期末复习三角形全等模型（几何模型微专题）2025-2026学年鲁教版（五四制）七年级上学期

挖井人数学 小模块·微专题·大压轴 https://shop.xkw.com/165948 数山有路模为径 全等无涯型作舟 ———全等三角形十一大模型专题探究 【专题说明】模型是起点，而非终点:，掌握经典模型是为了建立思维框架，当遇到新问题时，可以将其分解为已知模型的组合或变形，从而找到解决思路。数学模型绝非简单的套路。它是一种高阶的思维方法，是将复杂问题抽象并结构化的利器。我们应当追求理解模型背后的逻辑与思想，而非仅仅记忆其表象，这样才能真正发挥数学模型的价值，培养出解决实际问题的真能力。 模型清单 · 图表导航 模型1 平移模型 模型7对角互补模型 模型2 对称模型 模型8平行线中点模型 模型3 旋转模型 模型9角平分线模型 模型4 一线三等角模型 模型10截长补短模型 模型5手拉手模型 模型11倍长中线模型 模型6半角模型 模型通关·多题归一 【模型1】平移模型 【模型解读】把△ABC沿着某一条直线l平行移动，所得到△DEF与△ABC称为平移型全等三角形 全等模型 模型解读 常见模型 解题思路 平移模型 沿同一直线平移的两个三角形重合 ①加(减)共线部分，得到一组对应边相等； ②利用平行线性质找对应角相等 【例1】（2025·江苏常州模拟）如图，点A、D、C、F在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)求证：． 【变式1-1】（2025·陕西榆林校级月考）如图，，B，E，C，F四点在同一直线上，若 ，则的长是（   ） A． B． C．3 D．5 【变式1-2】如图，AB=DE且，AC=DF且，求证：. 【变式1-3】（1）如图1，点A，F，E，C在同一条直线上，，，，求证：． （2）若将图1中的沿方向平移得到图2、图3，其他条件不变，还成立吗？为什么？（选择一种情况说明理由）    【模型2】轴对称模型 全等模型 模型解读 常见模型 解题思路 翻折(轴对称)模型 两个三角形过公共点所在的直线或公共边折叠，两个三角形重合 ①通过公共角、垂直、对顶角、等腰三角形等条件得对应角相等； ②通过公共边、中点、等边等条件得对应边相等 【例2】如图,在△ABC 中,. D为BC 的延长线上一点， 交DA 的延长线于点E,∠CAD=∠BAE .求证:AD=2BE. 【变式2-1】如图所示，和是由分别沿着边所在直线翻折形成的，若，求的度数． 【变式2-2】如图，是的角平分线，，垂足为F，，和的面积分别为60和38，则的面积为 ． 【变式2-3】如图，在△ABC中，AD是∠BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任一点，试比较PB+PC与AB+AC的大小，并说明理由． 模型三、旋转模型 全等模型 模型解读 常见模型 解题思路 旋转模型 将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这两个三角形为旋转型三角形 识别旋转型三角形时，涉及对顶角相等、等角加（减）公共角 【例3】如图所示，AB＝AC，AD＝AE，点B、D、E在一条直线上，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°， ∠2＝30°，则∠3＝（　　） A．55° B．50° C．45° D．60° 【变式3-1】如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝15°，∠2＝25°，则∠3＝ ． 【变式3-2】如图，已知：AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠ECD＝90°，∠EBD＝38°，现有下列结论： ①△BDC≌△AEC；②∠AEB＝128°；③BD＝AE；④AE⊥BD．其中不正确的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3 个 【变式3-3】在△ABC中，AB＝AC，D是射线BC上一点，点E在AD的右侧，线段AE＝AD，且∠DAE＝∠BAC，连结CE． （1）如图1，点D在线段BC上，求证：∠BAC+∠DCE＝180°． （2）如图2，点D在线段BC延长线上，判断∠BAC与∠DCE的数量关系并说明理由． 模型四、一线三等角模型 全等模型 模型解读 常见模型 解题思路 一线三等角 模型 左图，两个三角形有一条边共线 ； 右图，同一直线上有三个相等的角的顶点，∠1＝∠2＝∠3 利用三角形内角和为180°和内、外角关系，通过等角代换得到一组相等的角，利用AAS 或ASA证明三角形全等 【例4】．如图，已知AB⊥BD于B，ED⊥BD于D，AB＝CD，BC＝ED，以下结论不正确的是（　　） A．EC⊥AC B．EC＝AC C．ED+AB＝DB D．DC＝CB 【变式4-1】已知：CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA＝CB，点E、F分别是直线CD上两点，且∠BEC＝∠CFA＝∠． （1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上，如图1，若∠BCA＝90°，∠＝90°，则BE与CF的数量关系是 　 　 ． （2）如图2，若直线CD经过∠BCA的外部，∠＝∠BCA，请提出关于EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想：　 　 .并说明理由． 【变式4-2】（1）【问题发现】如图1，△ABC与△CDE中，∠B＝∠E＝∠ACD＝90°，AC＝CD，B、C、E三点在同一直线上，AB＝3，ED＝4，则BE＝_____．（2）【问题提出】如图2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，过点C作CD⊥AC，且CD＝AC，求△BCD的面积．（3）【问题解决】如图3，四边形ABCD中，∠ABC＝∠CAB＝∠ADC＝45°，△ACD面积为12且CD的长为6，求△BCD的面积． 【变式4-3】如图1，，垂足分别为D，E． (1)若，求的长．(2)在其它条件不变的前提下，将所在直线变换到的外部（如图2），请你猜想三者之间的数量关系，并证明你的结论； (3)如图3，将（1）中的条件改为：在中，，D，C，E三点在同一条直线上，并且有，其中α为任意钝角，那么（2）中你的猜想是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 模型五 手拉手模型 全等模型 模型解读 常见模型 解题思路 手拉手模型 两个顶角相等的等腰三角形顶角顶点重合，左底角顶点互连，右底角顶点互连所组成的图形 加(减)共顶点的角的共角部分，得到一组对应角相等 【常见模型拓展及证法】 （等边） （等腰直角） （等腰） 【例5】如图所示，是一个等腰直角三角形，其中．D是斜边BC上一点，连接线段AD，并逆时针旋转至E，连接线段CE． （1）证明：． （2）判断的形状． 【变式5-1】如图，和都是等边三角形，且，，三点在一条直线上，连接，相交于点． （1）求证：． （2）求的度数． 【变式5-2】如图，已知在等腰中，，在等腰中，，连接，，试猜想与在长度和位置上有何关系，并证明你的结论． 【变式5-3】在和中，，，，连接，． 【发现问题】如图①，若，延长交于点D，则与的数量关系是 　_____　，的度数为 　　． 【类比探究】如图②，若，延长，相交于点D，请猜想BE与CF的数量关系及的度数，并说明理由． 【拓展延伸】如图③，若，且点B，E，F在同一条直线上，过点A作，垂足为点M，请猜想BF，CF，AM之间的数量关系，并说明理由． 【变式5-4】综合实践 在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”，如图1，与都是等腰三角形，其中，则． 【初步把握】如图2，与都是等腰三角形，，，且，则有 ___________　． 【深入研究】如图3，已知，以、为边分别向外作等边和等边，并连接，，求证：． 如图4，在两个等腰直角三角形和中，，，，连接，，交于点P，请判断和的关系，并说明理由． 模型六 半角模型 全等模型 模型解读 常见模型 解题思路 半角模型 有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等.通过作辅助线将角的倍分关系 转化为角的相等关系，并进一步构成全等三角形 半角模型（题中出现角度之间的半角关系）利用旋转——证全等——得到相关结论. 常见模型拓展1.半角模型（90°-45°型） 条件：四边形ABCD是正方形，∠ECF=45°； 结论：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋DF；④的周长=2AB； ⑤CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。 2）等腰直角三角形半角模型 条件：是等腰直角三角形，∠DAE=45°； 结论：①△BAD≌△CAG；②△DAE≌△GAE；③∠ECG==90°；④； 模型2.半角模型（60°-30°型或120°-60°型） 1）等边三角形半角模型（120°-60°型） 条件：是等边三角形，是等腰三角形，且BD=CD，∠BDC=120°，∠EDF=60°； 结论：①△BDE≌△CDG；②△EDF≌△GDF；③EF＝BE＋FC；④的周长=2AB； ⑤DE、DF分别平分∠BEF和∠EFC。 2）等边三角形半角模型（60°-30°型） 模型3.半角模型（-型） 条件：∠BAC=，AB=AC，∠DAE=； 结论：①△BAD≌△CAF；②△EAD≌△EAF；③∠ECF=180°-。 【例6】（1）如图1，在四边形中，，，且，求证：． （2）如图2，若在四边形中，，，分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立？请说明理由． 【变式6-1】如图，AB＝AD＝BC＝DC，∠C＝∠D＝∠ABE＝∠BAD＝90°，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF＝45°，过点A作∠GAB＝∠FAD，且点G在CB的延长线上． （1）△GAB与△FAD全等吗？为什么？ （2）若DF＝2，BE＝3，求EF的长． 【变式6-2】（）如图，在四边形中，，，E、F分别是边上的点，且，线段之间的关系是 ；（不需要证明） （）如图，在四边形中，，，分别是边上的点，且，（）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． （）如图，在四边形中，，，分别是边延长线上的点，且，（）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．    【变式6-3】【问题背景】如图1，在四边形中，，分别是上的点，且，试探究图中线段之间的数量关系． 【初步探索】小亮同学认为：如图1，延长到点G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论______； 【探索延伸】如图2，在四边形中，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由． 【结论运用】如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O)处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以80海里/小时的速度前进1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达M、N处，且两舰艇之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离． 【灵活变通】如图4，已知在四边形中，，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，仍然满足【初步探索】中的结论，请直接写出与的数量关系．    模型七 对角互补模型 题型1、旋转中的对角互补模型（90°--全等型） 1）“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（异侧型） 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB. 结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③. 2）“斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（同侧型） 条件：如图，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D，∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB.结论：①CD＝CE，②OE－OD＝OC，③. 题型2、旋转中的对角互补模型（60°或120°--全等型） 1）“等边三角形对120°模型”（1） 条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB. 结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③. 2）“等边三角形对120°模型”（2） 条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB，∠DCE的一边与BO的延长线交于点D， 结论：①CD＝CE，②OD－OE＝OC，③. 3）“120°等腰三角形对60°模型” 条件：△ABC是等腰三角形，且∠BAC=120°，∠BPC=60°。 结论：①PB+PC=PA； 题型3、旋转中的对角互补模型（2α或180°-2α--全等型） 1）“2α对180°-2α模型” 条件：四边形ABCD中，AP=BP,∠A+∠B=180° 结论：OP平分∠AOB 注意：①AP=BP，②∠A+∠B=180°，③OP平分∠AOB，以上三个条件可知二推一。 2）“蝴蝶型对角互补模型” 条件：AP=BP,∠AOB=∠APB 结论：OP平分∠AOB的外角。 【例7】【问题情境】 在学习了角平分线的性质后，兴趣小组通过查阅资料得到以下知识： 定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形，如图1，在四边形中，，，这种四边形被称为等补四边形． 【探究实践】(1)如图2，李明发现，连接，则为的角平分线，请你判断他的结论是否正确，并说明理由； (2)如图3，王红发现，在等补四边形中，当，，时，与之间存在某种数量关系，请写出该关系并说明理由． 【变式7--1】（25-26八年级上·四川自贡·阶段练习）已知在四边形中， ，． (1)如图（1）所示，，E，F分别是边上的点，请写出线段之间的数量关系，并证明． (2)如图（2）所示，，E，F分别是边上的点，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． (3)如图（3）所示，，E，F分别是边延长线上的点，线段之间的关系是 ． 【变式7--2】（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在四边形中，，，，E，F分别是，上的点，且，若，，则的面积是 ． 【变式7--3】（25-26八年级上·浙江湖州·阶段练习）（1）如图1：在四边形中，，，．E，F分别是，上的点．且．探究图中线段，，之间的数量关系． 小明同学探究的方法是：延长到点G．使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论是_____（直接写结论，不需证明）； （2）如图2，若在四边形中，，，E、F分别是BC，CD上的点，且，猜想上述结论是否仍然成立，并证明； （3）如图3，在四边形中，，与互补，点E、F分别在射线、上，且．当，，时，求的周长． 模型八：平行线中点模型 全等模型 模型解读 常见模型 解题思路 平行线中点模型 平行线之间夹中点，通过延长过中点的线段与平行线相交，从而构造一对全等三角形，并将已知条件中的线段和角进行转移 如图，已知AB∥CD，点E，F分别在直线AB、CD上，点O为线段EF的中点，延长PO交CD于点Q，证明△POE≌△QOF 【例8】（24-25八年级上·上海·期中）如图，在中，D是的中点，过D的直线交于E，交的延长线于F，且．求证：． 【变式8-1】（24-25八年级上·上海·期中）如图，已知，BE平分，点E为中点，如果，，那么 ． 【变式8-2】（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）如图所示，点M是线段上一点，是过点M的一条直线，连接、，过点B作交于F，且M为中点． (1)若，求的长；(2)若，，求证：． 【变式8-3】【问题提出】 期末复习课上，数学丁老师出示了下面一个问题：如图1，在中，D是延长线的点，E是边上一点，且满足，，那么A是的中点，请你说明理由． 【思路探究】 小王同学从条件出发分析解题思路：以为腰构造等腰和平行八字型全等三角形，如图2，以点D为圆心，以长为半径画弧，交的延长线于点F，先应用等腰三角形的轴对称性，再应用三角形全等“”（或“” 的判定方法即可得，小张同学从结论出发分析解题思路：以为腰构造等腰，将说明的问题转化为说明的问题，如图3，以点B为圆心，以长为半径画弧，交于点F，于是可得，再应用三角形全等“”（或“” 的判定方法即可得 ． （1）请你选择小张同学或小王同学的思路或按自己的思路写出完整的解题过程； 【学以致用】 （2）请你在理解了小张同学或小王同学解题思路的基础上，解答下面一道图形较为复杂的同类问题：如图4，在四边形中，，，过点B作线段，且，连接，交的延长于点F，猜想与的数量关系并说明理由． 模型九 角平分线模型 【例9】（2024八年级下·江苏·专题练习）如图，中，、的角平分线、交于点P，下列结论：①平分；②；③若点M、N分别为点P在、上的正投影，则；④．其中正确的是（    ） A．只有①②③ B．只有①③④ C．只有②③④ D．只有①③ 【变式9-1】如图， 已知是的平分线，， 若的面积为， 则的面积（      ） A． B． C． D． 【变式9-2】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝40°，BD是∠ABC的平分线，延长BD至E，使DE＝AD，求证：∠ECA＝40°． 【变式9-3】（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）问题情境：数学课上，同学们在探索利用角平分线来构造全等三角形问题． 如图①，在四边形中，点是边的中点，平分，，证明：． 讨论思考：当同学们讨论到题目中寻找线段之间的和差关系时，大家都踊跃提出了各自的见解，大家集思广议，提出了一个截长法：如图②，在上截取，连接，先证明，再证明，即有，即． 解决问题：小明同学根据大家的思路，进行了如下的证明 ，理由如下：如图②，在上取一点F，使，连接． ∵平分，∴， 在和中， ∴（）∴，． （1）小明已经完成了大家讨论的第一步，接下来就由你来利用题干中的条件完成剩下的推理证明吧． 拓展探究：已知：如图③，在中，，D、E分别为上的点，且交于点F． 若为的角平分线． （2） ； （3）证明：． （4）如图④，在中，，延长的边到点G，平分交 延长线于点D，若，，则 ． 模型十 截长补短模型 全等模型 模型解读 常见模型 解题思路 截长补短法 截长，指在长线段中截取一段等于已知线段；补短，指将短线段延长，延长后的线段等于已知线段 截长法： 补短法： 该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词，通过截长补短法构造全等三角形，再利用全等三角形的判定和性质进行解题 【例10】阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题：如图1，在中，平分，．求证： 小明通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题： 方法一：如图2，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决问题 方法二：如图3，延长到点E，使得，连接，可以得到等腰三角形，进而解决问题 (1)根据阅读材料，任选一种方法证明 (2)根据自己的解题经验或参考小明的方法，解决下面的问题：如图4，四边形中，是上一点，，，，求证： 【变式10-1】如图，，的平分线与的平分线相交于E，的延长线交于D． (1)试判断与的位置关系，并说明理由：(2)试判断的数量关系，并说明理由； (3)若，，求四边形的面积． 【变式10-2】在四边形中，，与互补，点E、F分别在射线、上，且，当，，时，的周长等于 ． 【变式10-3】【问题背景】在四边形中，，，，E、F分别是、上的点，且，试探究图1中线段、、之间的数量关系． 【初步探索】小晨同学认为：延长到点G，使，连接，先证明，再证明，则可得到、、之间的数量关系是______． 【探索延伸】在四边形中如图2，，，E、F分别是、上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由． 【结论运用】如图3，在某次南海海域军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以80海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以100海里/小时的速度前进1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角（）为，试求此时两舰艇之间的距离． 模型十一 倍长中线模型 全等模型 模型解读 常见模型 解题思路 倍长中线法 给出中线，通过延长中线的方法构造全等三角形，达到解题目的 通过延长中线，构造全等三角形，得到△ACD≌△EBD,△ABD≌△ECD 【例1】如图，中，点D在上，，点E是的中点，连接，则 ． 【变式11-1】（23-24七年级下·广东深圳·期末）【阅读理解】 中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线” 等条件时，可以考虑做辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求  的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”    【初步感知】（1）如图1，在中 ，，，D是 的中点，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到 点E，使 ，连 接．可以判定， 从而得到．这样就能把线段、、 集中在中，利用三角形三边的关系，即可求出中线的取值范围是______ (请直接写出答案) 【实践应用】（2）为了测量学校旗杆和教学楼顶端之间的距离，学习小组设计了如图2所示的测量方案，他们首先取地面的中点D，用测角仪测得此时，测得旗杆高度，  教学楼高度，求 的长 ． 【拓展探究】( 3 ) 如 图 3 ， 和 均为等腰直角三角形，连接，，点 F 是 的中点，连接并延长，与 相交于点G．试探究： 和 的数量关系和位置关系并说明理由． 【变式11-2】【发现问题】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．小华在组内经过合作交流，得到了如下解决方法：延长到点E，使，得到，他用到的判定定理是______（用字母表示）． 【解决问题】 小明发现，解题时，条件中若出现“中点”，“中线”字样，可以考虑构造全等三角形，“问题是数学的心脏”，要学好数学一定要多思考，做到举一反三，于是他又提出了一个新的问题：如图2，在中，点D是的中点，点M在边上，点N在边上，若，求证：． 【拓展应用】 如图3，在中，分别以，为边向外作和，使，，，点M是的中点，连接，，当时，求的长． 【变式11-3】阅读     （1）阅读理解： 如图①，在△ABC中，若AB=10，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围． 解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE=AD，再连接BE（或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断． 中线AD的取值范围是________；     （2）问题解决： 如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF＞EF；     （3）问题拓展： 如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD，∠BCD=140°，以C为顶点作一个70°角，角的两边分别交AB，AD于E，F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并加以证明． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 挖井人数学 小模块·微专题·大压轴 https://shop.xkw.com/165948 数山有路模为径 全等无涯型作舟 ———全等三角形十一大模型专题探究 【专题说明】模型是起点，而非终点:，掌握经典模型是为了建立思维框架，当遇到新问题时，可以将其分解为已知模型的组合或变形，从而找到解决思路。数学模型绝非简单的套路。它是一种高阶的思维方法，是将复杂问题抽象并结构化的利器。我们应当追求理解模型背后的逻辑与思想，而非仅仅记忆其表象，这样才能真正发挥数学模型的价值，培养出解决实际问题的真能力。 模型清单 · 图表导航 模型1 平移模型 模型7对角互补模型 模型2 对称模型 模型8平行线中点模型 模型3 旋转模型 模型9角平分线模型 模型4 一线三等角模型 模型10截长补短模型 模型5手拉手模型 模型11倍长中线模型 模型6半角模型 模型通关·多题归一 【模型1】平移模型 【模型解读】把△ABC沿着某一条直线l平行移动，所得到△DEF与△ABC称为平移型全等三角形 全等模型 模型解读 常见模型 解题思路 平移模型 沿同一直线平移的两个三角形重合 ①加(减)共线部分，得到一组对应边相等； ②利用平行线性质找对应角相等 【例1】（2025·江苏常州模拟）如图，点A、D、C、F在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的判定； （1）三边相等的两个三角形全等，由得即，与就具备了全等的条件； （2）全等三角形的对应角相等，由得到，这两个角是一组同位角，同位角相等两直线平行. 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 在与中 ∴. （2）证明：∵， ∴， ∴． 【变式1-1】（2025·陕西榆林校级月考）如图，，B，E，C，F四点在同一直线上，若 ，则的长是（   ） A． B． C．3 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、线段的和差等知识点，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 利用全等三角形的性质可得，进而得到，再利用线段的和差关系计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∵，， ∴，解得：． 故选：B． 【变式1-2】如图，AB=DE且，AC=DF且，求证：. 【答案】见解析 【分析】延长DE交AC于点G． 【详解】证：延长ED交AC于点G． ∵. ∴. ∵. ∴， ∴. ∵AB=DE，AC=DF. ∴（SAS）. 【变式1-3】（1）如图1，点A，F，E，C在同一条直线上，，，，求证：． （2）若将图1中的沿方向平移得到图2、图3，其他条件不变，还成立吗？为什么？（选择一种情况说明理由）    【答案】（1）见解析；（2）成立，见解析 【分析】（1）由可得，于是；由平行线的性质可得，再根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等即可证明； （2）如图3，由可得，于是；由两直线平行内错角相等可得，于是可得两角的补角，再根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等即可证明； 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴； （2）解：仍成立． 理由如下（如题图3）： ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴； 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，平行线的性质，线段的和差，掌握全等三角形“边角边”的判定条件是解题关键． 【模型2】轴对称模型 全等模型 模型解读 常见模型 解题思路 翻折(轴对称)模型 两个三角形过公共点所在的直线或公共边折叠，两个三角形重合 ①通过公共角、垂直、对顶角、等腰三角形等条件得对应角相等； ②通过公共边、中点、等边等条件得对应边相等 【例2】如图,在△ABC 中,. D为BC 的延长线上一点， 交DA 的延长线于点E,∠CAD=∠BAE .求证:AD=2BE. 证明:延长CA,BE 交于点 N, ∴∠NAE=∠DAC=∠BAE. ∵BE⊥DA,∴∠AEN=∠AEB=90°, ∵AE=AE,∴△ANE≌△ABE,∴NE=BE. ∵∠ACD=∠AEN=90°,∠DAC=∠NAE, ∴∠N=∠D. ∵∠ACD=∠NCB=90°,AC=BC, ∴△ACD≌△BCN,∴AD=BN=2BE. 【变式2-1】如图所示，和是由分别沿着边所在直线翻折形成的，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了折叠的性质，全等三角形的性质，三角形内角和定理，先由折叠的性质得到，则由全等三角形的性质得到，，再由周角的定义求出，则由三角形内角和定理可得． 【详解】解：如图所示，设交于点M． 和是由分别沿着，边所在直线翻折得到的， ． ， ， 在与中，，（对顶角相等）， ． 【变式2-2】如图，是的角平分线，，垂足为F，，和的面积分别为60和38，则的面积为 ． 【答案】11 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质．过点D作于H，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再利用“”证明，，然后根据全等三角形的面积相等列方程求解即可． 【详解】解：如图，过点D作于H，如图， ∵是的角平分线，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵和的面积分别为60和38， ∴， ∴． 故答案为：11． 【变式2-3】如图，在△ABC中，AD是∠BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任一点，试比较PB+PC与AB+AC的大小，并说明理由． 解析 PB+PC＞AB+AC． 如图，在BA的延长线上取一点E，使AE＝AC，连接EP， 由AD是∠BAC的外角平分线，可知∠CAP＝∠EAP， 又AP是公共边，AE＝AC， 在△ACP与△AEP中 ， ∴△ACP≌△AEP(SAS)， 从而有PC＝PE，在△BPE中，PB+PE＞BE， 而BE＝AB+AE＝AB+AC， 故PB+PE＞AB+AC， 所以PB+PC＞AB+AC． 模型三、旋转模型 全等模型 模型解读 常见模型 解题思路 旋转模型 将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这两个三角形为旋转型三角形 识别旋转型三角形时，涉及对顶角相等、等角加（减）公共角 【例3】如图所示，AB＝AC，AD＝AE，点B、D、E在一条直线上，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°， ∠2＝30°，则∠3＝（　　） A．55° B．50° C．45° D．60° 解：∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC， ∴∠1＝∠EAC， 在△BAD和△EAC中， ， ∴△BAD≌△EAC（SAS）， ∴∠2＝∠ABD＝30°， ∵∠1＝25°， ∴∠3＝∠1+∠ABD＝25°+30°＝55°， 故选：A． 【变式3-1】如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝15°，∠2＝25°，则∠3＝ ． 解：∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC， 即∠BAD＝∠CAE， 在△BAD与△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴∠ABD＝∠2＝25°， ∴∠3＝∠1+∠ABD＝25°+15°＝40°． 故答案为：40°． 【变式3-2】如图，已知：AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠ECD＝90°，∠EBD＝38°，现有下列结论： ①△BDC≌△AEC；②∠AEB＝128°；③BD＝AE；④AE⊥BD．其中不正确的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3 个 解：延长AE交BD于点F，交BC于点G， ∵∠ACB＝∠ECD＝90°， ∴∠ACB﹣∠BCE＝∠ECD﹣∠BCE， ∴∠ACE＝∠BCD， ∵AC＝BC，DC＝EC， ∴△BDC≌△AEC（SAS）， ∴BD＝AE，∠EAC＝∠DBC， ∵∠EBD＝38°， ∴∠DBC+∠EBC＝38°， ∴∠EAC+∠EBC＝38°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ABE+∠BAE＝90°﹣（∠EAC+∠EBC）＝52°， ∴∠AEB＝180°﹣（∠ABE+∠BAE）＝128°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠AGC+∠EAC＝90°， ∵∠BGF＝∠AGC， ∴∠BGF+∠CBD＝90°， ∴∠BFG＝180°﹣（∠BGF+∠CBD）＝90°， ∴AF⊥BD， 即AE⊥BD， 所以，上列结论，其中不正确的有0个， 故选：A． 【变式3-3】在△ABC中，AB＝AC，D是射线BC上一点，点E在AD的右侧，线段AE＝AD，且∠DAE＝∠BAC，连结CE． （1）如图1，点D在线段BC上，求证：∠BAC+∠DCE＝180°． （2）如图2，点D在线段BC延长线上，判断∠BAC与∠DCE的数量关系并说明理由． 证明：（1）∵∠DAE＝∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△BAD与△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴∠ACE＝∠ABD， ∵∠BAC+∠ACB+∠ABC＝180°， ∴∠BAC+∠DCE＝∠DAE+∠ACB+∠ABC＝180°， 即：∠BAC+∠DCE＝180°． （2）∠BAC＝∠DCE，理由： ∵∠DAE＝∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△BAD与△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴∠ACE＝∠ABD． ∵∠BAC+∠ABD+∠ACB＝180°， ∠ACE+∠ACB+∠DCE＝180°， ∴∠BAC＝∠DCE． 模型四、一线三等角模型 全等模型 模型解读 常见模型 解题思路 一线三等角 模型 左图，两个三角形有一条边共线 ； 右图，同一直线上有三个相等的角的顶点，∠1＝∠2＝∠3 利用三角形内角和为180°和内、外角关系，通过等角代换得到一组相等的角，利用AAS 或ASA证明三角形全等 【例4】．如图，已知AB⊥BD于B，ED⊥BD于D，AB＝CD，BC＝ED，以下结论不正确的是（　　） A．EC⊥AC B．EC＝AC C．ED+AB＝DB D．DC＝CB 【分析】先依据“SAS”判定△ABC和△CDE全等得∠A＝∠DCE，AC＝EC，进而根据∠A+∠ACB＝90°得∠DCE+∠ACB＝90°，由此可对选项A进行判断；根据AC＝EC可对选项B进行判断；根据AB＝CD，BC＝ED得ED+AB＝BC+CD＝DB，由此可对选项C进行判断；根据已知条件，无法判定DC＝CB，由此可对选项D进行判断，综上所述即可得出答案． 【解答】解：∵AB⊥BD，ED⊥BD， ∴∠B＝∠D＝90°， 在△ABC和△CDE中， ， ∴△ABC≌△CDE（SAS）， ∴∠A＝∠DCE，AC＝EC， ∵∠A+∠ACB＝90°， ∴∠DCE+∠ACB＝90°， ∴∠ACE＝180°﹣（∠DCE+∠ACB）＝90°， 故选项A正确，不符合题意； ∵AC＝EC， ∴EC＝AC， 故选项B正确，不符合题意； ∵AB＝CD，BC＝ED， ∴ED+AB＝BC+CD＝DB， 故选项C正确，不符合题意； 根据已知条件，无法判定DC＝CB， 故选项D不正确，符合题意， 故选：D． 【变式4-1】已知：CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA＝CB，点E、F分别是直线CD上两点，且∠BEC＝∠CFA＝∠． （1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上，如图1，若∠BCA＝90°，∠＝90°，则BE与CF的数量关系是 　 　 ． （2）如图2，若直线CD经过∠BCA的外部，∠＝∠BCA，请提出关于EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想：　 　 .并说明理由． 【分析】（1）根据“AAS”可以证明Rt△BCE≌Rt△CAF，则BE＝CF； （2）同理证明Rt△BCE≌Rt△CAF，则CE＝AF，BE＝CF，可得EF＝CE+CF＝AF+BE． 【解答】解：（1）BE＝CF，理由： ∵∠BCE+∠ACF＝90°，∠FCA+∠FAC＝90°， ∴∠BCE＝∠FCA（同角的余角相等）， ∵∠BEC＝∠CFA，CA＝CB， ∴Rt△BCE≌Rt△CAF（AAS）， ∴BE＝CF； 故答案为：BE＝CF； （2）EF＝AF+BE，理由： ∵∠BCE+∠ACF＝180°﹣∠，∠CAF+∠ACF＝180°﹣∠， ∴∠BCE＝∠CAF（同角的补角相等）， ∵∠BEC＝∠CFA，CA＝CB， ∴△BCE≌△CAF（AAS）， ∴CE＝AF，BE＝CF， ∴EF＝CE+CF＝AF+BE． 故答案为：EF＝AF+BE． 【变式4-2】（1）【问题发现】如图1，△ABC与△CDE中，∠B＝∠E＝∠ACD＝90°，AC＝CD，B、C、E三点在同一直线上，AB＝3，ED＝4，则BE＝_____．（2）【问题提出】如图2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，过点C作CD⊥AC，且CD＝AC，求△BCD的面积．（3）【问题解决】如图3，四边形ABCD中，∠ABC＝∠CAB＝∠ADC＝45°，△ACD面积为12且CD的长为6，求△BCD的面积． 【答案】（1）7；（2）S△BCD＝8；（3）S△BCD＝6． 【分析】(1) ∠B＝∠E＝∠ACD＝90°，据同角的余角相等，可得∠ACB＝∠D，由已知条件可证△ABC≌△CED，可得答案；（2）过D作DE⊥BC交BC延长线于E，同（1）中的方法，可证△ABC≌△CED，可得答案；（3）过A作AE⊥CD于E，过B作BF⊥CD交DC延长线于F，由△ACD面积为12且CD的长为6，可得AE＝4，进而可得CE=2，同（1）中证法，可得△ACE≌△CBF，由全等三角形的性质可求得答案． 【详解】解：（1）∵∠ACD＝∠E＝90°， ∴∠ACB＝90°﹣∠DCE＝∠D， 在△ABC和△CED中， ， ∴△ABC≌△CED（AAS）， ∴AB＝CE＝3，BC＝ED＝4 ，∴BE＝BC+CE＝7；故答案为：7； （2）过D作DE⊥BC交BC延长线于E，如图： ∵DE⊥BC，CD⊥AC， ∴∠E＝∠ACD＝90°， ∴∠ACB＝90°﹣∠DCE＝∠CDE， 在△ABC和△CED中， ， ∴△ABC≌△CED（AAS）， ∴BC＝ED＝4， ∴S△BCD＝BC•DE＝8； （3）过A作AE⊥CD于E，过B作BF⊥CD交DC延长线于F，如图： ∵△ACD面积为12且CD的长为6， ∴×6•AE＝12， ∴AE＝4， ∵∠ADC＝45°，AE⊥CD， ∴△ADE是等腰直角三角形， ∴DE＝AE＝4， ∴CE＝CD﹣DE＝2， ∵∠ABC＝∠CAB＝45°， ∴∠ACB＝90°，AC＝BC， ∴∠ACE＝90°﹣∠BCF＝∠CBF， 在△ACE和△CBF中， ， ∴△ACE≌△CBF（AAS）， ∴BF＝CE＝2， ∴S△BCD＝CD•BF＝6． 【变式4-3】如图1，，垂足分别为D，E． (1)若，求的长．(2)在其它条件不变的前提下，将所在直线变换到的外部（如图2），请你猜想三者之间的数量关系，并证明你的结论； (3)如图3，将（1）中的条件改为：在中，，D，C，E三点在同一条直线上，并且有，其中α为任意钝角，那么（2）中你的猜想是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)0.8cm(2)，证明见解析(3)结论成立，证明见解析 【分析】（1）（2）（3）方法相同，利用AAS定理证明，根据全等三角形的性质、结合图形解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴； ． 证明：∵， ∴， ∵，∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）结论成立， 证明：， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴； 即结论成立； 模型五 手拉手模型 全等模型 模型解读 常见模型 解题思路 手拉手模型 两个顶角相等的等腰三角形顶角顶点重合，左底角顶点互连，右底角顶点互连所组成的图形 加(减)共顶点的角的共角部分，得到一组对应角相等 【常见模型拓展及证法】 （等边） （等腰直角） （等腰） 【例5】如图所示，是一个等腰直角三角形，其中．D是斜边BC上一点，连接线段AD，并逆时针旋转至E，连接线段CE． （1）证明：． （2）判断的形状． 【分析】（1）由题可得，，，由旋转的性质得可得，，，再根据可得，以此即可通过SAS证明． （2）根据题意和可得，，则，以此即可判断． 【解答】（1）证明：是一个等腰直角三角形，其中， ， 线段逆时针旋转得到， ，， ， ， 在和中， ， ． （2）解：由（1）知，， ， 是一个等腰直角三角形， ， ， ， 为直角三角形． 【点评】本题主要考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形，熟练掌握旋转的性质以及全等三角形的判定与性质是解题关键． 【变式5-1】如图，和都是等边三角形，且，，三点在一条直线上，连接，相交于点． （1）求证：． （2）求的度数． 【分析】（1）由等边三角形的性质得出，，，证明，则可得出结论； （2）由全等三角形的性质得出．则可得出答案． 【解答】（1）证明：和都是等边三角形， ，，， ， 即， ， ． （2）解：由（1）可得， ． ， ， 即． 【点评】本题考查了等边三角形的性质的运用，三角形的外角与内角的关系的运用，全等三角形的判定与性质的运用，解答时证明三角形全等是解答的关键． 【变式5-2】如图，已知在等腰中，，在等腰中，，连接，，试猜想与在长度和位置上有何关系，并证明你的结论． 【分析】延长交于点G，交于点H，根据等腰直角三角形的性质可得，，，从而利用等式的性质可得，然后利用证明，从而可得，，再根据直角三角形的两个锐角互余可得，最后利用对顶角相等可得，从而可得，再利用三角形内角和定理可得，即可解答． 【解答】解：，， 理由：延长交于点G，交于点H， 在等腰中，，在等腰中，， ，，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 即． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【变式5-3】在和中，，，，连接，． 【发现问题】如图①，若，延长交于点D，则与的数量关系是 　_____　，的度数为 　　． 【类比探究】如图②，若，延长，相交于点D，请猜想BE与CF的数量关系及的度数，并说明理由． 【拓展延伸】如图③，若，且点B，E，F在同一条直线上，过点A作，垂足为点M，请猜想BF，CF，AM之间的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质，利用证明即可得出结论； （2）根据等腰三角形的性质，利用证明即可得出结论； （3）利用证明，可得，再由等腰直角三角形的性质可得，即，根据，等量代换可得． 【解答】解：（1），， 理由如下：如图1所示，设与交于点， ， ， 即， 在和中， ， ， ，， ，， ． 故答案为：，； （2），， 理由如下：如图2， ， ， 即， 在和中， ， ， ，， ，， ， ； （3）【拓展延伸】， 理由如下：如图3， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ，，， ，即， ， ． 【点评】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形和等腰直角三角形的性质，三角形的面积等知识，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 【变式5-4】综合实践 在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”，如图1，与都是等腰三角形，其中，则． 【初步把握】如图2，与都是等腰三角形，，，且，则有 ___________　． 【深入研究】如图3，已知，以、为边分别向外作等边和等边，并连接，，求证：． 如图4，在两个等腰直角三角形和中，，，，连接，，交于点P，请判断和的关系，并说明理由． 【分析】(初步把握)易证，再证即可； (深入研究)易证，再证，即可得出结论； (拓展延伸)易证，再证，得，，再由三角形的外角性质证出，则即可． 【解答】(初步把握）解：， ， 即， 在和中， ， ， 故答案为：，； （深入研究）证明：和都是等边三角形， ，，， ， 即， 在和中， ， ， ； （拓展延伸）解：，，理由如下： ， ， 即， 在和中， ， ， ，， ， ， ． 【点评】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质以及三角形的外角性质等知识，本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键， 模型六 半角模型 全等模型 模型解读 常见模型 解题思路 半角模型 有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等.通过作辅助线将角的倍分关系 转化为角的相等关系，并进一步构成全等三角形 半角模型（题中出现角度之间的半角关系）利用旋转——证全等——得到相关结论. 常见模型拓展1.半角模型（90°-45°型） 条件：四边形ABCD是正方形，∠ECF=45°； 结论：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋DF；④的周长=2AB； ⑤CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。 2）等腰直角三角形半角模型 条件：是等腰直角三角形，∠DAE=45°； 结论：①△BAD≌△CAG；②△DAE≌△GAE；③∠ECG==90°；④； 模型2.半角模型（60°-30°型或120°-60°型） 1）等边三角形半角模型（120°-60°型） 条件：是等边三角形，是等腰三角形，且BD=CD，∠BDC=120°，∠EDF=60°； 结论：①△BDE≌△CDG；②△EDF≌△GDF；③EF＝BE＋FC；④的周长=2AB； ⑤DE、DF分别平分∠BEF和∠EFC。 2）等边三角形半角模型（60°-30°型） 模型3.半角模型（-型） 条件：∠BAC=，AB=AC，∠DAE=； 结论：①△BAD≌△CAF；②△EAD≌△EAF；③∠ECF=180°-。 【例6】（1）如图1，在四边形中，，，且，求证：． （2）如图2，若在四边形中，，，分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立？请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）结论仍然成立；理由见解析 【分析】本题主要考查的是三角形的综合题，主要涉及三角形全等的判定与性质，作辅助线构造全等三角形是解此题的关键． （1）延长到G，使，连接，根据证明可得，再证明，可得，即可得出结论； （2）延长到G，使，连接AG，根据证明可得，再证明，可得，即可得出结论． 证明：如图，延长到G，使，连接， 则， 又， ∴， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （2）结论仍然成立，理由如下： 如图，延长到G，使，连接， ∵， ∴， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【变式6-1】如图，AB＝AD＝BC＝DC，∠C＝∠D＝∠ABE＝∠BAD＝90°，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF＝45°，过点A作∠GAB＝∠FAD，且点G在CB的延长线上． （1）△GAB与△FAD全等吗？为什么？ （2）若DF＝2，BE＝3，求EF的长． 【答案】（1）全等，理由详见解析；（2）5 【分析】（1）由题意易得∠ABG＝90°＝∠D，然后问题可求证； （2）由（1）及题意易得△GAE≌△FAE，GB＝DF，进而问题可求解． 解：（1）全等．理由如下 ∵∠D＝∠ABE＝90°， ∴∠ABG＝90°＝∠D， 在△ABG和△ADF中， ， ∴△GAB≌△FAD（ASA）； （2）∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°， ∴∠DAF+∠BAE＝45°， ∵△GAB≌△FAD， ∴∠GAB＝∠FAD，AG＝AF， ∴∠GAB+∠BAE＝45°， ∴∠GAE＝45°， ∴∠GAE＝∠EAF， 在△GAE和△FAE中， ， ∴△GAE≌△FAE（SAS） ∴EF＝GE ∵△GAB≌△FAD， ∴GB＝DF， ∴EF＝GE＝GB+BE＝FD+BE＝2+3＝5． 【点拨】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 【变式6-2】（）如图，在四边形中，，，E、F分别是边上的点，且，线段之间的关系是 ；（不需要证明） （）如图，在四边形中，，，分别是边上的点，且，（）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． （）如图，在四边形中，，，分别是边延长线上的点，且，（）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．    【答案】（1）；（2）（1）中的结论仍然成立，理由见解析；（3）（1）中的结论不成立，． 【分析】(1)延长至G，使，连接，证明，根据全等三角形的性质得到，，再证明，根据全等三角形的性质得出，结合图形计算，即可证明结论； (2)延长至M，使，连接 ，仿照(1)的证明方法解答； (3)在上截取，连接，仿照(2)的证明方法解答． 解：（1）， 理由如下： 如图1，延长至G，使，连接，    在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）（1）中的结论仍然成立， 理由如下： 如图2，延长至M，使，连接，    ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）（1）中的结论不成立，， 理由如下：如图3，在上截取，连接，    同（2）中证法可得，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点拨】此题考查了全等三角形的判定和性质，掌握三角形全等的判定定理、灵活运用类比思想是解题的关键． 【变式6-3】【问题背景】如图1，在四边形中，，分别是上的点，且，试探究图中线段之间的数量关系． 【初步探索】小亮同学认为：如图1，延长到点G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论______； 【探索延伸】如图2，在四边形中，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由． 【结论运用】如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O)处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以80海里/小时的速度前进1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达M、N处，且两舰艇之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离． 【灵活变通】如图4，已知在四边形中，，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，仍然满足【初步探索】中的结论，请直接写出与的数量关系．    【答案】【初步探索】；【探索延伸】仍成立，理由见析；【结论运用】210海里；【灵活变通】，理由见解答过程． 【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角相等． 〖初步探索〗延长到G，使，连接，先证明，再证明，则可得到结论； 〖探索延伸〗延长到G，使，连接，证明，再证明，则结论可求； 〖结论运用〗连接，延长、交于点C，利用已知条件得到：四边形中：，且，符合“探索延伸”具备的条件，则． 〖灵活变通〗在延长线上取一点G，使得，连接，先判定，再判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论． 解：〖初步探索〗如图1，延长到点G，使，连接，    在和中， ， ， ，， ∵， ∴，即， ∵， ∴， 在和中， ， ， ， ， ； 〖探索延伸〗仍成立，理由如下： 如图2，延长到点G，使，连接，    ，， ， 在和中， ， ， ，， ，， ． ， ， ． 在和中， ， ， ， ， ； 〖结论运用〗连接，延长、交于点C，如图3，    ，， ， ，， 在四边形中：，且， 四边形符合探索延伸中的条件， 结论成立， 即（海里）， 答：此时两舰艇之间的距离是210海里． 〖灵活变通〗结论：． 理由：如图4，在延长线上取一点G，使得，连接，    ，， ，即 在和中， ， ， ，， ∵点E在的延长线上，点F在的延长线上，仍然满足【初步探索】中的结论， 即， ∴ 在和中， ， ， ， ， ， ， 即， ． 模型七 对角互补模型 题型1、旋转中的对角互补模型（90°--全等型） 1）“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（异侧型） 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB. 结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③. 2）“斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（同侧型） 条件：如图，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D，∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB.结论：①CD＝CE，②OE－OD＝OC，③. 题型2、旋转中的对角互补模型（60°或120°--全等型） 1）“等边三角形对120°模型”（1） 条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB. 结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③. 2）“等边三角形对120°模型”（2） 条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB，∠DCE的一边与BO的延长线交于点D， 结论：①CD＝CE，②OD－OE＝OC，③. 3）“120°等腰三角形对60°模型” 条件：△ABC是等腰三角形，且∠BAC=120°，∠BPC=60°。 结论：①PB+PC=PA； 题型3、旋转中的对角互补模型（2α或180°-2α--全等型） 1）“2α对180°-2α模型” 条件：四边形ABCD中，AP=BP,∠A+∠B=180° 结论：OP平分∠AOB 注意：①AP=BP，②∠A+∠B=180°，③OP平分∠AOB，以上三个条件可知二推一。 2）“蝴蝶型对角互补模型” 条件：AP=BP,∠AOB=∠APB 结论：OP平分∠AOB的外角。 【例7】【问题情境】 在学习了角平分线的性质后，兴趣小组通过查阅资料得到以下知识： 定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形，如图1，在四边形中，，，这种四边形被称为等补四边形． 【探究实践】(1)如图2，李明发现，连接，则为的角平分线，请你判断他的结论是否正确，并说明理由； (2)如图3，王红发现，在等补四边形中，当，，时，与之间存在某种数量关系，请写出该关系并说明理由． 【答案】(1)正确，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质．正确地作出辅助线是解题的关键． （1）作交延长线于点E，作于点，利用“角角边”证明，得出，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等反推出为的角平分线． （2）延长至使，连接，利用“边角边”证明，得到，，再通过角的等量代换得到，再利用“边角边”证明，得到，最后通过角的等量代换即可得到结论． 【详解】解：（1）正确，理由如下： 作交延长线于点E，作于点F， ， 已知，， ． 在和中， ， ， ， 又，， 为的角平分线． （2），理由如下： 延长至使，连接， ，， 在和中， ， ， ，， 又， ， ， 在和中， ， ， ， 又 ． 【变式7--1】（25-26八年级上·四川自贡·阶段练习）已知在四边形中， ，． (1)如图（1）所示，，E，F分别是边上的点，请写出线段之间的数量关系，并证明． (2)如图（2）所示，，E，F分别是边上的点，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． (3)如图（3）所示，，E，F分别是边延长线上的点，线段之间的关系是 ． 【答案】(1)，证明见解析 (2)（1）中的结论仍然成立，证明见解析 (3) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，线段的和差，角的和差，解题的关键是掌握以上性质，并灵活构造辅助线． （1）延长至点G，使，证明，得出，，再证明，根据对应边相等即可得出结论； （2）延长至点H，使，证明，得出，，再证明，根据对应边相等即可得出结论； （3）在线段上截取，连接，证明，得出，，再证明，根据对应边相等即可得出结论． 【详解】（1）解：，证明如下： 如图，延长至点G，使， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：仍然成立，理由如下： 如图，延长至点H，使， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，在线段上截取，连接， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式7--2】（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在四边形中，，，，E，F分别是，上的点，且，若，，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 延长至点G，使得，证明，得到，，进而得出，再证明得到，即可解答． 【详解】解：延长至点G，使得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【变式7--3】（25-26八年级上·浙江湖州·阶段练习）（1）如图1：在四边形中，，，．E，F分别是，上的点．且．探究图中线段，，之间的数量关系． 小明同学探究的方法是：延长到点G．使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论是_____（直接写结论，不需证明）； （2）如图2，若在四边形中，，，E、F分别是BC，CD上的点，且，猜想上述结论是否仍然成立，并证明； （3）如图3，在四边形中，，与互补，点E、F分别在射线、上，且．当，，时，求的周长． 【答案】（1）；（2）成立，理由见解析；（3）13 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，补角性质，解题的关键是学会利用旋转变换的思想添加辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）延长到点G，使，连接，证明和，根据全等三角形的性质即可求解； （2）（1）中的结论仍然成立．如图2中，延长至M，使，连接，证明和即可求证； （3）结论不成立，结论：．在上截取，使，连接，证明和即可求证； 【详解】（1）解：如图，延长到点G，使，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ， 即， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：（1）中的结论仍然成立． 证明：如图2中，延长至M，使，连接， ∵， ， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图，在上截取，使，连接． ，， ． 在与中，， ， ，， ， ． ， ， ， 的周长． 模型八：平行线中点模型 全等模型 模型解读 常见模型 解题思路 平行线中点模型 平行线之间夹中点，通过延长过中点的线段与平行线相交，从而构造一对全等三角形，并将已知条件中的线段和角进行转移 如图，已知AB∥CD，点E，F分别在直线AB、CD上，点O为线段EF的中点，延长PO交CD于点Q，证明△POE≌△QOF 【例8】（24-25八年级上·上海·期中）如图，在中，D是的中点，过D的直线交于E，交的延长线于F，且．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：过点C作交于G， ∴， D是的中点， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式8-1】（24-25八年级上·上海·期中）如图，已知，BE平分，点E为中点，如果，，那么 ． 【答案】4 【详解】解：如图，延长交于点F， ∵， ∴， ∵点E为中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵BE平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：4． 【变式8-2】（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）如图所示，点M是线段上一点，是过点M的一条直线，连接、，过点B作交于F，且M为中点． (1)若，求的长；(2)若，，求证：． 【答案】(1)；(2)证明见解析． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∵M为中点， ∴ 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（1）知，， 在和中， ， ， ， ， 即：． 【变式8-3】【问题提出】 期末复习课上，数学丁老师出示了下面一个问题：如图1，在中，D是延长线的点，E是边上一点，且满足，，那么A是的中点，请你说明理由． 【思路探究】 小王同学从条件出发分析解题思路：以为腰构造等腰和平行八字型全等三角形，如图2，以点D为圆心，以长为半径画弧，交的延长线于点F，先应用等腰三角形的轴对称性，再应用三角形全等“”（或“” 的判定方法即可得，小张同学从结论出发分析解题思路：以为腰构造等腰，将说明的问题转化为说明的问题，如图3，以点B为圆心，以长为半径画弧，交于点F，于是可得，再应用三角形全等“”（或“” 的判定方法即可得 ． （1）请你选择小张同学或小王同学的思路或按自己的思路写出完整的解题过程； 【学以致用】 （2）请你在理解了小张同学或小王同学解题思路的基础上，解答下面一道图形较为复杂的同类问题：如图4，在四边形中，，，过点B作线段，且，连接，交的延长于点F，猜想与的数量关系并说明理由． 【分析】（1）小王同学的思路：如图1，以点D为圆心，以长为半径画弧，交的延长线于点F，则，根据题意证明出，得到； 小张同学的思路：如图2，以点B为圆心，以长为半径画弧，交于点F，连接，则，根据题意证明出，得到，进而求解即可； （2）方法1：如图3，以点D为圆心，长为半径作弧，交的延长线于点M，连接，证明出，得到； 方法2：以点E为圆心，以长为半径画弧，交于点N，连接EN，证明出，得到． 【解答】解：（1）小王同学的思路： 如图2，以点D为圆心，以长为半径画弧，交的延长线于点F，则． ． ，， ， ， ． ，即A是的中点 小张同学的思路： 如图3，以点B为圆心，以长为半径画弧，交于点F，连接，则． ， ，， ． ，， ． ． ，即A是的中点； （2）猜想 方法1: 如图4，以点D为圆心，长为半径作弧，交的延长线于点M，连接， 则． ． ，，，， ，，，． ． ． 又， ． ． 方法2: 如图4，以点E为圆心，以EF长为半径画弧，交BF于点N，连接EN， 则． ． ，， ． ，，， ，，． ． ． ， ． ． ． 【点评】此题考查了全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理等知识，解答本题的关键是作出辅助线，构造全等三角形 模型九 角平分线模型 【例9】（2024八年级下·江苏·专题练习）如图，中，、的角平分线、交于点P，下列结论：①平分；②；③若点M、N分别为点P在、上的正投影，则；④．其中正确的是（    ） A．只有①②③ B．只有①③④ C．只有②③④ D．只有①③ 【答案】B 【分析】过点P作，，，依据角平分线的性质和判定即可判断①； 利用四边形内角和为从而可判断②；借助全等三角形的性质和判定，进行等量变换即可判断③； 利用和的外角写出关系式进行整理即可判断④． 【详解】解：如图，过点P作，，，垂足分别为M、N、D， ①∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴点P在的角平分线上，故①正确； ②∵，， ∴， ∴，由图可知， ∴错误，故②错误； ③在与中， ， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴，故③正确； ④∵平分，平分， ∴， ， ∴，故④正确． 综上所述，①③④正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了角平分线的性质和判定，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，借助辅助线综合运用角平分线的性质和判定以及全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【变式9-1】如图， 已知是的平分线，， 若的面积为， 则的面积（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、三角形的中线性质， 证得点P为的中点是解答的关键．延长交于Q，证明 得到,然后利用三角形的中线性质得到，，进而可求解． 【详解】解：延长交于Q，∵是的平分线，， ∴，， 又， ∴， ∴, ∴，， ∴， ∴ ∵的面积为， ∴． 故选：B． 【变式9-2】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝40°，BD是∠ABC的平分线，延长BD至E，使DE＝AD，求证：∠ECA＝40°． 【答案】见解析 【分析】在BC上截取BF＝AB，连DF，根据SAS可证明△ABD≌△FBD， 得出DF＝DA＝DE，证明△DCE≌△DCF，故∠ECA＝∠DCB＝40°． 【详解】证明：在BC上截取BF＝AB，连DF， ∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠FBD， 在△ABD和△ＦBD中， ， ∴△ABD≌△FBD（SAS）， ∴DF＝DA＝DE， 又∵∠ACB＝∠ABC＝40°，∠DFC＝180°﹣∠A＝80°， ∴∠FDC＝60°， ∴∠EDC＝∠ADB＝180°﹣∠ABD﹣∠A＝180°﹣20°﹣100°＝60°， 在△DCE和△DCF中， ， ∴△DCE≌△DCF（SAS）， ∴∠ECA＝∠DCB＝40°． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理， 熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【变式9-3】（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）问题情境：数学课上，同学们在探索利用角平分线来构造全等三角形问题． 如图①，在四边形中，点是边的中点，平分，，证明：． 讨论思考：当同学们讨论到题目中寻找线段之间的和差关系时，大家都踊跃提出了各自的见解，大家集思广议，提出了一个截长法：如图②，在上截取，连接，先证明，再证明，即有，即． 解决问题：小明同学根据大家的思路，进行了如下的证明 ，理由如下：如图②，在上取一点F，使，连接． ∵平分，∴， 在和中， ∴（）∴，． （1）小明已经完成了大家讨论的第一步，接下来就由你来利用题干中的条件完成剩下的推理证明吧． 拓展探究：已知：如图③，在中，，D、E分别为上的点，且交于点F． 若为的角平分线． （2） ； （3）证明：． （4）如图④，在中，，延长的边到点G，平分交 延长线于点D，若，，则 ． 【答案】（1）见解析；（2）120；（3）见解析；（4）60 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边对等角，三角形的外角的性质； （1）根据题意再证明得出，进而即可得证； （2）根据角平分线的定义可得， 进而根据三角形的内角和定理，即可求解； （3）在上截取，证明， ，根据全等三角形的性质，即可得证； （3）在上截取，证明，结合已知可得， 进而根据等边对等角可得，进而根据角平分线的定义， 全等三角形的性质，三角形的外角的性质即可求解． 【详解】（1）补充证明如下：∵， ∴， 又∵ ∴， ∴ ∵点C是边的中点， ∴， 又∵ ∴， 在中， ∴ ∴， 又， ∴， 即； （2） ∵， ∴， ∵为的角平分线， ∴ ∴， 故答案为：120． （3）证明：如图所示，在AC上截取， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 在中， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵ ∴ ∵是的角平分线， ∴， 在中， ∴ ∴ ∴； 解：如图所示，在上截取， ∵平分 ∴， 在中， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴ 故答案为：60°． 模型十 截长补短模型 全等模型 模型解读 常见模型 解题思路 截长补短法 截长，指在长线段中截取一段等于已知线段；补短，指将短线段延长，延长后的线段等于已知线段 截长法： 补短法： 该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词，通过截长补短法构造全等三角形，再利用全等三角形的判定和性质进行解题 【例10】阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题：如图1，在中，平分，．求证： 小明通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题： 方法一：如图2，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决问题 方法二：如图3，延长到点E，使得，连接，可以得到等腰三角形，进而解决问题 (1)根据阅读材料，任选一种方法证明 (2)根据自己的解题经验或参考小明的方法，解决下面的问题：如图4，四边形中，是上一点，，，，求证： 【答案】(1)见解析(2)见解析 【详解】（1）证明：法一：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 法二：∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵ ∴ （2）证明：在上取一点F，使得，如图所示： ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵ ∴ 即：， ∴， 即：， ∴， ∵ ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 【变式10-1】如图，，的平分线与的平分线相交于E，的延长线交于D． (1)试判断与的位置关系，并说明理由：(2)试判断的数量关系，并说明理由； (3)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)，理由见解析(2)，理由见解析(3)39 【详解】（1）解：，理由如下：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴； ∴ ∴； （2）解：，理由如下：延长，交延长线于点F，如下图： 由（1）得， ∵ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3） 解：∵， ∴ ∴四边形的面积等于的面积， 由（1）可得， ∴， ∴． 【变式10-2】在四边形中，，与互补，点E、F分别在射线、上，且，当，，时，的周长等于 ． 【答案】13 【分析】考查了全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 在上截取，先证，再证，可得，再由的周长即可解答． 【详解】解：在上取点G，使， ∵，， ∴， 在与中 ， ∴， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 在与中 ， ∴ ∴． ∴ ∴的周长等于， ∵，，， ∴的周长等于 故答案：13． 【变式10-3】【问题背景】在四边形中，，，，E、F分别是、上的点，且，试探究图1中线段、、之间的数量关系． 【初步探索】小晨同学认为：延长到点G，使，连接，先证明，再证明，则可得到、、之间的数量关系是______． 【探索延伸】在四边形中如图2，，，E、F分别是、上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由． 【结论运用】如图3，在某次南海海域军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以80海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以100海里/小时的速度前进1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角（）为，试求此时两舰艇之间的距离． 【答案】[初步探索]：；[探索延伸]：成立，见解析；[结论运用]：216海里 【详解】解：[初步探索]：； ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； [探索延伸]：结论仍然成立，理由如下：如图，延长到G，使，连接， ， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； [结论运用]：如图，连接，延长、交于点C， ， ∵，， ∴， ∵，， ∴符合探索延伸中的条件， ∴结论成立，即海里． 答：此时两舰艇之间的距离是216海里． 模型十一 倍长中线模型 全等模型 模型解读 常见模型 解题思路 倍长中线法 给出中线，通过延长中线的方法构造全等三角形，达到解题目的 通过延长中线，构造全等三角形，得到△ACD≌△EBD,△ABD≌△ECD 【例1】如图，中，点D在上，，点E是的中点，连接，则 ． 【答案】/ 【分析】如图，延长至F，使得，交于点G，通过“边角边”证明，则，根据题意与三角形的外角性质可得，进而可得，设，根据题意得到关于x的方程，然后求解方程即可． 【详解】解：如图，延长至F，使得，交于点G， ∵点E是的中点， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，   设， ∵， ∴， 解得， 即． 故答案为： 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，三角形的外角性质，解此题的关键在于熟练掌握其知识点，根据中点作出适当的辅助线． 【变式11-1】（23-24七年级下·广东深圳·期末）【阅读理解】 中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线” 等条件时，可以考虑做辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求  的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”    【初步感知】（1）如图1，在中 ，，，D是 的中点，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到 点E，使 ，连 接．可以判定， 从而得到．这样就能把线段、、 集中在中，利用三角形三边的关系，即可求出中线的取值范围是______ (请直接写出答案) 【实践应用】（2）为了测量学校旗杆和教学楼顶端之间的距离，学习小组设计了如图2所示的测量方案，他们首先取地面的中点D，用测角仪测得此时，测得旗杆高度，  教学楼高度，求 的长 ． 【拓展探究】( 3 ) 如 图 3 ， 和 均为等腰直角三角形，连接，，点 F 是 的中点，连接并延长，与 相交于点G．试探究： 和 的数量关系和位置关系并说明理由． 【答案】（1）；（2）31m；（3），，证明见解析 【分析】（1）延长到点E，使，根据定理证明，可得结论； （2）如图，延长交于点F．证明，得出，，再进一步结合线段的垂直平分线的性质，即可证明结论． （3）如图，延长，使，连接，证明，可得，，，再证明，可得，，在进一步可得结论． 【详解】解：（1）如图，延长到点E，使，    ∵D是的中点， ， ， ， ， 在中， ， ， ； （3） 如图， 延长交于点F， ∵的中点为D， ∴，  ∵由题意可得：，而， ∴， ∴，， ∵，， ∴，是的垂直平分线， ∴； （4） ，， 理由如下：如图，延长，使，连接， ∵F为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是三角形的三边关系的应用，全等三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的定义与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 【变式11-2】【发现问题】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．小华在组内经过合作交流，得到了如下解决方法：延长到点E，使，得到，他用到的判定定理是______（用字母表示）． 【解决问题】 小明发现，解题时，条件中若出现“中点”，“中线”字样，可以考虑构造全等三角形，“问题是数学的心脏”，要学好数学一定要多思考，做到举一反三，于是他又提出了一个新的问题：如图2，在中，点D是的中点，点M在边上，点N在边上，若，求证：． 【拓展应用】 如图3，在中，分别以，为边向外作和，使，，，点M是的中点，连接，，当时，求的长． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）22 【分析】[发现问题] 延长到E，使得，连接，先判断出，由可证，据此即可解答； [解决问题] 延长到E，使，连接，，首先根据全等三角形的判定和性质，可得，再根据线段垂直平分线的性质，可得，最后根据三角形三边的关系，即可证得； [拓展应用] 延长到N，使得，连接BN，同上的方法得出，则，进而判断出，进而判断出，得出，即可求解． 【详解】解：[发现问题]如图1，延长到E，使得，连接BE， 是的中线， ， 在和中， ， ， 故答案为：； [解决问题] 延长MD到E，使，连接，，如图， ∵AD是BC中点， ∴BD=DC， ∵在和中 ∴， ∵， ∴ 在中， ∴ [拓展应用] 如图2，延长到N，使得，连接， 由(1)知，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，倍长中线法，构造全等三角形是解本题的关键． 【变式11-3】阅读     （1）阅读理解： 如图①，在△ABC中，若AB=10，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围． 解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE=AD，再连接BE（或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断． 中线AD的取值范围是________；     （2）问题解决： 如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF＞EF；     （3）问题拓展： 如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD，∠BCD=140°，以C为顶点作一个70°角，角的两边分别交AB，AD于E，F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并加以证明． 【答案】（1）2＜AD＜8；（2）证明见解析；（3）BE+DF=EF；理由见解析. 【分析】（1）延长AD至E，使DE=AD，由SAS证明△ACD≌△EBD，得出BE=AC=6，在△ABE中，由三角形的三边关系求出AE的取值范围，即可得出AD的取值范围； （2）延长FD至点M，使DM=DF，连接BM、EM，同（1）得△BMD≌△CFD，得出BM=CF，由线段垂直平分线的性质得出EM=EF，在△BME中，由三角形的三边关系得出BE+BM＞EM即可得出结论； （3）延长AB至点N，使BN=DF，连接CN，证出∠NBC=∠D，由SAS证明△NBC≌△FDC，得出CN=CF，∠NCB=∠FCD，证出∠ECN=70°=∠ECF，再由SAS证明△NCE≌△FCE，得出EN=EF，即可得出结论． 【详解】（1）解：延长AD至E，使DE=AD，连接BE，如图①所示： ∵AD是BC边上的中线， ∴BD=CD， 在△BDE和△CDA中，BD=CD，∠BDE=∠CDA，DE=AD， ∴△BDE≌△CDA（SAS）， ∴BE=AC=6， 在△ABE中，由三角形的三边关系得：AB﹣BE＜AE＜AB+BE， ∴10﹣6＜AE＜10+6，即4＜AE＜16， ∴2＜AD＜8； 故答案为2＜AD＜8； （2）证明：延长FD至点M，使DM=DF，连接BM、EM，如图②所示： 同（1）得：△BMD≌△CFD（SAS）， ∴BM=CF， ∵DE⊥DF，DM=DF， ∴EM=EF， 在△BME中，由三角形的三边关系得：BE+BM＞EM， ∴BE+CF＞EF； （3）解：BE+DF=EF；理由如下： 延长AB至点N，使BN=DF，连接CN，如图3所示： ∵∠ABC+∠D=180°，∠NBC+∠ABC=180°， ∴∠NBC=∠D， 在△NBC和△FDC中， BN=DF，∠NBC =∠D，BC=DC， ∴△NBC≌△FDC（SAS）， ∴CN=CF，∠NCB=∠FCD， ∵∠BCD=140°，∠ECF=70°， ∴∠BCE+∠FCD=70°， ∴∠ECN=70°=∠ECF， 在△NCE和△FCE中， CN=CF，∠ECN=∠ECF，CE=CE， ∴△NCE≌△FCE（SAS）， ∴EN=EF， ∵BE+BN=EN， ∴BE+DF=EF． 考点：全等三角形的判定和性质；三角形的三边关系定理. 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $