精品解析：浙江乐清市荆山公学2027届高三上学期开学考数学试卷

荆山公学2027届高三年级开学考 高三数学学科 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：高考范围. 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 复数满足，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【详解】对化简得， 故. 2. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题得，． 3. “，”是“函数的图象关于原点对称”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】函数的图象关于原点对称，等价于该函数为奇函数. 令，得，解得. 条件“”是“”的真子集： 充分性：若，则，函数为奇函数，图象关于原点对称，充分性成立； 必要性：图象关于原点对称时，还可取，必要性不成立. 因此是充分不必要条件. 4. 已知为等比数列的前项和，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】当时，由可得，两式作差可得出等比数列的公比，然后在等式中，令，可求出的值，进而可求出数列的通项，即可得出的值. 【详解】因为，所以当时，． 两式相减，得，所以，即等比数列的公比为． 当时，，解得，所以， 所以． 5. 已知函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数的几何意义，求出在点处的切线斜率，进而写出直线方程，然后计算直线方程与两坐标轴的交点，然后利用直角三角形的面积公式求解即可. 【详解】，所以， ，所以在点处的切线方程为. 当时，；当时，. 所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为. 6. 已知随机变量的分布列为： 1 2 3 4 5 0.1 0.3 0.4 0.1 则随机变量的期望等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意知：， 所以. 7. 《九章算术·商功》记载：“斜解立方，得两堑堵；斜解堑堵，其一为阳马，其一为鳖臑．”其中，“阳马”特指底面为矩形，且一条侧棱垂直于底面的四棱锥（即直四棱锥）．今有一阳马如图所示，其中平面，，若与所成角的余弦值为，则（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将条件转化到同一个三角形中，进而通过三角形的三边关系进行求解 【详解】因为四边形为矩形且，所以四边形是正方形，，，； 又因为与所成角的余弦值为，所以与所成角的余弦值为； 因为平面，⊆平面，所以，， 又因为，⊆平面,所以平面， 又因为⊆平面，所以； 在直角三角形中，因为，所以； 所以在直角三角形中，，所以. 8. 若函数，在满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用分段函数的特点进行求解. 【详解】对任意实数，都有成立， 所以在上单调递增， 当时，若使单调递增，则需满足； 当时，若使单调递增，需满足二次函数的对称轴，即：， 若在上单调递增，则需满足，即：， 所以实数的取值范围为. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知平面向量，，则下列说法正确的是（ ） A. 与互相垂直 B. 与向量共线的单位向量为 C. ，可以作为平面内的一组基底 D. 向量在上的投影向量为 【答案】AC 【解析】 【分析】本题考查平面向量的核心性质，结合向量垂直判定、共线单位向量求解、基底定义、投影向量公式即可求解. 【详解】对于A，，所以，故A正确； 对于B，向量共线的单位向量为，故B错误； 对于C，平面向量，，所以，不共线，所以，可以作为平面内的一组基底，故C正确； 对于D，向量在上的投影向量，故D错误. 10. 下列说法错误的是（ ） A. 数据2，3，4，5，6，6，8，10，12，15的第70百分位数为8 B. 已知一组样本数据，，…，的平均数为4，极差为6，中位数为5，则，，…，的平均数为，极差为12，中位数为 C. 若随机变量满足，则 D. 若，，，则 【答案】AC 【解析】 【详解】选项A：该组数据共10个，第70百分位数的位置为，所以第70百分位数是，A错误； 选项B：若原数据平均数为、中位数为、极差为，则形式的新数据平均数为、中位数为、极差为，代入，得新数据平均数为，极差为，中位数为，B正确； 选项C：根据方差性质，得，不是15，C错误； 选项D：由全概率公式，D正确. 11. 已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 是以4为周期的周期函数 C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】A选项，由可得，结合为偶函数以及对称轴的定义即可判断；B选项，先求出的周期，再由可得的周期；C选项，令可得；D选项，根据及可类推出即可求解. 【详解】对于A：因为为奇函数，所以，又， 所以，所以， 所以， 又为偶函数，则，所以， 则的图象关于直线对称，故A正确； 对于B：因为，所以， 又为奇函数，所以，所以， 又为偶函数，，所以， 则，即，即， 所以是以8为周期的周期函数， 由于，则， 即也是以8为周期的周期函数，故B错误； 对于C：由于为奇函数，则，令，则， 所以，故C错误； 对于D：由于，，则，， 依次类推：，所以，故D正确. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知等比数列，，则的值为______. 【答案】 4 【解析】 【分析】利用等比数列下标和相等则对应项乘积相等的性质，将前四项倒数和整理为与前四项和相关的形式，求出两项乘积后即可得到四项总乘积. 【详解】设等比数列的公比为q， 根据等比数列性质：若，则，可得， 记，则， 所以，所以. 13. 若直线与曲线恰有三个公共点，则=________. 【答案】 【解析】 【分析】数形结合，根据直线与圆的位置关系列式求的值. 【详解】由得或， 所以曲线表示两个同心圆，如下图： 因为直线，即与曲线恰有三个公共点， 所以直线与圆相切. 所以. 所以. 14. 已知正六棱柱的体积为2，则其外接球表面积的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】设正六棱柱的底面边长和高分别为．由体积条件得到 为定值，再利用正六边形的外接圆半径等于边长，表示外接球半径，最后用基本不等式求最小值． 【详解】设正六棱柱的底面边长为，高为，外接球半径为． 正六边形的外接圆半径等于其边长，因此取经过棱柱轴线和上下底面一对相对顶点的截面，可得如下矩形截面． 由图可知 正六棱柱的体积为，所以 令，则 从而 由基本不等式，得 当且仅当，即时，等号成立． 所以外接球半径的最小值为 ，外接球表面积的最小值为. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知数列的前n项和为，且. （1）证明：数列是等差数列，并求； （2）设，数列的前n项和为，求使成立的最大正整数n. 【答案】（1）由，得 ，两式相减得，整理得 同除以得： 又由得，则 所以数列 则，所以 （2）． 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，，则， 所以， ， 显然数列为递增数列， 且，， 使成立的最大正整数． 16. 在中，内角所对的边分别为，． （1）求的值； （2）若，，求的周长． 【答案】（1） （2）周长为 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化简原式得到的关系，再代入中求解即可； （2）将第一问结果代入中求出，再利用余弦定理求出，进而求出，得到三角形周长. 【小问1详解】 根据正弦定理可化为， 因为，所以， 又，（是三角形内角）. 把代入：， ， 所以， 由，得， 所以. 【小问2详解】 . 代入：， 由余弦定理，已知： ， 所以， . 所以周长为 17. 在四棱锥中，平面，，，． （1）若为棱的中点，求证：平面； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 【答案】（1）记的中点为，连，， 由、分别为、的中点，所以且， 又且，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，且平面，所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）先根据平行四边形的判定和性质得到，再根据线面平行的判定即可证明； （2）先建立空间直角坐标系，再利用面面角的向量求法求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由平面，，则、、两两垂直， 则以点为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 又， 则、、、， 所以，， 设面的法向量为， 由，取，则，，则， 易知平面的一个法向量为， 记平面与平面所成锐二面角为，则， 因此平面与平面所成锐二面角的余弦值为． 18. 已知抛物线 ，的焦点分别为 ，且 . （1）求直线 的方程； （2）若直线 与从左到右分别交于 ， 两点，与 从左到右分别交于 ， 两点， 求 . 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据两焦点距离求出值得到焦点坐标，进而求出直线的方程； （2）再将直线分别与两个抛物线联立，得到四点的横坐标，由即可求解； 【小问1详解】 对于抛物线，其焦点坐标为， 对于抛物线，其焦点坐标为； 由两点间距离公式：， 已知，故，结合解得， 因此，直线的斜率， 由斜截式得直线方程为，即. 【小问2详解】 由（2）知,则，. 联立直线与的方程：， 设的横坐标为，得 联立直线与的方程：， 设的横坐标为，得， 因为点都在直线上，且斜率为， 所以 . 19. 设为实数，已知函数是奇函数. （1）求的值； （2）求证：是上的增函数； （3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2） 对于任意的实数，且， ， 因为指数函数是增函数，所以， 故，， 所以，即， 所以是上的增函数. （3）. 【解析】 【分析】（1）首先求出函数的定义域，再根据奇函数满足列方程求解，注意验证； （2）根据定义法证明单调性； （3）根据前两问中函数的性质，结合单调性与奇偶性，将已知不等式转化为恒成立问题求解. 【小问1详解】 因为函数的定义域为，且是奇函数， 所以，解得，此时. ，满足题意，所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为函数是奇函数， 所以，即， 又是上的增函数，所以对任意的恒成立， 所以对任意的恒成立， 根据对勾函数的单调性可知函数是增函数， 所以， 所以，即实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 荆山公学2027届高三年级开学考 高三数学学科 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：高考范围. 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 复数满足，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 2. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 3. “，”是“函数的图象关于原点对称”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知为等比数列的前项和，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知随机变量的分布列为： 1 2 3 4 5 0.1 0.3 0.4 0.1 则随机变量的期望等于（ ） A. B. C. D. 7. 《九章算术·商功》记载：“斜解立方，得两堑堵；斜解堑堵，其一为阳马，其一为鳖臑．”其中，“阳马”特指底面为矩形，且一条侧棱垂直于底面的四棱锥（即直四棱锥）．今有一阳马如图所示，其中平面，，若与所成角的余弦值为，则（ ）. A. B. C. D. 8. 若函数，在满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知平面向量，，则下列说法正确的是（ ） A. 与互相垂直 B. 与向量共线的单位向量为 C. ，可以作为平面内的一组基底 D. 向量在上的投影向量为 10. 下列说法错误的是（ ） A. 数据2，3，4，5，6，6，8，10，12，15的第70百分位数为8 B. 已知一组样本数据，，…，的平均数为4，极差为6，中位数为5，则，，…，的平均数为，极差为12，中位数为 C. 若随机变量满足，则 D. 若，，，则 11. 已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 是以4为周期的周期函数 C. D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知等比数列，，则的值为______. 13. 若直线与曲线恰有三个公共点，则=________. 14. 已知正六棱柱的体积为2，则其外接球表面积的最小值为______． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知数列的前n项和为，且. （1）证明：数列是等差数列，并求； （2）设，数列的前n项和为，求使成立的最大正整数n. 16. 在中，内角所对的边分别为，． （1）求的值； （2）若，，求的周长． 17. 在四棱锥中，平面，，，． （1）若为棱的中点，求证：平面； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 18. 已知抛物线 ，的焦点分别为 ，且 . （1）求直线 的方程； （2）若直线 与从左到右分别交于 ， 两点，与 从左到右分别交于 ， 两点， 求 . 19. 设为实数，已知函数是奇函数. （1）求的值； （2）求证：是上的增函数； （3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $