第01讲 相交线（知识解读+例题精讲+随堂检测）-2025-2026学年人教版七年级数学下册《知识解读·题型专练》

本讲义聚焦初中数学相交线核心内容，系统梳理对顶角与邻补角的定义、性质及角度计算，垂线的定义、画法、性质（过一点有且只有一条直线垂直、垂线段最短）与点到直线距离，三线八角的识别，构建“概念-性质-应用-识别”的递进学习支架。 资料以核心素养为导向，通过典例与变式题组（如对顶角识别、垂线段最短在跳远成绩中的应用）培养几何直观与空间观念，结合水泵房选址等实际场景引导用数学眼光观察现实世界。课中辅助教师分层教学，课后助力学生针对性练习查漏补缺，强化数学思维与应用意识。

第01讲 相交线 考点1：对顶角与邻补角的定义、识别及性质应用（求角度）； 考点2：垂线的定义、画法（过一点画已知直线的垂线）； 考点3：垂线的性质（过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；垂线段最短）； 考点4：点到直线的距离（定义及实际应用）； 考点5：同位角、内错角、同旁内角的识别（复杂图形中快速区分）。 重点：对顶角相等的性质应用；垂线的定义与性质；三线八角的基础识别； 难点★：复杂图形中同位角、内错角、同旁内角的精准识别；垂线段最短的实际场景应用（如最短路径问题）。 1.能准确识别相交线中的对顶角、邻补角，并用 “对顶角相等”“邻补角互补” 求未知角度； 2.理解垂线的定义，掌握过直线上 / 外一点画垂线的规范方法； 3.牢记垂线的两条核心性质，能解释 “垂线段最短” 的实际意义； 4.能在“两条直线被第三条直线所截” 的图形中，快速区分同位角、内错角、同旁内角 知识点1：相交线 1. 相交线的定义 在同一平面内，如果两条直线只有一个公共点，那么这两条直线叫做相交线，公共点称为两条直线的交点。如图1所示，直线AB与直线CD相交于点O。 图1 图2 图3 2. 对顶角的定义 若一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线，那么这两个角叫做对顶角。 如图2所示，∠1与∠3、∠2与∠4都是对顶角。 注意：两个角互为对顶角的特征是： （1）角的顶点公共； （2）角的两边互为反向延长线； （3）两条相交线形成2对对顶角。 3. 对顶角的性质：对顶角相等。 4. 邻补角的定义 如果把一个角的一边反向延长，这条反向延长线与这个角的另一边构成一个角，此时就说这两个角互为邻补角。如图3所示，∠1与∠2互为邻补角，由平角定义可知∠1＋∠2＝180°。 【题型1 对顶角及其性质】 【典例1】下列各选项中，和是对顶角的是（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】根据对顶角的定义：两个角有公共顶点，且一个角的两边是另一个角两边的反向延长线，来判断每个选项． 【详解】解：A、 和的两边不是互为反向延长线，不符合对顶角的定义，不符合题意； B、 和 只有一条边互为反向延长线，另一条边不满足，不符合对顶角的定义，不符合题意； C、和 的两边不是互为反向延长线，不符合对顶角的定义，不符合题意； D、和有公共顶点，且两边互为反向延长线，符合对顶角的定义，符合题意。 故选：D． 【点睛】本题考查了对顶角的定义，解题关键是准确把握 “两边互为反向延长线” 这一核心特征来识别对顶角． 【变式1】如图，与是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了对顶角的定义，有公共顶点，且角的两边互为反向延长线的两个角互为对顶角，据此可得答案． 【详解】解：观察四个选项，只有C选项中的与满足有公共顶点，且角的两边互为反向延长线，故与是对顶角， 故选：C． 【变式2】如图，用量角器测得的度数为，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是对顶角的性质，根据对顶角相等即可得到答案． 【详解】解：由对顶角相等可得， 故答案为：． 【变式3】如图所示，有一个六边形零件，利用图中的量角器可以量出该零件内角的度数，则所量内角的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了量角器，对顶角，正确读出量角器度数是解题的关键． 由量角器可知，，再利用对顶角相等求解即可． 【详解】解：如图， 由量角器可知，， ∴， 即所量内角的度数为， 故答案为：． 【题型2 邻补角和对顶角的有关运算】 【典例2】如图，已知直线与相交于点，平分，． (1)求和的度数； (2)求的度数． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查角平分线、邻补角，掌握角平分线的定义以及邻补角的定义是解题的关键． （1）根据对顶角的性质及邻补角的定义进行计算即可； （2）根据角平分线的定义及邻补角的定义进行计算即可． 【详解】（1）解： 与是对顶角， ， , 即：，； （2）解： 平分， ， ， 即：． 【变式1】如图，两条直线、相交于点，射线平分，若，则 ．    【答案】139 【分析】此题考查了对顶角，角平分线的定义及邻补角的定义，熟练掌握对顶角的性质，角平分线的定义及其应用是解题的关键．利用对顶角性质和角平分线的定义求出，利用邻补角的定义即可解答． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式2】如图，直线，相交于点O，射线、分别在、的内部，已知，． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了对顶角相等，熟练掌握“对顶角相等”是解题的关键． （1）根据对顶角的性质得到，进而证得，运用一个角与它的补角之和为进行计算求解即可； （2）根据，可假设，，结合角之间的关系后进行计算求解即可． 【详解】（1）解：，， 答：的度数为； （2）解：， 设，则 ． 答：的度数为． 【变式3】如图所示，直线相交于点O，平分． (1)写出图中与互补的角 ； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查角平分线，补角，对顶角，掌握知识点是解题的关键． （1）先求出，再根据，得到，即可解答； （2）先求出，继而求出，则，即可解答． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴与互补的角有． 故答案为：． （2）∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 知识点2：垂线 1．垂线的定义：如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．如下图，两条直线互相垂直，记作或AB⊥CD垂直于点O. 注意：垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有： CD⊥AB． 2．垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)． 注意： (1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上． (2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段． 3．垂线的性质： （1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．． 4．点到直线的距离： 定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离． 图4 如图4所示，m 的垂线段PB 的长度叫做点P 到 直线m 的距离。 注意： （1） 点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离； （2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度． 【题型3 垂线的定义的理解】 【典例3】如图，于点E，是过点E的直线，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了对顶角相等，垂直的定义，由对顶角相等可得，再由可知，由此即可解出的度数． 【详解】解：和是对顶角， ， ， ， ． 故选：A． 【变式1】如图，，B、O、D三点在一条直线上，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查垂直的定义和邻补角的定义，先根据垂直求出的度数，然后根据邻补角的定义解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【变式2】如图，在同一平面内，，，垂足为O，则与重合的理由是（   ） A．两点确定一条直线 B．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．垂线段最短 D．已知直线的垂线只有一条 【答案】B 【分析】本题考查了垂线的性质，根据垂线的性质：平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，即可得出答案，熟练掌握垂线的性质是解此题的关键． 【详解】解：由题意得：与重合的理由是：平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， 故选：B． 【变式3】如图，直线和相交于点O，．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂直的定义，平角的定义，熟练掌握知识点，是解题的关键． 根据得到，再由平角即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， 故选：C． 【题型4 垂线的画法】 【典例4】如图，分别过点P作的两边的垂线． 【答案】见解析 【分析】根据垂线的作图方法作图即可． 【详解】解：如图所示，即为所求． 【点睛】本题主要考查了画垂线，熟知画垂线的方法是解题的关键． 【变式1】下列作图能表示点B到的距离的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了画垂线，点到直线的距离：过直线外一点向直线作垂线，这点与垂足间线段的长度；根据此概念判断即可． 【详解】解：A、表示点B到的距离，符合题意； B、表示点A到的距离，不符合题意； C、表示不是点B到的距离，不符合题意； D、表示点C到的距离，不符合题意； 故选：A． 【变式2】过直线外一点P画的垂线，下列各图中，三角尺操作正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由直线外一点向直线作垂线的方法，掌握垂线的定义是解题的关键．根据直线外一点向已知直线作垂线的方法作图即可求解． 【详解】解：过直线外一点画的垂线， 只有B选项符合题意， 故选：B ． 【变式3】河边有一村庄（近似看作点），如果在河岸上建一码头（近似看作点），使村庄的人到码头最近，应如何作？   【答案】详见解析 【分析】本题考查垂线段的知识，解题的关键是掌握垂线段最短的性质，学会垂线的作法，即可． 【详解】过点作河岸的垂线，垂线与河岸的交点为码头的位置， 如图所示：    【题型5 垂线段最短】 【典例5】如图所示，某同学的家在P处，他想尽快赶到附近公路边搭顺风车，他选择路线，用几何知识解释其道理正确的是（   ） A．垂线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．经过一点有无数条直线 【答案】A 【分析】根据点到直线的距离相关知识，判断选择路线的几何原理．本题主要考查了垂线段最短的性质，熟练掌握垂线段最短是解题的关键． 【详解】解：选择P—C路线是利用了垂线段最短． 故选：A． 【变式1】如图，要在河岸l上建一个水泵房引水到A处．可过点A作于点B，则将水泵房建在B处最节省水管长度．其理由是（    ） A．垂线段最短 B．经过一点有无数条直线 C．两点之间，线段最短 D．两点确定一条直线 【答案】A 【分析】本题主要考查了垂线段最短．根据垂线段最短解答即可． 【详解】解：将水泵房建在B处最节省水管长度．其理由是垂线段最短． 故选：A 【变式2】如图，从村庄P到公路l共有三条路线，其中路线，居民选择路线到公路的距离近的理由是（    ） A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．两点确定一条直线 D．过一点可以作无数条直线 【答案】B 【分析】本题主要考查了垂线段最短，直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短，据此可得答案． 【详解】解：居民选择路线到公路的距离近的理由是垂线段最短． 故选：B． 【变式3】如图，运动会上，两名同学测得黎明的跳远成绩分别为米，米，米，则黎明的跳远成绩应该为 米． 【答案】 【分析】此题主要考查了点到直线的距离的含义，解答此题的关键是要明确：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，特别注意是“垂线段的长度”．根据点P到踏板所在的直线的垂线段的长度，据此判断出跳远成绩应该为多少米即可． 【详解】解：依据从直线外一点到这条直线所作的线段中，垂线段最短可知，黎明的跳远成绩应该是图中线段的长度，即为米． 故答案为： 【题型6 点到直线的距离】 【典例6】如图，，于点，点到的距离是下列哪条线段的长（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查点到直线距离的定义：从直线外一点作直线的垂线段长度，据此判断即可得出答案． 【详解】解： 点到的距离是线段的长度． 故答案为：D． 【变式1】如图，四点在直线上，点在直线外，，若，，，，则点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点到直线的距离，根据点到直线的距离的定义即可求解，理解定义是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴点到直线的距离是， 故选：． 【变式2】点P为直线l外一点，点A、B在直线l上，若，，则点P到直线l的距离是（　　） A． B．小于 C．不大于 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了垂线段最短，点到直线的距离，根据垂线段最短，得出点P到直线l的距离应小于等于的长度． 【详解】解：∵点P到直线l的距离是点P到直线l所有点的连线中最短的线段的长度， ∴点P到直线l的距离应小于等于的长度， 即点P到直线l的距离是不大于． 故选：C． 【变式3】如图，点P在直线l外，点A、B在直线l上，若，则点P到直线l的距离可能是（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】A 【分析】本题考查了点到直线的距离，利用了垂线段的性质：垂线段最短．根据垂线段最短判断即可． 【详解】解：当时，点到直线的距离是， 当不垂直时，点到直线的距离小于，故点到直线的距离可能是． 故选：A． 知识点3：三线八角 两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如下图所示。 （1）同位角：可以发现∠1与∠5都处于直线的同一侧，直线、的同一方，这样位置的一对角就是同位角。图中的同位角还有∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8。 （2）内错角：可以发现∠3与∠5都处于直线的两旁，直线、的两方，这样位置的一对角就是内错角。图中的内错角还有∠4与∠6。 （3）同旁内角：可以发现∠4与∠5都处于直线的同一侧，直线、的两方，这样位置的一对角就是同旁内角。图中的同旁内角还有∠3与∠6。 【题型7 同位角、内错角和同旁内角的识别】 【典例7】观察图，并完成下面的填空： （1）与 是同位角； （2）与 是内错角； （3）与 是同旁内角． 【答案】 【分析】本题考查了同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两条直线的同一方，并且在第三条直线（截线）的同一侧，则这样一对角叫作同位角；内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的两侧，则这样一对角叫做内错角；同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的同一侧，则这样一对角叫作同旁内角；熟记同位角、内错角、同旁内角的定义是解题关键． （1）根据同位角的定义即可得； （2）根据内错角的定义即可得； （3）根据同旁内角的定义即可得． 【详解】解：（1）与是同位角； 故答案为：． （2）与是内错角； 故答案为：． （3）与是同旁内角； 故答案为：． 【变式1】如图，下列判断：①与是同位角；②与是同旁内角；③与是内错角；④和是对顶角．其中判断正确的有 个． 【答案】4 【分析】本题主要考查了同位角，内错角，对顶角，同旁内角的定义，两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角；有公共顶点，且角的两边互为反向延长线的两个角互为对顶角；据此分别进行分析可得答案． 【详解】解：①与是同位角，原说法正确； ②与是同旁内角，原说法正确； ③与是内错角，原说法正确； ④和是对顶角，原说法正确； ∴说法正确的有4个， 故答案为：4． 【变式2】如图所示，下列说法中错误的是（    ） A．和是同旁内角 B．和是同位角 C．和是同旁内角 D．和是内错角 【答案】A 【分析】本题主要考查了同旁内角、同位角、内错角的定义，熟记同位角、内错角、同旁内角的位置关系是解决此类问题的关键．根据同位角、内错角、同旁内角的定义进行判断． 【详解】解：A、和不是同旁内角，原说法错误，故此选项符合题意； B、和是同位角，原说法正确，故此选项不符合题意； C、和是同旁内角，原说法正确，故此选项不符合题意； D、和是内错角，原说法正确，故此选项不符合题意； 故选：A． 【变式3】如图①是《天工开物》中记载的我国古代的提水工具“桔槔”，它是在一根竖立的架子上加上一根细长的杠杆，当中是支点，末端悬挂一个重物，前端悬挂水桶，当水桶中的水打满以后，可借助重物轻松地将水拉起．如图②是“桔槔”的简易装置图，则与构成同位角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了同位角、同旁内角、内错角等知识，根据定义进行判断即可． 【详解】解：根据“桔槔”的简易装置图，则与构成同位角的是， 故选：C 1.下面四个图形中，与是对顶角的图形为（    ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了对顶角：有一个公共顶点，且一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线，那么这两个角就叫做对顶角，熟练掌握对顶角的定义是解题关键．利用对顶角的定义判断即可得． 【详解】解：利用对顶角的定义可知，只有图C中与是对顶角， 故选：C． 2.下列手势中，两只手的大拇指和食指所成的角为同旁内角的是（   ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了同位角、内错角和同旁内角的定义，熟练掌握同旁内角定义是解题的关键．根据同旁内角定义，即两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截线之内的两角，叫做同旁内角，即可进行求解． 【详解】解：A、图中两个角不是同旁内角，故本选项不符合题意； B、图中两个角是同位角，故本选项不符合题意； C、图中两个角是同旁内角，故本选项符合题意； D、图中两个角是内错角，故本选项不符合题意． 故选：C． 3.如图，直线相交于点O，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查对顶角的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．根据对顶角相等解答即可． 【详解】解：∵与是对顶角， ∴． 故选：A． 4.如图，直线外一点O，点C、D、E、F都在直线AB上，则点O到直线的距离是（    ） A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 【答案】B 【分析】本题考查点到直线的距离，即从直线外一点到这条线所画的垂直线段最短，它的长度叫做这个点到直线的距离．根据点到直线的距离的概念即可得解． 【详解】解：∵， ∴根据点到直线的距离的概念可得：点O到直线的距离是线段的长度； 故选：B． 5.如图，射线，则射线表示的方向是（    ） A．南偏西 B．南偏东 C．北偏西 D．北偏东 【答案】B 【分析】本题主要考查方位角及垂线的定义，熟练掌握方位角及垂线的定义是解题的关键；由题意易得，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴， ∴射线表示的方向是南偏东； 故选B． 6.光线从空气斜射向水中时会发生折射现象，矩形为盛满水的水槽、一束光线从点射向水面上的点，折射后照到水槽底部的点．测得，，若、、三点在同一条直线上，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查对顶角，根据“对顶角相等”得，代入数据求解即可． 【详解】解：根据题意得：， ∵，， ∴， 故选：D． 7.如图，直线，相交于点O，，垂足为O，，则的度数为（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查垂线的定义、对顶角的性质，解题的关键是掌握相关定义和性质．先根据对顶角相等得出，再由垂直的定义得出，最后根据可得答案． 【详解】解：， ， ， ， ， 故选：A． 8.如图，，若比的2倍少，那么是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程应用，同角的余角相等，垂直的定义，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据同角的余角相等得到，设，列出方程，即可求解． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴， 设 ∵比的2倍少， ∴， ∴， 解得：， ∴， 故选：B． 9.如图，直线相交于点O，．若 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂线的定义，对顶角相等，由垂线的定义可得，再由对顶角相等可得的度数，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 10.如图，于点O，经过点O，，则 ．    【答案】/50度 【分析】本题主要考查对顶角相等及垂线的意义，熟练掌握对顶角相等及垂线的意义是解题的关键；由题意易得，然后根据对顶角相等可进行求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为． 11.如图，在中，，，为边上的高，，为上一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂线段最短，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握直线外一点与直线上各个点的连线中，垂线段最短．过点作于点，利用等积法求出长．根据垂线段最短，得出当时，即点与点重合时，最小． 【详解】解：在中，，，为边上的高，，如图，过点作于点， ， ， ， 解得：， 垂线段最短， 当点与点重合时，最小， 即最小值为， 故答案为：． 12.如图，某自来水厂计划把河流中的水引到蓄水池C中，从河岸的何处开渠，才能使所开的渠道最短？请作出最短路线． 【答案】见解析 【分析】依据“垂线段最短”这一基本事实，确定从点到直线的最短路线是作垂线段．本题主要考查垂线段最短的性质，熟练掌握“直线外一点到直线的所有连线中，垂线段最短”是解题关键． 【详解】解：如图，从河岸的点D处开渠，才能使所开的渠道最短．理由是垂线段最短． 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 过点作于点，则从河岸的点处开渠，所开渠道最短，即为最短路线 ． 13.如图，直线交于点O，平分，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了对顶角的性质，角平分线的定义，根据对顶角相等得到的度数，再由角平分线的定义即可得到的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴． 14.如图，直线经过点O，平分，平分，若，．    (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了角平分线的相关计算、邻补角及角的和差运算等知识． （1）根据邻补角得到，根据角平分线得到； （2）根据角平分线得到，，利用平角定义即可得到． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵平分， ∴； （2）解：∵平分，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 相交线 考点1：对顶角与邻补角的定义、识别及性质应用（求角度）； 考点2：垂线的定义、画法（过一点画已知直线的垂线）； 考点3：垂线的性质（过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；垂线段最短）； 考点4：点到直线的距离（定义及实际应用）； 考点5：同位角、内错角、同旁内角的识别（复杂图形中快速区分）。 重点：对顶角相等的性质应用；垂线的定义与性质；三线八角的基础识别； 难点★：复杂图形中同位角、内错角、同旁内角的精准识别；垂线段最短的实际场景应用（如最短路径问题）。 1.能准确识别相交线中的对顶角、邻补角，并用 “对顶角相等”“邻补角互补” 求未知角度； 2.理解垂线的定义，掌握过直线上 / 外一点画垂线的规范方法； 3.牢记垂线的两条核心性质，能解释 “垂线段最短” 的实际意义； 4.能在“两条直线被第三条直线所截” 的图形中，快速区分同位角、内错角、同旁内角 知识点1：相交线 1. 相交线的定义 在同一平面内，如果两条直线只有一个公共点，那么这两条直线叫做相交线，公共点称为两条直线的交点。如图1所示，直线AB与直线CD相交于点O。 图1 图2 图3 2. 对顶角的定义 若一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线，那么这两个角叫做对顶角。 如图2所示，∠1与∠3、∠2与∠4都是对顶角。 注意：两个角互为对顶角的特征是： （1）角的顶点公共； （2）角的两边互为反向延长线； （3）两条相交线形成2对对顶角。 3. 对顶角的性质：对顶角相等。 4. 邻补角的定义 如果把一个角的一边反向延长，这条反向延长线与这个角的另一边构成一个角，此时就说这两个角互为邻补角。如图3所示，∠1与∠2互为邻补角，由平角定义可知∠1＋∠2＝180°。 【题型1 对顶角及其性质】 【典例1】下列各选项中，和是对顶角的是（    ） A．B．C．D． 【变式1】如图，与是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，用量角器测得的度数为，则的度数是 ． 【变式3】如图所示，有一个六边形零件，利用图中的量角器可以量出该零件内角的度数，则所量内角的度数为 ． 【题型2 邻补角和对顶角的有关运算】 【典例2】如图，已知直线与相交于点，平分，． (1)求和的度数； (2)求的度数． 【变式1】如图，两条直线、相交于点，射线平分，若，则 ．    【变式2】如图，直线，相交于点O，射线、分别在、的内部，已知，． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 【变式3】如图所示，直线相交于点O，平分． (1)写出图中与互补的角 ； (2)若，求的度数． 知识点2：垂线 1．垂线的定义：如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．如下图，两条直线互相垂直，记作或AB⊥CD垂直于点O. 注意：垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有： CD⊥AB． 2．垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)． 注意： (1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上． (2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段． 3．垂线的性质： （1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．． 4．点到直线的距离： 定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离． 图4 如图4所示，m 的垂线段PB 的长度叫做点P 到 直线m 的距离。 注意： （1） 点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离； （2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度． 【题型3 垂线的定义的理解】 【典例3】如图，于点E，是过点E的直线，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，，B、O、D三点在一条直线上，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在同一平面内，，，垂足为O，则与重合的理由是（   ） A．两点确定一条直线 B．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．垂线段最短 D．已知直线的垂线只有一条 【变式3】如图，直线和相交于点O，．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【题型4 垂线的画法】 【典例4】如图，分别过点P作的两边的垂线． 【变式1】下列作图能表示点B到的距离的是（   ） A．B．C．D． 【变式2】过直线外一点P画的垂线，下列各图中，三角尺操作正确的是（   ） A．B．C．D． 【变式3】河边有一村庄（近似看作点），如果在河岸上建一码头（近似看作点），使村庄的人到码头最近，应如何作？   【题型5 垂线段最短】 【典例5】如图所示，某同学的家在P处，他想尽快赶到附近公路边搭顺风车，他选择路线，用几何知识解释其道理正确的是（   ） A．垂线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．经过一点有无数条直线 【变式1】如图，要在河岸l上建一个水泵房引水到A处．可过点A作于点B，则将水泵房建在B处最节省水管长度．其理由是（    ） A．垂线段最短 B．经过一点有无数条直线 C．两点之间，线段最短 D．两点确定一条直线 【变式2】如图，从村庄P到公路l共有三条路线，其中路线，居民选择路线到公路的距离近的理由是（    ） A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．两点确定一条直线 D．过一点可以作无数条直线 【变式3】如图，运动会上，两名同学测得黎明的跳远成绩分别为米，米，米，则黎明的跳远成绩应该为 米． 【题型6 点到直线的距离】 【典例6】如图，，于点，点到的距离是下列哪条线段的长（　　） A． B． C． D． 【变式1】如图，四点在直线上，点在直线外，，若，，，，则点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 【变式2】点P为直线l外一点，点A、B在直线l上，若，，则点P到直线l的距离是（　　） A． B．小于 C．不大于 D． 【变式3】如图，点P在直线l外，点A、B在直线l上，若，则点P到直线l的距离可能是（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 知识点3：三线八角 两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如下图所示。 （1）同位角：可以发现∠1与∠5都处于直线的同一侧，直线、的同一方，这样位置的一对角就是同位角。图中的同位角还有∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8。 （2）内错角：可以发现∠3与∠5都处于直线的两旁，直线、的两方，这样位置的一对角就是内错角。图中的内错角还有∠4与∠6。 （3）同旁内角：可以发现∠4与∠5都处于直线的同一侧，直线、的两方，这样位置的一对角就是同旁内角。图中的同旁内角还有∠3与∠6。 【题型7 同位角、内错角和同旁内角的识别】 【典例7】观察图，并完成下面的填空： （1）与 是同位角； （2）与 是内错角； （3）与 是同旁内角． 【变式1】如图，下列判断：①与是同位角；②与是同旁内角；③与是内错角；④和是对顶角．其中判断正确的有 个． 【变式2】如图所示，下列说法中错误的是（    ） A．和是同旁内角 B．和是同位角 C．和是同旁内角 D．和是内错角 【变式3】如图①是《天工开物》中记载的我国古代的提水工具“桔槔”，它是在一根竖立的架子上加上一根细长的杠杆，当中是支点，末端悬挂一个重物，前端悬挂水桶，当水桶中的水打满以后，可借助重物轻松地将水拉起．如图②是“桔槔”的简易装置图，则与构成同位角的是（　　） A． B． C． D． 1.下面四个图形中，与是对顶角的图形为（    ） A．B． C． D． 2.下列手势中，两只手的大拇指和食指所成的角为同旁内角的是（   ） A．B．C． D． 3.如图，直线相交于点O，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4.如图，直线外一点O，点C、D、E、F都在直线AB上，则点O到直线的距离是（    ） A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 5.如图，射线，则射线表示的方向是（    ） A．南偏西 B．南偏东 C．北偏西 D．北偏东 6.光线从空气斜射向水中时会发生折射现象，矩形为盛满水的水槽、一束光线从点射向水面上的点，折射后照到水槽底部的点．测得，，若、、三点在同一条直线上，则的度数为（ ） A． B． C． D． 7.如图，直线，相交于点O，，垂足为O，，则的度数为（      ） A． B． C． D． 8.如图，，若比的2倍少，那么是（   ） A． B． C． D． 9.如图，直线相交于点O，．若 ． 10.如图，于点O，经过点O，，则 ．    11.如图，在中，，，为边上的高，，为上一动点，则的最小值为 ． 12.如图，某自来水厂计划把河流中的水引到蓄水池C中，从河岸的何处开渠，才能使所开的渠道最短？请作出最短路线． 13.如图，直线交于点O，平分，，求的度数． 14.如图，直线经过点O，平分，平分，若，．    (1)求的度数； (2)求的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $