12.2平行线（八大题型专练）数学人教版2024五四制七年级上册

12.2平行线 题型一 平行公理及推论的应用 1．（2024七年级下·天津·专题练习）下列说法中正确的个数有（　　） （1）在同一平面内，两条不相交的直线叫做平行线 （2）经过直线外一点，能够画出一条直线与已知直线平行，并且只能画出一条 （3）如果，，则 （4）两条不平行的射线，在同一平面内一定相交． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的定义、平行公理及推论，逐项判断即可，熟记平行线的定义、平行公理及推论是解题的关键． 【详解】解：∵（1）在同一平面内，两条不相交的直线叫做平行线，是平行的定义，故正确； （2）经过直线外一点，能够画出一条直线与已知直线平行，并且只能画出一条，是平行公理，故正确； （3）如果，，则，是平行公理推论，故正确； （4）两条不平行的射线，在同一平面内也不一定相交，例如“在同一平面内，点在点的正北方向，点向正西方向作射线，点向正南方向作射线”，两射线不平行也不相交，故原说法错误． ∴正确的是（1）（2）（3）共3个， 故选：C． 2．（23-24七年级下·河南郑州·期中）下列说法正确的是（　　） A．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．垂线段就是点到直线的距离 D．直线a，b，c在同一平面内，若，，则 【答案】B 【分析】此题考查了平行线的判定．根据平行公理、点到直线的距离、平行线的判定等知识判断求解即可． 【详解】解：在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行， 故选项A不符合题意； 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， 故选项B符合题意； 直线外一点到这条直线的垂线段的长度就是这点到这条直线的距离， 故选项C不符合题意； 直线，，在同一平面内，若，，则， 故选项D不符合题意； 故选：B． 3．（23-24七年级下·河北石家庄·阶段练习）已知直线l，在同一平面内，甲、乙、丙得到如下结论，下列判断正确的是(    ) 甲：与直线l垂直的直线有且只有一条；   乙：经过一点，有且只有一条直线与直线l平行； 丙：若两条直线 a，b都与直线l平行，则直线 a，b平行 A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲对丙错 D．乙错丙对 【答案】D 【分析】本题考查的是平行线公理及推论，牢记平行公理是关键，根据平行公理及垂直的性质直接判断即可． 【详解】解：已知直线l，在同一平面内， 与直线l垂直的直线有无数条，故甲说法错误； 经过直线外一点，有且只有一条直线与直线l平行，故乙说法错误； 若两条直线 a，b都与直线l平行，则直线 a，b平行，故丙说法正确； 故选：D． 4．（22-23七年级下·广西南宁·阶段练习）是直线，下列说法正确的是(　　) A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查了平行公理，根据平行公理以及平行线的性质判断即可． 【详解】解：A、在同一平面内，若，则，原说法错误，不符合题意； B、在同一平面内，若，则，原说法错误，不符合题意； C、在同一平面内，若，则，原说法错误，不符合题意； D、若，则，正确，符合题意． 故选：D 题型二 平行线的判定 1．（23-24七年级下·四川成都·阶段练习）如图，直线被直线所截，下列选项中能得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线的判定定理判断求解即可． 此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵，，故A符合题意； 由，不能判定，故B不符合题意； 由，不能判定，故C不符合题意； 由，不能判定，故D不符合题意； 故选： A. 2．（23-24七年级下·山东青岛·期中）如图，直线a、b都与直线c相交，给出下列条件：①；②；③；④．其中能判断的条件是（　　） A．①② B．③④ C．①③④ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定、对顶角相等．根据同位角相等两直线平行，即可判断①；根据内错角相等两直线平行，即可判断②；根据对顶角相等和同旁内角互补两直线平行，即可判断③；根据对顶角相等和同旁内角互补两直线平行，即可判断④，综合即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，故①正确； ∵， ∴，故②正确； ∵， 又∵， ∴， ∴，故③正确； ∵，， 又∵， ∴， ∴不能推出，故④不正确， 综上可得：能判断的条件是①②③． 故选：D． 3．（22-23七年级下·江苏南通·期中）如图所示，下列条件不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了平行线的判定，解题的关键是掌握平行线的判定方法．根据平行线的判定方法对选项逐个判断即可． 【详解】解：A，由能判定（内错角相等，两直线平行），选项不符合题意； B、由能判定（同位角相等，两直线平行），选项不符合题意； C、由不能判定，选项符合题意； D、由，结合，则能判定（同位角相等，两直线平行），选项不符合题意． 故选：C． 4．（22-23七年级下·四川达州·期中）如图，点在的延长线上，下列条件中不能判断的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解题的关键． 【详解】解：A、由，可以根据内错角相等，两直线平行得到，不符合题意； B、由，可以根据同位角相等，两直线平行得到，不符合题意； C、由，可以根据同旁内角互补，两直线平行得到，不可以得到，符合题意； D、由，可以根据同旁内角互补，两直线平行得到，不符合题意； 故选：C． 题型三 平行线的性质 1．（2024·云南红河·模拟预测）如图，直线与直线被直线所截，若，则与的数量关系为（    ） A． B． C． D．无法判断 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质．先根据平行线的判定定理得出，再平行线的性质即可求解． 【详解】解：， ， ， 故选：C． 2．（22-23七年级下·贵州遵义·期中）如图，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等，即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴； 故选B． 3．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，直线，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，根据，得出，结合，代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：如图： ∵ ∴ 则 ∵ ∴ 故选：D 4．（23-24七年级下·河北石家庄·阶段练习）如图，直线，直线与直线、分别相交于A、两点，于点A，交直线于点．如果，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，同旁内角互补，此题难度不大． 先根据平行线的性质求出的度数，再根据垂直的定义和余角的性质求出的度数． 【详解】解：如图： 直线， ， 于点，， ， 故选：A． 题型四 根据平行线的性质求角的度数 1．（2024·广东·模拟预测）如图，直角三角板和直尺如图放置，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．根据两直线平行，内错角相等得到，再由，即可得到． 【详解】解：如图， 由题意得，， ∴， ∵， ∴， 故选C． 2．（23-24七年级下·福建三明·期中）如图，，，，则等于（ ） 如 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据平行线的性质得到，，则． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 3．（22-23七年级下·广西南宁·阶段练习）如图，与相交于点O，已知，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的性质，对顶角的性质，解决本题要熟练掌握平行线的性质．根据平行线的性质可得，由对顶角的性质可得，进而可求解的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选B． 4．（22-23七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，是的平分线，，交于点G，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线定义，掌握平行线的性质，角平分线的定义是解题的关键． 由角平分线定义得到，由平行线的性质得到，即可得出结论． 【详解】解：是的平分线， ， ，， ， ， 故选：B． 题型五 平行线的性质在生活中的应用 1．（23-24七年级下·广西百色·期末）如图，一条公路两次转弯后，和原来的方向相同．如果第一次的拐角，则第二次的拐角度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了平行线的性质．解题的关键在于熟练掌握平行线的性质．根据两直线平行，内错角相等，可知，进而得出结果． 【详解】解：如图， ∵一条公路两次转弯后，和原来的方向相同， ∴， ∴， 故选：C． 2．（23-24七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）一辆汽车在笔直的公路上行驶，在两次转弯后，前进的方向仍与原来相同，那么这两次转弯的角度可以是（   ） A．先右转，再左转 B．先左转，再右转 C．先左转，再左转 D．先右转，再右转 【答案】B 【分析】本题考查了平行线在实际生活中的应用，掌握平行线的性质是解题的关键．根据题意画出图示即可． 【详解】解：A．如图所示，不符合题意； B．如图所示，符合题意； C．如图所示，不符合题意； D．如图所示，不符合题意； 故选：B． 3．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如下图是从玻璃杯底部发出的一束平行光线经过水面折射形成的光线示意图，水面与玻璃杯的底面平行．若，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质．先利用平行线的性质可得：，，然后利用角的和差关系进行计算即可解答． 【详解】解：如图： ∵， ， ∵， ， ， ， ， 故选：C． 4．（23-24七年级下·广西贵港·期末）在两千多年前，我们的先祖就运用杠杆原理发明了木杆秤，学名叫作戥子，如图，这是一杆古秤在称物时的状态，已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等，即可求解． 【详解】解：如图所示，依题意，，    ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：C． 题型六 求平行线间的距离 1．（河南省商丘市虞城县城区学校2023-2024学年七年级数学下学期四分之一月考试题）如图，，点，在直线上，点在直线上，，，，，则图中与之间的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了两条平行线间的距离，三角形的面积的计算，解决本题的关键是熟记点到直线的距离的定义，正确的识别图形，明确三角形面积的不同计算方法．根据三角形的面积计算公式即可得到结论． 【详解】解：设与之间的距离为， 则， ，，， ， 设与之间的距离为， 故答案为：． 2．（广西壮族自治区来宾市2023-2024学年七年级下学期期末数学试题）如图，，点在直线上，点，在直线上，，如果，，，那么平行线，之间的距离为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了平行线之间的距离，关键是掌握平行线之间距离的定义．从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，由此可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴平行线a、b之间的距离为， 故答案为：8． 3．（湖南省永州市双牌县2023-2024学年七年级下学期期末数学试题）已知在同一平面内，直线，，互相平行，直线与之间的距离是，直线与之间的距离是，那么直线与的距离是 ． 【答案】或 【分析】本题考查平行线间的距离，分直线在直线之间，和直线在直线的外侧，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：当直线在直线之间时，直线与的距离是； 当直线在直线的外侧时，直线与的距离是； 故答案为：或． 4．（重庆市求精中学校2023-2024学年七年级下学期期中数学试题）已知直线，，在同一平面内，且，与之间的距离为，与之间的距离为，则与之间的距离是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了平行线之间的距离，分两种情况，由平行线之间的距离的定义，即可求解． 【详解】解：如图1，直线c在a、b外时， ∵a与b的距离为，b与c的距离为， ∴a与c的距离为， 如图2，直线c在直线a、b之间时， ∵a与b的距离为，b与c的距离为， ∴a与c的距离为， 综上所述，a与c的距离为或， 故答案为：或 题型七 根据平行的判定与性质证明 1．（云南省曲靖市沾益区2023-2024学年下学期期中考试七年级数学试卷）如图，点分别是的边上的点，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题关键．根据平行线的性质和判定证明即可． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．（辽宁省铁岭市实验学校2022-2023学年七年级下学期第二次数学阶段性测试题）如图，于点F，于点M，，，请问与平行吗？说明理由．完成下列推理过程： 解：． 理由如下： ∵，，（已知） ∴ ∴，（ ） ∴．（ ） ∵，（已知） ∴ ，（ ） ∴，（ ） ∵（已知） ∴，（ ） ∴．（ ） 【答案】见解析 【分析】此题考查了平行线的性质和判定，解题的关键是掌握平行线的性质和判定定理． 首先得到，推出，得到，等量代换得到，推出，同理得到，进而得到． 【详解】解：． 理由如下： ∵，，（已知） ∴ ∴，（同位角相等，两直线平行） ∴．（两直线平行，同位角相等） ∵，（已知） ∴，（等量代换） ∴，（内错角相等，两直线平行） ∵（已知） ∴，（内错角相等，两直线平行） ∴（平行于同一条直线的两条直线平行）． 3．（安徽省黄山地区2023-2024学年七年级下学期期末考试数学试题）如图，已知，，点E在线段延长线上，平分． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题为平行线与角平分线的综合题，考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义等知识，综合性较强，熟知相关定理并根据题意灵活应用是解题关键，第（2）步要注意根据题意设出未知数，用含x的式子表示出相关角，列出方程解答． （1）根据得到，根据角平分线的定义得到，即可证明； （2）设，则，根据得到，进而得到，根据，得到，从而求出． 【详解】（1）证明：∵， ∴，         ∵ ， ∴ ， ∴；        ∴ ， ∵平分， ∴， ∴ ； （2）解：∵，， 可设， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴ ∴ ∵， ∴，即 ∴， 解得：， ∴． 4．（陕西省渭南市韩城市2022-2023学年七年级下学期期中数学试题）如图，，点、分别在线段、上，、分别与交于点、，若，，求证：．请完善解答过程，并在括号内填写相应的依据． 证明：∵，， ∴___________．(等量代换) ∴．(___________) ∴___________．(两直线平行，同位角相等) ∵，(已知) ∴___________．(等量代换) ∴，(___________) ∴．(___________) ∵，(已知) ∴． ∴． ∴．(___________) 【答案】见解析 【分析】本题考查了垂直的定义，平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键． 根据平行线的性质与判定，证明，进而根据，即可得出． 【详解】证明：∵，， ∴．(等量代换) ∴．(同位角相等，两直线平行) ∴．(两直线平行，同位角相等) ∵，(已知) ∴．(等量代换) ∴，(内错角相等，两直线平行) ∴．(两直线平行，内错角相等) ∵，(已知) ∴． ∴． ∴．(垂直的定义) 故答案为：；同位角相等，两直线平行；；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；垂直的定义． 题型八 根据平行的判定与性质求角度 1．（22-23七年级下·宁夏石嘴山·期中）如图，已知，点，分别是射线，上的点，，，分别平分和． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义： （1）先由平行线的性质得到，再由角平分线的定义得到，据此可得； （2）先证明，得到，则，再证明，得到，则，可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，分别平分和， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．（23-24七年级下·贵州毕节·期中）如图，，，，求的度数．请将求的度数的过程及理由填写出来．    解：因为， 根据“__________”， 所以． 又因为， 所以， 根据“__________”， 所以， 根据“__________” 所以__________． 又因为， 所以__________． 【答案】两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；； 【分析】本题主要考查了利用平行线的判定以及性质求角的度数，由平行线的性质可得出，等量代换可得出，进而得出，由平行线的性质可得出，进而可求出答案， 【详解】解：因为， 根据两直线平行，同位角相等， 所以． 又因为， 所以， 根据内错角相等，两直线平行， 所以， 根据两直线平行，同旁内角互补， 所以． 又因为， 所以 故答案为：两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；； 3．（23-24七年级下·四川内江·开学考试）如图，已知，． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，且，求的度数． 【答案】(1)；理由见解析 (2) 【分析】此题考查了平行线的判定和性质，两直线平行的性质、判定，往往要相互转化，交替运用，注意在实际解题中多加体会． （1）根据对顶角相等及已知条件证得，即可得到结论； （2）根据对顶角相等和平行线的判定推出，得到，根据，求出，得到，再利用，得到． 【详解】（1）解：；理由如下： 因为与是对顶角， 所以， 又因为，， 所以， 所以； （2）解：因为与是对顶角， 所以， 又因为， 所以， 所以， 所以， 又因为， 所以， 所以， 所以， 又因为， 所以， 所以． 4．（22-23七年级下·四川达州·期中）如图，，，求的度数． 解：因为（                  ）， 所以 （                 ）， 又因为（已知）， 所以（等量代换）． 所以 （内错角相等，两直线平行）． 所以（               ）． 因为（已知）， 所以 ． 【答案】已知；；两直线平行，同位角相等；；两直线平行，同旁内角互补； 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质．根据题干的提示逐步完善推理过程与推理依据即可． 【详解】解：因为（已知）， 所以（两直线平行，同位角相等）， 又因为（已知）， 所以（等量代换）． 所以（内错角相等，两直线平行）． 所以（两直线平行，同旁内角互补）． 因为（已知）， 所以． 1．（22-23七年级下·辽宁铁岭·期末）已知直线，点在、之间，点、分别在直线、上，连接、． (1)如图1，直接写出之间的数量关系； (2)如图2，平分，平分，当时，求出的度数； (3)如图3，若点在的下方，平分，平分，的反向延长线交于点，当时，直接写出的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会探究规律，利用规律解决问题． （1）如图，过点作，根据平行线的性质得到，，等量代换即可得到结论； （2）如图，过点作，根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，，得到，作，于是得到结论； （3）如图，过点作，设，根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，，根据角平分线的定义得到，作，于是得到结论． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图，过点作， ， ，， ， ， ， ； （2）解：如图，过点作， 同理可得，， ，， ， 平分，平分， ，， ， 作，同理可得，； （3）解：如图，过点作， 设， ， 平分， ， ， ，， ， ， 平分， ， 作，同理可得，． 2．（22-23七年级下·山东青岛·期中）如图1，O为直线上一点，过点O作射线，，将一直角三角板（）的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边与都在直线的上方，将图1中的三角板绕点O以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周． 　 (1)几秒后与重合？ (2)如图2，经过t秒后，，求此时t的值； (3)若三角板在转动的同时，射线也绕O点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，那么经过多长时间与重合？ (4)在（3）的条件下，当射线，射线，射线三条中的一条是另外两条组成的夹角的平分线时，请直接写出t的值． 【答案】(1)10秒后与重合 (2)经过秒或80秒后， (3)经过20秒时间与重合 (4)的值为或 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，角的计算以及方程的应用，关键是应该认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系求出角的度数是解题的关键． （1）用角的度数除以转动速度即可得； （2）求出，结合旋转速度可得时间； （3）设，则，由题意列出方程，解方程即可； （4）分四种情况讨论：平分时（都在上方），平分平分时（上方、下方各一个角)，平分，根据转动速度关系列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴秒后与重合； （2）解：分两种情况： 在上方时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴经过20秒后，； 在下方时，如图2.2， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴经过20秒或80秒后，； （3）解：如图3所示： 则， ∵三角板绕点以每秒的速度，射线也绕点以每秒的速度旋转， 设，则， ∵与重合， 则， 可得：， 解得：秒； 即经过20秒时间与重合； （4）解：分三种情况： ①平分时，此时在上方，如图4所示： ， ∴，无解； ②平分，此时在上方，如图5所示： ， ， 解得：秒； ③当平分时，如图6， ， ， 解得：； ④当平分时，如图7， ， ，无解； 故的值为或． 3．（23-24七年级下·广西河池·期末）如图①，已知直线，且和、分别交于，两点，和、分别交于，两点，点在线段上（点和，两点不重合），，，． (1)若，，则_________． (2)试找出，，之间的数量关系，并说明理由． (3)应用（2）中的结论解答下面的问题：如图②，点在的北偏东的方向上，在的北偏西的方向上，求的度数． (4)如果点在直线上且在线段外侧运动（和，两点不重合），其他条件不变，试探究，，之间的关系． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) (4)或 【分析】（1）作交于，由平行线的性质可知，，结合，从而推出，即可得到答案； （2）同（1）可知； （3）根据（2）的结论可知，结合方位角度的定义即可得到答案； （4）①当点线段的延长线时，过作交于，可知，从而推出，，结合即可得到；②当点在线段的延长线上时，过作交于，可知，，结合即可得到． 【详解】（1）解：如图，作交于，则 又，， 故答案为：． （2）解：．理由如下： 如图，作交于，则 又 （3）解：根据题意可知，， 由（2）可知 （4）解：①当点线段的延长线时，如图①所示 过作交于 ， 又 ②当点在线段的延长线上时，如图②所示， 过作交于，则 又 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，方向角的定义，角的计算，熟练掌握平行线的性质和分情况讨论并作出合适的辅助线是解题的关键． 4．（23-24七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）在学校开展的社团活动中，“数学大师”社团开展了题为《关于三角板的数学思考》综合实践活动，使用一副三角板，分别为三角板（，），三角板（，）． (1)小明将一副三角板按如图1所示的方式放置，使点落在上，点与点重合，且，________． (2)如图2，小亮将一个三角板放在一组直线与之间，并使顶点在直线上，顶点在直线上，现测得，，请判断直线，是否平行，并说明理由； (3)现将三角板和三角板按图3的方式摆放，使顶点在直线上，顶点在直线上，，直角顶点与重合． ①若点、、在同一直线上，则与之间的关系式为________； ②若点、、不在同一直线上，其他条件不变，如图4，则、与之间的关系式为________． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)①；② 【分析】本题考查了平行线的性质，角的和差运算，构造平行线是解题的关键． （1）由，得，由即可求解； （2）；过A作，则得，从而得，则可判定； （3）①过A作，过D作，则，； 则，；再由平行的传递性质得， 有，从而得与之间的关系； ②过A作，过C作，则，； 则，；再由平行的传递性质得， 有，，从而得、与之间的关系； 【详解】（1）解：， ， ； 故答案为：； （2）解：；理由如下： 如图，过A作， ， ， ， ； ， ； （3）解：①如图，过A作，过D作， ，； ， ； ， ； ， ， ， ； 故答案为：； ②如图，过A作，过C作， ，； ，；， ； ， ； ，， ， ， 即， ． 故答案为：． 24 / 36 学科网（北京）股份有限公司 $$ 12.2平行线 题型一 平行公理及推论的应用 1．（2024七年级下·天津·专题练习）下列说法中正确的个数有（　　） （1）在同一平面内，两条不相交的直线叫做平行线 （2）经过直线外一点，能够画出一条直线与已知直线平行，并且只能画出一条 （3）如果，，则 （4）两条不平行的射线，在同一平面内一定相交． A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24七年级下·河南郑州·期中）下列说法正确的是（　　） A．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．垂线段就是点到直线的距离 D．直线a，b，c在同一平面内，若，，则 3．（23-24七年级下·河北石家庄·阶段练习）已知直线l，在同一平面内，甲、乙、丙得到如下结论，下列判断正确的是(    ) 甲：与直线l垂直的直线有且只有一条；   乙：经过一点，有且只有一条直线与直线l平行； 丙：若两条直线 a，b都与直线l平行，则直线 a，b平行 A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲对丙错 D．乙错丙对 4．（22-23七年级下·广西南宁·阶段练习）是直线，下列说法正确的是(　　) A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型二 平行线的判定 1．（23-24七年级下·四川成都·阶段练习）如图，直线被直线所截，下列选项中能得到的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·山东青岛·期中）如图，直线a、b都与直线c相交，给出下列条件：①；②；③；④．其中能判断的条件是（　　） A．①② B．③④ C．①③④ D．①②③ 3．（22-23七年级下·江苏南通·期中）如图所示，下列条件不能判定的是（    ） A． B． C． D． 4．（22-23七年级下·四川达州·期中）如图，点在的延长线上，下列条件中不能判断的是（    ） A． B． C． D． 题型三 平行线的性质 1．（2024·云南红河·模拟预测）如图，直线与直线被直线所截，若，则与的数量关系为（    ） A． B． C． D．无法判断 2．（22-23七年级下·贵州遵义·期中）如图，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，直线，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·河北石家庄·阶段练习）如图，直线，直线与直线、分别相交于A、两点，于点A，交直线于点．如果，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 题型四 根据平行线的性质求角的度数 1．（2024·广东·模拟预测）如图，直角三角板和直尺如图放置，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·福建三明·期中）如图，，，，则等于（ ） 如 A． B． C． D． 3．（22-23七年级下·广西南宁·阶段练习）如图，与相交于点O，已知，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．（22-23七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，是的平分线，，交于点G，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 题型五 平行线的性质在生活中的应用 1．（23-24七年级下·广西百色·期末）如图，一条公路两次转弯后，和原来的方向相同．如果第一次的拐角，则第二次的拐角度数是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）一辆汽车在笔直的公路上行驶，在两次转弯后，前进的方向仍与原来相同，那么这两次转弯的角度可以是（   ） A．先右转，再左转 B．先左转，再右转 C．先左转，再左转 D．先右转，再右转 3．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如下图是从玻璃杯底部发出的一束平行光线经过水面折射形成的光线示意图，水面与玻璃杯的底面平行．若，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·广西贵港·期末）在两千多年前，我们的先祖就运用杠杆原理发明了木杆秤，学名叫作戥子，如图，这是一杆古秤在称物时的状态，已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 题型六 求平行线间的距离 1．（河南省商丘市虞城县城区学校2023-2024学年七年级数学下学期四分之一月考试题）如图，，点，在直线上，点在直线上，，，，，则图中与之间的距离为 ． 2．（广西壮族自治区来宾市2023-2024学年七年级下学期期末数学试题）如图，，点在直线上，点，在直线上，，如果，，，那么平行线，之间的距离为 ． 3．（湖南省永州市双牌县2023-2024学年七年级下学期期末数学试题）已知在同一平面内，直线，，互相平行，直线与之间的距离是，直线与之间的距离是，那么直线与的距离是 ． 4．（重庆市求精中学校2023-2024学年七年级下学期期中数学试题）已知直线，，在同一平面内，且，与之间的距离为，与之间的距离为，则与之间的距离是 ． 题型七 根据平行的判定与性质证明 1．（云南省曲靖市沾益区2023-2024学年下学期期中考试七年级数学试卷）如图，点分别是的边上的点，，．求证：． 2．（辽宁省铁岭市实验学校2022-2023学年七年级下学期第二次数学阶段性测试题）如图，于点F，于点M，，，请问与平行吗？说明理由．完成下列推理过程： 解：． 理由如下： ∵，，（已知） ∴ ∴，（ ） ∴．（ ） ∵，（已知） ∴ ，（ ） ∴，（ ） ∵（已知） ∴，（ ） ∴．（ ） 3．（安徽省黄山地区2023-2024学年七年级下学期期末考试数学试题）如图，已知，，点E在线段延长线上，平分． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 4．（陕西省渭南市韩城市2022-2023学年七年级下学期期中数学试题）如图，，点、分别在线段、上，、分别与交于点、，若，，求证：．请完善解答过程，并在括号内填写相应的依据． 证明：∵，， ∴___________．(等量代换) ∴．(___________) ∴___________．(两直线平行，同位角相等) ∵，(已知) ∴___________．(等量代换) ∴，(___________) ∴．(___________) ∵，(已知) ∴． ∴． ∴．(___________) 题型八 根据平行的判定与性质求角度 1．（22-23七年级下·宁夏石嘴山·期中）如图，已知，点，分别是射线，上的点，，，分别平分和． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 2．（23-24七年级下·贵州毕节·期中）如图，，，，求的度数．请将求的度数的过程及理由填写出来．    解：因为， 根据“__________”， 所以． 又因为， 所以， 根据“__________”， 所以， 根据“__________” 所以__________． 又因为， 所以__________． 3．（23-24七年级下·四川内江·开学考试）如图，已知，． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，且，求的度数． 4．（22-23七年级下·四川达州·期中）如图，，，求的度数． 解：因为（                  ）， 所以 （                 ）， 又因为（已知）， 所以（等量代换）． 所以 （内错角相等，两直线平行）． 所以（               ）． 因为（已知）， 所以 ． 1．（22-23七年级下·辽宁铁岭·期末）已知直线，点在、之间，点、分别在直线、上，连接、． (1)如图1，直接写出之间的数量关系； (2)如图2，平分，平分，当时，求出的度数； (3)如图3，若点在的下方，平分，平分，的反向延长线交于点，当时，直接写出的度数． 2．（22-23七年级下·山东青岛·期中）如图1，O为直线上一点，过点O作射线，，将一直角三角板（）的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边与都在直线的上方，将图1中的三角板绕点O以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周． 　 (1)几秒后与重合？ (2)如图2，经过t秒后，，求此时t的值； (3)若三角板在转动的同时，射线也绕O点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，那么经过多长时间与重合？ (4)在（3）的条件下，当射线，射线，射线三条中的一条是另外两条组成的夹角的平分线时，请直接写出t的值． 3．（23-24七年级下·广西河池·期末）如图①，已知直线，且和、分别交于，两点，和、分别交于，两点，点在线段上（点和，两点不重合），，，． (1)若，，则_________． (2)试找出，，之间的数量关系，并说明理由． (3)应用（2）中的结论解答下面的问题：如图②，点在的北偏东的方向上，在的北偏西的方向上，求的度数． (4)如果点在直线上且在线段外侧运动（和，两点不重合），其他条件不变，试探究，，之间的关系． 4．（23-24七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）在学校开展的社团活动中，“数学大师”社团开展了题为《关于三角板的数学思考》综合实践活动，使用一副三角板，分别为三角板（，），三角板（，）． (1)小明将一副三角板按如图1所示的方式放置，使点落在上，点与点重合，且，________． (2)如图2，小亮将一个三角板放在一组直线与之间，并使顶点在直线上，顶点在直线上，现测得，，请判断直线，是否平行，并说明理由； (3)现将三角板和三角板按图3的方式摆放，使顶点在直线上，顶点在直线上，，直角顶点与重合． ①若点、、在同一直线上，则与之间的关系式为________； ②若点、、不在同一直线上，其他条件不变，如图4，则、与之间的关系式为________． 6 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$