第05讲 排列（10大题型）（寒假预习讲义）高二数学苏教版

第05讲 排列 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：排列的概念 1、排列的定义： 一般地，从n个不同的元素中取出m（）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． 知识点诠释： （1）排列的定义中包括两个基本内容，一是“取出元素”，二是“按照一定的顺序排列”． （2）从定义知，只有当元素完全相同，并且元素排列的顺序也完全相同时，才是同一个排列． （3）如何判断一个具体问题是不是排列问题，就要看从n个不同元素中取出m个元素后，再安排这m个元素时是有顺序还是无顺序，有顺序就是排列，无顺序就不是排列． 知识点2：排列数 1、排列数的定义 从个不同元素中，任取（）个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号表示． 知识点诠释： “排列”和“排列数”是两个不同的概念，一个排列是指“从个不同的元素中，任取个元素，按照一定的顺序排成一列”，它不是一个数，而是具体的一个排列（也就是具体的一件事）； 2、排列数公式 ，其中，且． 知识点诠释： 公式特征：第一个因数是，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个因数是，共有个因数． 知识点3：阶乘表示式 1、阶乘的概念： 把正整数1到的连乘积，叫做的阶乘．表示：，即!． 规定：． 2、排列数公式的阶乘式： 所以． 知识点4：排列的常见类型与处理方法 1、相邻元素捆绑法 2、相离问题插空法 3、元素分析法 4、位置分析法 题型一：排列的概念 【例1】（2025·高二·上海闵行·月考）下列选项中，不属于排列问题的是（    ） A．从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法 B．有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案 C．从3，5，7，9中任选两个数做指数运算，可以得到多少个幂 D．从中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个不同的点 【答案】B 【解析】A.选出3名学生后，哪位同学参加哪门竞赛需再排序，故属于排列问题，故A错误； B. 分组无顺序，故不属于排列问题，B正确； C. 如和是不同的，即哪个数作指数和底数是不同的，故属于排列问题，故C错误； D. 如和是不同的点，故属于排列问题，故D错误. 故选：B. 【变式1-1】下列问题是排列问题的是（    ） A．从8名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法 B．会场中有30个座位，任选3个安排3位客人入座，有多少种坐法 C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线 D．从1，2，3，4四个数字中，任选两个相乘，其结果共有多少种 【答案】B 【解析】对于A，8名同学中选取2名，不涉及顺序问题，不是排列问题，A错误； 对于B，“入座问题”，与顺序有关，是排列问题，B正确； 对于C，确定直线不涉及顺序问题，不是排列问题，C错误； 对于D，4个数字中任取2个，根据乘法交换律知，结果不涉及顺序问题，不是排列问题，D错误． 故选：B 【变式1-2】（2025·高二·陕西咸阳·期中）下列问题不属于排列问题的是（   ） A．从10个人中选2人分别去种树和扫地 B．从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队 C．从班上30名学生中选出6人，分别担任6科课代表 D．从1，2，3，4，5这五个数字中取出2个不同的数字组成一个两位数 【答案】B 【解析】对于A，从10个人中选2人分别去种树和扫地，因为工作内容不一样，故有顺序，属于排列问题，故A不满足题意； 对于B，从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队，没有顺序，所以不属于排列问题，故B满足题意； 对于C，从班上30名学生中选出6人，分别担任6科课代表，因为科目不相同，故有顺序，属于排列问题，故C不满足题意； 对于D，从1，2，3，4，5这五个数字中取出2个不同的数字组成一个两位数，数字所在位置有顺序，属于排列问题，故D不满足题意. 故选：B 【变式1-3】下列问题是排列问题的是（    ） A．从10名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法？ B．10个人互相通信一次，共写了多少封信？ C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？ D．从1，2，3，4四个数字中，任选两个相加，其结果共有多少种？ 【答案】B 【解析】选项A：从10名同学中选取2名去参加知识竞赛，选出的2人并未排序， 因而不是排列问题，不合题意； 选项B：10个人互相通信一次，选出2人要分出寄信人和收信人， 是排列问题，适合题意； 选项C：平面上有5个点，任意三点不共线，从中任选2个点 即可确定1条直线，这2个点不分顺序. 因而不是排列问题，不合题意； 选项D：从1，2，3，4四个数字中，任选两个数字相加即得1个结果， 这2个数字不分顺序，因而不是排列问题，不合题意. 故选：B． 题型二：画树形图写排列 【例2】写出从a、b、c、d四个元素中任取两个不同元素的所有排列． 【解析】先画出下面的树形图： 于是可知，所有的排列是ab、ac、ad、ba、bc、bd、ca、cb、cd、da、db、dc． 【变式2-1】求从A，B，C这3个对象中取出3个对象的所有排列的个数，并写出所有的排列. 【解析】所求排列数为. 所有的排列可用图所示. 由图可知，所有排列为，，，，，. 【变式2-2】（1）从四个数字中任取两个数字组成两位不同的数，一共可以组成多少个？ （2）写出从4个元素中任取3个元素的所有排列． 【解析】（1）由题意作“树形图”，如下． 故组成的所有两位数为，共有12个． （2）由题意作“树形图”，如下． 故所有的排列为：，. 【变式2-3】写出下列问题的所有排列： (1)从1，2，3，4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数？ (2)由1，2，3，4四个数字能组成多少个没有重复数字的四位数？试全部列出. 【解析】（1）所有两位数是12，21，13，31，14，41，23，32，24，42，34，43，共有12个不同的两位数. （2）画出树状图，如图： 由树状图知，所有的四位数为：1234，1243，1324，1342，1423，1432，2134，2143，2314，2341，2413，2431， 3124，3142，3214，3241，3412，3421，4123，4132，4213，4231，4312，4321，共24个没有重复数字的四位数. 题型三：简单的排列问题 【例3】请列出下列排列： (1)从4个不同元素中任取3个元素的所有排列； (2)从7个不同元素中任取2个元素的所有排列． 【解析】（1）根据题意，从4个不同元素中任取3个元素的所有排列共有如下种： . （2）从7个不同元素中任取2个元素的所有排列共有如下种： . 【变式3-1】写出从a、b、c、d、e这五个不同元素中任意取出两个元素的所有排列． 【解析】任意取出两个元素的所有排列为： . 【变式3-2】（1）从1，2，3，4这4个数字中，每次取出3不同的数字排成一个三位数，写出得到的所有三位数，并求出排列数； （2）试写出由1，2，3，4四个数字组成的没有重复数字的四位数，并求出排列数. 【解析】（1）所有的三位数为123，124，132，134，142，143，213，214，231，234，241，243，312，314，321，324，341，342，412，413，421，423，431，432，共24个三位数. 故排列数是. （2）所有的四位数为1234，1243，1324，1342，1423，1432，2134，2143，2314， 2341，2413，2431，3124，3142，3214，3241，3412，3421，4123，4132，4213，4231， 4312，4321，共24个四位数. 故排列数是. 【变式3-3】（1）写出从a，b，c，d这4个字母中，取出2个字母的所有排列； （2）写出从a，b，c，d这4个字母中，取出3个字母的所有排列． 【解析】（1）从4个字母中取出2个字母的排列有； （2）从4个字母中取出3个字母的排列有，； 题型四：排列数公式的应用 【例4】（2025·高二·江苏徐州·月考）求解下列问题： (1)计算：； (2)求证：. (3)解关于的不等式：； 【解析】（1）； （2），. （3）依题意，有，可得， 由，得，即， 整理得，解得，所以， 又，得，所以的解集为. 【变式4-1】（2025·高二·广东茂名·月考）计算： (1)； (2)； (3)若，求值. 【解析】（1） （2） （3）若，则 所以 解得或（舍），所以 【变式4-2】（2025·高二·江苏盐城·月考）（1）计算：； （2）解不等式：. 【解析】（1）. （2）因为，可知，且， 整理可得，解得， 且，所以或. 【变式4-3】（2025·高二·山东济宁·月考）（1）求值: （2）求不等式：的解集． 【解析】（1）； （2）因为，所以，化简可得，解得，所以不等式解集为． 题型五：阶乘的概念及性质 【例5】（2025·河北唐山·三模）定义双阶乘符号：当是自然数时，表示不超过且与有相同奇偶性的所有正整数的乘积，例如：，，则下列选项不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意知，故A正确； ，故B正确； ，故C正确； ，故D错误. 故选：D. 【变式5-1】对任意正整数n，定义n的双阶乘：当n为偶数时，；当n为奇数时，，则下列四个命题中错误的是（    ） A． B． C．的个位数字为0 D．的个位数字为5 【答案】B 【解析】由根据双阶乘的定义可得，， 所以，所以A正确； 由，所以B错误； 因为能被10整除， 所以的个位数字为0，所以C正确； 因为能被5整除，所以个位数字为5或0，又是奇数，所以的个位数字为5，故D正确． 故选：B． 【变式5-2】（2025·高二·上海浦东新·期中）对于任意正整数，定义“的双阶乘”如下：当是偶数时，；当是奇数时，；①；②；③的个位数是0；④的个位数是5.其中正确的命题的序号是 . 【答案】①②③④ 【解析】对于①， ，故正确； 对于②， ，故正确； 对于③，，其中含有10， 故个位数字为0，故正确； 对于④，， 其个位数字与的个位数字相同，故其个位数字为5，故正确. 故答案为：①②③④. 【变式5-3】（2025·高二·江苏盐城·月考）（1）证明：； （2）计算：.（计算结果用含阶乘的式子表示即可） 【解析】（1）证明：右边左边，得证. （2）∵， ∴原式 题型六：与排列数公式有关的证明问题 【例6】求证：． 【解析】． 【变式6-1】证明，并利用这一结果化简： (1)； (2)． 【解析】（1）证明：由可得， 则. 所以 （2）因为， 所以. 【变式6-2】证明，并用它来化简． 【解析】证明，即证. 【变式6-3】求证： 【解析】， ， ， 综上，. 题型七：相邻问题 【例7】（2025·高二·上海奉贤·期中）某学校为了丰富同学们的寒假生活，寒假期间给同学们安排了6场线上讲座，其中讲座只能安排在第一或最后一场，讲座和必须相邻，问不同的安排方法共有（    ） A．24种 B．48种 C．72种 D．96种 【答案】D 【解析】由题意知讲座只能安排在第一或最后一场，安排A有种排法， 因为讲座和必须相邻，所以安排BC及其余三场讲座共有种排法， 根据分步计数原理知共有种排法. 故选：D． 【变式7-1】（2025·高二·陕西汉中·月考）某学校在读书节活动中，甲，乙，丙3个班各有2名同学获奖，现将这6人站成一排拍照，其中甲班的2名同学相邻，且乙班的2名同学不相邻的站法种数共有（   ） A．24种 B．36种 C．72种 D．144种 【答案】D 【解析】第一步，将甲班的2人捆绑，连同丙班的2人作全排列，有种站法； 第二步，将乙班的2人插入前后4个空档，有种站法. 根据分步乘法计数原理，不同的站法共有种. 故选：D. 【变式7-2】（2025·高二·辽宁葫芦岛·月考）现有5个女生和10个男生要排成一排，要求女生都站在一起，则不同的排法数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】先把5名女生捆绑在一起，看成一个整体，内部有种排法， 再把这个整体与另外10名男生进行排列，有种排法， 所以不同的排法数为． 故选：B 【变式7-3】（2025·高二·广西桂林·月考）若将5名男生和3名女生排成一排，则3名女生相邻的不同排法种数为（   ） A．4680 B．4320 C．3640 D．3860 【答案】B 【解析】将3名女生看成一个整体，再和5名男生进行全排，有种排法， 因为3名女生内部顺序可以调整，所以共有种不同的排法. 故选：B 题型八：不相邻问题 【例8】（2025·高二·广西·月考）某小组的成员由四位男生和三位女生组成，七位同学要站成一排照相，要求任意两男生及任意两女生均不能相邻的站法总数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】先排好3位女生，有种排法，此时产生4个空位，再将4位男生排入这4个空位，有种排法， 根据分步乘法计数原理，共有种站法. 故选：D. 【变式8-1】（2025·高三·湖南·月考）某学校在读书节活动中，甲，乙，丙3个班各有2名同学获奖，现将这6人站成一排拍照，其中甲班的2名同学相邻，且乙班的2名同学不相邻的站法种数共有（   ） A．36种 B．72种 C．144种 D．288种 【答案】C 【解析】第一步，将甲班的2人捆绑，连同丙班的2人作全排列，有种站法； 第二步，将乙班的2人插入前后4个空档，有种站法. 根据分步乘法计数原理，不同的站法共有种. 故选：C 【变式8-2】（2025·高二·贵州遵义·月考）某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”“雨水”“惊蛰”“春分”“清明”“谷雨”六张知识展板放置在六个并列的文化橱窗里，要求“立春”和“春分”两块展板相邻，且“清明”和“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式种数为（   ） A．24 B．48 C．144 D．240 【答案】C 【解析】将“立春”和“春分”两块展板捆绑成一个整体，有种放置方法， 捆绑后的“立春”和“春分”整体与“雨水”，“谷雨”进行全排列，共有种方法， 再将“清明”和“惊蛰”进行插空，4个空选择2个，共有种方法， 综上，共有种放置方式. 故选：C 【变式8-3】（2025·高二·江苏无锡·月考）五种不同商品在货架上排成一排，而C，D两种不能连排，则不同的排法共有（   ）种． A．24 B．72 C．36 D．42 【答案】B 【解析】先安排除了C，D两种外的三种商品，共有种方法，并形成4个空， 再把C，D安排到形成的4个空中，有种方法， 所以共有种排法. 故选：B 题型九：定序问题 【例9】（2025·高二·重庆九龙坡·月考）重庆外国语学校第34届外语节于2025年5月22日举行，高二某班6名同学参加节目表演，表演完后老师为这6名同学合影留念.合影时4人先到2人后到，为节约时间，先到的4人排好队，后来的2人加入并保持排好队同学的相对顺序不变，这两名同学共有多少种加入方法（   ） A．10 B．20 C．60 D．30 【答案】D 【解析】6人全排有中排序方法， 所以先到的4人相对顺序不变下两名同学共有种加入方法. 故选：D 【变式9-1】（2025·高二·山东菏泽·月考）某5位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，如果保持原来5位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为（   ） A．21 B．30 C．42 D．60 【答案】C 【解析】7位同学排成一排准备照相时，共有种排法， 如果保持原来5位同学的相对顺序不变，则有种排法. 故选：C 【变式9-2】（2025·高二·全国·单元测试）小明参加“江南六地游”旅行，其中，，三地游览的先后顺序一定（游，，三地的顺序可以相邻也可以不相邻），则小明“江南六地游”旅行的不同的出游方法有（   ） A．120种 B．180种 C．240种 D．480种 【答案】A 【解析】由题意，小明参加“江南六地游”旅行，共有种，，，三地游览的顺序有种， 所以，，三地游览的先后顺序一定，小明“江南六地游”旅行共有种不同的出游方法． 故选：A. 【变式9-3】（2025·高二·广东揭阳·月考）某道菜的制作需要用到鸡汤、鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉共七种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅，则制作这道菜时不同的下锅顺序共有（    ） A．12种 B．16种 C．24种 D．28种 【答案】A 【解析】因为鸡汤最后下锅，所以将鸡脯肉、（香菇、新笋、豆腐干）、果干、茄子净肉四个元素进行全排列. 因为结果包含两种情况：茄子净肉在鸡脯肉前下锅、茄子净肉在鸡脯肉后下锅， 所以茄子净肉在鸡脯肉后下锅的情况有种. 故选：A. 题型十：间接法 【例10】（2025·高二·山东聊城·期末）某演出有3个舞蹈、2个歌曲、1个语言类共6个节目，要求语言类节目不能第一个出场，歌曲类节目不能相邻出场，则不同的出场方式共有（    ） A．480种 B．444种 C．408种 D．360种 【答案】C 【解析】依题意，因语言类节目不能第一个出场，可以考虑间接法： 即先将1个语言类与3个舞蹈节目全排，再将2个歌曲节目在留下的5个空中插空，有种方法， 减去这个语言类节目排在第一个出场时的方法数，即先将3个舞蹈节目全排，再将2个歌曲节目在除去第一个节目前的空留下的4个空中插空， 有种方法，故不同的出场方式共有种. 故选：C. 【变式10-1】（2025·高二·陕西咸阳·期末）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，乙和丙不相邻．则不同排列方式共有（    ） A．12种 B．24种 C．48种 D．72种 【答案】C 【解析】先考虑甲的站位，可选中间3个位置，不考虑乙和丙位置相邻不相邻， 此时共有种排列方式； 然后考虑其中乙和丙位置相邻的情况，即将乙和丙看作一个元素，和丁、戊全排列， 在这3个元素之间形成的两个位置上选一个将甲插入， 此时共有种排列方式； 故符合题意的不同排列方式共有（种）， 故选：C 【变式10-2】（2025·高二·湖北恩施·期末）某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出二十四节气宣传橱窗，其中“雨水”，“惊蛰”，“谷雨”，“芒种”，“白露”，“寒露”6块知识展板放置在排成一排的六个文化橱窗里，要求“雨水”和“谷雨”两块展板不相邻，且“白露”与“寒露”两块展板不相邻，则不同放置方式的种数为（   ） A．144 B．240 C．336 D．456 【答案】C 【解析】根据题意，第一步，让“雨水”和“谷雨”不相邻，不同放置方式种数为； 第二步，让“雨水和“谷雨”不相邻且“白露和“寒露”相邻，不同放置方式种数为； 所以不同放置方式种数为. 故选：C. 【变式10-3】（2025·高二·四川广元·期末）2025年4月23日是第三十个世界读书日．将2，0，2，5，4，2，3这些数字排成一排组成一个七位数，则不同的七位数有（   ）个． A．480 B．600 C．720 D．840 【答案】C 【解析】数字：2，0，2，5，4，2，3中数字2出现了3次，则7个数字的所有排列情况有种， 当首位为0时，剩下6个数字：2，2，5，4，2，3出现了3次，排列的情况有种， 所以不同的7位数有个. 故选：C. 1．（25-26高三上·河北·期中）某市为弘扬科学精神，激励青少年投身科技事业，特别策划了一场“致敬科技先锋”的主题活动.活动期间，需将A，B，C，D，E五位功勋人物的画像自左至右排成一行展示，且要求A与B的画像不相邻，E的画像只能排在两端，则满足条件的排法种数为（    ） A．16 B．20 C．24 D．26 【答案】C 【解析】因为A与B的画像不相邻，所以先排再插空排有种排法， 又因为E的画像只能排在两端，则满足条件的排法种数为种排法. 故选：C. 2．（2025·广西柳州·一模）甲、乙等5人站成一排，若甲和乙之间恰好有2人，且甲不在两端，则不同排法共有（   ） A．8种 B．12种 C．16种 D．20种 【答案】B 【解析】从左向右看，若甲和乙之间恰好有2人，且甲不在两端，有两种情况： 乙站第一个位置，甲站第四个位置，有种， 甲站第二个位置，乙站第五个位置，有种， 共有种， 故选：B 3．（25-26高二·全国·假期作业）五人并排站成一行，如果必须相邻且在的右边，那么不同的排法种数是（   ） A．6 B．24 C．48 D．120 【答案】B 【解析】由于、必须相邻且在的右边，则可将、看成一个整体， 因此题设相当于4人并排站成一行，则不同的排法种数有种. 故选：B. 4．（25-26高二上·江西赣州·月考）甲、乙、丙三人各自计划暑假去重庆旅游，他们都从武隆天生三桥、长江索道、重庆动物园、白帝城这4个景区中任选一个，若甲不去重庆动物园，且甲、乙、丙三人去的景区互不相同，则这三人的不同选择方法共有 . 【答案】18种 【解析】因为甲不去重庆动物园，所以甲有三种不同的去处， 又因为甲、乙、丙三人去的景区互不相同， 所以这三人的不同选择方法共有. 故答案为：18. 5．（25-26高二上·安徽安庆·月考）用1、2、3三个数字的全体或部分构造四位数，但不允许有两个1相邻出现，则这样的四位数有 个．（用数字作答） 【答案】60 【解析】若四位数中没有1，共有个， 若四位数中有1个1，共有个， 若四位数中有2个1，则这两个1不能相邻，有种放置方法， 其余两位各有2种选择（2或3），故共有个. 因此共有60个． 故答案为：60． 6．（25-26高二上·陕西渭南·期中）有4名护士和2名医生站在一排，两名医生相邻，则不同的排法总数为 ． 【答案】 【解析】将2名医生看成一个整体，和4名护士站成一排有， 两名医生内部有种站法， 所以两名医生相邻，不同的排法总数为， 故答案为： 7．（25-26高二上·辽宁·月考）用分别写有数字“0”、“1”、“2”、“3”、“4”、“4”的六张卡片可以组成 个六位整数．（用数字作答） 【答案】300 【解析】分两类： 第一类首位从“1”、“2”、“3”中取，有种取法，其余5张卡片有种排法，但有2张“4”， 所以能得到不同的6位整数共有个； 第二类，首位取“4”，其余位置5张卡片全排列，共有个6位整数， 根据分类加法计数原理，共有个六位整数. 故答案为：300 8．（2025·浙江台州·一模）甲､乙､丙､丁､戊､己共6人站成一排，若甲､乙两人相邻，而乙､丙两人不相邻，则不同的排法种数共有 .（用数字作答） 【答案】192 【解析】先将甲、乙两人看成一个整体，则这个整体内部有种排列方式， 此时相当于有5个元素进行排列，所以甲乙相邻的总排列数为种. 若甲乙相邻且乙丙也相邻，则三人必须以（甲，乙，丙）或（丙，乙，甲）的顺序站在一起. 将这三个人视为一个整体，其内部有2种排法，再将此整体与其余3人进行全排列， 故甲乙相邻且乙丙也相邻的排法有种, 所以甲乙相邻，而乙丙不相邻的排法种数有. 故答案为：192. 9．（25-26高二上·上海·期中）人并排站成一行，如果甲、乙两人必须不相邻，那么不同的排法种数是 ． 【答案】 【解析】根据题意，分步进行分析： ①把甲、乙之外的其他三人全排列，有种排法， ②三人排好后，有个空位，将甲乙安排到空位中，有种排法， 故甲乙不相邻的安排方法有种. 故答案为：. 10．（24-25高二下·四川泸州·月考）三个人坐在一排5个座位上，空位相邻的坐法有 种．（用数字作答） 【答案】 【解析】将两个空位视为一个整体与三个人排列，又两个空位没有区别，故共有种排法. 故答案为：. 11．（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·月考）某高中学校经过推荐和选拔，挑选6名同学（4名男生、2名女生）参加奥林匹克生物竞赛，并进行合影留念．若女生必须相邻，则有 种不同的排法．（用数字作答） 【答案】240 【解析】根据题意，分2步进行， 先将2名女生排在一起，看成一个元素，考虑其顺序，有种情况， 再将其与其他4名男生全排列，有种情况， 则其不同的排列方法为种， 故答案为：240． 12．（25-26高三上·江苏南京·月考）某市抽调5位老师分赴3所山区学校支教，要求每位老师只能去一所学校，每所学校至少安排一位老师.由于工作需要，甲、乙两位老师必须安排在不同的学校，则不同的分派方法的种数是 . 【答案】 【解析】设学校为，先把甲、乙两位老师安排到不同学校，有种， 不妨设甲在，乙在，只需剩余3人至少有1人去即可， 利用间接法计算，有种不同安排方法， 根据分步乘法计数原理可知，共有种不同安排方法. 故答案为：. 13．（24-25高二下·广东中山·月考）从数字0，1，2，3，4，5中任取四个数字，组成没有重复数字的四位偶数，其个数为 【答案】156 【解析】若个位数字为0，则其余数位上的数字可从其余5个数字里任选3个排列， 此时符合题意的偶数有（个）； 若个位数字为2或4，首位不能为0，则符合题意的偶数有（个）； 故符合题意的四位偶数共有（个）， 故答案为：156. 14．（24-25高二下·江苏南通·月考）现有五人站成一排，则相邻且不相邻的排法种数共有 种． 【答案】24 【解析】根据题意，将，看成一个整体，，的排列方法有种方法， 然后将这个整体与进行全排列，即不同的排列方式有， 最后将，插入到三个空中的两个中，有种方法， 根据分步计数原理可知排法种数为， 故答案为：24. 15．（25-26高二上·陕西汉中·月考）某次文艺晚会上计划演出7个节目，其中2个歌曲节目，3个舞蹈节目，2个小品节目，需要制作节目单： (1)唱歌节目排在两头，有多少种排法？ (2)唱歌节目相邻，舞蹈节目相邻，两个小品节目不相邻，有多少种排法？ (3)三个舞蹈节目出场顺序固定，有多少种排法？ 【解析】（1）2个唱歌节目排在两头，先排两头的唱歌节目，有种，再排中间的5个节目，有种， 则唱歌节目排在两头，有种排法； （2）2个唱歌节目全排列，排法有种，将这2个唱歌节目看成一个整体， 3个舞蹈节目全排列，排法有种，将这3个舞蹈节目看成一个整体， 把这两个整体进行全排列，排法有种，此时这两个整体的全排列，形成3个空， 将2个小品节目插入这3个空中，排法有种， 则唱歌节目，舞蹈节目相邻，两个小品节目不相邻， 有种； （3）7个节目进行全排列，排法有种，3个舞蹈节目出场顺序固定，则不同的排法有种. 16．（25-26高二上·河南·月考）（1）从5本不同的书中选出3本送给3位同学，每人1本，有多少种不同的送法？ （2）已知集合，，从集合A中选1个元素作为，从集合B中选1个元素作为，可以组成多少个椭圆？ （3）现有甲、乙、丙、丁四位志愿者被安排到A，B，C，D四个社区做活动，每人去1个社区，每个社区都有志愿者．由于距离限制，甲不去B社区，乙不去C社区，共有多少种不同的安排方案？ 【解析】（1）由题意得，不同的送法有种； （2）因为在椭圆C中，， 所以当时，可以是5，7，9，10，有4种选择； 当时，可以是5，7，9，有3种选择； 当时，可以是5，7，有2种选择； 由分类加法计数原理，可以组成个椭圆C ； （3）①若甲去C社区，则剩余3人去3个社区，有种不同的安排方案； ②若甲不去C社区，则安排甲，有2种不同的方案， 再安排乙，有2种不同的方案，丙、丁去剩下的2个社区，有种不同的方案， 由分步乘法计数原理，得有种不同的方案， 由分类加法计数原理，得不同的安排方案有种. 17．（25-26高二上·上海·月考）班级迎新晚会有3个唱歌节目、2个相声节目和1个魔术节目，要求排出一个节目单； (1)2个相声节目要排在一起，有多少种排法？ (2)魔术节目不排在最后一个节目，有多少种排法？ 【解析】（1）2个相声节目捆绑在一起，内部排列，再与其他4个节目一起排列， 则共有种排法； （2）先排魔术节目，由于不排在最后一个，则共有5种排法， 再排另外5个节目，5个位置，则有种排法， 则共有种排法. 18．（25-26高二上·江西景德镇·月考）为丰富广大人民群众文化生活，增强群众文化获得感、幸福感，某省开展群众美术主题创作展.若此次展览中打算安排国画、油画、水彩画、插画、漫画、素描画六件艺术作品的展出顺序. (1)若要求第一件展出的艺术作品不能是国画，则共有多少种不同的安排方案？ (2)若要求油画和插画的展出顺序相邻，则共有多少种不同的安排方案？ 【解析】（1）将六件艺术作品展出，则展出顺序共有种， 若第一件展出的艺术作品是国画，则展出顺序共有种， 则第一件展出的艺术作品不是国画，共有种不同的安排方案； （2）因油画和插画的展出顺序相邻，则将其捆绑为一个整体，再将其与剩下的四件艺术作品一起排序，共有种不同的安排方案. 19．（24-25高二下·湖北孝感·月考）用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字的五位数． (1)比20000大的五位偶数共有多少个； (2)从小到大排列所有的五位数，问35214是第几位？ (3)能被6整除的五位数有多少个． 【解析】（1）根据题意，符合题意的五位数的首位只能是2，3，4，5，共4种可能， 末位数字必须是0、2或4； 当首位是2时，末位是4或0，有种结果，当首位是4时，同样有48种结果， 当首位是3或5时，末位数字必须是0、2或4，共有种结果， 综上，可知共有种结果，即比20000大的五位偶数有个； （2）根据题意，当五位数首位数字为1、2时，有个数， 当首位数字为3，第2位数字为0、1、2、4时，有个数， 当首位数字为3，第2位数字为，第3位数字为0、1时，有个数， 当首位数字为3，第2位数字为5，第3位数字为2，十位数字为0时，有2个数， 当首位数字为3，第2位数字为5，第3位数字为2，十位数字为1时，比35214小的还有35210，1个数； 则比35214小的五位数有个，故35214是第位； （3）根据题意，被6整除的数必须是既能被2整除，也能被3整除， 若能被3整除，则各位数字之和必须能被3整除，有2种情况， ①当五个数字由、、、、组成时，其末位数字为、，有个， ②当五个数字由、、、、组成时，首位数字为或时，末位有种选择，共有个， 首位数字为或时，末位有种选择，共有个，此时共有个， 则被整除的五位数有个． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 排列 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：排列的概念 1、排列的定义： 一般地，从n个不同的元素中取出m（）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． 知识点诠释： （1）排列的定义中包括两个基本内容，一是“取出元素”，二是“按照一定的顺序排列”． （2）从定义知，只有当元素完全相同，并且元素排列的顺序也完全相同时，才是同一个排列． （3）如何判断一个具体问题是不是排列问题，就要看从n个不同元素中取出m个元素后，再安排这m个元素时是有顺序还是无顺序，有顺序就是排列，无顺序就不是排列． 知识点2：排列数 1、排列数的定义 从个不同元素中，任取（）个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号表示． 知识点诠释： “排列”和“排列数”是两个不同的概念，一个排列是指“从个不同的元素中，任取个元素，按照一定的顺序排成一列”，它不是一个数，而是具体的一个排列（也就是具体的一件事）； 2、排列数公式 ，其中，且． 知识点诠释： 公式特征：第一个因数是，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个因数是，共有个因数． 知识点3：阶乘表示式 1、阶乘的概念： 把正整数1到的连乘积，叫做的阶乘．表示：，即!． 规定：． 2、排列数公式的阶乘式： 所以． 知识点4：排列的常见类型与处理方法 1、相邻元素捆绑法 2、相离问题插空法 3、元素分析法 4、位置分析法 题型一：排列的概念 【例1】（2025·高二·上海闵行·月考）下列选项中，不属于排列问题的是（    ） A．从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法 B．有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案 C．从3，5，7，9中任选两个数做指数运算，可以得到多少个幂 D．从中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个不同的点 【变式1-1】下列问题是排列问题的是（    ） A．从8名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法 B．会场中有30个座位，任选3个安排3位客人入座，有多少种坐法 C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线 D．从1，2，3，4四个数字中，任选两个相乘，其结果共有多少种 【变式1-2】（2025·高二·陕西咸阳·期中）下列问题不属于排列问题的是（   ） A．从10个人中选2人分别去种树和扫地 B．从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队 C．从班上30名学生中选出6人，分别担任6科课代表 D．从1，2，3，4，5这五个数字中取出2个不同的数字组成一个两位数 【变式1-3】下列问题是排列问题的是（    ） A．从10名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法？ B．10个人互相通信一次，共写了多少封信？ C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？ D．从1，2，3，4四个数字中，任选两个相加，其结果共有多少种？ 题型二：画树形图写排列 【例2】写出从a、b、c、d四个元素中任取两个不同元素的所有排列． 【变式2-1】求从A，B，C这3个对象中取出3个对象的所有排列的个数，并写出所有的排列. 【变式2-2】（1）从四个数字中任取两个数字组成两位不同的数，一共可以组成多少个？ （2）写出从4个元素中任取3个元素的所有排列． 【变式2-3】写出下列问题的所有排列： (1)从1，2，3，4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数？ (2)由1，2，3，4四个数字能组成多少个没有重复数字的四位数？试全部列出. 题型三：简单的排列问题 【例3】请列出下列排列： (1)从4个不同元素中任取3个元素的所有排列； (2)从7个不同元素中任取2个元素的所有排列． 【变式3-1】写出从a、b、c、d、e这五个不同元素中任意取出两个元素的所有排列． 【变式3-2】（1）从1，2，3，4这4个数字中，每次取出3不同的数字排成一个三位数，写出得到的所有三位数，并求出排列数； （2）试写出由1，2，3，4四个数字组成的没有重复数字的四位数，并求出排列数. 【变式3-3】（1）写出从a，b，c，d这4个字母中，取出2个字母的所有排列； （2）写出从a，b，c，d这4个字母中，取出3个字母的所有排列． 题型四：排列数公式的应用 【例4】（2025·高二·江苏徐州·月考）求解下列问题： (1)计算：； (2)求证：. (3)解关于的不等式：； 【变式4-1】（2025·高二·广东茂名·月考）计算： (1)； (2)； (3)若，求值. 【变式4-2】（2025·高二·江苏盐城·月考）（1）计算：； （2）解不等式：. 【变式4-3】（2025·高二·山东济宁·月考）（1）求值: （2）求不等式：的解集． 题型五：阶乘的概念及性质 【例5】（2025·河北唐山·三模）定义双阶乘符号：当是自然数时，表示不超过且与有相同奇偶性的所有正整数的乘积，例如：，，则下列选项不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】对任意正整数n，定义n的双阶乘：当n为偶数时，；当n为奇数时，，则下列四个命题中错误的是（    ） A． B． C．的个位数字为0 D．的个位数字为5 【变式5-2】（2025·高二·上海浦东新·期中）对于任意正整数，定义“的双阶乘”如下：当是偶数时，；当是奇数时，；①；②；③的个位数是0；④的个位数是5.其中正确的命题的序号是 . 【变式5-3】（2025·高二·江苏盐城·月考）（1）证明：； （2）计算：.（计算结果用含阶乘的式子表示即可） 题型六：与排列数公式有关的证明问题 【例6】求证：． 【变式6-1】证明，并利用这一结果化简： (1)； (2)． 【变式6-2】证明，并用它来化简． 【变式6-3】求证： 题型七：相邻问题 【例7】（2025·高二·上海奉贤·期中）某学校为了丰富同学们的寒假生活，寒假期间给同学们安排了6场线上讲座，其中讲座只能安排在第一或最后一场，讲座和必须相邻，问不同的安排方法共有（    ） A．24种 B．48种 C．72种 D．96种 【变式7-1】（2025·高二·陕西汉中·月考）某学校在读书节活动中，甲，乙，丙3个班各有2名同学获奖，现将这6人站成一排拍照，其中甲班的2名同学相邻，且乙班的2名同学不相邻的站法种数共有（   ） A．24种 B．36种 C．72种 D．144种 【变式7-2】（2025·高二·辽宁葫芦岛·月考）现有5个女生和10个男生要排成一排，要求女生都站在一起，则不同的排法数为（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】（2025·高二·广西桂林·月考）若将5名男生和3名女生排成一排，则3名女生相邻的不同排法种数为（   ） A．4680 B．4320 C．3640 D．3860 题型八：不相邻问题 【例8】（2025·高二·广西·月考）某小组的成员由四位男生和三位女生组成，七位同学要站成一排照相，要求任意两男生及任意两女生均不能相邻的站法总数是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（2025·高三·湖南·月考）某学校在读书节活动中，甲，乙，丙3个班各有2名同学获奖，现将这6人站成一排拍照，其中甲班的2名同学相邻，且乙班的2名同学不相邻的站法种数共有（   ） A．36种 B．72种 C．144种 D．288种 【变式8-2】（2025·高二·贵州遵义·月考）某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”“雨水”“惊蛰”“春分”“清明”“谷雨”六张知识展板放置在六个并列的文化橱窗里，要求“立春”和“春分”两块展板相邻，且“清明”和“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式种数为（   ） A．24 B．48 C．144 D．240 【变式8-3】（2025·高二·江苏无锡·月考）五种不同商品在货架上排成一排，而C，D两种不能连排，则不同的排法共有（   ）种． A．24 B．72 C．36 D．42 题型九：定序问题 【例9】（2025·高二·重庆九龙坡·月考）重庆外国语学校第34届外语节于2025年5月22日举行，高二某班6名同学参加节目表演，表演完后老师为这6名同学合影留念.合影时4人先到2人后到，为节约时间，先到的4人排好队，后来的2人加入并保持排好队同学的相对顺序不变，这两名同学共有多少种加入方法（   ） A．10 B．20 C．60 D．30 【变式9-1】（2025·高二·山东菏泽·月考）某5位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，如果保持原来5位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为（   ） A．21 B．30 C．42 D．60 【变式9-2】（2025·高二·全国·单元测试）小明参加“江南六地游”旅行，其中，，三地游览的先后顺序一定（游，，三地的顺序可以相邻也可以不相邻），则小明“江南六地游”旅行的不同的出游方法有（   ） A．120种 B．180种 C．240种 D．480种 【变式9-3】（2025·高二·广东揭阳·月考）某道菜的制作需要用到鸡汤、鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉共七种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅，则制作这道菜时不同的下锅顺序共有（    ） A．12种 B．16种 C．24种 D．28种 题型十：间接法 【例10】（2025·高二·山东聊城·期末）某演出有3个舞蹈、2个歌曲、1个语言类共6个节目，要求语言类节目不能第一个出场，歌曲类节目不能相邻出场，则不同的出场方式共有（    ） A．480种 B．444种 C．408种 D．360种 【变式10-1】（2025·高二·陕西咸阳·期末）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，乙和丙不相邻．则不同排列方式共有（    ） A．12种 B．24种 C．48种 D．72种 【变式10-2】（2025·高二·湖北恩施·期末）某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出二十四节气宣传橱窗，其中“雨水”，“惊蛰”，“谷雨”，“芒种”，“白露”，“寒露”6块知识展板放置在排成一排的六个文化橱窗里，要求“雨水”和“谷雨”两块展板不相邻，且“白露”与“寒露”两块展板不相邻，则不同放置方式的种数为（   ） A．144 B．240 C．336 D．456 【变式10-3】（2025·高二·四川广元·期末）2025年4月23日是第三十个世界读书日．将2，0，2，5，4，2，3这些数字排成一排组成一个七位数，则不同的七位数有（   ）个． A．480 B．600 C．720 D．840 1．（25-26高三上·河北·期中）某市为弘扬科学精神，激励青少年投身科技事业，特别策划了一场“致敬科技先锋”的主题活动.活动期间，需将A，B，C，D，E五位功勋人物的画像自左至右排成一行展示，且要求A与B的画像不相邻，E的画像只能排在两端，则满足条件的排法种数为（    ） A．16 B．20 C．24 D．26 2．（2025·广西柳州·一模）甲、乙等5人站成一排，若甲和乙之间恰好有2人，且甲不在两端，则不同排法共有（   ） A．8种 B．12种 C．16种 D．20种 3．（25-26高二·全国·假期作业）五人并排站成一行，如果必须相邻且在的右边，那么不同的排法种数是（   ） A．6 B．24 C．48 D．120 4．（25-26高二上·江西赣州·月考）甲、乙、丙三人各自计划暑假去重庆旅游，他们都从武隆天生三桥、长江索道、重庆动物园、白帝城这4个景区中任选一个，若甲不去重庆动物园，且甲、乙、丙三人去的景区互不相同，则这三人的不同选择方法共有 . 5．（25-26高二上·安徽安庆·月考）用1、2、3三个数字的全体或部分构造四位数，但不允许有两个1相邻出现，则这样的四位数有 个．（用数字作答） 6．（25-26高二上·陕西渭南·期中）有4名护士和2名医生站在一排，两名医生相邻，则不同的排法总数为 ． 7．（25-26高二上·辽宁·月考）用分别写有数字“0”、“1”、“2”、“3”、“4”、“4”的六张卡片可以组成 个六位整数．（用数字作答） 8．（2025·浙江台州·一模）甲､乙､丙､丁､戊､己共6人站成一排，若甲､乙两人相邻，而乙､丙两人不相邻，则不同的排法种数共有 .（用数字作答） 9．（25-26高二上·上海·期中）人并排站成一行，如果甲、乙两人必须不相邻，那么不同的排法种数是 ． 10．（24-25高二下·四川泸州·月考）三个人坐在一排5个座位上，空位相邻的坐法有 种．（用数字作答） 11．（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·月考）某高中学校经过推荐和选拔，挑选6名同学（4名男生、2名女生）参加奥林匹克生物竞赛，并进行合影留念．若女生必须相邻，则有 种不同的排法．（用数字作答） 12．（25-26高三上·江苏南京·月考）某市抽调5位老师分赴3所山区学校支教，要求每位老师只能去一所学校，每所学校至少安排一位老师.由于工作需要，甲、乙两位老师必须安排在不同的学校，则不同的分派方法的种数是 . 13．（24-25高二下·广东中山·月考）从数字0，1，2，3，4，5中任取四个数字，组成没有重复数字的四位偶数，其个数为 14．（24-25高二下·江苏南通·月考）现有五人站成一排，则相邻且不相邻的排法种数共有 种． 15．（25-26高二上·陕西汉中·月考）某次文艺晚会上计划演出7个节目，其中2个歌曲节目，3个舞蹈节目，2个小品节目，需要制作节目单： (1)唱歌节目排在两头，有多少种排法？ (2)唱歌节目相邻，舞蹈节目相邻，两个小品节目不相邻，有多少种排法？ (3)三个舞蹈节目出场顺序固定，有多少种排法？ 16．（25-26高二上·河南·月考）（1）从5本不同的书中选出3本送给3位同学，每人1本，有多少种不同的送法？ （2）已知集合，，从集合A中选1个元素作为，从集合B中选1个元素作为，可以组成多少个椭圆？ （3）现有甲、乙、丙、丁四位志愿者被安排到A，B，C，D四个社区做活动，每人去1个社区，每个社区都有志愿者．由于距离限制，甲不去B社区，乙不去C社区，共有多少种不同的安排方案？ 17．（25-26高二上·上海·月考）班级迎新晚会有3个唱歌节目、2个相声节目和1个魔术节目，要求排出一个节目单； (1)2个相声节目要排在一起，有多少种排法？ (2)魔术节目不排在最后一个节目，有多少种排法？ 18．（25-26高二上·江西景德镇·月考）为丰富广大人民群众文化生活，增强群众文化获得感、幸福感，某省开展群众美术主题创作展.若此次展览中打算安排国画、油画、水彩画、插画、漫画、素描画六件艺术作品的展出顺序. (1)若要求第一件展出的艺术作品不能是国画，则共有多少种不同的安排方案？ (2)若要求油画和插画的展出顺序相邻，则共有多少种不同的安排方案？ 19．（24-25高二下·湖北孝感·月考）用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字的五位数． (1)比20000大的五位偶数共有多少个； (2)从小到大排列所有的五位数，问35214是第几位？ (3)能被6整除的五位数有多少个． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $