专题01 空间向量及其运算9大考点（高效培优期末专项训练）高二数学上学期人教B版2019

专题01 空间向量及其运算9大考点 考点01空间向量的线性运算 考点02空间向量的坐标运算 考点03由空间向量共线求参数或值 考点04 空间向量共面求参数 考点05用空间基底表示向量 考点06 求空间向量的数量积 考点07 空间向量的垂直问题 考点08 空间向量的模长问题 考点09由空间位置关系求参数 考点01空间向量的线性运算 1．在长方体中，等于（    ） A． B． C． D． 2．点在平行四边形所在平面外，与交于点，则（    ） A． B． C． D． 3．（多选）如图，已知平行六面体，点是的中点，下列结论中正确的是（    ）．    A． B． C． D． 4．已知四棱锥的底面是平行四边形，，交于点，则（   ） A． B． C． D． 5．如图，在正三棱柱中，是的中点.    (1)化简，并在图中标出化简后的结果所对应的向量； (2)求. 考点02空间向量的坐标运算 6．若，，则（   ） A． B． C． D． 7．在空间直角坐标系中，已知点，若点关于轴对称的点为，点关于平面对称的点为，则（   ） A． B． C． D． 8．在空间直角坐标系中，已知，，若点与点关于平面对称，则（   ） A． B． C． D． 9．若是空间向量中的一个基底，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得，我们把有序实数组叫做基底下向量的斜坐标．设向量在基底下的斜坐标为，则向量在基底下的斜坐标为（　　） A． B． C． D． 10．已知点，，向量，则点的坐标为 . 考点03由空间向量共线求参数或值 11．已知非零空间向量，且，则一定共线的三点是（ ） A． B． C． D． 12．设向量，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 13．已知向量，，且，则 ． 14．已知空间三点共线，则 ． 15．已知空间中三点与不重合，则使三点共线一个点的坐标可以是 ． 考点04 空间向量共面求参数 16．若是空间的一个基底，则下列各组向量中，不共面的一组是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 17．已知空间四点，，，构成梯形，则实数的值为 ． 18．下列命题中正确的是（    ） ①若，则，，三点共线； ②若，则，，，四点共面； ③若，则，，，四点共面． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 19．已知，，，三点不共线，为平面外任意一点．若．且，，，四点共面，则实数 ． 20．已知点为三棱锥的底面所在平面内的一点，且，其中，，则的最大值为 ． 21．如图，在正四棱锥中，E，F分别为的中点，．    (1)证明：B，E，G，F四点共面． (2)记四棱锥的体积为，四棱锥的体积为，求的值． 考点05用空间基底表示向量 22．如图，空间四边形OABC中，，，，点M在上，且满足，点N为BC的中点，则（   ） A． B． C． D． 23．四面体中，，点为的中点，则（    ） A． B． C． D． 24．在四棱柱中，，分别在棱，上，且，，若，则（   ） A． B． C． D． 25．如图，在四面体中，E为的中点，G为的重心，则（    ）    A． B． C． D． 26．如图，平行六面体中，延长至点，使，则向量可用向量表示为 . 27．（多选）在平行六面体中，是的中点，为平面内一点，若，则（    ） A． B． C． D． 考点06 求空间向量的数量积 28．在棱长为4的正方体中，点在该正方体表面上运动，球为该正方体的内切球，为球的一条直径，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 29．已知四面体的各棱长均为1，E、F、G分别是、、的中点，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D． 30．已知为坐标原点，点，点，则（   ） A．13 B．15 C．17 D．19 31．在平行六面体中，各棱长均为2，，则 . 32．已知正方体的棱长为，点是正方体外接球的球面上一点，为正方体内切球的球面上的两点，若，则 . 33．如图，在正六棱柱中，为的中点．设. (1)用表示向量； (2)若，求的值． 考点07 空间向量的垂直问题 34．已知， ，且，则的值为（    ） A． B．5 C．－6 D．10 35．已知向量，若，则 ． 36．已知空间三点，，，设，. (1)求，； (2)若向量与互相垂直，求实数k的值. 37．如图，在平行六面体中，，分别为，的中点，.    (1)求证：平面； (2)若，，，为线段的中点.求证：. 38．如图，三棱柱各棱的棱长都是1，若，点，分别是的中点，记． (1)用向量表示向量，并求的模长； (2)用向量方法证明：． 考点08 空间向量的模长问题 39．设，，，，且，，则（   ） A． B． C．3 D．4 40．如图，在平行六面体中，，，则（    ） A．1 B．3 C． D． 41．如图，已知是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点，点为平面外一点，且，，若， 则（   ）    A． B．3 C．6 D．7 42．已知四面体中，，，，，空间一点M满足，若四点共面，则（   ） A． B． C． D． 43．如图，在三棱锥中，，，，，二面角的大小为，则（    ） A． B． C． D． 44．已知空间向量，均为单位向量，向量满足，，. (1)证明：在上的投影向量为. (2)求. 45．如图所示，两条异面直线所成的角为，在直线上分别取点和点，使得且.已知，则 . 46．空间直角坐标系中，已知，且点满足，则的最小值为（   ） A．5 B．3 C． D． 考点09由空间位置关系求参数 47．如图，设动点在棱长为的正方体的对角线上（不含端点），，当为直角时，的值是（    ）    A．2 B．1 C． D． 48．如图，在正三棱柱中，若，且与所成角的大小为，则的值为 .    49．如图，在长方体中，，，点满足，当时，的值为 . 50．已知动点在正方体的对角线（不含端点）上．设，若为钝角，则实数的值为 ． 51．如图所示，已知斜四棱柱的底面是菱形，且，且．    (1)求证：； (2)当的值为多少时，能使平面？请给出证明． 52．如图，三棱锥中，，分别是，上的点，且，，设，，． (1)试用，，表示向量； (2)已知，，且，若，求的值． 53．如图，在矩形和中，，，，，，，记.    (1)将用，，表示出来，并求的最小值； (2)是否存在使得平面？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01空间向量及其运算9大考点 考点归纳 考点01空间向量的线性运算 考点02空间向量的坐标运算 考点03由空间向量共线求参数或值 考点04空间向量共面求参数 考点05用空间基底表示向量 考点06求空间向量的数量积 考点07空间向量的垂直问题 考点08空间向量的模长问题 考点09由空间位置关系求参数 考点专练 考点01空间向量的线性运算 1.在长方体ABCD-ABCD中，AB+BC+CC-D,C等于() A.AD B.AC C.AD D.AB 【答案】A 【详解】AB+BC+C℃-D,C=AC+CC+CD,=AC+CD=AD 故选：A 2.点O在平行四边形ABCD所在平面外，AC与BD交于点M,则2OA-OB+2OC-OD=() A.OM B.20M C.30M D.4OM 【答案】B 【详解】由题意点M是AC,BD的中点， 所以20A-0B+20C-0D=20A+0C-0B+0D=2×20M-20M=20M. 故选：B 3.(多选)如图，已知平行六面体ABCD-A'BCD',点E是CC的中点，下列结论中正确的是()· 1/31 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D E D A.AB+AD=AC B.AB-AA=BA C.AB+AD+AA-AC' D.AB+BC+CC-AE 【答案】ACD 【详解】对于A,四边形ABCD是平行四边形，AB+AD=AC,A正确： 对于B,AB-AA=B=-BA,B错误： 对于C,AB+AD+AA=AC+AA=AC,C正确： 对于D,B+Bc+CC=AC+CE=正，D正确 故选：ACD. 4.已知四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形，AC,BD交于点E,则PA-2PB+PC-2PD=() A.PE B.2PE C.EP D.2EP 【答案】D 【详解】PA-2PB+PC-2PD=(PA+PC)-2(PB+PD)=2PE-4PE=-2PE=2EP 故选：D 5.如图，在正三棱柱ABC-AB,C中，AB=AA,=2,D是AC的中点. B D B (①化简杯-B+8C，并在图中标出化简后的结果所对应的向量： 2/31 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】()DB,如图所示 (2V5 【分析】 【详解】(I)因为D是AC的中点，所以BA+BC=BD, 所以A-BA+BC=B丽-BD=D瓜：在图中标出，如图所示 B (2)取C中点E·连接Ea,所以丽}C=丽-4G丽=丽， 所以杯+号丽}4C-+丽=丽+丽=丽： 因为在正三棱柱ABC-AB,C,中，所以BB,⊥BE 所以4+B4d国-ae+g-+2-5, 考点02空间向量的坐标运算 6.若a=(2,0,-1),万=(0,1，-2，则2a-b=() A.(-4,1,-4 B.（-4,1,0) C.（4,-1,0 D.（4,-1,-4 【答案】C 【详解】ā=(2,0，-1,2a-6=2(2,0,-1-(0,1-2=(4,0,-2-(01,-2=(4,-1,0) 故选：C 7.在空间直角坐标系Oz中，已知点A(01,2),B(-1,1,O),若点A关于y轴对称的点为P,点B关于平面 Oz对称的点为2，则P9=() A.(1,0,2) B.（-1,0,-2) C.(1,2,-2) D.（-1,-2,2) 【答案】A 【详解】由题意可得P(0,1,-2),Q1,1,0),则P0=(1,0,2). 3/31 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故选：A 8.在空间直角坐标系0-z中，已知A1,山，0，B(2,-1,),若点C与点B关于平面yOz对称，则4C= () A.（-3-2,1 B.（3,2,-1 c.(1,-1,1 D.（-1,1,-1 【答案】A 【详解】由点C与点B关于平面yOz对称，得C(-2,-1,1,所以AC=（-3,-2,1). 故选：A 9.若e,e2,e是空间向量中的一个基底，那么对任意一个空间向量a,存在唯一的有序实数组(x,y,z), 使得a=xe+ye+z巴，我们把有序实数组(x,y,z)叫做基底e,e,e下向量a的斜坐标.设向量p在基底 ā，b,c下的斜坐标为-l,2,3,则向量p在基底{a+b,a-b,c下的斜坐标为(） 13 B.（223) c D.) 【答案】A 【详解】由题意可得p=-a+2b+3c,设p=m(a+b)+n(a-b)+tc, -a+2b+3c=m(a+b)+n(a-b)+tc=(m+n)a+(m-n)b+tc, 1 则有m+n=-1,解得n= 2即 m-n=2 t=3 p-a+列-36-+c 一1 t=3 2 13 即向量万在基底ā+6，a-6,下的斜坐标为（兮23）. 故选：A. 10.已知点401,0，B2,32,向量4C=C西，则点C的坐标为一 3 【答案】(-1,0，- 【详解】设C(x,y,2,AC=(x,y-1,z,CB=(2-x,3-y,2-z, 4/31 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2- 因为 ，所以少-1=3-川，得 A-C 2=32-2到 x=-1y=0z=-1 所以点C的坐标(-1,0，-1。 故答案为：(-1,0，-1 考点03由空间向量共线求参数或值 11.已知非零空间向量a,b,且AB=a+2b,BC=-5a+6b,CD=7a-2b,则一定共线的三点是() A.A,B,C B.B,C,D C.A,B,D D.A,C,D 【答案】C 【详解】对于A,AB=a+2b,BC=-5a+6b, 5≠6，·AB,BC不共线，即AB,C三点不共线，故A错误： 对于B,BC=-5a+6b,CD=7a-2b, ≠2，：BC,CD不共线，即B,C,D三点不共线，故B错误： C,AB=a+2b,BD=BC+CD=-5a+66+7a-26=2a+4b, B-)BD,则B,D共线，即AB,D三点共线，故C正确： D,AC=AB+BC=a+26-5a+66=-4a+8b,CD=7a-2b, “兰号花而不共线，即4CD三点不共线，放D错误 故选：C 12.设向量G,6,g不共面，已知AB=g+8+C,BC=日+元2+6，CD=4e+8e,+46,若A,C, D三点共线，则入=() A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【详解】因为AB=e+e,+e,BC=g+2e,+6,CD=4g+8e+4e, 所以AC=AB+BC=26+(2+1)e+2e, 因为A,C,D三点共线，所以存在唯一的实数x使得AC=xCD, 5/31 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 所以2=4x,解得 2+1=8x 2=3 所以入=3， 故选：C 13.己知向量a=(-1,0-1,b=(1,y,且a16,则x+y=一 【答案】1 【详解】因为a=（-l,0,-l,b=(1,xy),且a/16, 所以存在实数元，使得a=b,即(-1,0，-l)=九(1，xy)=(2,x,y), [2=-1 「1=-1 所以x=0,解得x=0,所以 2y=-1 y=1 x+y=1 故答案为：1. 14.已知空间三点A1,3,-2),B(2,5,,C(p+1,7,9共线，则p+q=一 【答案】6 【详解】A1,3,-2),B(2,5,1,C(p+1,7,9),AB=(1,2,3),BC=(p-1,2,9-1 :A1,3,-2,B(2,5,1,Cp+1,7,9)共线，.AB=BC, [1=2(p-1) p=2 2=2,∴=1， .1,2,3=p-1,2,9-1 3=(q-1 9=4 .p+9=6」 故答案为：6 15.已知空间中三点A-l,30),B(0,31),C(x,yz,C与A,B不重合，则使A,B,C三点共线一个点C的坐标 可以是 【答案】(1,3,2)（答案不唯一） 【详解】因为A-1,3,0),B(0,3,1,C(x,y,z, 所以AB=(1,0,1,AC=(x+1,y-3,z, 当A,B,C三点共线时，AC=AB(入≠0) [x+1=2 x=九-1 所以y-3=0,即y=3, z=2 z=2 因为C与A,B不重合，所以入≠0且1≠1， 6/31 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x=1 假设 ,则y=3 1=2 {z=2 所以使A,B,C三点共线一个点C的坐标可以是(1,3,2) 故答案为：(1,3,2)（答案不唯一）. 考点04空间向量共面求参数 16.若a,b,c是空间的一个基底，则下列各组向量中，不共面的一组是() A.a+b,a-b,c B.B+c,B,b-c C.a+b,a-b,a D.a+b,a+b+c,c 【答案】A 【详解】选项A,若a+b,a-b,c共面，则存在实数x,y使得c=xa+b+ya-),即 c=(x+y)a+(x-y)b,得到a,五，c共面，与已知矛盾，所以A正确： 选项B,因为6-五+d+6-d,所以5+心，6”方-共面，所以B错误： 选顶C,因为a=a+列+a-,所以+6。-6”a共面，所以C错误： 选项D,因为c=-(a+列+a+b+c,所以a+i,a+i+c,c共面，所以D错误 故选：A 17.己知空间四点A0,0,0)，B(21,,C1,0,2),D(5,2,m)构成梯形，则实数m的值为一· 【答案】4 【详解】因为空间四点构成梯形，所以四点首先共面， 则AD=AB+uAC,即(5,2，m)=元(2,1,1+(1,0,2)=(2元+4，元，+24， 22+4=5 λ=2 2=2 →4=1， 2+2u=m m=4 当m=4时，AB=(2,11),CD=(4,2,2),所以CD=2AB, 即AB/1CD,且AB≠CD,此时ABCD为梯形， 所以m=4. 故答案为：4. 18.下列命题中正确的是() 7/31 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①若MP=2MA-MB,则P,A,B三点共线： ②若OA+OB+OC+OD=0,则A,B,C,D四点共面； ③若O师=O+0丽-0C,则p'Ag'c四点共面. 2 6 3 A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ 【答案】C 【详解】根据共线定理推论，系数2-1=1，所以P，A,B三点共线，命题①正确： OA+OB+OC=-OD,若OA,OB,OC不共面， 则根据平行六面体法则，此时A,B,C,D四点不共面，命题②错误： 0m=o1+oi-1oc-)op+PA+&op+P丽-3o丽+PC. 3 6 所以PC-PA+PB,即p'Ag'c四点共面，命题3正确 2 故选：C 19.已知，R'4C三点术类线，O为平面AC外任意一，点芳40=0i+O5+10C.且4 B,C,P四点共面，则实数t=一 【答案】日 【详解)由题知4P=0P-O1=-OA+OB+0C, 6 即0P=30A+0B+0c 4 6 又A,B,C,P四点共面， 3,1 1 所以+后+1=L,解得1=2 故答案为：12 20.已知点P为三棱锥O-ABC的底面ABC所在平面内的一点，且OP=mOA+2nOB-2OC,其中m>0, n>0,则mn的最大值为 【答1号12s日 【详解】由空间向量共面定理可得m+2n-2=1,即m+2n=3, 又m+2n=3≥22，解得m≤号 8/31 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当且仅当m= 33 2”4时等号成立， 9 即n的最大值为8 mn 故答案为：8 21.如图，在正四棱锥P-ABCD中，E,F分别为PA,PC的中点，DG=2GP. (1)证明：B,E,G,F四点共面. V (2)记四棱锥p-BEGF的体积为Y,四棱锥p-ABCD的体积为g,求亏的值. 【答案】(1)证明见解析 1 26 【分析】 【详解】(1)证明：设{BA,BC,BP为空间的一组基底，因为E,F分别为PA,PC的中点，所以 +丽，c+丽 又DG=2GP,所以 BG=8D+DG-D+号Dr-D+即-8D列-8D+即-背+8C+ 3 3 即-丽+丽c+r号旺+号丽 3 故B,E,G,F四点共面. (2)由正四棱锥的对称性知，？=2VE-PG,V?=2V4-PD. 设点E到平面PBG的距离为4，点A到平面PBD的距离为d,由E是PA的中点得d,=2d1. 亿YEe3 Srcd4 由 ,得 DG=2GP S.PBD=3S.P8G 3S.rsp'd:6 9/31 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 考点05用空间基底表示向量 22.如图，空间四边形OABC中，OA=a,OB=b,OC=c,点M在OA上，且满足OM=2MA,点N 为BC的中点，则MN=() 1 3 +0- 1 n.+0- 2 C. 【答案】B 【详解1由=Mo+0c+C-号oi+0c+西=oi+0c+o8-00 -0+丽+ca++ 3 2 故选：B 23.四面体048C中，0i=aO丽=6.Oc=G0-号Oi,点y为C的钟点，则瓜-(） A. 21-1 a+-b+二 32 2 2 121」 126 C.-2a+5h-2 +-o D.2a-3b+2 【答案】A 【详解1因为点v为C的中点，所以ON-号0吸+0C-5+ 2 c, 因为0西0，所-0丽-0丽-+ 故选：A 10/31