第一章 空间向量与立体几何 章末测试卷-【新课程能力培养】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册练习手册（人教B版）

第一章章 (满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5 分，共40分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的 1.如图，在三棱柱ABC B M ABC1中，M为A1C1的中点，A 若AB=a,AA1=c,BC=b,则 B2---=2C 下列向量与BM相等的是( ）第1题图 Ib+c C. 2 D.2a-2bsc 2.直线1∥，且1的方向向量为(2， m,1),平面a的法向量为1,2,2，则 m=() A.-4 B.-6 C.-8 D.8 3.以下四组向量在同一平面的是（) A.(1,1,0),(0,1,1),(1,0,1) B.(3,0,0),(1,1,2),(2,2,4) C.(1,2,3),(1,3,2),(2,3,1) D.(1,0,0),(0,0,2),(0,3,0) 4.设u=(2,2,-1)是平面的一个法 向量，a=(-3,4,2)是直线1的一个方向 向量，则直线l与平面α的位置关系是() A.平行或直线在平面内 第一章章末测试卷 末测试卷 时间：120分钟) B.垂直 C.相交但不垂直 D.不能确定 5.如图，已知正方形 ABCD和正方形ADEF的边 长均为6，且它们所在的平 面互相垂直，O是BE的中 点，=)f,则线段 第5题图 OM的长为() A.3V2 B.V19 C.2V5 D.V21 6.如图，在四棱锥P-ABCD 中，侧面PAD是边长为4的正 三角形，底面ABCD为正方 形，侧面PAD⊥底面ABCD, 第6题图 若M为平面ABCD上的一个动点，且满足 MP·MC=0,则点M到直线AB的最大距离 为() A.2V5 B.3+V5 C.4+V5 D.4+2V2 7.在正方体ABCD-ABCD1中，若F, G分别是棱AB,CC,的中点，则直线FG与 平面AACC,所成角的正弦值为() A.V2 B.V5 3 4 C.V3 D.V3 3 6 (1 N 高中数学选择性必修第一册人教B版 8.如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是直 角梯形，∠BAD=90°， AD∥BC,AB=AD=PD=1, 第8题图 BC=2,PD⊥平面ABCD, 则二面角A-PB-C的大小为( A.30° B.60° C.120° D.150° 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6 分，共18分.在每小题给出的选项中， 有多个选项符合题目要求.全部选对的 得6分，部分选对的得部分分，有选错 的得0分. 9.给出下面命题，其中错误的是（) A.直线1的方向向量a=(1,-1,2),直 线m的方向向量为62,1,2，则11m B.直线l的方向向量a=(0,1,-1),平 面的法向量为n=(1,-1,-1),则l⊥a C.平面，B的法向量分别为n1= (0,1,3),n2=(1,0,2),则∥B D.平面a经过三个点A(1,0,-1), B(0,-1,0),C(-1,2,0),向量n=(1, ,t)是平面a的法向量，则+t=1 10.若将正方形ABCD沿对角线BD折 成直二面角，则下列结论正确的有() A.AD与BC成的角为45° B.AC与BD所成的角为90 C.BC与平面ACD所成角的正弦值为 V6 3 D.平面ABC与平面BCD成角的正切 值是V2 2 11.如图，在四棱锥P ABCD中，四边形ABCD是正 方形，PD⊥平面ABCD.若EA 是棱PC的中点，PD=AB,则第11题图 () A.AC⊥PB B.直线AE与平面PAB所成角的正弦 值为V3 6 C.异面直线AD与PB所成的角是T 4 D.四棱锥P-ABCD的体积与其外接球的 体积的比值是2V3 9TT 三、填空题：本题共3小题，每小题5分， 共15分.将答案填在题中横线上. 12.若a=(1,1,0),b=(-1,0,2), 则与a+b同方向的单位向量是 13.已知矩形ABCD中，AB=1,BC= V3,将矩形ABCD沿对角线AC折起，使 平面ABC与平面ACD垂直，则B与D之间 的距离为 14.如图，在三棱锥S ABC中，SA=SB=SC,且 ∠ASB=LBSC=∠CSA=T, 2 M,N分别是AB和SC的中 点，则异面直线SM与BN 第14题图 所成角的余弦值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答 时应写出文字说明、证明过程或演算 步骤 15.（13分)如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA⊥底面ABCD,AD⊥DC,AB∥DC, AD=DC=AP-2,AB=1,E为棱PC的中点. (1)求证：BE⊥PD; (2)若F为棱PC上一点，满足BF1 AC,求线段PF的长 第15题图 16.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD为直角梯形，BC∥AD, AB⊥BC,∠ADC=45°，PA⊥平面ABCD, AB=AP-1,AD=3.求： (1)异面直线PB与CD所成角的大小； (2)点D到平面PBC的距离 P 第16题图 第一章章末测试卷 17.(15分)如图1，在边长为5的菱形 ABCD中，AC=8,现沿对角线BD把△ABD 折起，折起后（如图2）使∠ADC的余弦值 为器 (1)求证：平面ABD⊥平面CBD; (2)若M是AB的中点，求折起后AC 与平面MCD所成角的正弦值 图1 图2 第17题图 3 N 高中数学选择性必修第一册人教B版 18.(17分)如图，在三棱柱ABC ABC,中，侧面BCCB,为正方形，平面 BCCB1⊥平面ABBA1,AB=BC=2,M,N分 别为AB,AC的中点. (1)求证：MN∥平面BCCB; (2)若AB⊥MN,求直线AB与平面 BMN所成角的正弦值， B B、- N 第18题图 (4 M 19.(17分)在如图所示的几何体中， 四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD, PA∥BE,AB=PA=4,BE=2. (1)求证：CE∥平面PAD. (2)在棱AB上是否存在一点F,使得 平面DEF⊥平面PCE?如果存在，求AF的 AB 值；如果不存在，说明理由 第19题图测试卷参考答案 >"第一章章末测试卷 1.A【解析】B=BB+B,=AA+(BA+B,C)= Ad+片(B+Bd-c+(-a+b)=a+号bc.故选A 2.C【解析】1/，(2，m,1)1,,2-2+ 受+2-0，m-8故选C 3.B【解析】利用共面向量基本定理逐项判断 对于A,设(1,1,0)=m(0,1,1)+n(1,0,1), n=1, m=l,无解.同理，C,D选项均无解，而对于B, m+n=0, 因为(2,2,4)=0(3,0,0)+2(1,1,2)，故选B. 4.A【解析】a=2×(-3)+2×4-1×2=0,∴.u⊥a,故 直线l∥平面或直线lC平面.故选A 5.B【解析】由题意可得DA, DC,DE两两互相垂直.以D为坐 标原点，DA,DC,DE的方向分 别为x轴、y轴、z轴的正方向，建 立如图所示的空间直角坐标系， 则E(0,0,6),F(6,0,6), B(6,6,0). 第5题答图 0是BE的中点，∴0(3,3,3) F},M6,0.4 .10M=V(6-3)2+(0-3)+(4-3)7=V19,即线段0M 的长为VI9.故选B. 6.B【解析】以D为原点，DA 所在直线为x轴，DC所在直线为y 轴，过D作平面ABCD的垂线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标 系，则P2,0,2V3),C0,4,0), 设M(a,b,0), 则MP=(2-a,-b,2V3), 第6题答图 MC=(-a,4-b,0). .Mp.MC=0,.(2-a,-b,2V3)(-a,4-b,0) =-2a+2-46+b2=0,整理得(a-1)2+(b-2)2=5, M为平面ABCD上到点(1,2)的距离为V5的 一个动点，故点M到直线AB的最大距离为4-1+√5= 3+V√5.故选B. 参考答案。 7.D【解析】方法一：过F作BD的平行线交AC于 点M,连接MG(图略)，易证得FM⊥平面AACC, .FM⊥MG,∠MGF即为直线FG与平面AACC,所成的角. 设正方体ABCD-AB,CD1的棱长为1，易得FM= ,5 2, '.sin MGF-FM_V3 FG 6 方法二：以A为原点，AB,AD,AA的方向分别 为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐 标系. 第7题答图 设正方体ABCD-AB,CD,的棱长为1，易得平面 A4CC,的一个法向量为n=(-1,1,0), 3,0.0,c,1,分元=分，1， 设直线FG与平面AACC,所成的角为0， 则sin0-lcos(n,FG)上nFC.2 -V3 LnllFG'V2xV6 6 2 8.C【解析】取BC中点M, 连接DM,由已知可得四边形ADMB 为正方形，易得DM,DA,DP两 两互相垂直，故以点D为原点， 0 DM,DA,DP的方向分别为x轴、C y轴、z轴正方向，建立如图所示 第8题答图 的空间直角坐标系，则D(0,0,0), A(0,1,0),B(1,1,0),C(1,-1,0),P(0,0,1), AP=(0,-1,1),AB=(1,0,0). 设平面PAB的一个法向量为n=(x,y,z), 则m-0,即y0, nAB=0,x=0, 令=1，则y=1,n1=(0,1,1). 设平面PBC的一个法向量为n2=(a,b,c),易得 BC=(0,-2,0),PC=(1,-1,-1), 121 N 高中数学选择性必修第一册人教B版 n2BC=0, -2b=0. 即 nz-PC=0. la-b-c=0 令c=1,则a=1,∴n2=(1,0,1), 1 1 '.Cos(n1,n2)= V2xV22 易知二面角A-PBC的平面角为钝角， .二面角A-PB-C的大小为120°.故选C 9.BCD【解析】对于A,ab=1x2+(-1)×1+2× (号0,11m,故A正确： 对于B,a与n不平行，所以l与平面a不垂直，所 以B错误： 对于C,n1与n2不平行，所以a与B不平行，故C 错误； 对于D,因为AB=(-1,-1,1),AC=(-2,2,1), 且向量n=(1,u,t)是平面x的法向量，则 AB·n=0, AC.n=0, 1 即厂lu+i=0, 解得 3 -2+24μ+i=0, 4 所以以4=弩故D错误。 l= 3, 1O.BCD【解析】取BD中点 0,连接A0,CO 若将正方形ABCD沿对角线 BD折成直二面角，则OA⊥BD OC⊥BD,OA⊥OC, .以0为原点，0C所在直线 第10题答图 为x轴，OD所在直线为y轴，OA 所在直线为：轴，建立如图所示的空间直角坐标系。 设0C=1,则A(0,0,1),B(0,-1,0),C(1, 0,0),D(0,1,0), AD=(0,1,-1),BC=(1,1,0), cosAD,BC)=AD·BC =1 IDIBC V2xV2-2 ∴AD与BC所成的角为60°，故A不正确： 易得AC=(1,0,-1),BD=(0,2,0), ,AC·BD=0,AC⊥BD,故B正确； 设平面ACD的一个法向量为=(x,y,z), 则C==0,取l,则=l, t·AD=y-a=0, t=(1,1,1),又BC=(1,1,0), 设BC与平面ACD所成的角为O, 122 .'.sin0=lcos(BC,t)= BC.t 2=V6」 BCE厂V3xV23 故C正确： 易知平面BCD的一个法向量n=(0,0,1),BA= (0,1,1),BC=(1,1,0), 设平面ABC的一个法向量为m=(x',y',z), m.BA'y-.=1 y=-1,:=1,m= 则 m.BC=x'+y'=0, (1,-1,1). 设平面ABC与平面BCD所成的角为a,则cosa= osm,m物调-，sina=Y5,a=V7, :.平面ABC与平面BCD所成角的正切值是V2, 故D正确.故选BCD. 11.ABD【解析】连接BD.因 为底面是正方形，所以BD⊥AC 又PD⊥平面ABCD,PD⊥ AC..AC⊥平面PBD, D 则AC⊥PB,故A正确. 由题意知，AD,CD,PD两两第11题答图 互相垂直，建立空间直角坐标系D-xz,设AB=2,则 A(2,0,0),B(2,2,0),E(0,1,1),P(0,0,2),从 而AD=(-2,0,0),AB=(0,2,0),AE=(-2,1,1), PB=(2,2,-2) 设平面PAB的法向量为n=(x,y,2), 则nAB=2=0, n-PB=2x+2y-2z=0. 令x=1,得n=(1,0,1)· 设直线AE与平面PAB所成角为6， 则sin0=lcos(AE,nl= V,放B -2+1 正确. 设异面直线AD与PB所成的角为a 则cosa=cos(AD,PB) 9号 4 故C错误. 四枚维PARCD体积=弩，可求四棱维PARCD 的外接球的半径R=P四=V了， 2 8 V0-号R4V3m,4V3T9灯 4 VL=- 3-2V3 D正确.故选ABD 20,Y,25)【解标】与ab同方向的 单位向量是50,1,2=0，Y5,25 V5 5 13.Y心【解析】过B,D分别向AC作垂线，垂 2 足分别为M,N 则可求得AM=之，BM-Y罗，CN-方，DN 2 V3 2 -,MN=1. 由于BD=BM+MN+ND .IBDP=(BM+MN+ND)2 -IBM P+MN PHIND P42(BM.MN+MN .ND+BM.ND) =Y14+20040)=3. .BDI=V10 2 14.YD【解析】：∠ASB=∠BSC=∠C1=受， 5 以S为坐标原点，SA,SB,SC的方向分别为x轴、y 轴、z轴正方向建立空间直角坐标系.设SA=SB=SC=2, 则S(0,0,0),B(0,2,0),A(2,0,0),C(0, 0,2),M(1,1,0),N(0,0,1), SM=(1,1,0),BN=(0,-2,1),cos(SM, V名V写里，：期面直线w与w所政 BN)=-2 的角的余弦值为V⑩ 5 15.(1)证明：易得AB,AD,AP两两互相垂直， 故以A为原点，AB,AD,AP的方向分别为x轴、y 轴、：轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(0,0,0),B(1,0,0),P(0,0,2),C(2,2, 0),E(1,1,1),D(0,2,0), 第15题答图 .BE=(0,1,1),PD=(0,2,-2), BE.PD=0,BE⊥PD. (2)解：由(1)可得BC=(1,2,0),CP=(-2, 参考答案。 -2,2),AC=(2,2,0) 由点F在棱PC上，设CF=ACP=(-2入，-2入，2λ)， 0≤λ≤1， :.BF=BC+CF=(1-2A,2-2A,2入). BF⊥AC,.BF·AC=2(1-2λ)+2(2-2A)=0,解得 3 4 P1-PCV444-V3 2 即线段PF的长为V3 2 16.解：(1)易得AB,AD,AP两两互相垂直，故 以A为原点，AB,AD,AP的方向分别为x轴、y轴、 z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 第16题答图 则P(0,0,1),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0, 3,0),PB=(1,0,-1),CD=(-1,1,0) 设异面直线PB与CD所成的角为0，则cos0= 高-宁势我他生m开成的人小务号 (2)设平面PBC的一个法向量为n=(u,v,o),由 (1)可得BC=(0,2,0), PBn=0,即W-w=0, BC.n=0, 2=0, 取u==1,得n=(1,0,1), .点D到平面PBC的距离d=m:CD1=V2 Inl 2 17.(1)证明：在菱形ABCD中，记AC,BD的交 点为0， 则0A=0C=4,AD=5,∴.0B=0D=3. 将△ABD折起后变成三棱锥A-BCD,在△ACD中， AC=AD4CD-2MD-C0cos∠ADC=-25+25-2x5x5x号 =32 在△A0C中，0A2+0C=32=AC2, ∴.∠AOC=90°，即A0⊥C0. 又AO⊥BO,B0∩CO=0,,AO⊥平面CBD. 又AOC平面ABD,∴.平面ABD⊥平面CBD. (2)解：由(1)知OC,OD,OA两两互相垂直， 123 高中数学选择性必修第一册人教B版 故以0为原点，0C,0D,0A的方向分别为x轴、y 轴、之轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系0 xyz, 则A(0,0,4),B(0,-3, 0),C(4,0,0),D(0,3,0) o,-2, wC=4,-2,c=4, -3,0),AC=(4,0,-4) 设平面MCD的一个法向量为 第17题答图 n=(x,y,z), 则nMC-0, 4+3 即 22=0, n.DC=0, 4x-3y=0, 取y=4,则x=3,2=9,n=(3,4,9). 设AC与平面MCD所成的角为0， sino=lcos (AC,n)I=AC.n12-361 4CIml4V2×V106 3V53 53 AC与平面MCD所成角的正弦值为3Y53 53 18.(1)证明：取BC中点D,连接DN,DB1 .D,N分别是BC,AC的 M 中点，DN是△ABC的中位线， :DN//AB.DN-2AB. 由三棱柱ABC-AB1C1, D A 得ABLA B1, C M是AB,的中点， 第18题答图 BM-ZAB.:.DNZBM. ∴.四边形DNMB1是平行四边形，.MN∥DB ·,DB1C平面BCCB1,MN￠平面BCC,B1, .MN∥平面BCCB. (2)解：侧面BCCB1是正方形，.BC⊥BB, 又平面BCCB1⊥平面ABBA1,BCC平面BCCB, 平面BCCB,∩平面ABBA=BB1,.BC⊥平面ABBA· 又ABC平面ABBA,BC⊥AB. 由(1)知MN∥DB,又AB⊥MN,∴AB⊥DB. BC∩DB=D,AB⊥平面BCCB1,AB⊥BB. 以B为坐标原点，BC,BA,BB的方向分别为x 轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系B-xyz, 则B(0,0,0),A(0,2,0),C(2,0,0),B1(0,0,2), 124 A(0,2,2),N(1,1,0),M(0,1,2),则BN=(1,1, 0),BM=(0,1,2),BA=(0,2,0),设n=(x,y,z) 是平面N的法向量，则n~80,即y-0。 nBM=0,y+2z=0. 令z=1,得x=2,y=-2.所以n=(2,-2,1)· 设直线AB与平面BMN所成的角为0，则sin0= lcos(n BA')I=In-BA1=12x0+(-2)x2+1xOl_2 lmBA12V22+(-2)2+1平3 所以直线AB与平面BMN所成角的正弦值为号 19.(1)证明：取PA的中点G,连接EG,DG(图 略). PA∥BE,且PA=4,BE=2,∴BE∥AG,且BE=AG, .四边形BEGA为平行四边形，..EG∥AB,且EG= AB. .·四边形ABCD是正方形，.CD∥AB,CD=AB, .EG∥CD,且EG=CD, .四边形CDGE为平行四边形，.CE∥DG. DGC平面PAD,CE￠平面PAD,.CE∥平面PAD. (2)解：易得AB,AD,AP 两两互相垂直，故以A为坐标原 点，AB,AD,AP的方向分别为 x轴、y轴、z轴正方向，建立如图 所示的空间直角坐标系，则B(4, 0,0),C(4,4,0),E(4,0,2), P(0,0,4),D(0,4,0), 第19题答图 PC=(4,4,-4),PE=(4,0,-2),PD=(0,4, -4). 设平面PCE的一个法向量为m=(x,y,z), 则mPC-0,→y0, mPE=02x-2=0, 令=1，则y=1,=2,m=(1,1,2). 假设存在点F(a,0,0)(0≤a≤4)满足题意，如 图，连接EF,DF,DE,则FE=(4-a,0,2),DE=(4, -4,2). 设平面DEF的一个法向量为n=(x',y,z), 则n-DE-0,2r-2y-0. n.FE=0 (4-a)x'+22'=0, 令=2，则y=号，=a-4,n=22,a-4 :平面DEF1平面PCE,mn=0,即2+号+2a-8= 0,号，放存在点F号，0,0满足题意，此时 AB= 3 。"第二章章末测试卷 1.A【解析】直线l1:ax+2y+6=0与直线2：x+(a- 1+5-0垂直，则ox1+2(a-1-0,解得号故选A 2.C【解析】根据题意，方程x2+y2-x+y-2m=0表示 一个圆，则有1+1-4x(-2m)>0,解得m>4,即m的 取值范围为-子，+故选C 3.A【解析】设圆心A(x,y),由已知得(x-3)2+(y- 4)2=1.即A在以(3,4)为圆心，1为半径的圆上，所 以圆心A到原点的距离的最小值为V(3-0)+(4-0)-1= 5-1=4,故选A. 4.B【解析】由题知MO1=1 MA=2, 由两点间距离公式V+? =1 V(x-3)+y22 两边平方，得，+。=1 (x-32+y7=4· 化简得x2+y2+2x-3=0,整理得(x+1)2+y2=4, 5.B【解析】双曲线号1中，渐近线方程为)归 √2，小所求双曲线的方程中“。1 1 6V2,c3,+ ,3,6,则双曲线方程为号若1故选B 6.D【解析】设IFF=2c,lMF=m,若△ABF1是以 A为直角顶点的等腰直角三角形」 则AB卧=AF=m,BF=V2m. 由椭圆的定义可得△ABF的周长为4a,即有4a 2m+V2 m, 即m=(4-2V2)a,则l4F=2a-m=(2V2-2)a 在Rt△AFF2中，IFFP=AFIP+AF2,即4c2=4(2 V2)2a2+4(V2-1)2a,即c2=(9-6V2)d2,即c=(V6- V3)a,即e=c=V6-V3.故选D. 7.C【解析】在△PF,F2中，设∠FPF=a, IF FP=IPFP+PFP-2IPF IPFcosa, 36=IPF P2+IPFP2-2IPF IIPFlcosa 由椭圆的定义得PFI+IPF,=4V3 36=(IPF+IPED)2-2IPFIIPFIcosa-2IPFIIPEI. 36=48-2IPF lIPFIcosa-2IPF IIPFI, 参考答案。 IPF]IPFlcosa+IPF IIPF3l=6.D Sam=2 IPFJPFJsina=-V3,② 由0@得1m号=V学，即∠fPRa-号 2-3 8.B【解析】直线x=a与双曲线C的两条渐近线 y=±bx分别交于D,E两点，则DEI=lyny=2b,所以 Sm=分a2h=8,即a6=8.所以c+6≥26.当且仅当 a=b时取等号.即cm=4,焦距2c的最小值为8，故选B. 9.AC【解析】方法一：设函数y=f(x)的图象上任 意一点P(x,y),点P关于点M对称且在函数y=x2+1图 象上的点为Q(xo,yo): x+X0=2 2 根据中点坐标公式可得 x-4-X,由y0 y+y0=0 yo=0-y, 2 x6+1,.-y=(4-x)2+1,y=-x2+8x-17,即f(x)=-x2+8x- 17. 根据选项可知f(2)=-5,f(1)=-10,f(-1)=-26.故选 AC 方法二：可根据选项求出各个选项关于点M(2,0) 的对称点，判断对称点是否在函数y=x2+1的图象上. 如A选项关于M(2,0)的对称点为(2,5)，这个 点在函数y=x2+1的图象上，故A正确： 同理经过验证，C也正确.故选AC 1O.BCD【解析】：lPM=MFl,∴M为PF的中点， 又O为FF的中点，∴.OM∥PF 又OM⊥FE,PF1F,∠PFF=罗，A错 误，B正确。 ，ESE 在Rt△PF,F中，∠PFB=30°，IPFI=B 2c,.V3-2c,即V3(c2-a)=2c,.V3e2-2e- V3=0,解得e=V3或=-Y3(舍去)，C正确 3 e=9=V3,名=V2,“渐近线方程为y= ±V2x,D正确.故选BCD. 11.ABD【解析】设过抛物线y2=2px(p>0)上一点 D(o,y)的切线斜率为，则切线方程为y-yk(x-xo), 联立 (y2=2px, 、消去y并整理得2x2-2(k2xyo+p)x+ y-yo=k (x-xo), (+k2x场-2kxo)=0. 由△=0，得2xk2-2yk+p=0, 125