专题03 二次函数图像与性质9大题型（专项训练）数学冀教版九年级下册

专题03 二次函数图像与性质 目录 A题型建模・专项突破 题型一、y=ax2的图象和性质 1 题型二、y=ax2+k的图象和性质 2 题型三、y=a（x-h)2的图象和性质 3 题型四、y=a(x-h)2+k的图象和性质 5 题型五、把y=ax2+bx+c化成顶点式 7 题型六、画y=ax2+bx+c的图象 10 题型七、y=ax2+bx+c的图象与性质 11 题型八、二次函数图象与各项系数符号 12 题型九、一次函数、二次函数图象综合判断 13 B综合攻坚・能力跃升 题型一、y=ax2的图象和性质 1．有下列二次函数：①；②；③．在同一平面直角坐标系中，将它们图象的开口按从大到小的顺序排列，正确的是（） A．①②③ B．①③② C．②③① D．②①③ 2．若抛物线的开口向下，则的值可以是 （写一个即可）． 3．如图，点、在的图象上．直线与轴交于点，连接、． (1) _______； _______； (2)求直线的函数表达式； (3)求的面积； (4)观察图象，直接写出当时，y的取值范围． 4．已知是关于的二次函数． (1)求值； (2)若，直接写出的取值范围． 题型二、y=ax2+k的图象和性质 5．下列抛物线，对称轴是直线的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，抛物线经过正方形的三个顶点A，B，C，点B在轴上，则的值为（   ）    A． B． C． D． 7．已知点在抛物线上，且，则 ．（填“<”或“>”或“=”） 8．数学课上，老师出了这样一道数学题：取何值时，抛物线的开口向下？嘉琪解答过程如下： 解： ∵抛物线开口向下， ∴， ∴， 即当时，抛物线的开口向下． 嘉琪的解答过程正确吗？如果不正确，请指出嘉琪解答错误的原因，并改正过来． 题型三、y=a（x-h)2的图象和性质 9．抛物线的顶点坐标为（　　） A． B． C． D． 10．如图，抛物线的顶点在x轴的正半轴上，过点且平行于x轴的直线l与抛物线交于A，B两点，点．若四边形是菱形，则a和h的值分别为（　　） A．，11 B．，11 C．， D．， 11．对于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．当时，y随x的增大而增大 D．顶点坐标为 12．平移抛物线使其顶点在原点，可以平移的方法是（    ） A．向左1个单位 B．向右1个单位 C．向上1个单位 D．向下1个单位 题型四、y=a(x-h)2+k的图象和性质 13．下列关于二次函数的说法正确的是（    ） A．图象是一条开口向下的抛物线 B．顶点坐标是 C．函数图象与y轴交于正半轴 D．y有最大值，最大值为 14．将抛物线先向右平移1个单位长度后，再将所得抛物线绕原点旋转，最后该抛物线的关系式为(    ) A． B． C． D． 15．已知某抛物线与抛物线的开口大小，对称轴都相同，但开口方向相反，若该抛物线经过点，则该抛物线的表达式为 ． 16．已知函数． (1)函数图象的开口方向是 ，对称轴是 ，顶点坐标为 ． (2)当 时，随的增大而减小． (3)当x取什么数时函数能取到最值？是最大值还是最小值？函数的最值是多少？ (4)怎样平移抛物线可以得到拋物线？ 题型五、把y=ax2+bx+c化成顶点式 17．抛物线（是常数）的顶点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 18．如图，矩形的顶点坐标分别为，，．二次函数（其中m为常数）的图象在矩形内（不含边界）的部分均为y随x的增大而减小，则m的取值范围是 ． 19．已知二次函数． (1)求出函数顶点坐标； (2)当时，随的增大而_____________（填“增大”或“减小”）； (3)当时，的取值范围为_____________． 20．已知二次函数． (1)求该函数图象的顶点坐标和对称轴； (2)当x取何值时，y随x的增大而减小？ (3)当x取何值时，？ 题型六、画y=ax2+bx+c的图象 21．如图，正方形ABCD的边长为3cm，动点M从点B出发以3cm/s的速度沿着边BC-CD-DA运动，到达点A停止运动，另一动点N同时从点B出发，以1cm/s的速度沿着边BA向点A运动，到达点A停止运动，设点M运动时间为x（s），△AMN的面积为 y（cm2），则y关于x的函数图象是（    ） A． B． C． D． 22．抛物线的对称轴是直线 ． 23．已知二次函数． (1)画出函数的图象； ①把下表补充完整： x … 0 1 … y … … ②在所给的直角坐标系中，画出此函数图象． (2)根据所画的图象直接写出当时，的取值范围． … 0 1 … … 0 0 … 24．二次函数中的，满足如下表. x … -1 0 1 2 3 … y … 0 -3 m -3 0 … (1)观察表中信息，发现______，抛物线的对称轴为_______． (2)求该抛物线的解析式，并求时的值． (3)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象，结合图象，请直接写出当时，自变量的取值范围． 题型七、y=ax2+bx+c的图象与性质 25．如图，已知二次函数的图象与x轴相交于点，；则下列结论错误的是（    ） A． B．若点，在抛物线上，则 C． D．对任意实数m，均成立 26．抛物线上部分点的坐标如下表，下列关于该抛物线的说法错误的是（） x … 0 1 … y … … A．对称轴是直线 B．抛物线开口向下 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时， 27．如图，二次函数的部分图像与轴的一个交点位于和之间，顶点的坐标为．下列结论：①；②对于任意实数，都有；③；④若该二次函数的图像与轴的另一个交点为，且是等边三角形，则．其中一定正确的是 ． 28．已知二次函数（m为常数）． (1)当时， ①若，二次函数的最大值记作，最小值记作，求的值； ②若抛物线经过点，，求证：； (2)某同学在尝试代入不同的m值后，提出了一个观点：“不论m取何值，抛物线必过一个定点”．请你判断这个观点是否正确，并说明理由． 题型八、二次函数图象与各项系数符号 29．已知二次函数（）的图象如图所示，有以下5个结论：①；②；③；④；⑤，（的实数）．其中正确结论个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 30．如图，抛物线的对称轴是，与轴的一个交点的横坐标为，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 31．抛物线（）的图象如图所示，对称轴为直线，下列说法；①；②（t为全体实数）；③若图象上存在点和，当时，满足，则m的取值范围为；④若直线与抛物线两交点横坐标为分别为，．则不等式的解集为．其中正确个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 32．对称轴为直线的抛物线（为常数，且）如图，小明同学得出了以下结论：①；②；③；④；⑤（为任意实数）；⑥当时，随的增大而增大．其中结论正确的为（   ）． A．①②④ B．②③④ C．②④⑤ D．②④⑥ 题型九、一次函数、二次函数图象综合判断 33．在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为（　　） A． B． C． D． 34．在同一平面直角坐标系内，一次函数与二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 35．已知直线与抛物线． (1)若它们没有交点，则的取值范围是_______； (2)若当时它们有交点，则的取值范围是______． 36．若一次函数的图象经过第二、三、四象限，则二次函数的图象只可能是（    ） A． B． C． D． 1．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·四川攀枝花·中考真题）关于抛物线，下列说法正确的是（   ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．与轴的交点坐标是 D．顶点坐标是 3．（2025·山东威海·中考真题）已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 4．（2025·四川·中考真题）对于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的顶点坐标为 C．抛物线的对称轴为直线 D．当时，y随x的增大而增大 5．（2025·山东滨州·中考真题）当自变量时，下列函数y随x的增大而增大的是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·四川凉山·中考真题）二次函数的部分图像如图所示，其对称轴为，且图像经过点，则下列结论错误的是（    ） A． B． C．若且，则 D．若两点都在抛物线的图像上，则 7．（2025·安徽·中考真题）已知二次函数的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 8．（2025·广东广州·中考真题）在平面直角坐标系中，两点，在抛物线，则下列结论中正确的是（   ） A．当且时，则 B．当时，则 C．当且时，则 D．当时，则 9．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，在中，，，．点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设的面积为，运动时间为秒，则下列图象中大致反映与之间函数关系的是（   ） A． B． C． D． 10．（2025·四川广元·中考真题）已知抛物线（，，是常数且）的自变量与函数的部分对应值如下表： 其中．以下结论：；若抛物线经过点，则；关于的方程有两个不相等的实数根；；当时，的最小值是，则或．其中正确的结论有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 11．（2025·陕西·中考真题）已知二次函数，当时，的值随值的增大而减小，则下列结论正确的是（    ） A． B．该函数图象的顶点位于第四象限 C．方程没有实数根 D．该函数的最大值不小于 12．（2025·广东广州·中考真题）若抛物线的顶点在直线上，则m的值为 ． 13．（2025·江苏盐城·中考真题）已知二次函数，当自变量满足时，的取值范围是 ． 14．（2025·山东东营·中考真题）二次函数的图象如图所示，点位于坐标原点，点，，…，在y轴的正半轴上，点，，…，，点，，…，在二次函数的图象上，四边形，四边形，…，四边形都是正方形，则正方形的周长为 ． 15．（2025·湖南长沙·中考真题）我们约定：当满足，且时，称点与点为一对“对偶点”．若某函数图象上至少存在一对“对偶点”，就称该函数为“对偶函数”．请你根据该约定，解答下列问题： (1)请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”）： ①函数（k是非零常数）的图象上存在无数对“对偶点”；（    ） ②函数一定不是“对偶函数”；（    ） ③函数的图象上至少存在两对“对偶点”．（    ） (2)若关于x的一次函数与（都是常数，且）均是“对偶函数”，求这两个函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形的面积之和； (3)若关于x的二次函数是“对偶函数”，求实数a的取值范围． 16．（2025·福建·中考真题）若关于的函数，当时，函数的最大值为，最小值为，令函数，我们不妨把函数称之为函数的“共同体函数”． (1)①若函数，当时，求函数的“共同体函数”的值； ②若函数（，，为常数），求函数的“共同体函数”，的解析式； (2)记函数的最大值为，请问是否存在实数，使得函数的“共同体函数”的最小值等于．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 17．（2025·四川乐山·中考真题）在一堂函数专题复习课上，刘老师给出了新定义：若两个函数的图象关于某一点成中心对称，则称这两个函数关于点互为“对称函数”．请同学们解决以下问题： (1)求函数关于点的“对称函数”．小乐同学给出了如下的解题步骤： 第一步：在函数的图象上取两点和； 第二步：分别求出这两个点关于点的对称点_____和______； 第三步：函数关于点的“对称函数”为______． (2)是否存在点，使得函数关于点的“对称函数”就是它本身？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)函数关于点的“对称函数”为，函数与函数所围成的区域（包括边界）记作，横坐标、纵坐标都为整数的点叫做“整点”， ①若，求内的“整点”个数； ②若内至少有个“整点”，至多有个“整点”，求的取值范围． 18．（2025·四川·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线过原点，顶点为P，直线l过原点和点P． (1)求抛物线和直线l的解析式； (2)如图2，将抛物线的顶点沿射线平移，抛物线也随之移动得到抛物线，设顶点为A，其横坐标为，抛物线与抛物线交于点B． ①当时，求点B的横坐标； ②若点B的横坐标为n，请猜想并写出n与t的关系（不写推理过程）； ③如图3，若点B在第一象限内，设与y轴正半轴的夹角为，当时，求点B的坐标． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 二次函数图像与性质 目录 A题型建模・专项突破 题型一、y=ax2的图象和性质 1 题型二、y=ax2+k的图象和性质 3 题型三、y=a（x-h)2的图象和性质 5 题型四、y=a(x-h)2+k的图象和性质 7 题型五、把y=ax2+bx+c化成顶点式 9 题型六、画y=ax2+bx+c的图象 12 题型七、y=ax2+bx+c的图象与性质 15 题型八、二次函数图象与各项系数符号 19 题型九、一次函数、二次函数图象综合判断 21 B综合攻坚・能力跃升 题型一、y=ax2的图象和性质 1．有下列二次函数：①；②；③．在同一平面直角坐标系中，将它们图象的开口按从大到小的顺序排列，正确的是（） A．①②③ B．①③② C．②③① D．②①③ 【答案】C 【详解】解：二次函数图象的开口大小由系数的绝对值决定，越小开口越大，越大开口越小， 对于①，； 对于②，； 对于③，． 从小到大为：②③①， 故开口从大到小为：②③①，即②③①． 故选：C． 2．若抛物线的开口向下，则的值可以是 （写一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴， 因此的值可以是． 故答案为：（答案不唯一）． 3．如图，点、在的图象上．直线与轴交于点，连接、． (1) _______； _______； (2)求直线的函数表达式； (3)求的面积； (4)观察图象，直接写出当时，y的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)6 (4)． 【详解】（1）解：∵点在的图象上， ∴， 解得， ∴， 当时，； 故答案为：；； （2）解：∵，， 设直线的解析式为， 把，点坐标代入得， 解得，， ∴直线的解析式为：； （3）解：对于直线：， 当时，， ∴， ∴； （4）解：对于抛物线， ∵， ∴当时，有最小值为0， ∵，， ∴当时，y的取值范围为． 4．已知是关于的二次函数． (1)求值； (2)若，直接写出的取值范围． 【答案】(1)2 (2) 【详解】（1）解：根据题意得：，且， 解方程得：或（舍去）， ∴； （2）解：∵， ∴抛物线开口向上，且对称轴为： ∵时，解方程得，，， ∴当时，． 题型二、y=ax2+k的图象和性质 5．下列抛物线，对称轴是直线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A、对称轴为直线，本选项不合题意； B、对称轴为直线，本选项不合题意； C、对称轴为直线，本选项不合题意； D、对称轴为直线，本选项符合题意； 故选：D． 6．如图，抛物线经过正方形的三个顶点A，B，C，点B在轴上，则的值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：连接，交y轴于点D，如图所示：    当时，则，即， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴点， ∴， 解得：， 故选B． 7．已知点在抛物线上，且，则 ．（填“<”或“>”或“=”） 【答案】 【详解】解：抛物线的二次项系数为负，故开口向下，对称轴为．已知，即点和点均在对称轴右侧，因此函数值随增大而减小，故． 故答案为：． 8．数学课上，老师出了这样一道数学题：取何值时，抛物线的开口向下？嘉琪解答过程如下： 解： ∵抛物线开口向下， ∴， ∴， 即当时，抛物线的开口向下． 嘉琪的解答过程正确吗？如果不正确，请指出嘉琪解答错误的原因，并改正过来． 【答案】错误，原因是忽略了的指数为，正确解法见解析 【详解】解：错误，原因是忽略了的指数为． 正确解法：∵抛物线开口向下， ∴， ∴， 又∵函数为二次函数， ∴， 解得或（舍去）， 故当时，抛物线开口向下． 题型三、y=a（x-h)2的图象和性质 9．抛物线的顶点坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：抛物线的顶点坐标为． 故选：A 10．如图，抛物线的顶点在x轴的正半轴上，过点且平行于x轴的直线l与抛物线交于A，B两点，点．若四边形是菱形，则a和h的值分别为（　　） A．，11 B．，11 C．， D．， 【答案】A 【详解】如图所示，设与y轴交于点D ∵ ∴ ∵四边形是菱形 ∴ ∵过点且平行于x轴的直线l与抛物线交于A，B两点， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴对称轴为直线 ∴ ∴将代入得， 解得． 故选：A． 11．对于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．当时，y随x的增大而增大 D．顶点坐标为 【答案】B 【详解】解：由得抛物线开口向下，故选项A说法错误，不符合题意； 对称轴是直线，故选项B说法正确，符合题意； 当时，y随的增大而减小，故选项C说法错误，不符合题意； 顶点坐标为，故选项D说法错误，不符合题意． 故选：B． 12．平移抛物线使其顶点在原点，可以平移的方法是（    ） A．向左1个单位 B．向右1个单位 C．向上1个单位 D．向下1个单位 【答案】A 【详解】解：依题意，抛物线的顶点坐标为，平移抛物线后的顶点坐标为， ∴将点向左平移一个单位后得到点， ∴平移抛物线使其顶点在原点，可以平移的方法是向左1个单位． 故选：A． 题型四、y=a(x-h)2+k的图象和性质 13．下列关于二次函数的说法正确的是（    ） A．图象是一条开口向下的抛物线 B．顶点坐标是 C．函数图象与y轴交于正半轴 D．y有最大值，最大值为 【答案】C 【详解】解：∵ 二次函数 中，， ∴ 图象开口向上，故A错误； ∵ 顶点形式为 ，其中，， ∴ 顶点坐标为 ，故B错误； 当时，， ∴ 函数图象与 y 轴交于正半轴，故C正确； ∵ ，开口向上， ∴ y 有最小值，最小值为，故D错误． 故选：C． 14．将抛物线先向右平移1个单位长度后，再将所得抛物线绕原点旋转，最后该抛物线的关系式为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵原抛物线为， 向右平移1个单位后，得，抛物线开口向上，顶点为 ∵绕原点旋转，顶点坐标变为，抛物线开口向下，开口大小不变， ∴最后该抛物线的关系式为， 故选：D． 15．已知某抛物线与抛物线的开口大小，对称轴都相同，但开口方向相反，若该抛物线经过点，则该抛物线的表达式为 ． 【答案】 【详解】由于开口大小相同且方向相反，故二次项系数为；对称轴相同，故一次项系数为0， 设抛物线解析式为 ．将点代入得 ，即 ， 解得 ， 故该抛物线的表达式为 ． 故答案为 ． 16．已知函数． (1)函数图象的开口方向是 ，对称轴是 ，顶点坐标为 ． (2)当 时，随的增大而减小． (3)当x取什么数时函数能取到最值？是最大值还是最小值？函数的最值是多少？ (4)怎样平移抛物线可以得到拋物线？ 【答案】(1)向下；直线； (2) (3)当x取时函数能取到最值，是最大值，函数的最大值是 (4)抛物线先向左平移4个单位，再向上平移1个单位，就可以得到抛物线 【详解】（1）解：根据二次函数解析式可得， 函数图象的开口方向是向下，对称轴是直线，顶点坐标为， 故答案为：向下；直线；； （2）解：根据二次函数的性质可得当时，随的增大而减小， 故答案为：； （3）解：根据二次函数的性质可得当x取时函数能取到最值，是最大值，函数的最大值是； （4）解：二次函数的平移口诀为：左加右减，上加下减， ∵ ∴抛物线先向左平移4个单位，再向上平移1个单位，就可以得到抛物线． 题型五、把y=ax2+bx+c化成顶点式 17．抛物线（是常数）的顶点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】解：， ∴顶点为， ∵，， ∴顶点在第二象限， 故选：． 18．如图，矩形的顶点坐标分别为，，．二次函数（其中m为常数）的图象在矩形内（不含边界）的部分均为y随x的增大而减小，则m的取值范围是 ． 【答案】或 【详解】解：， 抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线，顶点坐标为， 抛物线顶点在抛物线上， 由题意得点D坐标为， 如图，当抛物线对称轴与重合时符合题意， 此时， 解得， 将点代入得， 解得， 时符合题意． 将点代入得， 解得， 将点代入得， 解得， ，符合题意， 综上所述，或 故答案为：或 19．已知二次函数． (1)求出函数顶点坐标； (2)当时，随的增大而_____________（填“增大”或“减小”）； (3)当时，的取值范围为_____________． 【答案】(1) (2)增大 (3) 【详解】（1）解：， ∴顶点坐标为； （2）解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大； （3）解：由（2）可知，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，当时，函数有最小值为， ∵， ∴当时，值最大，为；当时，函数有最小值为， ∴． 20．已知二次函数． (1)求该函数图象的顶点坐标和对称轴； (2)当x取何值时，y随x的增大而减小？ (3)当x取何值时，？ 【答案】(1)顶点，对称轴； (2)当时，y随x的增大而减小 (3)当时， 【详解】（1）解：∵， ， 顶点，对称轴； （2），对称轴，抛物线开口向下， 当时，y随x的增大而减小． （3）解方程 得或， 因为， ∴当1 < x < 3时， 题型六、画y=ax2+bx+c的图象 21．如图，正方形ABCD的边长为3cm，动点M从点B出发以3cm/s的速度沿着边BC-CD-DA运动，到达点A停止运动，另一动点N同时从点B出发，以1cm/s的速度沿着边BA向点A运动，到达点A停止运动，设点M运动时间为x（s），△AMN的面积为 y（cm2），则y关于x的函数图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意可得BN=x，AN=AB-BN=3-x ①当0≤x≤1时，M点在BC边上，BM=3x， 则△AMN的面积=BM•AN ∴； ②1＜x≤2时，M在CD边上， 则△BPQ的面积=AN•BC ， ∴ 可得y=•x•3=； ③2＜x≤3时，M点在AD边上，AM=9﹣3x， 则△BPQ的面积=AM•AN， ∴． 故选A． 22．抛物线的对称轴是直线 ． 【答案】 【详解】抛物线的对称轴是直线， 故答案为：． 23．已知二次函数． (1)画出函数的图象； ①把下表补充完整： x … 0 1 … y … … ②在所给的直角坐标系中，画出此函数图象． (2)根据所画的图象直接写出当时，的取值范围． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)或 【详解】（1）解：①表格补充如下： … 0 1 … … 0 0 … 画出图象如下图：   ； （2）解：由图象可知： 当时，则或， 故答案为：或． 24．二次函数中的，满足如下表. x … -1 0 1 2 3 … y … 0 -3 m -3 0 … (1)观察表中信息，发现______，抛物线的对称轴为_______． (2)求该抛物线的解析式，并求时的值． (3)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象，结合图象，请直接写出当时，自变量的取值范围． 【答案】(1)-3，直线 (2)抛物线的解析式为；当时， (3)画图象见解析，或． 【详解】（1）（1）-3，直线 （2）设抛物线的解析式为： 分别代入，；， 得： 解得： ∴抛物线的解析式为 当时，，解得． （3） 根据图象可判断出当时，或． 题型七、y=ax2+bx+c的图象与性质 25．如图，已知二次函数的图象与x轴相交于点，；则下列结论错误的是（    ） A． B．若点，在抛物线上，则 C． D．对任意实数m，均成立 【答案】B 【详解】解：抛物线与轴相交于点，， 对称轴是直线． ． ． 又图象可得，，， ． ，故A正确，不符合题意； 抛物线开口向上， 抛物线上的点离对称轴越近函数值越小． 又， ，故B错误，符合题意； ∵函数图象与x轴有两个交点， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴，故C正确，不符合题意； 对称轴是直线，且抛物线开口向上， 当时，取最小值为． 对于任意的，当时，函数值． ，故D正确，不符合题意； 故选：B． 26．抛物线上部分点的坐标如下表，下列关于该抛物线的说法错误的是（） x … 0 1 … y … … A．对称轴是直线 B．抛物线开口向下 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时， 【答案】D 【详解】解：当时，；当时，， ∴抛物线的对称轴为，抛物线的开口向下， 当时，y随着x的增大而减小， 当时，与时的函数值相等，即． 故选：D． 27．如图，二次函数的部分图像与轴的一个交点位于和之间，顶点的坐标为．下列结论：①；②对于任意实数，都有；③；④若该二次函数的图像与轴的另一个交点为，且是等边三角形，则．其中一定正确的是 ． 【答案】①③④ 【详解】解：∵该二次函数的图像开口向下，对称轴为，与y轴交于正半轴， ∴，，且， ∴， ∴，故①正确； ∵顶点的坐标为， ∴当时，取最大值， 当时，， ∴， ∴，故②不正确； ∵二次函数的部分图像与x轴的一个交点位于和之间， ∴当时，可有， 又∵， ∴， ∴， ∴，故③正确； 如图，为等边三角形，设该二次函数图像的对称轴交轴于点， 则，，，， ∴， 记的横坐标分别为， ∴， ∴， 当时，可得， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故④正确． 综上所述，结论正确的是①③④． 故答案为：①③④． 28．已知二次函数（m为常数）． (1)当时， ①若，二次函数的最大值记作，最小值记作，求的值； ②若抛物线经过点，，求证：； (2)某同学在尝试代入不同的m值后，提出了一个观点：“不论m取何值，抛物线必过一个定点”．请你判断这个观点是否正确，并说明理由． 【答案】(1)①4；②证明见解析 (2)观点正确，证明见解析 【详解】（1）①解：当时，， 此时抛物线的顶点坐标为， ∵， ∴抛物线开口向上， ∵在范围内， ∴时，是二次函数最小值，即， ∵当时，随的增大而减小．当时，， ∴当时，， ∵当时，随的增大而增大，时，， ∴当时，，综上所述，， ∴； ②证明：∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∵， ∴，； （2）解：观点正确： 理由：∵， ∴当时，， ∴不论取何值，抛物线必过一个定点． 题型八、二次函数图象与各项系数符号 29．已知二次函数（）的图象如图所示，有以下5个结论：①；②；③；④；⑤，（的实数）．其中正确结论个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【详解】解：开口向下，； 对称轴在轴的右侧，， 则； 抛物线与轴的交点在轴的上方，， ∴， 所以①正确； 由于抛物线与x轴有两个交点， ∴ ∴， 故②正确； ∵抛物线与x轴一个交点横坐标，而对称轴为直线， ∴抛物线与x轴另一个交点， ∴当，故③正确； ∵时，， 时，， ∴， ∴， 即，故④正确； ∵抛物线开口向下， ∴时，， ∴当时，， ∴ ∴，故⑤错误， ∴正确的有4个， 故选：C． 30．如图，抛物线的对称轴是，与轴的一个交点的横坐标为，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由图象可知：抛物线开口向下，即，对称轴为直线，则有， 当时，则；当时，则； 所以错误的是C选项； 故选C． 31．抛物线（）的图象如图所示，对称轴为直线，下列说法；①；②（t为全体实数）；③若图象上存在点和，当时，满足，则m的取值范围为；④若直线与抛物线两交点横坐标为分别为，．则不等式的解集为．其中正确个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴，代入原解析式得：， 由图象可得：当时，， 即：， ∴， 故①正确； ∵对称轴为直线，当时有最大值， ∴当时的函数值大于或等于时的函数值， ∴， 故②错误； 由题意得：、是一元二次方程的两个根， 从图象上看，由于二次函数具有对称性，、关于直线对称， ∴当且仅当时，存在点和， 当时，满足， 即m的取值范围为， 故③正确； 直线与抛物线两交点横坐标为分别为和，则不等式， 即：的解集为：或， 故④错误； 综上所述，正确的有①③，一共2个， 故选：B． 32．对称轴为直线的抛物线（为常数，且）如图，小明同学得出了以下结论：①；②；③；④；⑤（为任意实数）；⑥当时，随的增大而增大．其中结论正确的为（   ）． A．①②④ B．②③④ C．②④⑤ D．②④⑥ 【答案】C 【详解】①由图象可知：， ∵， ∴， ∴，故①错误； ②∵抛物线与x轴有两个交点， ∴， ∴，故②正确； ③当时，，故③错误； ④当时，， ∴，故④正确； ⑤当时，y取到值最小值，此时，， 而当时，， 所以， 故，即，故⑤正确， ⑥当时，y随x的增大而减小，故⑥错误， 所以②④⑤正确． 故选：C． 题型九、一次函数、二次函数图象综合判断 33．在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、由图象可知：一次函数中，，所以二次函数的开口向上，对称轴为直线，即对称轴在y轴的右侧，故符合题意； B、由图象可知：一次函数中，，所以二次函数的开口向下，对称轴为直线，即对称轴在y轴的右侧，故不符合题意； C、由图象可知：一次函数中，，所以二次函数的开口向下，对称轴为直线，即对称轴在y轴的左侧，故不符合题意； D、由图象可知：一次函数中，，所以二次函数的开口向上，对称轴为直线，即对称轴在y轴的左侧，故不符合题意； 故选A． 34．在同一平面直角坐标系内，一次函数与二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵一次函数与y轴交点坐标为，二次函数与y轴交点坐标为， ∴选项A、C的直线和抛物线与y轴交点坐标是同一点，不合题意， 选项B、D直线和抛物线与y轴交点坐标都是关于x轴对称， 但选项B观察一次函数的图象得：，由二次函数的图象得：，相矛盾，故本选项不符合题意； 选项D观察一次函数的图象得：，由二次函数的图象得：，有可能，故本选项符合题意； 故选：D 35．已知直线与抛物线． (1)若它们没有交点，则的取值范围是_______； (2)若当时它们有交点，则的取值范围是______． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：抛物线， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵， ∴抛物线开口向上， ∵直线与抛物线没有交点， ∴当时，直线在抛物线的下方，二者没有交点， ∴的取值范围是， 故答案为：． （2）解：由（1）知抛物线，顶点坐标为，且开口向上， 当时，y有最小值， 当时，， 当时，， ∵， ∴当时，，y有最大值1， ∵直线与抛物线，当时它们有交点， ∴a的取值范围是， 故答案为：． 36．若一次函数的图象经过第二、三、四象限，则二次函数的图象只可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵一次函数的图像经过第二、三、四象限， ，， ∴二次函数的图像开口向下，， ∴对称轴在y轴左侧，则符合题意的选项为C． 故选：C． 1．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵ 抛物线为 ，与顶点式 对比， 得 , ， ∴ 顶点坐标为 ， 故选： A． 2．（2025·四川攀枝花·中考真题）关于抛物线，下列说法正确的是（   ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．与轴的交点坐标是 D．顶点坐标是 【答案】D 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，当时，， ∴抛物线与轴的交点坐标是； 当时，， ∴顶点坐标是； 综上：只有选项D正确； 故选D． 3．（2025·山东威海·中考真题）已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数的图象开口向下，对称轴为， ∴离对称轴越近，函数值越大， 点的横坐标与的距离为；点的横坐标与的距离为；点的横坐标与的距离为． ∵， ∴， 故选C． 4．（2025·四川·中考真题）对于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的顶点坐标为 C．抛物线的对称轴为直线 D．当时，y随x的增大而增大 【答案】B 【详解】解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，y随x的增大而增大， ∴A、C选项不符合题意，B选项符合题意； 因为当时，y随x的增大而减小，故D选项不符合题意． 故选：B． 5．（2025·山东滨州·中考真题）当自变量时，下列函数y随x的增大而增大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、在中，，则y随x的增大而减小，不符合题意； B、在中，，则当自变量时，y随x的增大而减小，不符合题意； C、在中，，则y随x的增大而增大，符合题意； D、在中，，则二次函数开口向下，对称轴为直线，当自变量时，y随x的增大而减小，不符合题意； 故选：C． 6．（2025·四川凉山·中考真题）二次函数的部分图像如图所示，其对称轴为，且图像经过点，则下列结论错误的是（    ） A． B． C．若且，则 D．若两点都在抛物线的图像上，则 【答案】D 【详解】解：由图像可知，抛物线的开口向下，与轴交于正半轴， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴，，故选项A，B正确，不符合题意； ∵且， ∴， ∴和关于对称轴对称， ∴；故选项C正确；不符合题意； ∵抛物线的开口向下， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， 若两点都在抛物线的图像上， ∵， ∴；故选项D错误，符合题意； 故选D． 7．（2025·安徽·中考真题）已知二次函数的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： 二次函数图象中，开口向上， ． 对称轴，又， ，即． 抛物线与轴交点在负半轴， ． 选项A：，，， 两负一正相乘得正， ，该选项错误． 选项B：对称轴，由图象知对称轴，即， 又，两边乘得，，该选项错误． 选项C：当时，，即；当时，， ，该选项正确． 选项D：当时，，由图象知对应的函数值， ，该选项错误． 故选． 8．（2025·广东广州·中考真题）在平面直角坐标系中，两点，在抛物线，则下列结论中正确的是（   ） A．当且时，则 B．当时，则 C．当且时，则 D．当时，则 【答案】A 【详解】解：∵ ∴抛物线的开口向上， 则对称轴为直线， 把代入，得， ∴顶点为， ∵两点，在抛物线， ∴当且时，（因时抛物线在x轴上方）， 故， 此时 故A选项的结论正确； 当时，抛物线在时递减， 故越大，越小， 即， 故B选项的结论错误； 当且时，， 此时应满足或， 故C选项的结论错误； 当时，抛物线在时递增， 故越大，越大， 即， 故D选项的结论错误； 故选：A 9．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，在中，，，．点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设的面积为，运动时间为秒，则下列图象中大致反映与之间函数关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：当点在上时（）： 过点作于点． ，， ． 又，， ． ． 这是一个二次函数，开口向下，顶点在处，但此阶段，函数在上图象不断上升，当时，． 当点在上时（）, ∵四边形是平行四边形， ，点从到用时秒， 此时在上的运动距离为，方向上的高与上的高相同，即（当时，后续在上时，到的距离不变）． ， ． 这是一个一次函数，随的增大而减小，当时，． 综上，当时，是开口向下的二次函数的一部分，图象不断上升；当时，是一次函数，图象不断下降． 故选：A． 10．（2025·四川广元·中考真题）已知抛物线（，，是常数且）的自变量与函数的部分对应值如下表： 其中．以下结论：；若抛物线经过点，则；关于的方程有两个不相等的实数根；；当时，的最小值是，则或．其中正确的结论有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【详解】解：当和时，均有， 点和点关于对称轴对称， 抛物线的对称轴为， 抛物线的对称轴为， ， 抛物线的解析式为， 又当时，， 由表格可知当时，， ， ， ， 抛物线的开口向上， ，，， ， 故正确； 由可知抛物线开口向上，对称轴为， ，， ， 开口向上的抛物线离对称轴越远的点对应的值越大， ，故正确； 抛物线开口向上，对称轴为， 与关于对称轴对称， ， 由可知， ， ， 当时，， 把方程，整理得：， 有个根； 当时，方程为， 方程有个根； 当时，， 则有， 方程无实根，故错误； 时，， 当时，， 当时，， 可得，， ，， ， ， ， 解得：， ，故正确； 当时，， 此时抛物线过点，， 抛物线与交于点，， 时最小值为， 或，与结论不符合，故错误． 综上所述，正确结论为，共个． 故选：C． 11．（2025·陕西·中考真题）已知二次函数，当时，的值随值的增大而减小，则下列结论正确的是（    ） A． B．该函数图象的顶点位于第四象限 C．方程没有实数根 D．该函数的最大值不小于 【答案】D 【详解】解：∵二次函数，当时，的值随值的增大而减小， ∴，对称轴为直线， 则， ∵， 即， ∴， 故A选项不符合题意； 该函数图象的顶点为，即， ∵， ∵ ∵， ∴， ∴ ∵， ∴该函数图象的顶点位于第二象限或轴上， 故B选项不符合题意； 当该函数图象的顶点位于轴上， 令，则， ∵ ∴该函数的最大值为， 当该函数图象的顶点位于第二象限， 此时该函数的最大值大于， 综上该函数的最大值不小于， 故D选项符合题意； 依题意，中的， ∵， ∴， 即 ∴方程有两个不相等的实数根 故C选项不符合题意； 故选：D 12．（2025·广东广州·中考真题）若抛物线的顶点在直线上，则m的值为 ． 【答案】或 【详解】解：∵， ∴对称轴为直线， 把代入， 得， 即顶点坐标为， ∵抛物线的顶点在直线上， ∴， 整理得， 则， ∴， ∴ 故答案为：或． 13．（2025·江苏盐城·中考真题）已知二次函数，当自变量满足时，的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：， ∴函数图象的对称轴为直线，开口向上， ∵， ∴当时，；时，，当时，， ∴的取值范围是：， 故答案为：． 14．（2025·山东东营·中考真题）二次函数的图象如图所示，点位于坐标原点，点，，…，在y轴的正半轴上，点，，…，，点，，…，在二次函数的图象上，四边形，四边形，…，四边形都是正方形，则正方形的周长为 ． 【答案】 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴，是等腰直角三角形． 设的直角边长为，则； 代入抛物线的解析式中得： ， 解得（舍去），； 故的直角边长为， 同理可求得等腰直角的直角边长为， … 依此类推，等腰直角的直角边长为， 故正方形的周长为． 故答案是：． 15．（2025·湖南长沙·中考真题）我们约定：当满足，且时，称点与点为一对“对偶点”．若某函数图象上至少存在一对“对偶点”，就称该函数为“对偶函数”．请你根据该约定，解答下列问题： (1)请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”）： ①函数（k是非零常数）的图象上存在无数对“对偶点”；（    ） ②函数一定不是“对偶函数”；（    ） ③函数的图象上至少存在两对“对偶点”．（    ） (2)若关于x的一次函数与（都是常数，且）均是“对偶函数”，求这两个函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形的面积之和； (3)若关于x的二次函数是“对偶函数”，求实数a的取值范围． 【答案】(1)①（√）；②（√）；③（×） (2) (3) 【详解】（1）解：，且，， ，， ，， ①函数（k是非零常数）的图象上，， 满足，，故①正确； ②由题意可得，， 则点与点且是一对“对偶点”， 函数的图像如下图： 函数中不存在“对偶点”，一定不是“对偶函数”，故②正确； 函数的图象如下图， 由题意可得，，则 ∴“对偶点”在反比例函数图象上， ∴函数的图象上存在一对“对偶点”， 至少存在两对“对偶点”说法错误，故③错误； 故答案为：①（√）；②（√）；③（×） （2）由题意可得，，点与点且是一对 “对偶点”，由于是“对偶函数”，则其图象上必存在一对“对偶点”． 从而有，两式相减可得，同理可得． 两个一次函数为，，由于，都是常数，且， 两个一次函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形是有公共直角顶点的分别位于二、四象限的两个等腰直角三角形，如下图所示 求得其面积之和； （3）由题意可得，且时，有， 以上两式相减可得， 从而将， 代入①整理可得， 此关于的一元二次方程必有实数根， 由于时，（不符合题意）． 从而必有，解得． 16．（2025·福建·中考真题）若关于的函数，当时，函数的最大值为，最小值为，令函数，我们不妨把函数称之为函数的“共同体函数”． (1)①若函数，当时，求函数的“共同体函数”的值； ②若函数（，，为常数），求函数的“共同体函数”，的解析式； (2)记函数的最大值为，请问是否存在实数，使得函数的“共同体函数”的最小值等于．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①；②； (2)存在， 【详解】（1）解：①时，， ∵， ∴y随x的增大而增大， ∴时，，时，， ∴； ②∵，， ∴当时，y随x的增大而增大， 时，，时，， ∴， 当时，随x的增大而减小， ∴时，，时，， ∴， 综上，； （2）解：∵， ∴时，， ①当即时， ∵， ∴时，， 时，， ∴， ∴时，； ②当即时， ∵， ∴时，， 时，， ∴， ∴时，； ③当时，，， 时，， ∴， ∴时，； ④当时，时，， 时，， ∴， ∴， ∵， ∴最小值为， ∴， ∴符合题意． 17．（2025·四川乐山·中考真题）在一堂函数专题复习课上，刘老师给出了新定义：若两个函数的图象关于某一点成中心对称，则称这两个函数关于点互为“对称函数”．请同学们解决以下问题： (1)求函数关于点的“对称函数”．小乐同学给出了如下的解题步骤： 第一步：在函数的图象上取两点和； 第二步：分别求出这两个点关于点的对称点_____和______； 第三步：函数关于点的“对称函数”为______． (2)是否存在点，使得函数关于点的“对称函数”就是它本身？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)函数关于点的“对称函数”为，函数与函数所围成的区域（包括边界）记作，横坐标、纵坐标都为整数的点叫做“整点”， ①若，求内的“整点”个数； ②若内至少有个“整点”，至多有个“整点”，求的取值范围． 【答案】(1)，， (2) (3)①5；② 【详解】（1）解：关于原点中心对称的两个点，其横纵坐标均互为相反数， 点和关于点的对称点分别是，； 设函数关于点的“对称函数”为， 将，代入得， ，解得， 函数关于点的“对称函数”为． （2）解：函数是由反比例函数向上平移一个单位长度得到的， 而反比例函数关于原点中心对称， 函数的图象关于点中心对称， 存在点，使得函数关于点的“对称函数”就是它本身． （3）解：将化成顶点式，其顶点为， 、关于点对称， 的顶点为， 的解析式为 ①如图，当时，：，： 联立，解得， 当时，，，有整点， 当时，，，有整点，，， 当时，，，有整点， 故当时，求内的“整点”个数有5个； ②∵的顶点为， ∴的解析式为， ∵函数与的图象关于点成中心对称， ∴点必为区域内的“整点”， 当区域内恰有个“整点”时，其它个“整点”是对关于点对称的点，即和，和，和，和， 此时，当过时，满足题意，即， 解得：， 当过时，即， 解得：， 此时区域内有个整点，如图， 当区域内恰有个“整点”时，其它个“整点”是对关于点对称的点，在前面个“整点”的基础上增加了、、及个“整点”， 此时， 如图， 的取值范围是． 18．（2025·四川·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线过原点，顶点为P，直线l过原点和点P． (1)求抛物线和直线l的解析式； (2)如图2，将抛物线的顶点沿射线平移，抛物线也随之移动得到抛物线，设顶点为A，其横坐标为，抛物线与抛物线交于点B． ①当时，求点B的横坐标； ②若点B的横坐标为n，请猜想并写出n与t的关系（不写推理过程）； ③如图3，若点B在第一象限内，设与y轴正半轴的夹角为，当时，求点B的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为，直线l的解析式为 (2)①点的横坐标为5；②；③点B的坐标为 【详解】（1）解：抛物线：过原点， 将代入抛物线解析式可得 ， 解得， 抛物线的解析式为 ， ∵抛物线的解析式为， ∴顶点的坐标为， 设直线的解析式为， 将代入可得：， 解得， 直线的解析式为； （2）解：①：抛物线的顶点沿射线平移得到抛物线的顶点， 抛物线的解析式为， 当时，抛物线的解析式为， 联立抛物线与的解析式得， ， 解得， 点的坐标为； ②联立抛物线与的解析式得， ， 解得， 点的横坐标为， ∴， ∴； ③设抛物线的解析式为， 由②知点A的横坐标是点B的两倍， ∴点的坐标为，点B的横坐标为， 将代入得， ， ∴点B的坐标为， ∴ ， 作交直线于点C，过点B作轴于点D， ∵直线的解析式为， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为，， ∴， 解得， ∴直线的解析式为，， 联立直线和直线的解析式为， 解得， ∴点C的坐标为， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴ 解得（舍去）， ∴点B的坐标为． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $