河南省南阳市名校2026-2027学年高二上学期期中学情分析数学试题

2026一2027学年（上）南阳名校高二期中学情分析 数 学 注意事项： 1.答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定 位置。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题 卡上。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的 1.若向量AB=(1,√3)是直线l的一个方向向量，则直线l的倾斜角为 A君 B号 c D. 2.若方程 +之=1表示双曲线，则n的取值范围是 n-2+5-n A.(5,+∞) B.（-∞，2) C.(2,5) D.(-0,2)U(5,+∞) 3.已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(-6,3),B(4,-3),C(1,-2),则AC边上的中线所 在直线的方程为 A.7x-13y+11=0 B.7x+13y+11=0 C.13x+7y+11=0 D.7x+13y-11=0 4.若直线l1:Ax+2y+3=0与42：3x+6y-1=0平行，则l1与l2之间的距离为 A.25 B.⑤ c.105 D.4⑤ 3 3 3 5.“直线，：(a2-3a+2)x+2y+3=0与l2:x-y+a2-1=0互相垂直”是“a=3”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 数学第1页（共4页） 6.已知直线1经过点P(2,1),且与圆C:(x-1)2+(y-3)2=9相交于A,B两点，若1AB1=4V2,则 直线l的方程为 A.y=1或3x+4y-10=0 B.y=1或4x+3y-8=0 C.x=2或3x+4y-10=0 D.x=2或4x+3y-8=0 7.在平面直角坐标系x0y中，已知A(1,0),B(4,0),动点C在圆(x-5)2+y2=4上运动，且 A8,C三点不共线，则品2C胎的值 A恒为号 B.恒为1 C.恒为2 D.随点C的位置变化而变化 8.已知F,F3分别为椭圆C的左、右焦点，P,Q为C上两点，且P,F2,Q三点共线，若线段F,Q 的中点M在y轴上，PM⊥F,Q,IPQ1=8,则C的标准方程为 A =1 24+12 B. c+6-1 n+-1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 已知双线C号-号=1，C:苦-苦=1，则 A.C,和C2的实轴长相等 B.C,和C,的渐近线相同 C.C,和C2的焦距相等 D.C,上存在两点，使得C,上任意一点到这两点距离之差的绝对值为定值 10.已知圆C经过A(5,-1),M(2,2),N(-1,-1)三点，则下列说法正确的是 A.圆C的一般方程为x2+y2-4x+2y-4=0 B.圆C上一点到原点距离的最小值为3-√5 C.圆C上一点到直线1：x-2y+6=0距离的最大值为2V5-3 D.若P为圆C上的动点，则PA·P的取值范围是[9-9√2,9+92] 数学第2页（共4页） 11.已知抛物线C:y2=-8x的焦点为F,P是C上一动点，点Q(-1,1),动直线l与C交于A, B两点，准线与x轴交于点H,则下列说法正确的是 A.IPQ1+IPFI的最小值是3 B.若直线l经过点F,则准线上满足∠AMB为锐角的点M恰有2个 C.若直线l经过点H,且·F店=-0，则直线1的斜率为± D.若直线l经过点Q,则1QAI·IQB1的最小值为7 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.当点P(4,1)到直线l:mx-y-2m-1=0的距离最大时，l在y轴上的截距为 13.过点A(3,0)的直线L与曲线C:(2x-1)(x2+y2-1)=0恰有一个公共点，则l的斜率的 取值范围是 、y2 4.已双线C:@>0,6>0的右焦点为E,点A.B分别在C的左右两支上，目 直线AB平行于x轴.若IABI:IBFI=5:3,∠ABF=120°，则C的离心率为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分) 已知圆C,经过点A(7,1),B(2,-4),且圆心C,在直线x=2上 (1)求圆C的标准方程； (2)求圆C1与圆C2:x2+y2+12x-2y+28=0的公切线条数. 16.(15分)》 已知抛物线Cy=的焦点为R (1)求点F的坐标及C的准线方程； (2)若点B在C的准线上，线段BF与C交于点A,且IBAI=√I7IAFI,求直线BF的斜率 及点B的坐标 数学第3页（共4页） 17.(15分) 已知直线1：+二=1过点P(2,1)且与x轴正半轴3y轴正半轴分别交于点A,B,点0为 坐标原点。 (1)求10A1·10B1的最小值，及此时曲线+=1所围成的封闭图形的面积； a b (2)若以线段AB为直径的圆经过点C(3,3),求直线1的方程. 18.(17分) 巴知嘴商c芳 +=1(>6>0)的上顶点为A(0,1),且上顶点与右顶点之间的距离 为10. （1)求C的方程； (2)过点M2)的直线与C交于E,F两点，且M为EF的中点，求直线EF的方程： (3)过点A的直线l与C交于另一点P,0为坐标原点，直线OP与C交于另一点Q,若 △APQ的面积为号，求直线1的方程 19.(17分) 知封闭曲线E由曲线C:;+1(a>b>0,y>0)和曲线C,x+=4(y≤0)拼接 成，且C,的离心率为5 (1)求C,的方程 (2)设A,B分别为E的左、右顶点，P是E上位于x轴上方的动点，过点P作x轴的垂线交 E于另一点Q,直线AP与BQ相交于点T （ⅰ)证明直线TA与TB的斜率之积为定值，且点T的轨迹为某双曲线的一部分； (ⅱ)过点（√6,0）作不与坐标轴垂直的直线l与(i)中的双曲线交于M,N两点，点N 关于x轴的对称点为D,证明直线MD过定点，并求该定点的坐标. 数学第4页（共4页） 2026一2027学年（上）南阳名校高二期中学情分析 数学·答案 一、选择题 1.答案B 命题透析本题考查直线的斜率和倾斜角， 解析设直线1的倾斜角为9(0≤<m).由题意可知，斜率为k=an0=V5,则倾斜角为牙 2.答案D 命题透析本题考查双曲线的标准方程， 解析因为方程兰2+写亡。1表示双曲线所以(a-2)5-)<0,解得n<2或>5 n-2+5-n 3.答案B 命题透析本题考查中点坐标公式和直线的两点式方程. 解析因为4C的中点坐标为-子，）》，所以4C边上的中线所在直线的方程为y-(-3)= -(-3) 2、4 4),整理，得7x+13y+11=0. 4.答案A 命题透析本题考查两条平行直线间的距离. 解析由两条直线平行，得6×入-2×3=0，解得入=1.所以1：x+2y+3=0,即3x+6y+9=0.所以l1与3之 间的距离为-1-9125 V32+6 3 5.答案B 命题透析本题考查两条直线垂直的充要条件. 解析若l,1l2,则(a2-3a+2)×1+2×(-1)=0,解得a=0或a=3.所以“直线l,与h2互相垂直”是“a=3” 的必要不充分条件 6.答案C 命题透析本题考查直线和圆相交的弦长问题。 解析已知弦长|AB1=4√2，半径r=3,所以圆心C到直线l的距离为√32-(2√2)2=1.当直线1的斜率不存 在时，直线1的方程为x=2,此时圆心C(1,3)到直线x=2的距离为2-1=1，满足条件.当直线1的斜率存在 时，设直线l的方程为y-1=k(x-2),即kx-y-2k+1=0.由圆心C(1,3)到直线kx-y-2k+1=0的距离为 一1 1,得=32+山=1，解得k=-子，代入1的方程，得3x+4y-10=0.综上，直线1的方程为x=2或3x+ √2+1 4y-10=0. 7.答案C 命题透析本题考查由圆的方程反推点到两定点的距离之比 解析设C(x,y),则3≤x≤7.由题意，得y2=4-(x-5)2.所以1AC12=(x-1)2+y2=(x-1)2-(x-5)2+ 4=8x-20,1BC12=(x-4)2+y2=(x-4)2-(x-5)2+4=2x-5.所以1AC12=41BC12,则1AC1=21BC1.所以 在△ABC中，由正弦定理，得n∠CBA_AC sinZ CA能-2. 8.答案D 命题透析本题考查椭圆的定义及几何性质的应用 每新设葡圆c学+分 +京=1(a>b>0),其半焦距为c(c>0).如图，因为0，M分别为F,R2,FQ的中点，所以 OM∥FQ.所以F2Q⊥F,F2,即PQ⊥F,F2·所以IPF,I=IQF,l.又PM⊥F,Q,所以IPF,I=IPQ1,所以△PQF 为等边三角形.又1PQ1=8,所以IPFI=8,IPF2|=IF2Q1=4,IFF2I=4V5.所以2a=1PFI+IPF2I=12, 2c=4万，即a=6.c23,侧8=心-2=24，故椭圆C的标准方程为号+名1 D 0 F2 M Q 二、选择题 9.答案BD 命题透析本题考查双曲线的定义和几何性质， 解析对于A,C,的实轴长为2√2，C,的实轴长为4，故A错误 对于B,C,和C,的渐近线方程均为y=±x,故B正确。 对于C,C,的焦距为4，C,的焦距为42，故C错误 对于D,C,的两个顶点恰为C,的两个焦点，故D正确. 10.答案ABD 命题透析本题考查圆的一般方程，点与圆、直线与圆的位置关系，向量数量积的计算 解析对于A,设圆C的一般方程为x2+y2+Dx+E+F=0.将三个点的坐标分别代人，得 5D-E+F=-26, ,D=-4, 2D+2E+F=-8,解得E=2,所以圆C的一般方程为x2+y-4x+2y-4=0,故A正确. -D-E+F=-2, F=-4, —2 对于B,圆C的标准方程为(x-2)2+(y+1)2=9.原点(0,0)到圆心C(2,-1)的距离为√2+(-1)= √5<3，则原点在圆C内.所以圆C上一点到原点距离的最小值为3-5，故B正确 对于C,圆心C到直线1的距离d=12-2×(-)+61_9=25,所以圆C上一点到直线1距离的最大值为 √2+(-2)下5 25+3,故C错误 对于D,设P(2+3cos0,-1+3sin0),0e[0,2m),则PA=(3-3cos0,-3sin0),PM=(-3cos0,3-3sin6). 所以pi.pi=(3-3cos60)(-3cos6)+(-3sin0)(3-3sin0)=9-9(cos0+sin60）=9-92sim(g+平）e [9-9√2,9+9√2]，故D正确. 11.答案ACD 命题透析本题考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系. 解析由题意知，F(-2,0),准线方程为x=2.设A(x1,少1)，B(x2,2). 对于A,如图，过点Q作QD垂直于准线，垂足为D,当P是线段QD与C的交点时，IPQ1+IPFI的值最小，即 IPQI+IPFI=IPQI+IPDI≥IDQI=3,故A正确. 对于B,当直线l垂直于x轴时，IFAI=IFBI=IFH,则以AB为直径的圆与准线相切于点H,此时准线上除点 H外的其他点均满足∠AMB为锐角，故B错误 对于C,易知直线l的斜率不为0，且直线l过点H(2,0),所以可设l:x=y+2.与C的方程联立，得y2+8my+16= 0,l与C有两个交点，则4=64m2-64>0,即m2>1,且为1+2=-8m,y2=16.由F·F店=(x1+2,1)· (2+2,y2)=(x1+2)(x2+2)+y1y2=(my1+4)(my2+4)+y1y2=(m2+1)y1y2+4m(y1+y2)+16=32- 16m2=0,解得m=±2，则直线1的斜率为±号，故C正确 对于D,易知直线1的斜率不为0，且直线l过点Q(-1,1),所以可设l:x=n(y-1)-1.与C的方程联立，得 y2+8y-8n-8=0,所以y1+2=-8n,12=-8n-8.因为1QA1=√1+n1y1-11,1QB1=√1+nI2-11, 所以1QA1·1QB1=(1+n2)1y2-(y1+2)+11=7(1+n2)≥7，故D正确. 三、填空题 12.答案1 命题透析本题考查含参直线过定点，两条直线垂直， 解析直线l的方程可化为m(x-2)-y-1=0,则l过定点A(2,-1).点P(4,1)到l的距离最大时，l1PA.因 为k=1,所以m=-1.此时直线l:y=-x+1,其在y轴上的截距为1. 13.答案 (-,-u(+如） 命题透析本题考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式 解析曲线C由圆0：x2+y2=1和直线l。:2x-1=0组成.当1的斜率存在时，l与。必有一个交点，则1与圆0 无公共点或1与圆0在和圆0的交点处相切.设直线l:y=k(x-3),即kx-y-3k=0,则圆心0(0,0)到1的距 离为4=13>1，解得11>车将x=2代入+y=1,得=±号，可得过点(3,0)与（分，±罗）的直线 √2+1 的斜率为士号，此时圆心0到这两条直线的距离均为山=√贸 27 <1,即这两条直线与圆0均有两个交点，不满 足题意.所以1的斜率的取值范围是 -,-u(+} 14.答案2 命题透析本题考查双曲线的定义和离心率 解析设IABI=5k,IBF1=3k,k>0.在△ABF中，由余弦定理，得IAFI=IAB12+IBF2-2IABI·1BFIcos∠ABF= 25k2+9k2-2×5k×3k× =49k2,所以|AF1=7k.如图，设C的左焦点为F,过点A作F,F的垂线，垂足 为易知四边形ABFR为等腰梯形，且∠A,H=60在△A,中，1P,川=婺，则1R,PI=8k,即2c=8% 由双曲线的定义，得1AP1=AP=7k-3=4=2a,则C的离心率e=名=软=2. 0 四、解答题 15.命题透析本题考查圆的方程，圆与圆的位置关系. 解析（1)设C(2,b).……（1分) 由|C,A|=1C,B1,得√(7-2)2+(1-b)7=√(2-2)2+(-4-b)7,… (3分) 解得b=1,则C,(2,1).…(4分) 4 又半径r=1CA|=7-2=5,…(5分)》 所以圆C,的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=25.…(6分) (2)圆C2:x2+y2+12x-2y+28=0的标准方程为(x+6)2+(y-1)2=9,…(7分)》 所以圆心为C,（-6,1),半径R=3.… …(9分) 因为|CC21=2-（-6)=8=r+R,… (11分) 所以圆C1与圆C2外切，… (12分) 故圆C,与圆C,的公切线条数为3.… (13分) 16.命题透析本题考查抛物线的定义及几何性质 解析（1)由y=6,得=16， 则焦点F在y轴上，且2p=16,p=8,…(2分) 所以F(0,4).… (4分) C的准线方程为y=-4.…(6分) (2)根据题意，不妨设点B(b,-4)在第四象限，过点A作准线的垂线，垂足为H,如图.…（7分) 设IAF1=IAHI=(L>0),则IBA|=√17L,所以|BH1=4L.…(9分) 所以kr=-tanAB=--名=-子 1 （11分) 又E号-（-4e8所议各=解得b=32所以B324 0-b （13分) 由对称性知，当点B在第三象限时，kr=子，B(-32,-4). …(15分)》 17.命题透析本题考查直线的方程，圆的性质. 解析()由直线过点P(2,),得2+万三.……（分》 因为直线l与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于点A,B,所以a>0,b>0,A(a,0),B(0,b).…(2分) 又1：+≥2·所以8，当且仅当-，即a=46=2时等号成立…（5分) 所以1OA·1OB1的最小值为8，此时A(4,0),B(0,2).… …(6分) -5 曲线县+号-1所围成的封闭图形为菱形，顶点为（±4,0），(0，±2)，其面积为分×84=16…(9分) (2)因为以线段AB为直径的圆经过点C(3,3), 所以Ad.B武=0，即(3-a,3)·(3,3-b)=9-3a+9-3b=0,整理，得a+b=6.…(11分) 2 1 =1， 得a2-7a+12=0,解得a=3或a=4.… (13分) La+b=6, 当a=3时，b=3,直线l:x+y-3=0; 当a=4时，b=2,直线l:x+2y-4=0.…（15分） 18.命题透析本题考查椭圆的方程与几何性质，直线与椭圆的位置关系 解析（1)由上顶点为A(0,1),得b=1. (1分) 又右顶点为(a,0),所以√a2+1=√0，解得a2=9. (3分) 所以C的方程为号+y=1. (4分) (2)设E(x1,y1),F(,2). 因为M2,}为F的中点，所以气+名=3，X+⅓=1.①… (5分) 又号+疗=1，号+分=1，两式相减，得名-》名2+0-为0+⅓)=0， 9 (7分) 将①式代人，得-业。-1 1-x2 3， (8分) 因此直线F的方程为y-之=一(：-），即x+3y-3=0 (10分) (3)设P(x3,y) 由△APQ的面积为号知，直线1的斜率存在，设其方程为)=c+1. (11分) y=kx+1, 由 +r, 去y并整理，得（+）2+2=0，… （12分) 18k 则3+0=1+9R （13分) 因为10P1=1001,所以Sam=25m=2×(分×1×I,=sl, …(15分) 所以8-号整理，得9-1011+1=0 1+9k2 所以k=士1或k=士) (16分) 故直线l的方程为y=±x+1,y=± 9x+1. (17分) —6 19.命题透析本题考查点的轨迹方程，直线过定点问题 解析(1)由C2:x2+y2=4(y≤0)，得a=2.… (1分) 由e=￡=5，得c=5,所以6=√-C=1. (2分) 2 所以C的方程为号+=10y>0）.… (3分) （2(i)设(%w)则>0且普+6=1，所以P,到06，-4-名). …(5分)》 4-场 区4(-2,0)，B(2,0),所以m2+26w=二4-8 0-2 (6分) 所以ka·knan2名=为定值…O (7分) 设》则n×古宁整理，得号-苦=1， 改点T的轨迹为双曲线头-号三的一部分…一 (9分) (iⅱ)设M(x1,y1),N(x2,y2),则D(x2,-y32). 易知直线l的斜率存在且不为0，设l:x=y+√6(m≠0). [x=my+6, 由 消去x并整理，得(m2-2)y2+2√6y+2=0, 142 =1, 则m2≠2，y1+y2=- 26m %-2①…（12分) m-2%h=m2-2 由对称性可知，直线MD所过定点必在x轴上，设其为R(r,0). (13分) 由M,R,D三点共线，得=-2-3 (14分) 'r-x1 x2-x1 整理，得r=花+(- y1+y2 代入x1=my1+6,x2=my2+6及①， 2m× 2 得r=√6 +2my业=6+m-2 6-2-26 3， (16分) y1+y2 2√6m 6 m2-2 故直线MD过定点，该定点的坐标为 2 3,0 (17分) 一7