第01讲 空间向量及其运算（11大题型）（寒假预习讲义）高二数学苏教版

第01讲 空间向量及其运算 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：空间向量的有关概念 1、空间向量 （1）定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． （2）长度或模：空间向量的大小． （3）表示方法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示； ②字母表示法：用字母表示；若向量的起点是，终点是，也可记作：，其模记为或． 知识点诠释： （1）空间中点的一个平移就是一个向量； （2）数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量． 2、几类常见的空间向量 名称 方向 模 记法 零向量 任意 0 单位向量 任意 1 相反向量 相反 相等 的相反向量： 的相反向量： 相等向量 相同 相等 知识点2 ：空间向量的线性运算 （1）向量的加法、减法 空间向量的运算 加法 减法 加法运算律 ①交换律： ②结合律： （2）空间向量的数乘运算 ①定义：实数与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为向量的数乘运算． 当时，与向量方向相同； 当时，与向量方向相反； 当时，；的长度是的长度的倍． ②运算律 结合律：． 分配律：，． 知识点诠释： （1）空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法则．而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并； （2）向量的减法运算是向量加法运算的逆运算，满足三角形法则． （3）空间向量加法的运算的小技巧： ①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量， 即： 因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量； ②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量， 即：； 知识点3 ：共线问题 共线向量 （1）定义：表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量． （2）方向向量：在直线l上取非零向量，与向量平行的非零向量称为直线l的方向向量． 规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量，都有． （3）共线向量定理：对于空间任意两个向量，，的充要条件是存在实数使． （4）如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知，存在实数，使得． 知识点诠释：此定理可分解为以下两个命题： （1）存在唯一实数，使得； （2）存在唯一实数，使得，则． 注意：不可丢掉，否则实数就不唯一． （3）共线向量定理的用途： ①判定两条直线平行；（进而证线面平行） ②证明三点共线． 注意：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法．证明三点共线问题，通常不用图形，直接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点． 知识点4 ：向量共面问题 共面向量 （1）定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量． （2）共面向量定理：若两个向量，不共线，则向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使． （3）空间一点P位于平面ABC内的充要条件：存在有序实数对，使或对空间任意一点O，有． （4）共面向量定理的用途： ①证明四点共面 ②线面平行（进而证面面平行）． 知识点5 ：空间向量数量积的运算 空间向量的数量积 （1）定义：已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作．即． 规定：零向量与任何向量的数量积为． （2）常用结论（，为非零向量） ①． ②． ③． （3）数量积的运算律 数乘向量与数量积的结合律 交换律 分配律 知识点诠释： （1）由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号及向量的模的概念和表示符号等，都与平面向量相同． （2）两向量的数量积，其结果是数而非向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决定． （3）两个向量的数量积是两向量的点乘，与以前学过的向量之间的乘法是有区别的，在书写时一定要将它们区别开来，不可混淆． 知识点6 ：夹角问题 1、定义：已知两个非零向量、，在空间任取一点D，作，，则叫做向量与的夹角，记作，如下图． 根据空间两个向量数量积的定义：， 那么空间两个向量、的夹角的余弦． 知识点诠释： （1）规定： （2）特别地，如果，那么与同向；如果，那么与反向；如果，那么与垂直，记作． 2、利用空间向量求异面直线所成的角 异面直线所成的角可以通过选取直线的方向向量，计算两个方向向量的夹角得到． 在求异面直线所成的角时，应注意异面直线所成的角与向量夹角的区别：如果两向量夹角为锐角或直角，则异面直线所成的角等于两向量的夹角；如果两向的夹角为钝角，则异面直线所成的角为两向量的夹角的补角． 知识点7 ：空间向量的长度 1、定义： 在空间两个向量的数量积中，特别地，所以向量的模： 将其推广： ；． 2、利用向量求线段的长度． 将所求线段用向量表示，转化为求向量的模的问题．一般可以先选好基底，用基向量表示所求向量，然后利用来求解． 题型一：空间向量的概念 【例1】（25-26高二上·广东江门·月考）空间向量中，下列结论错误的是（   ） A． B． C．单位向量的长度为1 D．零向量的方向任意 【变式1-1】（25-26高二上·贵州毕节·月考）下列说法错误的是（    ） A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 B．是向量的必要不充分条件 C．只有零向量的模等于0 D．共线的单位向量都相等 【变式1-2】（25-26高二上·重庆·期中）关于空间向量，下列四个结论正确的是（    ） A．共线的单位向量都相等 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．相反向量指方向相反的两个向量 D．任意两个空间向量一定共面 【变式1-3】（25-26高二上·天津·月考）下列关于空间向量的命题中，正确的是（   ） A．空间中所有的单位向量都相等 B．长度相等且方向相反的两个向量是相反向量 C．若满足，且同向，则 D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同 题型二：空间向量及其线性运算 【例2】（25-26高二上·贵州六盘水·月考）如图所示，在三棱锥中，点是的中点，记．则（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高二上·河南开封·月考）如图，在三棱锥中，，，，点在线段OA上，且，为线段BC的中点，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高二上·河北·月考）如图，在正四面体中，，是的重心，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26高二上·河南周口·月考）已知四棱锥底面是平行四边形，且，若，，则（　　） A． B． C． D． 题型三：共线向量（或平行向量） 【例3】（24-25高二上·河南许昌·月考）在长方体中，，分别为，的中点，则下列向量中与向量平行的向量是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】下列条件中，能说明空间中不重合的三点A、B、C共线的是（  ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高二上·天津武清·月考）设向量，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3-3】（24-25高二上·湖南长沙·期中）已知非零向量，，且、、不共面，若，则（   ） A． B． C．8 D．13 题型四：空间向量的夹角 【例4】（25-26高二上·北京·期中）三棱锥中，，，两两垂直，.则和的夹角为（   ） A． B． C． D．90° 【变式4-1】（24-25高二上·安徽芜湖·月考）已知空间向量满足，，则与的夹角为（　　） A．30° B．45° C．60° D．以上都不对 【变式4-2】（24-25高二上·北京·月考）如图所示，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱的长度都为1，且两两夹角为，则与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（24-25高二上·福建福州·期中）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是，在下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D．向量与的夹角是 题型五：空间向量的数量积 【例5】（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）在平行六面体中，各棱长均为2，，则 . 【变式5-1】（25-26高二上·安徽·期中）如图，平行六面体的底面是正方形，，则 ． 【变式5-2】（25-26高二上·广东茂名·期中）已知是棱长为1的正方体表面上不同的三点，则的最小值是 【变式5-3】（25-26高二上·河北沧州·月考）在正三棱柱中，，为的中点，则 . 题型六：空间向量的投影向量 【例6】（25-26高二上·广西来宾·期中）如图，在长方体中，是的中点，，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26高二上·四川·月考）在正方体中，向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26高二上·陕西渭南·期中）已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量为（  ） A． B． C． D． 【变式6-3】（25-26高二上·重庆九龙坡·期中）如图，在四棱锥中，平面，，若点为棱上靠近点的三等分点，则在上的投影向量为（    ）    A． B． C． D． 题型七：共面向量 【例7】（25-26高二上·青海·月考）若是空间的一个基底，则下列各组向量中，与不能构成空间的一个基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式7-1】（25-26高二上·广东东莞·期中）若是空间的一个基底，则下列各组向量中，不共面的一组是（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25高二上·广东中山·月考）若构成空间的一组基底，则（    ） A．，，不共面 B．，，不共面 C．，，不共面 D．，，不共面 【变式7-3】（25-26高二上·安徽亳州·期中）已知A，B，C，D是空间不共面的四点，点P满足：，则（    ） A．P，A，B，C四点共面 B．P，A，B，D四点共面 C．P，B，C，D四点共面 D．P，A，C，D四点共面 题型八：共面向量定理 【例8】（25-26高二上·贵州贵阳·月考）已知是平面外任意一点，点在面内，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】（25-26高二上·重庆·月考）已知平面内有四点 ，其中 三点不共线，且 为平面 内一点，若 ，则 （   ） A． B． C． D． 【变式8-2】（25-26高二上·陕西汉中·月考）已知四面体中，，，，，空间一点M满足，若四点共面，则（   ） A． B． C． D． 【变式8-3】（25-26高二上·辽宁朝阳·月考）已知动点在所在平面内运动，若对于空间中任意一点，都有，则实数的值为（　　） A． B． C． D． 题型九：空间四点共面的条件 【例9】（25-26高二上·河南漯河·月考）已知A，B，C，D四点是平面四边形的四个顶点，O是平面ABCD外一点.若，则（    ） A． B． C． D．1 【变式9-1】（24-25高二下·江苏扬州·期中）对于空间中任意一点O和不共线的三点A，B，C，能得到点P在平面ABC内的是（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】（24-25高二上·安徽铜陵·月考）已知A，B，C，D是空间不共面的四点，点P满足：，则（    ） A．P，A，B，C四点共面 B．P，A，B，D四点共面 C．P，B，C，D四点共面 D．P，A，C，D四点共面 【变式9-3】（22-23高二上·广东清远·期中）在下列条件中，使与一定共面的是（   ） A． B． C． D． 题型十：利用空间向量的数量积求线段的长度 【例10】（25-26高二上·重庆荣昌·月考）在平行六面体中，长度均为2，两两夹角均为，则对角线的长度为 ； 【变式10-1】（25-26高二上·广东深圳·月考）如图在平行六面体中，，，，则的长是 ．    【变式10-2】（25-26高二上·河北·期中）如图，某科技公司研发的智能仓储机械臂由空间长均为1米的三段AB、BC、CD构成，A处为机械臂固定基座，机械活动关节B，C处可自由活动，当机械臂处于，，AB，CD所在直线所成角为60°的位置时，A，D两点之间距离为 米（忽略机械臂粗细，AB、BC、CD均按线段计算）. 【变式10-3】如图，二面角的平面角的大小为，，，，则 ．    题型十一：利用空间向量的数量积证垂直 【例11】（25-26高二上·浙江·期中）如图，在平行六面体中，，，点为的中点.    (1)求的长； (2)已知为上的动点，若，求的长. 【变式11-1】（25-26高二上·福建泉州·期中）如图，已知在平行六面体中，，，，，，，分别是，的中点. (1)若对角线的长度为时，求的值； (2)求证：. 【变式11-2】（25-26高二上·河北·期中）四面体ABCD中，，. (1)证明：； (2)证明：四面体三组对棱的中点间距离相等. 【变式11-3】（25-26高二上·安徽·期中）如图所示实验装置，由矩形ABCD和ABEF构成，且，，.活动点M，N分别在对角线BD，AE上移动，且.记，，，且，. (1)用向量，，表示，. (2)为何值时，最小，最小值是多少？ (3)当时，证明：平面ABCD. 1．（25-26高二上·河北·月考）如图，二面角的大小为，棱l上有两点A，B，线段和分别在面和内，且，.若，，则的长为（   ） A．10 B．8 C．6 D． 2．（25-26高二上·安徽·月考）在三棱柱中，，分别是线段，上靠近，的三等分点，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·吉林松原·期末）郑国渠是秦王嬴政命郑国修建的著名水利工程，先人用智慧和勤劳修筑了一道道坚固的堤坝.如图是一道堤坝的示意图，堤坝斜面与底面的交线记为，点分别在堤坝斜面与地面上，过点分别作直线的垂线，垂足分别为，若，二面角的大小为，则（    ） A．3 B． C． D．6 4．（25-26高二上·湖南·期中）如图，在空间四面体中，已知，，则异面直线与所成角是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·广东·期中）已知三棱锥的体积为5，是边长为4的正三角形，点为的中点，点满足，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 6．（多选题）（25-26高二上·福建福州·期中）如图，平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是60°，则（   ）    A． B． C．四边形的面积为 D．平行六面体的体积为 7．（多选题）（24-25高二上·辽宁锦州·期末）平行六面体的底面是正方形，，，，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．点在平面内 C． D．直线与所成角的余弦值为 8．（25-26高二上·云南曲靖·月考）在正三棱锥中，，，D为棱AB的中点，则正三棱锥的体积为 ， ， . 9．（25-26高二上·山西·月考）如图，在三棱锥中，，则 ． 10．（25-26高二上·湖北·期中）如图，已知在四棱锥中，与相交于点，且为的中点，．若平面与棱交于点，记四棱锥的体积为，四棱锥的体积为则 11．（25-26高二上·安徽合肥·期中）已知平行六面体，满足，，，．若的中点为，则的长度为 12．（25-26高二上·河北石家庄·月考）如图，在三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于2，为的中点，为线段上靠近的三等分点. (1)设，试用向量表示； (2)求线段的长度. 13．（25-26高二上·浙江金华·月考）如图，在平行六面体中，，，，，求： (1)试用表示，再求的长度； (2)求直线与直线所成角的余弦值． 14．（25-26高二上·湖北·月考）如图，在空间四边形中，，点为的中点，设． (1)试用向量表示向量； (2)若，求的值． 15．（25-26高二上·湖北武汉·期中）已知向量，，是空间中不共面的三个向量，若，，. (1)若三点共线，求的值； (2)若四点共面，求的最大值. 16．（25-26高二上·广西来宾·期中）在平行六面体中，，，，设，，．    (1)求的值； (2)若点，满足，，试用，，表示； (3)求异面直线与所成角的余弦值． 17．（25-26高二上·山东青岛·期中）如图所示，在平行六面体中，底面是边长为的菱形，，，、分别在线段和上，且，． (1)证明：、、、四点共面； (2)为的中点，求直线与所成角的余弦值． 18．（25-26高二上·湖北·月考）如图，已知在平行六面体中，，分别是的中点.    (1)若对角线的长度为时，求的值. (2)求证：. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 空间向量及其运算 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：空间向量的有关概念 1、空间向量 （1）定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． （2）长度或模：空间向量的大小． （3）表示方法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示； ②字母表示法：用字母表示；若向量的起点是，终点是，也可记作：，其模记为或． 知识点诠释： （1）空间中点的一个平移就是一个向量； （2）数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量． 2、几类常见的空间向量 名称 方向 模 记法 零向量 任意 0 单位向量 任意 1 相反向量 相反 相等 的相反向量： 的相反向量： 相等向量 相同 相等 知识点2 ：空间向量的线性运算 （1）向量的加法、减法 空间向量的运算 加法 减法 加法运算律 ①交换律： ②结合律： （2）空间向量的数乘运算 ①定义：实数与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为向量的数乘运算． 当时，与向量方向相同； 当时，与向量方向相反； 当时，；的长度是的长度的倍． ②运算律 结合律：． 分配律：，． 知识点诠释： （1）空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法则．而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并； （2）向量的减法运算是向量加法运算的逆运算，满足三角形法则． （3）空间向量加法的运算的小技巧： ①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量， 即： 因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量； ②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量， 即：； 知识点3 ：共线问题 共线向量 （1）定义：表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量． （2）方向向量：在直线l上取非零向量，与向量平行的非零向量称为直线l的方向向量． 规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量，都有． （3）共线向量定理：对于空间任意两个向量，，的充要条件是存在实数使． （4）如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知，存在实数，使得． 知识点诠释：此定理可分解为以下两个命题： （1）存在唯一实数，使得； （2）存在唯一实数，使得，则． 注意：不可丢掉，否则实数就不唯一． （3）共线向量定理的用途： ①判定两条直线平行；（进而证线面平行） ②证明三点共线． 注意：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法．证明三点共线问题，通常不用图形，直接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点． 知识点4 ：向量共面问题 共面向量 （1）定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量． （2）共面向量定理：若两个向量，不共线，则向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使． （3）空间一点P位于平面ABC内的充要条件：存在有序实数对，使或对空间任意一点O，有． （4）共面向量定理的用途： ①证明四点共面 ②线面平行（进而证面面平行）． 知识点5 ：空间向量数量积的运算 空间向量的数量积 （1）定义：已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作．即． 规定：零向量与任何向量的数量积为． （2）常用结论（，为非零向量） ①． ②． ③． （3）数量积的运算律 数乘向量与数量积的结合律 交换律 分配律 知识点诠释： （1）由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号及向量的模的概念和表示符号等，都与平面向量相同． （2）两向量的数量积，其结果是数而非向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决定． （3）两个向量的数量积是两向量的点乘，与以前学过的向量之间的乘法是有区别的，在书写时一定要将它们区别开来，不可混淆． 知识点6 ：夹角问题 1、定义：已知两个非零向量、，在空间任取一点D，作，，则叫做向量与的夹角，记作，如下图． 根据空间两个向量数量积的定义：， 那么空间两个向量、的夹角的余弦． 知识点诠释： （1）规定： （2）特别地，如果，那么与同向；如果，那么与反向；如果，那么与垂直，记作． 2、利用空间向量求异面直线所成的角 异面直线所成的角可以通过选取直线的方向向量，计算两个方向向量的夹角得到． 在求异面直线所成的角时，应注意异面直线所成的角与向量夹角的区别：如果两向量夹角为锐角或直角，则异面直线所成的角等于两向量的夹角；如果两向的夹角为钝角，则异面直线所成的角为两向量的夹角的补角． 知识点7 ：空间向量的长度 1、定义： 在空间两个向量的数量积中，特别地，所以向量的模： 将其推广： ；． 2、利用向量求线段的长度． 将所求线段用向量表示，转化为求向量的模的问题．一般可以先选好基底，用基向量表示所求向量，然后利用来求解． 题型一：空间向量的概念 【例1】（25-26高二上·广东江门·月考）空间向量中，下列结论错误的是（   ） A． B． C．单位向量的长度为1 D．零向量的方向任意 【答案】A 【解析】A选项，，向量和为零向量，A选项错误. B选项，，B选项正确. C选项，单位向量的长度为1，C选项正确. D选项，零向量的方向任意，D选项正确. 故选：A 【变式1-1】（25-26高二上·贵州毕节·月考）下列说法错误的是（    ） A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 B．是向量的必要不充分条件 C．只有零向量的模等于0 D．共线的单位向量都相等 【答案】D 【解析】选项A：向量是兼具大小与方向的量，本身无法比较大小，仅模可以比较，此说法正确. 选项B：需满足模相等且方向相同，故是的必要不充分条件，此说法正确. 选项C：零向量的定义为模等于0的向量，不存在其他模为0的向量，此说法正确. 选项D：共线的单位向量方向可能相同或相反，方向相反时向量不相等，此说法错误. 故选：D. 【变式1-2】（25-26高二上·重庆·期中）关于空间向量，下列四个结论正确的是（    ） A．共线的单位向量都相等 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．相反向量指方向相反的两个向量 D．任意两个空间向量一定共面 【答案】D 【解析】对于A，共线的单位向量方向可能相同也可能相反，即共线的单位向量可能是相等的向量也可能是相反向量，故A不正确； 对于B，不相等的两个空间向量的模可能相等，比如相反向量，故B错误； 对于C，相反向量指方向相反，模相等的两个向量，故C错误； 对于D，任意两个空间向量一定共面，故D正确. 故选：D 【变式1-3】（25-26高二上·天津·月考）下列关于空间向量的命题中，正确的是（   ） A．空间中所有的单位向量都相等 B．长度相等且方向相反的两个向量是相反向量 C．若满足，且同向，则 D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同 【答案】B 【解析】对于A，向量是既有大小又有方向的量，所有单位向量的模相等，方向不一定相同， 所以空间中所有的单位向量不一定相等，所以A错误； 对于B，由相反向量的定义知，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，所以B正确； 对于C，由向量的定义知，向量不能比较大小，所以C错误； 对于D，根据相等向量的定义知，长度相等且方向相同的两个向量是相等向量，但相等向量的起点和终点不一定相同，所以D错误. 故选：B. 题型二：空间向量及其线性运算 【例2】（25-26高二上·贵州六盘水·月考）如图所示，在三棱锥中，点是的中点，记．则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 . 故选：B 【变式2-1】（25-26高二上·河南开封·月考）如图，在三棱锥中，，，，点在线段OA上，且，为线段BC的中点，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】. 故选：B 【变式2-2】（25-26高二上·河北·月考）如图，在正四面体中，，是的重心，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】连接,延长交于， 因为是的重心，所以是的中点， . 故选：A 【变式2-3】（25-26高二上·河南周口·月考）已知四棱锥底面是平行四边形，且，若，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为是平行四边形，且， 则 ．显然A正确. 故选：A． 题型三：共线向量（或平行向量） 【例3】（24-25高二上·河南许昌·月考）在长方体中，，分别为，的中点，则下列向量中与向量平行的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由长方体，可得，， 所以四边形是平行四边形，所以，同理可得， 又，分别为，的中点，所以，所以， 所以向量平行于， 因为直线与直线相交，又，所以向量不平行于，， 又直线与相交，所以向量不平行于. 故选：B. 【变式3-1】下列条件中，能说明空间中不重合的三点A、B、C共线的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于空间中的任意向量，都有 ，说法A错误； 若，则，而，据此可知，即两点重合，选项B错误； ，则线段的长度与线段的长度相等，不一定有A、B、C三点共线，选项C错误； ，则A、B、C三点共线，选项D正确； 故选：D. 【变式3-2】（25-26高二上·天津武清·月考）设向量，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】因为，，， 所以， 因为三点共线，所以存在唯一的实数使得， 所以，解得， 所以. 故选：C. 【变式3-3】（24-25高二上·湖南长沙·期中）已知非零向量，，且、、不共面，若，则（   ） A． B． C．8 D．13 【答案】B 【解析】因为，则存在，使得， 即， 则，解得，， 所以. 故选：B. 题型四：空间向量的夹角 【例4】（25-26高二上·北京·期中）三棱锥中，，，两两垂直，.则和的夹角为（   ） A． B． C． D．90° 【答案】C 【解析】设， ， , ， , 所以和的夹角为. 故选：C 【变式4-1】（24-25高二上·安徽芜湖·月考）已知空间向量满足，，则与的夹角为（　　） A．30° B．45° C．60° D．以上都不对 【答案】D 【解析】由题意，设与的夹角为，则， 即，解得. 故选：D 【变式4-2】（24-25高二上·北京·月考）如图所示，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱的长度都为1，且两两夹角为，则与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设向量，且， 可得， 则，所以， ， 所以， 且， 所以. 故选：B. 【变式4-3】（24-25高二上·福建福州·期中）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是，在下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D．向量与的夹角是 【答案】D 【解析】对于A，在平行六面体中，根据向量加法的三角形法则，， 由于，，所以，选项A正确. 对于B，已知以顶点为端点的三条棱长均为，且它们彼此的夹角都是. ，则 .所以，选项B正确. 对于C，， ， 因为，所以，选项C正确. 对于D，，设向量与的夹角为 ， ， 所以，选项D错误. 故选：D. 题型五：空间向量的数量积 【例5】（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）在平行六面体中，各棱长均为2，，则 . 【答案】0 【解析】设向量，则， 所以， 又由，， 所以. 故答案为：. 【变式5-1】（25-26高二上·安徽·期中）如图，平行六面体的底面是正方形，，则 ． 【答案】2 【解析】设． ， ， . 故答案为： 【变式5-2】（25-26高二上·广东茂名·期中）已知是棱长为1的正方体表面上不同的三点，则的最小值是 【答案】/ 【解析】法一： 根据正方体的性质，可不妨设在下底面的棱上动点，又设中点为， 则 当与中点重合时，取到最小值， 当为底面对角线的顶点时，取到最大值， 所以当为底面中心，为底面对角线的顶点时, 取到最小值； 法二、如图建立空间直角坐标系， 设，，，其中，，. 则，. 则 ， 当在正方体同一面上时，则当，，时，取得最小值， ， 即当为正方体一面的对角线，为对角线中点时，取得最小值； 当、、不在正方体同一面上时，由对称性，不妨设，，不同时为0， 此时 ； 因为，，，则， 所以， 综上，的最小值是. 【变式5-3】（25-26高二上·河北沧州·月考）在正三棱柱中，，为的中点，则 . 【答案】1 【解析】连接，由题意得为的中点，故， 由正三棱柱性质得，故， 可得. 故答案为：1. 题型六：空间向量的投影向量 【例6】（25-26高二上·广西来宾·期中）如图，在长方体中，是的中点，，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，连接，取的中点，连接.易得， 则所求的投影向量为在上的投影向量，易得， 则，所以在上的投影向量为. 故选：C. 【变式6-1】（25-26高二上·四川·月考）在正方体中，向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为在正方体中，, 所以正三角形，过点作，垂足为. 则，所以向量在上的投影向量为. 故选：B 【变式6-2】（25-26高二上·陕西渭南·期中）已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】空间向量在向量方向上的投影向量为， 故选：B. 【变式6-3】（25-26高二上·重庆九龙坡·期中）如图，在四棱锥中，平面，，若点为棱上靠近点的三等分点，则在上的投影向量为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】过点分别作垂直，垂足分别为， 因为平面，平面，所以， 所以在上的投影向量为，又，所以在上的投影向量为， 因为，所以， 设，则，所以， 又，点为棱上靠近点的三等分点，所以， 所以，所以. 故选：D 题型七：共面向量 【例7】（25-26高二上·青海·月考）若是空间的一个基底，则下列各组向量中，与不能构成空间的一个基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】假设， 则，，矛盾， 故与，不共面，可以构成空间的一个基底，故A错误； ， 与共面，不能构成空间的一个基底，故B正确； 假设， 则，与矛盾， 故与，不共面，可以构成空间的一个基底，故C错误； 假设， 则，，矛盾， 故与，不共面，可以构成空间的一个基底，故D错误． 故选：B． 【变式7-1】（25-26高二上·广东东莞·期中）若是空间的一个基底，则下列各组向量中，不共面的一组是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对A：因为，故共面，故A错误； 对B：因为，故，，共面，故B错误； 对C：因为，故共面，故C错误； 对D：由是空间的一个基底，故不共面， 则不能由、表示出，故，，不共面，故D正确. 故选：D. 【变式7-2】（24-25高二上·广东中山·月考）若构成空间的一组基底，则（    ） A．，，不共面 B．，，不共面 C．，，不共面 D．，，不共面 【答案】A 【解析】对于A，假设，，共面，则存在不全为零的实数，使， 即，则共面与构成空间的一组基底矛盾， 因此，，不共面，故A正确； 对于B，因为，所以，，共面，故B不正确； 对于C，因为，所以，，共面，故C不正确； 对于D，因为，所以，，共面，故D不正确； 故选：A． 【变式7-3】（25-26高二上·安徽亳州·期中）已知A，B，C，D是空间不共面的四点，点P满足：，则（    ） A．P，A，B，C四点共面 B．P，A，B，D四点共面 C．P，B，C，D四点共面 D．P，A，C，D四点共面 【答案】C 【解析】因为， 所以， 即， 故，所以P，B，C，D四点共面. 故选：C． 题型八：共面向量定理 【例8】（25-26高二上·贵州贵阳·月考）已知是平面外任意一点，点在面内，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为与三点共面，且， 根据空间向量的共面定理得推论，可得，解得. 故选：C． 【变式8-1】（25-26高二上·重庆·月考）已知平面内有四点 ，其中 三点不共线，且 为平面 内一点，若 ，则 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由于点P与共面, 三点不共线, 故存在实数，使得， 则, 即， 而，故，解得， 故选：A 【变式8-2】（25-26高二上·陕西汉中·月考）已知四面体中，，，，，空间一点M满足，若四点共面，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得， 所以． 由四点共面，知，解得． 又，， ∵， ∴ ． 故选：B． 【变式8-3】（25-26高二上·辽宁朝阳·月考）已知动点在所在平面内运动，若对于空间中任意一点，都有，则实数的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，得， 所以，动点在所在平面内运动，可知四点共面， 由空间中四点共面的向量定理可知，，解得， 故选：D. 题型九：空间四点共面的条件 【例9】（25-26高二上·河南漯河·月考）已知A，B，C，D四点是平面四边形的四个顶点，O是平面ABCD外一点.若，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【解析】由，得， 则，显然，否则， 点共面，矛盾，因此， 由共面向量定理的推论，得，所以. 故选：D 【变式9-1】（24-25高二下·江苏扬州·期中）对于空间中任意一点O和不共线的三点A，B，C，能得到点P在平面ABC内的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因A，B，C三点不共线，则不共线， 则点P在平面ABC内，即四点共面， 也即存在唯一的一组实数，满足， 即， 整理得：. 对于A，因，可得， 因，故此时点P不在平面ABC内，故A错误； 对于B，因，可得， 因，故此时点P不在平面ABC内，故B错误； 对于C，因，可得， 因，故点P在平面ABC内，故C正确； 对于D，由可得， 整理得：，因，故点P不在平面ABC内，故D错误. 故选：C. 【变式9-2】（24-25高二上·安徽铜陵·月考）已知A，B，C，D是空间不共面的四点，点P满足：，则（    ） A．P，A，B，C四点共面 B．P，A，B，D四点共面 C．P，B，C，D四点共面 D．P，A，C，D四点共面 【答案】C 【解析】因为，所以， 即，故， 因为，所以四点共面，C正确． 另由已知得， 所以共面，又存在公共点，所以四点共面，C正确． 故选：C． 【变式9-3】（22-23高二上·广东清远·期中）在下列条件中，使与一定共面的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，，由于， 所以不能得出共面.故A不符合题意； 对于B，由于，则为共面向量， 所以共面. 故B符合题意； 对于C，，由于， 所以不能得出共面. 故C不符合题意； 对于D，由得， 而，所以不能得出共面. 故D不符合题意； 故选：B 题型十：利用空间向量的数量积求线段的长度 【例10】（25-26高二上·重庆荣昌·月考）在平行六面体中，长度均为2，两两夹角均为，则对角线的长度为 ； 【答案】 【解析】， 则， ， 所以. 故答案为： 【变式10-1】（25-26高二上·广东深圳·月考）如图在平行六面体中，，，，则的长是 ．    【答案】 【解析】取，，， 已知，，， ， ， ， ， ， ，即. 故答案为： 【变式10-2】（25-26高二上·河北·期中）如图，某科技公司研发的智能仓储机械臂由空间长均为1米的三段AB、BC、CD构成，A处为机械臂固定基座，机械活动关节B，C处可自由活动，当机械臂处于，，AB，CD所在直线所成角为60°的位置时，A，D两点之间距离为 米（忽略机械臂粗细，AB、BC、CD均按线段计算）. 【答案】或2 【解析】依题意，，而，， 由AB，CD所在直线所成角为60°，得或， 所以 ， 当时，；当时，. 故答案为：或2 【变式10-3】如图，二面角的平面角的大小为，，，，则 ．    【答案】4 【解析】依题意，，，，， 因此 ，所以，即. 故答案为：4 题型十一：利用空间向量的数量积证垂直 【例11】（25-26高二上·浙江·期中）如图，在平行六面体中，，，点为的中点.    (1)求的长； (2)已知为上的动点，若，求的长. 【解析】（1）由题意可知：，，， 因为， 则 ， 即，所以的长为. （2）设，则 可得 ， 若，则，解得， 所以，即的长为2. 【变式11-1】（25-26高二上·福建泉州·期中）如图，已知在平行六面体中，，，，，，，分别是，的中点. (1)若对角线的长度为时，求的值； (2)求证：. 【解析】（1）设，三个向量不共线， 则构成空间的一个基底，且，        ，则，故. （2）由题意得，      则 ，故. 【变式11-2】（25-26高二上·河北·期中）四面体ABCD中，，. (1)证明：； (2)证明：四面体三组对棱的中点间距离相等. 【解析】（1）方法一：因为得， 又，所以 即， 同理由得， 所以 即，得. 方法二：过点作面BCD，垂足为，连接并延长交于点, 连接并延长交于点， 因为面，面，∴ 又∵，且，面 则面，又面， ∴，即是一条高线 同理可证也是一条高线. 又，则点是的垂心，∴ 又，，平面，所以面， 又面，得 （2）不妨设分别为棱的中点. 设， 则， ， ， 则，类似的可证明其余对棱中点连线距离相等. 【变式11-3】（25-26高二上·安徽·期中）如图所示实验装置，由矩形ABCD和ABEF构成，且，，.活动点M，N分别在对角线BD，AE上移动，且.记，，，且，. (1)用向量，，表示，. (2)为何值时，最小，最小值是多少？ (3)当时，证明：平面ABCD. 【解析】（1）由题意得，，，， 可知， 则 . （2）因，，，， 则 ， 则当时，有最小值，最小值为. （3）当时，， 则， ， 所以，， 因为AB，平面ABCD，，平面ABCD.， 所以平面ABCD. 1．（25-26高二上·河北·月考）如图，二面角的大小为，棱l上有两点A，B，线段和分别在面和内，且，.若，，则的长为（   ） A．10 B．8 C．6 D． 【答案】A 【解析】由题意得， 所以． 因为，二面角的大小为， 所以，． 因为， 所以， 所以. 故选：A. 2．（25-26高二上·安徽·月考）在三棱柱中，，分别是线段，上靠近，的三等分点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 ，分别是线段，上靠近，的三等分点， ，， ，， 又，， ，即 ，故A正确． 故选：A． 3．（24-25高一下·吉林松原·期末）郑国渠是秦王嬴政命郑国修建的著名水利工程，先人用智慧和勤劳修筑了一道道坚固的堤坝.如图是一道堤坝的示意图，堤坝斜面与底面的交线记为，点分别在堤坝斜面与地面上，过点分别作直线的垂线，垂足分别为，若，二面角的大小为，则（    ） A．3 B． C． D．6 【答案】D 【解析】由题意可知：，，， 因为， 则 ， 所以． 故选：D. 4．（25-26高二上·湖南·期中）如图，在空间四面体中，已知，，则异面直线与所成角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由空间向量得，两边平方得， 整理得，所以，则，故异面直线与所成角为． 故选：C. 5．（25-26高二上·广东·期中）已知三棱锥的体积为5，是边长为4的正三角形，点为的中点，点满足，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，由点为的中点，可得， 所以. 因为，所以点在平面内， 的最小值就是三棱锥的高， 由， 得，得. 故选：C. 6．（多选题）（25-26高二上·福建福州·期中）如图，平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是60°，则（   ）    A． B． C．四边形的面积为 D．平行六面体的体积为 【答案】BD 【解析】因为， 则 ，故，A错误； ，， ，故，B正确； 连接， 则， ， 即，同理，故四边形为矩形， 面积为，C错误； 过作面，在直线上，过作于，连接， 由平面，得平面，平面，得， 故，，， 故平行六面体的体积为，D正确． 故选：BD． 7．（多选题）（24-25高二上·辽宁锦州·期末）平行六面体的底面是正方形，，，，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．点在平面内 C． D．直线与所成角的余弦值为 【答案】ABD 【解析】对于A选项，如下图所示： 因为， 所以 ， ，故A正确； 对于B选项，由题意可知、分别为正方形、的中心， 所以，同理可得， 所以， 所以 ， 所以， 所以、、共面，故点在平面内，B对； 对于C选项， ，故，C错； 对于D选项， ， 所以， 所以直线与所成角的余弦值为，D对. 故选：ABD. 8．（25-26高二上·云南曲靖·月考）在正三棱锥中，，，D为棱AB的中点，则正三棱锥的体积为 ， ， . 【答案】 / 0 / 【解析】过点作垂直于平面，连接， 由正弦定理得，所以， 则正三棱锥的体积为： ， ， . 故答案为：；； 9．（25-26高二上·山西·月考）如图，在三棱锥中，，则 ． 【答案】 【解析】设，因为， 所以， 则． 所以，即． 故答案为： 10．（25-26高二上·湖北·期中）如图，已知在四棱锥中，与相交于点，且为的中点，．若平面与棱交于点，记四棱锥的体积为，四棱锥的体积为则 【答案】 【解析】因为，且，，所以， 又， 所以， 又为的中点，， 所以，， 则， 因为四点共面， 所以，解得． 所以 故答案为： 11．（25-26高二上·安徽合肥·期中）已知平行六面体，满足，，，．若的中点为，则的长度为 【答案】 【解析】 以为空间向量的一组基底， 则， 所以 ， 所以. 故答案为：. 12．（25-26高二上·河北石家庄·月考）如图，在三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于2，为的中点，为线段上靠近的三等分点. (1)设，试用向量表示； (2)求线段的长度. 【解析】（1）因为为的中点，为线段上靠近的三等分点， 所以,， 所以 . （2）因为底面边长和侧棱长都等于2， 所以， 所以 . 13．（25-26高二上·浙江金华·月考）如图，在平行六面体中，，，，，求： (1)试用表示，再求的长度； (2)求直线与直线所成角的余弦值． 【解析】（1）由于几何体是平行六面体，则， ， 所以； （2）设直线与直线所成角为，则， ， 又因为， 所以， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 14．（25-26高二上·湖北·月考）如图，在空间四边形中，，点为的中点，设． (1)试用向量表示向量； (2)若，求的值． 【解析】（1），． ． 点为的中点， ． （2）， ， ， ． 15．（25-26高二上·湖北武汉·期中）已知向量，，是空间中不共面的三个向量，若，，. (1)若三点共线，求的值； (2)若四点共面，求的最大值. 【解析】（1）因为B，C，D三点共线，则， 又， ， 所以 即， 解得，所以； （2）因为A，B，C，D四点共面，所以， 即 ， 于是有， 解得，即， 所以， 当，时，取到最大值. 16．（25-26高二上·广西来宾·期中）在平行六面体中，，，，设，，．    (1)求的值； (2)若点，满足，，试用，，表示； (3)求异面直线与所成角的余弦值． 【解析】（1），，，，， ，， 又， ，， ． （2），， ，， 又， ． （3） ， ， ， ， ． 异面直线与所成角的余弦值为． 17．（25-26高二上·山东青岛·期中）如图所示，在平行六面体中，底面是边长为的菱形，，，、分别在线段和上，且，． (1)证明：、、、四点共面； (2)为的中点，求直线与所成角的余弦值． 【解析】（1）设，，，则、、不共面， 由题意可得，，所以， 又因为直线、不重合，所以，故、、、四点共面. （2）由题意可得，， 由空间向量数量积的定义可得， ，同理可得， 因为为的中点，所以， ， 所以， 故 ， ， ， 所以， 因此直线与所成角的余弦值为. 18．（25-26高二上·湖北·月考）如图，已知在平行六面体中，，分别是的中点.    (1)若对角线的长度为时，求的值. (2)求证：. 【解析】（1）设，三个向量不共线，则构成空间的一个基底， 且， ， 则，故. （2）， 则 . 故. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $