7.2 平行线（题型专练，11大题型+拓展培优）数学新教材人教版七年级下册

7.2 平行线 题型一、平面内两条直线的位置关系 1．有下列说法：①相等的角叫对顶角；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④两点之间的距离是两点间的线段；⑤在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系只有平行或垂直两种．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查对顶角、平行线、垂线、距离和直线位置关系等概念的正确理解． 对照对顶角、平行线、垂线、两点间距离、直线位置关系的概念，逐一判断每个说法的正确性，统计正确说法的个数． 【详解】解：①相等的角不一定是对顶角，错误，不符合题意； ②过一点不一定有平行线，正确表述需指定过直线外一点，错误，不符合题意； ③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确，符合题意； ④两点之间的距离是两点间线段的长度，不是线段本身，错误，不符合题意； ⑤在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系有平行和相交，错误，不符合题意． ∴只有③正确，共1个． 故选：A． 2．在同一平面内，没有公共点的两条直线的位置关系是（    ） A．垂直 B．相交 C．平行 D．相交或垂直 【答案】C 【分析】本题考查了同一平面内直线的位置关系，解题的关键是明确“无公共点”对应的直线位置关系． 同一平面内直线的位置关系分为相交（有且只有一个公共点）和平行（无公共点）；垂直是相交的特殊情况，因此无公共点的两条直线的位置关系是平行． 【详解】解：同一平面内，直线的位置关系为相交（有公共点）和平行（无公共点）；垂直属于相交的特殊情况． 只有平行的直线无公共点； 故选：C． 3．在同一平面内有2023条直线，，，，……，如果，，，……，那么直线与的位置关系是 ． 【答案】 垂直 【分析】本题考查垂线、平行线的规律问题，解题的关键是找出规律．根据垂直的定义和平行线的性质可得依次是垂直，垂直，平行，平行，4个一循环，依此可得，的位置关系． 【详解】解：∵在同一平面内有2023条直线，若，，，…… ∴与 依次是垂直，垂直，平行，平行，…， ∵， ∴与的位置关系是垂直． 故答案为：垂直． 4．如图，哪些线段是互相平行的？请你用“”表示出来． 【答案】，， 【分析】本题考查网格中平行线的识别，熟记平行线的特征是解决问题的关键． 根据网格中各个线段的特征求解即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 由于是矩形的对角线，则图中也是矩形对角线的是， 即； 由于是正方形的对角线，图中正方形的对角线的是， 即； 由于是矩形的对角线，图中矩形对角线的是， 即； 综上所述，互相平行的线段有，，． 题型二、用直尺、三角板画垂直 5．如图，B，C是直线a外两点．请按要求画图并作答． (1)过点B画直线a的平行线．能画几条？ (2)过点C画直线a的平行线．它与过点B且与直线a平行的直线平行吗？ 【答案】(1)能画1条 (2)见解析；平行 【分析】（1）依据过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行的基本事实，确定过点B画直线a平行线的条数； （2）先按同样方法过点C画直线a的平行线，再利用平行于同一条直线的两条直线互相平行的推论，判断两条线的关系． 【详解】（1）解：如图，直线b即为所求．能画1条． （2）解：如图，直线c即为所求．它与过点B且与直线a平行的直线平行． 【点睛】本题考查了平行线的基本事实与推论，掌握过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行、平行于同一条直线的两条直线互相平行是解题的关键． 6．想一想，在方格纸中如何画平行线？在下图中，过点P分别画的平行线，并进行检验． 【答案】见解析 【分析】本题考查方格纸作平行线，掌握知识点是解题的关键． 根据方格纸作平行线的方法作图即可． 【详解】解：作图如图， ∴． 用直尺和三角板检验平行线即可，具体步骤如下： 1．固定直尺：将直尺的一条边与其中一条待检验直线（记为直线a）完全重合，并按住直尺使其固定不动． 2．贴合三角板：将三角板的一条直角边与直尺刚才重合的边紧密贴合，确保三角板的另一条直角边能与另一条待检验直线（记为直线b）接触． 3．平移与观察：按住三角板，使其沿着直尺的边平稳平移．若在平移过程中，三角板的直角边与直线b始终保持完全重合（无间隙、不分离），则直线a与直线b平行；若出现分离或无法重合，则两直线不平行． 7．在如图所示的方格纸中，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C都在格点上． (1)找一格点，使得直线，画出直线； (2)找一格点，使得直线于点，画出直线，并注明垂足； (3)找一格点，使得直线，画出直线； (4)___________；（填“>”“<”或“=”） 【答案】(1)见详解； (2)见详解； (3)见详解； (4)> 【分析】（1）根据平行线的定义画出图形即可； （2）根据垂直的定义画图即可 （3）根据垂直定义画图即可； （4）根据垂线段最短判断即可． 本题考查作图-应用与设计作图，垂线段最短，平行线的定义，垂线的定义． 【详解】（1）解：根据平行线的定义，画图如下： 则即为所求． （2）解：根据题意，画图如下， 则即为所求． （3）解：根据题意画图如下： 则直线即为所求． （4）解：∵， ∴根据垂线段最短，得． 故 答案为：>． 8．如图，D是的边的中点． (1)过点D分别画的平行线，交于点F，E，度量并比较与，与的大小． (2)连接，运用直尺和三角板检验和的位置关系；度量并比较下列三组线段的大小：和，和，和．你能得出什么结论吗？ 【答案】(1)图见解析，； (2)，，三角形两边中点所连线段，平行且等于第三边的一半 【分析】本题考查画平行线，线段的度量，熟练掌握平行线的画法是解题的关键： （1）利用直尺和三角板，画出平行线，度量后，比较线段的大小关系即可； （2）利用直尺和三角板可验证，度量可以得到，进而得到三角形两边中点所连线段，平行且等于第三边的一半． 【详解】（1）解：由题意，作图如下： 通过度量可知：； （2）通过验证可知：； 通过度量可知：； 故可得到结论：三角形两边中点所连线段，平行且等于第三边的一半． 题型三、平行公理及其推论的应用 9．下列说法中错误的有（　　） ①延长线段到C，使，则；②连接两点的线段叫做两点间的距离；③角的大小与角的两边张开的程度有关，与边的长度无关；④过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查几何基本概念，包括线段延长、距离定义、角的大小和平行公理． 逐一判断每个说法的正确性即可． 【详解】解：①：延长线段到C，使，则，正确； ②：连接两点的线段叫做两点间的距离，错误，因为两点间的距离是连接两点的线段的长度，而不是线段本身； ③：角的大小与角的两边张开的程度有关，与边的长度无关，正确； ④：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，正确； 只有说法②错误，错误的说法的数量为1个． 故选：A． 10．下列说法中，正确的个数是（    ） ①在同一平面内，不重合的任意两条直线的位置关系不是相交就是平行； ②过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ③过两条直线，外一点，画直线，使，且； ④若直线，，则． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】此题考查了平行线的判定与性质、平行公理及推论等知识，熟记平行线的判定与性质、平行公理及推论是解题的关键．根据平行线的判定与性质、平行公理及推论、两条直线的位置关系等知识判断求解即可． 【详解】解：在同一平面内，不重合的任意两条直线的位置关系不是相交就是平行， 故①正确，符合题意； 过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行， 故②错误，不符合题意； 过两条直线，外一点，画直线，使，且； 只有当时，才能画出这样的直线，若与相交，则无法画出，所以原说法错误， 故③错误，不符合题意； 若直线，，则． 故④正确，符合题意； 综上，正确的有2个， 故选：C． 11．如图①，有一个可折叠的晾衣架放置在水平地面上，图②是其侧面示意图，其中是地面，当时，时，．同时满足上述条件时，一定有N，P，M三点在同一条直线上，其依据是 从下列选项中选取合适的填写，只填序号①同位角相等，两直线平行．②过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．③两点确定一条直线． 【答案】② 【分析】本题考查平行线的判定和性质，平行公理及推理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 根据过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行解决问题即可． 【详解】解：∵当时，时，． 点在同一直线上，其依据是过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行， 故答案为：②． 12．如下图，已知直线a、点B、点C． (1)分别过点作直线a的平行直线； (2)（1）中所作的直线的位置关系是_______． 【答案】(1)见解析； (2)平行． 【分析】本题主要考查平行线，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）分别过点作直线a的平行直线； （2）根据“如果两条直线和第三条直线平行，那么这两条直线平行”进行判断即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所作； （2）解：所作的直线的位置关系是平行，理由是：如果两条直线和第三条直线平行，那么这两条直线平行． 故答案为：平行． 题型四、利用同位角相等证明直线平行 13．如图，下列判断错误的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定方法，熟练掌握平行线的判定方法是解答本题的关键．平行线的判定方法：①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行；④平行于同一直线的两条直线互相平行；⑤同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行． 根据平行线的判定方法逐一判断即可． 【详解】解：A．，，原选项判断正确，不符合题意； B．，，原选项判断正确，不符合题意； C．，，原选项判断错误，符合题意； D．，，原选项判断正确，不符合题意； 故选：C． 14．如图，于点A，于点C，下列推理中错误的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，，得 D．由，得 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的判定定理，解题的关键是掌握同位角相等两直线平行． 判断两个角是否是同位角，即可判断推理是否正确． 【详解】解：A、和是同位角，，故，A选项推理正确，不符合题意； B、和不是同位角，由不能得到，所以B选项推理错误，符合题意； C、∵，， 且，， ∴， ∴，C选项推理正确，不符合题意； D、和是同位角，，故，D选项推理正确，不符合题意． 故选：B． 15．如图，直线、被直线所截，交点分别为点F、D，添加一个条件，使得，你添加的是 ．（添加一个即可） 【答案】（答案不唯一，正确即可） 【分析】本题考查平行线的判定，掌握平行线的判定方法是解题的关键． 根据平行线的判定方法即可求解． 【详解】解：添加的条件，根据“同旁内角互补，两直线平行”可得． 故答案为：（答案不唯一） 16．如图，点M、N在直线上，点G在直线上，点H在直线、之间，连接交于点K，连接交于点J，交于点P；连接，当时，下列四个结论： ①； ②； ③； ④．其中正确的结论是 ．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查的是平行线的性质，三角形的内角和定理的应用，平行公理的应用；由三角形的内角和可判断①，由，可判断④，如图，过作，过作，进一步可判断②③． 【详解】解：∵，，， ∴，故①符合题意； ∵， ∴，， ∴，故④符合题意； 如图，过作， ∴， ∴，， ∴，故②符合题意； 如图，过作， ∴， ∴，，， ∴， 当时，则，与题干矛盾， ∴不成立，故③不符合题意； 故答案为：①②④ 题型五、利用同旁内角互补证明两直线平行 17．如图，点在的延长线上，，下列条件能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，故C选项正确； 而，，均不能判断， 故选：C． 18．如图，，当 度时，． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的判定（同旁内角互补，两直线平行），熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．要使，需利用平行线的判定（同旁内角互补，两直线平行）确定的度数． 【详解】解：当时， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 19．如图（1），在三角形中，边绕点C按逆时针方向旋转一周回到原来的位置．在旋转的过程中〔图（2）〕，是否有一位置使？如果有这样的位置，请画出示意图，并写出判断它们平行的理由． 【答案】有；见解析 【分析】本题考查了平行线的判定、分类讨论的数学思想等知识点，根据在旋转过程中的不同位置，进行分类讨论是解题的关键．结合旋转的过程可知，因为位置的改变，与∠ A可能构成内错角，也有可能构成同旁内角，所以需分两种情况加以计算即可． 【详解】解：有；理由如下： 如图（2），当时， ∵， ∴． ∴． 如图（2），当时， ∵， ∴， ∴． 20．完成下面的证明：已知：如图．平分，平分，且．判断与是否平行，并说明理由． 【答案】；理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定，两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．根据题中思路解答即可． 【详解】解：．理由如下： 因为平分（已知）， 所以（角平分线的定义）． 因为平分（已知）， 所以（角的平分线的定义）， 所以（等式的性质）． 因为（已知）， 所以（等量代换）， 所以（同旁内角互补两直线平行）． 题型六、利用内错角相等证明两直线平行 21．下列图形中，由能判定的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理（同位角相等、内错角相等时，两直线平行）是解题的关键． 依次分析每个选项中能否判定． 【详解】解：选项A，∵ ， ∴ （内错角相等，两直线平行），不能判定． 选项B，∵ ，且的对顶角与是同位角且相等， ∴ （同位角相等，两直线平行）． 选项C，，不能判定． 选项D，，不能判定． 故选：B． 22．已知，如图，，、分别平分与，且． 求证：，请根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由． 证明：∵、分别平分与， ∴________，________（角平分线定义） ∵， ∴________________． ∵， ∴________．（等量代换） ∴________________（   ）． 【答案】；；；；；；；内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题关键．先根据角平分线的定义可得，，则可得，再根据等量代换可得，最后根据平行线的判定即可得证． 【详解】证明：∵、分别平分与， ∴，（角平分线定义）． ∵， ∴． ∵， ∴．（等量代换） ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：；；；；；；；内错角相等，两直线平行． 23．如图，已知，要使，还需再添加一个条件： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查平行线的判定，掌握内错角相等，两直线平行及平行的传递性是解题的关键． 本题先根据已知推出一组直线平行，再添加条件使这组直线与平行，利用平行的传递性得到． 【详解】解：添加条件（答案不唯一）． ∵， ∴． ， ， ， ， 故答案为：（答案不唯一）． 24．如图，， ， 求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的判定，根据邻补角的定义求得，进而可得，根据内错角相等两直线平行，即可得证． 【详解】证明：∵，， ∴． ∵， ∴． ∴． 题型七、利用两直线平行求角度 25．如图所示，直线c与直线a，b都相交．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质．根据两直线平行，内错角相等，得，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 26．如图，，AD平分，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了平行线的性质、角平分线的定义，关键是相关性质和定义的熟练掌握． 由两直线平行，内错角相等可得到，再根据角平分线的定义即可得到的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 故选：B． 27．如图，直线被直线所截，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据两直线平行，同旁内角互补可得，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 28．如图，已知，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．根据两直线平行，同位角相等，进行解答便可． 【详解】解：， ， ， ， 故选：D． 29．如图，直线被直线所截，，则 ． 【答案】110 【分析】本题考查了邻补角的性质，平行线的性质：两直线平行，同位角相等，熟记性质是解题的关键．先通过平行线性质得到，再通过邻补角性质求出即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴ 故答案为： ． 30．如图，在中，，，．求和的度数． 【答案】， 【分析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是利用“两直线平行，同位角相等”得到角的等量关系． 利用，根据“两直线平行，同位角相等”，得、，求出；再由与互补，计算出． 【详解】证明：， ，． ，， ． ，， ， ． 31．如图，直线，，则的度数是____. 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质与对顶角的性质，解题的关键是利用平行线的性质得到同位角（或内错角）的关系，结合对顶角相等进行角度转换． 先根据对顶角相等得到与对应的同位角的度数，再利用平行线的性质（两直线平行，同旁内角互补）计算的度数． 【详解】解：设的对顶角为，则． 因为，所以， 则． 故答案为： 题型一、平行线性质与判定的实际应用 32．如图①，“二八大杠”传统老式自行车承载了一代人的回忆，图②是它的几何示意图．已知，，当时，的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了平行线性质的应用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．先根据两直线平行，同旁内角互补，求得，再根据两直线平行，内错角相等，即得答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 故答案为：． 33．近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，，经使用发现，当时，台灯光线最佳，则此时的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂线的定义，过点C作，先由垂线的定义得到，再证明，由平行线的性质求出的度数即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点C作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 故答案为：． 34．如图，是小明同学用的一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度．图①是这盏台灯的示意图．已知台灯水平放置，当灯头与支架平行时可达到最佳照明角度，此时支架与水平线的夹角，，两支架和的夹角． 如何求此时支架与底座的夹角的度数及灯头与水平线的夹角的度数呢？小明解决此问题的思路如下： (1)小明在解决问题时，过点作，则可以得到，其理由是_____________． (2)如图②，根据小明的思路求和的度数； (3)小明在解题中发现和的度数永远是相等的，与和的度数无关．小明的说法对吗？请结合图③说明理由． 【答案】(1)平行于同一条直线的两直线平行 (2)， (3)对，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，需熟练掌握平行线的三条性质，根据平行线的三条性质得到角度相等是求解本题的关键． （1）根据平行公理的推论，即“平行于同一条直线的两直线平行”即可求解； （2）根据平行线的性质，即“两直线平行，内错角相等”，可由求解；再根据“两直线平行，同旁内角互补”即可求解； （3）根据平行线的性质可得，再根据即可求解． 【详解】（1）解：平行于同一条直线的两直线平行； （或如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）； 故答案为：平行于同一条直线的两直线平行； （2）解：如图，过点C作， ， ， ， ， ， , ， ； ， ， ， ， ， ； （3）解：对，理由如下： ， ， ， ， ， ， ， , ， ． 35．某地规划由西向东修建一条公路．如图，从地修到地后，为了绕开古建筑物，改为沿南偏东方向修建段，然后从地改变方向修建段，测得，到处后仍按正东方向继续施工． (1)在图中画出继续施工的路线，并求的大小； (2)在的延长线上由西向东依次修建两个公交站和（均在右侧），连接，，直接写出与的数量关系． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，作出正确的辅助线以及得到是解题的关键． （1）补全即可，设的延长线交于点F，过点C，D分别作直线l，m垂直于直线，垂足分别为G，H，则，由平行线性质可得到，又，从而可得的度数； （2）设，由于，可得，即可解答． 【详解】（1）解：补全施工路线如图所示．设的延长线交于点F，过点C，D分别作直线l，m垂直于直线，垂足分别为G，H，则， 根据平行线的性质得：， 又， ∴． （2）解：如图，设， 根据题意得， ∴， 又， ∴°，即． 题型二、利用平行线的性质探究角的关系 36．如图，是的角平分线，点E，F分别在，上，且，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行线的性质，根据平行线的性质，以及角平分线平分角即可得证． 【详解】证明：因为，， 所以，． 又因为平分，所以， 所以．即． 37．完成下面的证明，并在括号里注明理由：如图，已知点O，E在直线AB上，OD是的平分线，过点E作OD的平行线EF交OC于点F．证明：． 证明：∵， ∴， ． ∵OD是的平分线， ∴， ∴． ∵，， ∴． 【答案】见解析 【分析】由两直线平行，内错角相等，根据可得到；由两直线平行，同位角相等，根据可得到．由是的平分线，根据角的平分线的定义得到，从而得到，最后根据等角的补角相等得到． 【详解】证明：∵， ∴（两直线平行，内错角相等）， （两直线平行，同位角相等）． ∵是的平分线， ∴（角的平分线的定义）， ∴． ∵，， ∴（等角的补角相等）． 【点睛】此题考查平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，同位角相等和两直线平行，内错角相等． 38．如图，直线，BEC是一条折线段，BP平分． (1)如图①，若，探究和的数量关系． (2)如图②，CQ平分，直线BP，CQ交于点F，探究和的数量关系． 【答案】(1) (2) 【分析】(1) 要探究和的数量关系，先延长DC交BE于点K，交BP于点T，借助的平行线性质得到角的等量关系，结合平分、的条件推导角相等，再利用平角的定义得出两者的数量关系； (2) 要探究和∠F的数量关系，设角平分线分后的角为未知数，利用的性质表示，结合角的和差关系表示，进而推导两者的数量关系． 【详解】（1）解：延长DC交BE于点K，交BP于点T，如图①． ∵，∴． ∵BP平分， ∴，∴． ∵， ∴，， ∴． ∵， ∴， 即． （2）解：延长AB交FQ于点M，延长DC交BE于点N，如图②． ∵射线BP，CQ分别平分，， ∴，． 设，， ∴，，，． ∵， ∴，， ∴， ， ∴， 即． 【点睛】本题考查平行线的性质与角平分线的定义，掌握两直线平行，内错角相等、同旁内角互补；角平分线将角分为相等的两部分是解题的关键． 39．发现与探究 已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，分别结合图1、图2探究这两个角的关系． （1）如图1，与的关系是___________； （请将如下证明补充完整） 证明：（已知）， （两直线平行，内错角相等）． （已知）， （___________，___________）． （___________）． （2）如图2，与的关系是___________； （请将如下证明补充完整） 证明： 思考与结论 （3）综合上述，我们可以得到一个真命题：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角___________． 【答案】（1）（或相等）；两直线平行，内错角相等；等量代换； （2）（或互补）；证明见解析； （3）相等或互补 【分析】本题考查平行线的性质（内错角相等、同旁内角互补），结合等量代换，探究了两边分别平行的两个角的关系，先从特殊图形（图1、图2）入手，再归纳出一般结论． （1）利用平行线的性质，通过中间角来推导与的关系； （2）同样利用平行线性质，结合邻补角知识推导； （3）最后综合（1）（2）即可得出一般结论． 【详解】解：（1）证明：（已知）， （两直线平行，内错角相等）． （已知）， （两直线平行，内错角相等）． （等量代换）． 故答案为：（或相等）；两直线平行，内错角相等；等量代换； （2）（已知）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， ∵（已知）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∴（等量代换）． 故答案为：（或互补）； （3）综合（1）中（两角相等）和（2）中（两角互补），可得：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补． 题型三、利用平行线的性质与判定探究角度关系 40．如图，，，求证．完成下面的证明过程． 证明：∵，， ∴（ ）． ∴ （内错角相等，两直线平行）． ∴（ ）． 又∵（已知）， ∴ （等量代换）﹒ ∴（ ）． ∴（ ）． 【答案】同角的补角相等；；两直线平行，内错角相等；，同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟知平行线的判定方法与性质定理是解本题的关键．先证明，可得，可得，结合，可得，证明，可得． 【详解】证明：∵，， ∴（同角的补角相等）． ∴（内错角相等，两直线平行）． ∴（两直线平行，内错角相等）． 又∵（已知）， ∴（等量代换）﹒ ∴（同位角相等，两直线平行）． ∴（两直线平行，同位角相等）． 41．已知：如图，，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质以及角的和差关系，解题的关键在于利用平行线的判定与性质，通过角的和差关系推导出新的平行线，进而证明角相等．如图，根据，可得，再通过角的和差关系得到，从而推导出，最后根据平行线的性质即可得证． 【详解】证明：如图， ， ， ， ， ， 即， ， ． 42．教材中，提到了通过剪拼三角形的两个内角的方法得出三角形的内角和，数学小组的亮亮发现只撕下三角形的一个角来拼到另一个角的顶点处也可以得出结论，下面是他的操作和理由： 操作：如图1，中的三个内角分别为，，．将撕下，按图2的方式拼摆，使与的顶点重合，的一边与重合． 理由：由操作可知， ∴（____________，两直线平行） ∴______，（两直线平行，____________） 又， ∴______． (1)将上面亮亮的理由补充完整； (2)同组的明明发现，一个角也不撕，过点C作，延长到点E，也能证明三角形的内角和定理，请你帮助明明写出说理过程． 【答案】(1)内错角相等；180；同旁内角互补；180 (2)见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由操作可知，从而得出，再由平行线的性质可得，再结合即可得解； （2）由平行线的性质可得，，再结合即可得解． 【详解】（1）解：由操作可知， ∴（内错角相等，两直线平行） ∴，（两直线平行，同旁内角互补） 又， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴． 43．在一次数学活动课上，老师让同学们以“一个含角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．已知两直线a，b，且，直角三角尺ABC中，，． 【操作发现】（1）如图①，当三角尺的顶点B在直线b上时，若，则____________． 【探索证明】（2）如图②，当三角尺的顶点C在直线b上时，请写出与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）（2）．理由见解析 【分析】（1）过点作，先证，从而得，，则，再根据，，可求出的度数； （2）由（1）可知，再由平角的定义得，据此可得与间的数量关系． 【详解】解：（1）如图，过点作． ，， ， ，， ． ， ． ， ． 故答案为：． （2）．理由如下： 如图． 由（1）可知． ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，准确识图，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键． 44．如图，点D，B分别在上，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的判定和性质，关键是平行线判定定理的应用． （1）对顶角相等，得到，进而得到，即可得证； （2），得到，进而得到，得到，即可得出结论． 【详解】（1）证明：如图， ，， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ． 题型四、利用平行线的性质与判定求角度 45．如图，直线AB，CD被直线EF所截，FG平分．若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义，掌握同位角相等判定两直线平行，两直线平行内错角相等是解题的关键． 先通过判定AB与CD平行，再利用角平分线的定义求出的度数，最后根据平行线的内错角相等性质，得到的度数． 【详解】解：∵， ∴． ∵，FG平分， ∴． ∵， ∴． 故选：A． 46．如图，直线，直线分别与，相交于点、点，平分，已知，则的度数为 ． 【答案】/50度 【分析】本题主要考查了平行线的性质和角平分线的定义，熟练掌握“两直线平行，同旁内角互补”的性质及角平分线的定义是解题的关键． 先利用平行线的性质求出的度数，再根据角平分线的定义计算的度数 【详解】解：∵，， ∴， 又∵平分， ∴， 故答案为：． 47．如图：已知，，． (1)求证：； (2)若平分，于，，求的度数． 【答案】(1)证明过程见解析； (2)的度数为． 【分析】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义． （1）由得，进而得；结合，得，即可证得结论； （2）由得，由平分，可得，由，可得；由且，可得，可得，即可得的度数． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴由得． ∵于点F，， ∴，即， ∴， ∴． ∴的度数为． 48．【问题提出】 （1）如图1，直线，被直线所截，平分交于点，，判断与是否平行，并说明理由． 【问题解决】 （2）如图2，，，是三条主路，，超市的入口在主路上，三角形区域是一个大型购物中心，且平分，小路，为一条特色小吃街，，已知，求特色小吃街与主路的夹角的度数． 【答案】（1），理由见解析；（2） 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据角平分线的定义和平行线的判定定理即可得到结论； （2）由得，结合垂直的定义求出，由平分得出，然后根据求解即可． 【详解】解：（1），理由如下： 平分， ， ， ， ． （2）， ， ， ， ，即， 平分，， ， ， ， ， ， 特色小吃街与主路的夹角的度数为． 1．如图，∥，平分，，下列结论：①∥；②；③；④若，则，其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解题的关键是注意：两直线平行，内错角相等．由，可得，根据，可得，再根据平行线的性质以及角的和差关系进行计算，即可得出正确结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，故①正确； ∴， ∴，， ∴， 又∵平分， ∴，即，故②正确； ∵与不一定相等， ∴不一定成立，故③错误； ∵∵平分， ∴ 又，， ∴ ， 故④正确． 综上所述，正确的选项①②④共3个， 故选：C． 2．已知，点、分别在的两边、上，点是射线上的一点，连接、，，，；平分，平分． (1)如图，若， 求的度数； 判断、的位置关系，并说明理由． (2)如图，当点在射线上运动时，若直线、相交于点，请用含有、的代数式表示直接写结果 【答案】(1)；，见解析 (2)或或 【分析】本题考查了几何图形中的角度运算，平行线的判定，与角平分线有关的计算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用四边形内角和为360度以及进行列式化简，再把数值代入，进行计算，即可作答． 运用角平分线的定义，得出，，再由得，则，故，即可作答． （2）结合当点在射线上运动，直线、相交于点，进行分类讨论，且逐个情况作图，运用角的和差关系进行列式化简，即可作答． 【详解】（1）解：如图中， 在四边形中，， ∵， ， ，， ∴， 则 ． ，理由如下： 如图中，连接． 平分，平分． ，， 由得 ， 则， ， ． （2）解：依题意，设，． 如图中，则有， 则，， 则， ， 如图中， 依题意，， ， ， ， 如图中， 依题意，，， 两式相加可得， ， 综上所述，或或 3．如图，已知直线，点、在直线上，点、在直线上，点在点的右侧，，，平分，平分，直线、交于点E． (1)写出的度数______； (2)试求的度数（用含n的代数式表示）； (3)将线段向右平行移动，使点B在点A的右侧，其他条件不变，请直接写出的度数（用含n的代数式表示） 【答案】(1) (2) (3)的度数为或 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义： （1）根据角平分线的定义，即可得到； （2）过点E作，根据两直线平行，内错角相等可得，，根据角平分线的定义求出，，然后求解即可； （3）过点E作，点B在点A的右侧时，若点E在和之间时，根据角平分线的定义求出，，根据两直线平行，内错角相等可得，根据两直线平行，同旁内角互补求出，然后求解即可；同理，再分别求解当点E在上方或下方时的值即可． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴ 故答案为：； （2）如图，过点E作， ∵， ∴， ∴，， ∵平分，平分，，， ∴，， ∴； （3）过点E作，点B在点A的右侧时， 若点E在和之间，如图， ∵平分，平分，，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴； 若点E在上方，如图， 同理，，， 则； 若点E在下方，如图， 同理，，， 则， 综上所述，度数为或． 4．已知直线，点，分别在直线，上，点是与之间任意一点，连接，．直线，分别交，于点，． (1)如图1，求证：； 若，，则______（用含，的式子表示）； (2)如图2，在直线上取一点，连接交直线于点；设，若；求的度数（用含的式子表示）； (3)如图3，在（2）的条件下，作平分，平分．若，，直接写出的度数． 【答案】(1) 证明过程见解析； (2)； (3)的度数为． 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的有关计算，几何图形中角度计算问题． （1）由平行线的性质，可得，，等量代换，即可证得结论；作，由平行线的性质，可得，，结合已知，等量代换，即可得； （2）延长，交于点，由平行线的性质，可得，，由邻补角，结合已知，等量代换可得，，即可得； （3）由（1）得，由（2）得，结合已知可得，由角平分线的定义可得，，设，，则，，可得，作，由平行线的性质可得，，可得，结合已知，即可得的度数． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵直线， ∴， ∴． 解：如图，作，则， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：如图，延长，交于点， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为． （3）解：由（2）得， ∵， ∴， 由（1）得， ∴， ∵平分，平分， ∴，， 设，，则，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 如图，作，则， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为． 5．除夕夜，小明在江边观赏灯光秀时，发现两岸的光线时而相交时而平行．小明想起了学习的《相交线与平行线》，对光线的位置关系产生好奇．经咨询相关工作人员了解到以下信息：如图1，两岸所在直线与平行，即灯射出的光线从开始以/秒顺时针旋转，同时灯射出的光线从开始/秒逆时针旋转，且灯在灯的正对面．设的旋转时间为秒． (1)在首次到达之前，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出时间的值，若不存在，请说明理由； (2)在首次到达之前，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出时间的值，若不存在，请说明理由； (3)零点时刻，岸边灯熄灭，岸边灯同时发出两束光线和，如图2，光线从开始绕点以秒逆时针旋转，光线从开始绕点以秒顺时针旋转，在射线旋转一周的时间内，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出时间的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)存在某一时刻，使得，此时 (2)存在某一时刻，使得，此时 (3)存在某一时刻，使得，此时或27 【分析】（1）根据题意得：，连接，根据平行线的性质可得，从而得到，进而得到关于t的方程，即可求解； （2）根据题意得：，设射线交于点G，过点G作，则，根据平行线的性质可得，从而得到，进而得到关于t的方程，即可求解； （3）分两种情况讨论：当和相遇前时；当和相遇后时，结合一元一次方程解答即可． 【详解】（1）解：存在， 根据题意得：， 如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 解得：， 即存在某一时刻，使得，此时； （2）解：存在， 根据题意得：， 如图，设射线交于点G，过点G作，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 解得：， 即存在某一时刻，使得，此时； （3）解：存在， 根据题意得：，， 当和相遇前时，， ∴， 解得：； 当和相遇后时，， ∴， 解得：； 综上所述，存在某一时刻，使得，此时或27． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，一元一次方程的应用，解题的关键在充分利用数形结合和分类讨论思想进行解答． 6．综合探究． 已知，李想同学将放置在这两条平行线上展开探究，其中的三边与两条平行线分别交于点D，E，F， (1)【特例探究】如图1， ① ； ②若与的平分线相交于点P，则 ； (2)【一般探索】 如图2，， ①若，，求与的关系； ②若，（且n为整数，则与的关系为 ； (3)【拓展应用】 如图3，，与的平分线相交于点，与的平分线相交于点，与的平分线相交于点，…，以此类推，则的值是多少？直接写出结果 【答案】(1)①270；②135 (2)①；② (3) 【分析】（1）①利用平行线的性质证明即可； ②证明即可； （2）①利用平行线的性质证明和即可； ②利用平行线的性质证明和即可； （3）利用（2）中的结论计算即可． 【详解】（1）解：①过点作平行于，过点作平行于    ∵， ∴，， ∴，，，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ②∵与的角平分线相交于点， ∴，， ∴ 故答案为：①，②； （2）① 过点作平行于，过点作平行于    ∵， ∴，， ∴，，，， ∴，， 即，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即； ② 同①可得， ∵，， ∴， ∴，即； （3）∵与的角平分线相交于点，与的角平分线相交于点，与的角平分线相交于点；……，以此类推， ∴， ∴由（2）得 ∴． 【点睛】本题考查平行线的性质，根据平行线的性质、角平分线的定义，利用平行线的性质证明和是解决本题的关键． 7．已知． (1)如图1，比的2倍少，求的度数； (2)如图2，若，求证：； (3)如图3，过E作的角平分线交的延长线于M，的角平分线交的反向延长线于N，若与互补，试探索直线与直线的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、平行公理推论、角平分线的定义等知识，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键． （1）先根据平行线的性质可得，则可得，再设，根据题意建立方程，解方程即可得； （2）延长交于点，先根据平行线的性质可得，则可得，再根据平行线的判定可得，然后根据平行线的性质即可得证； （3）过点作，过点作，先根据平行公理推论可得，根据平行线的性质可得，，，再根据角平分线的定义、等量代换可得，然后根据可得，最后根据平行线的判定即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， 由对顶角相等得：， ∴， 设， ∵比的2倍少， ∴，即， ∴， ∴． （2）证明：如图，延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：，理由如下： 如图，过点作，过点作， ∵， ∴， ∴，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∵与互补， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 试卷第56页，共58页 29 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.2 平行线 题型一、平面内两条直线的位置关系 1．有下列说法：①相等的角叫对顶角；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④两点之间的距离是两点间的线段；⑤在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系只有平行或垂直两种．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．在同一平面内，没有公共点的两条直线的位置关系是（    ） A．垂直 B．相交 C．平行 D．相交或垂直 3．在同一平面内有2023条直线，，，，……，如果，，，……，那么直线与的位置关系是 ． 4．如图，哪些线段是互相平行的？请你用“”表示出来． 题型二、用直尺、三角板画垂直 5．如图，B，C是直线a外两点．请按要求画图并作答． (1)过点B画直线a的平行线．能画几条？ (2)过点C画直线a的平行线．它与过点B且与直线a平行的直线平行吗？ 6．想一想，在方格纸中如何画平行线？在下图中，过点P分别画的平行线，并进行检验． 7．在如图所示的方格纸中，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C都在格点上． (1)找一格点，使得直线，画出直线； (2)找一格点，使得直线于点，画出直线，并注明垂足； (3)找一格点，使得直线，画出直线； (4)___________；（填“>”“<”或“=”） 8．如图，D是的边的中点． (1)过点D分别画的平行线，交于点F，E，度量并比较与，与的大小． (2)连接，运用直尺和三角板检验和的位置关系；度量并比较下列三组线段的大小：和，和，和．你能得出什么结论吗？ 题型三、平行公理及其推论的应用 9．下列说法中错误的有（　　） ①延长线段到C，使，则；②连接两点的线段叫做两点间的距离；③角的大小与角的两边张开的程度有关，与边的长度无关；④过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．下列说法中，正确的个数是（    ） ①在同一平面内，不重合的任意两条直线的位置关系不是相交就是平行； ②过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ③过两条直线，外一点，画直线，使，且； ④若直线，，则． A．4 B．3 C．2 D．1 11．如图①，有一个可折叠的晾衣架放置在水平地面上，图②是其侧面示意图，其中是地面，当时，时，．同时满足上述条件时，一定有N，P，M三点在同一条直线上，其依据是 从下列选项中选取合适的填写，只填序号①同位角相等，两直线平行．②过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．③两点确定一条直线． 12．如下图，已知直线a、点B、点C． (1)分别过点作直线a的平行直线； (2)（1）中所作的直线的位置关系是_______． 题型四、利用同位角相等证明直线平行 13．如图，下列判断错误的是（    ） A．， B．， C．， D．， 14．如图，于点A，于点C，下列推理中错误的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，，得 D．由，得 15．如图，直线、被直线所截，交点分别为点F、D，添加一个条件，使得，你添加的是 ．（添加一个即可） 16．如图，点M、N在直线上，点G在直线上，点H在直线、之间，连接交于点K，连接交于点J，交于点P；连接，当时，下列四个结论： ①； ②； ③； ④．其中正确的结论是 ．（填序号） 题型五、利用同旁内角互补证明两直线平行 17．如图，点在的延长线上，，下列条件能判定的是（   ） A． B． C． D． 18．如图，，当 度时，． 19．如图（1），在三角形中，边绕点C按逆时针方向旋转一周回到原来的位置．在旋转的过程中〔图（2）〕，是否有一位置使？如果有这样的位置，请画出示意图，并写出判断它们平行的理由． 20．完成下面的证明：已知：如图．平分，平分，且．判断与是否平行，并说明理由． 题型六、利用内错角相等证明两直线平行 21．下列图形中，由能判定的是（　　） A．B．C．D． 22．已知，如图，，、分别平分与，且． 求证：，请根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由． 证明：∵、分别平分与， ∴________，________（角平分线定义） ∵， ∴________________． ∵， ∴________．（等量代换） ∴________________（   ）． 23．如图，已知，要使，还需再添加一个条件： ． 24．如图，， ， 求证：． 题型七、利用两直线平行求角度 25．如图所示，直线c与直线a，b都相交．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 26．如图，，AD平分，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 27．如图，直线被直线所截，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 28．如图，已知，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 29．如图，直线被直线所截，，则 ． 30．如图，在中，，，．求和的度数． 31．如图，直线，，则的度数是____. 题型一、平行线性质与判定的实际应用 32．如图①，“二八大杠”传统老式自行车承载了一代人的回忆，图②是它的几何示意图．已知，，当时，的度数为 ． 33．近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，，经使用发现，当时，台灯光线最佳，则此时的度数为 ． 34．如图，是小明同学用的一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度．图①是这盏台灯的示意图．已知台灯水平放置，当灯头与支架平行时可达到最佳照明角度，此时支架与水平线的夹角，，两支架和的夹角． 如何求此时支架与底座的夹角的度数及灯头与水平线的夹角的度数呢？小明解决此问题的思路如下： (1)小明在解决问题时，过点作，则可以得到，其理由是_____________． (2)如图②，根据小明的思路求和的度数； (3)小明在解题中发现和的度数永远是相等的，与和的度数无关．小明的说法对吗？请结合图③说明理由． 35．某地规划由西向东修建一条公路．如图，从地修到地后，为了绕开古建筑物，改为沿南偏东方向修建段，然后从地改变方向修建段，测得，到处后仍按正东方向继续施工． (1)在图中画出继续施工的路线，并求的大小； (2)在的延长线上由西向东依次修建两个公交站和（均在右侧），连接，，直接写出与的数量关系． 题型二、利用平行线的性质探究角的关系 36．如图，是的角平分线，点E，F分别在，上，且，．求证：． 37．完成下面的证明，并在括号里注明理由：如图，已知点O，E在直线AB上，OD是的平分线，过点E作OD的平行线EF交OC于点F．证明：． 证明：∵， ∴， ． ∵OD是的平分线， ∴， ∴． ∵，， ∴． 38．如图，直线，BEC是一条折线段，BP平分． (1)如图①，若，探究和的数量关系． (2)如图②，CQ平分，直线BP，CQ交于点F，探究和的数量关系． 39．发现与探究 已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，分别结合图1、图2探究这两个角的关系． （1）如图1，与的关系是___________； （请将如下证明补充完整） 证明：（已知）， （两直线平行，内错角相等）． （已知）， （___________，___________）． （___________）． （2）如图2，与的关系是___________； （请将如下证明补充完整） 证明： 思考与结论 （3）综合上述，我们可以得到一个真命题：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角___________． 题型三、利用平行线的性质与判定探究角度关系 40．如图，，，求证．完成下面的证明过程． 证明：∵，， ∴（ ）． ∴ （内错角相等，两直线平行）． ∴（ ）． 又∵（已知）， ∴ （等量代换）﹒ ∴（ ）． ∴（ ）． 41．已知：如图，，．求证：． 42．教材中，提到了通过剪拼三角形的两个内角的方法得出三角形的内角和，数学小组的亮亮发现只撕下三角形的一个角来拼到另一个角的顶点处也可以得出结论，下面是他的操作和理由： 操作：如图1，中的三个内角分别为，，．将撕下，按图2的方式拼摆，使与的顶点重合，的一边与重合． 理由：由操作可知， ∴（____________，两直线平行） ∴______，（两直线平行，____________） 又， ∴______． (1)将上面亮亮的理由补充完整； (2)同组的明明发现，一个角也不撕，过点C作，延长到点E，也能证明三角形的内角和定理，请你帮助明明写出说理过程． 43．在一次数学活动课上，老师让同学们以“一个含角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．已知两直线a，b，且，直角三角尺ABC中，，． 【操作发现】（1）如图①，当三角尺的顶点B在直线b上时，若，则____________． 【探索证明】（2）如图②，当三角尺的顶点C在直线b上时，请写出与的数量关系，并说明理由． 44．如图，点D，B分别在上，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 题型四、利用平行线的性质与判定求角度 45．如图，直线AB，CD被直线EF所截，FG平分．若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 46．如图，直线，直线分别与，相交于点、点，平分，已知，则的度数为 ． 47．如图：已知，，． (1)求证：； (2)若平分，于，，求的度数． 48．【问题提出】 （1）如图1，直线，被直线所截，平分交于点，，判断与是否平行，并说明理由． 【问题解决】 （2）如图2，，，是三条主路，，超市的入口在主路上，三角形区域是一个大型购物中心，且平分，小路，为一条特色小吃街，，已知，求特色小吃街与主路的夹角的度数． 1．如图，∥，平分，，下列结论：①∥；②；③；④若，则，其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．已知，点、分别在的两边、上，点是射线上的一点，连接、，，，；平分，平分． (1)如图，若， 求的度数； 判断、的位置关系，并说明理由． (2)如图，当点在射线上运动时，若直线、相交于点，请用含有、的代数式表示直接写结果 3．如图，已知直线，点、在直线上，点、在直线上，点在点的右侧，，，平分，平分，直线、交于点E． (1)写出的度数______； (2)试求的度数（用含n的代数式表示）； (3)将线段向右平行移动，使点B在点A的右侧，其他条件不变，请直接写出的度数（用含n的代数式表示） 4．已知直线，点，分别在直线，上，点是与之间任意一点，连接，．直线，分别交，于点，． (1)如图1，求证：； 若，，则______（用含，的式子表示）； (2)如图2，在直线上取一点，连接交直线于点；设，若；求的度数（用含的式子表示）； (3)如图3，在（2）的条件下，作平分，平分．若，，直接写出的度数． 5．除夕夜，小明在江边观赏灯光秀时，发现两岸的光线时而相交时而平行．小明想起了学习的《相交线与平行线》，对光线的位置关系产生好奇．经咨询相关工作人员了解到以下信息：如图1，两岸所在直线与平行，即灯射出的光线从开始以/秒顺时针旋转，同时灯射出的光线从开始/秒逆时针旋转，且灯在灯的正对面．设的旋转时间为秒． (1)在首次到达之前，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出时间的值，若不存在，请说明理由； (2)在首次到达之前，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出时间的值，若不存在，请说明理由； (3)零点时刻，岸边灯熄灭，岸边灯同时发出两束光线和，如图2，光线从开始绕点以秒逆时针旋转，光线从开始绕点以秒顺时针旋转，在射线旋转一周的时间内，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出时间的值，若不存在，请说明理由． 6．综合探究． 已知，李想同学将放置在这两条平行线上展开探究，其中的三边与两条平行线分别交于点D，E，F， (1)【特例探究】如图1， ① ； ②若与的平分线相交于点P，则 ； (2)【一般探索】 如图2，， ①若，，求与的关系； ②若，（且n为整数，则与的关系为 ； (3)【拓展应用】 如图3，，与的平分线相交于点，与的平分线相交于点，与的平分线相交于点，…，以此类推，则的值是多少？直接写出结果 7．已知． (1)如图1，比的2倍少，求的度数； (2)如图2，若，求证：； (3)如图3，过E作的角平分线交的延长线于M，的角平分线交的反向延长线于N，若与互补，试探索直线与直线的位置关系，并说明理由． 试卷第56页，共58页 29 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $