精品解析：四川省成都东部新区2024-2025学年上学期10月九年级数学学科课堂练习

学科网命组卷网 2024年10月课堂练习九年级数学 注意事项： 1.全卷分A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分；监测时间120分钟. 2.考生使用答题卡作答. 3,在作答前，考生务必将自已的姓名、考生号和座位号填写在答题卡上.监测结束，监考人 员将试卷和答题卡一并收回. 4.选择题部分请使用2B铅笔填涂；非选择题部分请使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，字 体工整、笔迹清楚。 5.请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效：在 草稿纸、试卷上答题无效. 6.保持答题卡面清洁，不得折叠、污染、破损等. A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，答案涂在答题卡上） 1.下列是一元二次方程的是() A.ax+bx+c=0 B.x-2=x2 +x=1 Cx2-2=x(x-2）D.x 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的识别.本题根据一元二次方程的定义解答. 第1页/共35页 学科网命组卷网 【详解】解：A、当a≠0时，+bx+C=0是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、x-2=x2 是一元二次方程，故本选项符合题意； C、变形为2x=2不是一元二次方程，故本选项不符合题意： 1 +x=1 D、x 含有分式，不是一元二次方程，故本选项不符合题意： 故选：B 2一元二次方程-6x+5=0 配方可变形为() A.(x-3)}=4 B.(x+3)2=14 c(x-3)2=14 D.(x+3)}2=4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的配方，正确掌握完全平方式的特点是正确配方的前提，方程两边都加 上4，即可将原方程配方。 【详解】解：-6x+5=0 :x-6x+5+4=4 :(（x-3)}=4 故选：A」 3.下列说法不正确的是() A.有一组邻边相等的平行四边形是菱形 B.有一个角是直角的平行四边形是矩形 C.有一组邻边相等，有一个角是直角的平行四边形是正方形D.一组邻边相等的四边形是菱形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查矩形、菱形、正方形的判定，关键是掌握矩形、菱形、正方形的判定方法.由矩形、菱 形、正方形的判定方法，即可判断。 【详解】解：A、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，正确，故A不符合题意： 第2页/共35页 6学科网6组卷网 B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，正确，故B不符合题意： C、有一组邻边相等，有一个角是直角的平行四边形是正方形，正确，故C不符合题意： D、一组邻边相等的平行四边形是菱形，原说法不正确，故D符合题意. 故选：D, 4.如图，正方形ABCD的对角线AC,BD交于点O,E、F分别为AO、AD的中点，若EF=3, 则OD的长是() 84 D.6 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得，EF是△AOD的中位线，然后根据中位线的性质定理解答即可. 【详解】解：：E、F分别为AO、AD的中点， ∴EF。△AOD 是 的中位线。 :.EF=1OD ,即OD=2EF. .EF=3 ∴.0D=6 故选：D 【点睛】本题考查了三角形中位线的定义与性质，掌握三角形的中位线性质定理是解题的关键. 5.已知关于x的一元二次方程k-)x-4x-1=0 两个不等的实数根，则K的取值范围是() 第3页/共35页 6学科网列组卷网 k≥4 4 BK>-3 c.k>-3nk≠1 且 D.k≥3。k≠1 且 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，计算一元二次方程根的判别式 △=(4)}2-4×(k-1)×(-1)=4+12>0,且k-1≠0，进而即可求解，解题的关键是熟练掌握一元二 次方程r+r+c=0a≠0)根的判别武△=B-4ac,当△>0时，方程有两个不相等的实数根：当 △=0 时，方程有两个相等的实数根，当△<0时，方程没有实数根。 【详解】解：方程(k-)x2-4x-1=0 有两个不相等的实数根， :A=(-4-4×(k-l)×(-)=4k+12>0,且k-1≠0， .k>-3且k≠1， 故选：C () 6.若x支球队参加篮球比赛，共比赛了36场，每2队之间比赛一场，则下列方程中符合题意的是 1 A.x(x-1)=36 B.x(X+1)=36 c2X(x-0=36 D.2x(x+1)=36 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可以列出相应的方程，本题得以解决. x(x-1)=36 【详解】解：由题意可得，2 故选C 【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程.、 第4页/共35页 6学科网6组卷网 7.若m+4x2-x-5=0 是关于x的一元二次方程，则的值为() A.4 B.-4 C.±4 D.+2 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义：形如++c=0(a≠0)的方程叫一元二次方程，直接对比求解即 可得到答案。 【详解】解：~(m+4x2-x-5=0 是关于x的一元二次方程， m+4≠0 : m-2=2,解得m=4' 故选：A, 【点睛】本题考查一元二次方程的定义，把握住一元二次方程只有一个未知数，未知数的最高次数为2次， 且二次项系数不为零是解决问题的关键 8.如图，在△ABC中，AB=3,AC=4,BC=5,P为边BC上一动点，且PE⊥AB于点E, PF⊥AC.F EF ”于点P,则线段的最小值为() E B P 2 A. B2.2 C2.4 D25 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质和判定，勾股定理的逆定理，等面积法，解题的关键是要证明EF=AP」 此题根据勾股定理的逆定理得出△ABC为直角三角形，进一步得出四边形AEPF为矩形，则有EF=AP, 第5页/共35页 6学科网命组卷网 当AP⊥BC时，AP最小，即可解答 【详解】解：连接AP,如图所示， B P ,AB=3,AC=4,BC=5 ∴.AB2+AC2=BC2 .△ABC 为直角三角形， 则∠BAC=90°. 又PE⊥AB于点E,PF⊥AC于点F, ∴.四边形AEPF为矩形， ..EF=AP, 当AP⊥BC时，AP最小，即此时EF有最小值， BCPBC 1 ×3×4=-×5×AP 即2 2 AP=3×4=24 5 故选：C 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案涂在答题卡上） 9.方程(3x+)=2+2 化为一般形式为— 第6页/共35页 6学科网 命组卷网 【答案】 x2-3x+1=0 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程的定义即可是出答案，熟练掌握一 元二次方程的一般形式是解题的关键。 【详解】解： (3x+1)=x2+2 :r2-3x+1=0 x2-3x+1=0 故答案为： 10.要在一块长12m,宽8m的矩形空地中，修建两条形状为平行四边形的甬道（其中一条甬道形状为矩 77m xm 形)，剩余部分栽种蔬菜，且菜地的面积为 .若设两条甬道的宽为，则根据题意列出的方程可 以为 EF G H 【答案】 (12-x)(8-x)=77 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键.把所修的两条甬道 分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的部分是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程即可. 【详解】解：根据题意，可列方程为（12-)8-x)=77 故答案为： (12-x)(8-x)=77 1.一元二次方程-2x+3=0的两根分别为和，则+名-2x名为. 【答案】-4 第7页/共35页 6学科网 命组卷网 【解析】 【分析】根据根与系数的关系可以得到+为=2，=3. ,然后即可求得所求式子的值. 【详解】解：：x,是一元二次方程”-2x+3=0的两根， :+书=2，=3 :+名-2x =(x+x2)-2xx2 =2-6=-4 故答案为：-4. 【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用根与系数的关系 解答 12.如图，已知菱形 ABCD 的对角 AC=6cmBD=8cm.AB=5cmAH1BC于H,则AH 的长是 B 【答案】4.8cm 【解析】 【分析】由棱形的面积积公式得到 Swencn -AC.BD-BC.AH 2 ，求解即可，掌握棱形的性质是解题 的关键. 【详解】解：四边形ABCD是菱形， 第8页/共35页 6学科网6组卷网 .'BC=AB=5cm. S德形HBD三)AC~BD=BC·AH 6x8=5×AH ,即2 ..AH =4.8cm I3.如图，在口ABCD中，以A为圆心，AB长为半径画弧交AD于F,分别以F、B为圆心，大于 2 长为半径画弧，两弧交于点G,作射线AG交BC于点E,BF=6,AB=5,则AE的长为 D E 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，菱形的判定和性质等知识，设AE交BF于点O.证明四边形 ABEF OA 是菱形，利用勾股定理求出 即可解决问题. 【详解】解：如图，设AE交BF于点O. 由作图可知：AB=AF,∠FAE=∠BAE, :四边形ABCD是平行四边形， .AD∥BC, .∠EAF=∠AEB. ∴.∠BAE=∠AEB, 第9页/共35页 6学科网命组卷网 .AB=BE=AF, AF∥BE, ∴四边形ABEF是平行四边形， .AB=AF, .四边形ABEF是菱形， ·0A=0E, OB=OF=1BF=3 在Rt△AOB中，∠AOB=90°， .0A=VAB2-0B2=V52-32=4 .AE=20A=8 故答案为：8. 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14.解下列方程： (1)3x2-2x-1=0 (2)(x-1)2-16=0 【答案】(5=1，戈=号 3 2)=5x2=-3 【解析】 【分析】(1)利用公式法求解即可： (2)利用直接开平方法求解即可. 【小问1详解】 a=3,b=-2,c=-1, 第10页/供35页 命学科网命组卷网 .△=b2-4ac=(-22-4x3x(-1)=16>0 片x=±B-4ac-(-2)±62士4 2a 2×3 6 1 :出=1，=3 【小问2详解】 .(x-1)2-16=0 .(x-1)2=16 则x-1=±4， =5名=-3 【点睛】本题考查一元二次方程的求解，灵活运用公式法等求解方法即可. 15已知平行四边形4CD的两边4公、MD的张是关于产的元二次方登”-8x+m=0 两个实数根 (1)若AB的长为5，求m的值； (2)m为何值时，平行四边形ABCD是菱形？求出此时菱形的边长. 【答案】(1)m=15 (2)m=16,平行四边形ABCD是菱形，菱形的边长是4 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根的判别式，菱形的判定与性质，熟练掌握根的判别式和菱形的 判定与性质是解题的关键。 (1)将x=5代入原方程可求出m的值： (2)根据菱形的性质可得出AB=AD,结合根的判别式，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得 出m的值，将其代入原方程，解之即可得出菱形的边长， 第11页/共35页 学科网命组卷网 【小问1详解】 解：AB、A 的长是关于的一元二次方程-8x+m=0 的两个实数根，AB的长为5， 把比 代入-8x+m=0,得 52-8×5+m=0 解得：m=15: 【小问2详解】 解：：平行四边形ABCD是菱形， .AB=AD. 方程-8x+m=0 两个相等的实数根， .△=(-8)2-4m=0 ∴.m=16 此时方程为 x2-8x+16=0 X=x2=4 ∴.AB=AD=4,即菱形的边长为4： 答：m=16,平行四边形ABCD是菱形，菱形的边长是4. I6,如图，在口ABCD中，点E,F在对角线AC上，且AE=CF,连接DE、EB、BF、FD.求证 D (1)△ADE≌aCBF: 第12页/供35页 命学科网组卷网 (2)四边形DEBF是平行四边形. 【答案】(1) 证明：四边形ABCD是平行四边形， ∴.AD=BCAD∥BC ∴.∠DAE=∠BCF 在△ADE和△CBF中， AD=CB ∠DAE=∠BCF AE=CF :∴△ADE≌aCBF(SAS) (2) 证明：四边形ABCD是平行四边形， .AD=BCAD∥BC .∠DAE=∠BCF 在△ADE和△CBF中， AD=CB ∠DAE=∠BCF AE=CF :∴△ADE≌aCBF(SAS) 【解析】 【分析】(1)根据平行四边形的性质得出AD=BC,AD∥BC,根据平行线的性质得出 ∠DAE=∠BCF ,根据全等三角形的判定即可证明： 第13页/供35页 命学科网 命组卷网 (2)根据全等三角形的性质得出DE=BF,∠AED=∠BFC,求出∠DEF=∠BFE,根据平行线的 判定得出DE∥BF,根据平行四边形的判定得即可证明. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 略。 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，平行四边形的性质和判定等知识点， 能综合运用定理进行推理是解此题的关键 17已知关于*的-元=次方程-2x-3m2-0 (1)求证：方程总有两个不相等的实数根： （②)若方程的两个实数根分别为“，B.且“+2B=5 求m的值. 【答案】(1) △=b2-4ac=(-2)2-4×1-(-3m2）=4+12m2, 12m2≥0 :4+12m2≥4>0 ·该方程总有两个不相等的实数根： (2)m=±1 【解析】 【分析】（山根据根的判别式△=b2-4ac,即可判断： (2)利用根与系数关系求出a+B=2,由+2B=5即可解出“，B,再根据~B=-3m,即可得 到m的值. 【小问1详解】 略 第14页/供35页 6学科网可组卷网 【小问2详解】 “方程的两个实数根“，B, 由根与系数关系可知，+B=2a~B=-3m2 .a+2p=5 :a=5-2B :5-2B+B=2 B=3=-1 解得： -3m2=-1×3=-3mm=±1 ，即 【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是掌握根的判别式以及根与系数的关系 18.已知正方形ABCD,点F是射线DC上一动点（不与C、D重合），连接AF并延长交直线BC于 点E,交BD于点H,连接CH,过点C作CG⊥HC交AE于点G. 备用图 (1)若点F在边CD上，如图. ①证明：∠DAH=∠DCH; ②猜想线段CG与EF的关系并说明理由； (2)取DF中点M,连结MG,若MG=4,正方形边长为6，求BE的长. 【答案】(1) 第15页/供35页 6学科网 命组卷网 ①证明：，四边形ABCD是正方形， .∠ADB=∠CDB=45°，AD=DC, 在△ADH和△CDH中， AD=CD ∠ADH=∠CDH DH =DH :.△MDI≌aCDH(SAS) .∠DAH=∠DCH: ②解：结论：EF=2CG,理由如下： .△DAH≌△DCH, .∠DAF=∠DCH, .CG⊥HC, .∠FCG+∠DCH=90° .∠FCG+∠DAF=90°， .∠DFA+∠DAF=90°，∠DFA=∠CFG. .∠CFG=∠FCG, ..GF=GC, .∠GCE+∠GCF=90°，∠CFG+∠E=90°， .∠GCE=∠E, .CG=GE. ..CG=GE=GF .EF =2CG. 第16页/供35页 6学科网命组卷网 (2) 6+27或6-27 【解析】 【分析】(I)①只要证明△DAH≌△DCH，,即可解决问题； ②只要证明∠CFG=∠FCG,∠GCF=∠E即可解决问题； (2)分两种情形解决问题：①当点F在线段CD上时，连接DE；②当点F在线段DC的延长线上时， 连接DE.分别求出EC即可解决问题. 【小问1详解】 ①略 ②略 【小问2详解】 解：分以下两种情况： ①如图，当点F在线段CD上时，连接DE, 图1 由(1)得EG=GC=FGe, :DF中点M, .FM=MD. .MG是△DEF的中位线， .DE=2MG=8, ,正方形边长为6， .DC=BC=6. 第17页/供35页 学科网命组卷网 在Rt△DCE中，CE=VDE2-DC2=V82-6=27 BE=BC+CE=6+27 ②如图，当点F在线段DC的延长线上时，连接DE, 图2 同法可知GM是△DEF的中位线， .DE=2GM=8. 在Rt△DCE中，CE=2V7 :BE=BC-CE=6-27 综上所述， BE的长为6+2V7或6-2V7 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的中位线定理、勾股定理等知识，解 题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型， B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案涂在答题卡上） 19.已知方程-2x+m=0的一个根为V2-1,则方程的另一个根为 【答案】3-V5拼-V2+3 第18页/供35页 6学科网列组卷网 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，解题关键是学握若方程+r+C=0: 的两个根是 、名：则+5=6 ā·根据方程得到两根之和为2，即可求出另一个根. 【详解】解：“方程-2x+m=0 方程的两根之和为2， “方程的一个根为V2-1 ∴方程的另一个根为2-(V2-=3-V2 故答案为： 3-2 20.一元二次方程 x2-5x+c=0 有两个不相等的实数根且两根之积为正数，若‘是整数，则最大整数￠一 【答案】6 【解析】 【分析】本腿考查了一元二次方程r++c=0(a≠0)的根的判别式△=-4ac 根据判别式的 25 意义得到△=(-5-4c>0,解不等式得C<4,进一步根据根与系数的关系得到x+x=5, c< xx2=c>0 然后在此范围内找出最大整数即可. 【详解】解：：一元二次方程t-5x+c=0 有两个不相等的实数根， 25 C< :△=(-5-4c>0,解得c<4, +龙=5x3=c>0 ,c是整数， 第19页/共35页 学科网 6组卷网 ∴.最大整数C=2×3=6. 故答案为：6. 21.如图，小华剪了两条宽为1的纸条，交又叠放在一起，且它们的交角为60，则它们重叠部分的面积 为 B 609 25 【答案】3 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的判定与性质以及勾股定理.首先过点B作BE⊥AD于点E,BF⊥CD 于点F,由腮意可得四边形BCD是平行四边形，求得AB=CD=23 3,则可求得答案。 【详解】解：过点B作BE⊥AD于点E,BF⊥CD于点F, 609 根据题意得：AD∥BC,AB∥CD,BE=BF=lcm, ∴四边形ABCD是平行四边形， 第20页/供35页 学科网命组卷网 .∠BAD=∠BCD=60°，AB=CD. .∠ABE=30°， .AB=2AE, :B=CD=23 3 SANCD CD.BF =1x2 2W325 3-3 2V5 故答案为：3· 22.如图，△ABC中，AB>AC,AE平分∠BAC,BD⊥AE于D,CE⊥AE于E,F为BC的中 点，给出结论：OFD∥AC:②FE=FD,③MB-4C=DE,④∠BMC+∠DFE=I80 其中正 确结论的题号是 B 【答案】①②④ 【解析】 【分析】此题考查等腰三角形的判定与性质、三角形中位线定理，矩形的判定与性质等知识，延长CE交 MB于G,延长 BD AC BD交AC延长线于H,根据三角形中位线定理和矩形的判定和性质解答即可，关键是根 据三角形中位线定理和矩形的判定和性质解答. 第21页/共35页 6学科网6组卷网 【详解】解：如图，延长CE交AB于G,延长BD交AC延长线于H, G B :AE平分 ∠GAC,AE⊥GC,AE=AE .△AGE≌△ACE, .AG=AC,GE=CE, :AE平分∠BAC,BD⊥AE于D, AB=AH,BD=HD, 同理可得： BF =CF,BD=HD ∴DF∥CH,nDF∥AC, 即 故①符合题意： ÷DF=CH, .GE=CE,BF=CF, :.EF-BG, GB=AB-AG-AH-AC=CH,GB-CH :GB=CH,0F=DP,放②特合a意， 2 .AB-AC=AB-AG=BG. 过G作GI⊥BH于I, 第22页/供35页 6学科网 组卷网 .∠GED=∠EDI=∠GID=90° ∴四边形GIDE是矩形， .GI =ED. 当∠GBI=45°，即∠BAC=90°时， AB-AC=BG=V2G1=V2ED,故③不符合题意： .EF∥BG,DF∥HC. ∴.∠FED=∠BAD,∠FDE=∠HAD, .∠FED+∠FDE=∠BAD+∠HAD=∠BAC, .'∠FED+∠PFDE+∠EFD=180°， .∠BAC+∠EFD=180°，故④符合题意： 故答案为：①②④， 23.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转，旋转角为 0(0°<6<360)，得到△A"B'C.设AC中点为E,A'B中点为P,4C=4,连接EP,BP长度的 取值范围是 A B 【答案】2≤EP≤6 【解析】 第23页/供35页 6学科网命组卷网 【分析】本题考查了旋转的性质，点与圆的位置关系，含30°角的直角三角形等知识，由AC中点为E, AE=CE=2 30° AB=8 ,再根据含角的直角三角形得到 ,由旋转可知 AB=AB=8,因为 AB中点 CP=14B=4 为P,所以 2 ，根据点P的运动路径是在以点C为圆心，心4为半径的圆上，根据点与圆 的位置关系可得EP的最小值和EP的最大值，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键. 【详解】解：如图，连接CP, B B :AC中点为E,AC=4, :4B=cR号4C=2 :∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=4, .AB=8, 由旋转可知，A'B'=AB=8, A'B中点为P, CP-4B=4 .点P的运动路径是在以点C为圆心，心4为半径的圆上，根据点与圆的位置关系可得： EP CP-CE=4-2=2 的最小值为 第24页/共35页 6学科网命组卷网 EP CP+CE=4+2=6 的最大值为 .EP长度的取值范围是：2≤EP≤6， 故答案为：2≤EP≤6 二。解答题（本大题共3个小题，共30分，解答应巧出必要的文字说明.证明过程或演算步 骤) 24.如图，有长为30米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10米），围成中间隔有一道篱笆（平行 于AB)的矩形花圃，设花圃一边AB的长为x米，面积为y平方米. 10m A B (1)求y与x的函数关系式： (2)如果要围成面积为63平方米的花圃，AB的长是多少？ 【答案】(1)y=-3x2+30x 20≤x<10 (2)7米 【解析】 【分析】()根据各边之间的关系，可得出BC的长为30-3刘)米，利用矩形的面积计算公式，可用含 BC 10 的代数式表示，再结合边的长大于0且长度不超过米，即可得出的取值范围： (2)根据围成花圃的面积为63平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得 出结论. 【小问1详解】 第25页/供35页 6学科网命组卷网 解：：AB的长为x米，且篱笆的总长度为30米， BC的长为(30-3x)米 ∴花圃的面积y=x(30-3x)=-3x2+30x ,墙的长度为l0m, 30-3x>0 .30-3x≤10， 20≤x<10 . y=-3x2+30x 20≤x<10 3 【小问2详解】 解：依题意得： x(30-3x)=63 x2-10x+21=0 整理得： 解得： 七=3 （不符合题意，舍去)，=7 答：AB的长是7米. 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：(1)根据各数量之间的关系，用含x的代数式 表示出y;(2)找准等量关系，正确列出一元二次方程. 25.操作与探究：如图1，在锐角∠MON的边OM、ON上分别取点A、C,使OA=OC,在OC上 取点B,作ABCD,连接ACBD交于点P,作射线OP: 第26页/供35页 6学科网6组卷网 B C N 图1 图2 图3 (1)求证：OP平分∠MOW. (2)移动点B使∠BPC=∠MON,求证：ABCD是矩形. （3)如图3，在(2)的条件下，上01中点连按OB,将∠BPC绕点P道时针旅转适当的角度，符到 OB ∠EPF(点E、F分别是∠EPF的两边与OB的延长线、ON的交点)）.猎姐线段PE与PF之间的数 量关系，并证明你的结论 【答案】(1) 证明：：四边形ABCD是平行四边形， .AP=CP, 在△AOP和△COP中， OA=OC OP=OP AP=CP :△AOP≌aCOP(SSS) :.∠AOP=∠COP .OP平分∠MON: (2) 第27页/供35页 6学科网命组卷网 证明：：∠BPC=∠MON,∠BCP=∠ACO, .∠PBC=∠OAC, 又：OA=OC, .∠OAC=∠OCA, ∴.∠PBC=∠PCB, .PB=PC. .ABCD, .AC=2PC,BD=2PB, .AC=DB. 又，四边形ABCD是平行四边形， .口ABCD是矩形： (3) 线段PE与PF之间的数量关系为：PE=PF. 证明：根据旋转的性质，可设∠BPC=∠EPF=a,则 ∠PBC=180°-a=90°-_1& -c 等腰△BCP中， 2 2， s∠F-∠BrC+∠PBC=a+90-a=0r+0 :∠AB0=90°，0为A0的中点， B0=)4A0=00 ∴.Rt△AOB中， :∠0=∠QB0=∠EBC 第28页/供35页 学科网命组卷网 又：∠BPC=∠MON=a, .∠EBC=x, ∠PBE=∠PBC+∠EBC=90°- 2a+a=90+ .∠PCF=∠PBE, 由旋转可得，∠BPC=∠EPF, .∠BPE=∠CPF」 在△PBE和△PC 和 中， ∠BPE=∠CPF BP=CP ∠PCF=∠PBE △PBE≌APCF(ASA) .PE=PF. 【解析】 【分析】(1)根据SSS判定△AOP2△COP,即可得到∠AOP=∠COP,进而得出结论： (2)根据三角形内角和可得∠PBC=∠OAC,再根据等边对等角可得∠OAC=∠OCA,根据等角对等边 可得PB=PC,再根据对角线相等的平行四边形是矩形，即可判定口ABCD是矩形； (3)根据旋转的性质，可设∠BPC=∠EPF=a,根据等腰△BCP内角和为l80°，可得 ∠PBC=90°-1 ∠PBE=90°+ ，根据直角三角形斜边上中线的性质，可得 2,进而得出 第29页/供35页 命学科网命组卷网 ∠PCF=∠PBE ∠BPE=∠CPF ASA △PBE≌△PCF 再由旋转的性质可得 ,最后根据 即可判定 进而得到线段PE与PF之间的数量关系 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质，矩形的判定，等腰三角形的性质以及全 等三角形判定与性质的综合应用，解决问题的关键是掌握：三条边分别对应相等的两个三角形全等：两角 及其夹边分别对应相等的两个三角形全等.解题时注意：对角线相等的平行四边形是矩形. ABCD 5 (0,-3) 26.已知菱形 的边长为3，其顶点都在坐标轴上，且点A坐标为 X-3 图1 图2 备用图 (I)求点B的坐标及菱形ABCD的面积： (2)点P是菱形边上一动点，沿A→B→C→D运动（到达D点时停止） 4 ①如图1，当点P关于x轴对称的点2恰好落在直线》3-3 上时，求点P的坐标. ②探究：如图2，当P运动到BC,CD边时，作△ABP关于直线AP的对称图形为△AB'P,是否存在 4 y= 。X-3 这样的P点，使点B正好在直线一3上？若存在，求出满足条件的点P坐标；若不存在，请说明 理由， 第30页/供35页 6学科网 命组卷网 【答案】(1)B(4,0) 菱形ABCD的面积为24 巴p东太器器)0.8#的P4引4号 7221 【解析】 【分析】(1)根据菱形的性质可得AB=BC=CD=AD=5,OA=OC,OB=OD,AC⊥BD,由 A(0,-3 ,可得OA=3,再根据勾股定理求出OB=4,可求出点B的坐标，得到BD=8,AC=6, 最后根据菱形的面积公式求出其面积即可： (2)①有两种情形：求出图中点Q坐标，根据对称性可得点P坐标，当点P'与C重合时，也满足条件： ②分两种情形：当4P平分 ∠BAQ, 时，当4P1AP时，分别求解即可解决问题。 【小问1详解】 解：如图1中， 图1 ABCD ,5 菱形 的边长为， ∴.AB=BC=CD=AD=5OA=OCOB=ODAC⊥BD A0,-3) ∴.OA=3, 第31页/供35页 命学科网 组卷网 在RtaA0B中，OB=V52-32=4 B(4,0) .OB=4 .BD=2OB=8,AC=20A=6, 1 ÷S爱形m=2XBDX4C=24 【小问2详解】 解：①如图2中， C(P D 0 B A(0) 图2 ABCD 菱形 的顶点都在坐标轴上， 六点P关于轴对称的点”也在直线 Q C B(4,0)C(0,3) 由题意知， BC 设直线的解析式 y=c+b路B4,0).C0,3刃代入得： ，将 4k+b=0 b=3 第32页/供35页 命学科网命组卷网 [k=-3 4 解得： b=3 .直线BC的解析式为 43 y= x-3 联立得： 3 y=、 x+31 4 72 x= 25 解得： y 21, 25 7221 (25’25, 7221 4 :当点P坐标为252)时，点P关于x轴对称的点Q恰好落在直线'3-3上， 4 当点P与C重合时，点P关于x轴对称的点Q恰好落在直线'=3-3 上，此时P'(0,3) 7221 综上所述，满足条件的点P坐标为25’25或(0,3)： ②如图3中， 第33页供35页 6学科网6组卷网 C DP O B x A B 图3 当4P平分 BAQ 时，满足条件， 由题意知， 40-.A140.e器 ·40=24 B0=7 , 5, ·ABPB A0 PO, .PB25 Pg24, PB=25x75 4957, n243 （77, 当MP1MP时，B在直线4 上， 此时直线A 的解析式为少=-x-3 直线CD的解析式为y= 4+3 第34页/供35页 6学科网命组卷网 y=-x-3 由 y=+3, .24 x=- 7 解得： .3 y=7 r4引 (243 综上所述，满足条件的点P坐标为77或-7，) 【点睛】本题考查一次函数综合题、菱形的性质、翻折变换、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是 学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用方程组确定两个函数的交点坐标，属于中考压轴题. 第35页/共35页 2024年10月课堂练习九年级数学 注意事项： 1．全卷分A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分；监测时间120分钟． 2．考生使用答题卡作答． 3．在作答前，考生务必将自己的姓名、考生号和座位号填写在答题卡上．监测结束，监考人员将试卷和答题卡一并收回． 4．选择题部分请使用2B铅笔填涂；非选择题部分请使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 5．请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 6．保持答题卡面清洁，不得折叠、污染、破损等． A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，答案涂在答题卡上） 1. 下列是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程配方可变形为（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法不正确的是（ ） A. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 B. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 C. 有一组邻边相等，有一个角是直角的平行四边形是正方形 D. 一组邻边相等的四边形是菱形 4. 如图，正方形的对角线，交于点，、分别为、的中点，若，则的长是（    ） A. B. C. D. 5. 已知关于的一元二次方程有两个不等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 6. 若x支球队参加篮球比赛，共比赛了36场，每2队之间比赛一场，则下列方程中符合题意的是　　 A. B. C. D. 7. 若是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ） A. 4 B. C. D. 8. 如图，在中，，为边上一动点，且于点，于点，则线段的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案涂在答题卡上） 9. 方程化为一般形式为_____． 10. 要在一块长12，宽8的矩形空地中，修建两条形状为平行四边形的甬道（其中一条甬道形状为矩形），剩余部分栽种蔬菜，且菜地的面积为．若设两条甬道的宽为，则根据题意列出的方程可以为______． 11. 一元二次方程的两根分别为和，则为______． 12. 如图，已知菱形的对角线，，，于，则的长是_____． 13. 如图，在中，以为圆心，长为半径画弧交于，分别以、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，，，则的长为_____． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14. 解下列方程： （1）； （2）； 15. 已知平行四边形的两边的长是关于的一元二次方程的两个实数根． （1）若的长为5，求的值； （2）为何值时，平行四边形是菱形？求出此时菱形的边长． 16. 如图，在中，点，在对角线上，且，连接、、、．求证： （1）； （2）四边形是平行四边形． 17. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 18. 已知正方形，点是射线上一动点（不与、重合），连接并延长交直线于点，交于点，连接，过点作交于点． （1）若点在边上，如图． ①证明：； ②猜想线段与的关系并说明理由； （2）取中点，连结，若，正方形边长为6，求的长． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案涂在答题卡上） 19. 已知方程的一个根为，则方程的另一个根为_____． 20. 一元二次方程有两个不相等的实数根且两根之积为正数，若是整数，则最大整数__________． 21. 如图，小华剪了两条宽为1的纸条，交叉叠放在一起，且它们的交角为，则它们重叠部分的面积为__________． 22. 如图，中，，平分，于，于，为的中点，给出结论：①；②；③；④．其中正确结论的题号是_______． 23. 如图，在中，，，将绕顶点逆时针旋转，旋转角为，得到．设中点为，中点为，，连接，长度的取值范围是_____． 二．解答题（本大题共3个小题，共30分，解答应巧出必要的文字说明．证明过程或演算步骤） 24. 如图，有长为30米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10米），围成中间隔有一道篱笆（平行于）的矩形花圃，设花圃一边的长为x米，面积为y平方米． （1）求y与x的函数关系式； （2）如果要围成面积为63平方米的花圃，的长是多少？ 25. 操作与探究：如图1，在锐角的边、上分别取点、，使，在上取点，作，连接交于点，作射线． （1）求证：平分． （2）移动点使，求证：是矩形． （3）如图3，在（2）的条件下，去中点连接，将绕点逆时针旋转适当的角度，得到（点、分别是的两边与的延长线、的交点）．猜想线段与之间的数量关系，并证明你的结论． 26. 已知菱形的边长为，其顶点都在坐标轴上，且点坐标为． （1）求点的坐标及菱形的面积； （2）点是菱形边上一动点，沿运动（到达点时停止） ①如图1，当点关于轴对称的点恰好落在直线上时，求点的坐标． ②探究：如图2，当运动到，边时，作关于直线的对称图形为，是否存在这样的点，使点正好在直线上？若存在，求出满足条件的点坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $