 元” 即折扣价 - 成本 = 20）。 4. 行程问题 核心公式：路程 = 速度 × 时间（s = vt）， 衍生公式：速度 = 路程 ÷ 时间，时间 = 路程 ÷ 速度。 *相遇问题：两人（或物体）从两地相向而行，相遇时各自走的路程之和 = 两地总距离； *追及问题：两人（或物体）同向而行，追及时快者走的路程 - 慢者走的路程 = 初始距离（追及开始时两者的距离）； *航行问题：顺水速度 = 静水速度 + 水流速度，逆水速度 = 静水速度 - 水流速度（风速问题同理，顺风 / 逆风速度与静风速度、风速的关系一致）； *环形跑道问题：同向相遇时，快者路程 - 慢者路程 = 跑道周长（首次相遇）；反向相遇时，两人路程之和 = 跑道周长（首次相遇）。 5. 增长率 / 下降率问题 核心公式： 增长后量 = 原量 × (1 + 增长率)ⁿ（n 为增长的期数，如年、月，单次增长 n=1）； 下降后量 = 原量 × (1 - 下降率)ⁿ（n 为下降的期数，单次下降 n=1）； 等量关系围绕 “变化后的量” 建立（如 “去年产量 500 吨，今年增长 10%，求今年产量” 或 “原价 100 元，连续两次降价后为 81 元，求每次降价率”）。 6. 利息问题 核心公式： 利息 = 本金 × 利率 × 期数（利率需与期数对应，如年利率对应年数，月利率对应月数）； 本息和 = 本金 + 利息（无利息税时）；若有利息税，实际所得利息 = 利息 × (1 - 税率)，本息和 = 本金 + 实际所得利息； 等量关系常为 “到期后本息和为 XX 元”“实际获得利息 XX 元” 等，据此建立方程。 7. 数字问题 核心逻辑：多位数的表示方法 —— 两位数 = 10× 十位数字 + 个位数字（如十位是 a，个位是 b，两位数为 10a+b）； 三位数 = 100× 百位数字 + 10× 十位数字 + 个位数字（如百位 a、十位 b、个位 c，三位数为 100a+10b+c）。 等量关系基于 “数字位置变化后得到新数，新数与原数的关系”（如 “一个两位数，十位数字是个位的 2 倍，交换位置后新数比原数小 36，求原数”）或 “数字间的和、差、倍数关系” 建立。 8. 方案选择问题 核心逻辑：分别计算不同方案的总费用（或总收益），用含未知数的代数式表示各方案的费用（收益），再通过以下方式建立关系： *求 “两种方案费用相等时的临界值”（如 “购买多少件商品时，方案 A 和方案 B 花费相同”）； *比较不同取值范围内各方案的费用高低，选择最优方案（需先通过方程找到临界值，再分区间讨论）。 9. 盈亏问题 核心逻辑：从 “盈利” 和 “亏损” 两个角度描述同一批物品的总量（或总价），总量（总价）不变是关键等量关系。 例如 “把一些物品分给若干人，每人分 3 个剩 5 个，每人分 4 个缺 2 个，求人数和物品数”，此时 “物品总数 = 3× 人数 + 5 = 4× 人数 - 2”。 10. 浓度问题 核心公式：溶质质量 = 溶液质量 × 浓度（浓度为溶质占溶液的比例，如浓度 20% 表示 100g 溶液中含 20g 溶质）； 等量关系：混合前后溶质总质量不变（如 “将 10% 的盐水 200g 与 20% 的盐水 300g 混合，求混合后浓度”，或 “用多少克水稀释 100g30% 的盐水，得到 20% 的盐水”）。 【知识点05.易错点与解题技巧】 1.易错点 *去分母漏乘不含分母的项；去括号时符号错误，尤其是括号前是负号的情况。 *移项忘记变号；系数化为 1 时，除数与被除数颠倒。 *实际问题中忽略单位统一，或未检验解的实际意义。 2.解题技巧 *复杂方程先观察结构，简化后再按步骤解；含多个括号的方程可先去小括号，再去中括号、大括号。 *找等量关系时，可借助线段图、表格等梳理数量关系，使关系更直观。 *设未知数时，尽量选择能简化计算的量，减少分数或复杂代数式的出现。 【知识点06.数学思想方法】 1.建模思想：将实际问题抽象为一元一次方程模型，用数学方法解决实际问题。 2.化归思想：通过去分母、去括号等步骤，将复杂方程逐步转化为 ax = b 的简单形式，化未知为已知。 3.方程思想：用等式关系表示未知量与已知量的联系，通过解方程求解未知量。 【题型1.一元一次方程应用之配套问题】 【典例】几个人共同种一批树苗，如果每人种12棵，则剩下5棵树苗；如果每人种14棵，则缺7棵树苗，求参与种树的人数和这批树苗的数量． 【答案】有6人参与种树，树苗共77棵． 【分析】设参与种树的有人，再根据两种分配方式建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设参与种树的有人， 由题意得：， ， ， ， 当时，（棵）， 答：有6人参与种树，树苗共77棵． 【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，正确建立方程是解题关键． 【跟踪训练1】有一批生产桌椅的木料，已知一块木料可以生产桌子2张或椅子5把，现有39块木料，如何分配可使生产的桌子和椅子恰好配套（一张桌子配4把椅子）？ 【答案】应该用15块木料生产桌子，用24块木料生产椅子 【分析】此题重点考查一元一次方程的应用，正确地用代数式表示生产桌子的数量和生产椅子的数量是解题的关键．设用x块木料生产桌子，则用块木料生产椅子，生产桌子张，生产椅子把，根据椅子的数量是桌子数量的4倍列方程得，解方程求出x的值，再求出代数式的值即可． 【详解】解：设用x块木料生产桌子，则用块木料生产椅子， 根据题意得， 解得， ∴， 答：应该用15块木料生产桌子，用24块木料生产椅子． 【跟踪训练2】劳动技术课上王老师带领七（1）班45名学生制作圆柱形小鼓，并且每名学生每小时可制作2个鼓身或剪6个鼓面． (1)老师组织全班学生制作小鼓，要求一个鼓身配两个鼓面，为了使每小时制作的鼓身与剪出的鼓面刚好配套，应该分配多少名学生制作鼓身？多少名学生剪鼓面？ (2)若想每小时制作78个小鼓，且制作的鼓身与剪出的鼓面刚好配套，应再加入多少名学生？请你直接写出结果和新加入人员具体的分配方案． 【答案】(1)应该分配27名学生制作鼓身，18名学生剪鼓面 (2)应再加入20名学生，其中12名学生制作鼓身，8名学生剪鼓面 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． （1）设分配名学生制作鼓身，则名学生剪鼓面，根据题意列出方程，求出的值即可解答； （2）由（1）知分配27名学生制作鼓身，18名学生剪鼓面，则每小时可制作小鼓个，还需制作个小鼓，再根据题意即可求解． 【详解】（1）解：设分配名学生制作鼓身，则名学生剪鼓面， 根据题意，得， 解得， 则， 答：应该分配27名学生制作鼓身，18名学生剪鼓面； （2）解：由（1）知分配27名学生制作鼓身，18名学生剪鼓面，则每小时可制作小鼓（个），还需制作（个）小鼓， ∴应再加入制作鼓身的人数为（名），剪鼓面的人数为（名）， 则新加入（名）， ∴综上所述，应再加入20名学生，其中12名学生制作鼓身，8名学生剪鼓面． 【题型2.一元一次方程应用之工程问题】 【典例】某工程队计划在天内修路，施工前天修完后，计划发生变化，准备提前天完成修路任务，剩下的工期内平均每天至少要修路多少千米？ 【答案】剩下的工期内平均每天至少要修路 【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用，解题的关键是正确理解题意，列不等式． 根据题意列不等式，解不等式即可． 【详解】解：设剩下的工期内平均每天修路， 根据题意得，， 解得， ∴的最小值为， 答：剩下的工期内平均每天至少要修路． 【跟踪训练1】今年年初，新民大街历史文化街区保护提升活化利用工程启动，新民大街历史文化街区全长1445米，施工团队在修建了80天后，为加快建设脚步，抢抓工期，施工团队决定提升修建速度，每天修建长度是原来的1.5倍，共用140天完成全部任务，求原来每天施工长度． 【答案】8.5米 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解决本题的关键是根据题意建立等量关系列方程． 设原来每天施工长度为x米，根据总天数列方程求解即可． 【详解】解：设原来每天施工长度为x米， 则提升修建速度后每天修建长度为米， ∴， 即，解得， ∴原来每天施工长度为8.5米． 【跟踪训练2】某水稻实验基地防治病害虫有无人机喷洒和人工打药两种方式．在一次作业中，一架无人机工作2小时和一名工人工作6小时，共完成了320亩的打药任务（不重复作业），通过测量对比发现无人机每小时作业的面积恰好是人工的5倍． (1)请问一名工人和一架无人机每小时各完成多少亩？ (2)一架无人机和一名工人共同作业8小时能否完成1000亩的打药任务？请说明理由． 【答案】(1)一名工人每小时完成20亩,一架无人机每小时完成100亩 (2)不能完成，见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，熟练掌握解方程是理解题的关键． （1）设一名工人每小时完成x亩,一架无人机每小时亩，根据题意，得，解方程即可． （2）计算一架无人机和一名工人共同作业8小时完成的总工作量，与1000亩比较，解答即可． 【详解】（1）解：设一名工人每小时完成x亩,一架无人机每小时亩，由题意得： ， 解得， ， 即一名工人每小时完成20亩,一架无人机每小时完成100亩； （2）解：不能完成，理由如下： 一架无人机和一名工人共同作业8小时完成的工作量为： ， 故不能完成任务． 【题型3.一元一次方程应用之销售盈亏问题】 【典例】一种皮鞋，先按成本价提高后标价，为了促销，又按标价打八折出售，现知每双皮鞋卖出后赚8元，则这种皮鞋的成本价是多少？ 【答案】元 【分析】本题考查了销售盈亏问题(一元一次方程的应用)，解题关键是找准等量关系，正确列出一元一次方程． 设这种皮鞋的成本价是x元，利用利润=售价进价，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设这种皮鞋的成本价是x元， 根据题意得：， 解得：． 答：这种皮鞋的成本价是元． 【跟踪训练1】为了防控冬季呼吸道疾病，我校积极进行校园环境消毒工作，购买了甲、乙两种消毒液共100瓶，其中甲种每瓶6元，乙种每瓶9元，如果购买这两种消毒液共花去780元，求甲、乙两种消毒液各购买了多少瓶？ 【答案】甲种消毒液购买了40瓶，乙种消毒液购买了60瓶 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．设买甲种消毒液购买了x瓶，乙种消毒液购买了瓶，根据购买这两种消毒液共花去780元列出方程求解即可． 【详解】解：设买甲种消毒液x瓶，则买乙两种消毒液瓶，根据题意得： ， 解得：， （瓶）， 答：甲种消毒液购买了40瓶，乙种消毒液购买了60瓶． 【跟踪训练2】某品牌运动鞋原价元/双，促销方案如下： 方案一（普通优惠）：购买2双及以上时，超出2双的部分打8折． 方案二（会员优惠）：办理会员卡需付元工本费（仅首次办理需要，之后购买都享受会员价），会员价元/双． 小华发现在某个购买数量下，两种方案的总花费相同．请问小华购买了多少双运动鞋？总花费是多少元？ 【答案】两种方案总花费相同时小华买了6双运动鞋，总费用是元． 【分析】本题考查了销售盈亏(一元一次方程的应用) ，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 设小华购买了双运动鞋，根据题意列出一元一次方程求解，再求总费用． 【详解】解：设小华购买了双运动鞋， 要使总花费相同，方案一要有优惠， 即， ， 解得：， ， 答：两种方案总花费相同时小华买了6双运动鞋，总费用是元． 【题型4.一元一次方程应用之比赛积分问题】 【典例】某中学篮球赛小组赛积分榜（小组赛每队进行10场比赛）如下表： 队名 比赛场次 胜场 负场 积分 勤勉队 10 8 2 26 无限队 10 ？ ？ 22 进取队 10 5 5 20 超越队 10 0 10 10 (1)胜一场积_____分，负一场积_______分； (2)求无限队的胜场数和负场数． 【答案】(1)3，1 (2)无限队胜了场，负了场 【分析】本题主要考查一元一次方程与积分问题，理解数量关系，掌握一元一次方程组解积分问题是关键． （1）根据超越队的比赛情况，设负一场得分，由此列式得到负一场得分数，再根据进取队的积分可得到胜一场得积分，由此求解即可； （2）根据胜一场，负一场积分，设无限队胜场，则负场，由此列式即可求解． 【详解】（1）解：根据超越队的积分可设负一场得分， ∴， 解得，，即负一场得分， 根据进取队的积分可得， ∴胜一场得分，负一场得分， 故答案为：，； （2）解：设无限队胜场，则负场， ∴， 解得，， ∴无限队胜了场，负了场． 【跟踪训练1】某小区组织了篮球比赛，比赛分初赛阶段和决赛阶段．在初赛阶段中，每队有10场比赛，每场比赛都要分出胜负．积分规则如下：胜1场积2分，负1场积1分，积分超过15分才能获得决赛资格． (1)若甲队在初赛阶段获得4场胜利，问：甲队是否有资格参加决赛？请说明理由， (2)已知乙队在初赛阶段的积分为18分，求乙队在初赛阶段胜、负的场数． 【答案】(1)甲队没有资格参加决赛，理由见解析 (2)乙队在初赛阶段胜8场，负2场 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的数量关系，并据此列出方程求解． （1）用胜的场数×胜场积分+负的场数×负场积分列式计算可得； （2）设乙队在初赛阶段胜场，则负了场，根据以上数量关系列出方程，解之可得． 【详解】（1）解：甲队没有资格参加决赛，理由如下： 甲队积分为（分），， 所以甲队没有资格参加决赛． （2）解：设乙队在初赛阶段胜x场，则负场． 由题意，得， 解得， 所以． 故乙队在初赛阶段胜8场，负2场． 【跟踪训练2】开学初，张老师在七（2）班组织了一次“疫情防控”知识竞赛，共有30道题，答对一题得4分，不答或答错一题扣2分． (1)设小明同学参加了竞赛，共答对了x道题，则他的成绩是 (用含有x的字母表示) (2)小明同学参加了竞赛，竞赛成绩是84分，请问小明同学在竞赛中答对了多少道题？ 【答案】(1)分 (2)小明在竞赛中答对了24道题 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，根据题意列出正确的代数式为解题关键． （1）小明共答对了x道题，则不答或答错了道题，根据题意列出代数式即可； （2）根据题意列出一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：设小明共答对了x道题，则不答或答错了道题， 根据题意：他的成绩为：分， 故答案为：分； （2）根据题意：， 解得：， 答：小明在竞赛中答对了24道题． 【题型5.一元一次方程应用之方案选择问题】 【典例】为进一步加强居民对电信诈骗的防范意识，提高对电信诈馅的鉴别、自我保护能力，营造全民反诈的浓厚氛围，某小区志愿者们积极配合社区开展反诈骗宣传工作，准备印制一些反诈骗宣传小册子，利用中秋国庆假期到公园里开展防诈骗、反诈骗宣传活动，现有甲、乙两家印刷店可供选择，两家收费情况如下： 印刷店 设计费/元 印刷单价/（元/册） 甲 6 4 乙 12 (1)请你替该小区志愿者们计算一下，印刷多少册，两家的印刷总费用是相等的？ (2)乙店得知志愿者们用零花钱集资印刷宣传册后，将印刷单价给予打折优惠，志愿者们花费201元即可印刷60册，请你计算一下，乙店是打几折优惠的？ 【答案】(1)印刷12册，两家的印刷总费用是相等 (2)乙店是打九折优惠 【分析】本题考查了一元一次方程的应用 （1）根据“两家的印刷总费用是相等”列方程求解； （2）根据“花费201元即可印刷60册”列方程求解． 【详解】（1）解：（1）设印刷册，两家的印刷总费用是相等， 则：， 解得：， （2）解：设乙店是打折优惠的， 则：， 解得：， 答：乙店是打九折优惠． 【跟踪训练1】“华南最大的人工湖”——万绿湖风景名胜区，碧波万顷，生态优美，是国家5A级旅游景区，暑假期间，景区门票定价35元/张，团队票可享受两种优惠方案： 方案一：全体人员享受门票8折优惠． 方案二：团队中4人可免票，其余成员享受门票9折优惠． (1)某团队共有40人，为节省购票费用，应选择哪种购票方案？ (2)如果该团队人数为x人（），当x为多少时，购票费用刚好相同？ 【答案】(1)该团队应该选择方案一 (2)x为36时购票费用刚好相同 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是明确方案一和方案二的收费方式，再列出方程解题． （1）分别计算出方案一和方案二的费用，再比较哪种更划算即可； （2）根据题意，可以列出方程，再求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得： 方案一的花费为：（元）， 方案二的花费为：（元）， ∵， 答：该团队应该选择方案一； （2）解：根据题意得：， 解得， 答：x为36时购票费用刚好相同． 【跟踪训练2】齐齐哈尔市某中学组织学生参观扎龙自然保护区，租用了3辆大客车和2辆小客车，一共坐了180人，已知每辆大客车比每辆小客车多坐15人，每辆大客车和小客车各坐多少人？ 【答案】每辆大客车坐人，每辆小客车坐人 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，找准等量关系列方程计算是解题的关键． 设每辆小客车坐人，则每辆大客车坐人，列出方程，解方程即可； 【详解】解：设每辆小客车坐人，则每辆大客车坐人， ， ， ， ， 大客车：（人）； 答：每辆大客车坐人，每辆小客车坐人． 【题型6.一元一次方程应用之数字问题】 【典例】若与的值互为相反数，求的值． 【答案】 【分析】根据互为相反数的两数之和为0，列出方程进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是掌握互为相反数的两数之和为0，列出方程． 【跟踪训练1】规定，当时，试求的值． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，解一元一次方程，根据新定义列方程求解即可． 【详解】解：∵ ∴， 解得：． 【跟踪训练2】阅读材料：在一次数学活动课上，小智发现：若一个两位正整数，十位上的数字为，个位上的数字为（），把十位上的数字与个位上的数字交换位置，原数与所得新数的差等于与的差的倍． 回答问题： (1)请证明小智的发现； (2)已知一个三位正整数的百位上的数字为，个位上的数字为，把百位上的数字与个位上的数字交换位置，十位上的数字不变，原数与所得新数的差等于594，请直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了整式加减的应用，列代数式，一元一次方程的应用等，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）根据题意列出原数与新数之差进行计算； （2）设十位上的数字为，根据题意，表示出原数和新数，列出方程，求解即可． 【详解】（1）证明：由题意可得：原数为，新数为， ∵， ∴， ∴原数与新数的差为， ∵与的差为， 故原数与所得新数的差等于与的差的倍． （2）解：设十位上的数字为， 根据题意可得：原数为，新数为：， 两数之差为：， 根据题意：， ∴． 【题型7.一元一次方程应用之几何问题】 【典例】若一个锐角的度数为，且这个锐角比它的余角小． (1)这个锐角的余角为______（用含的式子表示）； (2)求这个锐角的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查互余的概念及计算，掌握互余的概念及计算方法是解题的关键． （1）根据余角的计算即可； （2）根据题意，列方程求解即可． 【详解】（1）解：这个锐角的余角为； （2）解：根据题意，得， 解得， 故这个锐角的度数为． 【跟踪训练1】已知一个圆柱的底面半径为，高为，则该圆柱的表面积，若，，求的值．（取3.14） 【答案】5 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，将，代入求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 即， 方程的两边除以31.4，得， 解得． 【跟踪训练2】对于数轴上不同的三个点，，，若满足，则称点是点关于点的“倍分点”．例如，如图，在数轴上，点，表示的数分别是，，可知原点是点关于点的“倍分点”，原点也是点关于点的“倍分点”．在数轴上，已知点表示的数是，点表示的数是． (1)若点在线段上，且点是点关于点的“倍分点”，则点表示的数是 ； (2)若点在数轴上，，且点是点关于点的“倍分点”，求的值； 【答案】(1)1 (2)的值为或； 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离和一元一次方程的应用，理解“倍分点”的定义，根据题意分情况讨论并列出方程是解此题的关键． （1）根据点是点关于点的“倍分点”，得到，设点表示的数是，得出关于的一元一次方程，求解即可得到答案； （2）根据点是点关于点的“倍分点”，得到，分两种情况讨论：①点在点左侧，②点在点右侧，分别列出关于的一元一次方程，求解即可得到答案； 【详解】（1）解：∵点是点关于点的“倍分点”， ∴， 设点表示的数是， ∵点表示的数是，点表示的数是，点在线段上， ∴，， ∴， 解得： ∴点表示的数是． （2）∵点是点关于点的“倍分点”， ∴， ∵点表示的数是，点表示的数是，， 点在点左侧时，点表示的数是， 此时，， ∴ 解得： 点在点右侧时，点表示的数是6， 此时，， 由题意得： 解得： 所以的值为或； 【题型8.一元一次方程应用之动点问题】 【典例】在数轴上，点、表示的数分别是 和 ，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动；同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动；设运动时间为秒． (1)运动秒后，点表示的数是 ，点表示的数是 ． (2)当点与点相遇时，求的值及相遇点表示的数． 【答案】(1)； (2)的值为，相遇点表示的数为： 【分析】本题主要考查数轴上点的运动问题，列代数式，一元一次方程的应用． （1）根据数轴上点的运动方向以及运动速度，即可求解； （2）根据题意点与点相遇时，表示的数是同一个数，列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：运动秒后，点表示的数是 ，点表示的数是 （2）解：依题意，点与点相遇时，表示的数是同一个数，则 解得： 当时， 答：的值为，相遇点表示的数为： 【跟踪训练1】如图，在数轴上，点表示最大的负整数，点表示的数的立方等于8，点在正半轴，且到点的距离是10． (1)点表示的数是 ，点表示的数是 ，点表示的数是 ； (2)点从点出发，以每秒2个单位的速度向右运动，到达点后速度立即减小为原来的一半并继续向右运动，点从点出发，以每秒3个单位的速度向左运动，到达点后立即按原速度折返继续运动，设运动时间是秒（）． i）当时，求点和点之间的距离； ii）是否存在这样的值，使得点到点距离是点到点距离的2倍？若存在，请求出满足条件的所有值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，2，9 (2)i）1；ii)或 【分析】（1）最大的负整数是，，进而即可求解； （2）i）时，求出点P，Q表示的数，利用两点间距离公式即可求解；ii）分，，三种情况，用含t的式子表示出P，Q表示的数，进而表示出，，根据列方程，解方程即可． 【详解】（1）解：最大的负整数是，， 点表示的数是，点表示的数是2， 点在正半轴，且到点的距离是10， 点表示的数是， 故答案为：，2，9； （2）解：i）由（1）知，点表示的数是，点表示的数是2，点表示的数是9， ，， 由题意知，点P到达点C所用时间为：，此后速度为每秒1个单位长度， 点Q到达点A所用时间为：，此后以每秒3个单位的速度向右运动， 当时，点表示的数为：， 点表示的数为：， ； ii）分三种情况： 当时，点P表示的数为，点Q表示的数为，点P在点B左侧， ，， 令，得：， 则或 解得或（舍去）； 当时，点P表示的数为，点Q表示的数为，点P在点B与C之间， ，， 令，得：， 则或 解得或（舍去）； 当时，点P表示的数为，点Q表示的数为，点P在点C右侧， ，， 令，得：，无解； 综上可知，或． 【点睛】本题考查数轴上的动点问题，注意分段讨论是解题的关键． 【跟踪训练2】如图，在数轴上有A、B两点，点A表示的数为，点B表示的数为14，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t秒（）． (1)当时， ，此时点P表示的数为 ； (2)当时，求t的值； (3)若动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点P、Q同时出发，经过多少秒后，P、Q两点之间的距离为6个单位长度？ 【答案】(1)4； (2)4 (3)经过6秒或10秒后，P、Q两点之间的距离为6个单位长度 【分析】本题主要考查数轴上两点距离，整式加减的应用及一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据数轴上有理数的表示及两点距离可进行求解； （2）由题意易得点P表示的数为，，然后可分当P在A、B之间时，当P在B的右侧时，进而分类进行求解即可； （3）由题意易得点P表示的数为，点Q表示的数为，则有，进而求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：，点所表示的数为； 故答案为4；； （2）解：当运动时间为t秒时，点P表示的数为， ∵，， ∴分两种情况： ①当P在A、B之间时，即，，， 则， 解得； ②当P在B的右侧时，，， 则， 解得（舍去）， 综上，t的值为4． （3）解：设经过t秒后，P、Q两点之间的距离为6个单位长度 此时点P表示的数为，点Q表示的数为， 则， 即， 解得或， 即或； 答：经过6秒或10秒后，P、Q两点之间的距离为6个单位长度． 【题型9.一元一次方程应用之和差倍分问题】 【典例】某中学体育队原来有队员120人，女队员增加，男队员减少后，现在有队员114人，现在男、女队员各有多少人？ 【答案】男队员60人；女队员54人 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设原来女队员人数为x人，则男队员人数为人．根据女队员增加和男队员减少后总人数为114人，列出方程求解． 【详解】解：设原来女队员有x人，则男队员有人． 现在女队员人数为人． 现在男队员人数为人． 根据题意，得， 解得， 则原来女队员48人，原来男队员人． 现在女队员人． 现在男队员人． 答：现在男队员有60人，女队员有54人． 【跟踪训练1】2024年9月份强台风“摩羯”袭击海南，造成严重的破坏．一方有难八方支援，全国各地纷纷来支援海南，其中有来自广东“粤粤”、广西“桂桂”的两个电网支援队伍参与其中，认真阅读以下“粤粤”与“桂桂”的对话后，求“粤粤”、“桂桂”两个电网支援队各有多少人？ 【答案】“粤粤”的支援人员数量为1300人，“桂桂”的支援人员数量为700人 【分析】本题考查一元一次方程解决实际问题；设“桂桂”的支援人员数量为x人，则“粤粤”的支援人员数量为人，再根据两个支援队人数一共2000人，建立方程求解即可. 【详解】解：设“桂桂”的支援人员数量为x人，则“粤粤”的支援人员数量为人， ， 解得：， ， 答：“粤粤”的支援人员数量为1300人，“桂桂”的支援人员数量为700人. 【跟踪训练2】开学初乐乐用自己积攒的零用钱购买一些文具，他先花了零用钱的买了一支钢笔，接着又用剩下零用钱的买了一个全自动削笔机，已知这个全自动削笔机比这支钢笔贵了21元，请问乐乐购买这支钢笔花了多少钱？ 【答案】42 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用及分数的计算，根据题意列出方程是解题的关键． 设乐乐积攒的零用钱为元，则一支钢笔花了元，全自动削笔机花了元，继而得到，再解方程即可． 【详解】设乐乐积攒的零用钱为元， 则一支钢笔花了元，全自动削笔机花了元， 又这个全自动削笔机比这支钢笔贵了21元， 所以，解得， 一支钢笔花了元． 答：乐乐购买这支钢笔花了42元钱． 【题型10.一元一次方程应用之水电费问题】 【典例】为了鼓励节约用电，某市电力公司规定了以下的电费计算方法：每月的用电不超过100千瓦时，按每千瓦时0.52元收费；每月用电超过100千瓦时，超过的部分按每千瓦时0.6元收费．小明家十月份的电费是64.6元，用电多少千瓦时？ 【答案】用电121千瓦时 【分析】本题考查了列一元一次方程解应用题，用电100千瓦时，应该付电费元，付电费64.6元，超过52元，说明用电超过了100千瓦时；设用电x千瓦时，不超过100千瓦时部分，电费为52元，超过100千瓦时部分电费为元；根据题意，列方程：，解答即可． 【详解】解：用电100千瓦时，应该付电费元， 付电费64.6元，超过52元，说明用电超过了100千瓦时， 设小明家用电x千瓦时，由于小明家用电超过了100千瓦时，超过100千瓦时部分电费为元；根据题意，列方程为：， 解得：， 答：用电121千瓦时． 【跟踪训练1】小明家最近购买了一台电动汽车，为方便给电动汽车充电，小明家安装了家庭充电桩．根据国家有关政策，该充电桩给电动汽车充电时，实行“峰谷电”计价的方式：峰时电费单价为元/度；谷时电费单价为元/度． (1)已知小明家所购买的这台电动汽车平均电耗为12度/百公里，在不考虑其他因素的情况下，这台电动汽车平均行驶300公里，至少需要电费______________元； (2)若该充电桩在七月份充电总量为210度，峰时充电量为x度，求该充电桩在七月份的电费（用含x的代数式表示）； (3)在（2）的条件下，若小明家在七月份使用该充电桩所花电费为95.8元，则七月份该充电桩峰时充电多少度？谷时充电多少度？ 【答案】(1) (2)元 (3)七月份该充电桩峰时充电80度，谷时充电130度 【分析】本题考查有理数的运算，整式加减，一元一次方程解决实际问题． （1）将谷时电费单价乘以平均每公里电耗乘以行驶公里数即可求解； （2）根据峰时电费加上谷时电费为总电费列出式子； （3）根据所花电费为95.8元，结合（2）的式子列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：（元）， 即至少需要电费元． 故答案为：． （2）解：电费为（元）． （3）解：由（2）得：， 解得， ∴谷时充电（度）， 答：七月份该充电桩峰时充电80度，谷时充电130度． 【跟踪训练2】为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段达到节水的目的，该市自来水收费的价目表如下表（注：水费按月份结算，表示立方米）； 每月用水量 单价 不超出的部分 元/ 超出不超出的部分 元/ 超出的部分 元/ (1)填空：若该户居民月份用水，则应收水费___________元； (2)若该户居民月份水费为元，求该居民用了多少水？ (3)若该户居民，两个月共用水（月份用水量超过了月份），设月份用水，求该户居民，两个月共交水费多少元？（用含的代数式表示） 【答案】(1) ； (2) ； (3) 当时，元；当时，元；当时，元． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、列代数式． 根据用水量与消费单价计算即可； 根据表中水费收取方法可知该用户月份用水量超过了，设该用户月份用水量为，列方程求解即可； 因为该户居民，两个月共用水，月份用水量超过了月份，可知，分情况列出代数式即可． 【详解】（1）解：该户居民月份用水， 应收水费元， 故答案为：； （2）解：若该用户月份用水不超过，最多应收水费元， 若该用户月份用水超过不超过，最多应收水费元， 该户居民月份水费为元， 该用户月份用水量超过了， 设该用户月份用水量为， 根据题意可得：， 解得：， 答：该居民月份用水量为； （3）解：该户居民，两个月共用水，月份用水量超过了月份， ， 当时，则， 根据题意可得：元； 当时，则， 根据题意可得：元； 当时，则， 根据题意可得：元． 【题型11.一元一次方程应用之行程问题】 【典例】甲，乙两船从港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是，水流速度是． (1)后甲，乙两船相距多远？ (2)若甲船从港口顺水航行到达港口；从港口返回港口逆水而行，用了，求水流速度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，整式加减运算的实际应用，正确掌握船在水中顺流与逆流时的速度关系是解题关键． （1）首先根据题意得出甲船顺水时的航行速度为，乙船逆水时的航行速度为，由此即可得出二者2小时后各自的航行距离，据此进一步计算即可得出答案． （2）根据往返路程相等，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得， ， 答：后甲，乙两船相距； （2）解：根据往返路程相等，列得方程，， 去括号，得， 移项及合并同类项，得， 系数化为1，得， 答：水流的速度为． 【跟踪训练1】小明要在早上之前到达距家米的学校上学．一天，小明以80米/分的速度从家出发，5分钟后，爸爸发现小明忘了带数学书，于是爸爸立即以米/分的速度去追小明，并在中途追上了他．爸爸追上小明用了多少分钟？（列方程计算） 【答案】4分钟 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意并列出方程是解题的关键；设爸爸追上小明用了x分钟，则小明走了分钟，根据：小明的路程等于爸爸的路程，列出方程并求解即可． 【详解】解：设爸爸追上小明用了x分钟，则小明走了分钟， 由题意，得：， 解得：， 答：爸爸追上小明用了4分钟． 【跟踪训练2】如图，分别为数轴上的两个点，点 表示的数为，点表示的数为．一只电子蚂蚁从点出发，以每秒个单位长度的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁从点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动，经过多长时间这两只电子蚂蚁在数轴上相距个单位长度？ 【答案】经过秒或秒这两只电子蚂蚁在数轴上相距个单位长度 【分析】本题考查数轴上两点之间距离的表示方法、一元一次方程等知识，数形结合，列出一元一次方程求解是解决问题的关键． 根据题意，分为相遇前和相遇后两种情况，利用时间路程速度列一元一次方程求解即可得到答案． 【详解】解：根据题意，分相遇前和相遇后两种情况： 设运动秒相遇， 则点表示的数为，点表示的数为， 当两只电子蚂蚁相遇前在数轴上相距个单位长度时， ， ， 解得； 当两只电子蚂蚁相遇后在数轴上相距个单位长度时， ， ， 解得； 综上所述，经过秒或秒这两只电子蚂蚁在数轴上相距个单位长度． 【题型12.一元一次方程应用之比列分配问题】 【典例】列方程解应用题：洗衣机厂某月计划生产Ⅰ型、Ⅱ型、Ⅲ型洗衣机共2550台，其中Ⅰ型、Ⅱ型、Ⅲ型三种洗衣机的数量之比为，洗衣机厂该月计划生产这三种洗衣机各多少台？ 【答案】Ⅰ型洗衣机510台，Ⅱ型洗衣机765台，Ⅲ型洗衣机1275台 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，找准等量关系列出方程是解题的关键．根据比例设三种型号的洗衣机分别为台，台，台，再结合题意列出方程求解即可． 【详解】解：设计划生产Ⅰ型洗衣机台，则Ⅱ型洗衣机台，Ⅲ型洗衣机台， 由题意得，， 解得：， 则（台）， （台）， （台）， 答：洗衣机厂该月计划生产Ⅰ型洗衣机510台，Ⅱ型洗衣机765台，Ⅲ型洗衣机1275台． 【跟踪训练1】A、B两种商品的价格比是，如果每种商品的价格上涨元，A、B两种商品的价格比变为，这两种商品的原价分别是多少？ 【答案】A种商品元，B种商品元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，掌握以上知识是解答本题的关键； 设这两种商品的原价分别是元和元，列出比例式子，即可求解． 【详解】解：设这两种商品的原价分别是元和元， 解得：， ∴元，元； ∴A种商品元，B种商品元． 【跟踪训练2】如图，两根铁棒直立于桶底水平的桶中，在桶中加入水后，一根铁棒在水面以上的长度是总长度的，另一根铁棒在水面以上的长度是总长度的，已知两根铁棒的长度之和是31厘米，桶内水深多少厘米？ 【答案】桶内水深12厘米． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，明确没入水中的长度即是水深并由此设未知数列出方程是解题的关键． 由两根铁棒没如水中部分的长度相等，设桶内水深为x厘米，则第一根铁棒的长度为，第二根铁棒法长度为，又知两根铁棒的长度之和是31厘米列方程求解即可． 【详解】解：设桶内水深为x厘米， ， ， ， ， ， ． 答：桶内水深12厘米． 【题型13.一元一次方程应用之日历问题】 【典例】如表是年月日历，如图，用一长方形框在表中任意框个数． (1)若记长方形框左上角的一个数为，则另三个数用含的式子表示出来，从小到大依次是______，______，______． (2)移动长方形框，被长方形框所框的个数之和可能是吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)不可能，理由见解析 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，列代数式： （1）根据日历的特点分别表示出另外三个数即可； （2）假设4个数的和可以为82，则可得方程，解方程，看x的值是否符合题意即可得到结论． 【详解】（1）解：由题意得，另外三个数从小到大依次是， 故答案为：． （2）解：移动长方形框，被长方形框所框的个数之和不可能是，理由如下： 假设移动长方形框，被长方形框所框的个数之和可能是 由题意得，， 解得， ∵x是正整数， ∴不符合题意， ∴移动长方形框，被长方形框所框的个数之和不可能是． 【跟踪训练1】在月历中，每个字母都代表某个具体日期． (1)在图（1）中任意框出五个数，则______，这5个数的和为______(都用含x的式子表示)； (2)在图（1）中，的和与x的关系是什么？通过计算说明； (3)已知图（2）是某个月的月历，如果用框出的5个数的和为80，求中间的那个数． 【答案】(1)， (2) (3)中间的那个数为16 【分析】（1）根据月历的排列特征表示出，，，， 再求和即可得解； （2）根据月历的排列特征表示出，，再求和即可得解； （3）由题意得出一元一次方程，解方程即可． 本题考查了整式的加减的应用、一元一次方程的应用，掌握月历特点是解题的关键． 【详解】（1）解：，，，， ∴， 故答案为：，； （2）解： ； 理由： 由题意得，， ∴； （3）解：设中间的数为x， 由（1）题意得这5个数的和为， ∴， 解得：， 答：中间的那个数为． 【跟踪训练2】数学活动课上，王老师带领同学们探究月历中的奥秘．老师将如图1的2025年10月的月历复印给同学们，同学们设计了如图的形框，框住的数在形框中的位置如图2所示，形框框住的五个数中，最小数与最大数的乘积能否等于260？若能，请求出的值；若不能，请说明理由． 【答案】不能，理由见详解 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．理解题意找出正确的等量关系是解题的关键．先根据月历规律确定最小数与最大数，然后“最小数与最大数的乘积等于260”列出方程并求解，最后验证求得的解是否符合要求即可． 【详解】解：月历中每行相邻数差1，每列相邻数差7， 形框框住的五个数依次为，，，，， 最小数为，最大数为， 根据题意列出方程， 解得（月历中为整数，舍去负根） 当时，不符合形框要求． 【题型14.一元一次方程应用之古代问题】 【典例】我国古代数学著作《算学启蒙》一书记载：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里；驽马先行一十二日，问良马几何追及之．其大意是：良马每天走240里，劣马每天走150里；劣马先走12天．问良马几天可以追上劣马？（列方程求解） 【答案】20天 【分析】此题考查列方程解应用题，关键是根据题意找出基本数量关系，列方程解决问题． 设良马天可以追上劣马，根据等量关系：劣马每天跑的里数（良马跑的天数劣马先走的天数）良马每天跑的里数良马跑的天数，列方程即可． 【详解】解：设良马天可以追上劣马，则可列方程为 ． 解得：， 答：良马20天可以追上劣马． 【跟踪训练1】古代民间流传着这样一道题：“李白街上走，提壶去打酒．遇店加一倍，见花喝一斗．三遇店和花，喝光壶中酒．试问酒壶中，原有多少酒？”意思是李白在街上走，提着酒壶边喝边打酒，每次遇到店就将壶中的酒加一倍，每次看见花就喝去一斗．这样，他先遇到店，再看见花，共反复三次，在最后一次看到花时，把酒喝完了．壶中原来有多少斗酒？请解答上述问题． 【答案】壶中原来有斗酒． 【分析】根据题意，设壶中原来有斗酒，第一次遇到店加一倍成斗酒，然后见到花喝去一斗还有斗酒，依次类推，第三次壶中有斗酒，列方程即可. 【详解】解：设壶中原来有斗酒，则他第一次遇店又见花后，壶中有斗酒； 第二次遇店又见花后，壶中有斗酒； 第三次遇店又见花后，壶中有斗酒． 由题意，得，解得． 故壶中原来有斗酒． 【点睛】本题考查了列一元一次方程的应用题——古代问题，读懂题意，列出第三次壶中酒是解题关键． 【跟踪训练2】中国古代人民在生产生活中发现了许多数学问题，在《孙子算经》中记载了这样一个问题，大意为：有若干人乘车，若每车乘坐人，则辆车无人乘坐；若每车乘坐人，则人无车可乘，问共有多少辆车，多少人？ 【答案】有辆车，个人． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设有辆车，若每车乘坐人，则辆车无人乘坐，则总人数可表示为；若每车乘坐人，则人无车可乘，则总人数可表示为，可列方程：，解方程求出车的数量，根据车的数量求出人数即可． 【详解】解：设有辆车， 根据题意可得：， 解得：， 人数为：(人)， 答：共有辆车，个人． 【题型15.一元一次方程应用之其他问题】 【典例】一条路，第一天修了180米，第二天修了全长的，未修的比已修的少30米，这条路全长多少米？ 【答案】550米 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，通过设全长为x米，根据已修和未修部分的关系列出方程求解即可得出答案． 【详解】解：设这条路全长x米． 第一天修180米，第二天修米，已修共米． 未修部分为米． ∵未修的比已修的少30米， ∴ 解得∶ 答：这条路全长550米． 【跟踪训练1】将一些长为，宽为的长方形白纸，按照下图所示的方法粘合起来，粘合部分的宽为． 观察图形中的规律，解答下列问题： (1)将2张白纸粘合起来，2张白纸的总长度是________； (2)设白纸有x张，则粘合后的总长度为：_______（用含x的代数式表示）； (3)你认为白纸粘合起来的总长度可能为吗？为什么？ 【答案】(1)75 (2) (3)白纸粘合起来的总长度不可能为． 【分析】本题主要考查了列代数式，解一元一次方程等． （1）根据题意找出白纸张数跟纸条长度之间的关系，列式计算即可； （2）x张白纸粘合，需粘合次，重叠，所以总长可以表示出来； （3）根据题意列式得，解方程即可判断． 【详解】（1）解：将2张白纸粘合起来，2张白纸的总长度是： ， 故答案为：75； （2）解：根据题意和所给图形可得出： 粘合后的总长度为， 故答案为：； （3）解：由题意得，， 解得，不是整数， ∴白纸粘合起来的总长度不可能为． 【跟踪训练2】2025年10月20日，我校八年级计划前往中国科学院国家授时中心进行研学活动．学校研学团队计划租用甲、乙两种不同类型的客车作为交通工具．已知租用了甲、乙两种车辆共15辆．假设1辆甲型车每公里的油耗成本为6元（每公里油耗固定），1辆乙型车每公里的油耗成本为5元．若此次行程为100公里，总油耗成本为8000元．请求出甲、乙两种类型车辆各租多少辆？ 【答案】甲种车租了5辆，乙种车租了10辆 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设甲种车租了x辆，再根据题意得出关于x的方程，再进行计算即可． 【详解】解：设甲种车租了x辆，则乙种车租了辆，根据题意得， ， 解得， 所以， 答：甲种车租了5辆，乙种车租了10辆． 1．一箱桃子分给甲、乙、丙．甲分得了全部的加7个，乙分得了全部的加5个，丙分得其余的一半，最后剩下的是全部的．这箱桃子有几个？ 【答案】个 【分析】本题考查一元一次方程的应用，熟练掌握一元一次方程的应用是解题的关键，设这箱桃子有个，根据题意列出方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设这箱桃子有个，由题意可得：， 整理得：， 解得：． 答：这箱桃子有个． 2．某纺织厂生产床品四件套（1个床单，1个被套，2个枕套），现计划安排15名工人缝制枕套和被套，已知每人每天可缝制200个枕套或50个被套． (1)为使每天缝制的枕套和被套刚好配套，则每天缝制的被套有多少个？ (2)若每个枕套和每个被套均需1个拉链，现有600个枕套，300个被套，300个床单以及885个拉链，则最终能组成多少套四件套？ 【答案】(1)每天缝制的被套有个 (2)最终能组成套四件套 【分析】（1）先设缝制被套的工人数为未知数，根据工人 数和枕套、被套的配套关系列方程求解被套数 量； （2）每个枕套和每个被套均需1个拉链，故一套四件套（个床单，个被套，个枕套）需要三个拉链，设有套四件套，则需要个拉链，列不等式组即可求解． 【详解】（1）解：设每天安排名工人缝制被套，则安排名工人缝制枕套． 根据题意，得，解得， （个）． 故每天缝制的被套有个． （2）解：设最终能组成套四件套，根据题意，组成套四件套需要枕套个，被套个，床单个，拉链个.则有： ， 解得.故最终能组成套四件套． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，配套问题，认真审题，找准等量关系是解题的关键． 3．某商场进了20台A、B、C三种型号的冰箱，根据下表提供的信息，解答以下问题： 冰箱类型 A B C 购进的台数（台） 8 6 每台冰箱的销售价（元） 2000 3000 (1)商场购进A型号冰箱______________台； (2)每台A型号冰箱的销售价比每台型号冰箱的销售价便宜． ①每台C型号冰箱的销售价是_______________元； ②如果每台A、B两种型号冰箱的成本价之比是，每台C型号冰箱的成本价比每台B型号冰箱的成本价少500元，且每台C型号冰箱的成本价比每台A型号冰箱的成本价多300元，则每台C型号冰箱的成本价是多少元？每台C型号冰箱的盈利率是多少？（百分号前保留一位小数） ③如果要使A、B两种型号冰箱的总利润达到6000元，那么需要销售A种型号冰箱______________台． 【答案】(1)6 (2)①2500；②1900元，；③3或6 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，百分数应用题，比的应用，假设法解题，读懂题意找准等量关系列出方程是解题的关键． （1）用总数减去B、C两种型号的冰箱的数量，即可得解； （2）①设C型冰箱销售价为元，根据每台A型号冰箱的销售价比每台C型号冰箱的销售价便宜，列方程求解即可；②设A、B两种型号冰箱的成本价分别为元、元，则C型号冷冻箱的成本价为元，根据题意，列方程求解即可，再用C的售价减去成本再除以成本得到盈利率；③先由②得到每台A、B型号冰箱的成本价，分别假设A种型号冰箱售出1台，2台，3台，4台，5台，6台，得出答案． 【详解】（1）解：A型号冰箱购买了（台）； 故答案为：6． （2）解：①设C型冰箱销售价为元， 根据题意得， 解得， 故答案为：2500； ②设A、B两种型号冰箱的成本价分别为元、元，则C型号冷冻箱的成本价为元， 根据题意得，， 解得， （元）， 每台C型号冰箱的盈利率为：， 答：每台C型号冰箱的成本价是1900元，每台C型号冰箱的盈利率是． ③由②可知，A型号冰箱的成本价为（元）， 一台A型号冰箱的利润为（元）， B型号冰箱的成本价为（元）， 一台B型号冰箱的利润为（元）， 假设A种型号冰箱售出1台，那么A种型号的利润达到元， 那么需要销售种型号（台），不符合题意； 假设A种型号冰箱售出2台，那么A种型号的利润达到元， 那么需要销售种型号（台），不符合题意； 假设A种型号冰箱售出3台，那么A种型号的利润达到元， 那么需要销售种型号（台），符合题意； 假设A种型号冰箱售出4台，那么A种型号的利润达到元， 那么需要销售种型号（台），不符合题意； 假设A种型号冰箱售出5台，那么A种型号的利润达到元， 那么需要销售种型号（台），不符合题意； 假设A种型号冰箱全部售出，那么A种型号的利润达到元， 那么需要销售种型号（台），符合题意； 综上，要使A、B两种型号冰箱的总利润达到6000元，需要销售A种型号冰箱3台或6台； 故答案为：3或6． 4．某超市开业，为了吸引顾客，实行优惠，方案如下表： 购物标价 小于200元 满200元且不超过500元 超过500元 优惠方式 不予优惠 按标价9折优惠 500元部分（包括500元）给予9折优惠，超过500元部分给予8折优惠 (1)小张付款189元，则购买了标价为 元的商品； (2)小张购买标价为x（） 元的商品，则他付款 元；（用含x 的代数式表示） (3)小张两次购物，第一次购买了标价为260元的商品，商家获利，第二次购买了标价550元的商品，商家获利，如果他把两次购买的商品合并为一次，请你计算，商家获利多少元? 【答案】(1)189或210 (2) (3)商家获利168元 【分析】本题主要考查了列一元一次方程解决实际问题，列代数式，解题的关键是理解题意，找准等量关系． （1）根据题意分两种情况进行求解即可； （2）根据题意列出代数式即可； （3）列出方程求出每次的成本，然后再合并起来求商家获得的利润即可． 【详解】（1）解：当小张购买了小于200元物品时，不予优惠，小张付款为189元； 当小张购买了满200元且不超过500元物品时，设购物标价为元，根据题意得， ， 解得； 故答案为：189或210； （2）解：根据题意得，他付款为元， 故答案为：； （3）解：设第一次的成本为元，第二次的成本为元，根据题意得， ，， 解得， ∴（元）， 所以，商家获利168元． 5.．为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．如表是该市“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息： 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 17吨及以下 a 超过17吨但不超过30吨的部分 b 超过 30 吨的部分 （说明：①每户产生的污水量等于该户自来水用量；②水费=自来水费用+污水处理费） 已知小王家2024年7月用水15吨，交水费30元；8月份用水26吨，交水费61元． (1)求a，b的值． (2)如果小王家9月份上交水费108元，则小王家这个月用水多少吨？ (3)小王家10月份忘记去交水费，当他11月去交水费时发现两个月一共用水52吨（其中10月份用水超过30吨），一共交水费元（其中包含10月份的滞纳金，即10月份水费的），求小王家11月份用水多少吨．（滞纳金：因未能按期缴纳水费，逾期要缴纳的“罚款金额”） 【答案】(1)， (2)小王家这个月用水40吨 (3)小王家11月份用水13吨 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，读懂题意、正确的列出方程是解题的关键： （1）根据收费方法，列出方程进行求解即可； （2）设小王家这个月用水x吨，然后根据题意、列出方程进行求解即可； （3）设11月份用水m吨，则10月份用水吨，分和两种情况，分别列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得，解得：， ∴，解得：． （2）解：由题意可知，元，元，元； 设小王家这个月用水x吨， 由题意，得，解得：． 答：小王家这个月用水40吨． （3）解：设11月份用水m吨，则10月份用水吨． ①当，由题意可得： ，解得：． ②当，由题意可得： ， 解得 (不符合题意 舍去)． 综上，小王家11月份用水13吨． 6．综合与实践 【问题情境】某学校七年级举行篮球比赛，七年级共15个班参加比赛，比赛采取单循环赛（每两队之间比赛一场）．下表记录了5支篮球队的积分情况： 班名 比赛场次 胜场 负场 积分 七（2） 14 12 2 26 七（5） 14 8 6 22 七（9） 14 7 7 21 七（11） 14 4 10 18 七（15） 14 0 14 14 【提出问题】 某班的胜场总积分能等于它的负场总积分吗？请说明理由． 【分析问题】 小智：观察积分榜，从七（15）班的比赛数据可以看出，负一场积1分．若设胜一场的积分为分，则根据七（2）班的比赛数据，可以得到方程___________①___________ 小慧：从七（9）班的比赛数据看，胜一场的积分+负一场的积分共为3分．若设胜一场的积分为分，则负一场的积分用含的式子可以表示__________②__________分，再根据七（5）班的比赛数据，还可以列出方程__________③__________． 小聪：根据七（2）班的比赛数据，若设胜一场的积分为分，则负一场的积分用含的式子可以表示为___________④___________分，再根据七（5）班的比赛数据，还可以列出方程___________⑤___________． 小明：只要我们求出了负一场和胜一场的积分各是多少分，就能解决上述问题了． 【解决问题】根据上面展示交流的过程，完成下列学习任务： (1)请将上述展示交流过程中，序号处缺少的内容补充出来： ①__________；②__________；③__________；④__________；⑤__________； (2)请求出胜一场的积分； (3)请你解决上述提出的问题：某班的胜场总积分能等于它的负场总积分吗？请说明理由． 【答案】(1)；；；；； (2)胜一场的积分为2分 (3)某班的胜场总积分不能等于它的负场总积分，见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式，解题的关键是正确理解题意． (1)通过设未知数、用“胜场积分+负场积分=总积分”关系，列代数式，列方程求解即可； (2)利用(1)中得到的方程(如七(2) 班的)，解一元一次方程即可求出胜一场的积分； (3)设胜场数为y，则负场数为，分别表示胜场总积分和负场总积分，令两者相等列方程，解得的y需为整数(场次为整数)，若解不是整数，则说明无法相等． 【详解】（1）解：①小智指出负一场得1分，七(2)班胜12场、负2场，总积分等于胜场积分加负场积分，故方程为，简化后为； ②小慧指出胜一场积分加负一场积分共3分，设胜一场为x分，则负一场为分； ③小慧用七(5)班数据(胜8场、负6场、积分22)，胜场积分加负场积分等于总积分，故方程为； ④小聪用七(2)班数据，总积分减去胜场积分得负场总积分，再除以负场数，故负一场积分为； ⑤小聪用七(5)班数据，胜场积分加负场积分等于总积分，故方程为； 故答案为：；；；；； （2）解：设胜一场的积分为x分，根据七(2)班的比赛数据，得方程：， 解得：， 答：胜一场的积分为2分； （3）解：某班的胜场总积分不能等于它的负场总积分，理由如下： 设某班胜y场，则负场，胜场总积分为分，负场总积分为分， 若胜场总积分等于负场总积分， 则， 解得： 因为y必须是整数，而不是整数， 所以不存在这样的 答：某班的胜场总积分不能等于它的负场总积分． 7．若一个两位数十位、个位上的数字分别为m，n，我们可将这个两位数记为，易知；同理，一个三位数也可以用此记法，如． 【基础训练】 (1)填空： ①若，则______． ②若，则x=______． 【能力提升】 (2)交换一个两位数的个位数字与十位数字，可得到一个新两位数，如果所得的新两位数比原两位数大9，那么请求出这样的两位数． 【探索发现】 (3)数学中有一个有趣的黑洞现象：任选一个三位数，要求个、十、百位的数字各不相同，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数（例如若选的数为325，则用），再将这个新数按上述方式重新排列，再相减，像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”． 通过探索发现：该“卡普雷卡尔黑洞数”为______． 【答案】(1)①；② (2)这样的两位数为：12，23，34，45，56，67，78，89 (3)495 【分析】（1）①根据新定义求解；②根据新定义列方程求解； （2）根据题意列方程求解； （3）根据新定义，计算求解． 【详解】（1）解：∵， ∴①若，则； ②， 解得． （2）解：由题意知： ∴即满足．     ∴这样的两位数为：12，23，34，45，56，67，78，89 （3）解：方法一：若选的数为325，则用，以下按照上述规则继续计算 ， ， ， 故“卡普雷卡尔黑洞数”是495． 故答案为：495； 方法二：当任选的三位数为时，第一次运算后得：， 结果为99的倍数，由于，故 ∴， 又∵， ∴， ∴，3，4，5，6，7，8， ∴第一次运算后可能得到：198，297，396，495，594，693，792，891， 再让这些数字经过运算，分别可以得到： ， ， ， ， 故可产生“卡普雷卡尔黑洞数”． 【点睛】本题考查了解一元一次方程及整式的加减，理解新定义是解题的关键． 8．列方程解应用题： 长期坚持跑步可以增强心肺功能，让身体更加健康．周六早上小健和小乐相约去奥森跑步．小健家离奥森近，决定步行前往，他从家出发时刻与到达奥森时手表显示信息分别如图1和图2所示． 小乐出发比小健晚了5分钟，且家离奥森比小健家离奥森远米，所以小乐决定骑自行车前往，小乐骑行的平均速度是小健步行的平均速度的倍，最终小乐与小健在同一时刻到达奥森．求小健步行的平均速度和平均步长． 【答案】小健步行的平均速度为米/分，平均步长为米． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．直接利用小乐骑行的平均速度是小健步行的平均速度的倍，进而得出等式求出答案． 【详解】解∶设小健步行的平均速度为x米/分， 根据题意得， 解得， 小健一共步行 (步)， 其平均步长为 (米) 答∶小健步行的平均速度为米/分，平均步长为米． 9．将正整数至按一定规律排列成如图所示的列，规定从上到下依次为第行，第行，，从左至右依次为第列至第列． (1)数在第_____行第_____列； 数在第_____行第_____列； (2)平移图中带阴影的方框，使方框框住相邻的三个数，设被框住的三个数中，最小的一个数为． 直接写出被框住的三个数的和_____（用含的式子表示）； 被框的三个数的和是否可以等于？若能，请求出；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，；，； (2)；被框的三个数的和不能等于，见解析． 【分析】本题考查一元一次方程的应用，数字的变化规律，列代数式，找出题目中数字的规律是解题的关键． （）根据表格规律得，，即可求解； （）列代数式即可； 令，解得，又，则数在第行第列，此时和到下一行了，从而求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴数在第行第列；数在第行第列； 故答案为：，；，； （2）解：∵最小的一个数为， ∴这三个数为，，， ∴被框住的三个数的和为， 故答案为：； 令，解得， ∵， ∴数在第行第列，此时和到下一行了， ∴被框的三个数的和不能等于． 10．一项工程，甲独做要 12 小时完成，乙独做 18 小时完成．如果先由甲工作 1 小时，然 后由乙接替甲工作 1 小时，再由甲接替乙工作 1 小时……两人如此交替工作，那么： (1)完成任务时共用了多少小时？ (2)如果把条件中的“乙独做 18 小时完成”改为“乙独做 15 小时完成”，则完成任务时 共用了多少小时呢？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确地用代数式表示甲、乙两人各自的工作效率和各自完成的工作量是解题的关键， （1）假设甲、乙合作小时可以完成，可列方程，得出甲、乙两人交替工作，各工作7小时后，还剩下部分任务由甲完成，设两人各工作7小时后甲还要工作小时才能完成，可列方程得，求出的值，再加上14，就是两人交替工作完成任务时所用的小时数； （2）利用（1）的解法即可求解． 【详解】（1）解：假设甲、乙合作小时可以完成， 根据题意得， 解得， 可见，甲、乙两人交替工作，各工作7小时后，还剩下部分任务由甲完成， 设各工作7小时后甲还要工作小时才能完成任务， 根据题意得， 解得， ∴（小时）， 答：完成任务时共用了小时； （2）解：假设甲、乙合作小时可以完成， 根据题意得，解得， 可见，甲、乙两人交替工作，各工作6小时后，还剩下部分任务由甲工作1小时，然后由乙接替甲工作完成， 甲、乙两人交替工作，由甲工作7小时，乙工作6小时后，还剩下部分任务由乙完成， 设乙还要工作小时才能完成任务， 根据题意得，解得， ∴， 答：完成任务时共用了小时． 11．已知直线为直线上一点，过作交于为直线上两点，连接，．（本题出现的角均指不大于平角的角） (1)如图1，若，平分，平分，求的度数． (2)如图2，若射线是内的一条射线，射线是内的一条射线．当，，求的度数． (3)如图3，若，射线从与射线重合的位置绕点顺时针方向旋转，速度为每秒10°，射线同时从与射线重合的位置绕点逆时针方向旋转，速度为每秒．当射线运动到与射线重合时，射线都同时停止运动．设运动时间为秒，当时，请你直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了角平分线的性质、角的和差关系及一元一次方程的应用，解题的关键是熟练运用这些性质和关系，通过设未知数、列方程等方法来求解角度． （1）先根据平行线性质求出的度数，再利用角平分线求出和，最后通过角度关系求出． （2）先根据已知条件求出与的度数，再分别求出与的度数，最后根据角的和差关系求出的度数． （2）根据已知条件先分别表示出和，最后根据列出方程求解． 【详解】（1）解：∵，， ， ， ， ； ∵，， ， ； ， ； （2）解：， ∴设， ， ； ， ， ； （3），， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得，． 12．某化工厂每天产生超过100吨的工业废水，为使排放的工业废水达到国家的排放标准，建设了一座工业废水处理站．该处理站无论是否处理废水，都需要支付设备维护费用200元/天，且处理废水还需其他费用5元/吨．随着生产规模的扩大，该废水处理站已无法完成当天工业废水的处理任务，需要将一部分废水交给第三方企业处理，该企业处理工业废水的价格如表二所示． 表二 收费方式 废水处理量/吨 费用 第一阶梯 0～50 500元 第二阶梯 50～100的部分 5元/吨 第三阶梯 100以上的部分 4元/吨 (1)设某天有m吨废水在处理站处理，直接写出处理站处理废水产生的总费用； (2)若某天该工厂将一半的废水由处理站处理，另一半废水由第三方企业处理，该废水处理站处理废水产生的总费用与第三方企业处理废水产生的费用相同，求这一天该工厂产生的废水总量； (3)经测算，扩大生产规模后，每天产生的废水量超过该处理站日废水处理量至少50吨，为实现降本增效，工厂设计了两种废水处理方案：方案A：超出该处理站的日废水处理量的废水交给第三方企业处理；方案B：保留处理站的设备，但废水全部交给第三方企业处理．根据以上信息，请帮助工厂选择最优方案，并说明理由． 【答案】(1)处理站处理废水产生的总费用为元 (2)这一天该工厂产生的废水总量为300吨 (3)该工厂应选择B方案，理由见详解 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用及整式的加减运算，解题的关键是理解题意； （1）根据“设备维护费用200元/天，且处理废水还需其他费用5元/吨”可进行求解； （2）设这一天该工厂产生的废水总量为x吨，根据“工厂每天产生超过100吨的工业废水”可知：，由题意可分①当第三方企业处理的废水在第二阶梯时，②当第三方企业处理的废水在第三阶梯时，然后分别求解即可； （3）设该工厂每天产生的废水总量为t吨，处理站日废水处理量为m吨，然后分类表示出A、B方案的费用，进而问题可求解． 【详解】（1）解：由题意得：处理站处理废水产生的总费用为元； （2）解：设这一天该工厂产生的废水总量为x吨，根据“工厂每天产生超过100吨的工业废水”可知：；由题意可分： ①当第三方企业处理的废水在第二阶梯时，则有： ，该方程无解，故舍去； ②当第三方企业处理的废水在第三阶梯时，则有： ， 解得：； 答：这一天该工厂产生的废水总量为300吨． （3）解：设该工厂每天产生的废水总量为t吨，处理站日废水处理量为m吨，由题意得：， 当第三方企业处理的废水在第二阶梯时，则有： A方案产生的总费用为（元）； B方案产生的总费用为（元）； ∵， ∴B方案更划算； 当第三方企业处理的废水在第三阶梯时，则有： A方案产生的总费用为（元）； B方案产生的总费用为（元）； ∵， ∴B方案更划算； 综上所述：该工厂应该选择B方案更划算． 13．如图，数轴上有A，B，C三个点对应的数分别为a，b，c，且满足． (1)直接写出a，b，c的值； (2)若数轴上有两个动点P，Q分别从A，B两点出发沿数轴同时出发向右匀速运动，点P速度为3单位长度/秒，点Q速度为1单位长度/秒，若运动时间为t秒，运动过程中，是否存在线段的中点M到点的中点N距离为3，若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由； (3)在（2）的条件下，另外两个动点E，F分别随着P，Q一起运动，且始终保持线段，线段（点E在P的左边，点F在Q的左边），当点P运动到点C时，线段立即以相同的速度返回，当点P再次运动到点A时，线段和立即同时停止运动，在整个运动过程中，是否存在使两条线段和重叠部分为的一半，若存在，请直接写出t的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)或 (3)t的值为或或或8 【分析】本题考查数轴上的动点问题，两点之间的距离，一元一次方程的应用等知识，解题的关键是用含的代数式表示点运动后所表示的数． （1）根据绝对值、平方的非负性即可求解a、b、c，问题得解． （2）根据题意得：点P对应的数为，点Q对应的数为，从而得到点M对应的数为，点N对应的数为，再由线段的中点M到点的中点N距离为3，列出方程，即可求解； （3）根据题意得：，分线段和第一次重合中，即；线段和第二次重合中，即，再建立方程即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． （2）解：存在， 由（1）得：A，B，C三个点对应的数分别为，，5， 根据题意得：点P对应的数为，点Q对应的数为， ∵点M为线段的中点，点N为的中点， ∴点M对应的数为，点N对应的数为， ∵线段的中点M到点的中点N距离为3， ∴， 解得：或． （3）解：存在， ∵， ∴， ∵点P对应的数为，点Q对应的数为，点E对应的数为，点F对应的数为， ∴线段和第一次重合中，， 若点P表示的数比点F表示的数大1， ， 解得：； 若点Q表示的数比点E表示的数大2， ， 解得：； 当重合时，，解得：， ∴点P对应的数为，点E对应的数为， ∴线段和第二次重合中，， 若点Q表示的数比点E表示的数大1， ， 解得：； 若点P表示的数比点F表示的数大1， ， 解得：； 综上所述，t的值为或或或8． 14．定义：点M、N是数轴上不重合的两点，当数轴上的点P满足，则称点P是点M和点N的“双倍点”. 已知：点O、A、B在数轴上表示的数分别为0、a、b，回答下面的问题： (1)当，时，点A和点B的“双倍点”所表示的数为：______； (2)当且时，如果O、A、B中恰有一点是另外两个点的“双倍点”，则______； (3)若，，点C、D在数轴上表示的数分别为、，线段和点B同时沿数轴正方向移动，点B的速度是每秒3个单位长度，线段的速度是每秒8个单位长度，设运动的时间为t秒，当线段上存在点A和点B的“双倍点”时，求t的取值范围． 【答案】(1)3或11 (2)或或或或或 (3)或 【分析】本题考查了新定义，一元一次方程的应用； （1）设线段的“双倍点”为P，P表示的数为，分两种情况讨论：①点P在A、B之间；②点P在B的右边，根据列方程求解即可； （2）首先由得出，再分三种情况讨论：①点O为线段的“双倍点”；②点A为线段的“双倍点”；③点B为线段的“双倍点”，分别根据“双倍点”的定义列方程求解即可． （3）运动t秒后，点B表示的数为，点C表示的数为，点D表示的数为，求出点A和点B的“双倍点”为，为，然后分别求出四种临界情况：当点D到达时；当点C到达时；当点D到达时；当点C到达时；即可得到t的取值范围． 【详解】（1）解：设线段的“双倍点”为P，P表示的数为x， ①当点P在A、B之间时， ∵， ∴， 解得； ②当点P在B的右边时， ∵， ∴， 解得， 故答案为：3或11； （2）解：∵， ∴，即，，， 分三种情况： ①如果点O为点的“双倍点”，那么， 根据题意可得：或， ∴或， ∵， ∴，或，； ②如果点O为点的“双倍点”，那么， 根据题意可得：或， ∴或（舍去）； ③如果点A为点的“双倍点”，那么， ∴， ∴； ④如果点A为点的“双倍点”，那么， ∴， ∴； ⑤如果点B为点的“双倍点”，那么， ∴， ∴或（舍去）； ⑥如果点B为点的“双倍点”，那么， 根据题意可得：或， 解得：或， ∵， ∴或； 综上可得：a的值是或或或或或， 故答案为：或或或或或； （3）解：运动t秒后，点B表示的数为，点C表示的数为，点D表示的数为， ∵， ∴点A和点B的“双倍点”为：或， 设点A和点B的“双倍点”的位置是，的位置是， 当点D到达时，可得， 解得：； 当点C到达时，可得， 解得：； 当点D到达时，可得， 解得：； 当点C到达时，可得， 解得：； ∴t的取值范围为：或． 15．综合与实践 阅读材料，解答下列问题： 幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，如图1．把图1的洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，如图2，它的每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等． (1)在图2中，每行、每列、每条对角线上三个数的和都是______； (2)设图3所示的三阶幻方中间的数为x（x为整数），请用含x的代数式将图3幻方补充完整； (3)如图4是一个三阶幻方，按方格中已给的信息，求x的值． 【答案】(1)15 (2)1，2，4 (3) 【分析】（1）根据每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等，利用中间一行三个数字相加即可； （2）根据每行每列对角线上的三个式子的和相等的关系求解即可．利用对角线下面两个式子的和减去第一行中间的式子，即得第一行右边的式子；利用第一列上下两个式子的和减去第二行中间的式子，即得第二行右边的式子；利用第一列上面两个式子的和减去第三行右边的式子，即得第三行中间的式子； （3）根据三阶幻方每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，利用对角线下面两个式子的和等于第一行右边两个的式子的和，列出一元一次方程求解即可． 本题主要考查了一元一次方程的应用，抓住图形中数字的规律建立一元一次方程求解是解决问题的关键． 【详解】（1）∵每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等， ∴取中间一行三个数的和，为，， 故答案为：15； （2）∵， ， ， ∴补全图3如下： （3）由题意知，， 解得． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $