专题05 椭圆的方程13大考点（高效培优期末专项训练）高二数学上学期人教B版2019

专题05 椭圆的方程13大考点 考点01求椭圆的标准方程 考点02椭圆定义的判断及应用 考点03椭圆的筒单性质 考点04椭圆的焦点三角形 考点05椭圆的轨迹方程 考点06椭圆的离心率问题 考点07直线与椭圆的位置关系 考点08椭圆的弦长问题 考点09椭圆的中点弦问题 考点10椭圆的范范围最值问题 考点11椭圆的定点问题 考点12椭圆的定值问題 考点13椭圆的定直线问题 考点01求椭圆的标准方程 1．过点，且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为 ． 【答案】 【详解】所求椭圆与椭圆的焦点相同， 其焦点在轴上，且， 设其标准方程为， ，且，①， 点在所求椭圆上， ②， 联立①②得，解得， 所求椭圆的标准方程为． 故答案为：． 2．已知椭圆的左､右两个焦点分别为，且焦距为是上一点，若，且，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由 在中，由余弦定理可得， 解得，又，所以. 故选:D. 3．求满足下列条件的椭圆的标准方程. (1)，，焦点在坐标轴上； (2)椭圆上一点P到其两焦点，的距离之和为10； (3)两个焦点坐标分别是，，并且经过点. 【答案】(1)或； (2)； (3). 【分析】 【详解】（1）因为，，所以. 若椭圆焦点在轴上，则椭圆方程为； 若椭圆焦点在轴上，则椭圆方程为. （2）由题意，椭圆焦点在轴上，可设椭圆方程为， 且，， 所以， 所以椭圆方程为：. （3）由题意，椭圆焦点在轴上，可设椭圆方程为，且， 又，故所求椭圆方程为. 4．平面内动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，点到两点，的距离之和为， 所以点的轨迹是以，为焦点的椭圆， 且，，， 所以点P的轨迹方程为. 故选：B 5．已知椭圆的左、右焦点分别为，下顶点为，过原点作于点，点到直线的距离为，则的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，因为， 所以，所以，又，所以， 所以，化简得，所以， 直线方程即，因为点到直线的距离为， 所以，所以，所以，所以椭圆的方程为. 故选：C 6．已知椭圆的长轴长是焦距的2倍，且点在椭圆上，则椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设半焦距为，则由题设有，故， 故椭圆方程为：， 又因为点在椭圆上，故，解得， 则. 所以椭圆标准方程为：. 故选：B. 考点02椭圆定义的判断及应用 7．如果椭圆上一点P与焦点的距离等于3，那么点P与另一个焦点的距离是（   ） A．5 B．13 C．1 D．3 【答案】A 【详解】由椭圆方程得，由椭圆的定义得， 则 故选：A 8．已知点在椭圆上，是的一个焦点，为的中点，，则 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】不妨设F为左焦点，设右焦点为，连接ON，，如图所示， 因为为的中点，O为的中点， 所以ON为中位线，即，则， 由椭圆的方程可得，解得， 由椭圆的定义可得， 所以. 故选：C 9．如果点在运动过程中，总满足关系式，那么点的轨迹为（    ） A．线段 B．射线 C．椭圆 D．双曲线 【答案】A 【详解】由点的运动轨迹方程为:， 表示点到点的距离之和为6，又， 所以的轨迹为线段， 故选：A. 10．设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（    ） A．9 B．18 C．20 D．36 【答案】B 【详解】∵，∴， 设，则， ∵，∴，∴， 即. 故选：B. 考点03椭圆的筒单性质 11．已知椭圆方程为，椭圆上的点到左焦点的距离最大值为3，最小值为1，则椭圆的短轴长是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得：， 解得：， 所以，则， 所以椭圆的短轴长是， 故选：D 12．已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为椭圆的长轴长是短轴长的3倍， 所以，得，又因为，所以， 可得，因此的离心率. 故选：C. 13．（多选）已知椭圆，下列结论不正确的是（    ） A．焦点坐标 B．长轴长为4 C．短轴长为1 D．焦距为 【答案】ACD 【详解】由，则，所以， 对于A，由椭圆方程焦点坐标为，故A错误； 对于B，长轴长为，故B正确； 对于C，短轴长为，故C错误； 对于D，焦距为，故D错误. 故选：ACD. 14．、若椭圆：的离心率是，则 . 【答案】7 【详解】由题意可得，，且，则， 因为椭圆的离心率为，所以，解得. 故答案为：7. 15．数学试卷（回忆版））已知椭圆与椭圆相交于、、、四点，且与和的四个焦点在同一个圆上，则 . 【答案】 【详解】因为两个椭圆的四个焦点在同一个圆上， 所以根据椭圆和的对称性可知，该圆的圆心为原点， 因此有， 且两个椭圆的半焦距为， 因此该圆的方程为， 又因为、、、四点与和的四个焦点在同一个圆上， 所以由椭圆和圆的对称性可知，这四个点也在圆上， 由，代入椭圆中， 得，又，故， 故答案为： 16．已知椭圆：左焦点为，椭圆上顶点为，右顶点为，则的面积为 . 【答案】/ 【详解】由， 所以， 所以的面积为， 故答案为： 考点04椭圆的焦点三角形 17．已知，是椭圆：的两个焦点，为上一点，且的内切圆半径为，若在第一象限，则点的纵坐标为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【详解】由题知，， 所以. 设的内切圆半径为，因为（根据面积相等列出方程）， 所以，得. 故选：B 18．已知为椭圆上一点，分别是椭圆的左、右焦点．的面积为，则的纵坐标的绝对值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，设的纵坐标的绝对值为， 因为，且的面积为，则. 所以. 故选：B. 19．已知是椭圆的左、右焦点，点P在C上，且线段的中点在以为直径的圆上，则三角形的面积为（    ） A． B． C．4 D．6 【答案】A 【详解】由已知椭圆的长轴长，短轴长，焦距， 所以， 设的中点为， 则， 于是， 又，则为正三角形，即. 故选：A. 20．已知，为椭圆的两个焦点，若上一点满足，则面积为 ． 【答案】2025 【详解】因为，所以椭圆的焦点在轴上，设焦距为， 由定义可得，因为，由勾股定理可得, 即， 所以， 所以面积为. 故答案为：2025 21．已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率，点为该椭圆上一点，且满足，若的内切圆的面积为，则的外接圆的面积为 . 【答案】 【详解】由，得，即. 设的内切圆半径为，则由的内切圆的面积为， 可得其内切圆的半径. 在中，根据椭圆的定义，又， 由余弦定理得 ， 解得， 所以 即.又，得，故， 由正弦定理知的外接圆半径为， 所以的外接圆的面积为. 故答案为：. 22．椭圆左右焦点为，，椭圆上点满足，则 ． 【答案】/ 【分析】 【详解】因为椭圆，所以，点在椭圆上，所以， 又，所以， 在中，，， 故答案为： 23．已知椭圆上的点到其焦点的距离的最大值为，最小值为． (1)求椭圆的方程； (2)设P为椭圆上一点，且，求焦点三角形的周长和面积． 【答案】(1)； (2)周长为，面积为 【分析】 【详解】（1）椭圆上的点到其焦点的距离的最大值为，最小值为， ，解得， ，， 椭圆的方程为． （2） ，， 又P为椭圆上一点，， 焦点三角形的周长； 在△中，由余弦定理得， 即①， ， ②， ②减①得，故， 三角形的面积． 考点05椭圆的轨迹方程 24．一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设圆圆心为，半径为， 圆圆心为，半径为，动圆圆心为，半径为 则， 由圆与圆外切可得， 由圆与圆内切可得， 所以，所以点的轨迹是以为焦点的椭圆， 设为 则，所以， 所以轨迹方程为， 故选：B. 25．一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹是（   ） A．椭圆 B．双曲线的一支 C．抛物线 D．圆 【答案】A 【详解】如图， 设动圆的圆心为P，半径为r，如图， 因圆与圆外切，则， 圆，即， 因与圆内切，则， 又，因，所以点P在以，为焦点的椭圆上. 故选：A. 26．已知圆C的方程为，直线l为圆C的切线，记，两点到直线l的距离分别为，，动点P满足，，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，分别过点做直线的垂线，垂足分别为， 则，切点为, ，，是中点， 是梯形的中位线，， 又圆C的方程为，， ，， 即，动点的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆， 设该椭圆的方程为， 则， ， 动点的轨迹方程为. 故选：A 27．在平面直角坐标系中，点在轴上运动，点在轴上运动，，且满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题，设， 因为，所以， 因为，， 所以，即，代入得. 所以点的轨迹方程为. 故选：D 28．已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段为垂足，点在的延长线上，且，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为点在的延长线上，且，所以为的中点， 设，则，由中点坐标公式得， 因为点在曲线，所以， 即点的轨迹方程为. 故选：D      29．已知圆的方程为，直线为圆的切线，记两点到直线的距离分别为，动点满足，则动点的轨迹方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，分别过点作直线的垂线，垂足分别为， 则，，切点为， 因为，所以是的中点， 所以是梯形的中位线，所以． 又因为圆的方程为，所以，所以， 即，所以动点的轨迹是以为焦点的椭圆， 设椭圆的方程为 ， 则，所以， 所以动点的轨迹方程为＝1． 故选：B. 考点06椭圆的离心率问题 30．已知椭圆的左、右焦点分别为，．记以为直径的圆与椭圆在第一象限的交点为，若，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，则，由椭圆的定义，得， 因为以为直径的圆与椭圆在第一象限的交点为，所以， 在中，，即， 所以离心率， 故选：A． 31．已知椭圆的左､右焦点分别为，过的直线与椭圆交于两点，与轴交于点.若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，由于与等高，， 所以， 又，，∴， 又，∴， 在中，， ∵， ， 在中，， 化简可得，解得， 故选：D 32．已知椭圆的上焦点为，右顶点为B，斜率为的直线l交椭圆于，两点，若恰好为的重心，则椭圆的离心率为（ ） A．或 B． C．1 D． 【答案】D 【详解】延长交于点M，所以点M为的中点，设. 因为，点为的重心， 所以即，所以. 因为点在椭圆上， 所以，两式相减得，即， 整理得. 因为，所以，即， 所以，解得或. 又因为，所以，，所以. 故选：D. 33．已知椭圆，该椭圆上一点到直线距离的最大值为，则该椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设椭圆上一点， 则点到直线的距离为，其中满足， 因为，所以，所以（负值舍去）， 所以 所以椭圆的离心率为， 故选：C 34．已知是椭圆的焦点，，分别是上第二、四象限上的点．若四边形为矩形，则的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图： 取椭圆的上顶点，因为存在，分别是上第二、四象限上的点，使得四边形为矩形，所以必有. 即. 所以. 所以，又椭圆的离心率， 所以. 故选：D 35．已知点，为椭圆的左、右焦点，点P为该椭圆上一点，且满足，若的外接圆面积是其内切圆面积的9倍，则该椭圆的离心率为 【答案】/ 【详解】根据题意画出图象如下图所示： 利用椭圆定义可知，且； 又，利用余弦定理可知： ， 化简可得； 所以的面积为； 设的外接圆半径为，内切圆半径为； 由正弦定理可得，可得； 易知的周长为， 利用等面积法可知，解得； 又的外接圆面积是其内切圆面积的9倍，即， 所以，即可得，所以； 离心率. 故答案为：. 36．已知椭圆，、分别为椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在一点，使得，则该椭圆离心率的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由椭圆焦点三角形的性质可得，， 所以， 即. 又椭圆的离心率，所以. 故答案为： 考点07直线与椭圆的位置关系 37．直线与椭圆的交点个数为（ ） A．1 B．2 C．1或2 D．无法确定 【答案】C 【详解】由直线的方程，得， 因为，所以，即直线过定点. 又因为，所以此定点在椭圆上，所以直线与椭圆有1个或2个交点. 故选：C. 38．直线与椭圆的位置关系为（    ） A．与k的值有关 B．相切 C．相离 D．相交 【答案】D 【详解】设椭圆上的点为，则，， 而直线恒过定点，则该定点在椭圆的内部， 可得不论k为何值，直线与椭圆都相交，故D正确. 故选：D 39．已知是椭圆上一点，是直线上一点，则的最小值为 . 【答案】/ 【详解】求椭圆上的点到直线的最小距离，即求直线与平行于的椭圆切线之间的距离的最小值， 设与直线l平行且与椭圆C相切的直线为， 联立，得， 判别式，解得， 当时，切线为，与直线l的距离， 当时，切线为，与直线l的距离. 所以的最小值为. 故答案为： 40．若过点的任意直线均与椭圆相交，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】若过点的任意直线都与椭圆相交（非相切）， 说明点P必须在椭圆内部，得到，解得． 故答案为： 41．已知椭圆：的离心率为，为椭圆上一点 (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆有且只有一个公共点，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由题意可得，  则， 得椭圆方程为. （2）根据题意，联立，消去得， ， 得， 即. 考点08椭圆的弦长问题 42．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为.过点的直线与椭圆交于两点.当轴时，. (1)求椭圆C的方程； (2)设，当面积为时，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】 【详解】（1） 离心率，， 又，即，则， 椭圆：可化为， 当轴时，，，， 点在椭圆上，，将代入，得，， ，，椭圆C的方程为； （2） 由（1）知，设，， 当直线的斜率不存在时，，， 此时三点共线，不能构成三角形，故不满足题意； 当直线的斜率存在时，设， 联立直线与椭圆的方程，消去，得， 则，， ， 又点到直线的距离， ， 化简得，解得或（舍），则， 经检验符合题意. 直线的方程为或. 43．已知椭圆C的方程为（）上顶点为，离心率为. (1)求椭圆C的方程； (2)若斜率为2的直线l经过椭圆C的左焦点，且与椭圆C相交于M，N两点，求的长. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由题意，且，，得， 因此椭圆的方程为. （2）设椭圆左焦点为，直线的方程为，，， 联立直线方程与椭圆方程， 可得，解得：，. 所以 44．已知椭圆：的离心率为，焦距为2. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线：与椭圆相交于A，B两点，且.求弦长. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）∵椭圆：的离心率为，故， 又焦距为，故，即有，，则， ∴椭圆的方程为； （2）联立，消去整理得， 由，则， 设，，则，， 故， 则， 化简得，即，满足， 故. 45．已知椭圆的右焦点为，离心率为． (1)求的方程； (2)过点且斜率为的直线与交于两点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）设的半焦距为．由的右焦点为，得． 由的离心率为，得，所以． 所以， 所以椭圆的方程为． （2）设． 由题意可知直线的方程为，即， 与联立，得，解得． 因为，所以点在椭圆内. 所以，即的面积为． 46．已知和为椭圆上两点． (1)求C的标准方程； (2)若过点A的直线l交C于另一点B，的面积为24，且的外接圆圆心在y轴上，求直线l的方程； 【答案】(1) (2)直线l的方程为 【分析】 【详解】（1）将和代入椭圆方程可得，解， 所以C的标准方程为. （2）由题意，则AP的垂直平分线的斜率， 由的中点坐标为，即为， 所以AP的垂直平分线方程为，即， 令，可得，即的外接圆圆心为， 所以的外接圆的半径， 设点B坐标为，由题意得， 所以，解得或4， 当时，代入可得或6（舍，与P点重合），则， 当时，代入可得或2（舍，与A点重合），则， 当时，的面积，不符合题意，故舍去； 当时，的面积，符合题意， 所以，所以直线l的方程为，即. 47．椭圆的右焦点为、右顶点为，上顶点为，且满足． (1)求椭圆的离心率； (2)直线与椭圆有唯一公共点，与轴相交于异于记为坐标原点，若，且的面积为，求椭圆的标准方程． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1），， 由得，化简得， 所以椭圆的离心率. （2）由（1）可设椭圆的方程为， 易知直线的斜率存在，设直线的方程为， 联立得， 由，① ，， 由可得，② 由可得，③ 联立①②③可得，，， 故椭圆的标准方程为． 考点09椭圆的中点弦问题 48．已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于，两点，若的中点坐标为，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，代入椭圆方程可得：， 两式作差可得：(*)， 又的中点坐标为，所以，， 由(*)式可得， 又直线的斜率即直线的斜率，， 所以，而， 联立解得，，故椭圆的方程为：. 故选：A．    49．椭圆中，以点为中点的弦所在直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，可知点在椭圆内， 则过点的直线与椭圆必相交，设交点为，， 则点，即， 可知直线的斜率为，直线的斜率为， 由题意可得，两式作差可得， 整理可得，即，解得， 所以以点为中点的弦所在直线的斜率为. 故选：B. 50．已知椭圆，过点的直线交椭圆于A，B两点，且P为线段的中点，则直线的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】椭圆，由，得点在椭圆内， 设，则， 两式相减得，而， 因此，即直线的斜率为， 所以直线的方程为，即． 故选：A 51．直线椭圆相交于两点，则弦的中点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】把直线代入椭圆的方程， 消去x，化简可得，设， 则有，故线段AB的中点的纵坐标是， 把代入直线可得， 故线段AB的中点坐标是. 故选：A. 52．已知中心在原点，焦点坐标为的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为，则该椭圆的方程为 ． 【答案】 【详解】由题意设椭圆的标准方程为， 联立，消元得， 设两个交点分别为，，则弦中点横坐标为， 则结合韦达定理得，即①， 因为焦点，所以有②， 由①②得， 所以椭圆方程为， 故答案为： 53．已知椭圆的长轴长为6，是上的一点． (1)求的离心率； (2)若直线与交于两点，且弦的中点为，求的斜率． 【答案】(1) (2)2 【分析】 【详解】（1）由题可知， 解得， 则的离心率. （2）由（1）可知的方程为， 设， 则， 则， 整理得. 因为弦的中点为，所以， 则的斜率. 考点10椭圆的范围最值问题 54．已知是椭圆上的两点，且线段的垂直平分线为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知，设直线. ，得. 则. 所以线段中点的横坐标为，纵坐标为. 因为线段的中点在直线上，，解得. 所以，解得． 方法二：由题意知，设． ∵线段的垂直平分线为. 设线段的中点为，则点在直线上，即. 因为是椭圆上的点，所以. 两式相减，得，即. 由中点坐标公式得，可得， 所以.代入，得. 因为是椭圆上的点，所以线段的中点在椭圆内部， 所以，即，解得． 故选：C. 55．已知椭圆的左、右焦点分别为，点在上且位于第一象限，直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】椭圆的焦点，设， 直线的方程为：，由消去， 得，则，同理， 因此. ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为. 故选：C. 56．椭圆的长轴的顶点为，动点在椭圆内，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由椭圆，得，解得，所以，， 设，则，所以， 由，得， 两边平方得， 所以， 所以，即， 所以点的轨迹方程为， 又因为动点在椭圆内，所以，即， 故． 故答案为：． 57．（多选）椭圆的两个焦点分别为，则下列说法正确的是（   ） A．若椭圆焦点在轴上，且离心率为，则 B．若,点为上一点，则面积的最大值为 C．若直线与恒有公共点，则的取值范围为 D．若以线段为直径的圆与椭圆有四个交点，则的取值范围是 【答案】BD 【详解】对于A，因为椭圆焦点在轴上，所以离心率，且，解得，故A错误； 对于B，若,则，则， 当点为椭圆的上顶点或下顶点时，面积最大，，故B正确； 对于C，直线即过定点， 因为直线与椭圆恒有公共点，所以点在椭圆内部或椭圆上， 则，解得或， 又因为且，所以的取值范围为，故C错误； 对于D，以线段为直径的圆半径为， 当椭圆焦点在轴上时，，因为圆与椭圆有四个交点，所以，且，解得； 当椭圆焦点在轴上时，，因为圆与椭圆有四个交点，所以，且，解得. 综上，的取值范围是，故D正确. 故选：BD. 58．已知椭圆：（）的右顶点为，离心率为，左、右焦点分别为、，为椭圆上不同于左、右顶点的任意一点. (1)求椭圆的方程； (2)求的取值范围. 【答案】(1)椭圆：； (2). 【分析】 【详解】（1）设椭圆焦距为，由题意可得， 所以椭圆：； （2）由题可设，则由（1），， 所以.    考点11椭圆的定点问题 59．已知椭圆，过点的两条弦相互垂直，若，，求证直线过定点．    【答案】证明见解析 【详解】因为，， 所以分别为的中点， 由题意可知直线斜率存在且不为0 ，设， 则直线的方程为：，代入椭圆方程中得： ， 由， 令，所以有， 所以， 即，因为，所以直线的斜率为， 同理可得：，即， 所以， 所以直线的方程为：， 即，当时，， 所以直线过点. 60．已知椭圆的右焦点为，过的直线与E交于两点．当A为E的上顶点时，． (1)求E的方程； (2)过点A作的垂线，垂足为M．证明：直线过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）记的半焦距为，由右焦点为可得：，而， 故，于是的方程为. （2）如图： 不妨设，， 设，联立， 有，可得，， 即 易知，直线的斜率为， 故直线的方程可表示为 当时，显然， 故 ， 所以直线过定点 而当斜率为0时，直线就是轴，也过点 综上，直线过定点. 61．已知椭圆：经过点，离心率是． (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆交于，两点两点均不在轴上，且以为直径的圆过椭圆右顶点，求证：直线恒过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）由题意得，解得， 所以椭圆的方程为． （2）设，， 当直线斜率不存在时，设直线方程为，则，， 由以为直径的圆过椭圆右顶点，可得， 也即，解得或舍去． 当斜率存在时，设直线方程为，联立， 整理得，可得 由以为直径的圆过椭圆右顶点，可得， 所以，即， 整理得， 将式代入上式得：， 整理得，可得或， 当时，直线方程为，此时直线过定点，不符合题意，舍去， 当时，直线方程为，此时直线过定点，符合题意． 综上，直线恒过定点． 62．已知椭圆 经过点 . (1)求椭圆 的方程及离心率； (2)设椭圆 的左顶点为 ，直线 与 相交于 两点，直线 与直线 相交于点 . 问: 直线 是否过定点? 若过定点，求出该点坐标; 若不过定点， 说明理由. 【答案】(1); (2)直线过定点 【分析】 【详解】（1）因为椭圆经过点， 所以，解得， 所以椭圆E的方程为， 因为所以， 所以离心率为. （2）直线过定点，理由如下： 由可得， 显然， 设则有 直线的方程为 令，解得，则， 所以直线的斜率为且， 所以直线的方程为 令，则 所以直线过定点. 63．已知椭圆的离心率，左､右焦点分别为，双曲线的焦点恰好是该椭圆的一个顶点. (1)求椭圆的方程； (2)已知圆的切线与椭圆相交于两点，那么以为直径的圆是否通过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)是， 【分析】 【详解】（1）因为椭圆的离心率，所以，即. 因为双曲线的焦点恰好是该椭圆的一个顶点，所以， 所以.所以椭圆的方程为. （2）若直线的斜率存在，故设直线的方程为， 由，消去，得， 所以设， 则， 所以. 所以.① 因为直线和圆相切，所以圆心到直线的距离， 整理得，② 将②代入①，得，显然以为直径的圆经过定点； 若直线斜率不存在，故其切线为，在这先讨论， 则，可得，， 所以可得此时以为直径的圆为， 即，显然也过原点； 同理可得当时也过原点； 综上可知，以为直径的圆过定点. 考点12椭圆的定值问題 64．椭圆的离心率为，左右顶点分别为，，上下顶点分别为，，四边形是边长为的菱形． (1)求椭圆C的方程； (2)已知A是椭圆C在第一象限上的点，B与A关于原点对称，为椭圆C的右焦点，连接与，并延长交椭圆C于D，E两点，若直线AB的斜率为，直线DE的斜率为，试探究是否为定值．若是，则求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)是定值，． 【分析】 【详解】（1）由可得 又由题意，， 联立两式，解得 所以椭圆C的方程为． （2） 设，则，，， 则，． 则直线与椭圆方程联立， 消去可得：， 即． 显然,， 所以，． 所以，同理可得． 所以． 所以． 65．已知椭圆过点，左焦点为. (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆相交于两点，线段的中点为，点在椭圆上，满足（为坐标原点），求证：的面积为定值，并求出该定值. 【答案】(1) (2)证明见解析，定值为 【分析】 【详解】（1）由题意知：，解得：，， 椭圆的方程为：. （2） 设，，， 由得：， ，，， ，，即； ，， 在椭圆上，，； ， 原点到直线的距离， ， 的面积为定值，定值为. 66．已知椭圆的两个焦点为，点在椭圆上. (1)求椭圆的标准方程； (2)若过点的直线与椭圆交于两点，求证：的内心在一条定直线上. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）因为椭圆两个焦点为，所以，则， 又点在椭圆上，所以，即， 两式联立，解得，所以椭圆的标准方程为. （2）由题意可知直线的斜率存在，且不为0，设直线的方程为， 联立，得， 则，得， 设，则， 设直线的斜率分别为. 所以， 因为， 所以恒成立，则直线的倾斜角互补，即的平分线总垂直于轴， 所以的内心在定直线上. 67．已知动点到定点的距离和它到定直线距离的比是常数． (1)求动点的轨迹； (2)已知不过原点的直线与曲线交于、两点，若直线，直线，直线的斜率成等比数列． ①求直线的斜率； ②记以为直径的圆的面积分别为，试探究是否为定值，若是，求出此值；若不是，说明理由． 【答案】(1)曲线的方程为：，曲线的轨迹是焦点在轴上的椭圆. (2)①；②是，． 【分析】 【详解】（1）由题意： . 所以曲线的方程为：． 所以曲线的轨迹是焦点在轴上的椭圆. （2）①设直线方程为，，，， 如图： 由得， ， 所以，. 因为，，且成等比数列，， ， 又，所以，解得． ②， ， 为定值． 考点13椭圆的定直线问题 68．已知椭圆C：（）的右焦点为，点在C上，直线l经过F且与C交于两点（不在x轴上）. (1)求C的方程； (2)若直线l的斜率为，求； (3)设分别为C的左，右顶点，直线与交于点T.证明：点T在定直线上. 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【分析】 【详解】（1）点在C上得：， 右焦点为得：，联立解得：， 所以椭圆方程为； （2）直线l经过F且斜率为，则直线方程为，与椭圆联立， 消得：， 设交点，则， 由弦长公式可得：； （3）    设直线l方程为，与椭圆联立， 消得：， 设交点，则， 由分别为C的左，右顶点，则， 所以直线方程为：，直线方程为：， 两式消得：， 整理得： 由可得：， 所以有， 即点T在定直线上. 69．动点与定点的距离和点到定直线的距离的比是常数，记点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)记的左焦点为，过点且不与轴重合的直线与交于两点，证明：直线关于直线对称． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）设点到定直线的距离为d，定点， 则由题，即，化简得， 所以曲线的方程为. （2） 由（1）得，易知直线的斜率存在且不为0， 设，， 由得， 由，得 所以，则， 把，代入，得， 把，，代入，得，不满足， 所以， 则， 所以直线关于直线对称. 70．已知椭圆的长轴长为，且. (1)求椭圆的方程和离心率； (2)椭圆的左、右顶点分别为，，经过点的直线与椭圆相交于不同的两点，（不与点，重合）.直线与直线相交于点，求证：，，三点共线. 【答案】(1)，； (2)证明见解析. 【分析】 【详解】（1）已知椭圆长轴长为，得， 因为，所以， 因此，椭圆方程为， 由，得离心率； （2）设直线的方程为，如下图所示： 联立，消去得， 由韦达定理得， 直线的方程为，令，得， 要证三点共线，只需证， 因为，所以需证，即证， 将代入，化简得， 即，整理为， 代入韦达定理结果：左边，右边，等式成立，故三点共线. 71．如图1，圆C：，点，P是圆C上任意一点，线段AP的垂直平分线和直线CP相交于点Q.当点P在圆上运动时，点Q的轨迹为E.    (1)求轨迹E的方程； (2)过点C且与x轴不重合的直线l与E相交于M，N两点.设点，记直线BM，BN的斜率分别为，，求的值； (3)过点作直线l交E于G，H两点（G在上方），设点，，若直线GS与HR相交于点T，证明：动点T在某定直线上. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】 【详解】（1）连接QA，由已知得.所以. 又因为点A在圆内，所以，根据椭圆的定义，点Q的轨迹是以C，A为焦点，2为长轴长的椭圆.      （2）由，，设直线MN的方程为，，， 联立方程得，   ， 由韦达定理得，， 则 . （3）设直线l的方程为，，， 将椭圆方程与直线方程联立可得， 时，， ，， 所以， ∴：，：， ∴，整理得， 所以动点T在定直线上.    72．已知椭圆过点，且的右焦点为. (1)求的方程； (2)设过点的一条直线与交于两点，且与线段交于点.证明：直线平分. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】 【详解】（1）由椭圆过点，且的右焦点为， 所以，再由椭圆的几何性质可知， 代入上式得，，， 解得或（舍去），所以. 所以的方程为. （2）因为椭圆的长轴右端点横坐标为，且直线与交于两点，记点为， 所以的斜率一定存在，设的方程为，. 代入的方程有：， 其中，所以， 且. 若直线平分，且易知轴，故只需满足直线与的斜率之和为0. 设的斜率分别为，如图： . 即，所以直线平分. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 椭圆的方程13大考点 考点01求椭圆的标准方程 考点02椭圆定义的判断及应用 考点03椭圆的筒单性质 考点04椭圆的焦点三角形 考点05椭圆的轨迹方程 考点06椭圆的离心率问题 考点07直线与椭圆的位置关系 考点08椭圆的弦长问题 考点09椭圆的中点弦问题 考点10椭圆的范范围最值问题 考点11椭圆的定点问题 考点12椭圆的定值问題 考点13椭圆的定直线问题 考点01求椭圆的标准方程 1．过点，且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为 ． 2．已知椭圆的左､右两个焦点分别为，且焦距为是上一点，若，且，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 3．求满足下列条件的椭圆的标准方程. (1)，，焦点在坐标轴上； (2)椭圆上一点P到其两焦点，的距离之和为10； (3)两个焦点坐标分别是，，并且经过点. 4．平面内动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 5．已知椭圆的左、右焦点分别为，下顶点为，过原点作于点，点到直线的距离为，则的方程为（　　） A． B． C． D． 6．已知椭圆的长轴长是焦距的2倍，且点在椭圆上，则椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 考点02椭圆定义的判断及应用 7．如果椭圆上一点P与焦点的距离等于3，那么点P与另一个焦点的距离是（   ） A．5 B．13 C．1 D．3 8．已知点在椭圆上，是的一个焦点，为的中点，，则 （   ） A． B． C． D． 9．如果点在运动过程中，总满足关系式，那么点的轨迹为（    ） A．线段 B．射线 C．椭圆 D．双曲线 10．设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（    ） A．9 B．18 C．20 D．36 考点03椭圆的筒单性质 11．已知椭圆方程为，椭圆上的点到左焦点的距离最大值为3，最小值为1，则椭圆的短轴长是（    ） A． B．2 C． D． 12．已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 13．（多选）已知椭圆，下列结论不正确的是（    ） A．焦点坐标 B．长轴长为4 C．短轴长为1 D．焦距为 14．、若椭圆：的离心率是，则 . 15．数学试卷（回忆版））已知椭圆与椭圆相交于、、、四点，且与和的四个焦点在同一个圆上，则 . 16．已知椭圆：左焦点为，椭圆上顶点为，右顶点为，则的面积为 . 考点04椭圆的焦点三角形 17．已知，是椭圆：的两个焦点，为上一点，且的内切圆半径为，若在第一象限，则点的纵坐标为（    ） A． B．1 C． D． 18．已知为椭圆上一点，分别是椭圆的左、右焦点．的面积为，则的纵坐标的绝对值为（    ） A． B． C． D． 19．已知是椭圆的左、右焦点，点P在C上，且线段的中点在以为直径的圆上，则三角形的面积为（    ） A． B． C．4 D．6 20．已知，为椭圆的两个焦点，若上一点满足，则面积为 ． 21．已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率，点为该椭圆上一点，且满足，若的内切圆的面积为，则的外接圆的面积为 . 22．椭圆左右焦点为，，椭圆上点满足，则 ． 23．已知椭圆上的点到其焦点的距离的最大值为，最小值为． (1)求椭圆的方程； (2)设P为椭圆上一点，且，求焦点三角形的周长和面积． 考点05椭圆的轨迹方程 24．一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 25．一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹是（   ） A．椭圆 B．双曲线的一支 C．抛物线 D．圆 26．已知圆C的方程为，直线l为圆C的切线，记，两点到直线l的距离分别为，，动点P满足，，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 27．在平面直角坐标系中，点在轴上运动，点在轴上运动，，且满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 28．已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段为垂足，点在的延长线上，且，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 29．已知圆的方程为，直线为圆的切线，记两点到直线的距离分别为，动点满足，则动点的轨迹方程为（　　） A． B． C． D． 考点06椭圆的离心率问题 30．已知椭圆的左、右焦点分别为，．记以为直径的圆与椭圆在第一象限的交点为，若，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 31．已知椭圆的左､右焦点分别为，过的直线与椭圆交于两点，与轴交于点.若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 32．已知椭圆的上焦点为，右顶点为B，斜率为的直线l交椭圆于，两点，若恰好为的重心，则椭圆的离心率为（ ） A．或 B． C．1 D． 33．已知椭圆，该椭圆上一点到直线距离的最大值为，则该椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 34．已知是椭圆的焦点，，分别是上第二、四象限上的点．若四边形为矩形，则的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 35．已知点，为椭圆的左、右焦点，点P为该椭圆上一点，且满足，若的外接圆面积是其内切圆面积的9倍，则该椭圆的离心率为 36．已知椭圆，、分别为椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在一点，使得，则该椭圆离心率的取值范围为 ． 考点07直线与椭圆的位置关系 37．直线与椭圆的交点个数为（ ） A．1 B．2 C．1或2 D．无法确定 38．直线与椭圆的位置关系为（    ） A．与k的值有关 B．相切 C．相离 D．相交 39．已知是椭圆上一点，是直线上一点，则的最小值为 . 40．若过点的任意直线均与椭圆相交，则实数的取值范围是 ． 41．已知椭圆：的离心率为，为椭圆上一点 (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆有且只有一个公共点，求的值. 考点08椭圆的弦长问题 42．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为.过点的直线与椭圆交于两点.当轴时，. (1)求椭圆C的方程； (2)设，当面积为时，求直线的方程. 43．已知椭圆C的方程为（）上顶点为，离心率为. (1)求椭圆C的方程； (2)若斜率为2的直线l经过椭圆C的左焦点，且与椭圆C相交于M，N两点，求的长. 44．已知椭圆：的离心率为，焦距为2. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线：与椭圆相交于A，B两点，且.求弦长. 45．已知椭圆的右焦点为，离心率为． (1)求的方程； (2)过点且斜率为的直线与交于两点，求的面积． 46．已知和为椭圆上两点． (1)求C的标准方程； (2)若过点A的直线l交C于另一点B，的面积为24，且的外接圆圆心在y轴上，求直线l的方程； 47．椭圆的右焦点为、右顶点为，上顶点为，且满足． (1)求椭圆的离心率； (2)直线与椭圆有唯一公共点，与轴相交于异于记为坐标原点，若，且的面积为，求椭圆的标准方程． 考点09椭圆的中点弦问题 48．已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于，两点，若的中点坐标为，则的方程为（   ） A． B． C． D． 49．椭圆中，以点为中点的弦所在直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 50．已知椭圆，过点的直线交椭圆于A，B两点，且P为线段的中点，则直线的方程为（ ） A． B． C． D． 51．直线椭圆相交于两点，则弦的中点坐标为（   ） A． B． C． D． 52．已知中心在原点，焦点坐标为的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为，则该椭圆的方程为 ． 53．已知椭圆的长轴长为6，是上的一点． (1)求的离心率； (2)若直线与交于两点，且弦的中点为，求的斜率． 考点10椭圆的范围最值问题 54．已知是椭圆上的两点，且线段的垂直平分线为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 55．已知椭圆的左、右焦点分别为，点在上且位于第一象限，直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 56．椭圆的长轴的顶点为，动点在椭圆内，且，则的取值范围是 ． 57．（多选）椭圆的两个焦点分别为，则下列说法正确的是（   ） A．若椭圆焦点在轴上，且离心率为，则 B．若,点为上一点，则面积的最大值为 C．若直线与恒有公共点，则的取值范围为 D．若以线段为直径的圆与椭圆有四个交点，则的取值范围是 58．已知椭圆：（）的右顶点为，离心率为，左、右焦点分别为、，为椭圆上不同于左、右顶点的任意一点. (1)求椭圆的方程； (2)求的取值范围. 考点11椭圆的定点问题 59．已知椭圆，过点的两条弦相互垂直，若，，求证直线过定点．    60．已知椭圆的右焦点为，过的直线与E交于两点．当A为E的上顶点时，． (1)求E的方程； (2)过点A作的垂线，垂足为M．证明：直线过定点． 61．已知椭圆：经过点，离心率是． (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆交于，两点两点均不在轴上，且以为直径的圆过椭圆右顶点，求证：直线恒过定点． 62．已知椭圆 经过点 . (1)求椭圆 的方程及离心率； (2)设椭圆 的左顶点为 ，直线 与 相交于 两点，直线 与直线 相交于点 . 问: 直线 是否过定点? 若过定点，求出该点坐标; 若不过定点， 说明理由. 63．已知椭圆的离心率，左､右焦点分别为，双曲线的焦点恰好是该椭圆的一个顶点. (1)求椭圆的方程； (2)已知圆的切线与椭圆相交于两点，那么以为直径的圆是否通过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由. 考点12椭圆的定值问題 64．椭圆的离心率为，左右顶点分别为，，上下顶点分别为，，四边形是边长为的菱形． (1)求椭圆C的方程； (2)已知A是椭圆C在第一象限上的点，B与A关于原点对称，为椭圆C的右焦点，连接与，并延长交椭圆C于D，E两点，若直线AB的斜率为，直线DE的斜率为，试探究是否为定值．若是，则求出这个定值；若不是，请说明理由． 65．已知椭圆过点，左焦点为. (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆相交于两点，线段的中点为，点在椭圆上，满足（为坐标原点），求证：的面积为定值，并求出该定值. 66．已知椭圆的两个焦点为，点在椭圆上. (1)求椭圆的标准方程； (2)若过点的直线与椭圆交于两点，求证：的内心在一条定直线上. 67．已知动点到定点的距离和它到定直线距离的比是常数． (1)求动点的轨迹； (2)已知不过原点的直线与曲线交于、两点，若直线，直线，直线的斜率成等比数列． ①求直线的斜率； ②记以为直径的圆的面积分别为，试探究是否为定值，若是，求出此值；若不是，说明理由． 考点13椭圆的定直线问题 68．已知椭圆C：（）的右焦点为，点在C上，直线l经过F且与C交于两点（不在x轴上）. (1)求C的方程； (2)若直线l的斜率为，求； (3)设分别为C的左，右顶点，直线与交于点T.证明：点T在定直线上. 69．动点与定点的距离和点到定直线的距离的比是常数，记点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)记的左焦点为，过点且不与轴重合的直线与交于两点，证明：直线关于直线对称． 70．已知椭圆的长轴长为，且. (1)求椭圆的方程和离心率； (2)椭圆的左、右顶点分别为，，经过点的直线与椭圆相交于不同的两点，（不与点，重合）.直线与直线相交于点，求证：，，三点共线. 71．如图1，圆C：，点，P是圆C上任意一点，线段AP的垂直平分线和直线CP相交于点Q.当点P在圆上运动时，点Q的轨迹为E.    (1)求轨迹E的方程； (2)过点C且与x轴不重合的直线l与E相交于M，N两点.设点，记直线BM，BN的斜率分别为，，求的值； (3)过点作直线l交E于G，H两点（G在上方），设点，，若直线GS与HR相交于点T，证明：动点T在某定直线上. 72．已知椭圆过点，且的右焦点为. (1)求的方程； (2)设过点的一条直线与交于两点，且与线段交于点.证明：直线平分. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $