专题06 一次函数与三角形综合问题（专项训练）数学新教材鲁教版五四制七年级上册

专题06 一次函数与三角形综合问题 常考题型·精准突破 题型1 一次函数与三角形的面积问题（高频） 题型2 一次函数与三角形存在问题（高频） 题型3 一次函数与三角形全等问题（难） 题型4 一次函数中折叠的综合问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 一次函数与三角形的面积问题 1. 【答案】(1) (2) 【知识点】几何问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的图像与性质，三角形的面积公式，掌握待定系数法是解题的关键． （1）根据待定系数法求解； （2）先求出点、的坐标，再根据，即可求解． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 直线经过点， ， ， 解得：， 直线的解析式为：； （2）当时，有， 解得：， ， ， ， 联立：， 得：， ， ． 2． 【答案】(1)，； (2)6 (3)点C的坐标为或． 【分析】（1）分别令x、y为0，代入解析式求出对应的y、x值即可得到点A、B坐标； （2）根据三角形面积公式代入数据计算即可； （3）设点C的坐标为，先求出长，再解得m值即可． 【详解】（1）解：在中，当时，；当时，， ∴，； （2）解：； （3）解：设点C的坐标为， 由勾股定理得， ∵， ∴或． ∴点C的坐标为或． 3． 【答案】(1) (2) (3)存在，点或 【分析】（1）设直线的函数解析式为，将、代入求解即可； （2）联立两直线解析式组成方程组，求得，再求出，即可根据三角形面积公式计算； （3）分两种情况讨论：当点P在x轴上方时，可知，据此可求得，即可求得答案；当点P在x轴下方时，可知，据此可求得，即可求出答案． 【详解】（1）解：设直线的函数解析式为， 将、代入，得， 解得：， 直线的函数解析式为； （2）解：联立两直线解析式组成方程组， 解得：， 点C的坐标为， 当时，， 点D的坐标为， ； （3）解：存在． 当点P在x轴上方时， ， ， ， ， ， ， 点P的坐标为； 当点P在x轴下方时， ， ， ， ， ， ， ， 此时点P的坐标为； 综上所述：在直线上存在点或，使得面积是面积的3倍． ◆题型2 一次函数与三角形存在问题 4. 【答案】(1)，， (2)或或 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数图象平移问题、几何问题(一次函数的实际应用)、等腰三角形的定义 【分析】（1）根据平移的规律得出直线l的解析式，由函数解析式令求A点坐标，求B点坐标； （2）分，两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：将直线向下平移2个单位长度得到直线l， ∴直线l的解析式为， 当时，，解得， 当时，， ∴，； （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， 设， 当时，， 解得或， ∴M的坐标为或； 当时， ∵， ∴， ∴M的坐标为； 综上，M的坐标为或或． 5． 【答案】(1)， (2)①点坐标为或；②存在，点D的坐标为或或或 【分析】（1）令可求出点A的坐标，令可求出点B的坐标； （2）①根据求出长即可求解； ②分三种情况，利用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵当时，，， ∴． ∵当时，， ∴； （2）解：①∵， ∴， ∴， ∴或，即或； ②设D的坐标是 ∴，，， 当时，，解得：，（舍去）； 当时，，解得：，； 当时，，解得：； 综上可知，点D的坐标为或或或． 6． 【答案】(1)；； (2)点M的坐标为或； (3)存在，点P的坐标为或或． 【分析】（1）直接利用直线求得点A和点B的坐标； （2）由（1）得可得到的长，然后依据勾股定理可求得的长，由折叠的性质可得到，利用可得D的坐标，设，则，利用勾股定理求出，然后求出，设点M的坐标为，建立方程求解即可； （3）分三种情况：①若；②若；③若，分别利用全等三角形的判定及性质求解即可． 【详解】（1）解：令得：， ∴， 令得：，解得：， ∴， （2）由（1）得， ∴， 由折叠的性质可知， ∴， 设，则 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴； ∴， ∵， ∴， 设点M的坐标为， ∴， 解得或， ∴点M的坐标为或； （3）存在，理由如下： ①若，如图，过点P作交于点G， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴此时点P的坐标为； ②若，如图，过点P作交点H， 同理可得，此时点P的坐标为； ③若，如图，过点P作交于点M，交于点N， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设点P的坐标为， ∴， 解得：， ∴此时点P的坐标为， 综上所述，点P的坐标为或或． ◆题型3 一次函数与三角形全等问题 7．D 8．或 9. 【答案】(1)，； (2) (3)Q的坐标为或或 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、几何问题(一次函数的实际应用)、全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形 【分析】（1）将和分别代入求解即可； （2）首先根据点A和点B的坐标得到，然后利用勾股定理求出，然后利用代入求解即可； （3）首先根据题意得到是的斜边，Q为直角顶点，然后设，则，然后分3种情况讨论，分别根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）在中，令得，令得， ∴，； （2）由（1）知，， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）∵以O，P，Q为顶点的三角形与全等， ∴是的斜边，Q为直角顶点， 设，则， 当，P在C下方时，如图：    则， ∴， ∴， ∴， ∴； 当，P在C上方时，如图：    ∵， ∴． ∴， ∴， ∴； 当时，如图：    则， ∴； 综上所述，Q的坐标为或或． ◆题型4 一次函数中折叠的综合问题 10．或 11. 【答案】(1)， (2) 【知识点】坐标与图形、一次函数图象与坐标轴的交点问题、勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查一次函数的综合应用，熟练掌握一次函数的图象和性质，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键： （1）分别令，求出A、B的坐标即可； （2）设，勾股定理求出的长，等积法求出的值，再利用面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，，当时，，解得， ∴，； （2）解：∵，， ∴，， ∵翻折， ∴，， ∴， 设，则：， ∴， 解：， ∴． 12． 【答案】(1)，； (2)存在，点坐标为； (3)折痕的解析式为． 【分析】（1）利用直线解析式，容易求得、的坐标； （2）作线段的垂直平分线，交轴于点，交于点，则点即为所求，可求得点坐标，则容易求得点坐标； （3）可设，由折叠的性质可得到，，在中，由勾股定理可得到关于的方程，可求得的值，则可求得点坐标，利用待定系数法可求得直线的解析式． 【详解】（1））在中，令可得，令可求得， ，； （2）如图1，作线段的垂直平分线，交轴于点，交于点， 则，即点即为满足条件的点， ， ， 在中，当时，可得， 点坐标为； （3）如图2， 设，则， ， ， 由折叠的性质可得，，， ， 在中，由勾股定理可得，即，解得， ，， 设直线解析式为， ，解得， 折痕的解析式为． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．C 2．D 3．D 二、填空题 4．①②/②① 5．或 6．或或 三、解答题 7． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）根据一次函数图象的性质和坐标轴点坐标的特征求解即可； （2）先求出直线的解析式为，再根据三角形面积列方程即求解； （3）分两种情况．①在点左侧，根据，构造等腰直角三角形得，从而可，再根据直线与轴交点坐标即可；②在点右侧，构造与情况①中直线关于的对称直线可求解． 【详解】（1）解：直线与轴交点：当，得，故， 当时，得，故， （2）解：∵，且， ∴，故， 设直线的解析式为：， ∴，解得， 直线的解析式为， 设， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴ ∵P在线段上， ∴，解得：， 故点P坐标为． （3）解：如图，作，使，，，则，连接交轴于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 由作图可知：点坐标为， ∵过、的直线解析式为， ∴直线与轴点坐标为，即：坐标为， ∴， 在平面坐标系中取点， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵过点过、的直线解析式为， ∴直线与轴交点坐标为，即：坐标为， 综上所述：点坐标为或． 8． 【答案】(1)，； (2) (3)或或或 【分析】（1）根据解析式，分别令和，求出的坐标，勾股定理求出的长即可； （2）根据三角形的面积公式进行求解即可； （3）分3种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）解：∵， ∴当时，，当时，， ∴， ∴， ∴； （2）解：设， 由（1）知：，； ∴，， ∵过点作直线AB于点且点与点重合， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴的面积； （3）解：设，由（1）知：，； 当为等腰三角形时，分种情况： ①时，则，解得或， ∴或 ②当时，则，解得， ∴； ③当时， ∵轴， ∴， ∴； 综上：或或或. 9． 【答案】(1)， (2)，证明见解析 (3)点坐标为 【分析】（1）根据解析式求出点的坐标，根据轴对称以及勾股定理求出相关点的坐标，然后利用待定系数法求解； （2）根据轴对称的性质得出相等的边和角，证明，得出相等的边，证明点的对称点为点，最后利用轴对称的性质证明； （3）根据题意画出图形，利用等腰三角形的性质求解． 【详解】（1）解：当时，， 解得， ∴； 当时，， ∴， ∴，， 由勾股定理得， ∴， 假设直线的解析式为， 将，代入解析式得， ， 解得 ∴直线的解析式为； （2）解：，理由如下： 根据轴对称的性质可得，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即点的对称点为点， ∴， 又∵， ∴； （3）解：如图所示，    当时，，∴； 当时，此时，点与点重合，∴； 当时，，∴； 当时，，∴； 当时，，∴； 当时，，∴； 综上，点坐标为． 10． 【答案】(1)3 (2) (3)①；②P的坐标为或或 【分析】（1）由点M为“完美点”，且横坐标为2，可得，求得n值即可求解； （2）设“完美点”，由，m，n是非零实数，可得，则故P在直线上； （3）①先求得，由（2）知“完美点”E在直线上，解方程组求得，进而可求解； ②，，分两种情况：当时和当时，利用全等三角形的对应边相等列方程求得a值即可解答． 【详解】（1）解：∵点M为“完美点”，且横坐标为2， ∴ 解得， 则， 点M的纵坐标为 3； （2）解：设“完美点”， ∵，m，n是非零实数， ∴， ∴， ∴P在直线上； （3）解：①在中，令得，令得， ∴，， ∵ ∴， 由（2）知“完美点”E在直线上，又点E在直线上的“完美点”， 解方程组得， ∴， ∴的面积为； ②由，，得, ，， 设，， 当时，如图： ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴； 当时，如图： ∴， ∴, 解得或， ∴或， 综上所述，P的坐标为或或． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 一次函数与三角形综合问题 常考题型·精准突破 题型1 一次函数与三角形的面积问题（高频） 题型2 一次函数与三角形存在问题（高频） 题型3 一次函数与三角形全等问题（难） 题型4 一次函数中折叠的综合问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 一次函数与三角形的面积问题 1.如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，与轴交于点，直线经过点，，已知， ，直线与相交于点． (1)求直线的解析式； (2)求的面积； 【答案】(1) (2) 【知识点】几何问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的图像与性质，三角形的面积公式，掌握待定系数法是解题的关键． （1）根据待定系数法求解； （2）先求出点、的坐标，再根据，即可求解． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 直线经过点， ， ， 解得：， 直线的解析式为：； （2）当时，有， 解得：， ， ， ， 联立：， 得：， ， ． 2．（25-26八年级下·河北唐山·期中）如图，已知一次函数的图象与轴、轴分别相交于点和点． (1)求点，的坐标． (2)求的面积． (3)点为轴上一动点，当时，直接写出点的坐标． 【答案】(1)，； (2)6 (3)点C的坐标为或． 【分析】（1）分别令x、y为0，代入解析式求出对应的y、x值即可得到点A、B坐标； （2）根据三角形面积公式代入数据计算即可； （3）设点C的坐标为，先求出长，再解得m值即可． 【详解】（1）解：在中，当时，；当时，， ∴，； （2）解：； （3）解：设点C的坐标为， 由勾股定理得， ∵， ∴或． ∴点C的坐标为或． 3．（25-26八年级下·山东聊城·阶段检测）如图，直线的函数解析式为；且与x轴交于点D，直线经过点A、B，直线，交于点C． (1)求直线的函数解析式： (2)求的面积： (3)在直线上是否存在点P，使得面积是面积的3倍？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点或 【分析】（1）设直线的函数解析式为，将、代入求解即可； （2）联立两直线解析式组成方程组，求得，再求出，即可根据三角形面积公式计算； （3）分两种情况讨论：当点P在x轴上方时，可知，据此可求得，即可求得答案；当点P在x轴下方时，可知，据此可求得，即可求出答案． 【详解】（1）解：设直线的函数解析式为， 将、代入，得， 解得：， 直线的函数解析式为； （2）解：联立两直线解析式组成方程组， 解得：， 点C的坐标为， 当时，， 点D的坐标为， ； （3）解：存在． 当点P在x轴上方时， ， ， ， ， ， ， 点P的坐标为； 当点P在x轴下方时， ， ， ， ， ， ， ， 此时点P的坐标为； 综上所述：在直线上存在点或，使得面积是面积的3倍． ◆题型2 一次函数与三角形存在问题 4.如图，在平面直角坐标系中，将直线向下平移2个单位长度得到直线l，且直线l与x轴、y轴分别交于A，B两点． (1)求直线l的解析式及点A，B的坐标． (2)M是x轴上的一个动点，要使以A，B，M为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形，请求出符合条件的所有点M的坐标． 【答案】(1)，， (2)或或 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数图象平移问题、几何问题(一次函数的实际应用)、等腰三角形的定义 【分析】（1）根据平移的规律得出直线l的解析式，由函数解析式令求A点坐标，求B点坐标； （2）分，两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：将直线向下平移2个单位长度得到直线l， ∴直线l的解析式为， 当时，，解得， 当时，， ∴，； （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， 设， 当时，， 解得或， ∴M的坐标为或； 当时， ∵， ∴， ∴M的坐标为； 综上，M的坐标为或或． 5．（25-26八年级下·广东惠州·期末）如图，已知一次函数与轴相交于点，与轴交于点． (1)求出点和点的坐标． (2)若点的坐标是， ①点是轴上的点，若，请求出点的坐标． ②在轴上是否存在点，使得是等腰三角形？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①点坐标为或；②存在，点D的坐标为或或或 【分析】（1）令可求出点A的坐标，令可求出点B的坐标； （2）①根据求出长即可求解； ②分三种情况，利用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵当时，，， ∴． ∵当时，， ∴； （2）解：①∵， ∴， ∴， ∴或，即或； ②设D的坐标是 ∴，，， 当时，，解得：，（舍去）； 当时，，解得：，； 当时，，解得：； 综上可知，点D的坐标为或或或． 6．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，点C在y轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的D处，直线与相交于点E． (1)点A的坐标为 ，点B的坐标为 ； (2)点M是y轴上一点，若．求点M的坐标． (3)在第一象限内是否存在点P，使为等腰直角三角形？若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；； (2)点M的坐标为或； (3)存在，点P的坐标为或或． 【分析】（1）直接利用直线求得点A和点B的坐标； （2）由（1）得可得到的长，然后依据勾股定理可求得的长，由折叠的性质可得到，利用可得D的坐标，设，则，利用勾股定理求出，然后求出，设点M的坐标为，建立方程求解即可； （3）分三种情况：①若；②若；③若，分别利用全等三角形的判定及性质求解即可． 【详解】（1）解：令得：， ∴， 令得：，解得：， ∴， （2）由（1）得， ∴， 由折叠的性质可知， ∴， 设，则 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴； ∴， ∵， ∴， 设点M的坐标为， ∴， 解得或， ∴点M的坐标为或； （3）存在，理由如下： ①若，如图，过点P作交于点G， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴此时点P的坐标为； ②若，如图，过点P作交点H， 同理可得，此时点P的坐标为； ③若，如图，过点P作交于点M，交于点N， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设点P的坐标为， ∴， 解得：， ∴此时点P的坐标为， 综上所述，点P的坐标为或或． ◆题型3 一次函数与三角形全等问题 7．如图，直线与x轴和y轴分别交于A，B两点，射线于点A．若点C是射线上的一个动点，点D是x轴上的一个动点，且以C，D，A为顶点的三角形与全等，则的长为（    ）    A．3或 B．4或 C．3或 D．4或 【答案】D 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、几何问题(一次函数的实际应用)、全等三角形的性质、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理的应用和全等三角形的性质等知识，分类讨论是解题关键，以防遗漏．根据题意解方程得到，则，令，则，求得，，根据勾股定理得到，①当时，如图1，②当时，如图2，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：， ， ， ， 在中， 令，则，令，则， ，，由勾股定理得， ①当时，如图1，   ， ， ； ②当时，如图2，   ， ， ， 综上所述：的长为或4． 故选：D． 8．如图，直线与x轴和y轴分别交于A、B两点，射线于点A．若点C是射线上的一个动点，点D是x轴上的一个动点，且以C、D、A为顶点的三角形与全等，则点D的坐标为 ． 【答案】或 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、几何问题(一次函数的实际应用)、全等三角形的性质 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，先求出两点的坐标，进而求出的长，分或两种情况进行讨论求解即可．利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键． 【详解】解：当时，， ∴点B的坐标为， ∴， 当时，， 解得：， ∴点A的坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图所示， ∵，， ∴， 当以C、D、A为顶点的三角形与全等时，共有或两种情况， 当时，， ∴点D的坐标为，即； 当时，， ∴点D的坐标为． 综上所述，点D的坐标为或． 故答案为：或． 9.如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，于点C，点P在直线上运动，点Q在y轴的正半轴上运动．    (1)求点A，B的坐标； (2)求的长； (3)若以O，P，Q为顶点的三角形与全等，求点Q的坐标． 【答案】(1)，； (2) (3)Q的坐标为或或 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、几何问题(一次函数的实际应用)、全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形 【分析】（1）将和分别代入求解即可； （2）首先根据点A和点B的坐标得到，然后利用勾股定理求出，然后利用代入求解即可； （3）首先根据题意得到是的斜边，Q为直角顶点，然后设，则，然后分3种情况讨论，分别根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）在中，令得，令得， ∴，； （2）由（1）知，， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）∵以O，P，Q为顶点的三角形与全等， ∴是的斜边，Q为直角顶点， 设，则， 当，P在C下方时，如图：    则， ∴， ∴， ∴， ∴； 当，P在C上方时，如图：    ∵， ∴． ∴， ∴， ∴； 当时，如图：    则， ∴； 综上所述，Q的坐标为或或． ◆题型4 一次函数中折叠的综合问题 10．如图，直线与轴、轴分别相交于点，，点在轴上，将沿折叠，点恰好落在直线上，求点的坐标． 【答案】或 【分析】由题意可求点，点坐标，即可求得，分点在正半轴和负半轴两种情况讨论，根据勾股定理可求点坐标． 【详解】解：如图，若点在正半轴上，将沿翻折，点恰好落在直线上点处， ∵直线与轴、轴分别相交于点，， 当时，，得：， 当时，， ∴，， ∴，， ∴， ∵将沿翻折，点恰好落在直线上点处， ∴，，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴； 如图，若点在负半轴上，将沿翻折，点恰好落在直线上点处， ∴，，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，点的坐标是或． 11.如图，直线与轴，轴分别相交于点和点B，M是上一点，若将沿折叠，则点恰好落在轴上的点处．求： (1)求A、B的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1)， (2) 【知识点】坐标与图形、一次函数图象与坐标轴的交点问题、勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查一次函数的综合应用，熟练掌握一次函数的图象和性质，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键： （1）分别令，求出A、B的坐标即可； （2）设，勾股定理求出的长，等积法求出的值，再利用面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，，当时，，解得， ∴，； （2）解：∵，， ∴，， ∵翻折， ∴，， ∴， 设，则：， ∴， 解：， ∴． 12．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)求点A，B的坐标； (2)在直线上是否存在点P，使是以为底边的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若将折叠，使边落在AB上，点O与点D重合，折痕为BC，求折痕所在直线的表达式． 【答案】(1)，； (2)存在，点坐标为； (3)折痕的解析式为． 【分析】（1）利用直线解析式，容易求得、的坐标； （2）作线段的垂直平分线，交轴于点，交于点，则点即为所求，可求得点坐标，则容易求得点坐标； （3）可设，由折叠的性质可得到，，在中，由勾股定理可得到关于的方程，可求得的值，则可求得点坐标，利用待定系数法可求得直线的解析式． 【详解】（1））在中，令可得，令可求得， ，； （2）如图1，作线段的垂直平分线，交轴于点，交于点， 则，即点即为满足条件的点， ， ， 在中，当时，可得， 点坐标为； （3）如图2， 设，则， ， ， 由折叠的性质可得，，， ， 在中，由勾股定理可得，即，解得， ，， 设直线解析式为， ，解得， 折痕的解析式为． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）如图，一次函数的图象经过点，，则的面积为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】先根据函数解析式求出点，的坐标，再求出一次函数与轴交点的坐标，过点作轴，过点作轴，最后根据即可求出结果． 【详解】解：当时，， ∴， 当时，，解得：， ∴， 当时，，解得：， ∴一次函数与轴交点，如图所示： 过点作轴，过点作轴， ∴，，， ∴． 2．（25-26八年级下·山东德州·期末）在平面直角坐标系中，若一次函数对于除之外的任意实数，其图象都经过一个定点，点与点关于轴对称，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数的解析式可知，对于除之外的任意实数，其图象都经过一个定点，根据关于轴对称的点的坐标之间的关系可知点的坐标为，即可求出，根据三角形的面积公式求出结果即可． 【详解】解：∵，对于除之外的任意实数，其图象都经过一个定点， ∴， 解得：， ， 定点的坐标为， 与关于轴对称， 的坐标为， ， 直线为，原点到直线的距离为 的面积为. 3．（25-26九年级下·辽宁鞍山·开学考试）如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C为x轴的负半轴上的一点，连接，过点C作，与线段交于点D，若，则点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由直线求出点B坐标，得出，过点D作于点E，证明，得，，设点，则，，得出，代入，求出a的值即可． 【详解】解：∵，当时，， ∴， ∴， 过点D作于点E，如图， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， 设点，则，， ∴， 把代入，得， 解得，， ∴ ∴点D的坐标为． 二、填空题 4．（25-26八年级下·河北廊坊·期末）如图，直线分别与轴、轴交于点，，点在线段上，线段沿翻折，点落在边上的点处，以下结论：①；②直线的函数表达式为；③点的坐标为．其中正确的结论是________________． 【答案】①②/②① 【分析】先利用直线的解析式确定点，，则利用两点间的距离公式可计算出，则可对①进行判断；设，则，根据折叠的性质得到，，所以，在中利用勾股定理得到，解方程得到，接着利用待定系数法求出直线的解析式为，则可对②进行判断；过点作于点，利用面积法求出，再利用勾股定理计算出，从而得到，所以D点坐标为，于是可对③进行判断． 【详解】解：当时，， 解得， ， 当时，， ， ，所以①正确； 设，则， 线段沿翻折，点落在边上的点处， ，， ， 在中，， 解得， ， 设直线的解析式为， 把，分别代入得， 解得， 直线的解析式为，所以②正确； 过点作于点，如图， ，，， ∴， ∴， ∴， ， ， ， 点坐标为，所以③错误． 综上所述，正确的结论是①②． 5．（25-26七年级上·山东烟台·期末）如图，直线与轴，轴分别交于，两点，射线于点B．若点在射线上，点在轴上，且与全等，则点的坐标为_______． 【答案】或 【分析】本题考查一次函数的图象、全等三角形的判定与性质，关键是分情况讨论全等三角形的对应顶点关系．首先求出、两点坐标，得到、的长度，再根据推出，然后分两种全等对应情况，分别计算的长度，进而确定点坐标． 【详解】解：当时，， ； 当时，，解得， ； ，； ， ， ∴． ，， ； 情况1：若，则； 点的纵坐标为，即； 情况2：若，则， 点的纵坐标为，即； 综上，点的坐标为或． 故答案为：或． 6．（25-26八年级下·江西上饶·期末）已知一次函数的图象与轴、轴分别交于点，点为轴负半轴上一点，且点的坐标为，若以点为顶点的三角形为等腰三角形，则的值为___________． 【答案】或或 【分析】根据题意，可以求得点A和点的坐标，再根据勾股定理，可以得到的长，然后利用分类讨论的方法可以求得点的坐标． 【详解】解：一次函数， 当时，，当时，， 点A的坐标为，点的坐标为， ，， ， 当点在点下方时，此时， ， ∴； 当点在点的下方时，此时， ； 当时， ∴， 解得：， 综上：或或. 三、解答题 7．（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于A，B两点，点C在轴负半轴，且． (1)点A的坐标为______，点B的坐标为______； (2)P为线段上一个动点，若，求此时点P的坐标； (3)点Q是轴上一个动点，满足，求点Q的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）根据一次函数图象的性质和坐标轴点坐标的特征求解即可； （2）先求出直线的解析式为，再根据三角形面积列方程即求解； （3）分两种情况．①在点左侧，根据，构造等腰直角三角形得，从而可，再根据直线与轴交点坐标即可；②在点右侧，构造与情况①中直线关于的对称直线可求解． 【详解】（1）解：直线与轴交点：当，得，故， 当时，得，故， （2）解：∵，且， ∴，故， 设直线的解析式为：， ∴，解得， 直线的解析式为， 设， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴ ∵P在线段上， ∴，解得：， 故点P坐标为． （3）解：如图，作，使，，，则，连接交轴于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 由作图可知：点坐标为， ∵过、的直线解析式为， ∴直线与轴点坐标为，即：坐标为， ∴， 在平面坐标系中取点， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵过点过、的直线解析式为， ∴直线与轴交点坐标为，即：坐标为， 综上所述：点坐标为或． 8．（25-26八年级上·重庆·期末）如图，直线交轴，轴分别为A、B，点为轴上的一个动点，过点作直线于点． (1)求出点A、B的坐标，以及线段长． (2)当点与点重合时，求的面积． (3)连接，当为等腰三角形时，求点的坐标． 【答案】(1)，； (2) (3)或或或 【分析】（1）根据解析式，分别令和，求出的坐标，勾股定理求出的长即可； （2）根据三角形的面积公式进行求解即可； （3）分3种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）解：∵， ∴当时，，当时，， ∴， ∴， ∴； （2）解：设， 由（1）知：，； ∴，， ∵过点作直线AB于点且点与点重合， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴的面积； （3）解：设，由（1）知：，； 当为等腰三角形时，分种情况： ①时，则，解得或， ∴或 ②当时，则，解得， ∴； ③当时， ∵轴， ∴， ∴； 综上：或或或. 9．（25-26八年级下·福建漳州·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线为与轴、轴分别交于点，点关于直线的对称点恰好落在轴正半轴上的点处．    (1)求点的坐标以及直线的解析式； (2)如图2，延长交于点，连接、，判断与的位置关系，并加以说明； (3)在平面直角坐标系中是否存在点在坐标轴上，使是以为腰的等腰三角形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)，证明见解析 (3)点坐标为 【分析】（1）根据解析式求出点的坐标，根据轴对称以及勾股定理求出相关点的坐标，然后利用待定系数法求解； （2）根据轴对称的性质得出相等的边和角，证明，得出相等的边，证明点的对称点为点，最后利用轴对称的性质证明； （3）根据题意画出图形，利用等腰三角形的性质求解． 【详解】（1）解：当时，， 解得， ∴； 当时，， ∴， ∴，， 由勾股定理得， ∴， 假设直线的解析式为， 将，代入解析式得， ， 解得 ∴直线的解析式为； （2）解：，理由如下： 根据轴对称的性质可得，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即点的对称点为点， ∴， 又∵， ∴； （3）解：如图所示，    当时，，∴； 当时，此时，点与点重合，∴； 当时，，∴； 当时，，∴； 当时，，∴； 当时，，∴； 综上，点坐标为． 10．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）当m，n是非零实数，且满足时，就称点为“完美点”． (1)若点M为“完美点”，且横坐标为2，则点M的纵坐标为 ； (2)“完美点”P在直线 （填直线解析式）上； (3)如图，直线分别交x轴、y轴于点A、B，，直线上的“完美点”为点E， ①求的面积； ②若点P在直线上，点Q是y轴上一点（不与点B重合），当和全等时，求点P的坐标（不包括这两个三角形重合的情况）． 【答案】(1)3 (2) (3)①；②P的坐标为或或 【分析】（1）由点M为“完美点”，且横坐标为2，可得，求得n值即可求解； （2）设“完美点”，由，m，n是非零实数，可得，则故P在直线上； （3）①先求得，由（2）知“完美点”E在直线上，解方程组求得，进而可求解； ②，，分两种情况：当时和当时，利用全等三角形的对应边相等列方程求得a值即可解答． 【详解】（1）解：∵点M为“完美点”，且横坐标为2， ∴ 解得， 则， 点M的纵坐标为 3； （2）解：设“完美点”， ∵，m，n是非零实数， ∴， ∴， ∴P在直线上； （3）解：①在中，令得，令得， ∴，， ∵ ∴， 由（2）知“完美点”E在直线上，又点E在直线上的“完美点”， 解方程组得， ∴， ∴的面积为； ②由，，得, ，， 设，， 当时，如图： ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴； 当时，如图： ∴， ∴, 解得或， ∴或， 综上所述，P的坐标为或或． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 一次函数与三角形综合问题 常考题型·精准突破 题型1 一次函数与三角形的面积问题（高频） 题型2 一次函数与三角形存在问题（高频） 题型3 一次函数与三角形全等问题（难） 题型4 一次函数中折叠的综合问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 一次函数与三角形的面积问题 1.如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，与轴交于点，直线经过点，，已知， ，直线与相交于点． (1)求直线的解析式； (2)求的面积； 2．（25-26八年级下·河北唐山·期中）如图，已知一次函数的图象与轴、轴分别相交于点和点． (1)求点，的坐标． (2)求的面积． (3)点为轴上一动点，当时，直接写出点的坐标． 3．（25-26八年级下·山东聊城·阶段检测）如图，直线的函数解析式为；且与x轴交于点D，直线经过点A、B，直线，交于点C． (1)求直线的函数解析式： (2)求的面积： (3)在直线上是否存在点P，使得面积是面积的3倍？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． ◆题型2 一次函数与三角形存在问题 4.如图，在平面直角坐标系中，将直线向下平移2个单位长度得到直线l，且直线l与x轴、y轴分别交于A，B两点． (1)求直线l的解析式及点A，B的坐标． (2)M是x轴上的一个动点，要使以A，B，M为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形，请求出符合条件的所有点M的坐标． 5．（25-26八年级下·广东惠州·期末）如图，已知一次函数与轴相交于点，与轴交于点． (1)求出点和点的坐标． (2)若点的坐标是， ①点是轴上的点，若，请求出点的坐标． ②在轴上是否存在点，使得是等腰三角形？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由． 6．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，点C在y轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的D处，直线与相交于点E． (1)点A的坐标为 ，点B的坐标为 ； (2)点M是y轴上一点，若．求点M的坐标． (3)在第一象限内是否存在点P，使为等腰直角三角形？若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． ◆题型3 一次函数与三角形全等问题 7．如图，直线与x轴和y轴分别交于A，B两点，射线于点A．若点C是射线上的一个动点，点D是x轴上的一个动点，且以C，D，A为顶点的三角形与全等，则的长为（    ）    A．3或 B．4或 C．3或 D．4或 8．如图，直线与x轴和y轴分别交于A、B两点，射线于点A．若点C是射线上的一个动点，点D是x轴上的一个动点，且以C、D、A为顶点的三角形与全等，则点D的坐标为 ． 9.如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，于点C，点P在直线上运动，点Q在y轴的正半轴上运动．    (1)求点A，B的坐标； (2)求的长； (3)若以O，P，Q为顶点的三角形与全等，求点Q的坐标． ◆题型4 一次函数中折叠的综合问题 10．如图，直线与轴、轴分别相交于点，，点在轴上，将沿折叠，点恰好落在直线上，求点的坐标． 11.如图，直线与轴，轴分别相交于点和点B，M是上一点，若将沿折叠，则点恰好落在轴上的点处．求： (1)求A、B的坐标； (2)求的面积． 12．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)求点A，B的坐标； (2)在直线上是否存在点P，使是以为底边的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若将折叠，使边落在AB上，点O与点D重合，折痕为BC，求折痕所在直线的表达式． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）如图，一次函数的图象经过点，，则的面积为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（25-26八年级下·山东德州·期末）在平面直角坐标系中，若一次函数对于除之外的任意实数，其图象都经过一个定点，点与点关于轴对称，则的面积为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级下·辽宁鞍山·开学考试）如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C为x轴的负半轴上的一点，连接，过点C作，与线段交于点D，若，则点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（25-26八年级下·河北廊坊·期末）如图，直线分别与轴、轴交于点，，点在线段上，线段沿翻折，点落在边上的点处，以下结论：①；②直线的函数表达式为；③点的坐标为．其中正确的结论是________________． 5．（25-26七年级上·山东烟台·期末）如图，直线与轴，轴分别交于，两点，射线于点B．若点在射线上，点在轴上，且与全等，则点的坐标为_______． 6．（25-26八年级下·江西上饶·期末）已知一次函数的图象与轴、轴分别交于点，点为轴负半轴上一点，且点的坐标为，若以点为顶点的三角形为等腰三角形，则的值为___________． 三、解答题 7．（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于A，B两点，点C在轴负半轴，且． (1)点A的坐标为______，点B的坐标为______； (2)P为线段上一个动点，若，求此时点P的坐标； (3)点Q是轴上一个动点，满足，求点Q的坐标． 8．（25-26八年级上·重庆·期末）如图，直线交轴，轴分别为A、B，点为轴上的一个动点，过点作直线于点． (1)求出点A、B的坐标，以及线段长． (2)当点与点重合时，求的面积． (3)连接，当为等腰三角形时，求点的坐标． 9．（25-26八年级下·福建漳州·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线为与轴、轴分别交于点，点关于直线的对称点恰好落在轴正半轴上的点处．    (1)求点的坐标以及直线的解析式； (2)如图2，延长交于点，连接、，判断与的位置关系，并加以说明； (3)在平面直角坐标系中是否存在点在坐标轴上，使是以为腰的等腰三角形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 10．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）当m，n是非零实数，且满足时，就称点为“完美点”． (1)若点M为“完美点”，且横坐标为2，则点M的纵坐标为 ； (2)“完美点”P在直线 （填直线解析式）上； (3)如图，直线分别交x轴、y轴于点A、B，，直线上的“完美点”为点E， ①求的面积； ②若点P在直线上，点Q是y轴上一点（不与点B重合），当和全等时，求点P的坐标（不包括这两个三角形重合的情况）． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $