专题02 位置关系、空间角与距离的计算7大考点（高效培优期末专项训练）高二数学上学期人教B版2019

专题02 位置关系、空间角与距离的计算7大考点 考点01平行、垂直问题 考点02异面直线问题 考点03直线与平面夹角问题 考点04平面与平面夹角问题 考点05空间距离问题 考点06翻折问题 考点07动点的存在性问题 考点01平行、垂直问题 1．已知直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则 ． 【答案】 【详解】因为， 所以， 故答案为： 2．（多选）在如图所示的正方体中，已知分别是所在棱的中点，则（　　）    A．平面 B．平面 C． D． 【答案】ACD 【详解】建立空间直角坐标系，如图所示：    不妨设正方体的棱长为2，为棱的中点， 则， 得 则， 得，，故C,D两项正确； 因为点是共面的，所以平面，故B项错误； 显然，则平面，不在平面内，故平面，故A项正确． 故选：ACD． 3．（多选）在正三棱柱中，，为中点，点是线段上的动点，则（   ） A． B．有且仅有一个点，使得 C．有且仅有一个点，使得 D．有且仅有一个点，使得平面平面 【答案】AD 【详解】对于选项A： 因为正三棱柱，所以平面， 因为平面，所以， 因为平面， 所以平面，又平面， 所以，所以A正确；    对于选项B： 如图建立空间直角坐标系，设，，则. 则，要使得， 那么，无解，所以不存在点使得，所以B错误； 对于选项C： ，要使得， 那么，所以，解得或， 所以存在两个点使得，所以C错误； 对于选项D： ，所以， 设平面的法向量为，则. 得到，令，则，所以. ， 设平面的法向量为，则. 得到，令，则，所以， 要使得两平面平行，则，解得， 所以有且仅有一个点使得平面平面，所以D正确. 故选：AD.    4．已知为空间内三个不共面的向量，平面和平面的法向量分别为和，若，则 【答案】 【详解】为空间内三个不共面的向量， 可以作为空间的一个基底， 又平面和平面的法向量分别为和，且， ∴. 设，则， ∴，解得， . 故答案为：. 5．正四棱柱中，底面的边长为2，，P为上一点． (1)若P为中点，求证：平面． (2)若，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）证明：如图所示，连接和交于点，连接， 因为底面为正方形，可得为的中点， 又因为为的中点，所以， 因为平面，且平面，所以平面. （2）解：以为原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，因为正方形的边长为，，， 可得， 则，可得， 所以，所以. 6．如图，在长方体中，，，点在棱上运动. (1)证明：； (2)设为棱的中点，在棱上是否存在一点，使得平面，若存在，求的值，若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在点使得平面， 【分析】 【详解】（1）建立如图所示空间直角坐标系， ， 设，则， ，所以. （2）若是的中点，则，， ，， 设平面的法向量为， 则， 设，则，， 故为平面的一个法向量. 设，， 若平面，平面， 则，所以是的中点，所以. 7．在正四棱柱中，，P为的中点. (1)取中点，中点，求证：平面. (2)求证：平面平面 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，. 设平面的法向量为，则. 令，解得，.. 又， 所以平面. （2）因为，又因为平面，平面， 所以平面， 所以平面，平面， 所以平面平面. 考点02异面直线问题 8．已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，若直线、所成的角等于，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得，解得. 故选：B. 9．已知平行六面体的六个面都是菱形，且，直线与直线所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，设平行六面体的棱长为1，则， 因， 则 ， 又， 则， ， 所以， 直线与直线所成的角的余弦值为. 故选：B. 10．如图，在直三棱柱中，，，点为的中点，则异面直线与所成的角为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】    因为， 所以， 因为三棱柱为直三棱柱， 所以以为原点，以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 所以， ， 设直线与所成的角为， 所以， 因为， 所以. 故选：. 11．如图所示，可以将钟楼看作一个长方体，四个侧面各有一个大钟，则从8：00到10：00这段时间内，相邻两面钟的分针所成角为的次数为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【详解】在长方体中，以点为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图的空间直角坐标系． 设分针长为，矩形的对角线的交点为，矩形的对角线的交点为， 考察到这个时间段， 设时刻，侧面，内的钟的分针的针点的位置分别为，， 设，其中， 则， 由已知可得，则， 因为，故的取值为，，，， 即在到这个时间段，相邻两面钟的分针所成角为的次数为4， 因此，从到这段时间内，相邻两面钟的分针所成角为的次数为8． 故选：D． 12．如图，长方体中，是底面中心，. (1)证明:； (2)若直线与直线所成角的余弦值为，求的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）如图，以点为坐标原点建立空间直角坐标系， 设， 则， 故， 则，所以， 所以； （2）由（1）得，， 因为直线与直线所成角的余弦值为， 所以， 解得（舍去）， 所以. 13．如图，在棱长都为的正三棱柱中，为侧面的中心，为的中点，点为棱上一动点（不包含端点）. (1)证明：平面； (2)若直线与直线所成角的余弦值为，求. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）连接，则为的中点，又因为为的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面. （2）取线段的中点，连接， 因为为等边三角形，所以，又因为平面， 以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系如图， 设点，其中，易知、、, 则，，， 所以， 因为，解得， 此时的长为. 14．如图，圆柱的轴截面ABCD是边长为4的正方形，点F在底面圆O上，，点G在线段BF上运动． (1)当平面DAF时，求线段的长度； (2)设，当与平面DAF所成角的正弦值为时，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】 【详解】（1） 取的中点，连接， 因为四边形ABCD为边长是4的正方形，所以， 所以，所以，，四边形为平行四边形， 所以， 因为面，且不在平面内， 所以面， 所以当两点重合时，面， 因为面， 可以以为轴，建立一个空间直角坐标系， 所以， 则， . （2）设， ， 因为，则， 由直径对应的圆周角为直角，易得面，所以面的法向量， 设与平面DAF所成角为，则 ， 化简可得，解得或. 考点03直线与平面夹角问题 15．如图，长方体中，，过点B，D作平面与直线平行，且与棱交于点E，点F是线段上靠近的三等分点. (1)直接给出的值（不必说明理由），并求平面截长方体所得截面的面积； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)；. (2) 【分析】 【详解】（1）由题可知；连接,连接. 因为，平面，不在平面内，又因为平面平面， 所以.在中，为中点，所以为中点，即. 根据题意截面过三点，所以截面即为. 因为,所以. 因为， 则为中点，所以在长方体中，由几何关系可得， 所以为等边三角形，故的面积为即为截面面积. （2）以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系. ， 所以， 设平面的一个法向量为，则，所以， 令，则. 设直线与平面所成角为，则， 即直线与平面所成角正弦值为. 16．如图，在三棱锥中，底面是等腰直角三角形，底面是的中点，是的中点，且． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】 【详解】（1）在平面内，过点作，由题知，， 所以，所以．因为底面，且在平面内， 所以，所以两两垂直， 以为坐标原点，分别以所在直线为轴､轴､轴建立空间直角坐标系如图所示， 则，， 设，因为，所以 所以，所以， 易知平面的一个法向量为， 所以，所以，又因为平面． 所以平面． （2）由（1）知，， 设平面的法向量为， 则 令，得，所以， 设直线与平面所成角为， 又，所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 17．如图，在四棱锥中，，，，，，是棱上的点． (1)若，证明：平面； (2)若平面平面，直线与平面所成角的正弦值为，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）如图，过作交于，连接， 则，；又，，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以；又平面，平面，所以平面； （2）如图，作的中点，连接，过作交于，则， 因为，所以； 在中，因为，，所以，所以；又，所以，； 又平面，平面平面，平面平面，所以平面；因此两两相互垂直，建立如图空间直角坐标系，则，所以，，设，则， 设平面的一个法向量为，则，即，取，则，所以；所以， 设直线与平面所成角，因为直线与平面所成角的正弦值为，所以，解得，或（舍去）； 所以，即的长为. 18．如图，菱形与矩形所在的平面垂直，，，，为的中点． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）连接，因为侧面是菱形，，所以是正三角形， 因为为的中点，所以， 因为平面平面，平面平面， 又平面,所以平面． 因为平面，所以． 因为在矩形中，，且，则得， 因为，所以，所以， 因为，所以平面． （2）以为坐标原点，所在直线分别为轴，过点且与平面垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图， 则， 所以． 设平面的法向量为， 则，即，故可取． 设直线与平面所成的角为， 则． 19．如图，在圆锥中，为底面圆的直径，点为的中点，点在劣弧上，线段交于点，且． (1)证明：； (2)若，求直线和平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】 【详解】（1）证明：连接，因为为的中点，知， 又因为为直径，知， 因为，所以，所以， 又因为，所以， 由圆锥的定义，可得平面，因为平面，所以， 又因为，平面，， 所以平面，因为平面，所以. （2）解法一：由，可得，所以． 又由，所以，即， 所以， 故， 设，则， 且 如图所示，作于，因为，所以， 在直角中，由勾股定理得， 所以， 又因为， 设为到平面的距离，则， 所以， 设直线和平面所成角为，可得， 所以直线和平面所成角的正弦值为. 解法二：因为为的中点，知，且平面， 以为原点，以的方向分别为三轴的方向，建立空间直角坐标系， 如图所示，不妨设，可得且为等边三角形， 则， 所以向量， 设平面的法向量为，则， 取，则．所以， 设直线与平面的所成角为， 则， 所以直线和平面所成角的正弦值为. 20．如图，在正四棱柱中，，，，，是直线上的点． (1)若，，，四点共面，证明：. (2)设直线与平面所成角为，是否存在点，使得，若存在，求的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，或. 【分析】 【详解】（1）在正四棱柱中，建立如图所示的空间直角坐标系， 由，，， 得，设， 则， 由，，，四点共面，得共面，存在实数对使得， 则，即， 解得，因此，即，又， 所以. （2）设平面的法向量，则，取，得， 则， 整理得，解得或， 所以存在点，使得，或. 21．如图，在三棱台中，，平面平面为的中点.     (1)求证：平面平面； (2)当直线与平面所成的角最大时，求三棱台的体积. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】 【详解】（1）在三棱台中，为的中点，由，得， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，而平面， 所以平面平面. （2） 取中点，由梯形是等腰梯形得， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，设， 在梯形中，，， 则， 所以，， 设平面的一个法向量， 则，取，得， 设直线与平面所成的角为， ，当且仅当，即时取等号， 所以三棱台的体积 . 考点04平面与平面夹角问题 22．如图，在斜三棱柱中，，O是BC的中点． (1)求证：平面平面； (2)若底面ABC，且直线与底面ABC所成角为，D是棱的中点，求平面与平面ABC夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）证明:连接, 因为，O是BC的中点，因此， 又因为,所以与全等， 因此,又O是BC的中点，因此， 又，平面, 因此平面，又平面,所以平面平面. （2）不妨设，由题意可得，因此, 因为底面ABC，所以AO是直线在平面ABC内的射影， 因此为直线与底面ABC所成的角，所以， 由可得； 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则 ，， ,,; ,; 设平面的一个法向量为，则， 令，则，即； 因为底面ABC，所以平面ABC的一个法向量为， 设平面与平面ABC夹角为，则， 即平面与平面ABC夹角的余弦值为. 23．如图，正四棱台中，，侧棱与面的夹角为分别为的中点． (1)证明：平面； (2)求二面角的大小． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】 【详解】（1）如图1，连接，交于点G， 因为，所以与相似，且， 故，故，且，故， 而平面平面，故平面； （2）延长交于点P，则为正四棱锥， 连接交于点O，则，且平面， 以所在直线为坐标轴，建立如图2所示空间直角坐标系， 点H为点在平面内的投影点，结合已知以及正四棱台的几何性质知， 故，则，，， 分别为平面与平面的法向量， ，可取， ，可取，则， 记为二面角的平面角，为的夹角， 由图可知为锐角，故，故． 24．如图，在正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为3，D为棱的中点，E是棱上的动点（不与B、重合），连接BD．     (1)证明：． (2)已知直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面ABC夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】 【详解】（1）在正三棱柱中，取中点，连接，则， 由D为棱的中点，得，而平面，则平面， 又平面，于是，由平面， 得平面，而平面，因此，而， 所以. （2）由（1）得直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，设，则， 平面平面，则平面与平面的一个法向量均为， 由直线与平面所成角的正弦值为， 得，解得， ，而，设平面的法向量为， 则，取，得， 所以平面与平面ABC夹角的余弦值为. 25．如图,在四棱锥中,四边形是梯形,,,,,,,是棱的中点. (1)证明：平面. (2)求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）证明：因为,,所以. 因为,平面,平面,且,所以平面. 因为平面,所以. 因为,所以. 因为,所以. 因为,所以,所以,所以. 因为平面,平面,且,所以平面. （2）由（1）可知,,两两垂直,则以A为坐标原点,,,所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系. 设,则,,,, 故,,. 设平面的法向量为, 则,令,则，，得. 设平面的法向量为, 则,令,则，，得. 设二面角为,则, 故,即二面角的正弦值为. 26．如图，在三棱锥中，平面ABC，，，点E是PC的中点． (1)求证：平面PBC； (2)设点F是棱PB上的动点（不含端点），且使平面AEF与平面ABC所成角的余弦值为．求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】 【详解】（1）因为平面ABC，平面ABC，所以， 又因为，且，PA，平面PAC，所以平面PAC， 因为平面PAC，所以， 又因为，且E为PC的中点，所以， 因为，且PC，平面PBC，所以平面PBC． （2）过点A作， 以A为原点，以AD，AC，AP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Axyz， 如图所示，因为E为PC的中点，可得，，，，， 又因为点F在棱PB上，设， 可得， 设平面AEF的法向量为， 则，故可取， 又由平面ABC，所以平面ABC的一个法向量为， 设平面AEF与平面ABC所成角为θ， 则， 则，即或，∴或（舍去）， 此时，则， 故三棱锥的体积为． 27．如图，在四棱锥中，底面，底面为菱形，且，，点为棱的中点. (1)在棱上是否存在一点，使得平面？如果存在，确定点N的位置，如果不存在，请说明理由； (2)若二面角的余弦值为时，求棱的长度. 【答案】(1)存在，点N为的中点 (2) 【分析】 【详解】（1）取的中点，连接，， 因为分别为的中点，则， 且平面，平面，可得平面， 又因为平面，，平面， 可得平面平面， 且平面平面，平面平面，可得， 由题意可知：，则四边形为平行四边形， 可得，即点为的中点， 所以棱上是存在一点，使得平面，此时点为的中点. （2）取的中点，连接， 由题意可知：为等边三角形，则， 且，可得， 又因为底面，则可以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设，则，，，，， 可得，，， 设平面的法向量，则， 令，则，，可得， 且平面的法向量， 由题意可得：， 解得（舍去负值），所以. 28．四棱锥，平面平面，，是中点， (1)求证：平面； (2)若平面与平面的夹角的余弦值为，求线段的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1），是中点，， 平面平面，平面平面，平面，平面，平面，， ，是中点，， ，，， ，， ，， 在上取点，使得，且， 四边形为矩形，，， ，，， 在中，，，， ，， ，，平面，平面， 平面； （2）取中点，连接，则， 以为原点，以分别为轴建立空间直角坐标系， 设，， 则，，，，，， ，，设平面的法向量为， ，， 取，解得，则， ，，设平面的法向量为， ，，取，解得，， ，，，， ，， 设平面与平面的夹角为，则， ，，，. 考点05空间距离问题 29．在长方体中，，，点M满足，则点M到直线的距离为 . 【答案】/ 【详解】以为原点，分别以所在直线为轴、轴、轴建立如图所示空间直角坐标系， 则，得， 则向量在上的投影向量的模长为， 又，则点M到直线的距离为. 故答案为： 30．如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面与平面的距离为 ．    【答案】 【详解】正方体中，，故四边形为平行四边形， 所以 ，平面，平面， 所以平面，同理平面，且 所以平面平面. 以D为原点，分别以所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，    则 ， 所以，，， 设平面 的法向量为， 则 ，所以 ， 令，则， 则为平面的一个法向量， 所以点 到平面的距离d， 则平面 与平面 的距离等于点到平面 的距离， 所以平面与平面间的距离为． 故答案为： 31．如图，四棱锥中，底面，，平面，． (1)证明：； (2)若点B到平面的距离为1，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）因为底面，，平面， 所以， 因为，，，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为平面，平面，平面平面， 所以， 所以． （2）由（1）可知，，，两两垂直， 以A为原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示坐标系． 方法1： 过点B作，交于点M， 因为底面，平面，所以， 因为，所以平面， 又点B到平面的距离为1，所以， 在中，由可得； 设，则，即，解得； 因此为的中点，，所以． 可得，，，，， 所以，． 设是平面的法向量，则，， 即，取，则，， 所以是平面的一个法向量． 因为平面，所以是平面的一个法向量． 设平面与平面的夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 方法2： ，，设，则 易知， 设平面的法向量为， 所以，解得，令，则； 可求得平面的法向量为，则，得． 因此，，，又，， 所以，． 设是平面的法向量，则，， 即，取，则，， 所以是平面的一个法向量． 因为平面，所以是平面的一个法向量． 设平面与平面的夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 32．如图，四棱锥，平面ABCD，，，．若E点满足，平面交线段PD于F点． (1)求证：； (2)若平面与平面夹角的余弦值为，求D点到平面的距离． 【答案】(1)证明过程见解析； (2) 【分析】 【详解】（1）因为，平面，平面， 所以平面， 平面交线段PD于F点，即平面平面， 又平面，所以； （2）因为平面，平面， 所以，，又，，所以， 故两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 又，所以， 设，，则， 显然平面的一个法向量为， 其中，设平面的一个法向量为， 则， 设得，所以， 由题意得， 解得，负值舍去， 故，，， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则，所以， 设D点到平面的距离为， 则. D点到平面的距离为. 33．已知多面体ABCDEF如图所示，其中四边形ABCD为矩形，，平面ABCD． (1)求证：平面BCF； (2)若，点A到平面BDF的距离为，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）因为，所以，， 又，平面，则平面， 而平面，所以， 又不在平面内，平面，所以平面， 因为，且不在平面内，平面，所以平面， 又，平面，故平面平面， 因为平面，故平面． （2）解法一：连结AF，如图所示， 设，，则， ，，在中， 以BF为底，则高， ， ， 因为，， 由等体积法可得，，即， 解得． 解法二：由，面，以为轴建立空间直角坐标系，如图所示， 设 则 则， 设面BDF的法向量，则， 取，则， 又， 解得，即． 34．如图，平面，，，，，点，，分别为，，的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的正弦值； (3)若为线段上靠近点的三等分点，求到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】 【详解】（1）连接，由，，得∥. 因为，所以四边形是平行四边形. 由点，分别为，的中点，得∥，且. 由，，点为的中点，得，∥. 所以，∥.所以四边形为平行四边形，所以∥. 因为平面，平面，所以∥平面. （2）因为平面，，所以两两垂直. 以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立如图空间直角坐标系. 则. 所以. 设平面的法向量为， 则，所以. 令，则，所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则，所以. 令，则，所以平面的一个法向量为. ，所以. 平面与平面夹角的正弦值为. （3）由（2）知平面的一个法向量为. 且. 所以到平面的距离． 考点06翻折问题 35．如图1，在平面四边形中，，，，，将沿翻折到的位置，使得平面平面，如图2所示. (1)求证：平面； (2)设线段的中点为，求平面与平面所成的二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】 【详解】（1）因为平面平面，平面平面， 又因为，，所以，平面， 所以平面； （2）由（1）知平面，又因为，所以平面，平面，所以， 故两两垂直,以A为原点 分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图, 则是平面的一个法向量， 因为， 则, ， 设是平面的一个法向量, 则,即， 取，得，， 设平面与平面所成的二面角为, 则， 故平面与平面所成的二面角的余弦值为. 36．如图，四边形中，，，为中点，点在上，，.将四边形沿翻折至四边形.    (1)证明：平面平面； (2)若，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）在四边形中，因为，， 所以四边形为平行四边形， 又因为，， 所以四边形为正方形，         折叠后，显然，， 又因为，所以平面， 又平面，所以平面平面. （2）法一：如图以为原点建立空间直角坐标系， 所以，，，，， 所以，，，        设平面的法向量， 则，令， 解得，，可得，     点到平面的距离为. 法二：如图，过点作，垂足为，连接，    因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，而平面，得到，            在中，，， 由余弦定理得，则. 即，         设点到平面的距离为， 由得， 又，，所以， 所以点到平面的距离为. 37．如图甲所示，四边形为正方形，，S为的中点.将沿直线翻折使得平面，如图乙所示. (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面所成二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）证明：因为平面，平面，所以， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. （2）取PQ的中点为O，MN的中点为E，为等边三角形，则， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，如图建立空间直角坐标系， 设，则，，， 则，， 设平面的法向量为，则， 令，则，所以，显然平面的法向量为， 设平面与平面所成二面角为，从图中可以看出为锐角， 则. 38．如图，在等腰梯形中，为边上靠近点的三等分点，现将三角形沿翻折，得到四棱锥，使得为棱的中点. (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）取的中点，连接. 因为中，为所在边的中点，所以 在梯形中，，所以， 所以，所以四边形是平行四边形， 所以. 又平面平面， 所以平面. （2）由题意，在等腰梯形中，为边上靠近点的三等分点， 所以，即，又， 因此，以为坐标原点，以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 在中，，由勾股定理易得， 则. 又为棱的中点，所以， 则， 因为，即平面， 所以平面， 所以平面的一个法向量 设平面的一个法向量， ， 令，则， 所以平面的一个法向量. 记二面角的平面角为， 则， 所以， 所以二面角的正弦值为. 39．如图，在梯形中，，，，，是的中点，将沿翻折至，使得. (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1） 连接交于点，连接，，， ，为等腰直角三角形，， ，则为中点， ，， 在Rt中，，， 在中，， 在中，，，， ，， 又，，平面， 平面， 又平面，平面平面. （2）由（1）可知平面，又，平面， ，，，，两两垂直， 易知，，， 方法1： 如图，以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系， ，，，，，， ，，， 设平面的法向量为，则 取，得，，则， 易知平面的法向量为 设平面与平面的夹角为， 则， 平面与平面夹角的余弦值为 方法2：如图，分别延长，交于点，则，， 过作垂直于，连接， ，，，平面， 平面， 平面，， 又，，平面， 平面， 平面， ，平面与平面的夹角即为， 易知，， 故，. 40．如图，在矩形中，，，，将沿翻折得到四棱锥，且二面角为直二面角. (1)证明：平面； (2)求二面角的正切值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）∵，平面平面， 又二面角为直二面角，则平面平面， ∴平面， ∵平面， ∴， ∵，，，则，，， 则， 由勾股定理得， ∵平面，平面，， ∴平面. （2）解法一：设交于F点，连接， 由（1）得平面， 平面， ， ∵平面， ∴，， 设平面与平面夹角为，则， ∵，，，， ∴， ∴， ∴二面角的正切值为. 解法二：由（1）知， 以E为坐标原点，的方向为x轴正方向建立如图所示空间直角坐标系. 由题设及（1）得，，，，， 平面的一个法向量为， ，， 设平面的一个法向量为， 由得，令，得， 设二面角的大小为，则， ∴二面角的正弦值为， ∴二面角的正切值为. 41．如图1，在平面多边形中，为直角三角形，，，如图2，现将沿AB向上翻折到图中的处，此时，. (1)证明：平面MAC； (2)求平面MAC与平面所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）证明：如图所示，连接交于点，连接， 因为且，所以，所以为的三等分点， 又因为，所以为的三等分点，所以， 因为平面，平面，所以平面. （2）解：如图所示，取的中点，连接， 因为且，所以四边形为菱形，所以， 又因为，所以四边形为平行四边形， 所以，所以， 因为，且，平面，所以平面， 又因为平面，所以， 因为，且平面，与为相交直线， 所以平面， 以菱形的对角线的交点为坐标原点，以所在的直线分别为轴，以过垂直平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 不妨设，因为， 则， 由，可得， 可得, 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设平面与平面所成的角为， 则， 所以平面与平面所成的角的余弦值为. 考点07动点的存在性问题 42．如图，在四棱锥中，侧面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中为的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)线段上是否存在，使得它到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】 【详解】（1）为的中点， 侧面底面. 侧面底面平面， 平面. （2）∵底面为直角梯形， 其中， ，又平面， ∴以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立 如图所示的空间直角坐标系. 则， ， 设平面PAD的法向量. 设平面的法向量， 则，取，得. 设平面与平面夹角为， 则， 故平面与平面夹角的余弦值为. （3）设线段上存在， 使得它到平面的距离为， 到平面的距离， 解得或（舍去）， 则，则 43．如图，四棱锥的底面是正方形，平面.已知，分别为的中点，平面与棱交于点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的正弦值； (3)判断线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，请求出点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，或 【分析】 【详解】（1）因为平面，平面，则， 在正方形中，，因平面， 则平面，因平面，则， 又，点是的中点，则， 因平面，故平面. （2）由（1）平面，因平面，则， 因平面，平面，则， 又，平面，平面， 因平面，则， 因点是的中点，.，则， 因平面，则平面， 因平面，则， 因平面，则平面， 因平面，则，即. 由（1）平面，因平面，则，即， 又，则，则， 因为，， ， 则，即，即. 以点为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以， ， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 而平面的法向量可取为， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以 即平面与平面的夹角的正弦值为. （3）由（2）可得，则， 假设线段上存在一点，满足， 则， 所以，则，即，则， 由（2）已得平面的一个法向量为， 则点H到平面的距离，解得或， 则得或. 故在线段上是否存在一点或，使得点到平面的距离为. 44．如图1，在边长为2的菱形中，于点，将沿折起到的位置，使，如图2． (1)求证：平面； (2)求点B到平面的距离； (3)在线段上是否存在点，使平面平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在 ， 【分析】 【详解】（1）证明：，， 又平面平面， 所以平面， 平面，， 又平面平面， 平面； （2）平面， ∴ 以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则，， ，设平面的法向量为， 则，故可设.， 所以点B到平面的距离为. （3）存在，理由如下： 假设在线段上存在一点，使得平面平面， 设， 则，， ， 设平面的法向量， 由， 得， 令，得． 设平面的法向量为， ， 故， 取，得． 因为平面平面， 所以， 解得， 所以在线段上存在点，使得平面平面，且． 45．如图，在三棱柱中，底面是边长为的等边三角形，，分别是线段的中点，在平面内的射影为. (1)求证：平面； (2)若点为棱的中点，求点到平面的距离； (3)在棱上是否存在点，使得平面与平面所成的角为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】 【详解】（1）连接，， 为等边三角形，为中点，； 由题意知：平面，又平面，， ，平面，平面， 平面，； 四边形为平行四边形，， 四边形为菱形，， 分别为中点，，， 又，平面，平面. （2）方法一：由（1）知：平面，； 则以为坐标原点，正方向为轴正方向，建立如图空间直角坐标系， 则，，，， ，，， 设平面的法向量， 则，令，解得：，，， 点到平面的距离； 方法二：取的中点，连接，过作交于， 过作分别交的延长线于，则分别是的中点， ，平面，平面，平面， 点到平面的距离等于点到平面的距离； 由（1）得：，平面， 平面，是直角三角形， 在菱形中，易得，，， ，， 即点到平面的距离为. （3）方法一：，，， 设，，， ； 由（2）知：平面的一个法向量； 设平面的法向量， 则，令，解得：，，； ，解得：（舍）或， 此时， 在棱上存在点，使得平面与平面所成的角为，此时； 方法二：假设存在点满足题意，取的中点，连接， 过作交于，连接， ，平面， 又由（1）得：，， 二面角的平面角为，； 在菱形中，作， ，， ， 为直角三角形，，， 在棱上存在点，使得平面与平面所成的角为，此时. 46．在四棱锥中，底面是正方形，平面是的中点. (1)证明：平面； (2)若点在棱上，且，在棱上求一点，使得平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)点为棱的中点 【分析】 【详解】（1）解法一：连接交于，连接.则在中，. 而平面平面 所以平面. 解法二：以为坐标原点，射线分别为轴､轴､轴的正方向建立空间直角坐标系. 设.连接交于，连接. 依题意得.因为底面是正方形， 所以是此正方形的中心，故点的坐标为， 所以. 则，故.而平面平面， 所以平面. （2）因为，得 设平面的法向量为， 故，令，则，故， 又， 设， 又因为平面， 所以，即，解得， 所以点为棱的中点时，平面. 47．如图：在直三棱柱中，，，，M是的中点，N是的中点． (1)求证：∥平面； (2)求：二面角的余弦值； (3)在线段上是否存在点P，使得点P到平面MBC的距离为，若存在求此时的值，若不存在请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】 【详解】（1）取中点D，连接DN、， ∵D、N分别为、∴且， ∵与平行且相等，M为中点，∴与平行且相等， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵平面  平面， ∴平面； （2）∵直三棱柱∴平面ABC又CB、平面ABC， ∴、， ∵即， ∴、CB、CA两两垂直，分别以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， ∴  ， 则  ， 易知平面的法向量为， 设平面的法向量为， 则，即， 令则， 设二面角的平面角为， 则， 由图知为钝角，∴； （3）设，， ∵， ∴， ∴    ， 设平面MBC的法向量为， 则，即， 令则 ∴P点到平面MBC的距离为， 解得，又∴． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02位置关系、空间角与距离的计算7大考点 考点归纳 考点01平行、垂直问题 考点02异面直线问题 考点03直线与平面夹角问题 考点04平面与平面夹角问题 考点05空间距离问题 考点06翻折问题 考点07动点的存在性问题 考点专练 考点01平行、垂直问题 1.已知直线1的一个方向向量为m=(-3,2,-l,平面a的一个法向量为i=(6t+山，9)，若111a,则t= 2.(多选)在如图所示的正方体中，已知A,B,C,D,E,F分别是所在棱的中点，则() A B A.ABII平面CDF B.BC/I平面AEF C.BC⊥DF D.AD⊥BE 3.(多选)在正三棱柱ABC-AB,C中，AB=A4,D为BC中点，点P是线段B,G上的动点，则() A.AD⊥CP B.有且仅有一个点P,使得AB/1CP C.有且仅有一个点P,使得AP⊥BP D.有且仅有一个点P,使得平面ABD/I平面A,PC 4.已知e,e2,%为空间内三个不共面的向量，平面a和平面B的法向量分别为a=e,+1e2+3e和 b=-e+2e2+ue,若a/B,则元+u= 1/21 命学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 5.正四棱柱ABCD-ABCD,中，底面ABCD的边长为2，A4=4,P为DD上一点 D B D 小 (1)若P为DD中点，求证：BDII平面ACP. (2)若DP=1,求证：B,D⊥AP 6.如图，在长方体ABCD-AB,CD中，DD=DA=1,AB=2,点E在棱AB上运动. D C B B (I)证明：BC⊥DE: CE (2)设B为棱AB的中点，在棱CC,上是否存在一点。，使得F平面DC,若存在，求CC的值，若不 存在，说明理由. 7.在正四棱柱ABCD-AB,CD,中，AB=2BB=2,P为BC的中点. 2/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B D B (I)取AD中点M,AB中点N,求证：MN⊥平面APC. (2)求证：平面APC⊥平面BDD,B, 考点02异面直线问题 8.已知直线4的一个方向向量为m=(x,-2,0),直线12的一个方向向量为n=(0,1,1),若直线{、1所成的 角等于60°，则x=() A.0 B.2 C.±2 D.2 9.已知平行六面体ABCD-AB,C,D,的六个面都是菱形，且∠CCB=∠CCD=∠BCD=60°，直线AC与直 线BC所成的角的余弦值为() D B A. 12 B. VG 6 C.6 D.6 3 10.如图，在直三棱柱ABC-AB,C中，AB=AC=AA=2,BC=2V2,点D为BC的中点，则异面直线 AD与AC所成的角为() 3/21 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A C D A. c. D.8 11.如图所示，可以将钟楼看作一个长方体，四个侧面各有一个大钟，则从8：00到10：00这段时间内， 相邻两面钟的分针所成角为60°的次数为() A.2 B.4 C.6 D.8 12.如图，长方体ABCD-ABCD,中，P是底面中心，AD=V2AA=2. B A B (1)证明：AP⊥BC: 1 (2)若直线AP与直线BC所成角的余弦值为4，求AB的长. 4/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 13.如图，在棱长都为2的正三棱柱ABC-ABC中，D为侧面BCCB的中心，E为AC的中点，点F为 棱BC上一动点（不包含端点）· A C B D B (I)证明：AB∥平面A,DE: 2√5 ②)若直线A4与直线r所成角的余弦值为等，求E 14.如图，圆柱OO的轴截面ABCD是边长为4的正方形，点F在底面圆O上，BF=2,点G在线段BF 上运动. D (1)当O,G/平面DAF时，求线段OG的长度： 43 (②)设FG=FB(0≤元≤1)，当OG与平面DAF所成角的正弦值为 86 时，求，的值。 考点03直线与平面夹角问题 5/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 15.如图，长方体ABCD-AB,CD,中，A4=2AB=2BC=2,过点B,D作平面a与直线AC平行，且与 棱CC交于点E,点F是线段A,D上靠近D的三等分点. D B D、 B CE ()直接给出CC的值（不必说明理由），并求平面。截长方体所得截面的面积： y (2)求直线EF与平面BDE所成角的正弦值， I6.如图，在三棱锥A-BCD中，底面△BCD是等腰直角三角形，AD⊥底面BCD,AD=BC=CD=2,M 是AD的中点，P是BM的中点，且AQ+3CO=0. B D C (I)证明：PO∥平面BCD; (2)求直线BM与平面ABC所成角的正弦值. 17.如图，在四棱锥P-ABCD中，ABIICD,AB⊥AD,AB=AD=2,CD=3,PA=PB=V瓦，E是棱 PD上的点. 6/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 PE (①)若DE 2,证明：AE/平面PBC V30 (②)若平面P4B平面HBCD'直线CB与平面PBC所成角的正弦值为S,求pE的长。 18.如图，菱形AB84与矩形4CC所在的半面垂直，4=2：AC=万，∠46=分D为4的中 点。 B B (1)证明：AC,⊥平面B,CD: (2)求直线BC1与平面ABC所成角的正弦值. 19.如图，在圆锥S-O中，AB为底面圆的直径，点C为AB的中点，点D在劣弧AC上，线段BD,OC 交于点E,且OE=DE. 7/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 S .B A D C (I)证明：SD⊥AE: (2)若∠OSD=2∠CBD,求直线SC和平面SDB所成角的正弦值. 20.如图，在正四棱柱ABCD-AB,CD,中，AB=4,AA=2,2DG=2BE=BB,AB,=4AH,F是直 线CD上的点. D G B H B (I)若E,F,G,H四点共面，证明：GF/IHE ②设直线H征与Y面EG所成角为，：是否存在点'使得sm0=2YD 15， 若存在，求DF的长：若不存 在，请说明理由. 21.如图，在三棱台ABC-ABC1中，AC=AB,BC=4,CC,=CB,=BB,=2,平面CCB,B⊥平面ABC,D 为CB的中点. 8/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B B A (I)求证：平面CCBB⊥平面ACD: (2)当直线AA与平面ABC所成的角最大时，求三棱台ABC-AB,C1的体积 考点04平面与平面夹角问题 22.如图，在斜三棱柱ABC-AB,C,中，∠BAC=90°，AB=AC,∠AAB=∠AAC,O是BC的中点. C A B (I)求证：平面BCC,B⊥平面AA0: (2)若AO1底面ABC,且直线AA与底面ABC所成角为60°，D是棱BB,的中点，求平面ACD与平面ABC 夹角的余弦值。 23.如图，正四棱台ABCD-48CD中，4B=4反，48=22，侧棱与面BCD的夹角为，F分别为 AB,BC的中点. 9/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A B D E B D (1)证明：AC1/平面BEF; (2)求二面角C-EF-B的大小. 24.如图，在正三棱柱ABC-AB'C的底面边长为2，侧棱长为3，D为棱AC的中点，E是棱BB上的动 点（不与B、B重合），连接BD. D A C (I)证明：BD⊥AC'. (2)已知直线。 C与平面4gC所成角的正弦值为5 ，求平面4EC,与平面ABC夹角的余弦值. 25.如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是梯形，AD∥BC,AD=2BC,AB⊥AD,BC⊥PB, PA=AB=BC,PC=V3AB,E是棱PD的中点. 10/21