第07讲 二项式定理（11大题型）（寒假预习讲义）高二数学苏教版

第07讲 二项式定理 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：二项式定理 1、定义 一般地，对于任意正整数，都有： 这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式． 式中的做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：，其中的系数叫做二项式系数 2、二项式的展开式的特点： （1）项数：共有项，比二项式的次数大1； （2）二项式系数：第项的二项式系数为，最大二项式系数项居中； （3）次数：各项的次数都等于二项式的幂指数．字母降幂排列，次数由到0；字母升幂排列，次数从0到，每一项中，a，b次数和均为； 知识点2：二项展开式的通顶公式 二项展开式的通项： 公式特点： （1）它表示二项展开式的第项，该项的二项式系数是； （2）字母的次数和组合数的上标相同； 知识点3：二顶式系数及其性质 1、的展开式中各项的二顶式系数、、…具有如下性质： ①对称性：二项展开式中，与首末两端“等距离"的两项的二项式系数相等，即； ②增减性与最大值：二项式系数在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，在中间取得最大值．其中，当为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数最大；当为奇数时，二项展开式中间两项的二项式系数相等，且最大． （3）各二项式系数之和为，即； （4）二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和，即． 知识点诠释： 二项式系数与展开式的系数的区别 二项展开式中，第项的二项式系数是组合数，展开式的系数是单项式的系数，二者不一定相等． 2、展开式中的系数求法的整数且 知识点诠释： 三项或三项以上的展开式问题，把某两项结合为一项，利用二项式定理解决． 题型一：二项式定理的正用、逆用 【例1】求多项式的展开式． 【变式1-1】求的展开式； 【变式1-2】（1）求的展开式； （2）化简：. 【变式1-3】（2025·高二·新疆省直辖县级单位·月考）计算二项式： (1)化简：； (2)写出的展开式并化简. 题型二：二项式系数与项的系数 【例2】（2025·北京·三模）在的展开式中，含的项的二项式系数为（   ） A．6 B．16 C．24 D．216 【变式2-1】（2025·高二·重庆·期中）在二项式的展开式中，含项的二项式系数为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2025·高二·辽宁·月考）的展开式中的系数为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【变式2-3】（2025·江西宜春·模拟预测）在的展开式中的系数为（    ） A．144 B．136 C．128 D．121 题型三：展开式中的特定项 【例3】（2025·高二·广东中山·月考）的展开式中常数项为（    ） A．120 B．-120 C．180 D．-180 【变式3-1】（2025·高三·北京·月考）在的展开式中，求含的项为（　　） A． B． C． D． 【变式3-2】（2025·湖南长沙·三模）二项式的展开式中第5项的系数为（    ） A．252 B．-252 C．210 D．-210 【变式3-3】（2025·高二·湖北武汉·月考）二项式的展开式中常数项为（    ） A．160 B． C． D． 题型四：求两个多项式积的特定项 【例4】（2025·广东·模拟预测）的展开式中，的系数为（    ） A．60 B．30 C．45 D．15 【变式4-1】（2025·高二·吉林长春·期末）的展开式中，的系数与常数项之差为（   ） A．20 B．19 C． D． 【变式4-2】（2025·高二·天津西青·期末）的展开式中的系数是（    ） A．0 B．2 C．4 D．10 【变式4-3】（2025·高二·广东广州·期末）的展开式中的系数为（    ） A．0 B．10 C． D．20 题型五：系数的最值问题 【例5】（2025·甘肃白银·三模）已知展开式的所有二项式系数之和为32，则展开式的各项中系数的最大值为（    ） A．252 B．210 C．120 D．10 【变式5-1】（2025·高二·河南洛阳·期中）的展开式中系数最大的是（   ） A．的系数 B．的系数 C．的系数 D．的系数 【变式5-2】（2025·高二·安徽滁州·期中）的展开式中二项式系数最大的项为（    ） A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项 【变式5-3】（2025·高三·浙江宁波·月考）二项式展开式中，系数最大值为（    ） A．280 B．448 C．560 D．672 题型六：余数和整除的问题 【例6】（2025·高二·辽宁锦州·期末）若既能被整除又能被整除，则正整数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2025·高二·陕西咸阳·期末）除以128的余数为（   ） A．51 B．43 C．41 D．33 【变式6-2】（2025·高二·山东滨州·期末）被8除的余数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．7 【变式6-3】（2025·高二·湖北黄冈·期末）设，且，若能被9整除，则（    ） A．0 B．1 C．7 D．8 题型七：证明不等式或求近似值 【例7】（2025·高二·江苏南京·期末）已知（，）的展开式中，第2，3，4项的二项式系数成等差数列. (1)求的值； (2)求的近似值（精确到0.01）； (3)求的二项展开式中系数最大的项. 【变式7-1】（2025·高二·江苏宿迁·月考）已知． (1)求的值 (2) ①证明：，其中，，，，； ②利用的结论求的值． 【变式7-2】（2025·高二·江苏南京·月考）我们学过组合数的定义，，其中，并且．牛顿在研究广义二项式定理过程中把二项式系数中的下标推广到任意实数，规定广义组合数是组合数的一种推广，其中，且规定．于是广义二项式定理可写成：，其中．等式右端有无穷项． (1)求和的值． (2)计算的近似值，保留到小数点后位． (3)求的值． 【变式7-3】（2025·高二·江苏徐州·期末）已知的展开式的各项系数和为256. (1)求展开式中的常数项； (2)设，证明：； (3)求证：. 题型八：二项展开式的系数和问题 【例8】（多选题）（2025·高二·辽宁·月考）已知，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】（多选题）（2025·高三·河北唐山·期中）在的二项展开式中，下列说法中正确的有（   ） A．所有奇数项的二项式系数和为 B．所有项的系数和为 C．二项式系数最大的项为第5项或第6项 D．展开式中的常数项是第9项 【变式8-2】（多选题）（2025·高二·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（多选题）（2025·高三·重庆·开学考试）已知 则（    ） A． B． C． D． 题型九：二项式系数性质的应用 【例9】（2025·高三·天津·月考）在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的系数为 . 【变式9-1】（2025·高三·江西·月考）已知的展开式中二项式系数最大项仅为第4项，则其常数项为 . 【变式9-2】在的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则二项式系数最大的项的系数为 ． 【变式9-3】在二项式中，，若它的展开式中系数最大的项是常数项，则的取值范围是 ． 题型十：三项式及多项式展开问题 【例10】的展开式中，的系数为 【变式10-1】（2025·高三·辽宁沈阳·期中）的展开式中，的系数为 .（用数值作答） 【变式10-2】（2025·高三·黑龙江佳木斯·期中）展开式中，的系数为 . 【变式10-3】（1）在的展开式中，含的项为 ． （2）在的展开式中，的系数为 ． 题型十一：杨辉三角问题 【例11】（2025·高二·山东·月考）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（   ） A．在第10行中第5个数最大 B．第2023行中第1011个数和第1012个数相等 C． D．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于第9行的第8个数 【变式11-1】（2025·高二·湖北·月考）“杨辉三角”是最早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中.“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示.在“杨辉三角”中第n行从左往右第i个数记为，则为（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】（2025·高二·广东中山·月考）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论错误的是（   ） 第0行                  1 第1行                1  1 第2行              1  2  1 第3行            1  3  3  1 第4行          1  4  6  4  1 第5行        1  5  10  10  5  1 第6行      1  6  15  20  15  6  1 第7行     1  7  21  35  35  21  7  1 第8行    1  8  28  56  70  56  28  8  1           …… A．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于第9行的第8个数 B．第2023行中第1012个数和第1013个数相等 C．记“杨辉三角”第n行的第i个数为，则 D．第34行中第15个数与第16个数之比为 【变式11-3】（2025·高二·黑龙江绥化·期末）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．如图，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，如第4行的6为第3行中两个3的和．则下列命题正确的是（    ）． A．在“杨辉三角”第9行中，从左到右第7个数是86 B．第9行所有数字之和为256 C．记第20，21行数字的最大值分别为a，b，则 D．在“杨辉三角”中，从第2行起到第12行，每一行的第3列的数字之和为286 1．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）若的展开式中，所有项的二项式系数之和为1024，则该展开式中的常数项为（    ） A． B．45 C． D．90 2．（25-26高三上·广东揭阳·期中）已知的展开式中各项系数之和为64，则该展开式的常数项为（    ） A．10 B．20 C．30 D．40 3．（25-26高三上·河北沧州·月考）在的展开式中，的系数为（   ） A． B． C． D． 4．（2026高三·全国·专题练习）的展开式中的系数为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 5．（24-25高二下·广东湛江·期末）在的展开式中，的系数是（ ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·河北邯郸·期中）若的展开式中的系数比的系数小300，则实数（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 7．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）若的二项展开式共有8项，则该二项展开式（   ） A． B．各项的二项式系数和为128 C．二项式系数最大的项只有1项 D．第5项系数等于 8．（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知且，则的展开式中含项的系数是（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高三上·北京·月考）展开式中的系数为（   ） A． B． C．160 D．80 10．（2025·四川巴中·模拟预测）的展开式中的系数为（    ） A．12 B．60 C．160 D．240 11．（2025·湖南益阳·模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D． 12．（2025·全国·模拟预测）若的展开式中二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（    ） A．160 B． C．20 D． 13．（25-26高三上·福建·开学考试）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表．数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究．下列结论不正确的是（   ） A． B．第2025行的第1013个数和第1014个数相等 C．在杨辉三角中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字 D．记杨辉三角中第行的第个数为，则 14．（24-25高二下·湖北武汉·期末）在的展开式中，含项的系数是（   ） A．1139 B．1140 C．1329 D．1330 15．（2025高二·全国·专题练习）若（a，b为有理数），则（    ） A．44 B．32 C．28 D．52 16．（2025高二·全国·专题练习）已知展开式中第3项的系数比第2项的系数大162，则n的值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 17．（2025高二·全国·专题练习）若，则等于（    ）． A．400 B．425 C．625 D．800 18．（25-26高二上·四川·期中）在二项式的展开式中，其展开式中各二项式系数和为，求： (1)和展开式的所有项系数之和； (2)展开式中的有理项． 19．（25-26高二上·河南驻马店·月考）已知的展开式中第项为，，且第三项和第九项的二项式系数相等． (1)求第四项的二项式系数与系数； (2)求二项式系数的最大值及展开式系数的最大值． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 二项式定理 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：二项式定理 1、定义 一般地，对于任意正整数，都有： 这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式． 式中的做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：，其中的系数叫做二项式系数 2、二项式的展开式的特点： （1）项数：共有项，比二项式的次数大1； （2）二项式系数：第项的二项式系数为，最大二项式系数项居中； （3）次数：各项的次数都等于二项式的幂指数．字母降幂排列，次数由到0；字母升幂排列，次数从0到，每一项中，a，b次数和均为； 知识点2：二项展开式的通顶公式 二项展开式的通项： 公式特点： （1）它表示二项展开式的第项，该项的二项式系数是； （2）字母的次数和组合数的上标相同； 知识点3：二顶式系数及其性质 1、的展开式中各项的二顶式系数、、…具有如下性质： ①对称性：二项展开式中，与首末两端“等距离"的两项的二项式系数相等，即； ②增减性与最大值：二项式系数在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，在中间取得最大值．其中，当为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数最大；当为奇数时，二项展开式中间两项的二项式系数相等，且最大． （3）各二项式系数之和为，即； （4）二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和，即． 知识点诠释： 二项式系数与展开式的系数的区别 二项展开式中，第项的二项式系数是组合数，展开式的系数是单项式的系数，二者不一定相等． 2、展开式中的系数求法的整数且 知识点诠释： 三项或三项以上的展开式问题，把某两项结合为一项，利用二项式定理解决． 题型一：二项式定理的正用、逆用 【例1】求多项式的展开式． 【解析】， ． 【变式1-1】求的展开式； 【解析】方法一： ． 方法二： ． 【变式1-2】（1）求的展开式； （2）化简：. 【解析】方法一  ： . 方法二：   . （2）原式 . 【变式1-3】（2025·高二·新疆省直辖县级单位·月考）计算二项式： (1)化简：； (2)写出的展开式并化简. 【解析】（1）因为 ， 所以. （2）因为的展开式的通项为， 所以. 题型二：二项式系数与项的系数 【例2】（2025·北京·三模）在的展开式中，含的项的二项式系数为（   ） A．6 B．16 C．24 D．216 【答案】A 【解析】由题可知：的项的二项式系数为. 故选：A 【变式2-1】（2025·高二·重庆·期中）在二项式的展开式中，含项的二项式系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】已知的展开式第项为， 当，为含项，二项式系数为. 故选：C. 【变式2-2】（2025·高二·辽宁·月考）的展开式中的系数为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【解析】解法一：因为， 所以展开式中的系数为1； 解法二：展开式中的项为， 所以的系数为1. 故选：C 【变式2-3】（2025·江西宜春·模拟预测）在的展开式中的系数为（    ） A．144 B．136 C．128 D．121 【答案】A 【解析】， 令，得，所以. 故选：A. 题型三：展开式中的特定项 【例3】（2025·高二·广东中山·月考）的展开式中常数项为（    ） A．120 B．-120 C．180 D．-180 【答案】D 【解析】 展开式的通项为:，. 不存在的值使得，所以的展开式中没有常数项； 当且仅当时，的展开式可取到常数项，则的常数项为. 综上所述：的展开式中常数项为-180. 故选：D. 【变式3-1】（2025·高三·北京·月考）在的展开式中，求含的项为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题知二项式展开式的通项且， 当时，解得， 此时含的项为. 故选：C. 【变式3-2】（2025·湖南长沙·三模）二项式的展开式中第5项的系数为（    ） A．252 B．-252 C．210 D．-210 【答案】C 【解析】二项式展开式的通项公式， 当时，第5项系数为210． 故选：C. 【变式3-3】（2025·高二·湖北武汉·月考）二项式的展开式中常数项为（    ） A．160 B． C． D． 【答案】C 【解析】因为二项式的展开式的通项为，令，得， 所以常数项为. 故选：C 题型四：求两个多项式积的特定项 【例4】（2025·广东·模拟预测）的展开式中，的系数为（    ） A．60 B．30 C．45 D．15 【答案】A 【解析】的展开式中，有， 则的系数为，的系数为， 所以的展开式中，的系数为． 故选：A． 【变式4-1】（2025·高二·吉林长春·期末）的展开式中，的系数与常数项之差为（   ） A．20 B．19 C． D． 【答案】B 【解析】，展开式中的系数为， 常数项为2，故的系数与常数项之差为． 故选：B． 【变式4-2】（2025·高二·天津西青·期末）的展开式中的系数是（    ） A．0 B．2 C．4 D．10 【答案】B 【解析】由的展开式中的项是：， 所以的展开式中的系数是， 故选：B. 【变式4-3】（2025·高二·广东广州·期末）的展开式中的系数为（    ） A．0 B．10 C． D．20 【答案】A 【解析】由题意得展开式的通项公式为， 令，， 令，，所以的系数为0. 故选：A. 题型五：系数的最值问题 【例5】（2025·甘肃白银·三模）已知展开式的所有二项式系数之和为32，则展开式的各项中系数的最大值为（    ） A．252 B．210 C．120 D．10 【答案】B 【解析】因为展开式的所有二项式系数之和为32， 所以， 所以的通项公式为 ， 当或6时，展开式的系数最大，其系数最大值为， 故选：B 【变式5-1】（2025·高二·河南洛阳·期中）的展开式中系数最大的是（   ） A．的系数 B．的系数 C．的系数 D．的系数 【答案】B 【解析】设的展开式的通项为，， 由题意可得， 解得，因为 所以， 所以的展开式中系数最大的是的系数. 故选：B. 【变式5-2】（2025·高二·安徽滁州·期中）的展开式中二项式系数最大的项为（    ） A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项 【答案】B 【解析】因为展开式中共有7项，所以展开式中间项的二项式系数最大， 则第4项的二项式系数最大，故B正确. 故选：B. 【变式5-3】（2025·高三·浙江宁波·月考）二项式展开式中，系数最大值为（    ） A．280 B．448 C．560 D．672 【答案】C 【解析】展开式通项公式为，且为整数， 要想系数最大，则为偶数，是展开式中的奇数项， 则第项的系数为，第项的系数为，第项的系数为，第7项的系数为， 故二项式展开式中，系数最大值为. 故选：C 题型六：余数和整除的问题 【例6】（2025·高二·辽宁锦州·期末）若既能被整除又能被整除，则正整数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为既能被整除又能被整除，故能被整除， 因为 ， 且能被整除，故能被整除， 设，可得，故的最小值为. 故选：D.. 【变式6-1】（2025·高二·陕西咸阳·期末）除以128的余数为（   ） A．51 B．43 C．41 D．33 【答案】C 【解析】因为， 且显然能被128整除， 所以所求余数即为681除以128的余数. 因为，所以除以128的余数为41. 故选：C. 【变式6-2】（2025·高二·山东滨州·期末）被8除的余数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．7 【答案】C 【解析】， 显然中每一项都是8的倍数，因此代数和能被8整除，而除以8后余数为6， 所以被8除的余数为6， 故选：C. 【变式6-3】（2025·高二·湖北黄冈·期末）设，且，若能被9整除，则（    ） A．0 B．1 C．7 D．8 【答案】B 【解析】 因为能被9整除，所以，所以. 故选：B 题型七：证明不等式或求近似值 【例7】（2025·高二·江苏南京·期末）已知（，）的展开式中，第2，3，4项的二项式系数成等差数列. (1)求的值； (2)求的近似值（精确到0.01）； (3)求的二项展开式中系数最大的项. 【解析】（1）∵展开式中第2，3，4项的二项式系数成等差数列， ∴，整理得,解得， 又∵，∴ （2） （3） 依题意得，，即, 解之，， 又∵，∴ 故展开式中系数最大得项为 【变式7-1】（2025·高二·江苏宿迁·月考）已知． (1)求的值 (2) ①证明：，其中，，，，； ②利用的结论求的值． 【解析】（1）令，得， 令，得， （2）① 证明：， ， ②由①得：， ， ， ， ， ， ． 【变式7-2】（2025·高二·江苏南京·月考）我们学过组合数的定义，，其中，并且．牛顿在研究广义二项式定理过程中把二项式系数中的下标推广到任意实数，规定广义组合数是组合数的一种推广，其中，且规定．于是广义二项式定理可写成：，其中．等式右端有无穷项． (1)求和的值． (2)计算的近似值，保留到小数点后位． (3)求的值． 【解析】（1），. （2） （3）根据已知条件所给式子， 考虑的展开式中，的系数． 左式为，的系数为， 右式中的系数为， 所以． 【变式7-3】（2025·高二·江苏徐州·期末）已知的展开式的各项系数和为256. (1)求展开式中的常数项； (2)设，证明：； (3)求证：. 【解析】（1）因为的展开式的各项系数和为256， 所以，解得， 所以， 展开式的通项公式为， 令，得， 所以展开式中的常数项为； （2）证明：因为 ， 所以； （3）证明：因为由（2）知， 所以 ． 题型八：二项展开式的系数和问题 【例8】（多选题）（2025·高二·辽宁·月考）已知，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】对于A项，令，则，A项正确； 对于B项，令，则，B项正确； 对于C项，令，则，结合B项得，C项错误； 对于D项，，，则，D项正确． 故选：ABD 【变式8-1】（多选题）（2025·高三·河北唐山·期中）在的二项展开式中，下列说法中正确的有（   ） A．所有奇数项的二项式系数和为 B．所有项的系数和为 C．二项式系数最大的项为第5项或第6项 D．展开式中的常数项是第9项 【答案】ABD 【解析】对于A，二项展开式中的所有奇数项的二项式系数和为，所以A正确； 对于B，令，可得二项展开式中所有的系数和为，所以B正确； 对于C，由二项式的二项展开式中有11项， 其中展开式中的二项式系数的最大为中间项，即第6项的二项式系数最大，所以C不正确； 对于D，由二项式展开式的通项为， 令，解得，所以二项展开式中的常数项是第9项，所以D正确. 故选：ABD. 【变式8-2】（多选题）（2025·高二·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】令，得，故A错误； 令，得，故B正确； 令，得，故C正确； 将与这两式的左右两边分别相加， 得，解得，故D错误. 故选：BC. 【变式8-3】（多选题）（2025·高三·重庆·开学考试）已知 则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】对A：因为，故A错误； 对B：令，得，故 B正确； 对C：令得①， 令得②. ①    ②得：；①②得. 所以，故C正确； 对D：设， 则. 再令得，故D错误. 故选：BC 题型九：二项式系数性质的应用 【例9】（2025·高三·天津·月考）在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的系数为 . 【答案】7 【解析】因为只有第5项的二项式系数最大， 所以展开式共有9项，即， 所以展开式的通项公式为， 令，解得， 所以展开式中的系数为. 故答案为：7 【变式9-1】（2025·高三·江西·月考）已知的展开式中二项式系数最大项仅为第4项，则其常数项为 . 【答案】 【解析】依题意有， ， 令得， 所以常数项为， 故答案为：. 【变式9-2】在的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则二项式系数最大的项的系数为 ． 【答案】1120 【解析】奇数项与偶数项的二项式系数之和相等，则的展开式中二项式系数之和为256， 即，解得，二项式系数最大的项为， 故二项式系数最大的项的系数为1120． 故答案为：1120 【变式9-3】在二项式中，，若它的展开式中系数最大的项是常数项，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】， 由，且. 即当时，既是常数项又是系数最大的项，故， 即， 由，； 由，，. 所以：． 故答案为： 题型十：三项式及多项式展开问题 【例10】的展开式中，的系数为 【答案】 【解析】个因式，个因式中取，个因式中取，个因式中取， 即可得出含的项， 则的系数为， 故的系数为. 故答案为：. 【变式10-1】（2025·高三·辽宁沈阳·期中）的展开式中，的系数为 .（用数值作答） 【答案】 【解析】由于表示5个因式的乘积， 故其中有2个因式取，2个因式取，剩余的一个因式取，可得含的项， 故展开式中含的项为，其系数为. 故答案为：． 【变式10-2】（2025·高三·黑龙江佳木斯·期中）展开式中，的系数为 . 【答案】 【解析】展开式中，的项为，则的系数为. 故答案为： 【变式10-3】（1）在的展开式中，含的项为 ． （2）在的展开式中，的系数为 ． 【答案】 30 【解析】（1）解法1：， 二项式的通项为， 令，则，可求得含的项为. 解法2：， 则通项为， 令，即时，可求得含的项为． 解法3：表示4个相乘，每个相乘时有三种选择， 选x或或． 设选a个， b个，则选的有个，其中， 相乘后x的次数为， 由，解得或， 即在4个相乘时，选2个x、2个，或选3个x、1个， 故含的项为． （2）解法1：，含的项为， 其中，中含的项为，所以的系数为． 解法2：为5个相乘，每个相乘时有三种选择， 选或x或y． 设选a个，选b个，则选y的有个，其中， 根据次数关系可知，解得， 即选的有2个，选的有1个，则选y的有2个，所以的系数为． 故答案为：； 题型十一：杨辉三角问题 【例11】（2025·高二·山东·月考）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（   ） A．在第10行中第5个数最大 B．第2023行中第1011个数和第1012个数相等 C． D．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于第9行的第8个数 【答案】D 【解析】对于A，因“杨辉三角”的第10行中第5个数是，又，故A错误； 对于B，因“杨辉三角”的第2023行中第1011个数和第1012个数分别为和， 因，故，故B错误； 对于C， ，故C错误； 对于D，因，而，故D正确． 故选：D． 【变式11-1】（2025·高二·湖北·月考）“杨辉三角”是最早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中.“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示.在“杨辉三角”中第n行从左往右第i个数记为，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】第行的第个数为，则， ， 所以， 所以； 故选：D. 【变式11-2】（2025·高二·广东中山·月考）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论错误的是（   ） 第0行                  1 第1行                1  1 第2行              1  2  1 第3行            1  3  3  1 第4行          1  4  6  4  1 第5行        1  5  10  10  5  1 第6行      1  6  15  20  15  6  1 第7行     1  7  21  35  35  21  7  1 第8行    1  8  28  56  70  56  28  8  1           …… A．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于第9行的第8个数 B．第2023行中第1012个数和第1013个数相等 C．记“杨辉三角”第n行的第i个数为，则 D．第34行中第15个数与第16个数之比为 【答案】D 【解析】A选项，第6行的第7个数为1，第7行的第7个数为7，第8行的第7个数为28， 它们之和等于36，第9行的第8个数是，A正确； B选项，第2023行是二项式的展开式的系数， 故第2023行中第1012个数为，第1013个数为，又，B正确； C选项，“杨辉三角”第n行是二项式的展开式的系数，所以， ，C正确； D选项，第34行是二项式的展开式的系数， 所以第15个数与第16个数之比为，D错误． 故选：D． 【变式11-3】（2025·高二·黑龙江绥化·期末）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．如图，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，如第4行的6为第3行中两个3的和．则下列命题正确的是（    ）． A．在“杨辉三角”第9行中，从左到右第7个数是86 B．第9行所有数字之和为256 C．记第20，21行数字的最大值分别为a，b，则 D．在“杨辉三角”中，从第2行起到第12行，每一行的第3列的数字之和为286 【答案】D 【解析】在“杨辉三角”第9行中，从左到右第7个数是，A错误； 由二项式系数的性质知，第n行各数的和为，所以第8行所有数字之和为，则第9行数字之和必大于256，B错误； 第20行数字的最大值为，第21行数字的最大值为，所以，C错误； 在“杨辉三角”中，当时，从第2行起，每一行的第3列的数字之和为，D正确． 故选：D 1．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）若的展开式中，所有项的二项式系数之和为1024，则该展开式中的常数项为（    ） A． B．45 C． D．90 【答案】B 【解析】由题意可知的展开式中，所有项的二项式系数之和为1024，故，则， 则展开式的通项公式为， 令，则，则该展开式中的常数项为. 故选：B 2．（25-26高三上·广东揭阳·期中）已知的展开式中各项系数之和为64，则该展开式的常数项为（    ） A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】B 【解析】令得，解得， 二项式的展开式的通项公式为且， 所以当时，；当时，， 所以二项式展开式的常数项为. 故选：B 3．（25-26高三上·河北沧州·月考）在的展开式中，的系数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在的展开式中，的系数为，的系数为， 所以的展开式中，的系数为， 故选：B. 4．（2026高三·全国·专题练习）的展开式中的系数为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【解析】的通项公式， 令，则，所以的系数为 故选：B 5．（24-25高二下·广东湛江·期末）在的展开式中，的系数是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可得，的通项 ， ， 令，得， 所以的系数为， 故选：A. 6．（25-26高三上·河北邯郸·期中）若的展开式中的系数比的系数小300，则实数（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【解析】由二项式展开式的通项为， 令，可得，所以展开式的的系数为， 令，可得，所以展开式的的系数为， 因为展开式中的系数比的系数小300，可得， 即，解得或， 又因为，所以. 故选：A. 7．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）若的二项展开式共有8项，则该二项展开式（   ） A． B．各项的二项式系数和为128 C．二项式系数最大的项只有1项 D．第5项系数等于 【答案】B 【解析】由题意，解得，故A错误； 二项展开式的各项的二项式系数和为，故B正确； 的二项展开式共有8项，其二项式系数最大的项有两项，分别为第四项和第五项，故C错误； 对于D，二项展开式的第5项为，其系数为35，故D错误. 故选：B. 8．（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知且，则的展开式中含项的系数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】展开式中含的项是， 的展开式中含的项的系数为， ， . 故选：D. 9．（25-26高三上·北京·月考）展开式中的系数为（   ） A． B． C．160 D．80 【答案】A 【解析】表示5个相乘，每个在相乘时均有三种选择， 选或或． 设选的有个，选的有个，那么选的有个， 则有，解得或或， 即选5个；或者选1个、3个、1个；或者选2个、1个、2个； 因此含项的系数为. 故选：A 10．（2025·四川巴中·模拟预测）的展开式中的系数为（    ） A．12 B．60 C．160 D．240 【答案】B 【解析】因为的二项展开式的通项为 ， 令，解得，所以， 所以的展开式中的系数为60. 故选：B 11．（2025·湖南益阳·模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，令，得，即，故A错误； 对于B，展开式的通项公式为， 所以，故B错误； 对于C，令，得， 即，故C正确； 对于D，令，得， 即， 因为， 所以， 因为， 所以不成立，故D错误. 故选：C 12．（2025·全国·模拟预测）若的展开式中二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（    ） A．160 B． C．20 D． 【答案】B 【解析】因为的展开式的二项式系数和为64，即，解得， 则的展开式通项为， 令得，所以的常数项为. 故选：B． 13．（25-26高三上·福建·开学考试）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表．数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究．下列结论不正确的是（   ） A． B．第2025行的第1013个数和第1014个数相等 C．在杨辉三角中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字 D．记杨辉三角中第行的第个数为，则 【答案】D 【解析】对于A， ， A正确； 对于B，第2025行的第1013个数和第1014个数分别为，而，B正确； 对于C，第行所有数字的平方和， 第行的中间一项的数字是展开式中项的系数， 而， 又展开式中项的系数为， 因此，C正确； 对于D，因为，所以，D不正确. 故选：D 14．（24-25高二下·湖北武汉·期末）在的展开式中，含项的系数是（   ） A．1139 B．1140 C．1329 D．1330 【答案】C 【解析】因为的展开通项为， 所以的展开式中含项的系数分别为 、、，其系数和为， 则， 其中，，，依次类推， 得出. 故选：C. 15．（2025高二·全国·专题练习）若（a，b为有理数），则（    ） A．44 B．32 C．28 D．52 【答案】A 【解析】利用二项式定理展开，得 ， ，， 即， 故选：． 16．（2025高二·全国·专题练习）已知展开式中第3项的系数比第2项的系数大162，则n的值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【解析】． 由题意得，即得，解得， 故选：B． 17．（2025高二·全国·专题练习）若，则等于（    ）． A．400 B．425 C．625 D．800 【答案】D 【解析】解法1：， 与的展开式通项分别为： ，． 由题意知且，解得或或， 因此. 解法2：表示5个相乘，每个在相乘时均有三种选择，选或或2． 设选的有a个，选的有b个，那么选2的有个，故有，解得或， 即选2个、3个2，或者选1个、4个2，因此含项的系数为， 故选：D． 18．（25-26高二上·四川·期中）在二项式的展开式中，其展开式中各二项式系数和为，求： (1)和展开式的所有项系数之和； (2)展开式中的有理项． 【解析】（1）二项式系数和为，，解得， 令二项式中，则． ，所有项系数之和为1． （2）二项式的通项为， 若为有理项，则，即， ， ， ， ， ， ． 19．（25-26高二上·河南驻马店·月考）已知的展开式中第项为，，且第三项和第九项的二项式系数相等． (1)求第四项的二项式系数与系数； (2)求二项式系数的最大值及展开式系数的最大值． 【解析】（1）已知的展开式中第项，，且第三项和第九项的二项式系数相等． 即，故； 又展开式的通项为，故， 所以第四项的二项式系数为，系数为； （2）因为是偶数，故二项式系数的最大值为， 因为，故， 因为， 令，得：，因为是正整数，故时，； 时，， 所以第8项的系数最大，最大值为． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $