第06讲 组合（9大题型）（寒假预习讲义）高二数学苏教版

第06讲 组合 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：组合 1、定义： 一般地，从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合． 知识点诠释： （1）从排列与组合的定义可知，一是“取出元素”；二是“并成一组”，“并成一组”即表示与顺序无关． 排列与元素的顺序有关，而组合与元素的顺序无关，这是它们的根本区别． （2）如果两个组合中的元素相同，那么不管元素的顺序怎样都是相同的组合；只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合．因此组合问题的本质是分组问题，它主要涉及元素被取到或末被取到． 知识点2：组合数及其公式 1、组合数的定义： 从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数．记作． 知识点诠释： “组合”与“组合数”是两个不同的概念： 一个组合是指“从个不同的元素中取出个元素并成一组”，它不是一个数，而是具体的一件事；组合数是指“从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数”，它是一个数． 2、组合数公式： （1）（，且） （2）（，且） 知识点诠释： 上面第一个公式一般用于计算，但当数值m、n较大时，利用第二个式子计算组合数较为方便，在对含有字母的组合数的式子进行变形和论证时，常用第二个公式． 知识点3：组合数的性质 性质1：（，且） 性质2：（，且） 知识点诠释： 规定：． 知识点4：组合问题常见题型 （1）“含有”或“不含有”某些元素的组合题型： “含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取． （2）“至少”或“最多”含有几个元素的题型： 解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，但通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理． （3）分堆问题 ①平均分堆，其分法数为：． ②分堆但不平均，其分法数为． （4）定序问题． 对于某些元素的顺序固定的排列问题，可先全排，再除以定序元素的全排，或先在总位置中选出定序元素的位置而不参加排列，然后对其他元素进行排列． （5）相同元素分组问题用“隔板法” 题型一：组合概念的理解 【例1】给出下列问题： ①若集合求集合A的含有3个元素的子集的个数； ②求从甲、乙、丙三名同学中选两名同学参加两项不同的活动的选法种数； ③求从7本不同的书中选出5本给某一个同学的选法种数； ④求四个城市之间需要准备的飞机票的种数； ⑤把3本相同的书分给5个学生，求每人最多得1本的分法种数． 其中是组合问题的为（    ） A．①⑤ B．①② C．①③⑤ D．①③ 【答案】C 【解析】对于①，集合的元素与顺序无关，故①是组合问题； 对于②，从甲、乙、丙三名同学中选两名同学参加两项不同的活动与顺序有关，故②是排列问题； 对于③，从7本不同的书中选出5本给某一个同学，与顺序无关，故③是组合问题； 对于④，因为飞机有起始站与终点站，故四个城市之间需要准备的飞机票的种数与顺序有关，故④是排列问题； 对于⑤，因为书是相同的，所以问题就等价于从5人中选出3人，故⑤是组合问题． 故选：C． 【变式1-1】（2026·高二·甘肃武威·期中）下列四个问题属于组合问题的是（   ） A．从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作 B．从0，1，2，3，4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数 C．从全班同学中选出3名同学参加某大学生运动会开幕式 D．从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员 【答案】C 【解析】A.从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作，顺序不同，结果不同，与顺序有关，是排列问题. B. 从0，1，2，3，4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数，顺序不同，结果不同，与顺序有关，是排列问题. C. 从全班同学中选出3名同学参加某大学生运动会开幕式，与顺序无关，是组合问题. D. 从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员，顺序不同，结果不同，与顺序有关，是排列问题. 故选：C. 【变式1-2】（2026·高二·陕西西安·期中）下列选项中，属于组合问题的是（    ） A．从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法 B．有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案 C．从3，5，7，9中任选两个数做指数运算，可以得到多少个幂 D．从1，2，3，4中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个不同的点 【答案】B 【解析】对于A：从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，因为学科不一样，且学生各不相同，所以为排列问题，故A错误； 对于B：有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，可分为四组，三人一组无先后顺序，属于组合问题，故B正确； 对于C：从，，，中任取两个数进行指数运算，底数与指数有顺序，所以为排列问题，故C错误； 对于D：从，，，中任取两个数作为点的坐标，横、纵坐标与顺序有关，所以为排列问题，故D错误. 故选：B 【变式1-3】（2026·高二·新疆乌鲁木齐·期中）下列四个问题属于组合问题的是（    ） A．从名志愿者中选出人分别参加导游和翻译的工作 B．从、、、这个数字中选取个不同的数字排成一个三位数 C．从全班同学中选出名同学参加学校运动会开幕式 D．从全班同学中选出名同学分别担任班长、副班长 【答案】C 【解析】对于A选项，从名志愿者中选出人分别参加导游和翻译的工作， 将人选出后，还要安排导游或翻译的工作，与顺序有关，这个问题为排列问题； 对于B选项，从、、、这个数字中选取个不同的数字排成一个三位数， 选出三个数字之后，还要将这三个数安排至个位、十位、百位这三个数位， 与顺序有关，这个问题为排列问题； 对于C选项，从全班同学中选出名同学参加学校运动会开幕式，只需将三名同学选出， 与顺序无关，这个问题为组合问题； 对于D选项，从全班同学中选出名同学分别担任班长、副班长， 将人选出后，还要安排至班长、副班长两个职务，与顺序有关，这个问题为排列问题. 故选：C. 题型二：简单的组合问题 【例2】判断下列问题是排列问题还是组合问题． (1)集合中含三个元素的子集的个数是多少？ (2)某小组有9位同学，从中选出正、副班长各一名，有多少种不同的选法？若从中选出2名代表参加一个会议，有多少种不同的选法？ 【解析】（1）由于集合中的元素是无序的，一个含三个元素的集合就是一个从0，1，2，3，4中取出3个数组成的集合．这是一个组合问题． （2）选正、副班长时要考虑顺序，所以是排列问题；选代表参加会议是不用考虑顺序的，所以是组合问题． 【变式2-1】现有30件分别标有编号的产品，且除了2件次品外，其余都是合格品，从中取出3件： (1)一共有多少种不同的取法？ (2)若取出的3件产品中恰有1件次品，则不同的抽法共有多少种？ (3)若取出的3件产品中至少要有1件次品，则不同的抽法共有多少种？ 【解析】（1）所求的抽法总数，就是从30件产品中取出3件的组合数 ． （2）抽取可以分成两步完成： 第一步，在2件次品中抽出1件，有种方法； 第二步，在28件合格品中抽出2件，有种方法． 由分步乘法计数原理知，不同的抽法为． （3）满足条件的取法可以分成两类：恰有1件次品的取法和恰有2件次品的取法． 第一类，恰有1件次品的取法有种， 第二类，恰有2件次品的取法有种． 由分类加法计数原理知，不同的抽法为． 【变式2-2】一个口袋里有7个不同的白球和1个红球，从中取5个球： (1)共有多少种不同的取法？ (2)如果不取红球，共有多少种不同的取法？ (3)如果必须取红球，共有多少种不同的取法？ 【解析】（1）因为共有8个球， 所以共有不同的取法种数为； （2）因为不取红球， 所以只要在7个白球中取5个球即可， 因此共有不同的取法种数为； （3）因为必须取红球， 所以只需在7个白球中再取4个球即可， 因此共有不同的取法种数为． 【变式2-3】（1）写出从，，，，五个元素中任取两个不同元素的所有组合； （2）写出从，，，，五个元素中任取两个不同元素的所有排列． 【解析】（1）从个元素，，，，中任取两个不同元素的所有组合有： ，，，，，，，，，； （2）从个元素，，，，中任取两个不同元素的所有排列有： ，，，，，，，，，， ，，，，，，，，，. 题型三：组合数公式的应用 【例3】（2026·高二·江西南昌·月考）（1）求的值； （2）解关于的不等式：. 【解析】（1）； （2）由题意可得，解得，且， 由，可得，解得， 又因为，所以，故不等式的解集为. 【变式3-1】（2026·高二·黑龙江齐齐哈尔·月考）（1）求的值； （2）解不等式. 【解析】（1）； （2）由，得， 化简得，解得.① 又，所以.② 由①②及，得， 即不等式的解集为. 【变式3-2】（2026·高二·宁夏吴忠·期中）求值（用数字表示） (1) (2) (3)已知，求 【解析】（1）； （2）； （3）由，得，即， 所以，整理得， 所以. 【变式3-3】（2026·高二·全国·单元测试）规定，其中，m是正整数，且，这是组合数（n，m是正整数，且）的一种推广． (1)求的值； (2)组合数的两个性质：①，②是否都能推广到（，m是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明，若不能，则说明理由； (3)①已知，，求证：； ②已知组合数是正整数，证明：当，m是正整数时，． 【解析】（1）． （2）性质①不能推广，例如当时有意义，但无意义； 性质②能推广，它的推广形式是：，，m是正整数． 证明：当时，有， 当时， ． （3）①因， 而， 所以． ②当时，组合数； 当时，； 当时，由可知， 所以， 因为时，，所以，即时，． 综上，当，m是正整数时，． 题型四：组合数的性质 【例4】（2026·高二·江苏南通·月考）若，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】因为，所以或， 当时，解得，经检验，符合题意， 当时，解得，经检验，符合题意， 综上，得到，故B正确. 故选：B 【变式4-1】（2026·高二·河北·期末）若，则n的值为（    ） A．8 B．13或8 C．13 D．8或5 【答案】B 【解析】由组合数的性质可得或，解得或． 故选：B． 【变式4-2】（2026·高二·广西百色·期末）若，则（   ） A．5 B．6或5 C．7 D．7或8 【答案】B 【解析】∵， ∴由组合数的性质可得或，则或5. 故选：B. 【变式4-3】（2026·高二·广东深圳·期中）若，则（    ） A．28 B．56 C．112 D．120 【答案】B 【解析】由，得，解得， 所以 . 故选：B 题型五：多面手问题 【例5】（2026·高二·陕西西安·月考）有名演员，其中人会唱歌，人会跳舞，现要表演一个人唱歌人伴舞的节目，则不同的选派方法共有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】A 【解析】∵， ∴名演员中有人只会唱歌，人只会跳舞，人为全能演员. 以只会唱歌的人是否选上唱歌人员为标准进行研究： ①只会唱歌的人中没有人选上唱歌人员，有种选派方法， ②只会唱歌的人中只有人选上唱歌人员，有种选派方法， ③只会唱歌的人中有人选上唱歌人员，有种选派方法． ∴选派方法共有（种）． 故选：A. 【变式5-1】（2026·高二·海南省直辖县级单位·期中）有名歌舞演员，其中名会唱歌，名会跳舞，从中选出人，并指派一人唱歌，另一个跳舞，则不同的选派方法有  （ ） A．种 B．种 C．种 D．72种 【答案】C 【解析】根据题意，有名歌舞演员，其中名会唱歌，名会跳舞， 则既会跳舞又会唱歌的有人， 只会唱歌的有人，只会跳舞的有人; 若选出2人，没有既会跳舞又会唱歌，则有种选法， 若选出2人中有1人既会跳舞又会唱歌，则有种选法， 若选出2人全部是既会跳舞又会唱歌的，则有种选法， 综上共有种选法. 故选：C. 【变式5-2】（2026·高二·广东·期中）“赛龙舟”是端午节重要的民俗活动之一，参加比赛的划手分为划左桨和划右桨.某训练小组有名划手、其中有名只会划左桨，名只会划右桨.现从这名划手中选派名参加比赛，其中名划左桨，名划右桨，则不同的选派方法共有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【解析】从这名划手中选派名参加比赛，其中名划左桨，名划右桨， 则共有种选派方法， 故选：C. 【变式5-3】（2026·高二·广东清远·期中）“赛龙舟”是端午节的习俗之一，也是端午节最重要的节日民俗活动之一，某单位龙舟队欲参加端午节龙舟赛，经过训练后，龙舟队的名队员在左、右桨位中至少会一个，其中有人会划左桨，人会划右桨．现要选派人划左桨、人划右桨共人去参加比赛，则不同的选派方法共有（    ） A．26种 B．31种 C．36种 D．37种 【答案】D 【解析】依题意名队员中有人会划左桨，人会划右桨， 则既会划左桨又会划右桨的有人，记这两人分别为、， 所以只会划左桨有人，只会划右桨有人， 据此分种情况讨论： ①从只会划左桨的人中选人划左桨，从剩下的人中选人划右桨，则有种选法； ②从只会划左桨的人中选人划左桨，从、中选人划左桨， 再从剩下的会划右桨的个人中选人划右桨，则有种选法； ③从只会划左桨的人中选人划左桨，、这人划左桨， 另外会划右桨的人划右桨，则有种选法， 综上可得一共有种不同的选法. 故选：D． 题型六：分组、分配问题 【例6】（2026·高二·山东·月考）某人计划到山东旅游，打算用连续5天时间游玩泰山、崂山、蓬莱阁3个景点，其中泰山、崂山2个景点分别安排连续的两天游玩，则不同的日程安排种数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【解析】首先考虑蓬莱阁的游玩，可能安排在第1天或第3天或第5天，所以共有种不同的日程安排． 故选：D 【变式6-1】（2026·高二·辽宁·月考）某高校7名大学生到抚顺参观雷锋纪念馆、西露天矿坑、赫图阿拉城，若每名学生都要参观，且只参观一个地点，每个地点至少有2名学生参观的不同方案共有（   ） A．105种 B．210种 C．630种 D．1260种 【答案】C 【解析】将7名大学生分为3人，2人、2人的3个小组，分别去参观这三个地点， 共有种不同参观方案. 故选：C 【变式6-2】（2026·高二·贵州遵义·期末）某地区有3个学生社会实践服务点A，B，C．4名学生需在寒假完成社会实践，每个服务点至少有一名学生，则不同的社会实践安排共有（   ） A．72种 B．36种 C．24种 D．64种 【答案】B 【解析】先从4名学生中选出2人组成一个小组，有种方法； 再将这个两人小组与其余2名学生安排到3个不同的服务点，有种方法， 根据分步乘法计数原理，共有种不同的安排. 故选：B 【变式6-3】有编号为，，的三个盒子，将4个不同的小球全部放入盒子.若每个盒子中所放球的个数不大于其编号，则不同的放法共有（   ） A．26种 B．32种 C．38种 D．44种 【答案】C 【解析】三个盒子放球的个数如下： 1号盒子：，2号盒子：，3号盒子：， 4个不同的小球全部放入盒子，不同的组合放法如下； ，即1个盒子放入1个球，另一个盒子放入3个球， 显然3个球只能放入3号盒子，有种情况， ，即2个盒子分别放入2个球， 显然只能放入2号和3号盒子，有种情况， ，即放入3个盒子中，其中1个盒子放入2个球， 另外2个盒子分别放入1个球，放入2个球的盒子从2号和3号盒子中选， 剩余2个球和2个盒子进行全排列，有种情况， 综上，共有种情况. 故选：C 题型七：与几何有关的组合应用题 【例7】（2026·高二·广东汕头·期末）以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是（   ） A．70 B．66 C．62 D．58 【答案】D 【解析】由正方体共有8个顶点，从中任选4个顶点有个，其中有12种情况4点共面（6个侧面，6个对角面）， 所以以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是个. 故选：D 【变式7-1】（2026·高二·贵州贵阳·月考）正八边形的对角线的条数是（    ） A．16 B．20 C．28 D．40 【答案】B 【解析】正八边形中，任取2个顶点可以得到一条线段，则可以得到条线段，其中包括了正八边形的8条边，则正八边形对角线的条数为条. 故选：B． 【变式7-2】（2026·高二·广西河池·月考）从正六边形的个顶点及其中心共七个点中任意选取三个点，如果选出的三个点能构成三角形，则构成的三角形不是等边三角形的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在正六边形中，为其中心，如下图所示： 从这七个点中任选三个点，共有种，其中三点共线的情形有种， 所以，能构成的三角形的个数为个， 其中，构成的等边三角形分别为、、、、、 、、，共个， 所以，构成的三角形不是等边三角形的个数是个. 故选：A. 【变式7-3】（2026·高二·山西·期中）已知平面平面，平面内有共5个点，其中有且仅有三点共线，平面内有共4个点，任意三点不共线，则以这9个点为顶点的三棱锥最多有（    ） A．80个 B．86个 C．116个 D．136个 【答案】C 【解析】根据题意，由三棱锥的几何结构特征，可分三类情况讨论： 从平面内取3个点不共线，平面内取1个点共有种情况； 从平面内取2个点，平面内取2个点共有种情况； 从平面内取1个点，平面内取3个点共有种情况， 所以从这9个点为顶点的三棱锥最多有个三棱锥. 故选：C. 题型八：隔板法 【例8】（2026·高二·黑龙江佳木斯·月考）若方程，其中，则方程的自然数解的个数为 . 【答案】28 【解析】已知方程，且， 则，其中均为自然数. 将其转化为， 其中为正整数. 运用隔板法将其转化为有9个1排成一列，利用2个隔板法将其分成3组， 第一组1的数目为，第二组1的数目为，第三组1的数目为，则. 2个隔板的放置方法共有种， 故方程的正整数解的个数为28. 即方程的自然数解的个数为28. 故答案为：28. 【变式8-1】方程共有 组正整数解，共有 组非负整数解． 【答案】 455 969 【解析】可将16理解为16个1相加．而x，y，z，w相当于四个盒子，每个盒子里装入若干个1．则每个盒子里若干个1的和构成其中一组正整数解． 对于第一空，用隔板法，将16个1排成一排，形成15个空隙， 在空隙中插入3个隔板，将16个1截为4部分， 每一部分的和对应原四元方程的正整数解，则有组正整数解． 对于第二空，正整数解与非负整数解的区别在于非负整数解可以是0， 相当于允许盒子为空，而隔板法适用于盒子非空的情况，所以考虑进行化归． 由， 得， 则这四个盒子非空即可， 此时使用隔板法，可得原方程共有组非负整数解． 故答案为：455，969 【变式8-2】（2026·高二·天津南开·期中）把个相同的小球放入个不同的盒子中，每个盒子最多放个小球，则不同方法有 种（用数字作答）. 【答案】 【解析】先考虑个相同的小球放入个不同的盒子的情形，那么其中有空盒， 可考虑在每个盒子中各加一个球，问题转化为将个相同的小球放入个不同的盒子， 每个盒子中至少有个球，由隔板法可知，不同的方法种数为种； 接下来考虑把个相同的小球放在同一个盒子的情形，有种情况. 由间接法可知，不同的方法种数为种. 故答案为：. 【变式8-3】（2026·高二·湖北·月考）各数位数字之和等于6（数字可以重复）的四位数个数为 （请用数字作答）． 【答案】56 【解析】设，，，对应个位到千位上的数字，则， 且，相当于6个相同的球排成一排，每个球表示1， 先拿一个球装入，转化为5个球装入4个盒子，每盒可空，等价于9个球用3个隔板分成4组（各组不可为空）， 故共有种． 故答案为：56． 题型九：分堆问题 【例9】将6个不同的球分别按如下方式来分，写出不同分法的种数． (1)平均分成3堆，每堆2个； (2)分给甲、乙、丙3人，每人2个； (3)分成3堆，每堆个数分别为1个、2个、3个： (4)分给甲1个、乙2个、丙3个； (5)分给3人，3人分别得到1个、2个、3个． 【解析】（1）本题是平均分组无归属问题，则共有种分法． （2）本题是平均分组有归属问题，则共有种分法． （3）本题是不平均分组问题，则共有种分法． （4）本题是不平均分组有归属且归属确定问题，将球按照分成3堆， 甲、乙、丙3人来拿，只有1种拿法，则共有种分法． （5）本题是不平均分组目归属不确定问题，先将球按照分成3堆， 有种分法，再分给3人，有种分法， 因此共有种分法. 【变式9-1】（2026·高二·吉林长春·月考）（1）将6本不同的书分成3堆，每堆2本，有多少种分法？ （2）将6本不同的书分成3堆，一堆4本，另两堆各1本，有多少种分法？ （3）将6本不同的书平均分给3人，每人2本，有多少种分法？ （4）将6本不同的书分给3人，1人1本，1人2本，1人3本，有多少种分法？ （5）将6本不同的书分给4人，每人至少1本，有多少种分法？ 【解析】（1）先分第一堆有种分法，再分第二堆，有种分法，最后分第三堆，有种分法，但堆与堆之间没有区别， 故把6本不同的书平均分成3堆，共有种分法； （2）无序部分均匀分组问题：共有＝15（种）分法； （3）依题意，将6本不同的书，由分步乘法计数得不同的分配方式有（种）； （4）先选1本有种选法，再从余下的5本中选2本有种选法， 最后余下的3本全选有种选法， 同时3人不同，需要排序，故有（种）分配方式； （5）分两类： 第一类：当4位同学分得的书本数为1，1，1，3时，共有种； 第二类：当4位同学分得的书本数为1，1，2，2时，共有种； 由加法原理，知共有种不同分法. 【变式9-2】（2026·高二·新疆喀什·期中）（1）将6本不同的书分成3堆，一堆4本，另两堆各1本，有多少种分法？(均须以数字作答） （2）将6本不同的书平均分给3人，每人2本，有多少种分法？（均须以数字作答） （3）将6本不同的书分给4人，每人至少1本，有多少种分法？（均须以数字作答） 【解析】（1）无序部分均匀分组问题：共有（种）分法； （2）依题意，将6本不同的书，由分步乘法计数得不同的分配方式有（种）； （3）第一类：当4位同学分得的书本数为1，1，2，2时，共有种； 第二类：当4位同学分得的书本数为1，1，1，3时，共有种； 由加法原理，知共有480+1080=1560种不同分法 【变式9-3】6本不同的书平均分成3堆，每堆2本共有多少分法？ 【解析】先分第一堆有种分法，再分第二堆，有种分法，最后分第三堆，有种分法，但堆与堆之间没有区别， 故把6本不同的书平均分成3堆，共有种分法， 1．（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·月考）现有5本不同的书《天工开物》、《梦溪笔谈》、《齐民要术》、《本草纲目》、《九章算术》，则下列说法正确的是（ ） A．将全部的书放到6个不同的抽屉里，一个抽屉可放多本书，有种不同的放法 B．将全部的书放在同一层书架上，要求《本草纲目》和《九章算术》相邻，有96种不同的放法 C．将五本书排成一排，则《天工开物》、《梦溪笔谈》按从左到右（可以不相邻）的顺序排列的不同的排法有120种 D．将书分给3位不同的学生，其中一人1本，一人2本，一人2本，有90种不同的分法 【答案】D 【解析】对于A，将全部的书放到6个不同的抽屉里，一个抽屉可放多本书，每本书均有6种不同的放法， 根据分步计数乘法原理，共有种放法，所以A不正确； 对于B，将全部的书放在同一层书架上，要求《本草纲目》和《九章算术》相邻， 可把《本草纲目》和《九章算术》看成一本书，共有种放法，所以B不正确； 对于C，将五本书并排成一排，， 则《天工开物》、《梦溪笔谈》按从左到右（可以不相邻）的顺序排列的排法有种， 所以C不正确； 对于D，将5本不同的书分给3位不同的学生，其中一人1本，一人2本，一人2本， 有种分组方法， 再将其分给三人，共有种分法，所以D正确. 故选：D 2．（25-26高二上·山东潍坊·月考）三元一次方程的正整数解的组数为（    ） A．21 B．28 C．35 D．42 【答案】A 【解析】三元一次方程的正整数解的组数， 等价于将8个相同的小球分成3组，每组至少1个小球的不同分法. 只需要在8个小球中间的7个空位中选取2个空位用隔板隔开即可， 则共有种分法， 即三元一次方程的正整数解的组数为21. 故选：A. 3．（25-26高二上·江西·月考）现安排5名师范生到某高中（三年制）学校实习，每个年级至少安排1名，每名师范生都安排了实习，且只安排到一个年级实习，则所有的安排种数为（    ） A．138 B．240 C．300 D．150 【答案】D 【解析】由题意，5名师范生可以分成或三组，分别分配给一个年级， 故有种安排方法. 故选：D 4．（25-26高二上·河南驻马店·月考）子贡曰：“夫子温、良、恭、俭、让以得之”，“温、良、恭、俭、让”指五种品德：温和、善良、恭敬、节俭、谦让.现有印有“温、良、恭、俭、让”5个字的书签各2张，10张书签的颜色和图案互不相同.从10张书签中抽取4张分给4位同学，每人一张书签，恰有2位同学分到的书签上汉字相同的分配方案有（   ） A．120种 B．210种 C．1440种 D．2880种 【答案】D 【解析】第一步，先从10张书签中选出4张，由题可知选到的4张书签中有两张汉字相同，其余两张各不相同， 共有种不同的选法； 第二步，将抽到的4张书签分给4位同学有种不同的分法， 根据分步乘法计数原理，不同的分配方案共有：种. 故选：D. 5．（25-26高三上·河南·期中）某校园诗歌朗诵大赛共有5名同学进入决赛，决赛要求这5名同学均从《琵琶行》《蜀道难》《离骚》中选择1篇进行参赛，且这3篇诗歌中每篇均有同学选择，则这5名同学诗歌篇目的选择情况共有（    ） A．150种 B．240种 C．180种 D．120种 【答案】A 【解析】5名同学分配到3篇诗歌（每篇至少1人），人数分配只能是 “2,2,1” 或 “3,1,1” 两种组合， 若人数分配为“2,2,1”，则有种不同选择情况； 若人数分配为“3,1,1”，则有种不同选择情况； 综上，共有种不同选择情况. 故选：A 6．（多选题）（25-26高二上·山东·月考）李清照，齐州章丘（今山东省济南市章丘区）人，宋代女词人，婉约词派代表，有“千古第一才女”之称．现将李清照不同的9本诗集全部奖励给3名同学（每人至少会分到1本），则下列选项正确的有（   ） A．若刚好每人分到3本书，则有1680种不同的分法 B．若每人至少分到2本书，则有11508种不同的分法 C．若刚好有1人只分到1本书，则有6326种不同的分法 D．若每人至多分到4本书，则有13020种不同的分法 【答案】AB 【解析】若刚好每人分到3本书，则有种不同的分法，故A正确； 若每人至少分到2本书，则3人分书的本数可能是，，， 所以有种不同的分法，故B正确； 若刚好有1人只分到1本书，则3人分书的本数可能是，，， 所以有种不同的分法，故C不正确； 若每人至多分到4本书，则3人分书的本数可能是，，， 所以有种不同的分法，故D不正确． 故选：AB 7．（多选题）（25-26高二上·广西·月考）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】对A选项，，A正确； 对B选项，左边=，B错误； 对C选项，方法一：，方法二：，C正确； 对D选项，，故D错误. 故选：AC. 8．（多选题）（25-26高二上·广西桂林·月考）下列选项正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】因为，所以A正确； 因为，所以B不正确； 因为，所以C正确； 由组合数的性质可得，故D正确. 故选：ACD. 9．（2025高二上·湖南·专题练习）在图所示的10块地中，选出6块种植这六个不同品种的蔬菜，每块地种植一种．若必须横向相邻种在一起，与在横向、纵向都不能相邻种在一起，则不同的种植方案有 种. 【答案】5160 【解析】①当与同行，与也同行时，有种种植方案； 与不同行时，有种种植方案； ②当与不同行时，有种种植方案. 故不同的种植方案有（种）. 故答案为： 10．（25-26高二上·江西南昌·月考）设有编号为1，2，3，4的四个球和编号为1，2，3，4的四个盒子，现将这四个球放入这四个盒子内，要求每个盒子内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，则这样的投放方法的种数为 ． 【答案】8 【解析】先确定恰好编号相同的那个球和盒子，从个球中选个，有种选法， 假设选中号球放入号盒子，此时剩下号球和号盒子，要求这个球的编号与盒子编号均不相同， 即求个元素的错位排列数，个元素的错位排列（记为）有种情况：和. 因此，总投放方法种数为. 故答案为： 11．（25-26高二上·河南驻马店·月考）从单词“”中选取5个不同的字母排成一排，含有“”（其中“”相连且顺序不变）的不同排列共有 种．（用数字作答） 【答案】480 【解析】要选取5个字母，首先从其它6个字母中选3个有种结果， 再将选出的3个字母与视为一个整体的“”进行全排列共有 种. 故答案为：480 12．（25-26高二上·上海·月考）从个男生和个女生（）中任选2个人当队长，假设事件表示选出的2人性别相同，事件表示选出的2人性别不同．如果事件的概率和事件的概率相等，则的可能值组成的集合为 ． 【答案】 【解析】由事件的概率和事件的概率相等，即， 所以，可得， 所以为完全平方数，其中，且， 当时，所以，此时， 当时，所以，此时， 所以的可能值组成的集合为. 故答案为：. 13．（25-26高二上·江西赣州·月考）某班级要从3名男生和2名女生中选取2位学生分别担任正､副班长，则至少有一名女生被选中的不同选法有 种. 【答案】 【解析】若恰有1名女生被选中，则有种选法； 若有2名女生被选中，则有种选法， 所以共有种选法， 故答案为：. 14．（25-26高三上·云南昆明·期中）某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“中国数学史”、“古今数学思想”、“世界数学通史”、“几何原本”四门选修课程.要求数学系每位同学每学年至多选三门，大一到大三三个学年必须将这四门选修课程选修完、则每位同学的不同选修方式共有 种. 【答案】 【解析】因为数学系每位同学每学年至多选三门，大一到大三三个学年须将这四门选修课程选修完， 当分配模式为1，1，2时，每位同学的不同选修方式有种； 当分配模式为0，1，3时，每位同学的不同选修方式有种； 当分配模式为0，2，2时，每位同学的不同选修方式有种， 则每位同学的不同选修方式共有种． 故答案为：. 15．（25-26高二上·北京·月考）现有6本不同的书，分给甲乙丙三人.按以下要求，各有几种分法？（用数字作答） (1)甲得1本，乙得1本，丙得4本； (2)一人得1本，一人得1本，一人得4本； (3)平均分给甲､乙､丙三人； (4)一人得1本，一人2本，另外一人3本. 【解析】（1）（1）甲､乙､丙依次选书，得； （2）在（1）的基础上，得4本书的可以是甲､乙､丙三人的任何一个，共； （3）甲､乙､丙依次选书，得； （4）先把书分三堆，再分给三个人：. 16．（25-26高二上·河南驻马店·月考）甲、乙、丙等6名同学利用周末到社区进行志愿服务. (1)6名同学站成一排，若甲、乙、丙必须相邻，则不同的排列方案有多少种? (2)6名同学站成一排，甲、乙两名同学之间恰有2人的不同排列方案有多少种? (3)6名同学平均分成三组，进行三项不同的社区服务，则不同的分配方案有多少种? 【解析】（1）将甲、乙、丙组成一个整体，再与其余3人全排列， 共有种排列方案； （2）从除甲、乙以外的4人中任取2人排在甲、乙之间，与甲、乙组成一个整体，再与余下2个人全排列， 则有种排列方案； （3）名学生平均分配到三项不同的社区有种方法. 17．（25-26高二上·北京·月考）从男女共名志愿者中，选出人参加社会实践活动． (1)共有多少种不同的选择方法? (2)若要求选出的三人中既有男生又有女生，求共有多少种选择方法? (3)若要求选出的名志愿者中有男女，且他们分别从事经济、文化和民生方面的问卷调查工作，求共有多少种不同的选派方法? 【解析】（1）从男女共名志愿者中，选出人参加社会实践活动， 其方法数为种； （2）若选的三人都是男生，有种选法， 若选的三人都是女生，有种选法， 所以既有男生又有女生的选法有种； （3）根据题意，分步进行分析： ①从名男志愿者和名女志愿者中选出男女，选择方法数共有种， ②安排选出的人分别从事经济、文化和民生方面的问卷调查工作，有种情况， 故不同选派方法数为种． 18．（25-26高二上·辽宁·月考）（1）要把6本不同的课外书分给甲、乙、丙三名同学： （i）如果每人都得2本，则共有不同的分法多少种？ （ii）如果要求甲得1本，乙得2本，丙得3本，则共有不同的分法多少种？ （iii）如果要求一人得1本，一人得2本，一人得3本，则共有不同的分法多少种？ （2）要把6本不同的课外书分别装到三个相同的手提袋里： （i）如果一个袋子中1本，一个袋子中2本，一个袋子中3本，则共有不同的分法多少种？ （ii）如果每个袋子中都是2本，则共有不同的分法多少种？ （iii）如果每个袋子中至少1本，则共有不同的分法多少种？ （计算结果用数字作答） 【解析】（1）（i）从6本书中选择2本书给甲，有种方法； 再从剩余4本书中选择2本书给乙，有种方法； 剩余的2本书给丙，有种方法;所以有种分配方法． （ii）从6本书中选一本给甲，有种分配方法；从剩余5本书中选2本给乙，有种分配方法，将剩余3本书给丙，有种分配方法. 所以分配方式共有种. （iii）将6本书按照1组1本，1组2本，1组3本的分组方式进行分组，有种方法，再将分好的组分给甲乙丙三人，则有种分配方法. （2）（i）因为手提袋相同，所以即为将6本不同的书分为3组，1组1本，1组2本，1组3本， 种方法， （ii）每袋2本，为平均分组，所以要除以重复的部分，所以共有种. （iii）每个袋子至少1本，有可能有2组各1本，1组4本，有种方法， 有可能1组1本，1组2本，1组3本，有种方法， 有可能每组2本，有种方法，所以共有种. 19．（25-26高二上·江西九江·月考）修水一中文学社团共有学生9名，其中有5名男生和4名女生，现从中选出4人去参加全县辩论大赛．（列式表明计算过程，结果用数字表示） (1)如果4人中，男生甲当队长必须参加，那么有多少种选法？ (2)如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有多少种选法？ (3)辩论赛要求2男2女参加，坐成一排，且男生不相邻的，有多少种排座位方法？ 【解析】（1）如果男生甲必须去，从剩下的8人中选3人即可，有种选法； （2）如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，共有种选法； （3）选2男2女，先排2位女生，将2为男生插入其中的3个空中，则有种排法. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 组合 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：组合 1、定义： 一般地，从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合． 知识点诠释： （1）从排列与组合的定义可知，一是“取出元素”；二是“并成一组”，“并成一组”即表示与顺序无关． 排列与元素的顺序有关，而组合与元素的顺序无关，这是它们的根本区别． （2）如果两个组合中的元素相同，那么不管元素的顺序怎样都是相同的组合；只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合．因此组合问题的本质是分组问题，它主要涉及元素被取到或末被取到． 知识点2：组合数及其公式 1、组合数的定义： 从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数．记作． 知识点诠释： “组合”与“组合数”是两个不同的概念： 一个组合是指“从个不同的元素中取出个元素并成一组”，它不是一个数，而是具体的一件事；组合数是指“从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数”，它是一个数． 2、组合数公式： （1）（，且） （2）（，且） 知识点诠释： 上面第一个公式一般用于计算，但当数值m、n较大时，利用第二个式子计算组合数较为方便，在对含有字母的组合数的式子进行变形和论证时，常用第二个公式． 知识点3：组合数的性质 性质1：（，且） 性质2：（，且） 知识点诠释： 规定：． 知识点4：组合问题常见题型 （1）“含有”或“不含有”某些元素的组合题型： “含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取． （2）“至少”或“最多”含有几个元素的题型： 解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，但通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理． （3）分堆问题 ①平均分堆，其分法数为：． ②分堆但不平均，其分法数为． （4）定序问题． 对于某些元素的顺序固定的排列问题，可先全排，再除以定序元素的全排，或先在总位置中选出定序元素的位置而不参加排列，然后对其他元素进行排列． （5）相同元素分组问题用“隔板法” 题型一：组合概念的理解 【例1】给出下列问题： ①若集合求集合A的含有3个元素的子集的个数； ②求从甲、乙、丙三名同学中选两名同学参加两项不同的活动的选法种数； ③求从7本不同的书中选出5本给某一个同学的选法种数； ④求四个城市之间需要准备的飞机票的种数； ⑤把3本相同的书分给5个学生，求每人最多得1本的分法种数． 其中是组合问题的为（    ） A．①⑤ B．①② C．①③⑤ D．①③ 【变式1-1】（2026·高二·甘肃武威·期中）下列四个问题属于组合问题的是（   ） A．从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作 B．从0，1，2，3，4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数 C．从全班同学中选出3名同学参加某大学生运动会开幕式 D．从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员 【变式1-2】（2026·高二·陕西西安·期中）下列选项中，属于组合问题的是（    ） A．从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法 B．有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案 C．从3，5，7，9中任选两个数做指数运算，可以得到多少个幂 D．从1，2，3，4中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个不同的点 【变式1-3】（2026·高二·新疆乌鲁木齐·期中）下列四个问题属于组合问题的是（    ） A．从名志愿者中选出人分别参加导游和翻译的工作 B．从、、、这个数字中选取个不同的数字排成一个三位数 C．从全班同学中选出名同学参加学校运动会开幕式 D．从全班同学中选出名同学分别担任班长、副班长 题型二：简单的组合问题 【例2】判断下列问题是排列问题还是组合问题． (1)集合中含三个元素的子集的个数是多少？ (2)某小组有9位同学，从中选出正、副班长各一名，有多少种不同的选法？若从中选出2名代表参加一个会议，有多少种不同的选法？ 【变式2-1】现有30件分别标有编号的产品，且除了2件次品外，其余都是合格品，从中取出3件： (1)一共有多少种不同的取法？ (2)若取出的3件产品中恰有1件次品，则不同的抽法共有多少种？ (3)若取出的3件产品中至少要有1件次品，则不同的抽法共有多少种？ 【变式2-2】一个口袋里有7个不同的白球和1个红球，从中取5个球： (1)共有多少种不同的取法？ (2)如果不取红球，共有多少种不同的取法？ (3)如果必须取红球，共有多少种不同的取法？ 【变式2-3】（1）写出从，，，，五个元素中任取两个不同元素的所有组合； （2）写出从，，，，五个元素中任取两个不同元素的所有排列． 题型三：组合数公式的应用 【例3】（2026·高二·江西南昌·月考）（1）求的值； （2）解关于的不等式：. 【变式3-1】（2026·高二·黑龙江齐齐哈尔·月考）（1）求的值； （2）解不等式. 【变式3-2】（2026·高二·宁夏吴忠·期中）求值（用数字表示） (1) (2) (3)已知，求 【变式3-3】（2026·高二·全国·单元测试）规定，其中，m是正整数，且，这是组合数（n，m是正整数，且）的一种推广． (1)求的值； (2)组合数的两个性质：①，②是否都能推广到（，m是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明，若不能，则说明理由； (3)①已知，，求证：； ②已知组合数是正整数，证明：当，m是正整数时，． 题型四：组合数的性质 【例4】（2026·高二·江苏南通·月考）若，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式4-1】（2026·高二·河北·期末）若，则n的值为（    ） A．8 B．13或8 C．13 D．8或5 【变式4-2】（2026·高二·广西百色·期末）若，则（   ） A．5 B．6或5 C．7 D．7或8 【变式4-3】（2026·高二·广东深圳·期中）若，则（    ） A．28 B．56 C．112 D．120 题型五：多面手问题 【例5】（2026·高二·陕西西安·月考）有名演员，其中人会唱歌，人会跳舞，现要表演一个人唱歌人伴舞的节目，则不同的选派方法共有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【变式5-1】（2026·高二·海南省直辖县级单位·期中）有名歌舞演员，其中名会唱歌，名会跳舞，从中选出人，并指派一人唱歌，另一个跳舞，则不同的选派方法有  （ ） A．种 B．种 C．种 D．72种 【变式5-2】（2026·高二·广东·期中）“赛龙舟”是端午节重要的民俗活动之一，参加比赛的划手分为划左桨和划右桨.某训练小组有名划手、其中有名只会划左桨，名只会划右桨.现从这名划手中选派名参加比赛，其中名划左桨，名划右桨，则不同的选派方法共有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【变式5-3】（2026·高二·广东清远·期中）“赛龙舟”是端午节的习俗之一，也是端午节最重要的节日民俗活动之一，某单位龙舟队欲参加端午节龙舟赛，经过训练后，龙舟队的名队员在左、右桨位中至少会一个，其中有人会划左桨，人会划右桨．现要选派人划左桨、人划右桨共人去参加比赛，则不同的选派方法共有（    ） A．26种 B．31种 C．36种 D．37种 题型六：分组、分配问题 【例6】（2026·高二·山东·月考）某人计划到山东旅游，打算用连续5天时间游玩泰山、崂山、蓬莱阁3个景点，其中泰山、崂山2个景点分别安排连续的两天游玩，则不同的日程安排种数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式6-1】（2026·高二·辽宁·月考）某高校7名大学生到抚顺参观雷锋纪念馆、西露天矿坑、赫图阿拉城，若每名学生都要参观，且只参观一个地点，每个地点至少有2名学生参观的不同方案共有（   ） A．105种 B．210种 C．630种 D．1260种 【变式6-2】（2026·高二·贵州遵义·期末）某地区有3个学生社会实践服务点A，B，C．4名学生需在寒假完成社会实践，每个服务点至少有一名学生，则不同的社会实践安排共有（   ） A．72种 B．36种 C．24种 D．64种 【变式6-3】有编号为，，的三个盒子，将4个不同的小球全部放入盒子.若每个盒子中所放球的个数不大于其编号，则不同的放法共有（   ） A．26种 B．32种 C．38种 D．44种 题型七：与几何有关的组合应用题 【例7】（2026·高二·广东汕头·期末）以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是（   ） A．70 B．66 C．62 D．58 【变式7-1】（2026·高二·贵州贵阳·月考）正八边形的对角线的条数是（    ） A．16 B．20 C．28 D．40 【变式7-2】（2026·高二·广西河池·月考）从正六边形的个顶点及其中心共七个点中任意选取三个点，如果选出的三个点能构成三角形，则构成的三角形不是等边三角形的个数是（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（2026·高二·山西·期中）已知平面平面，平面内有共5个点，其中有且仅有三点共线，平面内有共4个点，任意三点不共线，则以这9个点为顶点的三棱锥最多有（    ） A．80个 B．86个 C．116个 D．136个 题型八：隔板法 【例8】（2026·高二·黑龙江佳木斯·月考）若方程，其中，则方程的自然数解的个数为 . 【变式8-1】方程共有 组正整数解，共有 组非负整数解． 【变式8-2】（2026·高二·天津南开·期中）把个相同的小球放入个不同的盒子中，每个盒子最多放个小球，则不同方法有 种（用数字作答）. 【变式8-3】（2026·高二·湖北·月考）各数位数字之和等于6（数字可以重复）的四位数个数为 （请用数字作答）． 题型九：分堆问题 【例9】将6个不同的球分别按如下方式来分，写出不同分法的种数． (1)平均分成3堆，每堆2个； (2)分给甲、乙、丙3人，每人2个； (3)分成3堆，每堆个数分别为1个、2个、3个： (4)分给甲1个、乙2个、丙3个； (5)分给3人，3人分别得到1个、2个、3个． 甲、乙、丙3人来拿，只有1种拿法，则共有种分法． （5）本题是不平均分组目归属不确定问题，先将球按照分成3堆， 有种分法，再分给3人，有种分法， 因此共有种分法. 【变式9-1】（2026·高二·吉林长春·月考）（1）将6本不同的书分成3堆，每堆2本，有多少种分法？ （2）将6本不同的书分成3堆，一堆4本，另两堆各1本，有多少种分法？ （3）将6本不同的书平均分给3人，每人2本，有多少种分法？ （4）将6本不同的书分给3人，1人1本，1人2本，1人3本，有多少种分法？ （5）将6本不同的书分给4人，每人至少1本，有多少种分法？ 【变式9-2】（2026·高二·新疆喀什·期中）（1）将6本不同的书分成3堆，一堆4本，另两堆各1本，有多少种分法？(均须以数字作答） （2）将6本不同的书平均分给3人，每人2本，有多少种分法？（均须以数字作答） （3）将6本不同的书分给4人，每人至少1本，有多少种分法？（均须以数字作答） 【变式9-3】6本不同的书平均分成3堆，每堆2本共有多少分法？ 1．（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·月考）现有5本不同的书《天工开物》、《梦溪笔谈》、《齐民要术》、《本草纲目》、《九章算术》，则下列说法正确的是（ ） A．将全部的书放到6个不同的抽屉里，一个抽屉可放多本书，有种不同的放法 B．将全部的书放在同一层书架上，要求《本草纲目》和《九章算术》相邻，有96种不同的放法 C．将五本书排成一排，则《天工开物》、《梦溪笔谈》按从左到右（可以不相邻）的顺序排列的不同的排法有120种 D．将书分给3位不同的学生，其中一人1本，一人2本，一人2本，有90种不同的分法 2．（25-26高二上·山东潍坊·月考）三元一次方程的正整数解的组数为（    ） A．21 B．28 C．35 D．42 3．（25-26高二上·江西·月考）现安排5名师范生到某高中（三年制）学校实习，每个年级至少安排1名，每名师范生都安排了实习，且只安排到一个年级实习，则所有的安排种数为（    ） A．138 B．240 C．300 D．150 4．（25-26高二上·河南驻马店·月考）子贡曰：“夫子温、良、恭、俭、让以得之”，“温、良、恭、俭、让”指五种品德：温和、善良、恭敬、节俭、谦让.现有印有“温、良、恭、俭、让”5个字的书签各2张，10张书签的颜色和图案互不相同.从10张书签中抽取4张分给4位同学，每人一张书签，恰有2位同学分到的书签上汉字相同的分配方案有（   ） A．120种 B．210种 C．1440种 D．2880种 5．（25-26高三上·河南·期中）某校园诗歌朗诵大赛共有5名同学进入决赛，决赛要求这5名同学均从《琵琶行》《蜀道难》《离骚》中选择1篇进行参赛，且这3篇诗歌中每篇均有同学选择，则这5名同学诗歌篇目的选择情况共有（    ） A．150种 B．240种 C．180种 D．120种 6．（多选题）（25-26高二上·山东·月考）李清照，齐州章丘（今山东省济南市章丘区）人，宋代女词人，婉约词派代表，有“千古第一才女”之称．现将李清照不同的9本诗集全部奖励给3名同学（每人至少会分到1本），则下列选项正确的有（   ） A．若刚好每人分到3本书，则有1680种不同的分法 B．若每人至少分到2本书，则有11508种不同的分法 C．若刚好有1人只分到1本书，则有6326种不同的分法 D．若每人至多分到4本书，则有13020种不同的分法 7．（多选题）（25-26高二上·广西·月考）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（多选题）（25-26高二上·广西桂林·月考）下列选项正确的有（   ） A． B． C． D． 9．（2025高二上·湖南·专题练习）在图所示的10块地中，选出6块种植这六个不同品种的蔬菜，每块地种植一种．若必须横向相邻种在一起，与在横向、纵向都不能相邻种在一起，则不同的种植方案有 种. 10．（25-26高二上·江西南昌·月考）设有编号为1，2，3，4的四个球和编号为1，2，3，4的四个盒子，现将这四个球放入这四个盒子内，要求每个盒子内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，则这样的投放方法的种数为 ． 11．（25-26高二上·河南驻马店·月考）从单词“”中选取5个不同的字母排成一排，含有“”（其中“”相连且顺序不变）的不同排列共有 种．（用数字作答） 12．（25-26高二上·上海·月考）从个男生和个女生（）中任选2个人当队长，假设事件表示选出的2人性别相同，事件表示选出的2人性别不同．如果事件的概率和事件的概率相等，则的可能值组成的集合为 ． 13．（25-26高二上·江西赣州·月考）某班级要从3名男生和2名女生中选取2位学生分别担任正､副班长，则至少有一名女生被选中的不同选法有 种. 14．（25-26高三上·云南昆明·期中）某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“中国数学史”、“古今数学思想”、“世界数学通史”、“几何原本”四门选修课程.要求数学系每位同学每学年至多选三门，大一到大三三个学年必须将这四门选修课程选修完、则每位同学的不同选修方式共有 种. 15．（25-26高二上·北京·月考）现有6本不同的书，分给甲乙丙三人.按以下要求，各有几种分法？（用数字作答） (1)甲得1本，乙得1本，丙得4本； (2)一人得1本，一人得1本，一人得4本； (3)平均分给甲､乙､丙三人； (4)一人得1本，一人2本，另外一人3本. 16．（25-26高二上·河南驻马店·月考）甲、乙、丙等6名同学利用周末到社区进行志愿服务. (1)6名同学站成一排，若甲、乙、丙必须相邻，则不同的排列方案有多少种? (2)6名同学站成一排，甲、乙两名同学之间恰有2人的不同排列方案有多少种? (3)6名同学平均分成三组，进行三项不同的社区服务，则不同的分配方案有多少种? 17．（25-26高二上·北京·月考）从男女共名志愿者中，选出人参加社会实践活动． (1)共有多少种不同的选择方法? (2)若要求选出的三人中既有男生又有女生，求共有多少种选择方法? (3)若要求选出的名志愿者中有男女，且他们分别从事经济、文化和民生方面的问卷调查工作，求共有多少种不同的选派方法? 18．（25-26高二上·辽宁·月考）（1）要把6本不同的课外书分给甲、乙、丙三名同学： （i）如果每人都得2本，则共有不同的分法多少种？ （ii）如果要求甲得1本，乙得2本，丙得3本，则共有不同的分法多少种？ （iii）如果要求一人得1本，一人得2本，一人得3本，则共有不同的分法多少种？ （2）要把6本不同的课外书分别装到三个相同的手提袋里： （i）如果一个袋子中1本，一个袋子中2本，一个袋子中3本，则共有不同的分法多少种？ （ii）如果每个袋子中都是2本，则共有不同的分法多少种？ （iii）如果每个袋子中至少1本，则共有不同的分法多少种？ （计算结果用数字作答） 19．（25-26高二上·江西九江·月考）修水一中文学社团共有学生9名，其中有5名男生和4名女生，现从中选出4人去参加全县辩论大赛．（列式表明计算过程，结果用数字表示） (1)如果4人中，男生甲当队长必须参加，那么有多少种选法？ (2)如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有多少种选法？ (3)辩论赛要求2男2女参加，坐成一排，且男生不相邻的，有多少种排座位方法？ 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $