专题02 整式及其加减（6大知识点+20大考点+复习提升）（寒假复习讲义）七年级数学新教材沪科版

专题02 整式及其加减 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1 ：代数式的相关概念 1、代数式的定义：是由数字、字母通过有限次加、减、乘、除和乘方等代数运算得到的数学表达式。它可以表示为一个或多个项的和，每个项由系数、字母和字母的指数组成。 2、代数式的书写规则：乘号可以省略或用“·”表示，除法运算用分数线表示。 数字和字母相乘时，数字应写在字母的前面。 带分数应写成假分数的形式。 3、代数式的值：当代数式中的字母取某些特定值时，代数式所表示的数。求代数式的值的方法有直接代入法、整体代入法、间接求值法等。 4、代数式的实际意义：明白每个符号代表的意义以及整个式子所表示的数量关系，用字母表示数后，同一个代数式可以表示不同的实际问题中的数量关系. 知识点2 ：整式的相关概念 1、单项式的定义：如，，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式. 单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数. 单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数. 2、多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式； 多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项； 多项式的次数：一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数. 3、整式：单项式与多项式统称为整式. 单项式、多项式、整式与代数式这四者之间的关系：单项式、多项式必是整式，整式必是代数式，但反过来就不一定成立. 知识点3 ：合并同类项 同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项．几个常数项也是同类项. 易错点： （1）不是同类项的不能合并，无同类项的项不能遗漏,在每步运算中照抄； （2）所有的常数项都是同类项，合并时把它们结合在一起，运用有理数的运算法则进行合并； （3）系数相加(减)，字母部分不变，不能把字母的指数也相加(减)； （4）若两个同类项的系数互为相反数，则合并同类项的结果为0. 知识点4 ：去括号与添括号 1、去括号法则： 括号前面是“＋”号，把括号和前面的“＋”号去掉，括号里各项符号都不改变，如； 括号前面是“－”号，把括号和前面的“－”号去掉，括号里各项符号都要改变，如. 2、添括号法则： 添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号，如； 添括号后，括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要改变符号，如． 知识点5 ：整式的加减 1、利用合并同类项和去括号法则，我们可以进行整式的加减运算. 整式的加减运算，像数的运算一样满足各种运算律，如果有括号要先去括号，再合并同类项. 2、整式加减注意事项：整式加减的结果要最简，不能有同类项，含字母的项的系数不要出现带分数（化成假分数），能去括号的要去括号，一般不含有括号. 3、整式加减的应用 （1）整式的化简求值 一般这类题会利用整体代入法求值，从题中条件中不易直接得到某个字母的具体值，可以将原式化为已知条件中字母间的关系，然后将某个式子的值作为一个整体代入计算. （2）整式中“不含”与“无关”类问题的求解方法 若整式加减运算结果“不含x项”或整体的值“与x的值无关”，实质是指去括号并合并同类项后含字母x的项的系数为0. （3）解决多项式能否被一个数整除类问题 判断一个多项式是否能被一个数整除，关键是看这个多项式是否能化为这个数和某个多项式（多项式的值为整数）乘积的形式. 知识点6 ：图形与数字规律探索 探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律． （1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式． （2）利用方程解决问题．当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x，再利用它们之间的关系，设出其他未知数，然后列方程． 【考点1 用字母表示数】 例1．（2025七年级下·全国·专题练习）下列几组量中，不成反比例的是(  ) A．工作总量一定，工作效率和工作时间 B．减数一定，被减数和差 C．面积一定，平行四边形的底和高 D．食堂运回一批煤，每月烧的吨数和烧的月数 【答案】B 【分析】本题考查了反比例的辨析，根据工作效率工作时间工作总量，可对选项A进行判断；根据被减数差减数，可对选项B进行判断；根据平行四边形的底高面积，可对选项C进行判断；根据一批煤的总吨数每月烧的吨数烧的月数，可对选项D进行判断；综上所述即可得出答案． 【详解】解：对于选项A，∵工作效率工作时间工作总量， ∴当工作总量一定时，工作效率和工作时间成反比例，故选项A不符合题意； 对于选项B，∵被减数差减数， ∴当减数一定时，被减数和差不成比例，故选项B符合题意； 对于选项C，∵平行四边形的底高面积， ∴当面积一定时，平行四边形的底和高成反比例；故选项C不符合题意； 对于选项D，∵一批煤的总吨数每月烧的吨数烧的月数， ∴食堂运回一批煤，每月烧的吨数和烧的月数成反比例，故选项D不符合题意． 故选：B． 变式1．（24-25七年级上·河北秦皇岛·开学考试）小明比小强大2岁，比小华小4岁．如果小强y岁．则小华（    ） A．岁 B．岁 C．岁 D．岁 【答案】D 【分析】本题考查了用字母表示数，先表示出小明岁，再表示出小华岁，问题得解． 【详解】解：小强y岁，小明比小强大2岁，则小明岁；小明比小华小4岁，则小华岁． 故选：D 变式2．（24-25七年级上·浙江·期中）人们学习数学，通常是从学习数学符号开始的．现代数学符号系统的建立经历了长期的演变和发展．我国清朝学堂课本《代徽积拾级》中用“”来表示相当于的代数式，按此方法，符号“”所表示的代数式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查用字母表示代数式的方法，理解题目含义，掌握字母表示代数式的方法是解题的关键．根据材料提示可知，甲，乙，丙，丁，┈对应的字母是；一，二，三，四，五，┈┈对应的数字是；表示减法，表示加法；的分子与分母交换位置是我们所学的代数式形式，由此即可求解． 【详解】解：根据题意可得，“”的代数式为． 故答案为：． 变式3．（24-25七年级上·陕西西安·期中）如图，从一张边长为的正方形铁皮上先截去一个宽的长方形条，再截去一个宽的长方形条，则共截去了 的铁皮．    【答案】/ 【分析】将看做一个数，利用长方形面积公式求解即可． 【详解】解：由题意可知共截去了：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了列代数式，字母表示数，长方形的面积，注意小长方形的面积截了两次是解答本题的关键． 【考点2 代数式的相关概念】 例2．（25-26七年级上·广东广州·期中）在式子：0，，，，，，中，代数式有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】此题考查代数式的定义，代数式是由数字、字母和运算符号（如加、减、乘、除、乘方）组成的数学表达式，不包含等号或不等号，因此，方程和不等式不是代数式，据此判断． 【详解】∵ 代数式需由数字、字母和运算符号组成，且不含等号或不等号， ∴ 0是数字，是代数式； a是字母，是代数式； 含有等号，是方程，不是代数式； 由变量和数字通过减号连接，是代数式； 由数字和字母通过乘法连接，是代数式； 含有不等号，是不等式，不是代数式； 含有不等号，是不等式，不是代数式， ∴ 代数式有0、a、、，共4个， 故选：C 变式1．（24-25七年级下·重庆江津·期末）少数民族服饰以其精美的花纹和艳丽的色彩越来越受到设计师们的喜爱．某民族服饰的花边均是由基础图形进行若干次平移后组成的有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，第3个图案由10个基础图形组成，……，如图，按此规律排列下去，第2025个图案中的基础图形个数为（   ） A．6070 B．6073 C．6076 D．6079 【答案】C 【分析】本题考查了图形类规律探索，根据图形找出已知规律是解题关键．观察图形发现第个图案由个基础图形组成，即可求解． 【详解】解：由图形可知，第1个图案由4个基础图形组成，， 第2个图案由7个基础图形组成，， 第3个图案由10个基础图形组成，， …… 观察发现，第个图案由个基础图形组成， 第2025个图案中的基础图形个数为， 故选：C． 变式2．（25-26七年级上·湖北孝感·期末）下列各式：，，，，，，其中不符合代数式书写规范的有 个． 【答案】/四 【分析】本题主要考查代数式的书写，熟练掌握代数式的书写是解题的关键；根据代数式书写规范，数字与字母相乘时数字应写在字母前面且省略乘号，除法运算应写成分数形式，带分数应避免使用，然后问题可求解． 【详解】解：是带分数，不符合规范，应写成假分数； 符合代数式书写规范； 使用了除法符号，不符合规范，应写成分数形式； 中数字1与相乘，数字应省略或写在前，不符合规范； 数字写在字母后面，不符合规范，应写成； 符合代数式书写规范； 故不符合规范的有4个； 故答案为4． 变式3．（25-26七年级上·山西朔州·期中）下表为太原某超市某天的部分水果价位表，根据价格表回答下列问题： 种类   玉露香梨   运城苹果   阳城柿子   柳林红枣 单价（元/千克） 6 8 3 (1)若王阿姨当日买千克玉露香梨和千克运城苹果． ①王阿姨应付__________元．（用含和的代数式表示）． ②若，，求王阿姨的水果消费总额． (2)请说出代数式的意义． 【答案】(1)①②元 (2)用元买千克柳林红枣和千克阳城柿子后剩余的钱 【分析】本题考查列代数式，代入求值，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）①由表格知，玉露香梨和运城苹果的单价分别为6元和8元，根据总价等于单价乘以数量分别表示出买玉露香梨和运城苹果的总价，然后相加即可； ②将，代入①中代数式求值即可； （2）由表格知，柳林红枣单价元，阳城柿子单价3元，故表示用元买千克柳林红枣和千克阳城柿子后剩余的钱． 【详解】（1）解：①由表格知，玉露香梨和运城苹果的单价分别为6元和8元， ∴王阿姨当日买千克玉露香梨和千克运城苹果应付元； 故答案为：； ②当，时， （元）． 答：王阿姨的水果消费总额为元． （2）解：由表格知，柳林红枣单价元，阳城柿子单价3元， ∴代数式的意义：用100元买千克柳林红枣和千克阳城柿子后剩余的钱． 【考点3 已知字母或式子的值，求代数式的值】 例3．（25-26七年级上·全国·期末）已知互为相反数，求代数式的值． 【答案】4 【分析】本题主要考查相反数及绝对值、代数式的值，熟练掌握相反数及绝对值、代数式的值是解题的关键；由题意易得，然后代值求解即可． 【详解】解：由与互为相反数可知：， ， ， ． 变式1．（24-25六年级上·山东泰安·期末）已知、互为相反数，，互为倒数，的绝对值为2，那么的值为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查相反数，倒数，绝对值，代数式；根据题意得到，代入计算即可． 【详解】解：∵、互为相反数，，互为倒数，的绝对值为2， ∴， 当时， ， 当时， ， 故答案为：或． 变式2．（25-26七年级上·全国·期末）若代数式，则代数式 ． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值．根据已知代数式的值确定出的值，原式变形后代入计算即可求出值． 【详解】解：∵代数式， ∴， ∴． 故答案为：． 变式3．（24-25六年级上·山东济南·期末）运用整体思想在代数式求值中经常会有用到． 例如：已知，则代数式． 请你根据以上材料解答以下问题： (1)若，则_____； (2)若代数式的值为12，求代数式的值． 【答案】(1)6 (2)2002 【分析】此题考查了代数式求值，解题的关键是掌握整体代入方法． （1）将整体代入求解即可； （2）根据题意得到，然后将变形为，然后整体代入求解即可． 【详解】（1）∵ ∴； （2）∵ ∴ ∴． 【考点4 单项式的相关概念】 例4．（25-26七年级上·广东揭阳·期末）下列各式，，，，，m，，，中单项式的个数有（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了单项式的定义，根据单项式的定义，逐个分析判断即可得出答案． 【详解】解：根据题意，单项式有，，，m，共4个， 故选：B． 变式1．（25-26七年级上·上海金山·期中）下列说法正确的是（   ） A．的系数是3 B．的次数是 C．数字是单项式 D．的常数项为 【答案】C 【分析】本题考查单项式和多项式的基本概念，关键是知识点的熟练应用； 根据单项式系数、次数、多项式的项的定义进行判断即可． 【详解】解：A：的系数是，不是，不符合题意； B：的次数是，不是，不符合题意； C：数字是单项式，符合题意； D：的常数项是，不是，不符合题意； 故答案选：C． 变式2．（25-26七年级上·山东青岛·期末）下列说法中不正确的是（   ） A．数字的次数是 B．是二次单项式 C．单项式的系数与次数都是 D．的系数是 【答案】C 【分析】本题考查单项式的系数和次数的概念．单项式的系数是数字因数（包括符号），次数是所有字母的指数和，常数项的次数为0．由此逐项判断即可． 【详解】解：A．数字1是常数项，无字母，次数为0，故该选项说法正确； B．中，是常数，字母x和y的指数均为1，次数为2，是二次单项式，故该选项说法正确； C．单项式的系数是，次数是1，故该选项说法不正确； D．的系数是，故该选项说法正确； 故选：C． 变式3．（25-26七年级上·湖南永州·期中）已知多项式是关于，的四次三项式． (1)求的值； (2)若该多项式的次数与单项式的次数相同，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了多项式及单项式的相关概念，几个单项式的和，叫做多项式，其中每个单项式叫做多项式的项，多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数．熟练掌握相关概念是解此题的关键． （1）根据多项式的定义可得，即可求解； （2）由题意可得，结合，求出即可求解． 【详解】（1）解：多项式是关于，的四次三项式， ， 解得； （2）多项式与单项式的次数相同， ， 又， ， ． 【考点5 单项式规律题】 例5．（24-25九年级上·云南红河·期末）观察下列关于的代数式，探究其规律：，按照上述规律，第10个代数式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了与单项式有关的规律探索，这一列数的系数（不包括符号）是从1开始的连续的奇数，其中奇数项符号为负，偶数项符号为正，指数是从1开始的连续的正整数，据此可得答案． 【详解】解：第1个单项式为， 第2个单项式为， 第3个单项式为， 第4个单项式为， ……， 以此类推可知，这一列数的系数（不包括符号）是从1开始的连续的奇数，其中奇数项符号为负，偶数项符号为正，指数是从1开始的连续的正整数， ∴第10个代数式是， 故选：A． 变式1．（24-25七年级上·云南红河·期末）按一定规律排列的单项式：，按照这样的规律，第2025个单项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式的规律探究，归纳总结出单项式的变化规律是解题的关键．根据题意可得第个单项式为，代入即可得出答案． 【详解】解：第1个单项式为， 第2个单项式为， 第3个单项式为， 第4个单项式为， 第5个单项式为， …… 依此类推，第个单项式为， 当时，， ∴第2025个单项式是． 故选：A． 变式2．（24-25六年级上·山东烟台·期末）按照一定规律排列的单项式：，，，，，……．则第n个单项式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式规律探索，找到各单项式的规律是解题的关键．系数的分母是从2开始的平方，分子是从3开始的奇数，x的指数是从2开始的偶数，照此写出前几个，由此可写出第n个单项式． 【详解】解： ； ； ； ； ； ， 第个单项式为：． 故答案为：． 变式3．（24-25七年级上·广西防城港·期中）观察下列单项式：2x，﹣4x2，6x3，﹣8x4 ，…，38x19 ，﹣40x20 ，…，回答下列问题：     （1）请写出第五项；第六项；     （2）根据上面的归纳，你可以猜想出第n个单项式是什么？     （3）请你根据猜想，写出第2019，2020个单项式． 【答案】（1）第5个单项式是10x5，第6个单项式是﹣12x6；（2）（﹣1）n+1•2nxn；（3）第2019个单项式4038x2019，第2020个单项式﹣4040x2020． 【分析】（1）根据题意，得到单项式中系数的规律解题：系数是偶数，奇数项为正，偶数项为负，字母的指数为正整数； （2）根据（1）中规律解题； （3）将n=2019，n=2020分别代入（2）中解题即可． 【详解】解：(1)由题意可知： 系数为：2＝（﹣1）2×2×1，﹣4＝（﹣1）3×2×2，6＝（﹣1）4×2×3… ∴指数分别是：1，2，3，4，5，6… 故第5个单项式是：10x5，第6个单项式是：﹣12x6 （2）第n个单项式为：（﹣1）n+1•2nxn （3）第2019个单项式4038x2019，第2020个单项式﹣4040x2020． 【点睛】本题考查单项式规律，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 【考点6 多项式的相关概念】 例6．（25-26七年级上·浙江金华·月考）下列说法中正确的是（　　） A．的次数是6次 B．是多项式 C．的次数是2次常数项是7 D．的系数是 【答案】B 【分析】本题主要考查单项式、多项式，熟练掌握单项式、多项式的定义是解决本题的关键．根据单项式、多项式的定义解决此题． 【详解】解：．根据单项式的次数的定义，所有字母的指数的和为单项式的次数，故的次数是4，那么不正确． ．根据多项式的定义，是多项式，那么正确． ．根据常数项的定义，的常数项是，那么不正确． ．根据单项式的系数定义，单项式中的数字及字母形式的常数（如π）的积，故的系数是，那么不正确． 故选：． 变式1．（25-26七年级上·河南新乡·期中）下列说法正确的是（   ） A．是二次三项式 B．是单项式 C．的系数是 D．的次数是6 【答案】A 【分析】本题考查单项式和多项式的定义，次数，系数等概念，单项式的数字因数是单项式的系数，单项式的次数是字母指数之和，多项式的项数是指单项式的个数，最高次项的次数是多项式的次数，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、是二次三项式，故该选项符合题意； B、是多项式，故该选项不符合题意； C、的系数是，故该选项不符合题意； D、的次数是4，故该选项不符合题意； 故选：A． 变式2．（24-25七年级上·河北张家口·期末）在式子：①，②，③，④中，单项式有 ，多项式有 ，整式有 ．（填序号） 【答案】 ②④ ① ①②④． 【分析】根据单项式，单项式，整式的定义逐项分析判断即可求解． 【详解】解：①是多项式，是整式，②是单项式，是整式，③，不是整式，④，是单项式，是整式， ∴单项式有②④；多项式有①；整式有①②④． 故答案为：②④；①；①②④． 【点睛】本题考查了单项式，单项式，整式的定义，掌握以上定义是解题的关键．数或字母的积叫单项式．（单独的一个数或一个字母也是单项式），几个单项式的和叫做多项式，整式：单项式与多项式统称为整式． 变式3．（24-25七年级·浙江杭州·期末）已知代数式：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨． 其中属于单项式的有 ；（填序号） 属于多项式的有 ；（填序号） 属于整式的有 ．（填序号） 【答案】 ①②⑥⑨ ③⑤ ①②③⑤⑥⑨ 【分析】根据单项式，多项式和整式的定义将所给的代数式分类． 【详解】解：单项式有：，，，； 多项式有：，； 整式有：，，，，，． 故答案是：①②⑥⑨，③⑤，①②③⑤⑥⑨． 【点睛】本题考查单项式，多项式和整式的定义，解题的关键是掌握单项式，多项式和整式的分类 【考点7 多项式的系数、指数中字母求值】 例7．（24-25七年级上·江西宜春·期末）若是关于的三次二项式，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三次二项式的定义，分析多项式的次数和项数条件，确定参数和的值. 【详解】1. 次数分析： 多项式的最高次数需为3. 项的次数为（的指数为1，的指数为）. 项的次数为1. 需，解得. 2. 项数分析： 多项式需为二项式，即两项均存在且不合并. 当时，第一项为，第二项为. 因此需，即. 综上，且，对应选项B. 故选：B. 变式1．（24-25七年级上·全国·期中）已知多项式是二次三项式，为常数，则的值为（   ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查了多项式的概念，一元一次方程的应用，解题关键是掌握多项式的项数是单项式的个数，次数是最高项的次数；根据定义列方程求解即可即可． 【详解】解：多项式是二次三项式， ，， ， 故选：B． 变式2．（24-25七年级上·广东广州·期末）若多项式是关于x的三次二项式，则m的值为 ． 【答案】5或 【分析】本题主要考查了多项式，解题关键是熟练掌握多项式的有关概念．先根据多项式是关于的三次二项式，列出关于的 方程，解方程求出即可． 【详解】解：多项式是关于的三次二项式， 解得：或， 故答案为：5或 变式3．（24-25七年级上·陕西西安·期末）已知关于、的多项式的次数为4，这个多项式有三个项，其中三次项系数为.分别求出、、的值. 【答案】，， 【分析】根据多项式的次数即为多项式中单项式次数最高项的次数即为多项式的次数；多项式的项数即为多项式中单项式的个数，单项式的系数即为单项式中的数字因数；进行解答即可． 【详解】解：由题意可知：，，， ∴，． 【点睛】本题考查了多项式的相关定义，熟练掌握多项式以及单项式的相关定义是解本题的关键． 【考点8 多项式的升降幂排列】 例8．（24-25七年级上·福建泉州·期末）下列关于代数式的说法正确的是（   ） A．二次三项式 B．二次项是 C．按x降幂排列 D．常数项是1 【答案】C 【分析】本题主要考查了多项式的项数，次数的定义，多项式的升降幂排列．根据多项式的项数，次数，升降幂排列的定义，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、代数式是三次三项式，故原题说法错误； B、代数式的二次项是，故原题说法错误； C、代数式是按x降幂排列，故原题说法正确； D、代数式的常数项是，故原题说法错误； 故选：C． 变式1．（24-25七年级上·河南周口·期中）关于多项式，下列说法正确的是（    ） A．次数为 B．按的降幂排列为 C．常数项为 D．按的升幂排列为 【答案】B 【分析】本题考查了多项式的意义． 若干个单项式的和组成的式子叫做多项式；每个单项式叫做多项式的项；这些单项式中的最高次数就是这个多项式的次数；把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列；由此逐一判断即可． 【详解】解：A、多项式的次数是次，此选项不符合题意； B、按的降幂排列是，此选项符合题意； C、常数项为，此选项不符合题意； D、按的升幂排列是，此选项不符合题意； 故选：B ． 变式2．（25-26七年级上·湖南郴州·期中）已知多项式，按照y的降幂排列为 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的降幂排列，解题的关键是确定多项式各项中字母的次数． 确定多项式各项中的次数，再按的次数从高到低排列各项． 【详解】解：原多项式为，分别确定各项中的次数 中的次数是3；中的次数是2；中的次数是1；中的次数是0， 按的降幂排列（次数从高到低），得到， 故答案为：． 变式3．（24-25七年级上·河南南阳·期中）已知多项式是关于x、y的四次三项式． (1)求m的值，并写出这个多项式； (2)将多项式按字母y的升幂排列； (3)当，时，求此多项式的值． 【答案】(1)；这个多项式为 (2) (3) 【分析】本题主要考查了多项式以及代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）直接利用多项式的次数的确定方法得出m的值； （2）将多项式按字母y的升幂排列即可； （3）将x，y的值代入求出答案． 【详解】（1）解：∵多项式是关于的四次三项式， ∴，， 解得：， 多项式， （2）解：多项式按字母y的升幂排列为：； （3）解：当，时，此多项式的值为： ． 【考点9 整式的相关概念】 例9．（25-26七年级上·辽宁鞍山·月考）代数式，0，，，，中，整式有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题考查整式的定义，根据整式是分母中不含字母的代数式，包括单项式和多项式，逐一检查每个代数式是否符合定义即可． 【详解】解：是多项式，是整式； 0是单项式，是整式； 是单项式，是整式； 是多项式，是整式； 是多项式，是整式； 分母含字母x和y，不是整式． ∴整式共有5个． 故选：C． 变式1．（25-26七年级上·四川乐山·期中）代数式，，，，，，中，整式共有 个． 【答案】5 【分析】本题主要考查了整式的定义，熟练掌握“整式是分母中不含字母的代数式（包括单项式和多项式）”是解题的关键．根据整式的定义，判断每个代数式是否为整式，统计符合条件的个数． 【详解】解：，，，，是整式，，不是整式， 整式共个． 故答案为：． 变式2．（2024七年级上·全国·专题练习）下列代数式中哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？分别填入所对应的横线上． ，，，，，，，． 单项式： ； 多项式： ； 整式： ． 【答案】 ，，， ，， ，，，，，， 【分析】本题主要考查了单项式、多项式及整式的定义．根据单项式、多项式及整式的概念来分类：1、单项式：数与字母的乘积或字母与字母的积所组成的代数式叫做单项式．（1）数字与字母的乘积的形式叫做单项式；（2）单个字母也是单项式；（3）单个数字是单项式；2、多项式：由几个单项式的和组成的代数式叫做多项式． 【详解】解：依题意， 单项式：，，，； 多项式：，，； 整式：，，，，，，； 故答案为：，，，；，，；，，，，，，． 变式3．（25-26七年级上·全国·周测）将填入下列相应的大括号中． 单项式：{            …}； 多项式：{            …}； 三次式：{            …}； 二项式：{            …}； 整式：{            …}． 【答案】；；；；． 【分析】本题考查整式，单项式，多项式及其相关定义．掌握相关知识是解决问题的关键．利用相关定义解答即可． 【详解】单项式：； 多项式：； 三次式：； 二项式：； 整式：． 【考点10 数字类规律探索】 例10．（25-26七年级上·贵州黔东南·期末）生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化常常需要建立数学模型，在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型来表示，即：，，请你推算的个位上的数字是（   ） A．8 B．6 C．4 D．0 【答案】B 【分析】本题考查式子规律，理解题意，按照题意找出规律是解决问题的关键． 先分别计算的前几项结果，得到结果的个位数字循环周期为，每个循环组（项）的个位数字之和的个位为，再由，得到前项的和的个位数字为，最后分析剩下的两项即可得到答案． 【详解】解：的个位数字依次为2，4，8，6，2，4，8，6，…，个位数字的排列呈周期性变化，周期为4，一个周期内各项的个位数字之和为，其个位数字为0， ∵中的总项数为，且， 前项的和的个位数字为，剩余两项为和， ∴剩余项个位和为， 则的个位上的数字是， 故选：B． 变式1．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，图书馆把密码做成了数学题．小星在图书馆看书时，思索了一会儿，输入密码，顺利地连接到了图书馆的网络，那么他输入的密码是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数字规律的探索与应用，根据题意总结出新运算公式是解题的关键．由题可知的运算结果中，前两位数为，中间两位数为，其次两位数为，后两位数为，计算即可得到答案． 【详解】解：由题可知的运算结果中，前两位数为，中间两位数为，其次两位数为，后两位数为， 前两位数为，中间两位数为，其次两位数为，后两位数为， ． 故选：B． 变式2．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）由所有正奇数，，，，，，，，，，组成的三角形数阵如图所示，则第行的个数的和是 ． 【答案】 【分析】本题考查数字规律，根据已知数据组成的三角形数阵找准规律是解决问题的关键． 按照题中数据组成的三角形数阵，将题中每行第一个数构成的一列数、每行最后一个数构成的一列数的规律找出，按要求得到第行第一个数和第行最后一个数，再由倒序相加的方法求第行的个数的和即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 每行第一个数构成的一列数为，其第行第一个数的规律为； 每行最后一个数构成的一列数为，其第行最后一个数的规律为； 第行第一个数为，最后一个数为， 则第行的个数的和是， 故答案为：． 变式3．（25-26七年级上·河南南阳·月考）如图，古代数学家通过画图的形式发现下列各式： ； ； ； ； 按照上述规律，回答下列问题： (1)计算的结果为 ; (2)请用一个含n（n为正整数且）的式子表示这个规律； (3)计算． 【答案】(1)210 (2) (3) 【分析】本题主要考查图形类规律问题及有理数的运算，解题的关键是得到图形类的一般规律； （1）根据题中所给规律可进行求解； （2）由题意及（1）可进行求解； （3）利用（2）中结论可进行求解． 【详解】（1）解：由题意得：； 故答案为210； （2）解：由题意得：（n为正整数且）； （3）解： ． 【考点11 图形类规律探索】 例11．（2025七年级上·全国·专题练习）标志（）代表的是一个企业或是产品的文化精髓，朵朵模仿的设计思路，自己设计了一个，她将图①中的正方形剪开得到图②，再将图②中右上角的正方形剪开得到图③，继续将图③中右上角的正方形剪开得到图④，…；如此下去她用正方形代表窗口，一直按照这样的规律剪下去代表窗口可以根据需要一直增加，按照朵朵的设计思路，图⑥中正方形的个数是（   ） A．13 B．16 C．19 D．22 【答案】B 【分析】本题考查图形的规律，涉及列代数式．先观察图①、图②、图③中正方形的个数，找出其数量变化规律，推导出第个图中正方形个数的表达式，再将代入表达式计算图⑥中正方形的个数． 【详解】解：由所给图形可知，图①中正方形的个数为：； 图②中正方形的个数为：； 图③中正方形的个数为：； …， 所以图中正方形的个数为个． 当时，（个）， 即图⑥中正方形的个数为16． 故选：B． 变式1．（25-26七年级上·新疆乌鲁木齐·期中）下列图形是由同样大小的棋子按照一定规律排列而成的，其中，图1中有5个棋子，图2中有10个棋子，图3中有16个棋子，……，则图11中有（   ）个棋子． A．115 B．100 C．86 D．73 【答案】B 【分析】本题考查了规律型：图形的变化类．通过从一些特殊的图形变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况． 通过观察可知图1中棋子有个，图2中棋子有个，图3中棋子有个，……，由此即可推出第n个图形中棋子数为，即可． 【详解】解：图1中棋子有个， 图2中棋子有个， 图3中棋子有个， ……， 一般地，第n个图形中棋子数为， ∴图11中棋子有个， 故选：B． 变式2．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·月考）如图，用火柴棍拼成一排由正方形组成的图形，按照这样的方法拼下去，拼第9个这样的正方形需要 根火柴棍． 【答案】 【分析】本题考查了图形的变化类问题，根据图示规律可知摆个正方形需要火柴棍根．据此解答． 【详解】解：摆1个正方形需要火柴棍4根； 摆2个正方形需要火柴棍根； 摆3个正方形需要火柴棍根； 摆个正方形需要火柴棍根； 故9个正方形，需要根火柴棍． 故答案为：． 变式3．（25-26七年级上·安徽淮南·月考）【规律初现】 如图，图案中的等边三角形与正方形数量有规律的增长，其中第1个图案有4个正方形；第2个图案有6个正方形；第3个图案有8个正方形；… 【规律探索】归纳上述图案中的等边三角形与正方形增长规律，解答下列问题． （1）第6个图案中有等边三角形______个，正方形有______个，…，第2026个图案中有等边三角形______个，正方形有______个； （2）第n个图案中有等边三角形______个，正方形有______个；（用含n的代数式表示） 【规律应用】 （3）若第n个图案中等边三角形与正方形数量共有2026个，求该图案中正方形的数量． 【答案】（1）12，14，4052，4054；（2） ；（3）该图案中正方形有1014个 【分析】本题主要考查图形类规律问题，解题的关键是得到图形的一般规律； （1）根据题中所给图形规律进行求解即可； （2）由（1）可总结该图形类规律； （3）由（2）及题意可进行求解． 【详解】解：（1）由所给图形可知， 第1个图案中等边三角形的个数为：，正方形的个数为：； 第2个图案中等边三角形的个数为：，正方形的个数为：； 第3个图案中等边三角形的个数为：，正方形的个数为：； 第4个图案中等边三角形的个数为：，正方形的个数为：； …， ∴第6个图案中等边三角形的个数为：，正方形的个数为：； 第2026个图案中等边三角形的个数为：，正方形的个数为：； 故答案为12，14，4052，4054； （2）由（1）可知：第n个图案中等边三角形有个，正方形有个； 故答案为，； （3）由（2）及题意可得：， ∴， ∴该图案中正方形的数量为． 【考点12 合并同类项】 例12．（25-26七年级上·四川眉山·期中）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据乘方，去括号，合并同类项计算法则逐项判断解答即可． 本题考查基本运算规则，包括乘方，去括号法则，合并同类项等，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵ 选项A：， ∴ A错误． ∵ 选项B：， ∴ B错误． ∵ 选项C：不是同类项，不能合并， ∴ C错误． ∵ 选项D：， ∴ D正确， 故选：D． 变式1．（25-26七年级上·广东佛山·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查同类项的合并法则，解题的关键是判断各项是否为同类项（字母及字母的指数完全相同），再按“系数相加、字母部分不变”合并． 逐一判断每个选项中的项是否为同类项，再根据合并同类项的规则验证运算是否正确． 【详解】解：合并同类项的规则：只有字母及字母的指数完全相同的同类项才能合并，合并时系数相加，字母部分保持不变． A、与是同类项（字母为、，指数分别为2、1），合并得：，运算正确； B、与所含字母不同，不是同类项，无法合并，运算错误； C、（的指数为2）与（的指数为3）字母指数不同，不是同类项，无法合并，运算错误； D、与所含字母不同，不是同类项，无法合并，运算错误． 故选：A 变式2．（25-26七年级上·上海·期中）合并同类项： ． 【答案】 【分析】本题考查合并同类项，按照合并同类项法则运算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 变式3．（25-26七年级上·全国·期中）化简下列各式： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了去括号，合并同类项，整式的加减运算，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）先去括号，再合并同类项； （2）先去括号，再合并同类项． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 【考点13 整式的加减运算】 例13．（24-25七年级上·重庆永川·期中）化简； (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先去括号，再合并同类项，即可作答． （2）先去括号，再合并同类项，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 变式1．（25-26七年级上·江苏苏州·月考）化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减运算． （1）直接合并同类项即可． （2）先去括号，然后合并同类项即可． 【详解】（1）解： （2）解： 变式2．（25-26七年级上·河南郑州·月考）已知，． (1)化简； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的加减运算及化简求值，非负数的性质． （1）将A，B代入，去括号，合并同类项即可； （2）根据平方、绝对值的非负性计算出a，b的值，代入（1）中结果即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴，， 解得，， ∴． 变式3．（25-26七年级上·河南南阳·月考）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，熟练掌握去括号法则和合并同类项法则是解题的关键． （1）通过合并同类项化简式子； （2）先去括号，再合并同类项化简式子． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【考点14 整式加减中的化简求值】 例14．（25-26七年级上·江苏南通·期中）若，则多项式的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了整式的化简求值． 先简化多项式，然后利用条件代入求值即可． 【详解】解： ． 故选：A． 变式1．（25-26七年级上·辽宁铁岭·期中）已知，则代数式的值是（   ） A． B．34 C．30 D． 【答案】C 【分析】该题考查了整式化简求值，利用非负数的性质求出a和b的值，再化简代数式并代入计算． 【详解】解：∵，，且， ∴，， 解得：，． ， 代入，，则原式． 故选：C． 变式2．（25-26七年级上·安徽阜阳·月考）若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减化简求值，先去括号，再合并同类项，然后将已知条件代入化简后的结果中计算即可求解，掌握整式的加减运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， ∵， ∴原式， 故答案为：． 变式3．（25-26七年级上·贵州黔东南·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】，3 【分析】本题考查整式的化简求值，熟记整式加减运算法则是解决问题的关键． 先去括号，再合并同类项即可得到化简结果，再将代入，由含乘方的有理数混合运算计算即可得到答案． 【详解】解： 当时，代入化简后的式子，则 原式 ． 【考点15 整式加减的无关型问题】 例15．（25-26七年级上·江苏无锡·月考）多项式合并同类项后，不含项，则m的值是（   ） A．5 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式加减中的无关型问题，熟练掌握运算法则是解题关键．先合并同类项，再根据含项的系数等于0求解即可得． 【详解】解：， ∵多项式合并同类项后，不含项， ∴， ∴． 故选：A． 变式1．（25-26七年级上·安徽淮南·月考）若多项式与多项式相加后不含x的二次项，则m的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式加减中的无关型问题，将两个多项式相加，合并同类项后，令项的系数为零，解方程求出m． 【详解】解：， 由题意，， ∴； 故选D． 变式2．（25-26七年级上·陕西西安·期中）若关于的多项式的值与的取值无关，则的值是 【答案】3 【分析】本题考查整式加减中的无关型问题，去括号、合并同类项，当式子的值与的取值无关时，项和x项的系数均为零，由此可解． 【详解】解： 式子的值与的取值无关， ，， ，， ． 故答案为：3． 变式3．（25-26七年级上·河南信阳·月考）在学习了整式的加减后，孙老师给出一道课堂练习题：选择m的一个值，求的值， 甲说：“当时，原式的值为2025” 乙说：“当时，原式的值为2025” 丙说“当m为任何一个有理数时，原式的值都为2025”，这三位同学的说法是否正确，请说明理由． 【答案】甲、乙、丙的说法都正确，理由见解析 【分析】本题考查了整式加减的应用，熟练掌握整式加减的运算法则是解题的关键． 根据整式加减的运算法则即可解答． 【详解】解：甲、乙、丙的说法都正确，理由如下： 原式， 原式的取值与m无关，当或或m为任何一个有理数时，原式的值都为2025． 所以甲、乙、丙的说法都正确． 【考点16 整式加减的应用】 例16．（25-26七年级上·甘肃天水·期末）为了节约用水，某市调整居民用水方法，规定如果每户每月用水不超过20吨，每吨水收费3元，如果每户每月用水超过20吨，则超过部分每吨水收费4元，小红看到这种收费方法后，想算算她家每月的水费： (1)若小红家10月用水15吨，水费___________元． (2)若小红家11月用水吨，请用含的代数式表示本月的水费． 【答案】(1)45 (2)元 【分析】本题考查了整式的加减的应用． （1）根据总价单价数量可得每月用水15吨时的水费； （2）本月的水费为每月用水20吨的水费加上每月用水超过20吨的水费，依此可用含有x的代数式表示本月的水费． 【详解】（1）解：元； 故答案为：45； （2）解：元． 变式1．（25-26七年级上·陕西榆林·月考）为更好地开展劳动教育，学校决定在操场划出一块长方形场地作为劳动基地．如图，长方形的长是米，宽比长短米． (1)求长方形的周长（用含的式子表示）． (2)当满足时，求长方形的周长． 【答案】(1)米 (2)72米 【分析】本题主要考查了整式加减运算，代数式求值，绝对值的非负性，熟练掌握整式加减运算法则，是解题的关键． （1）根据长方形的周长公式代入求解即可得到答案； （2）根据非负式子和为0，它们分别等于0求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵长方形的宽为： 米， ∴长方形的周长为： 米； （2）解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴ (米)， ∴长方形的周长为米． 变式2．（25-26七年级上·安徽安庆·月考）第六届山西文化产业博览交易会以下简称文博会于月日在山西潇河国际会展中心开幕，据悉，本届文博会门票种类及价格如图所示七年级某研学小组的名同学利用周末到文博会参观已知他们中有名同学抢到了早鸟门票，其余同学购买了常规门票． 常规门票元张； 早鸟门票元张； 岁以上人员，现役军人， 残疾人可凭有效证件免票． (1)求该研学小组此次购买文博会门票的总费用；用含的代数式表示 (2)若有人抢到早鸟门票，求该研学小组购买文博会门票的总费用． 【答案】(1)该研学小组购买文博会门票的总费用是元 (2)该研学小组购买文博会门票共花费元 【分析】本题主要考查了列代数式，整式加减运算，代数式求值；解题的关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则，注意括号前面为负号时，将负号和括号去掉后，括号里每一项的符号要发生改变． （1）根据题意列出式子，根据整式加减运算法则进行计算即可； （2）把代入求值即可． 【详解】（1）解：元； 答：该研学小组购买文博会门票的总费用是元； （2）解：当时，（元）； 答：该研学小组购买文博会门票共花费299元． 变式3．（25-26七年级上·辽宁鞍山·月考）为庆祝我国首个空间实验室“天宫一号”顺利升空，学校开展了火箭模型制作比赛，如图为火箭模型的截面图，下面是梯形，中间是长方形，上面是三角形． (1)用、的代数式表示该截面的面积； (2)当，时，求这个截面的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是列代数式、整式的加减运算及代数式求值， （1）依据截面的面积个三角形的面积个矩形的面积个梯形的面积求解即可； （2）将a、b的值代入求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：； （2）解：当，时， ． 【考点17 整式加减中整体代入方法】 例17．（25-26七年级上·广东揭阳·月考）理解与思考：整体代换是数学的一种思想方法．例如：若，则；我们将作为一个整体代入，则原式． 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)如果，求的值； (2)若，，求的值． (3)若，，求的值． 【答案】(1)2026 (2)26 (3)32 【分析】本题考查了整体代换思想的应用，以及整式的加减． （1）直接将已知条件代入求解即可； （2）通过相加已知等式可得答案； （3）将变形为，然后代入计算即可． 【详解】（1）解：∵ ∴； （2）解：已知 两式相加： ∴； （3）解：∵ ∴ ． 变式1．（24-25七年级上·山东济南·期末）整体思想是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，把某些式子或图形看成一个整体，进行整体处理．它作为一种思想方法在数学学习中有广泛的应用，因为一些问题按常规不容易求出某一个（或多个）未知量时，根据题目的结构特征，把某一组数或某一个代数式看作一个整体，找出整体与局部的联系，从而找到解决问题的新途径．例如，求的值，我们将作为一个整体代入，则原式． 【尝试应用】 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)把看成一个整体，合并的结果是_____； (2)如果，求的值； (3)当时，代数式的值为m，当时，求代数式的值；（用含m的代数式表示） 【答案】(1) (2)2019 (3) 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，掌握整式的加减的计算法则，理解题意根据题目要求用整体思想解题是关键． （1）把看成一个整体，进行计算即可； （2）根据题意可得，再将其整体代入求解即可； （3）根据当时，代数式的值为m，求出，再将代入式子进行变形求值即可． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， 由题意得， ； （3）解：当时， ， ∴， 当时， ． 变式2．（25-26七年级上·江西赣州·期中）阅读材料： 我们知道，，类似的，我们把看成一个整体，则，“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： (1)把看成一个整体，求将合并的结果 ； (2)已知，求代数式的值； 拓广探索： (3)若已知，，，求的值， 【答案】（1）；（2）15；（3）9 【分析】本题主要考查代数式的值及合并同类项，熟练掌握利用整体思想是解题的关键； （1）根据整体思想及合并同类项可进行求解； （2）根据整体思想可直接代值进行求解即可； （3）根据整体思想可进行求解． 【详解】解：（1）； 故答案为：； （2）∵， ∴； （3）∵，，， ∴ ． 变式3．（25-26七年级上·吉林长春·月考）【阅读理解】“整体思想”是中学数学解题思想中的一种重要思想，它在整式的化简与求值中应用极为广泛． 例如：已知代数式的值为7，求代数式的值． 小明采用的方法如下： 解：由题意得，则有， 所以， 所以代数式的值为9． 【方法运用】 （1）若代数式的值为5，求代数式的值． （2）若代数式的值为13，求代数式的值． 【拓展应用】 （3）若，，求代数式的值． 【答案】10；； 【分析】本题考查整式的化简求值，涉及整式运算、整体代入求值等知识，熟练掌握整式运算及整体代入思想是解决问题的关键． （1）利用整体代入思想，化简求值即可得到答案； （2）利用整体代入思想，化简求值即可得到答案； （3）将所求代数式变形为，然后整体代值求解即可得到答案． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴ ； （2）∵， ∴， ∴ ； （3）∵，， ∴ ． 【考点18 整式加减中的几何无关型问题】 例18．（25-26七年级上·福建泉州·月考）如图，点为原点，、为数轴上两点，，且，点从点开始以每秒4个单位的速度向右运动，当点开始运动时，点、分别以每秒5个单位和每秒2个单位的速度同时向右运动，设运动时间为秒，若的值在某段时间内不随着的变化而变化，则的值为（   ） A．5或7 B．3或5或7 C．3或5 D．3或7 【答案】A 【分析】本题考查数轴上的动点问题，整式加减中的无关型问题，先求出点表示的数，根据点的移动规则，求出移动后点表示的数，分点在点右侧和左侧，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴点表示的数为，点表示的数为5， ∴运动秒后，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ∴， 当点在点右侧时，， 则： ； ∵的值在某段时间内不随着的变化而变化， ∴， ∴； 当点在点左侧时，， 则： ； ∵的值在某段时间内不随着的变化而变化， ∴， ∴； 综上：或； 故选A． 变式1．（25-26七年级上·山西晋中·期中）【知识回顾】 在学习代数式求值时，遇到这样一类题：“代数式的值与的取值无关，求的值”．通常的解题方法是：把，看作字母，看作系数合并同类项，因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，所以，则． 【理解应用】 已知代数式，． （1）化简：； （2）若的值与的取值无关，求的值． 【能力提升】 （3）有7张如图1的小长方形，长为，宽为，按照如图2的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的阴影部分面积为，周长为，左下角的阴影部面积为，周长为，设． ①当时，求． ②当的长变化时，下列代数式值不变的是( ) A．    B．    C．    D． 【答案】（1） （2）   （3）①  ②D 【分析】本题考查整式的混合运算，理解题意并列得正确的算式是解题的关键． （1）将，，代入中，化简即可； （2）的值与的取值无关，即的系数为0，由此解答即可； （3）①先将表示出来，再将代入求解即可； ②分别计算，，，，判断哪一项与的取值无关即可． 【详解】解：（1） ． （2） 又的值与的值无关   ，． （3）①∵阴影部分的面积=大长方形的面积－7个小长方形的面积， ． 当时，． ②由①得，； ； ； ； 与的取值无关． 故选：D． 变式2．（25-26七年级上·安徽安庆·期中）已知式子是关于的二次多项式，且二次项系数为，数轴上A、B两点所对应的数分别是和． (1)则_____，_____；A，B两点之间的距离为_____； (2)有一动点从点出发第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置第二次向右运动2个单位长度，再在此位置第三次向左运动3个单位长度…．按照如此规律不断地左右运动，当运动到第2025次时，求点所对应的有理数． (3)若点以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时点以每秒5个单位长度的速度向右运动，动点从原点开始以每秒个单位长度在A，B之间运动（到达或即停止运动），运动时间为秒，在运动过程中，的值始终保持不变，求点运动的方向及的值． 【答案】(1)，6；10 (2) (3)D点运动的方向：向左， 【分析】本题考查了多项式的系数与次数、数轴的动点问题和整式加减的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，正确的表示数轴上的有理数． （1）根据二次多项式的定义得到，由此求得a的值；然后由多项式的系数的定义得到b的值，根据求解的值即可； （2）向左运动记为负，向右运动记为正，找到规律，可得点P对应的有理数；然后根据题意列式计算即可； （3）分点D从原点向左运动和点D从原点向右运动两种情况求解即可 【详解】（1）解：是关于的二次多项式，且二次项系数为， ， ， ； （2）解：第1次运动P点对应的数为； 第2次运动P点对应的数为； 第3次运动P点对应的数为； 第4次运动P点对应的数为； ， 第2025次运动P点对应的数为； （3）解：运动时间为秒时，点对应的数为，点对应的数为， 当点D从原点向左运动时，点对应的数为， ， ∵的值始终是一个定值， ∴． ∴． ∴D点运动的方向为从原点向左运动，m的值为． 当点D从原点向右运动时，点对应的数为， ， ∵的值始终是一个定值， ∴． ∴． ∵， ∴此种情形不存在． ∴D点运动的方向为从原点向左运动，m的值为． 变式3．（25-26七年级上·四川成都·期中）【问题背景】 如图1，有一长，宽的长方形电脑屏幕，动点以每秒2个单位从向运动，同时点以每秒个单位从向运动，设点的运动时间为秒，连接． 【初步探究】 （1）当，时，求四边形的面积 （2）当为何值时，四边形的面积与的取值无关： 【拓展提升】 （3）如图2，若点每运动1秒，电脑屏幕的区显示的结果就会自动加上2，同时区的结果会自动将整个代数式乘以2，且均显示化简后的结果．已知两区初始显示的分别是和，若，试比较区、区显示的结果哪个大，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）N区显示的结果大，理由见解析 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，整式加减中的无关型问题，代数式求值，正确理解题意和熟知整式的加减计算法则是解题的关键． （1）求出此时的长，再根据列式求解即可； （2）同（1）求出，根据面积与t无关可得，据此可得答案； （3）根据题意求出时，M区和N区的结果，再利用作差法求解即可． 【详解】解：（1）当，时，， ∴， ∴ ； （2）由题意得，， ∴， ∴ ， ∵四边形的面积与的取值无关， ∴， ∴； （3）N区显示的结果大，理由如下： 由题意得，当时，， ， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴N区显示的结果大； 【考点19 整式加减的新定义问题】 例19．（25-26七年级上·福建龙岩·月考）定义一种新运算：对于任意有理数和，都有．下列结论正确的是 ①若，则；②；③若a，b异号，则或； ④对于任意有理数，总有； 【答案】①③/③① 【分析】本题考查新定义运算，涉及绝对值的性质．需逐一验证每个结论的正确性． 【详解】解：对于结论①：若，则． 由于绝对值非负性，故且， 即且， 解得， 因此结论①正确． 对于结论②：． 当时，，因此结论②错误． 对于结论③：若 a，b 异号． 当时，； 当时，； 当时，． 因此或， 综上，结论③正确． 对于结论④：取， 则， 而，两者不相等，因此结论④错误． 故答案为：①③． 变式1．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）定义：如果将一个正整数m写在每一个正整数的右边，所得到的新的正整数能被m整除，则称这个正整数m为“奇妙数”． 例如：将2写在正整数n右边，新数是，需要能被2整除，因为是2的倍数，2也是2的倍数，所以能被2整除，所以2是奇妙数． （1）根据上面的定义，在正整数3，5，6中“奇妙数”为 ． （2）若“奇妙数”是一个三位数，我们可设这个三位数的“奇妙数”为y，将这个数写在正整数k的右边，得到新的正整数可表示为，则所有的三位数中的“奇妙数”有 ． 【答案】 5 100，125，200，250，500 【分析】本题考查了新定义的应用和整数的特点，解题的关键是熟练掌握新定义进行解题． （1）由奇妙数”的定义，分别对3、5、6三个数进行判断即可； （2）由题意，根据“奇妙数”的定义通过分析，即可得到答案． 【详解】解：（1）根据题意，把3写在1的右边，得13，写在2的右边得23，……由于13、23、33，都不能被3整除，故3不是“奇妙数”；把6写在1的右边，得16，写在2的右边得26，……由于16、26，都不能被6整除，故6不是“奇妙数”；把5写在1的右边，得15，写在2的右边得25，……由于个位上是5的数都能被5整除，故5是“奇妙数”； 故答案为：5； （2）根据题意，这个三位数的“奇妙数”为， 则， ∴为正整数， ∵k为正整数， ∴为正整数， ∴y的可能值为：100，125，200，250，500； 故答案为：100，125，200，250，500． 变式2．（25-26七年级上·福建厦门·期中）【定义】如果一个三位数满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，称这个三位数为“异数”． 【发现】若是一个“异数”，交换百位和个位上的数字后，用较大数与较小数作差后除以99，商必为正整数．记这个正整数为． 例如：若，交换百位数字与个位数字得到652，，则，，所以． 【解决问题】： (1)_____； (2)小颖同学想用学过的“整式的加减”知识说明上述【发现】是正确的，她的说理过程如下：设“异数”的百位数字为，十位数字为，个位数字为．（请你继续完成小颖同学的说理过程） (3)若s，t都是“异数”，，（其中为小于10的正整数），求的最小值，并写出此时的值． 【答案】(1)8 (2)见解析 (3)最小值为7，此时或或或 【分析】本题考查新定义题型，数字规律，整式的加减运算，求一个数的绝对值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题目中的定义，交换百位和个位上的数字后，用较大数与较小数作差后除以99，商必为正整数．记这个整数为即可得解． （2）根据题意，，交换个位与百位后得数为：，，商为正整数，即可得出结果； （3）根据“异数”的定义，易得，，结合s，t都是“异数”，，以及为小于10的正整数，得或或或或，再分别代入进行计算，即可作答． ，继而得解； 【详解】（1）解：依题意，交换百位和个位上的数字后，得 ∵用较大数与较小数作差后除以99，商必为正整数．记这个正整数为． ∴，， ； （2）解：∵设“异数”的百位数字为，十位数字为，个位数字为． ∴， 交换个位与百位后得数为： 这两个数的差值 ，均为整数，且， ∴是正整数， 必为正整数， （3）解：， ∴交换个位与百位后得数为：， ∴这两个数的差值 ∴ ∵ ∴交换个位与百位后得数为：， ∴这两个数的差值 ∴ ∵的最小值， 即求的最小值， ∵s，t都是“异数”，， ∴， ∵为小于10的正整数， ∴或或或或 当时，则； 当时，则； 当时，则； 当时，则； 当时，则； ∵， ∴的最小值为7，此时或或或． 变式3．（25-26七年级上·湖南长沙·期中） 定义新运算： (右边的运算为平常的加、减、乘、除)． 例如： 若， 则称有理数a， b为“隔一数对”． 例如： 所以2，3就是一对“隔一数对” (1)下列各组数是“隔一数对”的是 ；(请填序号) ①，； ②， ； (2)计算： ； (3)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”，计算． 【答案】(1)① (2) (3) 【分析】本题考查了新定义运算的理解与应用和分式的运算．理解新定义运算的运算法则是解题的关键． （1）根据“隔一对数”的定义分别计算每组数的，对比是否相等即可判断； （2）按“隔一对数”的定义进行计算即可； （3）利用“隔一对数”的性质转化为的形式进行简便计算即可． 【详解】（1）解：①，， ， ①为“隔一数对”； ②，， ， ②不为“隔一数对”； 故答案为①． （2）解： ． （3）解： ． 【考点20 整式加减的应用综合】 例20．（24-25七年级上·甘肃临夏·期末）如图，在矩形中放入正方形，正方形，正方形，点E在上，点M、N在上，若，，，则图中右上角阴影部分的周长与左下角阴影部分的周长的差为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的加减运算，设，，用含a、b的代数式分别表示，，，．再表示出图中右上角阴影部分的周长及左下角阴影部分的周长，然后相减即可． 【详解】解：长方形中，． 正方形中，． 正方形中，． 正方形中，． 设，， 则，， ，． ∴图中右上角阴影部分的周长为． 左下角阴影部分的周长为， ∴图中右上角阴影部分的周长与左下角阴影部分的周长的差为： ． 故选：D． 变式1．（25-26七年级上·山东济南·期中）在此次课外活动中，小明同学设计了一个有趣的游戏：第一步：发给A，B，C三位同学相同数量的扑克牌（每位同学的扑克牌数量超过4张）；第二步：A同学拿出3张扑克牌给B同学；第三步：C同学拿出4张扑克牌给B同学；第四步：C同学手中此时有多少张扑克牌，B同学就拿出多少张扑克牌给A同学．则下列说法正确的是（   ） A．最终B同学手中牌张数确定，一定是3张 B．最终A同学手中牌张数无法确定，但一定比第一步发放的扑克牌张数多 C．若第一步每位同学发9张牌，则最终A、B两位同学手中的牌数相同 D．最终C同学手中牌张数最少 【答案】C 【分析】本题考查整式加减的应用，设发给A，B，C三位同学的扑克牌的数量为张，根据相应步骤，求出最终每个同学手中的扑克牌数，根据选项逐一进行判断即可． 【详解】解：设发给A，B，C三位同学的扑克牌的数量为张， 第二步后，手中剩余扑克牌的数量为张，同学手中有张，同学手中有张， 第三步后，手中剩余扑克牌的数量为张，同学手中有张，手中剩余扑克牌的数量为张， 第四步后，手中剩余扑克牌的数量为张；同学手中有张，手中剩余扑克牌的数量为张； A、最终B同学手中牌张数确定，一定是11张，原说法错误，不符合题意； B、最终A同学手中牌张数无法确定，不一定比第一步发放的扑克牌张数多，原说法错误，不符合题意； C、若第一步每位同学发9张牌，则最终手中剩余扑克牌的数量为张，故最终A、B两位同学手中的牌数相同，原说法正确，符合题意； D、无法判断C同学手中牌张数最少，原说法错误，不符合题意； 故选C． 变式2．（25-26七年级上·四川泸州·期中）某水果批发市场苹果的价格如下表： 价目表 购买苹果千克 单价 不超过20千克的部分 6元/千克 超过20千克但不超过40千克的部分 5元/千克 超过40千克的部分 4元/千克 (1)小明第一次购买15千克苹果，需要付费______元； (2)小明第二次购买苹果x千克超过20千克但不超过40千克，则需要付费包含两部分，一部分为购买苹果20千克，付费120元；另外一部分为购买苹果______千克，此部分应付费______元；则总共应付费为______元用含x的式子表示 (3)小强分两次共买100千克，第二次购买的数量多于第一次购买数量，且第一次购买的数量为a千克，请问两次购买水果共需要付费多少元？用含a的式子表示 【答案】(1)90 (2) (3)两次购买水果共需要付费元 【分析】本题考查了列代数式以及有理数的混合运算，根据各数量之间的关系，用含或的代数式表示出各数量是解题的关键． （1）利用总价=单价数量，即可求出结论； （2）由x的取值范围，可得出需要付费包含两部分，结合总价=单价数量，结合各部分的单价，即可用含x的代数式表示出第二部分的购买数量、总价及总共应付费； （3）分，及三部分考虑，利用总价=单价数量，结合各部分的单价，即可用含a的代数式或具体数值表示出两次购买水果共需要付费金额． 【详解】（1）解：根据题意得：元， 小明第一次购买15千克苹果，需要付费90元． 故答案为：90； （2）解：根据题意得：小明第二次购买苹果x千克超过20千克但不超过40千克，则需要付费包含两部分，一部分为购买苹果20千克，付费120元；另外一部分为购买苹果千克，此部分应付费元， 总共应付费为元．用含x的式子表示 故答案为：，，； （3）解：当时，两次购买水果共需要付费元； 当时，两次购买水果共需要付费元； 当时，两次购买水果共需要付费元 答：两次购买水果共需要付费元． 变式3．（25-26七年级上·广东佛山·期中）【问题发现】如图①是由个数字组成的偶数方阵，如阴影部分所示，任意“田”字框中的四个数均满足“对角线上的两个数之和相等” 理由如下： 设阴影部分左上角的数为，则阴影部分的4个数分别表示为： 因为对角线上的两个数之和分别为，所以， 所以阴影框中的四个数均满足对角线上的两个数之和相等． 【类比猜想】（1）请你根据上述探究过程，猜想图②中任意“十”字框中的5个数字之和与框中心的数字有什么关系，请在下图中用y表示各数，并通过计算进行证明． 【类比探究】（2）若阴影框的形状如图③所示，则对于框中的4个数，你能得到什么结论？ 【拓展延伸】（3）假设阴影框中的数字分别为a，b，c，d，请用a的代数式表示这4个数．对于第（2）问的结论，对任意处于图③此形状的框中的数都成立吗？若成立，请通过计算进行证明，若不成立，请说明理由． 【答案】（1）框中的5个数字之和是框中心的数字的5倍．理由见解析；（2）框中对角线上的两个数之和相等，，理由见解析；（3）见解析 【分析】本题考查的是整式的加减运算的应用，一元一次方程的应用．解决本题的关键是发现偶数方阵中左右相邻的数相隔2，上下相邻的数相隔16． （1）设框中心的数字为，分别表示5个数，再计算化简即可解决； （2）观察图③中 4 个数，推导它们的数量关系； （3）设阴影框中的数字分别为，，，，由题意可得，，，可得． 【详解】解：（1）框中的5个数字之和是框中心的数字的5倍．理由如下： 设框中心的数字为，则框中的数字如解图①所示， ∴框中的5个数字之和为， ∴框中的5个数字之和是框中心的数字的5倍； （2）观察图③中4个数：， 计算可得：， 结论：框中对角线上的两个数之和相等，； （3）如解图③所示，假设阴影框中的数字分别为，，，，则．理由如下： 由题意可得，，， ∴，， ∴． 1．（25-26七年级上·安徽芜湖·月考）下列结论错误的个数是（    ） ①是单项式；②多项式的常数项是5；③的系数是；④的次数为4． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查单项式、多项式的定义，以及系数、常数项和次数的概念. 需要根据定义逐一判断每个结论的正确性， 掌握单项式和多项式的定义是关键，注意系数包括常数，如π，常数项是数值项，次数是所有字母指数的和. 【详解】∵ 单项式是只包含数字与字母乘积的代数式，而①中含有加法运算，∴ ①不是单项式，结论错误. ∵ 多项式的常数项是不含字母的项，②中多项式为，常数项是，∴ 结论错误. ∵ 单项式的系数是数字因数，③中的系数应为，不是，∴ 结论错误. ∵ 单项式的次数是字母指数之和，④中，次数为，∴ 结论正确. ∴ 错误结论有3个， 故选C 2．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）已知，且，则（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的意义，有理数的乘法法则，代数式求值，由绝对值和乘方的意义求出和的可能值，再根据确定和具体值，最后代入代数式计算即可，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴或， ∵， ∴或， 又∵ ， ∴与异号， ∴，或，， ∴或， 故选：． 3．（25-26七年级上·安徽淮南·月考）在如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为36，则第一次输出的结果为18，第二次输出的结果为9，…，第2025次输出的结果是（   ） A．1 B．6 C．3 D．4 【答案】C 【分析】此题考查了流程图与有理数计算，数字类规律探究，解题的关键是找到规律．首先分别求出第3次、第4次、第5次、第6次、第7次、第8次输出的结果各是多少，总结出规律，然后判断出第2025次输出的结果为多少即可． 【详解】解：依题意，第3次输出的结果为：， 第4次输出的结果为：， 第5次输出的结果为：， 第6次输出的结果为：， 第7次输出的结果为：， 第8次输出的结果为：， ， ∴从4次开始，每次输出的结果都是、、、3、，偶数次输出的结果为6，奇数次输出的结果为3， ∴第2025次输出的结果为3． 故选：C． 4．（25-26七年级上·安徽宿州·月考）如图，某学校数学兴趣小组活动室门上安装了密码锁，凡是参加兴趣活动的同学通过观察门上的小提示，输入密码便可进入活动室．小明同学要参加兴趣活动，他走到门口思索了一会儿，输入密码后顺利进入活动室，他输入的密码是（   ） 密码 A．721618 B．721816 C．271816 D．187216 【答案】A 【分析】本题考查数字规律探索，根据题目所给的密码找到密码与前面数字之间的联系即可得到答案． 【详解】解：根据题意可知：密码的前两位数是左边第2个数和第3个数的乘积，密码中间两位数是左边第1个数与第3个数的乘积，密码最后两位数是左边第1与第2个数的乘积， 由此可得：的密码前两位是：，中间两位是：，最后两位是：， 即， 故选：A． 5．（25-26七年级上·安徽亳州·月考）如图所示，根据下列图形中数字的排列规律，计算第10个图形中的值是（   ） A． B． C．510 D．512 【答案】C 【分析】本题主要考查了数字的规律问题，观察所给数字，发现各部分数字变化的规律即可解决问题． 【详解】解：观察图形可知，左上角的数字依次为，4，，16，， 所以第个图形中左上角的数字可表示为； 右上角的数字比同一个图形中左上角的数字大2， 所以第个图形中右上角的数字可表示为； 下方的数字为同一个图形中左上角数字的， 所以第个图形中下方的数字可表示为． 当时， ，，， 所以． 故选：C． 6．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）为庆祝国庆，某学校举办了一次创意设计竞赛．明明用大小相等的五角星按一定规律摆放出如图所示的图案，则第25个图案中五角星的颗数为（   ） A．66颗 B．69颗 C．72颗 D．76颗 【答案】D 【分析】本题考查了规律型：图形的变化类以及列代数式，根据各图形中五角星个数的变化，找出第n个图案中有颗五角星是解题的关键． 根据各图形中五角星个数的变化，可找出第n个图案中有颗五角星，代入即可求出结论． 【详解】解：∵第1个图案中有4颗五角星， 第2个图案中有7颗五角星， 第3个图案中有10颗五角星， 第4个图案中有13颗五角星， 第5个图案中有16颗五角星， …， ∴第n个图案中有颗五角星． 当时，， 故选：D． 7．（25-26七年级上·安徽·期中）下列三行数按一定的规律排列，请你仔细观察并完成探究． 第一行：1，，4，，16，，… ； 第二行：，4，，16，，64，… ； 第三行：3，，9，，33，，… ； （1）第一行第10个数为 ； （2）每一行第9和第10个数的总和是 【答案】 【分析】本题主要考查了数字类规律的探索，有理数的乘方和加减运算，解题的关键是找出数字的规律． （1）找出数字的规律为，然后运用有理数的乘方法则求出第10个数即可； （2）找出每一行数字的规律，分别求出第9和第10个数的和，最后求出总和即可． 【详解】解：（1）根据给出数列的规律可得，第一行第个数为， ∴当时，， 即第一行第10个数为， 故答案为：； （2）第一行第9个数为，第10个数，和为； 根据给出数列的规律可得，第二行第个数为， ∴第二行第9个数为，第10个数，和为； 根据给出数列的规律可得，第三行第个数为， ∴第三行第9个数为，第10个数，和为； ∴每一行第9个数和第10个数的总和为， 故答案为：． 8．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）定义一种新运算“”，规定：．例如：． （1）计算： ； （2）若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数运算和整体代入思想，对新定义运算的理解和应用能力，解题的关键在于读懂新定义运算的运算法则． （1）直接根据新运算法则计算； （2）先根据新运算法则化简代数式，再整体代入求值． 【详解】（1）根据新运算规定 ， ． 故答案为． （2） ． 已知，代入得： ． 故答案为． 9．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）若关于x的多项式合并后不含二次项，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查合并同类项，通过合并多项式中的同类项后，根据不含二次项的条件，令二次项系数为零求解． 【详解】解：， 合并同类项得：． ∵多项式合并后不含二次项， ∴二次项系数， 解得． 故答案为：． 10．（24-25七年级上·安徽·期中）已知数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴上点的意义，绝对值的意义，整式的加减，根据数轴上点的位置，判断出绝对值内的式子的符号是解题关键． 根据数轴判断出a、b、c的符号和绝对值的大小，根据绝对值的意义去绝对值，去括号合并同类项即可求解． 【详解】解：由数轴可得，， ∴，，， ∴ ． 故答案为：． 11．（25-26七年级上·安徽阜阳·月考）观察下列等式： 第1层：； 第2层：； 第3层：； …… 按照以上规律，请写出： 第4层等式为 ； 第层等式为 ．（用含的式子表示，是正整数） 【答案】 【分析】本题考查了数字类规律探究．观察各层等式，发现第一个加数的分母为层数，第二个加数的分母为，分子都为，等式的右边为． 【详解】解：第1层：； 第2层：； 第3层：； 第4层：， …… 按照以上规律， 第层等式为 故答案为：，． 12．（25-26七年级上·安徽淮南·月考）已知，若，则，所以．运用类似的方法，解决下列问题： （1） ； （2）代数式的值为 ． 【答案】 64 / 【分析】本题主要考查了乘方的综合运算、代数式求值等知识点，灵活运用赋值法是解题的关键． （1）令，代入原式可得所有系数和； （2）令，结合的结果，求出，再减去的值即可求得的值，然后再求出的值，最后代入计算即可． 【详解】解：（1）令，则==64，即． 故答案为：64． （2）令，则=0，即 将和的结果相加，得，即， ∵， ∴， ． ∴． 故答案为：． 13．（25-26七年级上·安徽淮南·期中）化简： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减运算． （1）先去括号，再合并同类项即可； （2）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 14．（25-26七年级上·安徽淮北·月考）已知，． (1)求．（用含，的代数式表示） (2)若，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式加减中的化简求值，解题的关键是熟练掌握整式的加减运算法则． （1）利用整式的加减运算法则计算即可； （2）先将原式变形，再整体代入求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：当，时， ∴ ， ． 15．（25-26七年级上·安徽淮南·期中）如图是某种窗户的形状，其上部是半圆形，下部是边长相同的四个小正方形，已知下部分每个小正方形的边长为米，求： (1)窗户的面积； (2)窗框用料实线部分的总长度； (3)当时，若窗户上安装的是玻璃，玻璃每平方米元，窗框料每米元，窗框厚度不计那么生产这种窗户的总费用是多少？全部用含的代数式表示） 【答案】(1)平方米； (2)米； (3)元 【分析】本题主要考查列代数式及代数式的值，解题的关键是理解题意； （1）根据正方形的面积及圆的面积可进行求解； （2）根据圆的周长及正方形的周长公式可进行求解； （3）由（1）（2）可代值进行求解即可． 【详解】（1）解：四个小正方形的面积为平方米， 上面半圆的面积为平方米， 窗户的面积为平方米． 答：窗户的面积为平方米； （2）解：由图可得： 窗框的总长度是：米， 答：窗框的总长度是米； （3）解：∵， ∴根据可知，费用为： 元． 答：制作这种窗户需要的费用是元． 16．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）已知代数式． (1)求； (2)若单项式与单项式是同类项，求的值； (3)当m取何值时，的值与n无关． 【答案】(1) (2)50 (3)当时，的值与无关 【分析】（1）根据多项式的加减法法则即可运算； （2）根据同类项的概念求出m、n的值，代入计算即可； （3）将多项式按n进行合并，令n的系数为零即可． 本题考查多项式的加减法运算、同类项的概念等． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵单项式与单项式是同类项， ， ； （3）解：， ∵的值与无关， ∴， ∴， 即当时，的值与无关． 17．（25-26七年级上·安徽合肥·月考）【规律初现】 如图，图案中的等边三角形与正方形数量有规律的增长，其中第1个图案有4个正方形；第2个图案有6个正方形；第3个图案有8个正方形；… 【规律探索】归纳上述图案中的等边三角形与正方形的增长规律，解答下列问题． （1）第6个图案中有等边三角形______个，正方形有______个，…，第2026个图案中有等边三角形______个，正方形有______个． （2）第n个图案中有等边三角形______个，正方形有______个．（用含n的代数式表示） 【规律应用】 （3）若第n个图案中等边三角形与正方形共有2026个，求该图案中正方形的数量． 【答案】（1）12，14，4052，4054；（2），；（3）该图案中正方形有1014个 【分析】本题主要考查图形类规律问题，解题的关键是得到图形的一般规律； （1）根据题中所给图形规律进行求解即可； （2）由（1）可总结该图形类规律； （3）由（2）及题意可进行求解． 【详解】解：（1）由所给图形可知， 第1个图案中等边三角形的个数为：，正方形的个数为：； 第2个图案中等边三角形的个数为：，正方形的个数为：； 第3个图案中等边三角形的个数为：，正方形的个数为：； 第4个图案中等边三角形的个数为：，正方形的个数为：； …， ∴第6个图案中等边三角形的个数为：，正方形的个数为：； 第2026个图案中等边三角形的个数为：，正方形的个数为：； 故答案为12，14，4052，4054； （2）由（1）可知：第n个图案中等边三角形有个，正方形有个； 故答案为，； （3）由（2）及题意可得：， ∴， ∴该图案中正方形的数量为． 18．（25-26七年级上·安徽六安·期中）【素材呈现】“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，如下题所示： 若代数式的值为0，则代数式的值为______． 【阅读理解】 小哲在解答时采用的方法如下： 解：由题意，得， 即，………………① ①×2，得， 所以． 【方法运用】仿照上面的方法，解决下面问题： (1)若代数式的值为，求代数式的值； (2)已知：当时，代数式的值为，求当时，代数式的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了用整体代入法求代数式的值． 根据代数式的值为，可得，把代数式整理可得：原式，用整体代入法求代数式的值即可； 根据当时，代数式的值为，可得，当时，可得代数式，利用整体代入法求代数式的值即可． 【详解】（1）解：代数式的值为， ， ， ； （2）解：当时，代数式的值为， ， ， 当时， ． 19．（25-26七年级上·安徽六安·期中）为发展校园篮球运动，某城区四所学校决定联合购买一批篮球运动装备，市场调查发现，甲、乙两商场以同样的价格出售同种品牌的篮球服和篮球，已知每套篮球服元，每个篮球元，经洽谈，甲商场的优惠方案是：每购买套篮球服，送一个篮球；乙商场的优惠方案是：若购买篮球服满套（含套），则购买篮球打五折． (1)若该城区四校联合购买套篮球服和个篮球：则到甲商场购买所花的费用为 元，到乙商场购买所花的费用为 元； (2)若该城区四校联合购买套篮球服和（）个篮球，请用含的代数式分别表示出到甲商场和乙商场购买所花的费用． (3)在（2）的条件下，当时，在哪家商场购买篮球服和篮球更优惠？ 【答案】(1)； (2)到甲商场购买所花的费用为： 元，到乙商场购买所花的费用为： 元 (3)到甲商场购买篮球服和篮球更优惠 【分析】本题考查了列代数式，根据题目，读懂题意，正确列出式子是解答本题的关键． （1）根据题意，购买套，甲商场可以用优惠方案，乙商场也能用优惠方案； （2）根据甲、乙商场的优惠方案分别计算，得到答案； （3）将分别代入甲、乙商场购买所花费用的代数式中，比较两个大小，得到哪家商场购买篮球服和篮球更优惠． 【详解】（1）解：甲商场的优惠方案是：每购买套篮球服，送一个篮球， 则需要买（次）套篮球服,送个篮球，还需要再购买两个篮球即可； 到甲商场购买所花的费用为：（元）， 乙商场的优惠方案是：若购买篮球服满套，则购买篮球打五折， 到乙商场购买所花的费用为：（元） （2）到甲商场购买所花的费用为：元； 到乙商场购买所花的费用为：元； （3）当时，到甲商场购买所花的费用为： （元） 到乙商场购买所花的费用为： （元） ， 到甲商场购买篮球服和篮球更优惠． 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 整式及其加减 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1 ：代数式的相关概念 1、代数式的定义：是由数字、字母通过有限次加、减、乘、除和乘方等代数运算得到的数学表达式。它可以表示为一个或多个项的和，每个项由系数、字母和字母的指数组成。 2、代数式的书写规则：乘号可以省略或用“·”表示，除法运算用分数线表示。 数字和字母相乘时，数字应写在字母的前面。 带分数应写成假分数的形式。 3、代数式的值：当代数式中的字母取某些特定值时，代数式所表示的数。求代数式的值的方法有直接代入法、整体代入法、间接求值法等。 4、代数式的实际意义：明白每个符号代表的意义以及整个式子所表示的数量关系，用字母表示数后，同一个代数式可以表示不同的实际问题中的数量关系. 知识点2 ：整式的相关概念 1、单项式的定义：如，，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式. 单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数. 单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数. 2、多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式； 多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项； 多项式的次数：一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数. 3、整式：单项式与多项式统称为整式. 单项式、多项式、整式与代数式这四者之间的关系：单项式、多项式必是整式，整式必是代数式，但反过来就不一定成立. 知识点3 ：合并同类项 同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项．几个常数项也是同类项. 易错点： （1）不是同类项的不能合并，无同类项的项不能遗漏,在每步运算中照抄； （2）所有的常数项都是同类项，合并时把它们结合在一起，运用有理数的运算法则进行合并； （3）系数相加(减)，字母部分不变，不能把字母的指数也相加(减)； （4）若两个同类项的系数互为相反数，则合并同类项的结果为0. 知识点4 ：去括号与添括号 1、去括号法则： 括号前面是“＋”号，把括号和前面的“＋”号去掉，括号里各项符号都不改变，如； 括号前面是“－”号，把括号和前面的“－”号去掉，括号里各项符号都要改变，如. 2、添括号法则： 添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号，如； 添括号后，括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要改变符号，如． 知识点5 ：整式的加减 1、利用合并同类项和去括号法则，我们可以进行整式的加减运算. 整式的加减运算，像数的运算一样满足各种运算律，如果有括号要先去括号，再合并同类项. 2、整式加减注意事项：整式加减的结果要最简，不能有同类项，含字母的项的系数不要出现带分数（化成假分数），能去括号的要去括号，一般不含有括号. 3、整式加减的应用 （1）整式的化简求值 一般这类题会利用整体代入法求值，从题中条件中不易直接得到某个字母的具体值，可以将原式化为已知条件中字母间的关系，然后将某个式子的值作为一个整体代入计算. （2）整式中“不含”与“无关”类问题的求解方法 若整式加减运算结果“不含x项”或整体的值“与x的值无关”，实质是指去括号并合并同类项后含字母x的项的系数为0. （3）解决多项式能否被一个数整除类问题 判断一个多项式是否能被一个数整除，关键是看这个多项式是否能化为这个数和某个多项式（多项式的值为整数）乘积的形式. 知识点6 ：图形与数字规律探索 探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律． （1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式． （2）利用方程解决问题．当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x，再利用它们之间的关系，设出其他未知数，然后列方程． 【考点1 用字母表示数】 例1．（2025七年级下·全国·专题练习）下列几组量中，不成反比例的是(  ) A．工作总量一定，工作效率和工作时间 B．减数一定，被减数和差 C．面积一定，平行四边形的底和高 D．食堂运回一批煤，每月烧的吨数和烧的月数 变式1．（24-25七年级上·河北秦皇岛·开学考试）小明比小强大2岁，比小华小4岁．如果小强y岁．则小华（    ） A．岁 B．岁 C．岁 D．岁 变式2．（24-25七年级上·浙江·期中）人们学习数学，通常是从学习数学符号开始的．现代数学符号系统的建立经历了长期的演变和发展．我国清朝学堂课本《代徽积拾级》中用“”来表示相当于的代数式，按此方法，符号“”所表示的代数式为 ． 变式3．（24-25七年级上·陕西西安·期中）如图，从一张边长为的正方形铁皮上先截去一个宽的长方形条，再截去一个宽的长方形条，则共截去了 的铁皮．    【考点2 代数式的相关概念】 例2．（25-26七年级上·广东广州·期中）在式子：0，，，，，，中，代数式有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 变式1．（24-25七年级下·重庆江津·期末）少数民族服饰以其精美的花纹和艳丽的色彩越来越受到设计师们的喜爱．某民族服饰的花边均是由基础图形进行若干次平移后组成的有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，第3个图案由10个基础图形组成，……，如图，按此规律排列下去，第2025个图案中的基础图形个数为（   ） A．6070 B．6073 C．6076 D．6079 变式2．（25-26七年级上·湖北孝感·期末）下列各式：，，，，，，其中不符合代数式书写规范的有 个． 变式3．（25-26七年级上·山西朔州·期中）下表为太原某超市某天的部分水果价位表，根据价格表回答下列问题： 种类   玉露香梨   运城苹果   阳城柿子   柳林红枣 单价（元/千克） 6 8 3 (1)若王阿姨当日买千克玉露香梨和千克运城苹果． ①王阿姨应付__________元．（用含和的代数式表示）． ②若，，求王阿姨的水果消费总额． (2)请说出代数式的意义． 【考点3 已知字母或式子的值，求代数式的值】 例3．（25-26七年级上·全国·期末）已知互为相反数，求代数式的值． 变式1．（24-25六年级上·山东泰安·期末）已知、互为相反数，，互为倒数，的绝对值为2，那么的值为 ． 变式2．（25-26七年级上·全国·期末）若代数式，则代数式 ． 变式3．（24-25六年级上·山东济南·期末）运用整体思想在代数式求值中经常会有用到． 例如：已知，则代数式． 请你根据以上材料解答以下问题： (1)若，则_____； (2)若代数式的值为12，求代数式的值． 【考点4 单项式的相关概念】 例4．（25-26七年级上·广东揭阳·期末）下列各式，，，，，m，，，中单项式的个数有（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 变式1．（25-26七年级上·上海金山·期中）下列说法正确的是（   ） A．的系数是3 B．的次数是 C．数字是单项式 D．的常数项为 变式2．（25-26七年级上·山东青岛·期末）下列说法中不正确的是（   ） A．数字的次数是 B．是二次单项式 C．单项式的系数与次数都是 D．的系数是 变式3．（25-26七年级上·湖南永州·期中）已知多项式是关于，的四次三项式． (1)求的值； (2)若该多项式的次数与单项式的次数相同，求的值． 【考点5 单项式规律题】 例5．（24-25九年级上·云南红河·期末）观察下列关于的代数式，探究其规律：，按照上述规律，第10个代数式是（    ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级上·云南红河·期末）按一定规律排列的单项式：，按照这样的规律，第2025个单项式是（    ） A． B． C． D． 变式2．（24-25六年级上·山东烟台·期末）按照一定规律排列的单项式：，，，，，……．则第n个单项式是 ． 变式3．（24-25七年级上·广西防城港·期中）观察下列单项式：2x，﹣4x2，6x3，﹣8x4 ，…，38x19 ，﹣40x20 ，…，回答下列问题：     （1）请写出第五项；第六项；     （2）根据上面的归纳，你可以猜想出第n个单项式是什么？     （3）请你根据猜想，写出第2019，2020个单项式． 【考点6 多项式的相关概念】 例6．（25-26七年级上·浙江金华·月考）下列说法中正确的是（　　） A．的次数是6次 B．是多项式 C．的次数是2次常数项是7 D．的系数是 变式1．（25-26七年级上·河南新乡·期中）下列说法正确的是（   ） A．是二次三项式 B．是单项式 C．的系数是 D．的次数是6 变式2．（24-25七年级上·河北张家口·期末）在式子：①，②，③，④中，单项式有 ，多项式有 ，整式有 ．（填序号） 变式3．（24-25七年级·浙江杭州·期末）已知代数式：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨． 其中属于单项式的有 ；（填序号） 属于多项式的有 ；（填序号） 属于整式的有 ．（填序号） 【考点7 多项式的系数、指数中字母求值】 例7．（24-25七年级上·江西宜春·期末）若是关于的三次二项式，则（   ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级上·全国·期中）已知多项式是二次三项式，为常数，则的值为（   ） A． B． C． D．3 变式2．（24-25七年级上·广东广州·期末）若多项式是关于x的三次二项式，则m的值为 ． 变式3．（24-25七年级上·陕西西安·期末）已知关于、的多项式的次数为4，这个多项式有三个项，其中三次项系数为.分别求出、、的值. 【考点8 多项式的升降幂排列】 例8．（24-25七年级上·福建泉州·期末）下列关于代数式的说法正确的是（   ） A．二次三项式 B．二次项是 C．按x降幂排列 D．常数项是1 变式1．（24-25七年级上·河南周口·期中）关于多项式，下列说法正确的是（    ） A．次数为 B．按的降幂排列为 C．常数项为 D．按的升幂排列为 变式2．（25-26七年级上·湖南郴州·期中）已知多项式，按照y的降幂排列为 ． 变式3．（24-25七年级上·河南南阳·期中）已知多项式是关于x、y的四次三项式． (1)求m的值，并写出这个多项式； (2)将多项式按字母y的升幂排列； (3)当，时，求此多项式的值． 【考点9 整式的相关概念】 例9．（25-26七年级上·辽宁鞍山·月考）代数式，0，，，，中，整式有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 变式1．（25-26七年级上·四川乐山·期中）代数式，，，，，，中，整式共有 个． 变式2．（2024七年级上·全国·专题练习）下列代数式中哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？分别填入所对应的横线上． ，，，，，，，． 单项式： ； 多项式： ； 整式： ． 变式3．（25-26七年级上·全国·周测）将填入下列相应的大括号中． 单项式：{            …}； 多项式：{            …}； 三次式：{            …}； 二项式：{            …}； 整式：{            …}． 【考点10 数字类规律探索】 例10．（25-26七年级上·贵州黔东南·期末）生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化常常需要建立数学模型，在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型来表示，即：，，请你推算的个位上的数字是（   ） A．8 B．6 C．4 D．0 变式1．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，图书馆把密码做成了数学题．小星在图书馆看书时，思索了一会儿，输入密码，顺利地连接到了图书馆的网络，那么他输入的密码是（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）由所有正奇数，，，，，，，，，，组成的三角形数阵如图所示，则第行的个数的和是 ． 变式3．（25-26七年级上·河南南阳·月考）如图，古代数学家通过画图的形式发现下列各式： ； ； ； ； 按照上述规律，回答下列问题： (1)计算的结果为 ; (2)请用一个含n（n为正整数且）的式子表示这个规律； (3)计算． 【考点11 图形类规律探索】 例11．（2025七年级上·全国·专题练习）标志（）代表的是一个企业或是产品的文化精髓，朵朵模仿的设计思路，自己设计了一个，她将图①中的正方形剪开得到图②，再将图②中右上角的正方形剪开得到图③，继续将图③中右上角的正方形剪开得到图④，…；如此下去她用正方形代表窗口，一直按照这样的规律剪下去代表窗口可以根据需要一直增加，按照朵朵的设计思路，图⑥中正方形的个数是（   ） A．13 B．16 C．19 D．22 变式1．（25-26七年级上·新疆乌鲁木齐·期中）下列图形是由同样大小的棋子按照一定规律排列而成的，其中，图1中有5个棋子，图2中有10个棋子，图3中有16个棋子，……，则图11中有（   ）个棋子． A．115 B．100 C．86 D．73 变式2．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·月考）如图，用火柴棍拼成一排由正方形组成的图形，按照这样的方法拼下去，拼第9个这样的正方形需要 根火柴棍． 变式3．（25-26七年级上·安徽淮南·月考）【规律初现】 如图，图案中的等边三角形与正方形数量有规律的增长，其中第1个图案有4个正方形；第2个图案有6个正方形；第3个图案有8个正方形；… 【规律探索】归纳上述图案中的等边三角形与正方形增长规律，解答下列问题． （1）第6个图案中有等边三角形______个，正方形有______个，…，第2026个图案中有等边三角形______个，正方形有______个； （2）第n个图案中有等边三角形______个，正方形有______个；（用含n的代数式表示） 【规律应用】 （3）若第n个图案中等边三角形与正方形数量共有2026个，求该图案中正方形的数量． 【考点12 合并同类项】 例12．（25-26七年级上·四川眉山·期中）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 变式1．（25-26七年级上·广东佛山·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26七年级上·上海·期中）合并同类项： ． 变式3．（25-26七年级上·全国·期中）化简下列各式： (1)； (2) 【考点13 整式的加减运算】 例13．（24-25七年级上·重庆永川·期中）化简； (1)； (2)． 变式1．（25-26七年级上·江苏苏州·月考）化简： (1) (2) 变式2．（25-26七年级上·河南郑州·月考）已知，． (1)化简； (2)若，求的值． 变式3．（25-26七年级上·河南南阳·月考）计算： (1)． (2)． 【考点14 整式加减中的化简求值】 例14．（25-26七年级上·江苏南通·期中）若，则多项式的值为（   ） A． B． C．1 D．2 变式1．（25-26七年级上·辽宁铁岭·期中）已知，则代数式的值是（   ） A． B．34 C．30 D． 变式2．（25-26七年级上·安徽阜阳·月考）若，则的值为 ． 变式3．（25-26七年级上·贵州黔东南·期末）先化简，再求值：，其中． 【考点15 整式加减的无关型问题】 例15．（25-26七年级上·江苏无锡·月考）多项式合并同类项后，不含项，则m的值是（   ） A．5 B． C．1 D． 变式1．（25-26七年级上·安徽淮南·月考）若多项式与多项式相加后不含x的二次项，则m的值为（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26七年级上·陕西西安·期中）若关于的多项式的值与的取值无关，则的值是 变式3．（25-26七年级上·河南信阳·月考）在学习了整式的加减后，孙老师给出一道课堂练习题：选择m的一个值，求的值， 甲说：“当时，原式的值为2025” 乙说：“当时，原式的值为2025” 丙说“当m为任何一个有理数时，原式的值都为2025”，这三位同学的说法是否正确，请说明理由． 【考点16 整式加减的应用】 例16．（25-26七年级上·甘肃天水·期末）为了节约用水，某市调整居民用水方法，规定如果每户每月用水不超过20吨，每吨水收费3元，如果每户每月用水超过20吨，则超过部分每吨水收费4元，小红看到这种收费方法后，想算算她家每月的水费： (1)若小红家10月用水15吨，水费___________元． (2)若小红家11月用水吨，请用含的代数式表示本月的水费． 变式1．（25-26七年级上·陕西榆林·月考）为更好地开展劳动教育，学校决定在操场划出一块长方形场地作为劳动基地．如图，长方形的长是米，宽比长短米． (1)求长方形的周长（用含的式子表示）． (2)当满足时，求长方形的周长． 变式2．（25-26七年级上·安徽安庆·月考）第六届山西文化产业博览交易会以下简称文博会于月日在山西潇河国际会展中心开幕，据悉，本届文博会门票种类及价格如图所示七年级某研学小组的名同学利用周末到文博会参观已知他们中有名同学抢到了早鸟门票，其余同学购买了常规门票． 常规门票元张； 早鸟门票元张； 岁以上人员，现役军人， 残疾人可凭有效证件免票． (1)求该研学小组此次购买文博会门票的总费用；用含的代数式表示 (2)若有人抢到早鸟门票，求该研学小组购买文博会门票的总费用． 变式3．（25-26七年级上·辽宁鞍山·月考）为庆祝我国首个空间实验室“天宫一号”顺利升空，学校开展了火箭模型制作比赛，如图为火箭模型的截面图，下面是梯形，中间是长方形，上面是三角形． (1)用、的代数式表示该截面的面积； (2)当，时，求这个截面的面积． 【考点17 整式加减中整体代入方法】 例17．（25-26七年级上·广东揭阳·月考）理解与思考：整体代换是数学的一种思想方法．例如：若，则；我们将作为一个整体代入，则原式． 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)如果，求的值； (2)若，，求的值． (3)若，，求的值． 变式1．（24-25七年级上·山东济南·期末）整体思想是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，把某些式子或图形看成一个整体，进行整体处理．它作为一种思想方法在数学学习中有广泛的应用，因为一些问题按常规不容易求出某一个（或多个）未知量时，根据题目的结构特征，把某一组数或某一个代数式看作一个整体，找出整体与局部的联系，从而找到解决问题的新途径．例如，求的值，我们将作为一个整体代入，则原式． 【尝试应用】 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)把看成一个整体，合并的结果是_____； (2)如果，求的值； (3)当时，代数式的值为m，当时，求代数式的值；（用含m的代数式表示） 变式2．（25-26七年级上·江西赣州·期中）阅读材料： 我们知道，，类似的，我们把看成一个整体，则，“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： (1)把看成一个整体，求将合并的结果 ； (2)已知，求代数式的值； 拓广探索： (3)若已知，，，求的值， 变式3．（25-26七年级上·吉林长春·月考）【阅读理解】“整体思想”是中学数学解题思想中的一种重要思想，它在整式的化简与求值中应用极为广泛． 例如：已知代数式的值为7，求代数式的值． 小明采用的方法如下： 解：由题意得，则有， 所以， 所以代数式的值为9． 【方法运用】 （1）若代数式的值为5，求代数式的值． （2）若代数式的值为13，求代数式的值． 【拓展应用】 （3）若，，求代数式的值． 【考点18 整式加减中的几何无关型问题】 例18．（25-26七年级上·福建泉州·月考）如图，点为原点，、为数轴上两点，，且，点从点开始以每秒4个单位的速度向右运动，当点开始运动时，点、分别以每秒5个单位和每秒2个单位的速度同时向右运动，设运动时间为秒，若的值在某段时间内不随着的变化而变化，则的值为（   ） A．5或7 B．3或5或7 C．3或5 D．3或7 变式1．（25-26七年级上·山西晋中·期中）【知识回顾】 在学习代数式求值时，遇到这样一类题：“代数式的值与的取值无关，求的值”．通常的解题方法是：把，看作字母，看作系数合并同类项，因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，所以，则． 【理解应用】 已知代数式，． （1）化简：； （2）若的值与的取值无关，求的值． 【能力提升】 （3）有7张如图1的小长方形，长为，宽为，按照如图2的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的阴影部分面积为，周长为，左下角的阴影部面积为，周长为，设． ①当时，求． ②当的长变化时，下列代数式值不变的是( ) A．    B．    C．    D． 变式2．（25-26七年级上·安徽安庆·期中）已知式子是关于的二次多项式，且二次项系数为，数轴上A、B两点所对应的数分别是和． (1)则_____，_____；A，B两点之间的距离为_____； (2)有一动点从点出发第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置第二次向右运动2个单位长度，再在此位置第三次向左运动3个单位长度…．按照如此规律不断地左右运动，当运动到第2025次时，求点所对应的有理数． (3)若点以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时点以每秒5个单位长度的速度向右运动，动点从原点开始以每秒个单位长度在A，B之间运动（到达或即停止运动），运动时间为秒，在运动过程中，的值始终保持不变，求点运动的方向及的值． 变式3．（25-26七年级上·四川成都·期中）【问题背景】 如图1，有一长，宽的长方形电脑屏幕，动点以每秒2个单位从向运动，同时点以每秒个单位从向运动，设点的运动时间为秒，连接． 【初步探究】 （1）当，时，求四边形的面积 （2）当为何值时，四边形的面积与的取值无关： 【拓展提升】 （3）如图2，若点每运动1秒，电脑屏幕的区显示的结果就会自动加上2，同时区的结果会自动将整个代数式乘以2，且均显示化简后的结果．已知两区初始显示的分别是和，若，试比较区、区显示的结果哪个大，并说明理由． 【考点19 整式加减的新定义问题】 例19．（25-26七年级上·福建龙岩·月考）定义一种新运算：对于任意有理数和，都有．下列结论正确的是 ①若，则；②；③若a，b异号，则或； ④对于任意有理数，总有； 变式1．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）定义：如果将一个正整数m写在每一个正整数的右边，所得到的新的正整数能被m整除，则称这个正整数m为“奇妙数”． 例如：将2写在正整数n右边，新数是，需要能被2整除，因为是2的倍数，2也是2的倍数，所以能被2整除，所以2是奇妙数． （1）根据上面的定义，在正整数3，5，6中“奇妙数”为 ． （2）若“奇妙数”是一个三位数，我们可设这个三位数的“奇妙数”为y，将这个数写在正整数k的右边，得到新的正整数可表示为，则所有的三位数中的“奇妙数”有 ． 变式2．（25-26七年级上·福建厦门·期中）【定义】如果一个三位数满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，称这个三位数为“异数”． 【发现】若是一个“异数”，交换百位和个位上的数字后，用较大数与较小数作差后除以99，商必为正整数．记这个正整数为． 例如：若，交换百位数字与个位数字得到652，，则，，所以． 【解决问题】： (1)_____； (2)小颖同学想用学过的“整式的加减”知识说明上述【发现】是正确的，她的说理过程如下：设“异数”的百位数字为，十位数字为，个位数字为．（请你继续完成小颖同学的说理过程） (3)若s，t都是“异数”，，（其中为小于10的正整数），求的最小值，并写出此时的值． 变式3．（25-26七年级上·湖南长沙·期中） 定义新运算： (右边的运算为平常的加、减、乘、除)． 例如： 若， 则称有理数a， b为“隔一数对”． 例如： 所以2，3就是一对“隔一数对” (1)下列各组数是“隔一数对”的是 ；(请填序号) ①，； ②， ； (2)计算： ； (3)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”，计算． 【考点20 整式加减的应用综合】 例20．（24-25七年级上·甘肃临夏·期末）如图，在矩形中放入正方形，正方形，正方形，点E在上，点M、N在上，若，，，则图中右上角阴影部分的周长与左下角阴影部分的周长的差为（   ） A． B． C． D． 变式1．（25-26七年级上·山东济南·期中）在此次课外活动中，小明同学设计了一个有趣的游戏：第一步：发给A，B，C三位同学相同数量的扑克牌（每位同学的扑克牌数量超过4张）；第二步：A同学拿出3张扑克牌给B同学；第三步：C同学拿出4张扑克牌给B同学；第四步：C同学手中此时有多少张扑克牌，B同学就拿出多少张扑克牌给A同学．则下列说法正确的是（   ） A．最终B同学手中牌张数确定，一定是3张 B．最终A同学手中牌张数无法确定，但一定比第一步发放的扑克牌张数多 C．若第一步每位同学发9张牌，则最终A、B两位同学手中的牌数相同 D．最终C同学手中牌张数最少 变式2．（25-26七年级上·四川泸州·期中）某水果批发市场苹果的价格如下表： 价目表 购买苹果千克 单价 不超过20千克的部分 6元/千克 超过20千克但不超过40千克的部分 5元/千克 超过40千克的部分 4元/千克 (1)小明第一次购买15千克苹果，需要付费______元； (2)小明第二次购买苹果x千克超过20千克但不超过40千克，则需要付费包含两部分，一部分为购买苹果20千克，付费120元；另外一部分为购买苹果______千克，此部分应付费______元；则总共应付费为______元用含x的式子表示 (3)小强分两次共买100千克，第二次购买的数量多于第一次购买数量，且第一次购买的数量为a千克，请问两次购买水果共需要付费多少元？用含a的式子表示 变式3．（25-26七年级上·广东佛山·期中）【问题发现】如图①是由个数字组成的偶数方阵，如阴影部分所示，任意“田”字框中的四个数均满足“对角线上的两个数之和相等” 理由如下： 设阴影部分左上角的数为，则阴影部分的4个数分别表示为： 因为对角线上的两个数之和分别为，所以， 所以阴影框中的四个数均满足对角线上的两个数之和相等． 【类比猜想】（1）请你根据上述探究过程，猜想图②中任意“十”字框中的5个数字之和与框中心的数字有什么关系，请在下图中用y表示各数，并通过计算进行证明． 【类比探究】（2）若阴影框的形状如图③所示，则对于框中的4个数，你能得到什么结论？ 【拓展延伸】（3）假设阴影框中的数字分别为a，b，c，d，请用a的代数式表示这4个数．对于第（2）问的结论，对任意处于图③此形状的框中的数都成立吗？若成立，请通过计算进行证明，若不成立，请说明理由． 1．（25-26七年级上·安徽芜湖·月考）下列结论错误的个数是（    ） ①是单项式；②多项式的常数项是5；③的系数是；④的次数为4． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）已知，且，则（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 3．（25-26七年级上·安徽淮南·月考）在如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为36，则第一次输出的结果为18，第二次输出的结果为9，…，第2025次输出的结果是（   ） A．1 B．6 C．3 D．4 4．（25-26七年级上·安徽宿州·月考）如图，某学校数学兴趣小组活动室门上安装了密码锁，凡是参加兴趣活动的同学通过观察门上的小提示，输入密码便可进入活动室．小明同学要参加兴趣活动，他走到门口思索了一会儿，输入密码后顺利进入活动室，他输入的密码是（   ） 密码 A．721618 B．721816 C．271816 D．187216 5．（25-26七年级上·安徽亳州·月考）如图所示，根据下列图形中数字的排列规律，计算第10个图形中的值是（   ） A． B． C．510 D．512 6．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）为庆祝国庆，某学校举办了一次创意设计竞赛．明明用大小相等的五角星按一定规律摆放出如图所示的图案，则第25个图案中五角星的颗数为（   ） A．66颗 B．69颗 C．72颗 D．76颗 7．（25-26七年级上·安徽·期中）下列三行数按一定的规律排列，请你仔细观察并完成探究． 第一行：1，，4，，16，，… ； 第二行：，4，，16，，64，… ； 第三行：3，，9，，33，，… ； （1）第一行第10个数为 ； （2）每一行第9和第10个数的总和是 8．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）定义一种新运算“”，规定：．例如：． （1）计算： ； （2）若，则的值为 ． 9．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）若关于x的多项式合并后不含二次项，则m的值为 ． 10．（24-25七年级上·安徽·期中）已知数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简： ． 11．（25-26七年级上·安徽阜阳·月考）观察下列等式： 第1层：； 第2层：； 第3层：； …… 按照以上规律，请写出： 第4层等式为 ； 第层等式为 ．（用含的式子表示，是正整数） 12．（25-26七年级上·安徽淮南·月考）已知，若，则，所以．运用类似的方法，解决下列问题： （1） ； （2）代数式的值为 ． 13．（25-26七年级上·安徽淮南·期中）化简： (1)； (2) 14．（25-26七年级上·安徽淮北·月考）已知，． (1)求．（用含，的代数式表示） (2)若，，求的值． 15．（25-26七年级上·安徽淮南·期中）如图是某种窗户的形状，其上部是半圆形，下部是边长相同的四个小正方形，已知下部分每个小正方形的边长为米，求： (1)窗户的面积； (2)窗框用料实线部分的总长度； (3)当时，若窗户上安装的是玻璃，玻璃每平方米元，窗框料每米元，窗框厚度不计那么生产这种窗户的总费用是多少？全部用含的代数式表示） 16．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）已知代数式． (1)求； (2)若单项式与单项式是同类项，求的值； (3)当m取何值时，的值与n无关． 17．（25-26七年级上·安徽合肥·月考）【规律初现】 如图，图案中的等边三角形与正方形数量有规律的增长，其中第1个图案有4个正方形；第2个图案有6个正方形；第3个图案有8个正方形；… 【规律探索】归纳上述图案中的等边三角形与正方形的增长规律，解答下列问题． （1）第6个图案中有等边三角形______个，正方形有______个，…，第2026个图案中有等边三角形______个，正方形有______个． （2）第n个图案中有等边三角形______个，正方形有______个．（用含n的代数式表示） 【规律应用】 （3）若第n个图案中等边三角形与正方形共有2026个，求该图案中正方形的数量． 18．（25-26七年级上·安徽六安·期中）【素材呈现】“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，如下题所示： 若代数式的值为0，则代数式的值为______． 【阅读理解】 小哲在解答时采用的方法如下： 解：由题意，得， 即，………………① ①×2，得， 所以． 【方法运用】仿照上面的方法，解决下面问题： (1)若代数式的值为，求代数式的值； (2)已知：当时，代数式的值为，求当时，代数式的值． 19．（25-26七年级上·安徽六安·期中）为发展校园篮球运动，某城区四所学校决定联合购买一批篮球运动装备，市场调查发现，甲、乙两商场以同样的价格出售同种品牌的篮球服和篮球，已知每套篮球服元，每个篮球元，经洽谈，甲商场的优惠方案是：每购买套篮球服，送一个篮球；乙商场的优惠方案是：若购买篮球服满套（含套），则购买篮球打五折． (1)若该城区四校联合购买套篮球服和个篮球：则到甲商场购买所花的费用为 元，到乙商场购买所花的费用为 元； (2)若该城区四校联合购买套篮球服和（）个篮球，请用含的代数式分别表示出到甲商场和乙商场购买所花的费用． (3)在（2）的条件下，当时，在哪家商场购买篮球服和篮球更优惠？ 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $