专题04 圆的方程9大考点（高效培优期末专项训练）高二数学上学期人教B版2019

专题04 圆的方程9大考点 考点01求圆的方程 考点02由圆的方程确定圆心和半径 考点03点与圆的位置关系 考点04直线与圆的位置关系 考点05圆与圆的位置关系 考点06圆的切线问题 考点07圆的弦长问题 考点08圆内三角形面积问题 考点09圆的最值问题 考点01求圆的方程 1．设点，，则以线段为直径的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 2．已知圆过点，，，则其标准方程为 ． 3．圆心在轴，且经过点和的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 4．圆关于直线对称的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 5．圆关于原点对称的圆的方程为 ． 6．已知的三个顶点是，，． (1)求边上的中线所在直线的方程； (2)求外接圆的方程，并求出圆心和半径． 考点02由圆的方程确定圆心和半径 7．“”是“圆：的直径为4”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．若直线始终平分圆的周长，则的值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 9．已知直线过圆的圆心，且与直线垂直，则的方程为（ ） A． B． C． D． 10．已知圆，当圆心到原点的距离最小时，圆的面积为（ ） A． B． C． D． 11．圆的方程是，其中．下列何者正确？（　　） I．的圆心的坐标是（2k，2k）． II．的面积是． III．原点位于内． A．只有II B．只有III C．只有I及II D．只有II及III 12．已知二次方程. (1)当为何值时，方程表示圆？ (2)当为何值时，方程表示的圆的面积最大，并求出面积最大时圆的标准方程. 考点03点与圆的位置关系 13．设，若直线与圆相交，则点与圆的位置关系是（    ） A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．不能确定 14．若四点，，，在同一个圆上，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 15．给出以下五个点的坐标：①；②；③；④；⑤以上各点在圆上的是 （写出所有可能的序号）. 16．若点在圆的外部，则实数m的取值范围 17．已知点，，圆：，若圆上存在点，使得为锐角，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 考点04直线与圆的位置关系 18．已知点在圆内，则直线与圆（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上均有可能 19．已知点，直线：，当，在变化时，点到直线的距离的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 20．已知点，圆，以为直径的圆与圆相交于，两点，则直线与圆的位置关系为（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．不确定 21．已知圆上到直线的距离为2的点有且仅有2个，则的取值范围是 ． 22．已知点，，若直线上存在点C，使得，则实数k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 23．（多选）关于的方程有唯一解，则的取值可能是（    ） A． B．1 C． D．5 24．已知直线和圆. (1)证明：直线恒过定点；判断直线与圆的位置关系； (2)是否存在实数使得圆上恰有三点到直线的距离为1？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 考点05圆与圆的位置关系 25．圆与圆的位置关系为 . 26．已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是（   ） A．相离 B．内切 C．相交 D．外切 27．已知两圆的方程，，则它们的公切线的条数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 28．已知圆与圆内切，则的最大值为（   ） A．1 B． C．2 D． 29．已知圆上总存在两个点到原点的距离为2，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 30．已知圆：与圆：有3条公切线，则实数的取值是 . 31．已知圆. (1)若直线过点，且与圆C相切，求直线的方程； (2)若圆D的半径为1，圆心在直线上，且与圆外切，求圆D的方程. 考点06圆的切线问题 32．若直线与圆相切于点，则的值为（    ） A．-4 B．-2 C．2 D．4 33．过原点作圆的切线，切点为，则切线的长为（    ） A．2 B． C． D．3 34．过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（   ） A． B． C． D． 35．写出与圆和都相切的一条直线的方程 ． 36．若圆与圆（a，）有且仅有一条公切线，则从点到圆的切线长为（   ） A．1 B． C． D．2 37．若光线通过点，经轴反射，其反射光线通过点且与圆相切，则 ． 38．已知圆和圆，则圆与公切线段的长度为 . 考点07圆的弦长问题 39．直线被圆截得的弦长为（　　） A． B． C． D． 40．已知圆与圆交于，两点，则公共弦长 ． 41．若直线与圆交于两点，则的最小值为 ． 42．圆，若过定点有且仅有一条直线被圆截得的弦长为2，则 ． 43．已知圆的圆心在直线上，且与直线相切于点． (1)求圆的标准方程； (2)圆的方程为，若圆与圆的公共弦长为，求实数的值． 44．已知平面直角坐标系中定点为坐标原点．动点满足，记的轨迹为曲线 (1)求曲线的方程 (2)过点的直线被曲线所截得的弦长为，求直线的方程． 45．已知圆M过点 (1)求圆M的方程（结果用圆的标准式）； (2)过点N的直线与圆M相交于E、F两点，M为圆心，且，求直线的方程. 考点08圆内三角形面积问题 46．已知直线过定点A，过定点B，与交于点P（异于A，B两点），则的面积的最大值是（    ） A． B． C． D． 47．已知以点为圆心的圆经过点和点，线段的垂直平分线交圆于点，，且 (1)求直线的方程 (2)求四边形的面积 (3)求圆的方程 48．在平面直角坐标系中，已知圆，经过点的直线与圆交于两点． (1)若，求直线的方程； (2)求的面积的最大值． 49．已知圆，直线． (1)求证：直线恒过定点，并求出定点坐标； (2)设直线与圆交于点，，且，求面积． 50．已知圆M以为圆心且过坐标原点O，直线交圆M于不同的两点C，D. (1)求圆M的方程，并求与直线相交的弦长； (2)设P在圆M上，当的面积为4时，求直线PM的方程. 51．在平面直角坐标系中，点、，动点满足，记动点的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)过的两条互相垂直的直线与曲线分别相交于、两点和、两点，求四边形面积的最大值. 考点09圆的最值问题 52．圆和圆的交点为为圆上一动点，则到直线距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 53．已知，直线与圆交于两点，若，则面积的最大值为（    ） A． B． C．2 D．1 54．（多选）已知圆，点为直线上任意一点，过点的直线与圆交于，两点，则下列说法正确的是（    ） A．有最小值为2 B．没有最大值 C．有最小值为 D．有最大值 55．“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包含边界）的动点，则的最小值为（    ） A．-1 B． C． D． 56．已知直线，圆，点在直线上运动，是圆上一动点，点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 57．已知圆，点为直线上的动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 58．已知圆过两点，且圆心在直线上． (1)求圆的标准方程； (2)求过点的圆的切线方程； (3)若直线的横截距为，纵截距为，直线被圆截得的弦长为，求的最小值． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 圆的方程9大考点 考点01求圆的方程 考点02由圆的方程确定圆心和半径 考点03点与圆的位置关系 考点04直线与圆的位置关系 考点05圆与圆的位置关系 考点06圆的切线问题 考点07圆的弦长问题 考点08圆内三角形面积问题 考点09圆的最值问题 考点01求圆的方程 1．设点，，则以线段为直径的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，为直径，所以其中点即为圆心， 那么圆心坐标为，半径为， 所以圆的方程为. 故选：D. 2．已知圆过点，，，则其标准方程为 ． 【答案】 【详解】设，，，则, 则，故，于是圆是以为直径的圆， 故其圆心为，半径， 故圆的标准方程为． 故答案为：． 3．圆心在轴，且经过点和的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设圆的方程为， 则， 所以圆的方程是， 故选：C. 4．圆关于直线对称的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意知，设点关于直线的对称点为， 则解得 故所求圆的方程为． 故选：A． 5．圆关于原点对称的圆的方程为 ． 【答案】 【详解】圆圆心为半径为1， 所以圆关于原点对称的圆的圆心为半径为1， 所以圆关于原点对称的圆的方程为. 故答案为：. 6．已知的三个顶点是，，． (1)求边上的中线所在直线的方程； (2)求外接圆的方程，并求出圆心和半径． 【答案】(1) (2)，圆心为，半径为． 【分析】 【详解】（1）由题意得的中点为，， 所以边上的中线所在的直线方程为，即． （2）设所求圆的方程为， 则 解得，，， 所以该圆的方程为， 又化为标准方程为， 所以该圆的圆心为，半径为． 考点02由圆的方程确定圆心和半径 7．“”是“圆：的直径为4”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】时，圆：，直径为4，充分性成立； 当圆：的直径为4时，则的半径为2，则，则，必要性不成立， 所以“”是“圆：的直径为4”的充分不必要条件． 故选：A 8．若直线始终平分圆的周长，则的值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【详解】由圆，即，则圆心为， 由题意知，圆心在直线上， 则，即. 故选：D． 9．已知直线过圆的圆心，且与直线垂直，则的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由圆的方程可求出圆心， 又因为直线的斜率，且直线与直线垂直， 所以根据两条直线垂直，斜率之积为，可得直线的斜率是， 根据点斜式方程可知直线的方程是：,整理得. 故选：C 10．已知圆，当圆心到原点的距离最小时，圆的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由可知圆心为， 半径为， 设原点为，则， 设，对称轴为，开口向上， 则在处取得最小值，即在处的最小值， 此时圆的半径为， 圆的面积为. 故选：B. 11．圆的方程是，其中．下列何者正确？（　　） I．的圆心的坐标是（2k，2k）． II．的面积是． III．原点位于内． A．只有II B．只有III C．只有I及II D．只有II及III 【答案】A 【详解】由，可得， 所以，所以圆心的坐标为，半径为，故I错误； 所以圆的面积为，故II正确； 因为，故原点位于圆外，故III错误． 故选：A. 12．已知二次方程. (1)当为何值时，方程表示圆？ (2)当为何值时，方程表示的圆的面积最大，并求出面积最大时圆的标准方程. 【答案】(1) (2)当时，圆的面积最大，此时圆的标准方程为： 【分析】 【详解】（1）方程表示圆的条件是, 即,解得, 所以当时，方程表示圆. （2）由( 1 )知当时,方程表示圆,且其半径 . 所以当时，半径有最大值，且,此时圆心坐标为, 故圆的方程为. 考点03点与圆的位置关系 13．设，若直线与圆相交，则点与圆的位置关系是（    ） A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．不能确定 【答案】B 【详解】因直线与圆相交， 则圆心到的距离，化简得， 即动点的轨迹为以原点为圆心，半径为2的圆的外部（不含圆弧）， 故点在圆的外面. 故选：B. 14．若四点，，，在同一个圆上，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设圆的方程为，， 又，，在圆上， 则，解得， 即圆的方程为， 又点在圆上， 则，解得或（舍）， 故选：D. 15．给出以下五个点的坐标：①；②；③；④；⑤以上各点在圆上的是 （写出所有可能的序号）. 【答案】③⑤ 【详解】由于，故点在圆内， ，故点在圆内， ，故点在圆上， ，故点在圆内， ，故点在圆上， 故答案为：③⑤ 16．若点在圆的外部，则实数m的取值范围 【答案】 【详解】根据题意可得，解得. 故答案为：. 17．已知点，，圆：，若圆上存在点，使得为锐角，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，，且圆上存在一点，在以为直径的圆外， 设以为直径的圆的圆心为，半径. 设圆的圆心为，则， 所以，则. 故选：D 考点04直线与圆的位置关系 18．已知点在圆内，则直线与圆（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上均有可能 【答案】C 【详解】因点在圆内，则， 则点到直线的距离， 则直线与圆相离. 故选：C 19．已知点，直线：，当，在变化时，点到直线的距离的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】因为，即， 所以的轨迹是圆心在原点，半径为1的圆， 直线过定点，如图所示： 过作，垂足为，则 所以点到直线的距离的最大值为， 当与重合，即时，直线，等号成立. 所以点到直线的距离的最大值为3. 故选：C. 20．已知点，圆，以为直径的圆与圆相交于，两点，则直线与圆的位置关系为（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．不确定 【答案】C 【详解】如图所示，由于为直径，故⊥， 又为圆的半径，故直线与圆相切. 故选：C 21．已知圆上到直线的距离为2的点有且仅有2个，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由题意，圆心到直线的距离为， 因圆上到直线的距离为的点有且仅有2个，所以， 故，解得. 故答案为：. 22．已知点，，若直线上存在点C，使得，则实数k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以点C在以为直径的圆上，记为圆D． 因为，，所以圆心，圆D的半径， 因为点C在直线l上，所以直线l与圆D有公共点， 所以圆心D到直线l的距离，即， 化简得，解得，即实数k的取值范围是． 故选：B 23．（多选）关于的方程有唯一解，则的取值可能是（    ） A． B．1 C． D．5 【答案】ABC 【详解】关于的方程有唯一解， 即曲线（以原点为圆心，2为半径的圆的上半部分）与直线有唯一公共点，如图， 当直线经过点时，； 当直线经过点时，4. 若直线与曲线相切，则，得， 数形结合可知，的取值范围是. 故选：ABC 24．已知直线和圆. (1)证明：直线恒过定点；判断直线与圆的位置关系； (2)是否存在实数使得圆上恰有三点到直线的距离为1？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析，直线与圆相交 (2)不存在，理由见解析 【分析】 【详解】（1）直线的方程，整理得， 该方程对任意实数成立，于是有，解得， 因此直线恒过定点，而， 即点在圆内，所以直线与圆相交. （2）依题意，圆的圆心，半径是3， 若圆上恰有三点到直线的距离为1，则圆心到直线的距离， 解法一：，两边平方整理得， 由，得该方程无实数解， 所以不存在实数使得圆上恰有三点到直线的距离为1， 解法二：由（1）知直线恒过定点， 则圆心到直线的距离的最大值为，     所以不存在实数使得圆上恰有三点到直线的距离为1. 考点05圆与圆的位置关系 25．圆与圆的位置关系为 . 【答案】外离 【详解】由题意知， 则两圆圆心为，，两圆的半径分别为，， 所以，易知，所以两圆外离. 故答案为：外离. 26．已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是（   ） A．相离 B．内切 C．相交 D．外切 【答案】C 【详解】因为圆，所以， 由题意，点在直线上， 得到，故，， 又，，可得， 又，，得到， 则圆与圆相交，故C正确. 故选：C 27．已知两圆的方程，，则它们的公切线的条数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】C 【详解】由，得，所以圆心，半径为； 由，得，所以圆心，半径为. 所以. 因为，所以两圆相交. 所以它们有两条公切线. 故选：C. 28．已知圆与圆内切，则的最大值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【详解】将两圆的方程化为标准方程为，， 所以圆的圆心坐标为，半径为，圆的圆心坐标为，半径为， 由两圆内切得到，则，即， 因为， 所以，当且仅当时，右边等号成立，当且仅当时，左边等号成立， 所以的最大值为. 故选：D. 29．已知圆上总存在两个点到原点的距离为2，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】圆的圆心为，半径为， 由圆上总存在两个点到原点的距离为2， 可知以原点为圆心，2为半径的圆与圆相交， 所以， 解得， 即圆半径的取值范围是. 故选：A 30．已知圆：与圆：有3条公切线，则实数的取值是 . 【答案】 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 由圆与圆有3条公切线，得圆与圆外切， 则， 即，而，所以. 故答案为： 31．已知圆. (1)若直线过点，且与圆C相切，求直线的方程； (2)若圆D的半径为1，圆心在直线上，且与圆外切，求圆D的方程. 【答案】(1)或. (2)或 【分析】 【详解】（1）圆方程化简为，所以圆心坐标为，半径为5， 由于直线过点，所以当直线的斜率不存在时，方程为. 此时圆心到直线的距离为5，等于圆的半径，所以直线与圆C相切，符合题意； 当直线的斜率存在时，方程设为，即. 此时为了直线与圆C相切，则，化简解得. 此时直线的方程为. 综上，直线的方程为或. （2）因为圆D的半径为1，圆心在直线上，所以设. 由于圆与圆外切，所以两圆心距离为. 化简解得，所以，所以圆D的方程为或. 考点06圆的切线问题 32．若直线与圆相切于点，则的值为（    ） A．-4 B．-2 C．2 D．4 【答案】C 【详解】切点在直线上，所以，即， 圆心与切点连线的斜率为， 所以切线的斜率为， 又切线的斜率为，所以， 所以，解得， 所以. 故选：C. 33．过原点作圆的切线，切点为，则切线的长为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】C 【详解】圆，圆心为，半径为， 原点到圆心的距离为， 又由切线垂直于半径，故为直角三角形，由勾股定理得， 所以，所以. 故选：C. 34．过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，设圆的圆心为，半径，，切线为，切点为， 则，， 在中，，即， 所以. 故选：B. 35．写出与圆和都相切的一条直线的方程 ． 【答案】（或，） 【详解】由题知的圆心为，半径为， 的圆心为，半径为， 所以，故两圆位置关系为外切，有三条公切线. 如图，由图可知，公切线方程斜率存在，故设方程为， 则由直线与相切得：，即， 由直线与相切得：，即， 所以，即， 所以， 当时，，代入整理得，解得或， 此时公切线方程为（）或， 当时，，代入整理得，解得，此时公切线方程为（）， 综上，所求的公切线方程为，或 故答案为：（或，） 36．若圆与圆（a，）有且仅有一条公切线，则从点到圆的切线长为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【详解】由题，圆与圆内切，所以，即，所以点， 又圆的半径为1，所以切线长为， 故选：C． 37．若光线通过点，经轴反射，其反射光线通过点且与圆相切，则 ． 【答案】 【详解】如图： 点关于轴的对称点为， 直线的方程为，即， 由题意可知，反射光线即为直线， 则直线与圆相切， 且圆心为，半径为1， 可得，解得． 故答案为： 38．已知圆和圆，则圆与公切线段的长度为 . 【答案】2 【详解】圆的圆心为，半径， 则轴为的切线，切点为， 圆的圆心，半径， 则轴为的切线，切点为， 如图所示： 又， 则，故两圆相交，则轴为圆与的一条公切线， 公切线段的长度为. 故答案为：2. 考点07圆的弦长问题 39．直线被圆截得的弦长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由圆，可得圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离为， 所以直线被圆截得的弦长为. 故选：C. 40．已知圆与圆交于，两点，则公共弦长 ． 【答案】 【详解】由题得，，，两方程相减得， ，则圆心到此直线距离为， 所以． 故答案为：. 41．若直线与圆交于两点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】直线变形为， 令，解得，则，所以直线l恒过定点， 圆的圆心为，半径， 则圆心C到P点的距离， 分析可得，当直线l与PC垂直时，圆心C到直线l的距离d最大，且为， 此时有最小值，且. 故答案为： 42．圆，若过定点有且仅有一条直线被圆截得的弦长为2，则 ． 【答案】或 【详解】记过定点的直线与圆交于点. 因为过定点有且仅有一条直线被圆截得的弦长为2，所以，且弦为所有弦中最长或最短的弦. 当弦为所有弦中最长的弦，即为直径时，半径为； 当弦是所有弦中最短的弦时，，，所以. 所以或. 故答案为：或. 43．已知圆的圆心在直线上，且与直线相切于点． (1)求圆的标准方程； (2)圆的方程为，若圆与圆的公共弦长为，求实数的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】 【详解】（1）设圆心， 由题意得，解得，，则半径， 故圆的标准方程为． （2）圆，圆心，半径． 两圆方程相减，得公共弦所在直线：． 圆心到该直线的距离（弦心距）：． 在圆中，公共弦长，可得，解得或， 均满足且两圆相交，符合题意．故实数的值为或． 44．已知平面直角坐标系中定点为坐标原点．动点满足，记的轨迹为曲线 (1)求曲线的方程 (2)过点的直线被曲线所截得的弦长为，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】 【详解】（1）设， 由， 可得：， 平方可得：， 化简可得， 即， 故曲线的方程是； （2）当直线的斜率不存在时，直线方程为， 圆的半径为，圆心到直线的距离为， 此时弦长为，符合； 当直线的斜率存在时，设直线方程为：， 则圆心到直线的距离， 则弦长， 化简可得：， 解得：， 直线方程为：， 综上：直线的方程为或. 45．已知圆M过点 (1)求圆M的方程（结果用圆的标准式）； (2)过点N的直线与圆M相交于E、F两点，M为圆心，且，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】 【详解】（1）设圆， 则，解得，满足， 所以圆的方程为，即，标准方程为. （2）由（1）知，，半径， 因为，则 设圆心到直线的距离为，则， 即，解得， 当直线的斜率不存在时，为，符合题意； 当直线的斜率存在时，设， 故，解得， 此时直线的方程为， 综上，直线的方程为或. 考点08圆内三角形面积问题 46．已知直线过定点A，过定点B，与交于点P（异于A，B两点），则的面积的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】将直线变形为：，知过定点， 将直线变形为：，知过定点， 当时，，，此时， 当时，，，此时， 当且时，两直线的斜率乘积知：此时， 因为，由直径所对的圆周角为知， 点在以线段为直径的圆上（不含、两点）， 所以点到线段的距离即为的高，设为， 易知，因为，所以 所以， 即的面积的最大值是, 故选：D 47．已知以点为圆心的圆经过点和点，线段的垂直平分线交圆于点，，且 (1)求直线的方程 (2)求四边形的面积 (3)求圆的方程 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】 【详解】（1），故CD的斜率为. 的中点为，由点斜式得，整理得. （2）. 因，四边形的面积为. （3）设圆心（因在上），是圆的直径，故半径. 由，得， 平方后整理得，解得或. 对应圆心为或， 故圆的方程为或. 48．在平面直角坐标系中，已知圆，经过点的直线与圆交于两点． (1)若，求直线的方程； (2)求的面积的最大值． 【答案】(1)或 (2) 【分析】 【详解】（1）因为圆 ，所以 ， 所以圆 的圆心为 ，半径为 设圆心 到直线 的距离为 ，则 ，所以 当直线 的斜率不存在时， ，此时 当直线 的斜率存在时，设直线 的斜率为 ，则 ， 所以 ，所以 ，所以 ，即 ， 综上可知：直线 的方程为 或 （2） 的面积 ， 由 的性质可知 ， 所以 ， 当且仅当 时，即 时等号成立， 所以 的面积的最大值是 49．已知圆，直线． (1)求证：直线恒过定点，并求出定点坐标； (2)设直线与圆交于点，，且，求面积． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】 【详解】（1）由直线，即， 所以，解得， 即直线过定点； （2）由（1）得，且圆，即，半径， 则直线的斜率， 又，即，， 即直线，化简可得， 所以圆心到直线的距离， 则弦长， 所以的面积. 50．已知圆M以为圆心且过坐标原点O，直线交圆M于不同的两点C，D. (1)求圆M的方程，并求与直线相交的弦长； (2)设P在圆M上，当的面积为4时，求直线PM的方程. 【答案】(1)， (2) 【分析】 【详解】（1）圆M的半径． 故圆M的方程为． 圆心到直线即的距离， 即，直线与圆M相交，可知弦长为． （2）因为圆心在直线上，所以． 设点P到直线距离为，则的面积为，所以， 因为且P在圆M上，所以直线PM垂直直线， 所以直线PM的斜率为，故直线PM方程为， 即． 51．在平面直角坐标系中，点、，动点满足，记动点的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)过的两条互相垂直的直线与曲线分别相交于、两点和、两点，求四边形面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）设，由，得， 化简，得. 所以，曲线的方程为. （2）由（1）可知，曲线是以点为圆心，半径为的圆， 分别取、的中点、，连接、，则，， 因为，则四边形为矩形，所以，， 由勾股定理可得， 由勾股定理可得，， 所以， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，四边形面积的最大值为. 考点09圆的最值问题 52．圆和圆的交点为为圆上一动点，则到直线距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】将圆：与圆：方程相减， 得直线的方程为， 圆心到直线的距离为， 所以到直线的最大距离为. 53．已知，直线与圆交于两点，若，则面积的最大值为（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】C 【详解】的圆心，半径为， 因为直线，且， 所以直线必过点， 又，所以点在圆内，设为点到直线的距离， 所以，， 如图，可得， 则， 因为在上单调递增， 所以当时，，则当时，， 故选：C． 54．（多选）已知圆，点为直线上任意一点，过点的直线与圆交于，两点，则下列说法正确的是（    ） A．有最小值为2 B．没有最大值 C．有最小值为 D．有最大值 【答案】AB 【详解】过点作圆的切线，为切点， 则由切割线定理知， 又原点到直线的距离为，故， 故的最小值为； 又没有最大值，则没有最大值，故选项A，B正确. 故选：AB 55．“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包含边界）的动点，则的最小值为（    ） A．-1 B． C． D． 【答案】B 【详解】表示点与点连线的斜率， 由题图可知，过点且与以为圆心，为半径的半圆（轴右侧）相切的一条切线的斜率最小， 设切线方程为，即， 由，解得（舍去）或， 所以的最小值是. 故选：B. 56．已知直线，圆，点在直线上运动，是圆上一动点，点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】圆的圆心，半径， 关于的对称点为， 所以， 当且仅当共线时且位于线段之间时取等号， 所以的最小值为， 故选：A. 57．已知圆，点为直线上的动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】求出圆心和半径，根据四边形面积得到，要想最小，只需最小，求出最小值，进而得到答案. 【解答过程】已知的圆心为，半径为2， 则圆心到直线的距离为， 故直线与圆相离， 由题意得，且与全等， 则四边形的面积为， 又由垂径定理可知：⊥，则四边形的面积为， 所以，其中， 即， 要使得最小，只需要最小， 显然当⊥直线时，最小，即最小值为， 此时. 故选：C. 58．已知圆过两点，且圆心在直线上． (1)求圆的标准方程； (2)求过点的圆的切线方程； (3)若直线的横截距为，纵截距为，直线被圆截得的弦长为，求的最小值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】 【详解】（1）因为圆心在直线上，设圆心为， 因为点在圆上， 所以，即，解得， 所以圆心，半径， 所以圆的标准方程为：； （2）由（1）可得圆：， 则圆心，半径， 因为，则点在圆外， 当过点的直线斜率不存在，则直线方程为， 圆心到直线的距离为，故直线为圆的切线； 当过点的直线斜率存在， 可设直线方程，即， 圆心到该直线的距离， 由直线与圆相切，则，即， 可得，解得， 此时，直线方程为，即； 综上，切线的方程为或； （3）直线被圆截得的弦长为， 圆心到直线l的距离为， 又直线l的横截距为，纵截距为， 则直线的方程为，即， 圆心到直线l的距离为， 整理可得， 由，得， 即， 解得或， 因为，则，则，故， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，的最小值为． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $