湖南省常德市临澧县第一中学2025-2026学年高三上学期第五次月考数学试题（永通班）

临澧一中2026届高三第五次阶段性考试试卷（永通) 数 学 时量：120分钟 总分：150分 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的) 1.已知集合A={0,2,7},B={0,7,9},则() A.0EA∩B B.2∈A∩B C.0AB D.{7}AB 2.已知复数z满足z·i=1+),则川z=() A.1 B.√2 C.2 D.5 3.己知函数f(y=tan(2x-孕，则下列命题正确的有( )个. ①f(0)=V3 @)在5登上单调递始 @无，0)为f)的一个对称中心 ④f(x)最小正周期为π A.0 B.1 C.2 D.3 4.已知函数f(x)(x∈R),若对于任意的等差数列{a},总有{f(4)}是等差数列，则称函数f(x) 具有“保等差性”，函数f(x)可能是() A.f(x)=2 B.f(x)=x2 C.f(x)=sinx D.f(x)=2x+1 5.已知椭圆等+若-1a>b>0的左、右焦点分别为只，月，点P在椭圆上，连接PR延长 交椭圆C于点N.若PE⊥PE,且PF=4FN,则椭圆C的离心率为() A.3 B. c.3 D.7 5 5 6.已知指数函数f(x)=ad,若f(f(x)=x有且只有两个不等根，则α的取值范围是() A.(0,ee) B.[ee,1) C.(I,ee) D.[e,+w) 7.已知正三棱柱ABC-ABC,的底面边长为4，侧棱长为2，点M在平面BBCC上（不含三棱 柱的顶点)，若M4⊥MB,则CM的最小值为() A.3-√5 B.0-√5 C.25-√5 D.√5 8.若关于x的不等式ae+Cx)2≥x2+(2a+1)x+(a2在(0，+o)上恒成立，则实数a的取值范 围为() A.四) B.[e,+w) C.(0,e] D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.设A,B为两个相互独立的随机事件，且P4B)=二，P(®)=；，下列命题中正确的有( 6 A.P B.Pe0=月 C.(A) 12 D.AaU)贵 10.己知抛物线C:y2=4x,过点P(2,0)的直线1与C交于不同的两点A(x,y),B(x2,y,), 分别以A,B为切点作C的切线，且两切线相交于点Q,设O为坐标原点，则() A.OA.OB=-4 B.抛物线C的准线与以AB为直径的圆相切 C.设M(-2,0),则∠AMO=∠BMO D.点Q位于定直线上 11.已知a>0,e+lmb=1,则() A.a+Inb<0 B.ea+b<2 C.Ina+b<0 D.a+b>1 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.设a,b>0,当名+。取最小省时，会 b a+b 13.有n个编号分别为1,2，…，n的盒子，第1个盒子中有3个白球1个黑球，其余盒子中均 为1个白球1个黑球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取 一球放入第3个盒子，以此类推，从第个盒子中取到黑球的概率是 14.过点(-√2，V)的直线1与圆0：x+y2=1相切于点M,与曲线y=-(x>0)交于点R, 1 若FR的中点为N,则|ON-|MN= 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分13分)如图所示，已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c, 且asin B=-√3 bcos4. (1)求角A的值； (2)若点D是△ABC的外接圆上一点（不与A、B、C重合）， 且满足AB=3,AC=5,BD=7,求四边形ABCD的面积. D 16.（本小题满分15分)已知正项数列{a,}的首项a=1,前n项和S.满足a。=√S。+√Sa-1(>2). (1)求数列{a}的通项公式： (2)记数列 1 的前n项和为T,若对任意的neW,不等式4T<a-a恒成立， ad 求实数a的取值范围. 17.(本小题满分15分) 如图，三棱锥A-BCD中，DA=DB=DC,∠ADB=∠ADC=6O°， F BD⊥CD,E为BC中点. A (1)证明BC⊥DA: (2)点F满足EF=DA,求二面角D-AB-F的正弦值. E B 18.（本小题满分17分) 已知FQ,0是椭圆C:+1(a>b>0)的右焦点，过F作直 线l交椭圆于A,B两点，其中A在x轴上方，当ABLx轴时，|AB=3. (1)求椭圆C的标准方程： （2)设P(4,0), ①求证：∠APF=∠BPF; ②设点M在椭圆C上，点N是△FMP的外接圆与椭圆C的另一个交点（异于M), 若MF平分∠AB,且，1+1=5 MBN'求cos∠AB的值. 19.（本小题满分17分) 已知函数f)= x,直线1：y=b. (1)若直线l与曲线y=f(x)相切，求实数b的值： (2)证明：对于∀b>0,3m∈R,使得当x>m时，直线l恒在曲线y=f(x)上方： (3)若直线！与曲线y=f(x)有三个不同的交点，且从左到右的三个交点的横坐标依次为 飞，x,多，证明：63<。 4e 临澧一中2026届高三第五次阶段性考试试卷（永通) 数学（参考答案） 题号 1 6 P 9 10 11 答案 D B C D B A BCD ACD AD 12.1 13. 11 14.3-√2 y个 5.已知椭画C+芳-1a>60的龙、有病点分别为月：及，△ 0 过E的直线交椭圆C于P,Q两点（不妨P,Q分别在第一、四象限）， 连接PF并延长交椭圆C于点N.又PE=4FN, 不妨设1Pr=4|FN=4x,则|PEF2a-4x,|=2a-x, 由于P明LPR,则1PN+PRP-NEP,则25r2+(2a-42=(2a-,所以x=3 0 则PR=号P照智义PR+Pg=,得到学+(=c,得e=店选C 6.方程ff()=x可化为：=x,即方程a-log。x有两个不等根， 即函数y=d与y=log。x图象有两个不同交点， 因为y=与y=log。x互为反函数，所以两函数图象关于y=x对称， 则y=d与y=log,x图象的交点都分布在直线y=x上， 所以问题等价于y=d与y=x有两个不同交点，即d=x→xha=r→ha=有两根， 即函数v低图象与直线=加有两个交点，设g)-,则gW=1上加 x2 当x∈(0，e)时，g(x)>0,g(x)单调递增；当x∈(e,+o)时，g'(x)<0,g(x)单调递减， 所以869=8@-君又g1)=0,-→0,86)→-0，【→+，8)→0， 可得gx)大致图象如下，则要使y=图象与直线y=h有两个交点， 需满足0<hM<,即1<a<e, 所以a的取值范围是1，e).故选：C. -g(x) 7.由题意知，点M在以线段AB为直径的球与平面BBCC的交线上， 如图，取AB的中点D,过点D作DE⊥平面BBCC,垂足为E, :正三棱柱ABC-4BC的底面边长为4， A到平面BBCC的距离为2W3,则DE=√5， 又侧棱长为2，AB=V42+22=2√5， 可得点M在以E为圆心，以V(W52-(5)2-√2为半径的圆上， 故CM的最小值为CE-√2=0-√2.故选：B. B 8.根据题意，ae-(x+lna2≥x-()2,那么e+a-(x+lna)2≥em-()2, 令函数g(x)=e'-x2,那么导函数g(x)=e-2x=h(x), 那么导函数l(x)=e*-2,令导函数(x)=0,解得x=ln2, 因此当x∈(n2,+o)时，H(x)>0,(x)在(ln2,+o)单调递增， 当x∈(0，ln2)时，h(x)<0,h(x)在(0，n2)上单调递减，因此h(x)≥hl2)=2-2m2>0, 因此函数g(x)在(O,+m)上单调递增，因此只需x+lna心hx,即ha>r-x, 令函数m)=m-x,那么导函数m)=1-x 因此当x∈(0,1)时，m(x)>0，(x)在(0,1)单调递增， 当x∈，+o)时，(x)<0,(x)在L,+o)单调递减， 故m(火m（1)=-1,则-1，即ae后+o).故选：A, 过点P20)的直线1为：x三w+2,与C:y=4x联立，得：=mw+2→广-4w三 根据Ag,),B(,)可得：y+片=4m,=-8,又由5=上.兰-=8=4， 4416 因此OA:OB=xx2+y2=4-8=-4,因此选项A正确； 设A(x,),B(x2,y2)的中点D(S,), + 那么5=5+-44-+-2=16m+16=2r+2, 2 2 8 8 即中点D(s,t)到准线的距离为s+1=2m2+3 |AB1=V1+1y-y2=1+tVG%+2-4yy2=V1+m16t+32, 假设抛物线C的准线与以AB为直径的圆相切， 那么15+1=4B→2㎡+3=2+mNm+2→12m2+9=43m2+2)→9=8， 2 这显然是不成立的，因此无解，因此C的准线与以AB为直径的圆不相切，因此B错误； 根据k4+k@=当+业。=G,+2)+3+2）_2+y)++ +22+2(31+2)x2+2) (x1+2)x2+2) 2X+0+%管+至2巡以-2g0-0. (31+2)x2+2) (x1+2)(x2+2) 因此有∠AMO=∠BMO,因此选项C正确： 根解矿=>=2或=-2，导至数r左成行： 那么抛物线C:y=4x在点A:,),B(2,y)的切线方程分别为： 有店0存-y火店-动 两武消，相方6+左男=玉， 1 压+反 ◆0，具<0，那么=厚台-厚兰 1 因此x=2 2 2-y) 22 -2, 2(y2-) yy2 yy 所以交点Q在直线x=-2上，因此选项D正确.故选：ACD. 11.e+nb=1,e=1-b,a>0,.1-b>1,.0<b<1, 构造f(x)=e-x-1(x>0),则f'(x)=e-1>0,.函数f(x)在(0，+o)上单调递增， ∴.f()>e°-0-1=0，.e>a+1..1=e+lmb>a+1+1mb,.a+lmb<0,故A正确： 令8w=hm-x+1(0<x<),则g(w=1-1=1-x>0, .g(x)在(0,1)上递增，∴g(x)<ml-1+1=0, .b<b-1,.1=e+lnb<e+b-1,∴.e2+b>2,故B错误： 当b=时e-2=l,则a=3,bB>l,a到>0，a+b=a)+子>0，故c错误： 1 。=1-b=m号a=br学，a+b=b0r学+b, 令m=t,则b=eH,t>l,a+b=ht+e-, 设h0=hM+e,t>l,则m0=}er=-e=e-et 令pt)=e-et,t>1,则p(t)=e-e>0, 可知函数p()在(1，+o)上单调递增，p(t)>e-e=0,则H(t)>0, .h(t)在1，+o)上单调递增，(t)>ll+e°=1，.a+b>1,故D正确.故选：AD. 12.令9=t>0,则a=bt, b 即9+4b=+,b 6a+b4b+牛1+，20+043 t+1 当且仪当11，即1=1时取等.故答案为：1 13.记事行4表示从第0=1,2，，)个盒子里取出白球，则P4)子P网1P心0= 质以P4)=P44)+P心44)=P4P4A)+P4)P41A0=了X+×7 4=4414+a4=4号a写4)+8】 ,119 进丽可得4)4至G))0P4小*P4习. 2 i以u)rA-又0-片品w4w-电 所以{P4)-司是首项为子公比为的等比数列， 所以PA) ，即4)*+分 故从第n个盒子中取到黑球的强率是为：1-P4)1-*+月-弓。 14.如图，由于曲线y=-是等轴双曲线，实轴落在直线y=-x上， 所以实轴长2a=2W2,则虚轴长为2b=2a=2√2，焦距2c=2Wa2+b2=4, 所以点5V和点KV5瓦为v=-的两个焦点， 故点R到焦点F(√2，√2)，K(W2,-√②)距离之差为常数2W2, 即IFR-RK=2N2, 因为点O,N分别是FK和FR的中点，故|N-|ON√2， 由直线FR与圆相切可得，IFM=OFP-1=√5， 因为NHFM+|MNI,所以IOWI-|MNHM-√2=V5-V2.故答案为：√5-√. 15.(1)由正弦定理，asinB=-√3 bCosA,a=b .sin Asin B=-3sin B cosA, sinA sinB' 0<B<π，simB>0,则tanA=-√5， :0<A<元，A=2还；(6分) 3 (2)△ABC中，c=3,b=5,.a2=b2+c2-2 bc cosA=49,.a=7=BD, 又ABCD内接于圆，且BD=BC=7,故点D在优弧BC上，且∠BDC=T 3 △BCD为等边三角形，S-)BD.BC.sin”-49W5 34 又5x=4B4cm5-155 34 ·S四边形4BcD=SABe+SBCD=16V5.（13分) 16.(1)由an=VSn+√Sn(n>2),则S。-S1=√S+√Sa-1(n>2),则VS-VS-1=1, 又a=1,则√S,=1, 即数列{√S}是以1为首项，1为公差的等差数列，即√S=1+(n-1)×1=n, 即当心2时，4=n+-)=21-1,又4=1，满足上式，即a,=2n-1: (2)由(1)得1= 1=11 a,a1(2n-10(2n+1)22n-12n+1 则红-0-3+g3+1】 即47=20与)2， 2n+1 又对任意的n∈N,不等式4T<a2-a恒成立， 则a2-≥2，则≤-1或心2，即实数a的取值范围为(-0，-1]U[2,+w). 17.(1)证明：连接AE,DE,.DB=DC,E为BC中点.∴.DE⊥BC, 又，DA=DB=DC,∠ADB=∠ADC=60°， .△ACD与△ABD均为等边三角形，.AC=AB, AE⊥BC,AE∩DE=E,.BC⊥平面ADE, .ADC平面ADE,.BC⊥DA.(6分) (2)DA=DB=DC=2,..BC=22, .DE=AE=2,AD=2,..AE2+DE2=4=AD2,..AE L DE 又AE⊥BC,DEOBC=E,∴.AE⊥平面BCD,(9分) 以E为原点，建立如图所示空间直角坐标系， D(N2,0,0),A(0,0,V2),B(0,V2,0),E(0,0,0), EF=DA,.F(-√2,0，V2), D .DA=(-√2,0，V2),AB=(0,V2,-V2),AF=(-√2,0,0)， 设平面DAB与平面ABF的一个法向量分别为=(，y,3),n=(2,y2,z2), 则2+2=0.V2,-v2,=0 2y-2a=0-2x,=0 令x=1,解得4==1，令2=1，解得x2=0,z2=1,(13分) 故2=1,1,1)，n2=(0,1,1), 设二面角D-AB-F的平面角为0，则1c0s9外4：业=一2三-6 1h21V3x√3 做n0三3所以二面角D=AB-P的弦值为3.16分 3 18.(1)由已知可得c=1,2少=3，且d=b+1,解得a=2,b=5, 则证方程为于+号=1：《3分) (2)①证明：由已知可得直线1的斜率不为0，设直线方程为x=y+1, 再设A(x,y),B(x2,y2),y>0,y2<0, x=y+1 联立{ +上-1'得3r+40P+6m-9=0. 43 6n 9 则y+y2= 3r2+4'=- 3m2+4 设AP、BP所在直线的斜率分别为k,k, -18m,18m 则5+k=y十五，2m+)-30+)-3+43m+4=0, x1-4x2-4(0my1-3)(y2-3)(my1-3)(y2-3) 故∠APF=∠BPF;(9分) ②如图，设IK,,)满足MA=4T BM BF BT 则)+，-y)}=2 民-户+国-安，把=m+1多=m,+1代入， 可得x2+2-2x,Q+m少)2y,业+2m4+1=0, v+v, °y+y2y+y2 9 再把y+y2= 3n+4'y.=3n2+4 代入并整理， 行+-5西品+1=0，博+ 32 9 9 2m 4n2+ 4 因为直线AB和直线x=4的交点为R(4,二)， 故满足AM-A-AT的点r都在以PR为直径的圆上， BM BF BT 故AC-AI-MN, 即NF为∠AB的角平分线， BTIBFBNI 则SAs+SBr=SAav' 所以|WANF|sin∠ANF+|NB‖NF|sin∠BNF=|A‖NB|sin∠ANB； 即si∠ANT+sin∠BWr-sin∠AB_2sin∠4NF cos.∠ANT NBI NANF NF 1 1 可得 -2cos∠AWF_V3 NA NBI NFI 则cos∠ANn=5,所以cos∠AB=!(17分) NF 19.1)设直线与曲线y=W相切于点P三， 由思f)-2,令f)=0,得元，=0或2.故切点为P0.0)或P2是： 切线方程为y=0或=手，即6-0或私- e:(4分) (2)证明：由题可得f')=2x-) ex 所以当x∈(-m,0],f"(x)<0,f(x)单调递减，则f(x)≥f(0)=0, 当x∈0,2小，)>0，单润递增，则0<号， 当x∈2，+m),f)<0,f)单调递减，则0<<。三， 4 若b≥者，取m>2,当x>m时，结合函数f)单调性可知f)<m<了(2)<b, 若0<b号，取m=名3>2， 下面证明不等式f=才分<b,先证明如下不等式：当x>0,有>} >3