预习第07讲 二项式定理9种常见考法归类-【寒假自学课】2025年高二数学寒假提升精品讲义（苏教版2019）

预习第07讲 二项式定理9种常见考法归类 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.理解二项式定理的相关概念. 2.掌握二项式定理的特征及其展开式的通项公式. 3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题． 知识点01 二项式定理 1．二项式定理： ， 2．基本概念： ①二项式展开式：右边的多项式叫做的二项展开式。 ②二项式系数:展开式中各项的系数. ③项数：共项，是关于与的齐次多项式 ④通项：展开式中的第项叫做二项式展开式的通项。用表示。 3．注意关键点： ①项数：展开式中总共有项。 ②顺序：注意正确选择,,其顺序不能更改。与是不同的。 ③指数：的指数从逐项减到，是降幂排列。的指数从逐项减到，是升幂排列。各项的次数和等于. ④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是项的系数是与的 系数（包括二项式系数）。 4．常用的结论： 令 令 知识点02 二顶式系数及其性质 ①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即，··· ②二项式系数和：令,则二项式系数的和为， 变形式 ③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和 ④奇数项的系数和与偶数项的系数和： ⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数是偶数时，则中间一项的二项式系数取得最大值。 如果二项式的幂指数是奇数时，则中间两项的二项式系数,同时取得最大值。 考点一：二项式定理的正用和逆用 例1．用二项式定理展开下列各式： (1)； (2)． 【变式1-1】求的展开式． 【变式1-2】求的展开式． 【变式1-3】已知，则的值为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式1-4】若，则（ ） A． B． C． D． 【变式1-5】化简多项式的结果是（ ） A． B． C． D． 考点二：二项展开式中的特定项 例2.在的展开式中，的系数是（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】在的展开式中，项的系数为 ． 【变式2-2】展开式中常数项为 .（用数字作答） 【变式2-3】展开式中的第四项为（    ） A． B． C．240 D． 【变式2-4】在二项式的展开式中的指数为整数的项的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2-5】求的展开式中的系数________. 【变式2-6】设的展开式的第项与倒数第项的比是，求展开式中的第项． 【变式2-7】若的展开式中存在常数项，则可能的取值为（ ） A． B． C． D． 考点三：三项展开式中的特定项 例3.的展开式共（   ） A．10项 B．15项 C．20项 D．21项 【变式3-1】的展开式中，的系数为（ ） A．51 B．50 C．－51 D．－50 【变式3-2】的展开式中的系数为（ ） A．4 B．6 C．8 D．12 【变式3-3】的展开式中，常数项为（   ） A． B． C．70 D．72 【变式3-4】的展开式中的系数为（   ） A．208 B． C．217 D． 【变式3-5】的展开式中，常数项是______． 【变式3-6】若的展开式中的系数为，则实数 ． 考点四：求两个多项式积的特定项 例4.在的展开式中，的系数为（    ） A． B．60 C． D．80 【变式4-1】的展开式中，常数项为（ ） A．2 B．6 C．8 D．12 【变式4-2】展开式中的系数是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】的展开式中的系数为 ．（用数字作答） 【变式4-4】的展开式中的常数项为 . 【变式4-5】若的展开式中的系数为70，则实数 ． 【变式4-6】展开式中的常数项是120，则实数 ． 考点五：二项式系数与项的系数最值 例5.的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则展开式中项的系数为 _____． 【变式5-1】在的展开式中，系数最大的项的系数为 （用数字作答）. 【变式5-2】的二项展开式中系数最大的项为 . 【变式5-3】求二项式的展开式中： （1）二项式系数最大的项； （2）系数最大的项和系数最小的项． 【变式5-4】已知的展开式中前三项的二项式系数之和为46， ；展开式中系数最大的项 ． 【变式5-5】已知的展开式中，第3项与第6项的系数互为相反数，则展开式中系数最小的项为 . 考点六：二项展开式的系数和问题 例6.若的展开式中各项系数之和为，则展开式中的系数为（    ） A． B．945 C．2835 D． 【变式6-1】在的二项展开式中，各二项式系数之和为，各项系数之和为，若，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式6-2】的展开式中各项系数的和为，则的值为（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 【变式6-3】已知二项式的展开式中各项系数之和为256．求： (1)的值； (2)展开式中项的系数； (3)展开式中所有含的有理项． 【变式6-4】二项式的展开式中，求： (1)二项式系数之和； (2)各项系数之和； (3)所有偶数项系数之和； (4)系数绝对值之和. 【变式6-5】若，则（ ） A．6562 B．3281 C．3280 D．6560 【变式6-6】已知，则（ ） A．605 B．607 C．1210 D．1214 【变式6-7】若，则的值为（ ） A．0 B．32 C．64 D．128 【变式6-8】【多选】若，则正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式6-9】若. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值. 考点七：整除和求余问题 例7.除以所得的余数是 . 【变式7-1】已知，且能被17整除，则的取值可以是 .（写出一个满足题意的即可） 【变式7-2】被9除的余数为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式7-3】若，则被12整除的余数为______. 【变式7-4】已知能够被15整除，则的一个可能取值是（ ） A．1 B．2 C．0 D． 【变式7-5】设的小数部分为x，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 考点八：近似计算问题 例8.用二项式定理估算 .（精确到0.001） 【变式8-1】将精确到0.01的近似值是 ． 【变式8-2】的计算结果精确到0.01的近似值是_________． 【变式8-3】求的近似值，使误差小于0.001． 考点九：杨辉三角问题 例9.将杨辉三角中的每一个数都换成，得到如图所示的莱布尼茨三角形．莱布尼茨三角形具有很多优美的性质，如从第0行开始每一个数均等于其“脚下”两个数之和，如果（n为正整数），则下列结论中正确的是（    ） 第0行                  第1行                   第2行                      第3行                       ……             …… A．当时，中间的两项相等，且同时取得最大值 B．当时，中间一项为 C．第6行第5个数是 D． 【变式9-1】杨辉三角（如下图所示）是数学史上的一个伟大成就，杨辉三角中从第2行到第2023行，每行的第3个数字之和为（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】如图，“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现，比欧洲发现早500年左右．现从杨辉三角第20行随机取一个数，该数大于2023的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记为图中所选数1，构成的数列的第项，则的值为（    ）    A．252 B．426 C．462 D．924 一、单选题 1．（24-25高三上·广东潮州·阶段练习）已知存在常数项，且常数项是，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 2．（24-25高二上·辽宁抚顺·期末）已知的展开式共有项，则该展开式中含的项的系数为（   ） A． B． C． D． 3．（湖南省株洲市2025届高三上学期期末教学质量统一检测数学试题）若展开式中的第2项与第3项的系数相等，则的值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 4．（24-25高三上·甘肃临夏·期末）的展开式中的系数为（    ） A．2 B．6 C．4 D．-4 5．（24-25高二上·辽宁沈阳·期末）在的二项展开式中，只有第四项的二项式系数最大，则展开式的项数是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 6．（24-25高三上·山东滨州·期末）的展开式中的系数为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 7．（北京市房山区2024-2025学年高三上学期学业水平调研（二）数学试卷）在的展开式中，的系数为（   ） A． B． C． D． 8．（辽宁省实验中学等五校2024-2025学年高二上学期期末联考数学试卷）的展开式中，常数项为（   ） A． B． C．120 D．60 9．（24-25高二上·辽宁·期末）已知的展开式中，常数项为135，则的值为（    ） A．2 B．2或 C．3 D．3或 10．（24-25高二上·黑龙江·期末）已知的展开式的第2项系数为，则下列结论中错误的是（   ） A． B．展开式的常数项为第5项 C．展开式的各二项式系数的和为256 D．展开式的各项系数的和为 11．（24-25高三上·黑龙江·期末）已知的展开式中第9项是常数项，则展开式中系数的绝对值最大的项是（    ） A．第6项 B．第7项 C．第8项 D．第9项 二、多选题 12．（2024高三·全国·专题练习）已知二项式（且，，）的展开式中第项为15，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 13．（24-25高二上·甘肃庆阳·期末）若，，则（    ） A． B． C． D． 14．（24-25高二上·甘肃庆阳·期末）对于二项式，下列说法正确的是（   ） A．其展开式一共有项 B．其展开式的二项式系数和为 C．其展开式的所有项的系数和为 D．其展开式的第三项为 15．（2025高三·全国·专题练习）已知的展开式中存在常数项，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为 B．当取最小值时，展开式的二项式系数的和为 C．当时，展开式中的常数项为 D．当时，展开式中没有项 16．（24-25高二上·江西·阶段练习）如图，“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，则下列关于“杨辉三角”的性质中正确的是（    ） A． B．第8行所有数字之和为256 C． D．记第20，21行数字的最大值分别为，则 17．（24-25高二上·辽宁抚顺·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 18．（甘肃省多校2024-2025学年高三上学期1月期末联考数学试题）若，则（   ） A． B． C． D． 三、填空题 19．（天津市西青区2024-2025学年高三上学期期末学业质量检测数学试卷）在的展开式中，的系数是 . 20．（甘肃省2024-2025学年高二上学期期末学业质量监测数学试卷）在的展开式中，各项的二项式系数中第三项和第四项相等且最大，则的系数为 ． 21．（24-25高二上·上海·期末）的二项展开式中，系数最大的项是第 项． 22．（24-25高三上·黑龙江·期末）的展开式中的系数为 .（用数字作答） 23．（广西桂林市2024-2025学年高二上学期期末质量检测数学试卷）的展开式中常数项是 .（用数字作答）. 四、解答题 24．（24-25高二上·天津红桥·期末）已知展开式的二项式系数和为64. (1)求n的值； (2)若展开式中的常数项为20，求m的值. 25．（24-25高二上·甘肃白银·期末）已知的展开式中共有9项. (1)求的值； (2)求展开式中的系数； (3)求二项式系数最大的项. 26．（24-25高二上·辽宁·期末）若的展开式中第3项与第9项的二项式系数相等，且. (1)求的系数； (2)求的值. 27．（24-25高二上·甘肃·期末）在的展开式中． (1)求二项式系数最大的项； (2)系数的绝对值最大的项是第几项？ (3)求系数最大的项． 28．（24-25高二上·甘肃甘南·期末）在的展开式中，______. 给出下列条件：①二项式系数和为64；②各项系数之和为729；③第三项的二项式系数为15.试在这三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，并且完成下列问题： (1)求的值并求展开式中的常数项； (2)求展开式中的系数. 注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分. 29．（24-25高二上·辽宁沈阳·期末）（1）已知（为正整数）.展开式的所有项的二项式系数和为64 ①求该式的展开式中所有项的系数之和； ②求该式的展开式中无理项的个数； ③求该式的展开式中系数最大的项. （2）现有8名师生站成一排照相，其中老师2人，男学生4人，女学生2人，在下列情况下，各有多少种不同的站法？ ①老师站在最中间，2名女学生分别在老师的两边且相邻，4名男学生两边各2人； ②4名男学生互不相邻，男学生甲不能在两端； ③2名老师之间必须有男女学生各1人. 30．（24-25高二上·辽宁沈阳·期末）在的展开式中，求： (1)第3项的二项式系数及系数； (2)奇数项的二项式系数和； (3)求系数绝对值最大的项． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 预习第07讲 二项式定理9种常见考法归类 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.理解二项式定理的相关概念. 2.掌握二项式定理的特征及其展开式的通项公式. 3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题． 知识点01 二项式定理 1．二项式定理： ， 2．基本概念： ①二项式展开式：右边的多项式叫做的二项展开式。 ②二项式系数:展开式中各项的系数. ③项数：共项，是关于与的齐次多项式 ④通项：展开式中的第项叫做二项式展开式的通项。用表示。 3．注意关键点： ①项数：展开式中总共有项。 ②顺序：注意正确选择,,其顺序不能更改。与是不同的。 ③指数：的指数从逐项减到，是降幂排列。的指数从逐项减到，是升幂排列。各项的次数和等于. ④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是项的系数是与的 系数（包括二项式系数）。 4．常用的结论： 令 令 知识点02 二顶式系数及其性质 ①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即，··· ②二项式系数和：令,则二项式系数的和为， 变形式 ③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和 ④奇数项的系数和与偶数项的系数和： ⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数是偶数时，则中间一项的二项式系数取得最大值。 如果二项式的幂指数是奇数时，则中间两项的二项式系数,同时取得最大值。 考点一：二项式定理的正用和逆用 例1．用二项式定理展开下列各式： (1)； (2)． 【解析】（1） . （2） . 【变式1-1】求的展开式． 【解析】根据二项式定理得   【变式1-2】求的展开式． 【解析】 . 【变式1-3】已知，则的值为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【解析】由得 则，即，解得.故选：B. 【变式1-4】若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 .故选：B 【变式1-5】化简多项式的结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意可知，多项式的每一项都可看作， 故该多项式为的展开式， 化简．故选：D. 考点二：二项展开式中的特定项 例2.在的展开式中，的系数是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】展开式通项为， 令，即得：，即的系数为.故选：D. 【变式2-1】在的展开式中，项的系数为 ． 【答案】91 【解析】由题意得：．令，解得， 则项的系数为. 故答案为：. 【变式2-2】展开式中常数项为 .（用数字作答） 【答案】54 【解析】展开式的通项为， 令，得，所以展开始得常数项为. 故答案为：. 【变式2-3】展开式中的第四项为（    ） A． B． C．240 D． 【答案】B 【分析】根据二项展开式的通项公式求解. 【详解】展开式的通项公式为， 所以, 故选：B 【变式2-4】在二项式的展开式中的指数为整数的项的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】由题意将二项展开式的通项写出来，然后结合已知即可求解. 【详解】二项式展开为，. 当时，的指数为整数，共有四项. 故选：D. 【变式2-5】求的展开式中的系数________. 【答案】 【解析】求的展开式中含的项为， 即的展开式中的系数为. 【变式2-6】设的展开式的第项与倒数第项的比是，求展开式中的第项． 【答案】 【分析】求出二项式展开式的通项，根据题意列方程，解方程即可求解. 【详解】根据题意可知，， 由， 化简得，所以，解得， 所以. 【变式2-7】若的展开式中存在常数项，则可能的取值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】展开式的第项 令则（）所以为偶数故选：A 考点三：三项展开式中的特定项 例3.的展开式共（   ） A．10项 B．15项 C．20项 D．21项 【答案】B 【分析】根据二项式定理的展开式项数即可得出结论. 【详解】∵， 由二项式定理可知，展示式中共有项， ∴的展开式共有项. 故选：B． 【变式3-1】的展开式中，的系数为（ ） A．51 B．50 C．－51 D．－50 【答案】C 【解析】的展开式通项为： ，且， 令，则，或者，或者； 故的系数为：，故选：C 【变式3-2】的展开式中的系数为（ ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【解析】的通项公式， 令，则， 所以的系数为，故选：B 【变式3-3】的展开式中，常数项为（   ） A． B． C．70 D．72 【答案】C 【分析】方法一：由，利用通项公式求解；方法二：由，利用通项公式求解. 【详解】解：方法一：展开式中， 第项， 所以常数项为， 方法二：展开式中， 第项， 当时，展开式中常数项为； 当时，展开式中常数项为； 当时，， 所以的展开式中，常数项为70， 故选：C． 【变式3-4】的展开式中的系数为（   ） A．208 B． C．217 D． 【答案】B 【分析】根据各未知数的次数以及二项式定理，即可得出答案. 【详解】根据二项式定理可得， 的展开式中，含的项为. 所以，的展开式中的系数为. 故选：B. 【变式3-5】的展开式中，常数项是______． 【答案】 【解析】， 展开式的通项为， 当，即时，可得展开式的常数项为. 【变式3-6】若的展开式中的系数为，则实数 ． 【答案】2 【分析】将三项的多项式的幂的形式组合成两项的幂的形式，运用两次二项式展开式的通项公式得出的通项公式，令，解此不定方程得出，的值，得到关于的方程，即可得解. 【详解】,所以的展开式的通项为: ， 其中， 令，所以或， 当时，的系数为， 当时，的系数为， 因为的系数为，所以， 即，即，所以. 故答案为：2. 考点四：求两个多项式积的特定项 例4.在的展开式中，的系数为（    ） A． B．60 C． D．80 【答案】C 【解析】展开式的通项为， ∴原式的展开式中含的项为， ∴的系数为． 故选：C． 【变式4-1】的展开式中，常数项为（ ） A．2 B．6 C．8 D．12 【答案】D 【解析】， 展开式的通项为：， 当即时， ， 所以的展开式中，常数项为.故选：D. 【变式4-2】展开式中的系数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】的展开式中通项是，， 则， 要求展开式中的系数，只需， 故展开式中的系数是. 故选：A. 【变式4-3】的展开式中的系数为 ．（用数字作答） 【答案】 【分析】由二项式定理得到的通项公式，结合，得到，得到的系数. 【详解】的通项公式为， 令得，，此时， 令得，，此时， 故的系数为 故答案为： 【变式4-4】的展开式中的常数项为 . 【答案】10 【分析】写出的通项，求出及的系数，代入算式中计算即可． 【详解】展开式的通项公式为， 令，得；令，得， 所以的展开式中的常数项为. 故答案为：10 【变式4-5】若的展开式中的系数为70，则实数 ． 【答案】2 【分析】先得到的通项公式，进而得到的展开式中含的项为，从而得到不等式，求出答案. 【详解】的通项公式为， 当时，，当时，， 故的展开式中含的项为， 由题意知，解得． 故答案为：2 【变式4-6】展开式中的常数项是120，则实数 ． 【答案】2 【分析】求出的通项公式，得到与，从而得到展开式常数项，得到方程，求出. 【详解】∵展开式的通项公式为， 令得，即． 令得，即， ∴展开式中的常数项为， 故，解得． 故答案为：2 考点五：二项式系数与项的系数最值 例5.的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则展开式中项的系数为 _____． 【答案】60 【解析】∵在二项式的展开式中只有第4项的二项式系数最大， ∴展开式中第4项是中间项，共有7项，∴， 所以展开式的通项公式为， 令，得， ∴展开式中含项的系数是. 【变式5-1】在的展开式中，系数最大的项的系数为 （用数字作答）. 【答案】20 【解析】∵的展开式的通项为， 设第项的系数最大，则， 根据公式，解得，又， ∴， ∴展开式中系数最大的项为， 即展开式中系数最大的项的系数为20， 方法二：比较的大小，选择最大值即可； 故答案为：20； 【变式5-2】的二项展开式中系数最大的项为 . 【答案】 【解析】由二项式的展开式的通项为， 设系数最大的项为第项，可得， 即，即，解得， 因为，所以， 所以展开式中系数最大的项为. 故答案为：. 【变式5-3】求二项式的展开式中： （1）二项式系数最大的项； （2）系数最大的项和系数最小的项． 【答案】（1）；（2）； 【解析】（1）二项式系数最大的项即展开式的中间项，也即第5项， 所求项为T4＋1＝ ()44＝. （2）由题知得展开式的通项公式 求系数绝对值最大的项，设第r＋1项的系数的绝对值最大，则 即∴，即第6项和第7项的系数绝对值最大． 由于第6项的系数为负，第7项的系数为正， ∴第7项是系数最大的项，这一项为； 第6项是系数最小的项，这一项为. 【变式5-4】已知的展开式中前三项的二项式系数之和为46， ；展开式中系数最大的项 ． 【答案】 9 【解析】由题意得：，解得：或， 因为， 所以（舍去），从而， 因为二项式的展开式通项为：， 所以系数为，要求其最大值， 所以只要满足，即， 解得：， 因为， 所以， 所以系数最大项为 故答案为：9； 【变式5-5】已知的展开式中，第3项与第6项的系数互为相反数，则展开式中系数最小的项为 . 【答案】 【解析】二项式的展开式的通项是，则第3项的系数为， 第6项的系数为，则，则；展开式中各项的系数为， 由二项式系数的性质知的值最大，则展开式中各项的系数中最小，则系数最小的项为. 故答案为：. 考点六：二项展开式的系数和问题 例6.若的展开式中各项系数之和为，则展开式中的系数为（    ） A． B．945 C．2835 D． 【答案】D 【分析】根据赋值法求系数和得，即可根据展开式的通项公式求解. 【详解】令，得，得， 则的展开式的通项， 令，得，则，故展开式中的系数为， 故选：D． 【变式6-1】在的二项展开式中，各二项式系数之和为，各项系数之和为，若，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据二项式系数和以及各项系数和的表达式，结合题意，解方程，即可求得答案. 【详解】由，令可得各项系数之和为， 又各二项式系数之和为，因为，则， 解得或（舍去），所以， 故选：B 【变式6-2】的展开式中各项系数的和为，则的值为（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【分析】令，即可得解. 【详解】因为的展开式中各项系数的和为， 令可得，所以. 故选：B 【变式6-3】已知二项式的展开式中各项系数之和为256．求： (1)的值； (2)展开式中项的系数； (3)展开式中所有含的有理项． 【答案】(1)4 (2)54 (3)第1项，第3项，第5项 【分析】（1）在二项式中令得所有项系数和，解方程即可得； （2）利用二项展开式的通项公式，即得； （3）利用二项展开式的通项公式，令，即求． 【详解】（1）在的展开式中令，得，∴． （2）设展开式的第项为（且）． 令，得， 则含项的系数为． （3）由（2）可知，令，则有， 所以含的有理项为第1项，第3项，第5项． 【变式6-4】二项式的展开式中，求： (1)二项式系数之和； (2)各项系数之和； (3)所有偶数项系数之和； (4)系数绝对值之和. 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据二项式系数的性质即可求解； （2）设,令，代入即可求解； （3）由（2），再令，两式相减即可求解. （4）利用赋值法或者转化为各项系数和. 【详解】（1）设 二项式系数之和为 （2）设， 则各项系数之和为， 令得 （3）由（2）知令可得: 将两式相减,可得:， 故所有偶数项系数之和为. （4）方法一: 令则 方法二:即为 展开式中各项系数和， 令得 故系数绝对值之和为. 【变式6-5】若，则（ ） A．6562 B．3281 C．3280 D．6560 【答案】B 【解析】令有， 令有， 故，故选：B 【变式6-6】已知，则（ ） A．605 B．607 C．1210 D．1214 【答案】A 【解析】令，则， 令，则. 令，则， 令，则， 所以， 所以.故选：A. 【变式6-7】若，则的值为（ ） A．0 B．32 C．64 D．128 【答案】A 【解析】，时， ，时， ， 故选：A. 【变式6-8】【多选】若，则正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】依令，， A不正确； ， ， 则，B正确； 显然，， 则，C正确； ， D不正确.故选：BC 【变式6-9】若. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）令代入等式求出结果； （2）令代入等式，再结合第一问等式组成方程组求出结果； （3）先变形，再求含项的系数即可. 【详解】（1）令，则，① （2）令，则，② 令，则， ， ； （3）， 即为含项的系数，为， 则. 考点七：整除和求余问题 例7.除以所得的余数是 . 【答案】22 【解析】法一：由，前9项可以被整除， 而，故余数为. 法二：由， 而，故余数为. 故答案为： 【变式7-1】已知，且能被17整除，则的取值可以是 .（写出一个满足题意的即可） 【答案】1（答案不唯一） 【解析】， 要使能被17整除，则能被17整除即可， 则，故可取， 故答案为： 【变式7-2】被9除的余数为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【解析】因为 所以 因为为9的整数倍， 所以被9除的余数与被9除的余数相同， 又，1024被9除的余数为7，故被9除的余数为7，故选：C. 【变式7-3】若，则被12整除的余数为______. 【答案】0 【解析】在已知等式中，取得，① 取得，② ①②得：， 因为 所以， 所以能被12整除， 所以被12整除的余数为 【变式7-4】已知能够被15整除，则的一个可能取值是（ ） A．1 B．2 C．0 D． 【答案】D 【解析】, 75能够被15整除，要使原式能够被15整除， 则需要能被15整除，将选项逐个检验可知的一个可能取值是， 其他选项均不符合题意，故选：D 【变式7-5】设的小数部分为x，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用不等式放缩估计的整数部分为4，得到，即，然后利用二项式定理展开即得. 【详解】由，得的整数部分为4， 则，所以， 即， 故. 故选:B 考点八：近似计算问题 例8.用二项式定理估算 .（精确到0.001） 【答案】1.105 【解析】 . 故答案为：1.105 【变式8-1】将精确到0.01的近似值是 ． 【答案】0.96 【解析】因为， 且将精确到0.01，故近似值为0.96 故答案为：0.96 【变式8-2】的计算结果精确到0.01的近似值是_________． 【答案】1.34 【解析】 故答案为： 【变式8-3】求的近似值，使误差小于0.001． 【答案】0.988 【解析】． ∵， 且第3项以后的项的绝对值都远小于0.001， ∴从第3项起，以后的项都可以忽略不计， ∴． 考点九：杨辉三角问题 例9.将杨辉三角中的每一个数都换成，得到如图所示的莱布尼茨三角形．莱布尼茨三角形具有很多优美的性质，如从第0行开始每一个数均等于其“脚下”两个数之和，如果（n为正整数），则下列结论中正确的是（    ） 第0行                  第1行                   第2行                      第3行                       ……             …… A．当时，中间的两项相等，且同时取得最大值 B．当时，中间一项为 C．第6行第5个数是 D． 【答案】C 【解析】对于A，由莱布尼茨三角形知，当n为奇数时，中间两项相等，且同时取到最小值， 为奇数，故A错误； 对于B，当时，这一行有2025个数，最中间为第1013个数， 即，B错误； 对于C，第6行有7个数，第5个数是，C正确； 对于D，由于从第0行开始每一个数均等于其“脚下”两个数之和， 故，D错误， 故选：C 【变式9-1】杨辉三角（如下图所示）是数学史上的一个伟大成就，杨辉三角中从第2行到第2023行，每行的第3个数字之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由组合性质进行计算. 【详解】 , 由题意可得，第2行到第2023行，每行的第3个数字之和为 , 故选：B． 【变式9-2】如图，“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现，比欧洲发现早500年左右．现从杨辉三角第20行随机取一个数，该数大于2023的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由杨辉三角的性质判断第20行的数大于2023的个数，结合古典概型的概率公式即可得解. 【详解】由杨辉三角的性质知第20行的数为，一共有21个数， 其中， 由杨辉三角的对称性可知，第20行中大于2023的数的个数为， 故所求概率为. 故选：A. 【变式9-3】“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记为图中所选数1，构成的数列的第项，则的值为（    ）    A．252 B．426 C．462 D．924 【答案】C 【分析】根据题意，结合数字的构成规律，得到即第11行的第项，结合二项展开式的二项式系数的性质，即可求解. 【详解】由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记为图中所选数，构成的数列的第项， 根据数字的构成规律，可得数列的奇数项为每行数列的项，偶数项为每行的第项， 则即第11行的第项， 结合二项展开式的二项式系数的性质，可得. 故选：C. 一、单选题 1．（24-25高三上·广东潮州·阶段练习）已知存在常数项，且常数项是，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】求出二项式展开式的通项公式，由常数项是即可得. 【详解】的展开式的通项公式为，， 令，得，，则展开式的的常数项为， 所以，. 故选：B 2．（24-25高二上·辽宁抚顺·期末）已知的展开式共有项，则该展开式中含的项的系数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二项式定理的展开式的性质求，再利用通项公式求结论. 【详解】因为的展开式共有项， 所以， 二项式的展开式的通项公式为，， 所以展开式中含的项为， 故这个展开式中含的项的系数为． 故选：C. 3．（湖南省株洲市2025届高三上学期期末教学质量统一检测数学试题）若展开式中的第2项与第3项的系数相等，则的值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用二项式定理求出第2项与第3项的系数，列式计算得解. 【详解】二项式的展开式第2项与第3项的系数分别为， 依题意，，即，整理得，而，所以. 故选：B 4．（24-25高三上·甘肃临夏·期末）的展开式中的系数为（    ） A．2 B．6 C．4 D．-4 【答案】B 【分析】利用二项式的展开式的通项可求得的展开式中的系数. 【详解】的展开式中的系数即为的展开式中的系数， 又二项式的展开式的通项为， 令，可得， 所以的展开式中的系数为，所以的展开式中的系数. 故选：B. 5．（24-25高二上·辽宁沈阳·期末）在的二项展开式中，只有第四项的二项式系数最大，则展开式的项数是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】先由二项式系数最大项求出，再由二项式展开式的性质即得. 【详解】在二项式的展开式中，当为偶数时，中间一项的二项式系数最大； 当为奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大. 因为在的二项展开式中，只有第四项的二项式系数最大， 所以为偶数，且中间项为第项，即，解得. 因二项式展开式的项数为，则展开式的项数是项. 故选：A. 6．（24-25高三上·山东滨州·期末）的展开式中的系数为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】根据二项式定理的运算性质展开求解即可. 【详解】， 含的项为， 所以展开式中的系数为. 故选：C． 7．（北京市房山区2024-2025学年高三上学期学业水平调研（二）数学试卷）在的展开式中，的系数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】写出二项展开式通项，令的指数为，求出参数的值，代入通项即可得解. 【详解】的展开式通项为， 由可得，故展开式中的系数为. 故选：B. 8．（辽宁省实验中学等五校2024-2025学年高二上学期期末联考数学试卷）的展开式中，常数项为（   ） A． B． C．120 D．60 【答案】D 【分析】由二项式展开式通项公式可得答案. 【详解】的展开式中的第项为：. 令，则常数项为. 故选：D. 9．（24-25高二上·辽宁·期末）已知的展开式中，常数项为135，则的值为（    ） A．2 B．2或 C．3 D．3或 【答案】D 【分析】先求的展开式的通项公式，再结合式子特点令，得出，即可得到关于的方程，解出. 【详解】展开式的通项公式为， 令，可得，因此，展开式中的常数项为． 则，解得． 故选：D. 10．（24-25高二上·黑龙江·期末）已知的展开式的第2项系数为，则下列结论中错误的是（   ） A． B．展开式的常数项为第5项 C．展开式的各二项式系数的和为256 D．展开式的各项系数的和为 【答案】D 【分析】应用的展开式的通项公式结合题意求出，再利用通项公式研究常数项；由可求展开式的各项系数的和；由二项式系数性质可求展开式的各二项式系数的和. 【详解】因为的展开式的通项公式为，（）， 所以，即， 解得，故A正确； 所以（）， 当，即时为常数项, 故B正确； 所以展开式的各二项式系数的和为，故C正确； 所以展开式的各项系数的和为，故D错误. 故选：D. 11．（24-25高三上·黑龙江·期末）已知的展开式中第9项是常数项，则展开式中系数的绝对值最大的项是（    ） A．第6项 B．第7项 C．第8项 D．第9项 【答案】C 【分析】先求出展开式的通项，从而依据展开式中第9项是常数项得到，再依据第项的系数绝对值大于或等于第项且大于或等于第项列不等式组即可求得. 【详解】由题意，二项式展开式的通项公式为： 因为展开式中第9项是常数项，故，解得， 故第项的系数绝对值为. 设展开式中第项的系数绝对值最大，则有 由①可得：，即，解得； 由②可得：，即，解得. 即，又因为，故，即第8项的系数绝对值最大. 故选：C. 二、多选题 12．（2024高三·全国·专题练习）已知二项式（且，，）的展开式中第项为15，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】利用二项展开式的通项公式可求的值，可判断A，B项；再利用排列数和组合数的运算性质判断C，D项. 【详解】由二项式定理可得：， 则得，解得：，故A,B项正确； 因，故C错误； 因，，故可得，即得D错误. 故选：AB. 13．（24-25高二上·甘肃庆阳·期末）若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用赋值法，结合二项展开式的结构特征，逐项分析即可得解. 【详解】对于A，， 令，可得，故A正确； 对于B，，可得，故B错误； 对于C，令，可得，故C正确； 对于D，上述两式相加， 故，故D错误， 故选：AC. 14．（24-25高二上·甘肃庆阳·期末）对于二项式，下列说法正确的是（   ） A．其展开式一共有项 B．其展开式的二项式系数和为 C．其展开式的所有项的系数和为 D．其展开式的第三项为 【答案】BC 【分析】利用二项展开式的项数可判断A选项；利用二项展开式的二项式系数和可判断B选项；在二项式中，令，结合所有项的系数和可判断C选项；利用二项展开式的通项可判断D选项. 【详解】对于A选项，展开式的项数为，A错； 对于B选项，其展开式的二项式系数和为，B对； 对于C选项，其展开式的所有项的系数和为，C对； 对于D选项，其展开式的第三项为，D错. 故选：BC. 15．（2025高三·全国·专题练习）已知的展开式中存在常数项，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为 B．当取最小值时，展开式的二项式系数的和为 C．当时，展开式中的常数项为 D．当时，展开式中没有项 【答案】BCD 【分析】根据条件得到展开式的通项，进而得到，再对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】因为展开式的通项， 由题知， 对于选项A，因为，所以的最小值为，故选项A错误， 对于选项B，由选项A知当取最小值时，，所以二项式系数的和为，故选项B正确， 对于选项C，当时，，所以常数项为，故选项C正确， 对于选项D，令，得，不符合题意，所以当时，展开式中没有项，故选项D正确. 故选：BCD. 16．（24-25高二上·江西·阶段练习）如图，“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，则下列关于“杨辉三角”的性质中正确的是（    ） A． B．第8行所有数字之和为256 C． D．记第20，21行数字的最大值分别为，则 【答案】BC 【分析】根据“杨辉三角”，利用组合数的计算可判断A和C；利用二项式系数的性质可判断B和D. 【详解】对于A，， 所以，故A错误； 对于B，由二项式系数的性质知，第行各数的和为， 所以第8行所有数字之和为，故B正确； 对于C， ，故C正确； 对于D，第20行数字的最大值为，第21行数字的最大值为， 所以，故D错误. 故选：BC. 17．（24-25高二上·辽宁抚顺·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用赋值法即可求解.对于选项A，令即可求解；对于选项B，令即可求解；对于选项C，令，与时的式子作差即可求解；对于选项D，令，结合选项A即可求解. 【详解】令，得，故选项A正确； 令，得①，故选项B错误； 令，得②， 由①②得，故选项C正确； 令，得， 则， 得，故选项D正确. 故选：ACD. 18．（甘肃省多校2024-2025学年高三上学期1月期末联考数学试题）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由二项式令可求，取可求所有系数和，由此判断AB；取，结合二项式展开式的通项公式求，判断C，取，结合的值判断D. 【详解】令，得， 令，得， 所以， 所以A正确；B正确； 令，则，所以， 因为二项式的展开式的通项公式为，， 所以，故C不正确； 令，得， 所以，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 19．（天津市西青区2024-2025学年高三上学期期末学业质量检测数学试卷）在的展开式中，的系数是 . 【答案】 【分析】由二项展开式的通项求解项的系数即可. 【详解】在二项展开式的通项公式：， .令，，所以的系数为. 故答案为：. 20．（甘肃省2024-2025学年高二上学期期末学业质量监测数学试卷）在的展开式中，各项的二项式系数中第三项和第四项相等且最大，则的系数为 ． 【答案】40 【分析】根据二项式系数的概念以及组合数的性质可求出结果. 【详解】依题意可得，得， 因为的通项公式为， 令，即，则的系数为. 故答案为：40. 21．（24-25高二上·上海·期末）的二项展开式中，系数最大的项是第 项． 【答案】12和13 【分析】写出二项展开式的通项公式和对应系数，根据条件列不等式可得结果. 【详解】的二项展开式的通项公式为，系数为， 由得，， ∴系数最大的项是第12和13项. 故答案为：12和13. 22．（24-25高三上·黑龙江·期末）的展开式中的系数为 .（用数字作答） 【答案】 【分析】分析题意，结合二项展开式的通项公式运算求解. 【详解】易得展开式中含的项为， 所以的展开式中的系数为. 故答案为：. 23．（广西桂林市2024-2025学年高二上学期期末质量检测数学试卷）的展开式中常数项是 .（用数字作答）. 【答案】160 【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，求得展开式中常数项 【详解】二项式的展开式的通项公式为， 令，即，∴常数项为. 故答案为：160. 四、解答题 24．（24-25高二上·天津红桥·期末）已知展开式的二项式系数和为64. (1)求n的值； (2)若展开式中的常数项为20，求m的值. 【答案】(1)6； (2)1. 【分析】（1）由二项式系数和定义可直接得n的值； （2）由（1）中的n的值求出展开式中的通项式，令的指数等于0，求出通项式中的，带回通项式求得的值. 【详解】（1）因为展开式的二项式系数和为，所以； （2）因为展开式中的通项公式为，整理得， 令，得， 则，解得. 25．（24-25高二上·甘肃白银·期末）已知的展开式中共有9项. (1)求的值； (2)求展开式中的系数； (3)求二项式系数最大的项. 【答案】(1) (2)112 (3) 【分析】（1）利用二项式展开式中共有可求得的值； （2）求出二项展开式的通项，令的指数为4，求出参数的值，代入通项即可得出结果； （3）根据二项式系数的性质可得二项式系数最大的项的项数，再由二项式定理得结论. 【详解】（1）由题意得，解得. （2）由（1）可知展开式的通项为. 令，解得，则. 故展开式中的系数为112. （3）根据题意可得二项式系数最大的项为. 26．（24-25高二上·辽宁·期末）若的展开式中第3项与第9项的二项式系数相等，且. (1)求的系数； (2)求的值. 【答案】(1)180 (2) 【分析】（1）应用已知条件利用二项式系数的性质求出，结合二项式定理求出. （2）由（1）的结论，利用赋值法求出所求式子的值. 【详解】（1）第3项与第9项的二项式系数相等， 则，解得，所以. 所以的展开式中项为：，所以. （2）由（1）知，的展开式中，当时，， 由二项展开式可得： 所以都是正数，都是负数， 所以 当时，， 所以. 27．（24-25高二上·甘肃·期末）在的展开式中． (1)求二项式系数最大的项； (2)系数的绝对值最大的项是第几项？ (3)求系数最大的项． 【答案】(1) (2)第6项和第7项 (3) 【分析】（1）由二项式系数的性质即可得到结果； （2）由展开式的通项公式列出不等式，代入计算，即可得到结果； （3）结合展开式的通项公式，由（2）中的结论，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）二项式系数最大的项为中间项，即第5项，； （2）的展开式的通项为 ，，， 设第项系数的绝对值最大，显然，则， 整理得，即， 解得，而，则或， 所以系数的绝对值最大的项是第6项和第7项； （3）由（2）知，展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大，而第6项的系数为负， 第7项的系数为正，所以系数最大的项为第7项． 28．（24-25高二上·甘肃甘南·期末）在的展开式中，______. 给出下列条件：①二项式系数和为64；②各项系数之和为729；③第三项的二项式系数为15.试在这三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，并且完成下列问题： (1)求的值并求展开式中的常数项； (2)求展开式中的系数. 注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分. 【答案】(1)，展开式常数项为 (2) 【分析】（1）若选①利用二项式系数和公式先求n，结合展开式通项公式可求常数项；若选②利用赋值法先求n，结合展开式通项公式可求常数项；若选③利用二项式定理先求n，结合展开式通项公式可求常数项； （2）利用二项式定理及其展开式通项可求指定项系数. 【详解】（1）若选①，易知，则，此时的常数项为； 若选②，令，则， 则，此时的常数项为； 若选③，易知，则，此时的常数项为； （2）由上可知不论选①②③，都有， 则问题为求展开式中的系数， 先求展开式中含的项乘以，该项为， 再求展开式中常数项乘以，知该项为， 所以展开式中含的项为，所以其系数为. 29．（24-25高二上·辽宁沈阳·期末）（1）已知（为正整数）.展开式的所有项的二项式系数和为64 ①求该式的展开式中所有项的系数之和； ②求该式的展开式中无理项的个数； ③求该式的展开式中系数最大的项. （2）现有8名师生站成一排照相，其中老师2人，男学生4人，女学生2人，在下列情况下，各有多少种不同的站法？ ①老师站在最中间，2名女学生分别在老师的两边且相邻，4名男学生两边各2人； ②4名男学生互不相邻，男学生甲不能在两端； ③2名老师之间必须有男女学生各1人. 【答案】（1）①729；②3个；③；（2）①96；②1728；③3840. 【分析】（1）根据已知可得，赋值法求所有系数之和，应用二项式展开式通项公式确定无理项个数，应用不等式法求系数最大项； （2）应用分步计数原理，结合排列组合数求各小问的不同站法数. 【详解】（1）由，可得， ①令得，所以展开式中所有项的系数之和为729； ②的通项为，， 所以当时对应为展开式中的无理项，所以共有3个无理项； ③由②及题意，知，解得，则， 所以展开式中系数最大的项为； （2）①由题意，老师、男女学生在对应位置上作全排列， 结合分步计数原理，有种不同的站法. ②先排老师和女学生共有种站法，再排男学生甲有种站法，最后排剩余的3名男学生有种站法， 所以共有种不同的站法 ③先任选男女学生各一名站两位老师中间，有种站法，两位老师的站法有种， 再将一男学生一女学生两位老师进行捆绑与剩余的4个人进行全排列有种， 所以共有种不同的站法. 30．（24-25高二上·辽宁沈阳·期末）在的展开式中，求： (1)第3项的二项式系数及系数； (2)奇数项的二项式系数和； (3)求系数绝对值最大的项． 【答案】(1)二项式系数为，第3项的系数为 (2) (3) 【分析】（1）利用二项展开式的通项可求二项式系数与系数； （2）由二项式系数的性质可得； （3）设出系数绝对值最大项，根据与前后项系数绝对值大小关系建立不等式组求解可得. 【详解】（1）二项式的通项 ． 第3项的二项式系数为，第3项的系数为； （2）奇数项的二项式系数和； （3）设系数绝对值最大的项为第项， 当时， 由，解得， 又，所以，此时； 当时，； 当时，； 综上可知，系数绝对值最大的项为． ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$