精品解析：山东省枣庄市市中区辅仁高级中学2026届高三上学期12月月考数学试卷

2026届高考一轮复习上学期12月月考试卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 4.考试范围：高中数学全部内容（人教A版）. 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，，则中元素个数为（ ） A. 0 B. 3 C. 5 D. 8 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 1 3. 设数列是等差数列，，，则这个数列的前9项和等于（ ） A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 4. 已知向量，若与同向共线，则x为（ ） A. B. C. D. 0 5. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知一个圆柱上、下底面的圆周都在同一个球面上，球的直径为4，圆柱底面直径为2，则圆柱的侧面积为（　　） A. B. C. D. 7. 已知函数的定义域为D，则“的值域为”是“对任意，存在，使得”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知直线与相交于点，直线的方程为，则点到直线距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在毎小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 记为等比数列的前n项和，为的公比，若，则（ ） A. B. C. D. 10. 某学校为了调查学生在一周生活方面的支出情况，抽出了一个容量为的样本，其频率分布直方图如图，其中支出在元的学生有45人，则下列说法正确的是（ ） A. 样本中支出在元的频率为 B. 的值为150 C. 采用分层抽样从这45人中抽出10人，则在中共需抽出5人 D. 该校学生一周生活方面支出的第75百分位数大约是52元（精确到个位数） 11. 已知函数（且），则下列正确的是（ ）． A. 的定义域为 B. 当时，在上的值域为 C. 的图象关于点对称 D. 若有两个零点，则的取值范围为 三、填空题（本大题共3小题，每小题 5 分，共15分．） 12. 已知，则________；________． 13. 已知数列满足，若，则的所有可能值的和为______； 14. 已知离心率为的椭圆和离心率为的双曲线：有公共的焦点，分别为左、右焦点，是与在第一象限的公共点.若点满足，则的最小值为____________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 在中，角所对的边分别为，已知． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 16. 某市为了研究学生身体素质与课外体育锻炼时间的关系，在某个区随机调查了1000名学生，得到如下列联表： 课外体育锻炼时间 组别 达标 不达标 合计 身体素质强 860 40 900 身体素质弱 40 60 100 合计 900 100 1000 （1）根据小概率值的独立性检验，分析课外体育锻炼时间与身体素质是否有关； （2）如果用该区学生达标成绩的情况来估计全市学生的达标情况，现从全市学生中随机抽取3名，求恰有1人课外体育锻炼时间达标的概率. 附 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 17. 如图，在四棱柱中，平面，，．分别为的中点， （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角余弦值； （3）求点到平面的距离． 18. 设椭圆过点，且离心率. （1）求椭圆的方程； （2）设为椭圆的上顶点，MN为上异于的两点，若直线AM，AN的斜率为，且.求证：以线段MN为直径的圆经过一个定点，并求出该定点的坐标. 19. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）若对任意都有，求实数a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高考一轮复习上学期12月月考试卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 4.考试范围：高中数学全部内容（人教A版）. 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，，则中元素个数为（ ） A. 0 B. 3 C. 5 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据补集的定义即可求出． 【详解】因为，所以， 中的元素个数为， 故选：C． 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】由复数除法即可求解. 【详解】因为，所以. 故选：A. 3. 设数列是等差数列，，，则这个数列的前9项和等于（ ） A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 【答案】C 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，根据题意列出方程组求出，再结合等差数列的前项和公式求解. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，，所以，， 解得， 则数列的前9项和为. 故选：C 4. 已知向量，若与同向共线，则x为（ ） A. B. C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】由向量共线的坐标表示可得，再判断方向即可． 【详解】与同向共线, . 当时，，与同向共线，符合； 当时，，与反向共线，不符合. ． 故选：A． 5. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数函数的单调性，结合正弦函数的正负性进行判断即可. 【详解】因为函数是正数集上的减函数， 所以， 因为是第一象限角， 所以， 因此， 故选：D 6. 已知一个圆柱上、下底面的圆周都在同一个球面上，球的直径为4，圆柱底面直径为2，则圆柱的侧面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意结合勾股定理可得，求出圆柱的高，再由圆柱侧面积公式求解即可 【详解】设圆柱的高为，球的半径为，圆柱的底面半径为， 根据题意，， 由勾股定理可得，故， 侧， 故选：B 7. 已知函数的定义域为D，则“的值域为”是“对任意，存在，使得”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由函数值域的概念结合特例，再根据充分条件、必要条件的概念即可求解. 【详解】若函数的值域为，则对任意，一定存在，使得， 取，则，充分性成立； 取，，则对任意，一定存在，使得， 取，则，但此时函数的值域为，必要性不成立； 所以“的值域为”是“对任意，存在，使得”的充分不必要条件. 故选：A. 8. 已知直线与相交于点，直线的方程为，则点到直线距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定直线经过的定点和垂直关系，然后确定点的轨迹是圆，进而根据直线与圆的位置关系求出最大距离即可. 【详解】因为直线与相交于点， 直线变形为，过定点； 直线变形为，过定点； 因为，所以，所以点的轨迹是以为直径的圆. 的中点坐标为，半径为，所以圆的方程为. 由于圆心直线的距离为，所以点到直线距离的最大值为. 故选：B. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在毎小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 记为等比数列的前n项和，为的公比，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】对A，根据等比数列通项公式和前项和公式得到方程组，解出，再利用其通项公式和前项和公式一一计算分析即可. 【详解】对A，由题意得，结合，解得或（舍去），故A正确； 对B，则，故B错误； 对C，，故C错误； 对D，，， 则，故D正确； 故选：AD. 10. 某学校为了调查学生在一周生活方面的支出情况，抽出了一个容量为的样本，其频率分布直方图如图，其中支出在元的学生有45人，则下列说法正确的是（ ） A. 样本中支出在元的频率为 B. 的值为150 C. 采用分层抽样从这45人中抽出10人，则在中共需抽出5人 D. 该校学生一周生活方面支出的第75百分位数大约是52元（精确到个位数） 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，利用频率分布直方图中所有矩形的面积之和为1，可判断；对于B，利用频率、频数以及样本总容量的关系可判断；对C，计算出样本中支出在的频率，结合分层抽样可判断；对D，根据百分位数的定义计算. 【详解】对于A，样本中支出在元的频率为，故A错误； 对于B，由A知，故B正确； 对于C，样本支出在的频率为，则在中共需抽出人，故C错误； 对于D因为样本中支出在的频率为，所以第75百分位数位于区间内，记为， 则，解得，所以第75百分位数大约是52元，故D正确. 故选：BD. 11. 已知函数（且），则下列正确的是（ ）． A. 的定义域为 B. 当时，在上的值域为 C. 的图象关于点对称 D. 若有两个零点，则的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，根据解析式求出函数的定义域判断；对B，判断在上的单调性，求解值域判断；对C，利用函数对称性的定义判断；对D，函数和的图象有两个交点，数形结合判断. 【详解】对于A，由，即，所以，即的定义域为，故A正确； 对于B，当时，，因为和在上单调递减， 所以在上单调递减，又，，所以的值域为，故B错误； 对于C，因为， 所以关于点对称，故C正确； 对于D，令，即，作出函数和的图象，如下图， 若有两个零点，即函数和的图象有两个交点，由图可得，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题 5 分，共15分．） 12. 已知，则________；________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用赋值法可求，利用换元法结合赋值法可求的值. 【详解】令，则， 又， 故， 令，则， 令，则，故 故答案为：. 13. 已知数列满足，若，则的所有可能值的和为______； 【答案】36 【解析】 【分析】根据条件得到的递推关系，从而判断出的类型求解出可能的通项公式，即可计算出的所有可能值，并完成求和. 【详解】因为，所以或， 当时，是等差数列，，所以； 当时，是等比数列，，所以， 所以的所有可能值之和为：. 故答案为：. 【点睛】本题考查等差和等比数列的判断以及求数列中项的值，难度一般.已知数列满足(为常数)，则是公差为的等差数列；已知数列满足，则是公比为的等比数列. 14. 已知离心率为的椭圆和离心率为的双曲线：有公共的焦点，分别为左、右焦点，是与在第一象限的公共点.若点满足，则的最小值为____________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，利用椭圆和双曲线的性质有，再由基本不等式即可求解. 【详解】因为点满足，是的中点 所以三角形是直角三角形，且. 设，则. 所以. 所以. 所以， 当且仅当，即时取等号. 所以的最小值为. 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 在中，角所对的边分别为，已知． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1），利用余弦定理即可得到方程，解出即可； （2）法一：求出，再利用正弦定理即可；法二：利用余弦定理求出，则得到； （3）法一：根据大边对大角确定为锐角，则得到，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可；法二：直接利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可. 【小问1详解】 设，，则根据余弦定理得， 即，解得（负舍）； 则. 【小问2详解】 法一：因为为三角形内角，所以， 再根据正弦定理得，即，解得， 法二：由余弦定理得， 因为，则 【小问3详解】 法一：因为，且，所以， 由（2）法一知， 因为，则，所以， 则， . 法二：， 则， 因为为三角形内角，所以， 所以 16. 某市为了研究学生身体素质与课外体育锻炼时间的关系，在某个区随机调查了1000名学生，得到如下列联表： 课外体育锻炼时间 组别 达标 不达标 合计 身体素质强 860 40 900 身体素质弱 40 60 100 合计 900 100 1000 （1）根据小概率值的独立性检验，分析课外体育锻炼时间与身体素质是否有关； （2）如果用该区学生达标成绩的情况来估计全市学生的达标情况，现从全市学生中随机抽取3名，求恰有1人课外体育锻炼时间达标的概率. 附 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）有关 （2） 【解析】 【分析】（1）根据列联表的数据，计算，比较临界值可得结论． （2）利用频率估计概率可知该区任抽一名学生，这名学生课外体育锻炼时间达标的概率为，利用二项分布概率公式计算可求结论. 【小问1详解】 课外体育锻炼时间与身体素质无关， ， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 所以有的把握认为课外体育锻炼时间与身体素质有关； 【小问2详解】 由题意在某个区随机调查了1000名学生，有900人达标，达标率为， 利用频率估计概率可知该区任抽一名学生，这名学生课外体育锻炼时间达标的概率为. 记“恰有1人课外体育锻炼时间达标”为事件， 则， 所以恰有1人课外体育锻炼时间达标的概率. 17. 如图，在四棱柱中，平面，，．分别为的中点， （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角余弦值； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1） 取中点，连接，， 由是的中点，故，且， 由是的中点，故，且， 则有、， 故四边形是平行四边形，故， 又平面，平面， 故平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，，借助中位线的性质与平行四边形性质定理可得，结合线面平行判定定理即可得证； （2）建立适当空间直角坐标系，计算两平面的空间向量，再利用空间向量夹角公式计算即可得解； （3）借助空间中点到平面的距离公式计算即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 有、、、、、， 则有、、， 设平面与平面的法向量分别为、， 则有，， 分别取，则有、、，， 即、， 则， 故平面与平面的夹角余弦值为； 【小问3详解】 由，平面的法向量为， 则有， 即点到平面的距离为. 18. 设椭圆过点，且离心率. （1）求椭圆的方程； （2）设为椭圆的上顶点，MN为上异于的两点，若直线AM，AN的斜率为，且.求证：以线段MN为直径的圆经过一个定点，并求出该定点的坐标. 【答案】（1） （2） 法一：证明：由题意知直线MN的斜率存在，设直线MN的方程为. 联立方程得. 设，则. 所以 化简得，解得或（舍去）. 所以. 所以. 设该圆过一个定点，则， 所以，即. 将代入化简有对任意实数成立， 所以解得. 故以线段MN为直径的圆过定点. 法二：同法一求出直线在y轴上的截距m得直线MN过定点， 以及，. 题目情境关于轴对称，故若以线段MN为直径的动圆过定点，则该定点在轴上. 设定点为，则. 所以，即. 将代入，得. 化简有对任意实数都成立， 即解得. 故以线段MN为直径的圆过定点. 【解析】 【分析】（1）由和以及椭圆过点求出参数即可得解； （2）法一：由题意设直线MN的方程为，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理和求出参数m，设该圆过一个定点，利用结合韦达定理分析计算求解即可得证； 法二：同法一得到参数m以及，进而得到圆过定点为，利用同理法一计算即可求证. 【小问1详解】 由椭圆的离心率及，知. 又椭圆过点，所以，解得. 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 略 19. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）若对任意都有，求实数a的取值范围. 【答案】（1）单调递增区间单调递减区间 （2） 【解析】 【分析】（1）求出导函数，由得增区间，由得减区间； （2）用分离参数法转化为求函数的最大值．引入新函数，求出导函数，对的一部分探究其零点，得函数的最大值点，从而得最大值． 【小问1详解】 函数定义域是， 由已知， 时，，时，， 所以单调递增区间，单调递减区间； 【小问2详解】 因为对任意都有，即恒成立. 令，则. 令，则在上单调递增，因为， 所以存在使得， 当时单调递增， 当时单调递减. 所以 ， 由于，可得.则， 所以， 又恒成立，所以. 综上所述实数a的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $