期末复习专题08 整式的乘法（3知识点+15大题型+思维导图+过关检测） 2025-2026学年人教版八年级数学上册期末备考冲刺

该初中数学讲义通过思维导图系统构建整式乘法知识体系，梳理单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式三大核心知识点，以法则解析和注意事项表呈现运算要点，突出符号法则、同类项合并等重难点及内在逻辑联系。 讲义亮点在于15大题型分层设计，从基础计算到图形面积（如用多项式乘法表示阴影面积，培养几何直观）、规律探究（如杨辉三角系数规律，发展推理意识），典例配解题技巧，跟随训练分梯度。过关检测覆盖全考点，助力学生自主复习，教师可据此实施精准教学，提升运算能力与应用意识。

期末专题08 整式的乘法 （3知识点+15大题型+思维导图+过关检测） 【题型1 单项式乘单项式】 2 【题型2 利用单项式乘法求字母或代数式的值】 4 【题型3 单项式乘多项式】 6 【题型4 多项式乘多项式】 7 【题型5 已知多项式乘积不含某项求字母的值】 9 【题型6 多项式乘多项式化简求值】 12 【题型7 多项式乘多项式与图形面积】 14 【题型8 多项式乘法中的规律问题】 17 【题型9 整式乘法混合运算】 21 【题型10 同底数幂除法运算】 25 【题型11 零指数幂】 26 【题型12 单项式除以单项式】 28 【题型13 用科学记数法表示数的除法】 30 【题型14 多项式除以单项式】 31 【题型15 整式四则混合运算】 33 知识梳理 知识点01 单项式与单项式相乘 单项式乘法法则：单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式. 单项式乘法法则在运用时要注意以下几点： ①积的系数等于各因式系数积，先确定符号，再计算绝对值.这时容易出现的错误的是，将系数相乘与指数相加混淆； ②相同字母相乘，运用同底数的乘法法则； ③只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数作为积的一个因式； ④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用； ⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式. 知识点02 单项式与多项式相乘 单项式乘以多项式，是通过乘法的分配律，把它转化为单项式乘以单项式，即单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 即（a+b+c)m=am+bm+cm 单项式与多项式相乘时要注意以下几点： ①单项式与多项式相乘，积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同； ②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号； ③在混合运算时，要注意运算顺序. 知识点03 多项式与多项式相乘 多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 即（a+b)(m+n)=am+an+bm+bn 多项式与多项式相乘时要注意以下几点： ①多项式与多项式相乘要防止漏项，检查的方法是：在没有合并同类项之前，积的项数应等于原两个多项式项数的积； ②多项式相乘的结果应注意合并同类项； ③对含有同一个字母的一次项系数是1的两个一次二项式相乘 ，其二次项系数为1，一次项系数等于两个因式中常数项的和，常数项是两个因式中常数项的积.即(x+a)(x+b)=x²+（a+b)x+ab 对于一次项系数不为1的两个一次二项式(mx+a)和(nx+b)相乘可以得到. 运算注意事项 1. 运算过程中要严格遵循符号法则，负负得正，正负得负。 2. 同底数幂相乘时，指数相加，底数保持不变；系数相乘时需计算具体数值。 3. 最终结果要化为最简形式，合并所有同类项。 题型精讲 【题型1 单项式乘单项式】 【典例1】．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】积的乘方运算、计算单项式乘单项式 【详解】解： 故选：D． 解题技巧：此题主要考查了单项式乘以单项式，正确把握单项式乘以单项式法则是解题关键．首先利用积的乘方进行化简，进而利用单项式乘以单项式法则求出即可． 【跟随训练1】．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】计算单项式乘单项式 【分析】本题考查单项式的乘法运算，根据系数相乘、同底数幂相乘的法则计算即可． 【详解】解：， 故选A． 【跟随训练2】．设，则的值为（） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】同底数幂相乘、计算单项式乘单项式 【分析】本题考查了单项式乘单项式，同底数幂相乘．根据单项式乘单项式和同底数幂乘法，左边相乘后指数相加，再与右边对比指数，列方程求解和． 【详解】解：∵， 又∵右边为， ∴且， 解方程： ∴ 解得， ∴． 故选：A． 【跟随训练3】．下列计算中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】同底数幂相乘、积的乘方运算、计算单项式乘单项式 【分析】根据同底数幂的乘法法则、积的乘方法则、单项式乘单项式法则分别计算判断即可． 本题考查了同底数幂的乘法、积的乘方、单项式乘单项式，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：B． 【题型2 利用单项式乘法求字母或代数式的值】 【典例2】．已知单项式与的积为，则m，n的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【知识点】利用单项式乘法求字母或代数式的值 【详解】解： 单项式相乘，系数相乘，同底数幂分别相乘（底数不变，指数相加） ，， 又 ， 故选：． 解题技巧：本题主要考查单项式乘法法则（系数相乘、同底数幂“底数不变，指数相加” ），熟练掌握单项式乘法的运算规则是解题关键．先依据单项式乘法法则计算与的积，再通过对比积与的形式，确定、的值． 【跟随训练1】．如果与相乘的结果是，那么m和n的值分别是（    ） A．3，5 B．2，1 C．3，4 D．4，5 【答案】C 【知识点】利用单项式乘法求字母或代数式的值 【分析】本题考查整式乘除，解题的关键是掌握单项式与单项式乘法．根据单项式乘以单项式法则即可求出、的值． 【详解】解：由题意可知： ， ，， ，， 故选：C 【跟随训练2】．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、利用单项式乘法求字母或代数式的值 【分析】本题考查了单项式乘以单项式，代数式求值，根据单项式乘以单项式的运算法则求出积，再根据单项式相等可得对应字母的指数相等，可得关于的等式，进而可得的值，最后代入代数式计算即可求解，掌握单项式乘以单项式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ，， 解得，， ∴， 故选：． 【跟随训练3】．设，则的值为（   ） A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【知识点】利用单项式乘法求字母或代数式的值 【分析】本题考查单项式的乘法，根据求解即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ， ∵， ∴，， 解得：，， ∴， 故选：B． 【题型3 单项式乘多项式】 【典例3】．计算：的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】计算单项式乘多项式及求值 【详解】解： ， 故选：A． 解题技巧：本题考查单项式乘多项式，利用分配律将单项式乘以多项式的每一项，再根据同底数幂的乘法法则计算． 【跟随训练1】．计算 的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】计算单项式乘多项式及求值 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，直接运用分配律展开表达式即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 【跟随训练2】．有一道残缺不全的题目，如图所示，这道题目的被除式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】多项式除以单项式、计算单项式乘多项式及求值 【分析】本题考查了整式的运算；根据整式的运算法则计算即可． 【详解】解：根据题意可得：， 故选：A． 【跟随训练3】．已知，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．无法确定 【答案】C 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、积的乘方的逆用、计算单项式乘多项式及求值 【分析】本题考查了单项式乘以多项式以及代数式的求值，积的乘方的逆应用，掌握相关法则及概念是关键．利用单项式乘以多项式法则计算，再化为，将代入计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴原式 ． 故选：C． 【题型4 多项式乘多项式】 【典例4】．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】计算多项式乘多项式 【详解】解： ， 又∵， ∴， 比较一次项系数，得， 即， 故选：． 解题技巧：本题考查了多项式乘多项式，先根据多项式乘多项式求得，再根据多项式相等的条件求出的值即可掌握知识点的应用是解题的关键． 【跟随训练1】．已知，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】计算多项式乘多项式、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题主要考查了整式运算及代数式求值，熟练掌握多项式乘以多项式运算法则是解题关键． 利用已知方程 得出 ，然后代入化简后的表达式中计算． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故选：C． 【跟随训练2】．下面四个整式中，能表示图中阴影部分面积的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】多项式乘多项式与图形面积、计算多项式乘多项式 【分析】本题考查整式运算和图形面积的割补法，掌握阴影面积＝整体面积-空白面积是解题关键． 将整体面积和空白面积分别表示出来然后相减即可求解． 【详解】解：整体面积，空白部分面积， 阴影部分面积， A．，错误； B．，正确； C．，错误； D．，错误． 故选：B． 【跟随训练3】．若，则a的值为（    ） A．－7 B．－5 C．5 D．7 【答案】A 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、计算多项式乘多项式 【分析】本题考查多项式乘多项式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 展开左边表达式，与右边比较x的系数，即可求出a的值． 【详解】∵ ， 又∵ ， ∴ ， 比较x项系数，得 ， ∴． 故选：A． 【题型5 已知多项式乘积不含某项求字母的值】 【典例5】．若的展开式中不含有的项，则a的值为（   ） A． B．3 C． D．4 【答案】B 【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值 【详解】解： ， ∵展开式中不含有项， ∴， ∴． 故选：B． 解题技巧：本题考查了已知多项式乘积不含某项求字母的值，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． 先展开多项式，找到项的系数并令其为零，解出a的值． 【跟随训练1】．将展开，若整理后不含x的二次项，则的值为（   ） A．2 B．0 C． D． 【答案】C 【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值 【分析】本题考查多项式的乘法及合并同类项，解题的关键是根据特定项系数为零求解参数的值．将两个多项式相乘展开，合并同类项后，令项的系数为零，解出的值． 【详解】解：， ∵整理后不含x的二次项， ∴，解得， 故选C． 【跟随训练2】．若整式展开化简后含x的一次项但不含x的二次项，那么常数a的值是（   ） A． B．1 C． D．0 【答案】A 【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值 【分析】本题考查了多项式乘多项式法则，以及已知多项式乘积不含某项求字母的值等知识内容，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 将整式展开并合并同类项，根据条件“不含二次项”和“含一次项”建立方程求解即可． 【详解】解： ， ∵不含项， ∴， 解得， 又∵含有x的一次项， ∴，即， ∴， 故选：A． 【跟随训练3】．已知，若不论为何值，的值始终是一个确定的值，则这个确定的值是（　　） A．4 B．2 C．-4 D．-2 【答案】A 【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题．根据多项式乘以多项式的计算法则得到，则，进而可得，再根据是定值，得到，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵无不论为何值，的值始终是一个确定的值， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【题型6 多项式乘多项式化简求值】 【典例6】．先化简．再求值：，其中． 【答案】，0 【知识点】计算单项式乘多项式及求值、多项式乘多项式——化简求值 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 解题技巧：本题考查的是整式的混合运算，先计算多项式乘以多项式，单项式乘以多项式，再合并同类项得到化简的结果，最后把代入化简后的代数式进行计算即可． 【跟随训练1】．先化简再求值：，其中且． 【答案】， 【知识点】多项式乘多项式——化简求值、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】此题考查了整式的混合运算，绝对值的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 根据整式的混合运算化简，再根据题意解得，代入化简式计算即可． 【详解】原式 ； 且， ，解得，代入得， 故化简式为，其值为． 【跟随训练2】．已知代数式，． (1)A与B的积中不含x的二次项，且常数项为，求m、n的值； (2)在（1）的条件下，求的值． 【答案】(1) (2)7 【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值、多项式乘多项式——化简求值 【分析】本题考查了多项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键． （1）直接利用多项式乘多项式将原式变形，再根据积中不含x的二次项，且常数项为，进而得出m、n的值； （2）先将原式进行化简，然后将m、n的值代入原式即可求出答案． 【详解】（1）解：，， ， ∵A与B的积中不含x的二次项，且常数项为， ， 解得：； （2）解： ， 把代入，则． 【跟随训练3】．先化简再求值，，其中． 【答案】， 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、多项式乘多项式——化简求值、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了整式的化简求值． 根据平方差公式分别计算、，进而化简原整式，根据绝对值的非负性、平方的非负性求出x、y的值，进而代入化简结果计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴，， ∴，， ∴原式 ． 【题型7 多项式乘多项式与图形面积】 【典例7】．下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】多项式乘多项式与图形面积、计算单项式乘多项式及求值 【详解】解：由图可得，图中阴影部分的面积为：， A．； B．； C．； D．； 故选A． 【分析】本题考查了多项式的乘法与阴影面积问题． 求出图中阴影部分的面积，逐一判断即可． 【跟随训练1】．太原某创意家居装饰店接到了一位客户的订单，要求用店内如图所示的三种板材装饰一面正方形墙壁．最后该家居装饰店用了块型板材、块型板材和块型板材完成这个装饰任务，则这面正方形墙壁的边长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】多项式乘多项式与图形面积、列代数式 【分析】本题主要考查根据板材的数量和形状列代数式及因式分解，用代数式表示出正方形墙壁的总面积，再通过因式分解求出边长． 【详解】解：由图可得：板材的面积为，板材的面积为，板材的面积为。 ∵用了块型板材、块型板材和块型板材完成这个装饰任务， ∴总面积为： 即： ∴边长为． 故选：B． 【跟随训练2】．通过计算比较图1、图2中阴影部分的面积，可以验证的式子是（） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题考查了整式乘法的几何应用，图1中，阴影部分的长为，宽为，图2中，阴影部分的面积等于大长方形的面积减去长是a宽是x的长方形的面积减去长是b宽是x的长方形的面积加上边长是x的正方形的面积，分别表示出阴影部分的面积，即可得解． 【详解】解：图1中，阴影部分的长为，宽为， ∴图1中阴影部分的面积为：， 图2中，阴影部分的面积为： 大长方形的面积减去长是a宽是x的长方形的面积减去长是b宽是x的长方形的面积加上边长是x的正方形的面积， ∴图2中阴影部分的面积为：， ∴， 故选：D． 【跟随训练3】．如图，某校园内有一块长为，宽为的长方形活动场地，计划在场地中间开辟一个长为，宽为的长方形舞台用于文艺表演，舞台之外的阴影部分将铺设塑胶跑道供学生活动． (1)求铺设塑胶跑道区域（阴影部分）的面积； (2)若，，铺设塑胶跑道的价格为110元，则铺设塑胶跑道共需多少元？ 【答案】(1) (2)20130元 【知识点】多项式乘多项式与图形面积、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了多项式乘法的应用、求代数式的值，根据题意正确列出代数式是解题的关键． （1）根据长方形的面积公式即可求解； （2）代入的值求出铺设塑胶跑道区域的面积，再乘以110元，即可得到答案． 【详解】（1）解： ， 答：铺设塑胶跑道区域（阴影部分）的面积为； （2）解：当，时， ， （元）． 答：铺设塑胶跑道共需20130元． 【题型8 多项式乘法中的规律问题】 【典例8】．南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将下表称为“杨辉三角” 则中，第三项系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】多项式乘法中的规律性问题 【详解】解：∵第三项系数为； 第三项系数为； 第三项系数为； ； ∴中，第三项系数为， 故选：． 解题技巧：此题考查了多项式乘法中的规律性问题，根据题意得到第三项系数的规律即可解答，能够根据所给杨辉三角，观察得出系数的变化规律是解题的关键． 【跟随训练1】．我国古代数学的许多发现都位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，如表所示，它揭示了为非负整数展开式的各项系数的规律． 有如下几个结论：①展开式有项，系数和为；②的结果是；③当代数式的值是时，有理数的值是；④如果今天是星期一，那么天后是星期二．其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【知识点】利用平方根解方程、多项式乘法中的规律性问题 【分析】本题主要考查了“杨辉三角”与展开式的规律的应用，熟练掌握“杨辉三角”的规律是解题的关键． 依次对每个结论进行分析判断，利用“杨辉三角”揭示的展开式的规律，结合相关数学知识进行推理． 【详解】解：展开式有项，令，，则系数和为，故结论①错误． ，故结论②正确． ，当时，，解得或，故结论③错误． ，根据二项式定理展开，除最后一项外，其余项都含有因数，所以除以的余数为，今天是星期一，天后是星期日，故结论④错误． 故选：A． 【跟随训练2】．课本第37页“阅读材料”中介绍了贾宪三角，贾宪三角可以看作是对两数和平方公式的推广，也告诉我们二项式乘方展开式的系数规律： 根据上述规律，展开式的系数和是（    ） A．32 B．64 C．88 D．128 【答案】D 【知识点】多项式乘法中的规律性问题 【分析】本题考查了贾宪三角． 根据题干找出展开式的系数和的规律作答即可． 【详解】解析：当时，展开式的系数和为； 当时，展开式的系数和为； 当时，展开式的系数和为； 当时，展开式的系数和为； 当时，展开式的系数和为； 当时，展开式的系数和为； …… 当时，展开式的系数和为． 故选：D 【跟随训练3】．观察下列各式． (1)根据以上规律，则 _______； (2)你能否由此归纳出一般规律_______； (3)根据以上规律求： 的结果． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】多项式乘法中的规律性问题 【分析】本题考查了多项式乘法中的规律型问题，弄清题意、发现数字的变化规律是解答本题的关键． （1）仿照已知等式写出答案即可； （2）先归纳总结出规律，然后按规律解答即可； （3）先利用得出规律的变形，然后利用规律解答即可． 【详解】（1）解：观察题中已有等式规律，可得出： ， ， ， ， ， 故答案为：． （2）解：通过观察总结可知：当前面的多项式最高次数为n时，得数的x次数应该为n+1， ． 故答案为：． （3）解： 根据（2）的结论，有， 因此，原式． 【题型9 整式乘法混合运算】 【典例9】．计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】整式乘法混合运算、积的乘方运算、计算单项式乘单项式、计算多项式乘多项式 【详解】（1）解：      ； （2）解： ； （3）解： ． 解题技巧：本题考查整式的运算，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）先进行积的乘方运算，再用单项式乘以单项式计算即可 （2）用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，最后合并同类项； （3）先计算单项式乘以多项式，最后合并同类项 【跟随训练1】．计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】幂的混合运算、整式乘法混合运算 【分析】本题主要考查了整式的运算． （1）先运算积的乘方、幂的乘方，同底数幂相乘，再合并同类项，即可作答． （2）根据多项式式乘以多项式的法则进行计算即可． （3）根据多项式式乘以多项式的计算法则计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解： ． （3）解： ． 【跟随训练2】．先化简，再求值：，其中， ． 【答案】； 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、整式乘法混合运算 【分析】本题主要考查了整式化简求值，熟练掌握整式混合运算法则，是解题的关键．先根据多项式乘多项式运算法则和合并同类项法则，进行化简，然后代入数据，进行计算即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 【跟随训练3】．定义，如．已知（n为常数），． (1)若，则x的值为 ； (2)若A的代数式中不含x的一次项，当，求的值； (3)若A中的n满足，且时，求的值． 【答案】(1)1 (2)9 (3)13 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、整式乘法混合运算、已知多项式乘积不含某项求字母的值 【分析】本题考查了新定义下整式的运算. （1）根据定义，得到代数式，转化为方程解答即可； （2）先化简A，令其代数式中含x的一次项的系数为0，结合，求的值即可； （3）根据，得到，结合定义，已知求解即可． 【详解】（1）解： ∵， ∴， ∴； 故答案为：1； （2）解： ∵A的代数式中不含x的一次项， ∴， ∵， ∴， ∴时， ； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴ 【题型10 同底数幂除法运算】 【典例10】．若，，则的值是（    ） A． B．9 C． D．3 【答案】A 【知识点】同底数幂的除法运算、幂的乘方运算 【详解】解：∵，， ∴， 于是． 故选：A． 解题技巧：本题考查了幂的乘方与同底数幂的除法法则，掌握幂的乘方、同底数幂的除法是解题的关键． 根据指数运算法则，将所求表达式转化为已知值的除法运算． 【跟随训练1】．计算： ． 【答案】 【知识点】同底数幂相乘、积的乘方运算、同底数幂的除法运算 【分析】本题考查了积的乘方，同底数幂相除，同底数幂相乘，先运算积的乘方，再运算同底数幂相乘，最后运算同底数幂相除，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：． 【跟随训练2】．如果，且，，那么 ． 【答案】2 【知识点】幂的乘方运算、同底数幂的除法运算 【分析】本题考查同底数幂的除法和幂的乘方运算，熟练掌握幂运算的法则是关键． 利用幂的乘方法则化简 ，再根据同底数幂的除法法则得到指数，由指数相等得到关于k的方程，求解即可． 【详解】解：， ∴ ， 解得 ． 故答案为：2． 【跟随训练3】．若，，则 ． 【答案】2 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、同底数幂除法的逆用 【分析】本题主要考查了同底数幂的除法法则，掌握同底数幂相除、底数不变、指数相减是解题的关键． 利用同底数幂的除法法则将转化为，然后再代入已知值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：2. 【题型11 零指数幂】 【典例11】．计算： ． 【答案】1 【知识点】零指数幂 【详解】解：因为， 所以根据零指数幂的定义，得． 故答案为：1． 解题技巧：本题考查了零指数幂．根据零指数幂的法则，任何非零数的零次幂都等于1． 【跟随训练1】．计算： ． 【答案】3 【知识点】求一个数的绝对值、零指数幂 【分析】本题考查了绝对值和零指数幂的计算，分别计算绝对值和零指数幂，然后相加即可． 【详解】解：因为，， 所以； 故答案为 3． 【跟随训练2】．若，则x的值为 ． 【答案】或1或0 【知识点】有理数乘方逆运算、零指数幂、乘方运算的符号规律 【分析】本题考查了零指数幂，乘方，掌握任何非零数的零次方都等于1是解题的关键． 根据乘方结果等于1，分别考虑底数为1、底数为且指数为偶数、指数为0且底数不为0三种情况． 【详解】解：根据，可分为以下三种情况， ①当底数时，解得，此时指数，即，符合题目要求； ②当底数时，解得，此时指数为偶数，即，符合题目要求； ③当指数时，解得，此时底数，故，符合题目要求； 综上所述，的值为或或． 故答案为：或或． 【跟随训练3】．若等式成立，则x的值为 ． 【答案】 或或 【知识点】有理数的乘方运算、零指数幂 【分析】此题主要考查了零指数幂的性质以及有理数的乘方，正确分类讨论是解题关键．直接利用当时，当时，当时，分别分析得出答案． 【详解】解：当时， 解得， 此时，，更符合题意， 成立； 当时， 解得， 则等式成立； 当时， 解得， 则等式成立； 综上所述，x的值为或或． 故答案为：或或． 【题型12 单项式除以单项式】 【典例12】．填空： （1） ． （2） ． （3） ． 【答案】 【知识点】计算单项式除以单项式、积的乘方运算 【详解】解：（1） 故答案为：． （2） 故答案为：． （3） 故答案为：． 解题技巧：本题考查单项式除以单项式，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 利用积的乘方，单项式除以单项式法则进行计算即可． 【跟随训练1】．（1）计算：； （2）计算：． 【答案】（1） ；（2） 【知识点】计算单项式乘单项式、计算单项式除以单项式、积的乘方运算 【分析】本题考查了积的乘方运算，计算单项式乘单项式，计算单项式除以单项式等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． （1）根据单项式乘以单项式法则计算； （2）先利用积的乘方计算，再计算除法． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【跟随训练2】．计算： ． 【答案】/ 【知识点】积的乘方运算、计算单项式乘单项式、计算单项式除以单项式 【分析】本题考查整式的混合运算，涉及幂的乘方、单项式的乘法和除法，根据相关运算法则计算即可． 【详解】解：原式． 故答案为：． 【跟随训练3】．计算： ． 【答案】/ 【知识点】积的乘方运算、计算单项式除以单项式 【分析】本题考查了积的乘方，单项式与单项式的除法，先计算积的乘方，再根据单项式与单项式的除法法则计算． 【详解】解： 故答案为：． 【题型13 用科学记数法表示数的除法】 【典例13】．已知光的传播速度为米/秒，地球到预定轨道间的距离为米，则预定轨道处光传播到地球的时间为 秒． 【答案】 【知识点】计算单项式除以单项式、用科学记数法表示数的除法 【详解】解：由题意可得，预定轨道处光传播到地球的时间为：（秒）． 故答案为：． 解题技巧：本题考查了单项式除单项式，科学记数法表示的数的计算可以利用单项式的相应的运算法则求解，熟练掌握单项式除单项式、科学记数法是解题的关键．根据时间路程速度列式，再根据单项式除单项式的运算法则计算，即可以得出最后的答案． 【跟随训练1】．据报道，我国某科研团队近期成功研制出一种新闪存器件，其快速擦写速度全球领先．已知一皮秒等于秒，该器件执行一次擦写需要400皮秒，则该器件一秒可以擦写 次（科学记数法表示）． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示数的除法 【分析】本题主要考查了科学记数法，根据题意可得1秒等于皮秒，再由该器件执行一次擦写需要400皮秒列式求解即可． 【详解】解：， ∴该器件一秒可以擦写次， 故答案为：． 【跟随训练2】．海豚能听到声音的最高频率是，人类能听到声音的最高频率是，则海豚能听到声音的最高频率是人类能听到的 倍． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示数的除法 【分析】本题考查单项式除以单项式的应用，用海豚能听到的声音的最高频率除以人类能听到声音的最高频率，进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为：． 【跟随训练3】．2022年我国粮食总产量大约为．如果按我国人口人计算，那么人均粮食产量大约是 ． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示数的除法 【分析】本题主要考查了单项式除以单项式．根据单项式除以单项式法则计算即可． 【详解】解：人均粮食产量为： ． 故答案为． 【题型14 多项式除以单项式】 【典例14】．计算： ． 【答案】 【知识点】多项式除以单项式 【详解】解：． 故答案为： ． 解题技巧：本题考查多项式除以单项式的运算，掌握好整式除法的运算法则是解题关键． 根据分配律将多项式的每一项分别除以单项式，再根据整式除法的法则进行计算即可． 【跟随训练1】．已知长方形的面积为且一边长为4a，则该长方形的周长为 【答案】 【知识点】整式加减的应用、多项式除以单项式 【分析】本题主要考查整式的运算，理解题意是关键．根据长方形面积公式求出另一边长，再根据周长公式计算周长． 【详解】解：另一边长为， 周长为． 故答案为：． 【跟随训练2】．一个长方形的面积是，长是，则它的宽是 ． 【答案】 【知识点】计算单项式除以单项式、多项式除以单项式 【分析】本题考查了多项式除以单项式的运算，掌握多项式除以单项式，需将多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加是解题的关键． 根据长方形面积公式，宽等于面积除以长，将多项式除以单项式求解． 【详解】解：宽 = = = ． 故答案为： ． 【跟随训练3】．计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】多项式除以单项式、积的乘方运算 【分析】本题考查了多项式除以单项式，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）多项式除以单项式用多项式的每一项分别与单项式相除即可，根据法则计算即可； （2）先计算积的乘方，然后再利用多项式除以单项式的法则进行计算即可； （3）多项式除以单项式用多项式的每一项分别与单项式相除即可，根据法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 【题型15 整式四则混合运算】 【典例15】．计算： ． 【答案】/ 【知识点】整式四则混合运算、运用平方差公式进行运算 【详解】原式 ． 故答案为：． 解题技巧：本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则和乘法公式是解答本题的关键． 先根据平方差公式和多项式的乘法法则计算，再合并同类项． 【跟随训练1】．先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、整式四则混合运算 【分析】本题主要考查了整式化简求值，熟练掌握整式混合运算法则，是解题的关键．根据整式混合运算法则进行化简，再将数据代入求值即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 【跟随训练2】．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】合并同类项、整式四则混合运算、幂的乘方运算、积的乘方运算 【分析】本题考查了整式运算，涉及积的乘方，多项式乘以多项式，多项式除以单项式，合并同类项等内容，解题的关键是熟练掌握整式的有关运算法则． （1）根据积的乘方和整式乘法化简每个式子，再合并同类项即可； （2）先根据整式乘法以及除法化简每个式子，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）， ， ， ． 【跟随训练3】．有7张相同的小长方形纸片（如图1所示），现将这7张相同的小长方形纸片按图2所示的方式不重叠的放在长方形内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，设这两个长方形的面积分别为和（上方是）．已知小长方形纸片的长为，宽为，且． (1)当，，时，求长方形的面积； (2)当时，①用含，的代数式表示 （直接写出结果）； ②若，，化简求：的值． (3)若保持，的值不变，变长，将这7张相同的小长方形纸片还是按照同样的方式放在一个新的长方形内，在变化的过程中，满足的值始终保持不变的条件下，求得代数式：的值为 （直接写出结果）． 【答案】(1) (2)①；② (3) 【知识点】有理数四则混合运算、列代数式、已知字母的值 ，求代数式的值、整式四则混合运算 【分析】本题主要考查了整式的混合运算的应用，有理数四则混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）根据长方形的面积公式，直接计算即可； （2）①用含、的式子表示出的面积，即可求得结论；②把含、的式子的代数式代入即可； （3）用含、、的式子表示出，根据的值总保持不变，即与的值无关，整理后，让的系数为0即可． 【详解】（1）解：由图可知，长方形的面积为； （2）解：①， ， 故答案为：； ②， ， ，， ； （3）解：保持，的值不变，变长， 由（2）， 当时，在变化的过程中的值始终不变， ． 故答案为：． 思维导图 过关检测 1．已知，，则（   ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】A 【知识点】同底数幂的除法运算、幂的乘方运算、同底数幂乘法的逆用、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查本题考查指数的运算性质，将原式进行正确地变形是解题的关键． 利用同底数幂除法法则可得，，设，， 则，从而求得答案． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． 设，， 则，． ∵， 又， ∴， ∴． ∴． 故选A. 2．若，则m，n的值分别为（    ） A．4，0 B．4，2 C．5，2 D．5，0 【答案】B 【知识点】同底数幂的除法运算 【分析】本题考查了同底数幂的除法法则，掌握同底数幂相除，底数不变，指数相减是解题的关键． 根据同底数幂的除法法则，计算左边表达式，得到 ，与右边比较得出 和 的值． 【详解】解：∵ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 故选：B． 3．下列整式运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】合并同类项、同底数幂相乘、积的乘方运算、计算单项式除以单项式 【分析】本题考查整式运算的法则，包括合并同类项、同底数幂的乘除、积的乘方等，需逐一验证各选项是否符合初中数学教材中的运算法则． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，∴A错误，不符合题意； B、，∴B错误，不符合题意； C、，∴C正确，符合题意； D、，∴D错误，不符合题意． 故选：C． 4．下列说法错误的是（   ） A．任何不等于0的数的0次幂都等于1 B．有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形 C．有一条边对应相等的两个等边三角形全等 D．整式乘法与因式分解是方向相反的变形 【答案】B 【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS）、等边三角形的判定和性质、判断是否是因式分解、零指数幂 【分析】根据零指数幂的规定可判断A选项；根据等腰三角形的性质、三角形外角的定义和等边三角形的判定可判断B选项；根据等边三角形的性质和全等三角形的判定定理可判断C选项；根据因式分解的定义可判断D选项． 【详解】解：A、任何不等于0的数的0次幂都等于1，说法正确，该选项不符合题意； B、因为等腰三角形的两个底角相等，则这两个底角的外角也相等，因此当两个相等的外角是底角的外角时，该等腰三角形不一定是等边三角形，说法错误，该选项符合题意； C、因为等边三角形所有边相等，一条边相等则可通过“”判定三角形全等，说法正确，该选项不符合题意； D、因为因式分解是把一个多项式化成几个整式的积的形式，所以整式乘法与因式分解是方向相反的变形，说法正确，该选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了零指数幂的规定，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形外角的定义，全等三角形的判定，因式分解的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 5．已知，，．若的值与m无关，则a的值为（    ） A． B． C．3 D．5 【答案】B 【知识点】利用单项式乘多项式求字母的值、单项式乘多项式的应用 【分析】本题考查了单项式乘多项式，合并同类项，准确熟练地进行计算是解题的关键． 计算并合并同类项，由于表达式与无关，令的系数为零求解的值即可． 【详解】解：∵， ， ∴ ∴ ∵的值与无关 ∴ ∴ 故选：B． 6．已知，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、计算单项式乘多项式及求值 【分析】本题考查的知识点是代数式求值和单项式乘以多项式，解题关键是根据所求代数式的特征，恒等变形为已知等式的形式，整体代入求解． 根据所求代数式，将已知中的变形得到，整体代入即可得解． 【详解】解：， ， ， 又， ， 原式 ． 故选：． 7．若，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．由的取值而定 【答案】A 【知识点】（x+p）（x+q）型多项式乘法、计算多项式乘多项式 【分析】本题考查了多项式乘多项式和整式比较大小； 利用作差法比较大小，先化简和，再计算与的差，比较大小即可． 【详解】解：∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 故选：A． 8．我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了（）的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序）： 11     121     1331     14641     请根据上述规律，则展开式中含项的系数是（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【答案】C 【知识点】多项式乘法中的规律性问题 【分析】本题考查多项式乘法中规律探究，根据杨辉三角的规律， 展开式的第二项系数为 ，因此 展开式中含 的项是第二项，系数为 ． 【详解】解：由杨辉三角规律可得 展开式的第二项系数为 ， ∴ 展开式中含 的项是第二项，系数为 ． 故选：C． 9．定义为二阶行列式，规定它的运算法则为，那么当时，二阶行列式的值为 ． 【答案】 【知识点】整式乘法混合运算、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了新定义二阶行列式基本运算法则，整式的乘法相关知识点，解题的关键是读懂新定义的运算法则，根据二阶行列式的运算法则，将行列式转化为代数式后代入计算即可． 【详解】解：由二阶行列式的运算法则，得 当时，原式 ． 故答案为． 10．有若干张边长如图所示的长方形卡片，如果要拼一个长为，宽为的矩形，则需要3类卡片共 张 【答案】10 【知识点】多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题考查了多项式的乘法和几何图形的综合题，正确列出算式是解答本题的关键．多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．先计算长为，宽为的矩形面积为，根据三张卡片的面积分别是，判断出各种卡片的张数即可． 【详解】解：一个长为，宽为的矩形，那么其面积为， 三张卡片的面积分别是， 那么分别需要2张，3张，5张，共需要10张， 故答案为：10． 11．任意给一个非零数a，按下列程序进行计算，则输出结果是 ． 【答案】4 【知识点】计算单项式除以单项式、幂的乘方运算、积的乘方运算 【分析】此题考查了积的乘方和幂的乘方，单项式除以单项式，弄清题中的计算程序是解本题的关键． 根据程序，用含的代数式表示输出结果并化简即可． 【详解】解：任意给一个非零数，按下列程序进行计算， 则输出结果是 ． 故答案为：． 12．北斗卫星导航系统是中国正在实施的自主发展、独立运行的全球卫星导航系统．已知某北斗卫星绕地球运动的速度是，当卫星绕地球运行时，所走过的路程为 m． 【答案】 【知识点】计算单项式乘单项式 【分析】本题考查单项式乘单项式，熟练掌握单项式乘单项式的运算法则是解题的关键． 根据路程公式，路程等于速度乘以时间，将给定的速度和时间表达式相乘，利用单项式乘单项式的运算法则进行计算即可． 【详解】解：路程为速度与时间的乘积，即： ． 故答案为 ：． 13．某种液体中每升含有个有害细菌，某种灭菌剂1滴可杀死个此种有害细菌．现要将2L液体中的有害细菌杀死，要用这种灭菌剂 滴． 【答案】2000 【知识点】同底数幂的除法运算 【分析】先计算2升液体中的有害细菌总数，再根据每滴灭菌剂可杀死的细菌数，运用同底数幂的除法法则求解； 本题考查了同底数幂的除法运算，熟练掌握同底数幂的除法法则是解题的关键. 【详解】解：2升液体中的有害细菌总数为个， 每滴灭菌剂可杀死个细菌， 故需要灭菌剂滴数为（滴）. 故答案为：2000. 14．如图，点，，在同一条直线上，正方形与正方形的边长分别为，，且，则阴影部分面积为 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、单项式乘多项式的应用 【分析】本题考查整式的运算，根据图形进行面积计算是解题的关键．观察图形，阴影部分面积可以通过大正方形面积减去小正方形面积，再减去两个直角三角形的面积计算得出． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ∵， ∴上式， 故答案为：． 15．计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】积的乘方运算、计算多项式乘多项式、同底数幂相乘 【分析】本题考查了积的乘方，同底数幂的乘法、多项式的乘法、单项式乘多项式运算，解题的关键是掌握相应的运算法则． （1）利用积的乘方，同底数幂的乘法计算即可； （2）利用多项式乘多项式，单项式乘多项式展开合并计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 16．化简求值：，其中． 【答案】； 【知识点】整式四则混合运算、已知字母的值 ，求代数式的值、绝对值非负性 【分析】本题考查了整式的化简求值，非负数的性质．先根据非负数的性质求出和的值，再化简代数式，最后代入求值． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，． 原式 ． 当，时， 原式． 17．小明计算一道整式乘法题时，由于将第一个单项式中的抄成了，将第二个单项式中的抄成了，结果得到． (1)根据上述信息，分别计算出m，n的值． (2)请你计算出这道题的正确答案． 【答案】(1)， (2) 【知识点】计算单项式乘单项式、已知同类项求指数中字母或代数式的值、合并同类项 【分析】（1）先对小明抄错指数后的整式乘法式子，利用同底数幂的乘法法则进行化简，再结合化简结果与已知结果的指数对应相等，列出方程，求解得到的值． （2）计算正确答案的分析解题思路是：将（1）中求出的的值代入原式，再利用同底数幂的乘法法则进行整式乘法运算，得到正确结果． 【详解】（1）解：由题意，得 ， 即， ∴，， ∴，． （2）解：原式 ． 由（1）知，，， ∴原式． 一题多解法 （2）由（1）知，，， 所以原式 ． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法法则，掌握同底数幂相乘，底数不变，指数相加是解题的关键． 18．老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式， (1)求所捂的多项式； (2)若，求所捂多项式的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、多项式除以单项式 【分析】本题主要考查多项式除以单项式，代数式求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）设所捂的多项式为A，将乘法转化为除法，由多项式除以单项式法则算即可； （2）将x、y的值代入多项式计算即可． 【详解】（1）解：设所捂的多项式为A， 则 ， ∴所捂的多项式是； （2）解：， ． 19．对于“用一根长度为20米的绳子如何围一个面积最大的长方形？”这个问题，爱钻研的小华从不同的方向来思考这个问题. (1)小华考虑到这个长方形相邻两边的和是定值10，于是分别对相邻的两边取特殊值，通过计算得到对应长方形的面积：，，，，． 观察上面等式，可以发现：当相邻的两边满足________关系时，长方形的面积最大．请你利用所学的数学知识帮助小华解释上面发现的结论． (2)聪明的小华经过深度思考，发现此结论也可以利用数形结合加以说明，方法如下： 已知长方形相邻两边的和是定值10，设一边长是x，则相邻一边的长是． ①当时，将原长方形沿直线l剪成长方形A和长方形B（如图1、图2），再将长方形B割补到长方形A的右侧（如图3），则图3中阴影部分正方形C边长为， 通过上述割补，图1中长方形的面积可以看成图3中两个正方形的面积之差，所以代数式，25，满足的等量关系为________． ②当时，进行类似上述过程的割补（图4~图6)，由图，可得出的等量关系为________． ③当时，该长方形即为正方形，其面积为25． 综上所述，周长是20的长方形的面积的最大值是________． (3)当时，仿照（2）中的割补过程（无需描述割补过程，只需要画出示意图），求代数式的最小值． 【答案】(1)相等 (2)①；②；③25 (3) 【知识点】多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的运用，完全平方公式，单项式乘以多项式，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由小华计算数据即可判断； （2）①根据图1中长方形的面积可以看成图3中两个正方形的面积之差可得答案； ②计算出的结果即可得到答案； ③根据，，可得，据此可得答案； （3）根据题中图形面积的求法画出相应的图形，进而即可求出的最大值，再根据，即可求解最小值． 【详解】（1）解：通过计算得到对应长方形的面积：，，，，． 观察上面等式，可以发现：当相邻的两边满足相等关系时，长方形的面积最大， 故答案为：相等； （2）解：①∵长方形的一边长是，相邻一边长， ∴阴影部分是一个边长为的正方形， 由图可知，长方形面积大正方形面积小正方形面积， ∴， 故答案为：； ②当时，阴影部分是边长为的正方形， ， 故答案为：； ③当时，该长方形即为正方形，其面积为； ∵，， ∴ ∴周长是20的长方形的面积的最大值是25， 故答案为：25； （3）解：， 当时，如图，阴影部分是边长为的正方形， ， ， 当时，如图，阴影部分是边长为的正方形， ， ， 当时，该长方形为边长是7的正方形， 边长是和的长方形的最大面积是49， ∴， ∴代数式的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末专题08 整式的乘法 （3知识点+15大题型+思维导图+过关检测） 【题型1 单项式乘单项式】 2 【题型2 利用单项式乘法求字母或代数式的值】 4 【题型3 单项式乘多项式】 6 【题型4 多项式乘多项式】 7 【题型5 已知多项式乘积不含某项求字母的值】 9 【题型6 多项式乘多项式化简求值】 12 【题型7 多项式乘多项式与图形面积】 14 【题型8 多项式乘法中的规律问题】 17 【题型9 整式乘法混合运算】 21 【题型10 同底数幂除法运算】 25 【题型11 零指数幂】 26 【题型12 单项式除以单项式】 28 【题型13 用科学记数法表示数的除法】 30 【题型14 多项式除以单项式】 31 【题型15 整式四则混合运算】 33 知识梳理 知识点01 单项式与单项式相乘 单项式乘法法则：单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式. 单项式乘法法则在运用时要注意以下几点： ①积的系数等于各因式系数积，先确定符号，再计算绝对值.这时容易出现的错误的是，将系数相乘与指数相加混淆； ②相同字母相乘，运用同底数的乘法法则； ③只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数作为积的一个因式； ④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用； ⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式. 知识点02 单项式与多项式相乘 单项式乘以多项式，是通过乘法的分配律，把它转化为单项式乘以单项式，即单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 即（a+b+c)m=am+bm+cm 单项式与多项式相乘时要注意以下几点： ①单项式与多项式相乘，积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同； ②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号； ③在混合运算时，要注意运算顺序. 知识点03 多项式与多项式相乘 多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 即（a+b)(m+n)=am+an+bm+bn 多项式与多项式相乘时要注意以下几点： ①多项式与多项式相乘要防止漏项，检查的方法是：在没有合并同类项之前，积的项数应等于原两个多项式项数的积； ②多项式相乘的结果应注意合并同类项； ③对含有同一个字母的一次项系数是1的两个一次二项式相乘 ，其二次项系数为1，一次项系数等于两个因式中常数项的和，常数项是两个因式中常数项的积.即(x+a)(x+b)=x²+（a+b)x+ab 对于一次项系数不为1的两个一次二项式(mx+a)和(nx+b)相乘可以得到. 运算注意事项 1. 运算过程中要严格遵循符号法则，负负得正，正负得负。 2. 同底数幂相乘时，指数相加，底数保持不变；系数相乘时需计算具体数值。 3. 最终结果要化为最简形式，合并所有同类项。 题型精讲 【题型1 单项式乘单项式】 【典例1】．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 解题技巧：此题主要考查了单项式乘以单项式，正确把握单项式乘以单项式法则是解题关键．首先利用积的乘方进行化简，进而利用单项式乘以单项式法则求出即可． 【跟随训练1】．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【跟随训练2】．设，则的值为（） A． B． C． D． 【跟随训练3】．下列计算中正确的是（ ） A． B． C． D． 【题型2 利用单项式乘法求字母或代数式的值】 【典例2】．已知单项式与的积为，则m，n的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 解题技巧：本题主要考查单项式乘法法则（系数相乘、同底数幂“底数不变，指数相加” ），熟练掌握单项式乘法的运算规则是解题关键．先依据单项式乘法法则计算与的积，再通过对比积与的形式，确定、的值． 【跟随训练1】．如果与相乘的结果是，那么m和n的值分别是（    ） A．3，5 B．2，1 C．3，4 D．4，5 【跟随训练2】．若，则（   ） A． B． C． D． 【跟随训练3】．设，则的值为（   ） A．1 B． C．3 D． 【题型3 单项式乘多项式】 【典例3】．计算：的结果是（    ） A． B． C． D． 解题技巧：本题考查单项式乘多项式，利用分配律将单项式乘以多项式的每一项，再根据同底数幂的乘法法则计算． 【跟随训练1】．计算 的结果是（   ） A． B． C． D． 【跟随训练2】．有一道残缺不全的题目，如图所示，这道题目的被除式为（    ） A． B． C． D． 【跟随训练3】．已知，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．无法确定 【题型4 多项式乘多项式】 【典例4】．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 解题技巧：本题考查了多项式乘多项式，先根据多项式乘多项式求得，再根据多项式相等的条件求出的值即可掌握知识点的应用是解题的关键． 【跟随训练1】．已知，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【跟随训练2】．下面四个整式中，能表示图中阴影部分面积的是（   ） A． B． C． D． 【跟随训练3】．若，则a的值为（    ） A．－7 B．－5 C．5 D．7 【题型5 已知多项式乘积不含某项求字母的值】 【典例5】．若的展开式中不含有的项，则a的值为（   ） A． B．3 C． D．4 解题技巧：本题考查了已知多项式乘积不含某项求字母的值，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． 先展开多项式，找到项的系数并令其为零，解出a的值． 【跟随训练1】．将展开，若整理后不含x的二次项，则的值为（   ） A．2 B．0 C． D． 【跟随训练2】．若整式展开化简后含x的一次项但不含x的二次项，那么常数a的值是（   ） A． B．1 C． D．0 【跟随训练3】．已知，若不论为何值，的值始终是一个确定的值，则这个确定的值是（　　） A．4 B．2 C．-4 D．-2 【题型6 多项式乘多项式化简求值】 【典例6】．先化简．再求值：，其中． 解题技巧：本题考查的是整式的混合运算，先计算多项式乘以多项式，单项式乘以多项式，再合并同类项得到化简的结果，最后把代入化简后的代数式进行计算即可． 【跟随训练1】．先化简再求值：，其中且． 【跟随训练2】．已知代数式，． (1)A与B的积中不含x的二次项，且常数项为，求m、n的值； (2)在（1）的条件下，求的值． 【跟随训练3】．先化简再求值，，其中． 【题型7 多项式乘多项式与图形面积】 【典例7】．下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了多项式的乘法与阴影面积问题． 求出图中阴影部分的面积，逐一判断即可． 【跟随训练1】．太原某创意家居装饰店接到了一位客户的订单，要求用店内如图所示的三种板材装饰一面正方形墙壁．最后该家居装饰店用了块型板材、块型板材和块型板材完成这个装饰任务，则这面正方形墙壁的边长是（   ） A． B． C． D． 【跟随训练2】．通过计算比较图1、图2中阴影部分的面积，可以验证的式子是（） A． B． C． D． 【跟随训练3】．如图，某校园内有一块长为，宽为的长方形活动场地，计划在场地中间开辟一个长为，宽为的长方形舞台用于文艺表演，舞台之外的阴影部分将铺设塑胶跑道供学生活动． (1)求铺设塑胶跑道区域（阴影部分）的面积； (2)若，，铺设塑胶跑道的价格为110元，则铺设塑胶跑道共需多少元？ 【题型8 多项式乘法中的规律问题】 【典例8】．南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将下表称为“杨辉三角” 则中，第三项系数为（    ） A． B． C． D． 解题技巧：此题考查了多项式乘法中的规律性问题，根据题意得到第三项系数的规律即可解答，能够根据所给杨辉三角，观察得出系数的变化规律是解题的关键． 【跟随训练1】．我国古代数学的许多发现都位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，如表所示，它揭示了为非负整数展开式的各项系数的规律． 有如下几个结论：①展开式有项，系数和为；②的结果是；③当代数式的值是时，有理数的值是；④如果今天是星期一，那么天后是星期二．其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【跟随训练2】．课本第37页“阅读材料”中介绍了贾宪三角，贾宪三角可以看作是对两数和平方公式的推广，也告诉我们二项式乘方展开式的系数规律： 根据上述规律，展开式的系数和是（    ） A．32 B．64 C．88 D．128 【跟随训练3】．观察下列各式． (1)根据以上规律，则 _______； (2)你能否由此归纳出一般规律_______； (3)根据以上规律求： 的结果． 【题型9 整式乘法混合运算】 【典例9】．计算： (1) (2) (3) 解题技巧：本题考查整式的运算，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）先进行积的乘方运算，再用单项式乘以单项式计算即可 （2）用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，最后合并同类项； （3）先计算单项式乘以多项式，最后合并同类项 【跟随训练1】．计算： (1) (2) (3) 【跟随训练2】．先化简，再求值：，其中， ． 【跟随训练3】．定义，如．已知（n为常数），． (1)若，则x的值为 ； (2)若A的代数式中不含x的一次项，当，求的值； (3)若A中的n满足，且时，求的值． 【题型10 同底数幂除法运算】 【典例10】．若，，则的值是（    ） A． B．9 C． D．3 解题技巧：本题考查了幂的乘方与同底数幂的除法法则，掌握幂的乘方、同底数幂的除法是解题的关键． 根据指数运算法则，将所求表达式转化为已知值的除法运算． 【跟随训练1】．计算： ． 【跟随训练2】．如果，且，，那么 ． 【跟随训练3】．若，，则 ． 【题型11 零指数幂】 【典例11】．计算： ． 解题技巧：本题考查了零指数幂．根据零指数幂的法则，任何非零数的零次幂都等于1． 【跟随训练1】．计算： ． 【跟随训练2】．若，则x的值为 ． 【跟随训练3】．若等式成立，则x的值为 ． 【题型12 单项式除以单项式】 【典例12】．填空： （1） ． （2） ． （3） ． 解题技巧：本题考查单项式除以单项式，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 利用积的乘方，单项式除以单项式法则进行计算即可． 【跟随训练1】．（1）计算：； （2）计算：． 【跟随训练2】．计算： ． 【跟随训练3】．计算： ． 【题型13 用科学记数法表示数的除法】 【典例13】．已知光的传播速度为米/秒，地球到预定轨道间的距离为米，则预定轨道处光传播到地球的时间为 秒． 解题技巧：本题考查了单项式除单项式，科学记数法表示的数的计算可以利用单项式的相应的运算法则求解，熟练掌握单项式除单项式、科学记数法是解题的关键．根据时间路程速度列式，再根据单项式除单项式的运算法则计算，即可以得出最后的答案． 【跟随训练1】．据报道，我国某科研团队近期成功研制出一种新闪存器件，其快速擦写速度全球领先．已知一皮秒等于秒，该器件执行一次擦写需要400皮秒，则该器件一秒可以擦写 次（科学记数法表示）． 【跟随训练2】．海豚能听到声音的最高频率是，人类能听到声音的最高频率是，则海豚能听到声音的最高频率是人类能听到的 倍． 【跟随训练3】．2022年我国粮食总产量大约为．如果按我国人口人计算，那么人均粮食产量大约是 ． 【题型14 多项式除以单项式】 【典例14】．计算： ． 解题技巧：本题考查多项式除以单项式的运算，掌握好整式除法的运算法则是解题关键． 根据分配律将多项式的每一项分别除以单项式，再根据整式除法的法则进行计算即可． 【跟随训练1】．已知长方形的面积为且一边长为4a，则该长方形的周长为 【跟随训练2】．一个长方形的面积是，长是，则它的宽是 ． 【跟随训练3】．计算： (1)． (2)． (3)． 【题型15 整式四则混合运算】 【典例15】．计算： ． 解题技巧：本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则和乘法公式是解答本题的关键． 先根据平方差公式和多项式的乘法法则计算，再合并同类项． 【跟随训练1】．先化简，再求值：，其中，． 【跟随训练2】．计算： (1)； (2)． 【跟随训练3】．有7张相同的小长方形纸片（如图1所示），现将这7张相同的小长方形纸片按图2所示的方式不重叠的放在长方形内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，设这两个长方形的面积分别为和（上方是）．已知小长方形纸片的长为，宽为，且． (1)当，，时，求长方形的面积； (2)当时，①用含，的代数式表示 （直接写出结果）； ②若，，化简求：的值． (3)若保持，的值不变，变长，将这7张相同的小长方形纸片还是按照同样的方式放在一个新的长方形内，在变化的过程中，满足的值始终保持不变的条件下，求得代数式：的值为 （直接写出结果）． 思维导图 过关检测 1．已知，，则（   ） A．3 B．5 C．7 D．9 2．若，则m，n的值分别为（    ） A．4，0 B．4，2 C．5，2 D．5，0 3．下列整式运算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．下列说法错误的是（   ） A．任何不等于0的数的0次幂都等于1 B．有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形 C．有一条边对应相等的两个等边三角形全等 D．整式乘法与因式分解是方向相反的变形 5．已知，，．若的值与m无关，则a的值为（    ） A． B． C．3 D．5 6．已知，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 7．若，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．由的取值而定 8．我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了（）的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序）： 11     121     1331     14641     请根据上述规律，则展开式中含项的系数是（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 9．定义为二阶行列式，规定它的运算法则为，那么当时，二阶行列式的值为 ． 10．有若干张边长如图所示的长方形卡片，如果要拼一个长为，宽为的矩形，则需要3类卡片共 张 11．任意给一个非零数a，按下列程序进行计算，则输出结果是 ． 12．北斗卫星导航系统是中国正在实施的自主发展、独立运行的全球卫星导航系统．已知某北斗卫星绕地球运动的速度是，当卫星绕地球运行时，所走过的路程为 m． 13．某种液体中每升含有个有害细菌，某种灭菌剂1滴可杀死个此种有害细菌．现要将2L液体中的有害细菌杀死，要用这种灭菌剂 滴． 14．如图，点，，在同一条直线上，正方形与正方形的边长分别为，，且，则阴影部分面积为 15．计算： (1)； (2) 16．化简求值：，其中． 17．小明计算一道整式乘法题时，由于将第一个单项式中的抄成了，将第二个单项式中的抄成了，结果得到． (1)根据上述信息，分别计算出m，n的值． (2)请你计算出这道题的正确答案． 18．老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式， (1)求所捂的多项式； (2)若，求所捂多项式的值． 19．对于“用一根长度为20米的绳子如何围一个面积最大的长方形？”这个问题，爱钻研的小华从不同的方向来思考这个问题. (1)小华考虑到这个长方形相邻两边的和是定值10，于是分别对相邻的两边取特殊值，通过计算得到对应长方形的面积：，，，，． 观察上面等式，可以发现：当相邻的两边满足________关系时，长方形的面积最大．请你利用所学的数学知识帮助小华解释上面发现的结论． (2)聪明的小华经过深度思考，发现此结论也可以利用数形结合加以说明，方法如下： 已知长方形相邻两边的和是定值10，设一边长是x，则相邻一边的长是． ①当时，将原长方形沿直线l剪成长方形A和长方形B（如图1、图2），再将长方形B割补到长方形A的右侧（如图3），则图3中阴影部分正方形C边长为， 通过上述割补，图1中长方形的面积可以看成图3中两个正方形的面积之差，所以代数式，25，满足的等量关系为________． ②当时，进行类似上述过程的割补（图4~图6)，由图，可得出的等量关系为________． ③当时，该长方形即为正方形，其面积为25． 综上所述，周长是20的长方形的面积的最大值是________． (3)当时，仿照（2）中的割补过程（无需描述割补过程，只需要画出示意图），求代数式的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $