专题03 一次方程的解法与应用（4大知识点+21大考点+复习提升）（寒假复习讲义）七年级数学新教材沪科版

专题03 一次方程的解法与应用 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1 ：一元一次方程的相关概念 一元一次方程的概念：只含有一个未知数（元），且未知数的次数都是1，这样的整式方程叫一元一次方程. 一元一次方程的标准形式：ax+b=0（a、b是常数，且a≠0）. 方程的解：能使方程两边的值相等的未知数的值叫做方程的解. 解方程：求方程的解得过程叫做解方程. 知识点2 ：等式的性质 等式的性质1：等式的两边都加上(或减去)同一个数（或同一个式子），所得的结果仍是等式.即： 如果a=b，那么a±c=a±c 等式的性质2：等式两边都乘以同一个数，或都除以同一个不为0的数，结果仍相等. 【易错易混】 （1）利用等式的性质进行变形时，等式两边都要参加运算，而且是同一种运算. （2）等式两边同时除以一个字母时，字母不能为0，若题目没有注明该字母不为0，那么这个变形就不成立. 知识点3 ：一元一次方程的解法 步骤 具体做法 去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 移项 把含有未知数的项移到方程一边，其它项都移到方程另一边 合并同类项 把方程变为ax=b（a≠0 )的形式 系数化为1 将方程两边都除以未知数系数a，得到方程的解x= 知识点3 ：用一元一次方程解决实际问题的一般步骤： 审：审清题意（注意关键词），找出题中的等量关系，理清题中的已知量与未知量； 设：设未知数，并用含未知数的代数式表示其他未知量； 列：根据题中相等关系，列出方程； 解：解所列出的方程； 验：检验所得的解是不是所列方程的解、是否符合实际意义（这一步可在草稿纸上完成）； 答：写出答案，包括单位. 知识点4 ：用一元一次方程解决实际问题的常见类型 （1）探索规律型问题； （2）数字问题； （3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率＝×100%）； （4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）； （5）行程问题（路程＝速度×时间）；速度×时间=路程；相遇问题：S甲＋S乙=S总 ；追及问题：S快-S慢=S相距 ； （6）等值变换问题； （7）和，差，倍，分问题； （8）分配问题； （9）比赛积分问题； （10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）． 【考点1 方程的相关概念】 例1．（24-25七年级下·湖南张家界·期末）下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是方程的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查了方程的定义，掌握方程是含有未知数的等式是解题的关键． 根据方程的定义逐项判断即可． 【详解】解：①，含有未知数x和y，且是等式，是方程； ② 含有未知数x，且是等式，是方程； ③ 没有未知数，不是方程； ④ 不是等式，不是方程； ⑤ 含有未知数x，且是等式，是方程； ⑥ 含有未知数x，且是等式，是方程． 综上，是方程的有①、②、⑤、⑥，共4个． 故选：D． 变式1．（24-25七年级上·全国·阶段练习）下列各式中，属于方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是方程的定义，含有未知数的等式叫方程，据此可得出正确答案． 【详解】A．，不含“＝”，不是方程； B．，含不等号，不是方程； C．是方程； D．，不含未知数，不是方程； 故选：C． 变式2．（25-26七年级上·广西崇左·月考）下列各式中 是等式， 是方程(填序号)． ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩． 【答案】①②③⑤⑥⑦；①③⑤⑥⑦ 【分析】本题主要考查等式和方程的概念，根据等式和方程的定义，等式是含有等号的式子，方程是含有未知数的等式，通过检查每个式子是否含有等号和未知数，进行分类． 【详解】解：①含有等号和未知数x，是等式也是方程； ②含有等号但没有未知数，是等式但不是方程； ③含有等号和未知数x，是等式也是方程； ④不含等号，既不是等式也不是方程； ⑤含有等号和未知数x、y、z，是等式也是方程； ⑥含有等号和未知数x、y，是等式也是方程； ⑦含有等号和未知数y，是等式也是方程； ⑧含有不等号，是不等式； ⑨含有不等号，是不等式； ⑩含有约等号，不是等式． 等式有：①②③⑤⑥⑦，方程有：①③⑤⑥⑦． 故答案为：①②③⑤⑥⑦；①③⑤⑥⑦． 变式3．（2025七年级上·北京·专题练习）下列各式中，是等式的有 ，是方程的有 ．（填序号） ①；②；③；④；⑤． 【答案】 ①③④⑤ ④⑤/⑤④ 【分析】本题考查等式和方程定义，熟记等式与方程定义是解决问题的关键． 根据等式：必须含有“”， 方程：既是等式，又含未知数逐项验证即可得到答案． 【详解】解：等式有①、③、④、⑤； 其中③不含未知数，是恒等式；在初中阶段，通常将⑤视为方程； 故答案为：①③④⑤；④⑤． 【考点2 已知方程的解求参数】 例2．（24-25七年级上·山东济南·期末）已知是关于x的方程的解，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据一元一次方程的解求参数，将代入方程得到关于的一元一次方程，解方程即可得出结果，熟练掌握解一元一次方程的方法是解此题的关键． 【详解】解：将代入方程得：， 整理可得：， 解得：， 故答案为：． 变式1．（25-26七年级上·河南安阳·月考）若是关于x的方程的解，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查一元一次方程的解，代入求值，掌握相关知识是解决问题的关键。将代入方程，根据方程解的定义得到的值，再代入绝对值表达式计算． 【详解】解：∵是方程（）的解， ∴代入得， 即． ∴． 故答案为：1． 变式2．（25-26七年级上·浙江杭州·月考）已知为实数，关于x的方程的解为，则关于y的方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的解，将第二个方程中的视为整体，通过变量代换，转化为与第一个方程相同的形式，利用已知解直接求解． 【详解】解：设，则关于y的方程化为，该方程与关于x的方程形式相同，且已知后者的解为， 因此，即， 解得． 故答案为：． 变式3．（25-26七年级上·山东德州·月考）已知，为定值，关于的方程，无论为何值，它的解总是．求． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，根据一元一次方程的解法，去分母并把方程整理成关于a、b的形式，然后根据方程的解与k无关分别列出方程求解即可． 【详解】解： 将代入方程，得： ， 整理得：， 因为上式对任意的值都成立，所以含项系数为0，常数项也为0， 则有：，， ∴，， ∴． 【考点3 等式的性质】 例3．（25-26七年级上·浙江·期末）下列等式的变形中，错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查了等式的性质．根据等式的性质，等式两边同时进行相同的运算（加、减、乘同一数或除以同一非零数）仍成立．选项A、B、C的变形均正确，选项D的变形在除以3时遗漏常数项． 【详解】解：A、若，则，正确，该选项不符合题意； B、若，则，正确，该选项不符合题意； C、若，则，正确，该选项不符合题意； D、若，则，原变形错误，该选项符合题意； 故选：D． 变式1．（25-26七年级上·广东清远·月考）下列等式变形正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】C 【分析】本题主要考查等式的基本性质，掌握 “等式两边同时加、减、乘同一个数（或式），等式仍成立；除以同一个数（或式）时需保证除数不为 0” 是解题的关键．根据等式的性质，等式两边同时乘同一个数，等式仍然成立进行判断即可． 【详解】 等式变形必须基于等式的性质：等式两边同时加、减、乘或除以（除数不为零）同一个数，等式仍成立． A．如果，那么，故选项不符合题意； B．如果，那么，故选项不符合题意； C．如果，两边同乘，得，故选项符合题意； D．如果，但可能为零，当时，不成立，故选项不符合题意． 故选：C． 变式2．（25-26七年级上·江苏南京·期中）已知，均是关于的整式，其中，，且当时，，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了用整体代入法求代数式的值，根据 时，代入化简后得到 ，再将所求代数式变形得到：原式，把整体代入化简后的代数式求值即可． 【详解】解：当 时，，， ， ， 整理得： ， 即 ， ， 将 代入， 得：原式 故答案为： 变式3．（2025七年级上·全国·专题练习）利用等式的性质解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了用等式的性质解一元一次方程，熟练掌握等式的性质是解题的关键．等式的基本性质1：等式两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），等式仍然成立；等式的基本性质2：等式两边同时乘同一个数（或式子），等式仍然成立．同时除以同一个不为0的数（或式子），等式仍然成立． （1）根据等式的性质解一元一次方程即可； （2）根据等式的性质解一元一次方程即可； 【详解】（1）解： 方程两边减3，得 ， 化简，得， 方程两边除以，得； （2）解： 方程两边加2，得， 化简，得， 方程两边乘，得． 【考点4 一元一次方程的相关概念】 例4．（25-26七年级上·河南信阳·月考）如果关于x的方程是一元一次方程．那么m，n应满足的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1的整式方程叫一元一次方程是解题的关键． 根据一元一次方程的定义即可求解． 【详解】解：∵方程是一元一次方程， ∴，， ∴，， 故选：C． 变式1．（25-26七年级上·天津静海·月考）下列各式中，一元一次方程的个数有（   ） ①；②；③；④；⑤ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数且未知数最高次数是1的整式方程是一元一次方程，逐个判断即可． 【详解】解：∵ ①不是方程，不符合定义； ②符合一元一次方程定义； ③含有两个未知数，不符合定义； ④符合一元一次方程定义； ⑤未知数最高次数为2，不符合定义； ∴ 一元一次方程的个数有2个； 故选：A． 变式2．（25-26七年级下·全国·期末）若是关于x的一元一次方程，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，理解一元一次方程的定义是解题的关键．根据一元一次方程的定义，未知数的系数不能为零，因此需满足，即，所以可以是任何不等于1的实数． 【详解】解：因为方程是关于的一元一次方程， 所以的系数， 解得， 故答案为：. 变式3．（25-26七年级上·黑龙江大庆·期中）若是关于x的一元一次方程． (1)求a的值； (2)请写出这个方程； (3)解这个方程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，解一元一次方程， 对于（1），根据一元一次方程的定义得且，可得答案； 对于（2），根据（1）写出这个方程； 对于（3），根据移项，系数化为1得出答案． 【详解】（1）解：因为是关于x的一元一次方程， 所以且， 解得； （2）解：因为， 所以； （3）解：移项，得， 两边都除以，得． 【考点5 解一元一次方程】 例5．（25-26七年级上·吉林四平·期末）解方程： 【答案】 【分析】本题考查的是一元一次方程的解法，掌握“解一元一次方程的步骤与方法”是解本题的关键．先去分母，再去括号，移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为“1”即可 【详解】解：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得： 系数化为1，得：． 变式1．（25-26七年级上·浙江温州·月考）依据下列解方程的过程，请在前面的括号内填写变形步骤，在后面的括号内填写变形依据． 解：原方程可变形为 去分母，得（①） 去括号，得 （②），得（③） 合并同类项，得（④） 系数化为1，得． 【答案】①等式的基本性质2；②移项；③等式的基本性质1；④合并同类项法则． 【分析】本题考查解一元一次方程的步骤及其理论依据．解方程的基本步骤包括：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．本题的每一步都有相应的数学依据，如等式性质、分数基本性质、去括号法则等． 【详解】解：原方程可变形为 去分母，得（等式的基本性质2） 去括号，得 （移项），得（等式的基本性质1） 合并同类项，得（合并同类项法则） 系数化为1，得． 故答案为：①等式的基本性质2；②移项；③等式的基本性质1；④合并同类项法则． 变式2．（河南省新乡市部分学校联考2025-2026学年七年级上学期期末质检数学试卷）已知关于x的一元一次方程：，且a，b满足． (1)______， ； (2)在（1）的条件下，求题中关于x的一元一次方程的解． 【答案】(1)2，； (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，绝对值和偶次方的非负性，解题的关键是掌握解一元一次方程的步骤和非负性． （1）利用绝对值和偶次方的非负性求解即可； （2）将（1）中的值代入方程，然后进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即， ∴； 故答案为：2，； （2）解：将代入得， ． 变式3．（2025七年级上·重庆·专题练习）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了一元一次方程的解法、分数的基本性质．解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的基本步骤，先按分数的基本性质，化简原方程，再去分母，去括号，然后移项合并同类项，最后未知数系数化为1即可． 【详解】（1）解：去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 系数化为1，得； （2）解：原方程可化为． 去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 【考点6 已知一元一次方程的解求参数】 例6．（25-26七年级上·江苏宿迁·月考）关于x的方程的解是正整数，则符合条件的所有整数k的和为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查一元一次方程，代入求值的计算，掌握一元一次方程的计算是关键． 解方程得到，通过变量代换分析分母的约数，确保解为正整数． 【详解】解：∵ ， 移项得 ， 即 ， ∴ ， ∵ 为正整数， 设 ，则 ， 代入得 ， ∴ 为正整数， 故 为整数， ∴ 为 5 的约数，即 ， 对应 ： 当 时，，； 当 时，，（舍）； 当 时，，； 当 时，，（舍）； ∴ 符合条件的整数 为 和 ， 其和为 ， 故选：A． 变式1．（25-26七年级上·全国·期末）若关于的方程的解是正整数，则整数的取值个数为（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了解含有参数的一元一次方程．求出方程的解，根据解是正整数可确定k的值，从而确定整数的取值个数． 【详解】方程整理得：， 解得， ∵关于的方程的解是正整数， ∴或或或 ∴或1或0或， ∴整数的取值个数为4个． 故选：C． 变式2．（25-26七年级上·湖北武汉·月考）已知关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查一元一次方程的解，理解方程的解的定义是解题的关键． 比较两个方程的形式，可知第二个方程中的相当于第一个方程中的，根据第一个方程的解，直接得到，从而求出的值． 【详解】解：∵关于的一元一次方程的解为， ∴关于的一元一次方程为满足， 解得． 故答案为：0． 变式3．（24-25七年级上·全国·阶段练习）当m为何值时，关于x的方程的解与关于x的方程的解相同？ 【答案】 【分析】先求出的解，再把x的值代入，得到关于m的方程，求出方程的解即可． 【详解】解：解方程，解得：， 把代入，， 解得：． 故时，关于x的方程的解与方程的解相同． 【点睛】本题考查了同解方程，先解第二个方程，把方程的解代入第一个方程得出关于m的一元一次方程是解题关键． 【考点7 一元一次方程解的关系】 例7．（25-26七年级上·浙江·月考）若关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查换元法解一元一次方程，根据题意，易得中，进行求解即可． 【详解】解：∵关于的一元一次方程的解为， ∴中； ∴． 故选：C． 变式1．（24-25七年级上·广东广州·期末）关于x的两个一元一次方程与的解互为相反数，m的值为（   ） A． B．26 C．15 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查解一元一次方程、一元一次方程的解的定义，熟练掌握一元一次方程的解法、一元一次方程的解的定义是解决本题的关键． 先解，再根据方程的解及相反数的定义解决此题． 【详解】解：∵， ∴． ∵关于x的两个一元一次方程与的解互为相反数， ∴方程的解为． ∴． ∴． 故选：A． 变式2．（2025七年级上·湖北武汉·专题练习）如果关于的方程与的解相同，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了同解方程，绝对值，把第一个方程的解代入第二个方程是解题的关键． 先解第一个方程求出x的值，再将x代入第二个方程求解，进而得到的值． 【详解】解：解方程， 两边同乘6得， 解得：． 将代入，得， 即， 解得：， 所以：． 故答案为：． 变式3．（24-25六年级下·山东淄博·月考）已知关于x的方程有非负整数解，求整数a的所有可能的取值的和． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握解方程的一般步骤是解题的关键．先根据解方程的一般步骤解方程，再根据非负整数的定义将a的值算出，最后相加即可得出答案 【详解】解： 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 将系数化为1，得 方程有非负整数解， 取，，． 或，时，方程的解都是非负整数． 则， 故答案为∶． 【考点8 绝对值方程】 例8．（25-26七年级上·安徽黄山·期中）若为有理数且，则的取值是（    ） A． B． C．或2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了解绝对值方程，根据绝对值方程的性质，将方程分为两种情况求解． 【详解】解：， 或， 当时，； 当 时，， 的取值为或 2， 故选： C． 变式1．（24-25七年级下·四川乐山·期末）方程的解为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，根据绝对值的定义可得或，据此解方程即可． 【详解】解：∵， ∴或， 解方程，得， 解方程，得， ∴方程的解为或， 故选：B． 变式2．（25-26七年级上·河北石家庄·月考）若，则 ． 【答案】3或 【分析】本题考查了解绝对值方程． 根据绝对值的性质，将方程转化为两个一元一次方程求解． 【详解】解：原方程可化为， 则或， 解得：或． 故答案为：3或． 变式3．（25-26七年级上·全国·单元测试）解方程：． 解：①当时，解得； ②当时，解得． 所以原方程的解是或． (1)解方程：； (2)解方程：． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题主要考查了解绝对值方程，理解题意，熟练掌握解一元一次方程的基本步骤，是解题的关键． （1）根据绝对值意义，得出，然后解一元一次方程即可； （2）根据绝对值意义，得出或，然后解一元一次方程即可． 【详解】（1）解：由得：， 当时，； 当时，； 所以原方程的解是或． （2）解：， 或， 解方程，得， 解方程，得， 所以原方程的解是或． 【考点9 配套问题】 例9．（25-26七年级上·福建龙岩·月考）（1）学校组织七年级7个班开展篮球赛．规定本班和其他班每班只打一场，赢一场积3分，输一场扣1分（无平局），已知四班同学获得积分为14分，那么四班赢了多少场？ （2）某车间有22名工人，每名工人每天可以生产240个螺栓或400个螺母，1个螺栓需要2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应该安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？ 【答案】（1）四班赢了5场；（2）安排10名工人生产螺栓，12人生产螺母 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据等量关系列出方程，是解题的关键． （1）设四班赢了x场，则输了场，根据积分为14分，列出方程，解方程即可； （2）设名工人生产螺栓，则名工人生产螺母，由“1个螺栓需要2个螺母”，可列方程，即可解得答案． 【详解】解：（1）设四班赢了x场，则输了场，根据题意得： ， 解得：， 答：四班赢了5场； （2）设名工人生产螺栓，则名工人生产螺母，根据题意得： ， 解得：， ， 答：应该安排10名工人生产螺栓，12名工人生产螺母． 变式1．（24-25七年级上·湖北荆州·期末）七（1）班共有学生52人，其中男生人数比女生人数少6人，劳技课上，老师组织同学们自己动手设计制作便携式垃圾盒，每名学生一节课能做盒身12个或盒底28个． (1)七（1）班有男生和女生各多少人？ (2)原计划男生负责做盒身，女生负责做盒底，1个盒身和2个盒底配套，那么这节课做出的盒身和盒底不能完全配套，最后决定女生去支援男生，问有多少女生去支援男生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套？ 【答案】(1)七（1）班有男生23人，女生29人 (2)需要5名女生去支援男生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用， 对于（1），设女生人数为人，表示男生人数，根据总人数相等列出方程，求出解； 对于（2），设名女生去支援男生，再根据使这节课制作的盒身和盒底刚好配套列出一元一次方程，求出解. 【详解】（1）解：设女生人数为人，则男生人数为人， 根据题意得，， 解得， 则， 答：七（1）班有男生23人，女生29人； （2）解：设名女生去支援男生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套， 根据题意得，， 解得， 答：需要5名女生去支援男生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 变式2．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）2024年12月4日，联合国教科文组织决定将“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”列入人类非物质文化遗产代表作名录．而春节期间带一份包装精美的礼品走亲访友更是一种传统，因此市场上对礼品盒的需求量也随之激增．为了满足市场的需求，遵义市某工厂计划制作一批圆柱形礼品盒，已知该工厂共有90名工人，其中女工人数比男工人数的3倍少10名，并且每名工人平均每天可以制作这种礼品盒的盒身400个或盒底1000个． (1)该工厂有男工、女工各多少名？ (2)该工厂计划安排一部分工人负责制作盒身，另一部分工人负责制作盒底，要求一个盒身配两个盒底，那么应安排制作盒身和盒底的工人各多少名，才能使每天生产的产品刚好配套？ 【答案】(1)该工厂有男工25人，有女工65人 (2)应该安排50人制作盒身，40人制作盒底，才能使每天生产的产品刚好配套 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程． （1）设该工厂有男工人，则女工有人，根据“男工人数女工人数”列出方程并解答； （2）设y人制作盒身，则人制作盒底，根据题意可得等量关系：盒身数量盒底数量，根据等量关系列出方程，再解即可． 【详解】（1）解：设该工厂有男工人，则女工有人， 由题意得：， 解得：， 女工：（人）， 答：该工厂有男工25人，有女工65人； （2）解：设y人制作盒身，则人制作盒底， 由题意得：， 解得：， 答：应该安排50人制作盒身，40人制作盒底，才能使每天生产的产品刚好配套． 变式3．（24-25七年级上·新疆伊犁·期末）七年级一班共有学生45人，其中男生人数比女生人数的2倍少15人． 劳动课上，老师组织同学们动手设计制作便携式垃圾盒，每名学生一节课能做盒身10个或盒底30个． (1)七年级一班有男生和女生各多少人？ (2)每个盒身匹配2个盒底，问怎样分配人数，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套？ 【答案】(1)七年级一班有男生25人，女生20人 (2)需要人做盒身，则人做盒底，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用， （1）设七年级一班有女生人，则有男生人，根据七年级一班共有学生人，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设需要人做盒身，则人做盒底，根据制作盒底的总数量是制作盒身总数量的2倍，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设七年级一班有女生人，则有男生人，根据题意得， 解得 ∴ 答：七年级一班有男生25人，女生20人； （2）解：设需要人做盒身，则人做盒底，根据题意得， 答： （人） 答：需要人做盒身，则人做盒底，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 【考点10 工程问题】 例10．（2025七年级上·全国·专题练习）甲、乙两队修一座桥，如果由甲队单独完成，需要天；如果由乙队单独完成，需要天．现在由甲队单独做了天后，承办方接到通知，需要加快修桥进度，后续工程由甲、乙两队共同完成，则甲、乙两队后续需要合作多少天才能修完这座桥？ 【答案】天 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，列出方程是解答本题的关键．设甲乙两队后续需要合作天才能修完这座桥，根据甲队单独做了天后，甲乙两队后续需要合作天才能修完这座桥，列方程求解即可． 【详解】解：设甲、乙两队合作完成还需要的天数是， 根据题意可得， 解得， 答：甲、乙两队后续需要合作天才能修完这座桥． 变式1．（25-26七年级上·重庆开州·月考）现有一道路改造修复工程，甲工程队单独完成需要18天，乙工程队单独完成需要12天．甲队单独施工3天后接到通知要缩短工期，剩余的部分由甲、乙两工程队合作完成． (1)甲、乙两工程队还需合作多少天才能完成？（用方程解决） (2)若甲队每天的工资为1000元，乙队每天的工资为1500元，问完成这项工程需支付两队工资一共多少钱？ 【答案】(1)6 (2)18000 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用， 对于（1），设甲，乙两工程队还需要合作x天才能完成，再根据工作总量等于1列出方程，求出解即可； 对于（2），根据甲队需支付工资加上乙队需支付工资可得答案． 【详解】（1）解：甲，乙两工程队还需要合作x天才能完成，根据题意，得 ， 解得， 所以甲乙两工程队还需要合作6天才能完成； （2）解：， 所以完成这项工程需要支付两队工资一共18000元． 变式2．（25-26七年级上·辽宁铁岭·期中）某中学有甲、乙两台印刷机，学校期末考试所需数学试卷如果用甲、乙两台印刷机单独印刷分别需要1小时和小时，为了保密，学校决定在考试前的一小时开始印刷数学试卷． (1)若甲、乙两台印刷机同时印刷，共需要多少小时才能印完？（要求列方程解答） (2)在两台印刷机同时印刷半小时后，甲印刷机出现故障停止印刷，此时离发卷还有分钟．请你计算一下，如果乙印刷机单独完成剩下的印刷任务，会不会影响按时发卷？ 【答案】(1)0.6小时 (2)不会影响按时发卷 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． （1）根据题意可以列出相应的方程，从而可以解答本题； （2）根据题意可以求出乙机单独完成剩下的印刷任务需要的时间，然后再与比较，即可解答本题． 【详解】（1）解：设甲乙两台印刷机同时印刷，共需要x小时才能印完， ， 解得，， 即甲乙两台印刷机同时印刷，共需要小时才能印完； （2）解：乙机单独完成剩下的印刷任务需要的时间为：， ∵， ∴乙机单独完成剩下的印刷任务，不会影响按时发卷考试． 变式3．（2023七年级上·湖南邵阳·竞赛）为确保邵阳市第二届旅游发展大会“早安隆回，云上花瑶”成功举办，县委县政府要求云溪路彩虹大道修路工程6个月完工．现由甲、乙两工程队参与施工，已知甲队单独完成需要8个月，乙队单独完成需要12个月．为了能如期完工，前期由甲、乙两队共同施工，后期改由一个工程队单独施工．现工程队指挥部结合实际情况拟定两套工程方案： ①先由甲、乙两个工程队合作个月后，再由甲队单独施工，保证恰好按时完成； ②先由甲、乙两个工程队合作个月后，再由乙队单独施工，也保证恰好按时完成； 求两套方案中和的值． 【答案】； 【分析】本题考查了工程问题，根据题意寻找等量关系是解题的关键； ①根据题意列方程，解方程可得m的值； ②根据题意列方程，解方程可得n的值； 【详解】①由题知，，解得； ②由题知，，解得． 答：方案①中；方案②中． 【考点11 销售盈亏】 例11．（25-26七年级上·全国·期末）某商品的进价是100元，原定售价为180元，由于该商品积压，商店准备打折销售，若要保持利润率为，则商店应打几折？ 【答案】打了六折 【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据已知条件列出方程是解题的关键． 设商店打了折，根据利润率（售价成本）成本，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设商店打了折，根据题意得： ， 解得， 答：打了六折． 变式1．（2025七年级上·重庆·专题练习）某商家销售羽绒服，为在春节前卖完，决定将其打折销售．若按标价的8折销售比直接降价40元销售少收入20元． (1)求每件羽绒服的标价为多少元？ (2)商家需销售完80件羽绒服，每件羽绒服进价是220元．按标价出售一部分后，将余下羽绒服按标价的8折全部售出，结算时发现共获利3400元，求按标价售出的羽绒服有多少件？ 【答案】(1)300元 (2)30件 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设每件羽绒服的标价为元，根据若按标价的8折销售比直接降价40元销售少收入20元建立方程，解方程即可得； （2）设按标价售出的羽绒服有件，根据总收入总成本利润建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：设每件羽绒服的标价为元， 由题意得：， 解得， 答：每件羽绒服的标价为300元． （2）解：设按标价售出的羽绒服有件， 由题意得：， 解得， 答：按标价售出的羽绒服有30件． 变式2．（25-26七年级上·安徽马鞍山·期中）综合应用：某商场计划购进甲、乙两种商品共100件，甲种商品每件进价50元，售价80元；乙种商品每件进价70元，售价110元． (1)若全部售出后获利3600元，求甲、乙两种商品分别有多少件？ (2)在第（1）题结论的条件下，该商场开展让利促销活动，若甲种商品每件售价60元，要使得这100件商品利润率为，乙种商品每件售价多少元？（商品销售总价商品总进价（利润率） 【答案】(1)甲40件，乙60件 (2)乙种商品每件售价84元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是仔细审题，找到等量关系，利用方程思想求解． （1）设甲种商品的数量为，列方程求出甲商品的数量，再求出乙商品的数量即可； （2）先算出100件商品的总进价，根据利润率求出总售价，再用总售价减去甲商品总售价，最后除以乙商品数量得到乙商品每件售价． 【详解】（1）解：设甲商品件，则乙商品件， 则乙商品数量为（件） 答：甲商品40件，乙商品60件． （2）解：总进价元 总售价元 甲总售价元 乙每件售价元 答：乙种商品每件售价84元． 变式3．（25-26七年级上·吉林长春·期中）【课本再现】下面是新人教版数学教材七年级上册135页探究1的部分内容． 探究1销售中的盈亏 一商店以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利，另一件亏损，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏？ 解：设盈利的那件衣服的进价是x元， 根据题意，得，解得， 设亏损的那件衣服的进价是y元， ， 由此可知卖这两件衣服共________（填“盈利”或“亏损”）了________元． 【解决问题】某商店有两种书包．每个小书包比大书包的进价少10元，而它们的售后利润额相同，其中，每个小书包的利润率为，每个大书包的利润率为．试求两种书包的进价． 【答案】【课本再现】亏损，8；【解决问题】小书包的进价为20元/个和大书包的进价30元/个． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用， 对于探究1，根据原价降低等于60得出方程，求出解，进而得出盈亏情况； 对于解决问题，先设小书包进价为x元，则大书包进价为元，根据利润相同列出方程，求出解即可． 【详解】【课本再现】 探究1：根据题意，得， 解得． ∴， 由此可知卖这两件衣服共亏损了8元； 故答案为：亏损，8； 【解决问题】解：设小书包进价为x元，则大书包进价为（x+10）元，根据题意，得 ， 解得． ∴． 答：小书包的进价为20元/个和大书包的进价30元/个． 【考点12 方案选择】 例12．（2025七年级上·全国·专题练习）某商场销售一种乒乓球拍和乒乓球，乒乓球拍每副的售价为80元，乒乓球每盒的售价为元，国庆节期间该商场决定开展促销活动，向顾客提供两种优惠方案： 方案一：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球； 方案二：乒乓球拍和乒乓球都打九折． 某顾客要在该商场购买20副乒乓球拍和30盒乒乓球． (1)按两种方案购买各需付款多少元（用含的代数式表示）？ (2)若，通过计算说明此时按哪种方案购买较合算． 【答案】(1)按方案一购买需付款元；按方案二购买需付款元 (2)按方案一购买较合算 【分析】本题考查了列代数式与代数式求值的实际应用，解题的关键在于准确理解两种促销方案的规则，分别将实际购买的商品数量与价格对应，转化为数学表达式． （1）列代数式时，需准确理解促销规则：“买赠” 要先算赠送的数量，再算额外购买的数量；“折扣” 要先算原价总和，再乘以折扣比例． （2）代入具体数值计算实际费用，再通过大小比较确定最优方案． 【详解】（1）方案一：∵顾客一共需要盒乒乓球， ∴还需要额外购买盒乒乓球， 乒乓球每盒售价元，额外购买盒乒乓球的费用为元， 则按方案一购买需付款元，化简可得元． 方案二：乒乓球拍和乒乓球都打九折， 那么购买副乒乓球拍的费用为元， 购买盒乒乓球的费用为元， 所以按方案二购买需付款元，化简可得元． （2）计算方案一的付款金额：可得（元）． 计算方案二的付款金额：可得（元）． 比较两种方案的付款金额： ∵， ∴按方案一购买较合算． 变式1．（25-26七年级上·陕西西安·月考）随着时代的来临，小李换了新发布的手机并且需要新办一种套餐．运营商提出了两种包月套餐方案，第一种是每月50元月租费，流量资费元/；第二种是没有月租费，但流量资费元/．设小李每月使用流量． (1)小李按第一种套餐每月需花费___________元，按第二种套餐每月需花费___________元；（用含的式子表示） (2)小李每月使用多少流量时，两种套餐花费一样多？ 【答案】(1)， (2)小李每月使用流量时，两种套餐花费一样多． 【分析】本题考查一次函数的表达式、一元一次方程的应用，用方程表示“花费一样多”这一等量关系是解题关键． （1）根据“总花费=月租费+流量费”，直接列含的代数式； （2）根据“两种套餐花费一样”，列一元一次方程并求解． 【详解】（1）解：根据题意，按第一种套餐， 小李每月流量费用为元， 月租费50元， 每月需花费：元； 按第二种套餐， 每月需花费：元． 答：，． （2）解：由题意可得，若两种套餐花费一样多， 则， 解得． 答：小李每月使用流量时，两种套餐花费一样多． 变式2．（24-25七年级上·河南郑州·月考）已知公园门票价格规定如下表： 购票张数 1~50张 51~100张 100张以上 每张票的价格 13元 11元 9元 某校七年级（1）、（2）两个班共104人去该公园游玩，其中（1）班人数较少，不足50人．经计算，如果两个班都以班为单位购票，则一共应付1240元，问： (1)两班各有多少名学生？ (2)如果两个班联合起来，作为一个团体购票，可以节省多少钱？ (3)如果七（1）班单独组织去游公园，作为组织者的你将如何购票才最省钱？ 【答案】(1)（1）班有48名学生，（2）班有56名学生 (2)可以节省304元钱 (3)购买51张票比较省钱 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，有理数混合运算的实际应用： （1）设（1）班有x名学生，则（2）班有名学生，分两种情况：根据题意，列出方程，即可求解； （2）求出作为一个团体购票，应付的费用，即可求解； （3）求出买48张13元的票以及 买51张11元的票花费的钱数，即可求解． 【详解】（1）解：设（1）班有x名学生，则（2）班有名学生， 若，此时，根据题意得： ， 解得：，不符合题意； 若，此时，根据题意得： ， 解得：， 此时， 答：（1）班有48名学生，（2）班有56名学生； （2）解：∵， ∴作为一个团体购票，应付元， 元， 答：可以节省304元钱； （3）解：若买48张13元的票，则花费的钱数为元， 若买51张11元的票，则花费的钱数为元， 因为， 所以购买51张票比较省钱． 变式3．（24-25六年级下·山东烟台·期中）临近“五一”，各大商场掀起促销狂潮，甲、乙、丙三个商场的促销活动如下表所示： 商场 促销活动 甲 全场按标价的6折销售 乙 实行“每满100元送100元的购物券”的优惠，再购物时，购物券可冲抵现金．（如：顾客购物240元，赠券200元；再购买340元的商品时可抵现金200元，只需付款140元，不再送券．） 丙 实行“每满100元减50元”的优惠．（如：顾客购物240元，可减100元，只需付款140元．） 根据以上活动信息，解答以下问题： (1)三个商场同时出售一双标价299元的皮鞋和一双标价229元的运动鞋，王阿姨想买这两双鞋，她应选哪家商场？ (2)张阿姨发现在甲、乙商场同时出售一件标价380元的上衣和一条标价300多元的裤子，两家商场所需费用相等，求这条裤子的标价． (3)丙商场又推出“先打九折”，再实行“每满100元减50元”的新优惠活动．李阿姨购买了该商场一件标价600元的小家电，她按照新优惠活动结算，发现费用反而比老优惠活动多20元，求被墨水遮盖的数字． 【答案】(1)选丙商场 (2)370元 (3)五 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程进行求解． （1）按照不同的优惠方案算出实际花的钱数，再比较得出答案即可； （2）设这条裤子的标价为x元，按照优惠方案算出实际付款数，根据付款额一样，列方程求解即可； （3）根据题意可得可减费用为元，设打m折，根据题意列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：甲商场所需费用为（元） 乙商场所需费用为（元） 丙商场所需费用（元） 因为， 因此，应选丙商场． （2）解：设这条裤子的标价是x元，根据题意，得∶ ， 解这个方程，得． 因此，这条裤子的标价是370元． （3）解：老优惠活动所需费用为（元）， 由题意，得这件小家电打完折后的价格在之间， 所以可减费用为：（元）． 设打m折，由题意，得： ． 解得． 即被墨水遮盖的数字为五． 【考点13 数字问题】 例13．（25-26七年级上·河南南阳·月考）如图，某数学课外活动小组的同学做了一个数学风车，现在数学风车的每片叶片上都标有一个有理数． (1)若，求这四个有理数的和． (2)若相对的两个叶片上的数字的和相等，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加法，一元一次方程，解题的关键是根据题意列出相应的式子或方程； （1）直接将4个数相加即可求解； （2）列出关于的方程求解即可． 【详解】（1）解：若，这四个有理数的和为． （2）解：因为相对的两片叶片上数字的和相等，则， 解得：． 变式1．（25-26七年级上·四川广元·期中）我们知道，． (1)一个两位数个位上的数字是1，十位上的数字是．把1与对调，原两位数比新两位数大9，的值是多少？请你用方程解决这个问题． (2)如果一个两位数十位上的数字是、个位上的数字是，现把与对调，计算原两位数与新两位数的差．并判断这个差能被9整除吗？说明原因． 【答案】(1)2 (2)差为，能被9整除，见解析 【分析】本题考查了数字问题的数量关系的运用，列一元一次方程解实际问题的运用，解答时根据数字问题的数量关系建立方程是关键． （1）根据数位问题，数字的表示方法，及“原两位数比新两位数大9”列方程求解即可； （2）根据题意分别表示出原两位数和新两位数，并作差化简，即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意得，， 解得， 即的值是2； （2）解：差为，能被9整除，理由如下： 两位数与新两位数的差为：， 根据题意可知、均为整数， 所以能被9整除． 变式2．（25-26七年级上·山东聊城·期中）如图，将这40个数按照下表进行排列，现用一个字框（图中阴影部分）框住表中的4个数，移动该框，设框中最小的数为． (1)求出框中4个数的和（用含的代数式表示）； (2)框中4个数的和可能是124吗？若能，请求出最小的数． 【答案】(1) (2)框中4个数的和可能是124，最小的数为25． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式，以及数字规律的探索，解决本题关键是表示出字框中其他的3个数． （1）根据框中最小的数为，则其他3个数字表示为，，，根据加法列代数式即可； （2）假设和为124，根据（1）中得到的和的代数式列出一元一次方程，解方程判断即可． 【详解】（1）解：设框中最小的数为． 则其他3个数字为，，， ∴框中4个数的和为； （2）解：假设框中4个数的和可能是124， ∴， 解得， ∴最小的数为25． 故框中4个数的和可能是124，最小的数为25． 变式3．（25-26七年级上·山西太原·月考）阅读与思考 请认真阅读，并完成相应任务. 我们知道，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数.事实上，所有的有理数都可以化为分数形式（整数可以看作分母为1的分数），那么无限循环小数如何表示为分数形式呢？请看以下示例. 例：将化成分数，解决方法如下. 设，即， 将方程两边都乘10，得，即. 又因为，所以，所以， 所以，所以. 任务： (1)请利用材料中给出的方法，把化成分数； (2)把化成分数为_____． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用．解题的关键是理解题意，熟练掌握一元一次方程的解法． （）设，则，得出，解方程即可； （2）设，则，得出，解方程即可； 【详解】（1）解：设， 即． 将方程两边都乘10， 得． 即. 又∵， ∴． ∴． ∴． ∴. （2）解：设， 即． 将方程两边都乘100， 得． 即. 又∵， ∴． ∴． ∴． ∴. 故答案为：． 【考点14 几何问题】 例14．（25-26七年级上·陕西西安·月考）某工厂要锻造一个直径为、高为的圆柱形实心毛坯、需截取一段直径为的圆柱形实心钢材作为原材料，如图，那么这段原材料的高应为多少？（列方程解答；锻造前后钢材体积不变） 【答案】 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，由锻造前后钢材体积不变建立方程求解即可． 【详解】解：根据题意，得． 解得． 答：需截取直径为的圆柱形钢材的高应为． 变式1．（25-26七年级上·陕西榆林·月考）如图，是将一个大长方形平均分成上下两个长方形，再将上面这个长方形平均分成两份，将下面这个长方形平均分成三份，若图中阴影部分的面积为，求这个大长方形的面积．（列方程解答） 【答案】这个大长方形的面积是． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设这个大长方形的面积是，根据题意列出方程，求解即可． 【详解】解：设这个大长方形的面积是， ， 解得：． 答：这个大长方形的面积是． 变式2．（25-26七年级上·安徽安庆·期中）小方家的住房户型呈长方形，平面图如图（单位：米），现准备铺设地面．三间卧室铺设木地板，其他区域铺设地砖． (1)求的值； (2)铺设地面需要木地板和地砖各多少平方米（用含的代数式表示）？ 【答案】(1) (2)铺设地面需要木地板平方米、地砖平方米 【分析】本题考查列代数式、一元一次方程解应用题，数形结合是解决问题的关键． （1）由长方形宽相等列方程求解即可得到答案； （2）根据题意，分别求出卧室面积及除卧室以外的面积即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示： 长方形的宽相等， 则， 解得； （2）解：铺设木地板面积为 ； 铺设地砖面积为 ； 答：铺设地面需要木地板平方米、地砖平方米． 变式3．（2023七年级上·安徽阜阳·竞赛）数轴上A，两个点对应的数分别是，，一般地，把称为点A与点之间的距离，并记作．如图：数轴上A，两个点对应的数分别是，，且． (1)求． (2)点为数轴上一点，当时，求点所对应的数． (3)点对应的数为__________时，． 【答案】(1)9 (2) (3)3或15 【分析】本题主要考查了非负数的性质，数轴上两点间的距离，用数轴上点表示有理数，一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握数轴上两点间的距离公式． （1）先根据非负数的性质求出，，根据两点间距离公式求出结果即可； （2）根据求出点M表示的数即可； （3）分两种情况讨论，点M在点B的左侧，点M在点B的右侧，分别求出结果即可． 【详解】（1）解：由题可知： ， ，， ； （2）解：设点所对应的数为，根据题意得： ， 解得：． （3）解：设点对应的数为x， 当点M在点B的左侧时，， 解得：， 当点M在点B的右侧时，， 解得：， 综上分析可知，点对应的数为3或15． 【考点15 动点问题】 例15．（25-26六年级上·山东威海·期中）如图A在数轴上所对应的数为． (1)点B在点A右边距A点6个单位长度，求点B所对应的数； (2)在（1）的条件下，点A以每秒1个单位长度沿数轴向左运动，同时点B以每秒2个单位长度沿数轴向右运动，当点A运动到所在的点处时，求A，B两点间距离； (3)在（2）的条件下，现A点静止不动，B点沿数轴向左运动时，经过多长时间A，B两点相距4个单位长度． 【答案】(1)4 (2)12个单位长度 (3)4秒，8秒 【分析】本题考查了数轴上的点表示有理数，数轴上的动点，两点的距离，掌握根据点表示的数求两点的距离是解题的关键． （1）根据数轴的意义解答即可； （2）首先分析点的运动时间，然后根据点的运动速度和运动方向表示出点所表示的数，从而求解； （3）分两种情况：运动后的点在点右边4个单位长度；运动后的点在点左边4个单位长度：列出方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：， 故点所对应的数是4； （2）点运动到所用的时间为（秒）， 点B运动到所在的点， ， 答：间的距离为12个单位长度； （3）设经过秒，A，B两点相距4个单位长度， 分运动后的点在右边4个单位长度；运动后的点在左边4个单位长度两种情况．讨论如下： ①运动后的点在右边4个单位长度， ， 解得，（秒）; ②运动后的点在左边4个单位长度， ， 解得（秒）； 答：经过4秒或8秒两点相距4个单位长度． 变式1．（25-26七年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，点A、B在数轴上表示的数分别为和6，两只蚂蚁M、N分别从A、B两点同时出发，相向而行．M的速度为2个单位长度/秒，N的速度为3个单位长度/秒． (1)运动________秒钟时，两只蚂蚁相遇；相遇点在数轴上表示的数是________； (2)若运动t秒钟时，两只蚂蚁的距离为8，求出t的值（写出解题过程）． 【答案】(1)4； (2)或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴的应用，距离问题注意分类讨论． （1）利用两蚂蚁的速度表示出行驶的路程，进而得出等式求出即可； （2）分别利用在相遇之前距离为8和在相遇之后距离为8，求出即可． 【详解】（1）解：设运动x秒时，两只蚂蚁相遇，根据题意可得： ， 解得：， ． 即运动4秒钟时，两只蚂蚁相遇；相遇点在数轴上表示的数为， 故答案为：4；． （2）解：运动t秒钟，蚂蚁M向右移动了，蚂蚁N向左移动了， ∵点A、B在数轴上表示的数分别为和6， ∴A、B的距离为， 若在相遇之前距离为8，则 ， 解得：． 若在相遇之后距离为8，则 ， 解得：． 综上所述：t的值为或． 变式2．（25-26七年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，数轴上的单位长度为1，、两点表示的数是互为相反数． (1)点表示的数是______，点表示的数______． (2)数轴上一个动点先向左移动2个单位长度，再向右移动5个单位到达点，若点表示的数是1，求点所表示的数． (3)在数轴上，点为坐标原点，若点、点分别以2个单位长度/秒和0.5个单位长度/秒的速度向右运动，当两点同时运动时，秒（）后分别运动到点、点，请用含代数式表示点、点的数． 【答案】(1)，2 (2) (3)秒后表示的数为；秒后表示的数为 【分析】本题考查了用数轴表示有理数，相反数的概念，代数式的表示，解决本题的关键是熟练掌握数轴表示有理数的概念． （1）根据、两点表示的数是互为相反数，可得两数对称，由此可求解． （2）先表示出点运动之后表示的数，再由点表示的数求解即可． （3）由（1）可知点表示的数是，点表示的数2，再根据两个点的运动速度即可求解． 【详解】（1）解：∵、两点表示的数是互为相反数， ∴点表示的数是，点表示的数2． 故答案为：，2． （2）解：∵点所表示的数， 动点先向左移动2个单位长度，再向右移动5个单位， 此时点所表示的数为， ∵点运动后到达点， ∴，解得． （3）解：由（1）知，点表示的数是，点表示的数2． ∵点、点分别以2个单位长度/秒和0.5个单位长度/秒的速度向右运动， ∴秒点表示的数为；秒后表示的数为． 变式3．（25-26七年级上·黑龙江绥化·期中）已知多项式 (1)若该多项式的值与字母x的取值无关，则 ， ； (2)在（1）的条件下，数轴上点A 表示的数字为a，点B 表示的数字为b，则线段 (3)在（2）的条件下，点M从点A开始，以每秒3个单位长度的速度向右运动，同时点N从点 B 开始，以每秒1个单位长度的速度向左运动， 秒后M与N表示的数互为相反数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了整式的加减运算无关型问题，数轴与动点问题，在数轴上表示有理数，相反数的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先去括号再合并同类项，得，结合该多项式的值与字母x的取值无关，故，解出的值，即可作答． （2）理解题意，得出数轴上点A 表示的数字为，点B 表示的数字为10，再结合两点之间的距离进行列式计算，即可作答； （3）理解题意，得出数轴上点M表示的数字为，点N表示的数字为，结合相反数的定义进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解： ∵该多项式的值与字母x的取值无关， ∴， 解得； （2）解：在（1）的条件下，得 ∵数轴上点A 表示的数字为a，点B 表示的数字为b， ∴数轴上点A 表示的数字为，点B 表示的数字为10 则线段， （3）解：依题意，设秒后M与N表示的数互为相反数． ∵点M从点A开始，以每秒3个单位长度的速度向右运动，同时点N从点 B 开始，以每秒1个单位长度的速度向左运动，且点A 表示的数字为，点B 表示的数字为10， ∴数轴上点M表示的数字为，点N表示的数字为， 依题意，得 ∴． 【考点16 和差倍分问题】 例16．（25-26七年级上·江苏宿迁·月考）甲组有37人，乙组有23人，现在需要从甲、乙两组抽调相同数量的人去做其他工作，已知甲组剩下的人数是乙组剩下人数的2倍，求从甲组调出的人数． 【答案】9 【分析】此题考查了一元一次方程的应用．设从两组调出的人数均为x，根据调出后甲组人数是乙组人数的2倍列出方程，求解即可． 【详解】解：设从甲组调出的人数为x，则甲组剩下人，乙组剩下人． ∵甲组剩下的人数是乙组剩下人数的2倍， ∴， ， 答：从甲组调出的人数为9． 变式1．（25-26七年级上·山西运城·月考）问题解决 2025年全国“敬老月”活动于10月10日至31日开展，此次活动的主题为“弘扬孝亲敬老美德共建老年友好社会”．某校学生为敬老院的老人们表演了《花样跳绳》节目．已知甲种跳绳每根20元，乙种跳绳每根15元，用390元购买这两种跳绳，一共买了22根，求两种跳绳各买了几根． 【答案】甲种跳绳买了12根，乙种跳绳买了10根 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设甲种跳绳买了根，则乙种跳绳买了根，根据用390元购买这两种跳绳，可列出关于的一元一次方程，解方程即可得出答案． 【详解】解：设甲种跳绳买了根，则乙种跳绳买了根， 那么可列方程， 解得， （根）． 答：甲种跳绳买了12根，乙种跳绳买了10根． 变式2．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）于都三中教学质量的稳步提高，学校不断发展壮大．学校食堂的早餐供应面食．已知4名一级面点师每十分钟可做4笼馒头还多32个；5名二级面点师每十分钟可做馒头6笼少30个．已知十分钟内每位一级面点师比二级面点师多做5个馒头．每笼馒头有几个？ 【答案】每笼馒头有45个 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，属于基础题，解答本题的关键是表示出一级及二级面点师每十分钟可做的馒头数，然后根据题意得出方程． 设每笼馒头有个，然后表示出一级面点师每十分钟可做：个，二级面点师每十分钟可做馒头：个，根据题意得出方程，解出即可． 【详解】解：设每笼馒头有x个， 则根据题意可得：一级面点师每十分钟可做：个，二级面点师每十分钟可做馒头：个， 又 ∵十分钟内每位一级面点师比二级面点师多做 5 个馒头， ， 解得：个． 答：每笼馒头有45个． 变式3．（24-25七年级下·吉林长春·期末）“星耀舞台”是力旺中学的传统活动．在准备阶段，需要根据节目个数和所计划的节目表演时长（不包含报幕、串场等时间）进行安排．如果每个节目表演3分钟，则所有节目表演完还剩下7分钟；如果每个节目表演4分钟，则所有节目表演完比计划表演时长超出4分钟．求此次“星耀舞台”一共有多少个节目？ 【答案】此次“星耀舞台”一共有11个节目 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，找准等量关系列出方程是解题的关键．设此次“星耀舞台”一共有个节目，根据题意列出方程，求出的值即可解答． 【详解】解：设此次“星耀舞台”一共有个节目． 根据题意得：， 解得：， 答：此次“星耀舞台”一共有11个节目． 【考点17 水电费问题】 例17．（25-26七年级上·全国·期末）某市居民生活用水实行阶梯水价，具体收费标准如下表： 用水量（立方米） 单价（元/立方米） 不超过20立方米的部分 3.5 超过20立方米但不超过30立方米的部分 4.2 超过30立方米的部分 5.0 例如：某户家庭用水量为25立方米，则应交水费为：（元）． (1)若小明家11月份用水量为15立方米，则应交水费________元； (2)若小红家11月份应交水费119元，则她家11月份用水量为多少立方米？ (3)若小刚家11月份用水量为x立方米（），求小刚家11月份应交水费多少元？（用含x的代数式表示） 【答案】(1)52.5 (2)31.4立方米 (3)元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，整式加减的应用，解题的关键是正确理解题意． （1）根据表格即可求解； （2）设小红家11月份用水量为x立方米，先判断小红家用水量超过30立方米，再根据题意列方程，解方程即可； （3）根据表格的收费标准列代数式即可． 【详解】（1）解：（元）． 故答案为：52.5； （2）解：设小红家11月份用水量为x立方米． 因为（元），（元），（元），而， 所以小红家用水量超过30立方米． 则 解得 答：小红家11月份用水量为31.4立方米． （3）解：小刚家11月份应交水费为：（元）． 变式1．（25-26七年级上·吉林·期末）为鼓励居民节约用电，某市电力公司采用分段计费方式计算电费：每月用电不超过180度时，按每度0.5元计费：每月用电超过180度但不超过280度时，其中的180度仍按每度元收费，超过部分按每度0.6元计费，每月用电超过280度时，其中的180度按0.5元/度收费，180度到280度之间的部分按0.6元/度收费，超过280度的部分按0.8元/度计费．收费标准如表： 用电量 不超过180度 超过180度但不超过280度的部分 超过280度的部分 收费标准（元/度） (1)若小明家9月用电量为160度，则他们家9月的电费是________元； 若小明家10月用电量为230度，他们家10月的电费是________元． (2)若小明家11月用电量x度（）；请用含x的代数式表示他们家11月应缴的电费； (3)若小明家12月缴的电费166元，则该月小明家用电量是多少？ 【答案】(1)80；120 (2)元 (3)12月用电量为度 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，列代数式，一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意． （1）根据表格计算即可； （2）根据表格中信息列出代数式即可； （3）求出12月电费所在位置，进而列方程计算即可． 【详解】（1）解：（元） ∴9月的电费是80元； （元） ∴10月的电费是120元； （2）解：依题意，当时，电费是： 元； （3）解：用电量为280度，电费为： ； 可知12月用电量在第三档， 设12月用电量为度， 则， 解得：， 即12月用电量为度． 变式2．（25-26七年级上·江苏南通·月考）为鼓励节约能源，某电力公司特别出台了新的用电收费标准： 每户每月用电量 不超过200度 超过200度（超出部分的收费） 收费标准 每度元 每度元 (1)小林家4月份用电160度，则小林家4月份应付的电费为多少元？ (2)小林家6月份用电度，请你用x表示小林家6月份应付的电费； (3)小林家11月份交付电费156元，请利用方程的知识，求出小林家11月份的用电量． 【答案】(1)元 (2) (3)270度 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，进行列式计算，即可作答． （2）理解题意，当时，结合用电收费标准方式进行列式化简，即可作答． （3）先整理得，设11月份用电量为x度，且，依题意，得，再进行解方程，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，（元）， ∴小林家4月份应付的电费为元； （2）解：当时，则电费为（元）； （3）解：依题意，， 设11月份用电量为x度，且； 由（2）得当时，则电费为元， 依题意，得， 解得． 变式3．（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）为鼓励市民节约资源，某市实施阶梯电价制，居民生活用电价格表如下： 档次 月用电量 电价（元/度） 第1档 不超出200度的部分 第2档 超出200度但不超出400度的部分 第3档 超出400度的部分 例如：若某用户2025年7月份的用电量为270度，则需缴电费为： （元）．设小辰家8月份用电量为x度． (1)若小辰家8月份用电量属于第2档，请用含x的代数式表示出她家8月应缴的电费金额； (2)若小辰家8月份所缴电费是190元，则她家8月份用电多少度? 【答案】(1)小辰家8月应缴的电费金额是元 (2)她家8月份用电350度 【分析】本题考查了列代数式，有理数的混合运算，一元一次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，结合8月份用电量属于第2档，进行列式计算化简，即可作答． （2）分别算出第一档和第二档的电费最大值，再结合8月份所缴电费是190元，进行分析，列出方程，即可作答． 【详解】（1）解：∵小辰家8月份用电量属于第2档， ∴元． ∴小辰家8月应缴的电费金额是元； （2）解：依题意，（元）， （元）， ∵小辰家8月份所缴电费是190元，且， ∴小辰家8月份用电量属于第2档， ∴设她家8月份用电度 ∴， 解得：， 故她家8月份用电350度． 【考点18 行程问题】 例18．（25-26七年级上·湖北宜昌·月考）两船从港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是50千米/时，水流速度是千米/时． (1)4小时后两船相距多远？ (2)若甲船由港到港用了2小时30分钟．再立即由港返回港时，用了10小时，试求水流速度． 【答案】(1)4小时后两船相距400千米 (2)水流速度a为30千米/时 【分析】本题主要考查整式加减的应用及一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意； （1）分别得出甲船和乙船行驶的路程，然后问题可求解； （2）由题意易得，然后进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：甲船行驶的路程为（千米）， 乙船行驶的路程为（千米）， ∴它们相距的路程为（千米）； 答：4小时后两船相距400千米． （2）解：由题意得： ， 解得：； 答：水流速度a为30千米/时． 变式1．（25-26七年级上·云南昆明·月考）一艘货轮往返于上下游两个码头之间，逆流而上需要6小时，顺流而下需要4小时，若船在静水中的速度为20千米/时． (1)求水流的速度是多少千米/时？ (2)求两个码头之间的距离是多少千米？ 【答案】(1)4千米/时 (2)96千米 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解． （1）设水流的速度是x千米/时，根据题意列出方程求解即可； （2）根据（1）中结果计算即可 【详解】（1）解：设水流的速度是x千米/时， 由题意得，， 解得：． ∴水流的速度是4千米/时； （2）两个码头之间的距离是：千米， ∴两个码头之间的距离是96千米． 变式2．（25-26七年级上·辽宁大连·期中）甲，乙两船从港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是，水流速度是． (1)后甲，乙两船相距多远？ (2)若甲船从港口顺水航行到达港口；从港口返回港口逆水而行，用了，求水流速度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，整式加减运算的实际应用，正确掌握船在水中顺流与逆流时的速度关系是解题关键． （1）首先根据题意得出甲船顺水时的航行速度为，乙船逆水时的航行速度为，由此即可得出二者2小时后各自的航行距离，据此进一步计算即可得出答案． （2）根据往返路程相等，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得， ， 答：后甲，乙两船相距； （2）解：根据往返路程相等，列得方程，， 去括号，得， 移项及合并同类项，得， 系数化为1，得， 答：水流的速度为． 变式3．（25-26七年级上·湖南郴州·开学考试）甲、乙两车从相距千米的两地同时出发，相向而行，3小时后两车还相距千米（未相遇）．甲车每小时行千米，乙车每小时行多少千米？ 【答案】千米 【分析】本题考查了利用一元一次方程解决行程问题，解题关键是准确列出方程求解． 设乙车每小时行x千米，根据“3小时后两车还相距32千米（未相遇）”列出方程求解． 【详解】解：设乙车每小时行x千米． ， 答：乙车每小时行千米． 【考点19 古代问题】 例19．（25-26七年级上·四川广安·期中）列方程解应用题． 我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数几何？”意思是现有几个人共买一件物品，每人出8钱．多出3钱；每人出7钱，差4钱．问人数是多少？ 【答案】有7人 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用．设有人，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】解：设有人，根据题意得： ， 解得：． 答：人数是7人． 变式1．（24-25七年级上·吉林·期末）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“庭前孩童闹如簇，不知人数不知梨，每人四梨多十二，每人六梨恰齐足，”其大意：“孩童们在庭院玩耍，不知有多少人和梨，每人分4个梨，多12个梨；每人分6个梨，恰好分完．”请你用方程求庭前孩童人数和梨的数量． 【答案】孩童人数为6人，梨的数量为36个 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用（盈亏问题），熟练掌握“根据不变量（梨的数量）列方程”是解题的关键． 设孩童人数为未知数，根据梨的数量不变列方程，求解后再计算梨的数量． 【详解】解：设庭前孩童有人，由题意可得 ， ， ， ， 梨的数量：（个）， 答：孩童人数为6人，梨的数量为36个． 变式2．某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．求：该店有客房多少间？房客多少人？ 【答案】客房有8间，房客有63人 【分析】本题属于一元一次方程的应用问题，得到题目中的等量关系是解题的关键． 设该店有客房x间，根据题意列出方程，求得x的值即可解答． 【详解】解：设客房有间， 根据题意可得：， 解得； 则房客有（人）； 答：客房有8间，房客有63人． 变式3．（25-26七年级上·河南信阳·开学考试） 求碗问题 今有妇人河上荡杯，津吏问曰：“杯何以多？”妇人曰：“家有客．”津吏曰：“客几何？”妇人曰：“二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用桮六十五，不知客几何？” ——出自《孙子算经》 上文大概意思是：有人看到一位妇女在河边洗碗，就问她：“怎么这么多碗？”妇女回答：“家里请人吃饭．”又问她：“有多少客人啊？”妇女回答：“吃饭的时候，两个人共用一个饭碗，三个人共用一个汤碗，四个人共用一个肉碗，一共用了六十五个碗，不知道有多少位客人？” 我们学过很多解决问题的方法，比如：画图、列表尝试、列式计算、列方程等．请你选择一种方法试一试，看看到底有多少位客人用餐． 【答案】有60位客人用餐． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及数学常识，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元一次方程． 设来了位客人，则共使用个饭碗，个汤碗，个肉碗，根据共用了65个碗，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设来了位客人，则共使用个饭碗，个汤碗，个肉碗， 依题意得：， 解得：． 有60位客人用餐． 【考点20 日历问题】 例20．（25-26七年级上·河南郑州·开学考试）观察下图阴影方框内中间的数与其他四个数的关系． (1)中间的数用y表示，左边的数是（   ），下面的数是（   ），方框中5个数的和是（   ）． (2)当5个数的和是时，这5个数分别是多少？在下图方格中填一填． 【答案】(1)，， (2)见解析 【分析】本题考查了数字类规律探索，列代数式，日历问题(一元一次方程的应用)等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）结合日历填写即可； （2）根据题意列出方程求解，再求得其余四个数即可． 【详解】（1）解：中间的数用y表示，左边的数是，下面的数是，方框中5个数的和是． 故答案为：，，； （2）设中间的数用y表示， 则， 解得：， 左边的数是，上面的数是，下面的数是，右边的数是， 故这5个数分别是，，，，，如图， 变式1．（25-26七年级上·江苏常州·期中）按照图1所示方法，可以用平行四边形框出月历中的4个数． (1)若框出的4个数中左下角的数为（如图）则这4个数的和为______；（用含有x的代数式表示，需化简） (2)当时，求（1）中代数式的值； (3)在图1的月历中，按照图1的框法，能否框出4个数的和为．若能，求出这4个数；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)46 (3)不能，理由见解析 【分析】本题考查一元一次方程的应用，熟练根据已知条件列出方程是解题的关键． （1）根据题意得出，另外3个数分别为，，，计算四个数的和即可； （2）代入，求出的值即可； （3）假设按照图1的框法，能框出4个数的和为40，可列出方程，解出的值，进行判断即可． 【详解】（1）解：若框出的4个数中左下角的数为x，则另外3个数分别为，，， 因此，这4个数的和为 故答案为：； （2）解：当时，； （3）解：按照图1的框法，不能框出4个数的和为40，理由如下： 假设按照图1的框法，能框出4个数的和为40， 根据题意得： 解得：， 由于不是整数， 则不符合题意， 因此，假设不成立， 即按照图1的框法，不能框出4个数的和为． 变式2．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图（1）是2025年11月的日历，用形如X型框，去框日历中的日期数每次同时框5个数． (1)设X框最中间的数为a，则这5个数之和为______（用含a的代数式表示）； (2)这5个数的和能等于50吗？若能，求出这五个数中最小的数，若不能请说明理由； (3)图（2）是2025年十二月份的日历，用这样的“X”形框能框出的五个数的和的最大值是多少？ 【答案】(1) (2)能，这五个数中最小的数为2 (3)115 【分析】本题考查了列代数式，整式的加减运算的应用，一元一次方程与日历问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，设X框最中间的数为a，再分别找出其他四个数，再列式计算，即可作答． （2）理解题意，则，解得，即可求出这五个数中最小的数； （3）先理解题意，得出，故，即可求出五个数的和的最大值． 【详解】（1）解：依题意，设X框最中间的数为a， 则X框的其他四个数分别是 ∴ ∴这5个数之和为； （2）解：这5个数的和能等于50，过程如下： 依题意，当设X框最中间的数为a，则这5个数之和为 故， 解得， ∴这五个数中最小的数是； （3）解：由（1）得设X框最中间的数为a，则X框的其他四个数分别是，且这5个数之和为； 观察2025年十二月份的日历，有号， 即， 解得， 此时五个数的和的最大值是． 变式3．（24-25七年级上·河北邢台·期末）数学活动−−探究日历中的数字规律．如图，这是2025年1月的月历表．在表中用对称的型框“”框住七个数． (1)若型框中其中最小的数字为2，求型框中的七个数字之和． (2)在表中移动型框的位置，若型框框住的七个数字之和为147，求这七个数字中最大的数． (3)在表中移动型框的位置，请判断型框框住的七个数字之和能否为168，若能，请直接写出七个数字中最小的数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)70 (2)29 (3)不能，理由见解析 【分析】题目主要考查一元一次方程的应用，理解题意，列出方程是解题关键． （1）根据题意列式计算即可； （2）设型框正中间的数字为，则另外6个数字分别为，，，，，，然后得出一元一次方程求解即可； （3）设型框正中间的数字为．同（2）求解方程，结合日历表即可求解 【详解】（1）解：根据题意得． （2）设型框正中间的数字为，则另外6个数字分别为，，，，，； 所以这7个数字的和是． 根据题意得，解得． 所以． 答：这七个数字中最大的数字是29． （3）不能． 理由：设型框正中间的数字为．由（2）可知，这7个数字的和是． 根据题意得，解得． 因为，32不在月历表中， 所以型框框住的七个数字之和不能为168． 【考点21 其他问题】 例21．（25-26七年级上·陕西咸阳·月考）2026年元旦即将来临，校团委准备订购一批陶艺文创产品．经过一系列的筛选，最终决定由甲、乙两个工厂共同生产，并在元旦前赶制完成．经考察，乙工厂每天生产陶艺文创产品的数量比甲工厂每天生产陶艺文创产品的数量的1.4倍少45件，若甲工厂每天生产陶艺文创产品件． (1)乙工厂每天生产陶艺文创产品___________件；（用含的代数式表示） (2)甲工厂和乙工厂每天生产陶艺文创产品的总数量能否为210件？请说明理由． 【答案】(1) (2)不能，理由见详解 【分析】本题考查列代数式、一元一次方程解应用题，读懂题意，找准等量关系是解决问题的关键． （1）设甲工厂每天生产陶艺文创产品件，由题中乙工厂每天生产陶艺文创产品的数量比甲工厂每天生产陶艺文创产品的数量的1.4倍少45件，列代数式表示即可得到答案； （2）设甲工厂每天生产陶艺文创产品件，由（1）知乙工厂每天生产陶艺文创产品件，根据题中条件列方程求解判断即可得到答案． 【详解】（1）解：设甲工厂每天生产陶艺文创产品件， 乙工厂每天生产陶艺文创产品的数量比甲工厂每天生产陶艺文创产品的数量的1.4倍少45件， 乙工厂每天生产陶艺文创产品件， 故答案为：； （2）解：不能， 设甲工厂每天生产陶艺文创产品件，则乙工厂每天生产陶艺文创产品件， ， 解得， 陶艺文创产品的件数为正整数，而不是整数， 甲工厂和乙工厂每天生产陶艺文创产品的总数量不能为210件． 变式1．（25-26七年级上·江西赣州·月考）为了参加校园文化艺术节，书画社计划买一些宣纸和毛笔，现了解情况如下：甲、乙两家文具商店出售同样的毛笔和宣纸，毛笔每支20元，宣纸每张4元．甲商店的优惠办法是：买1支毛笔送1张宣纸；乙商店的优惠办法是：全部商品按定价的9折出售．书画社想购买毛笔10支，宣纸张． (1)若到甲商店购买，应付_____元；若到乙商店购买，应付_____元（用含的代数式表示，要化简）； (2)若时，去哪家商店购买较合算？请计算说明； (3)小新根据需要购买的宣纸数量，通过计算发现去两家商店需要支付金额相同，请你帮忙算一算，小新需要购买多少张宣纸？ 【答案】(1)，； (2)甲商店购买较为合算，说明见解析 (3)小新需要购买50张宣纸 【分析】本题考查了列代数式的知识，代数式求值及有理数四则运算的实际应用，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系． （1）到甲商店购买的费用：10支毛笔的费用张宣纸的费用；到乙商店购买的费用：（10支毛笔的费用张宣纸的费用），把相关数值代入求解即可； （2）把代入（1）得到的式子进行计算，然后比较结果即可； （3）根据去两家商店需要支付金额相同列方程求解即可． 【详解】（1）解：到甲商店购买的费用：（元）； 到乙商店购买的费用：（元）； 故答案为：，； （2）解：当时， 到甲商店购买的费用：（元）； 到乙商店购买的费用：（元）； ， 则到甲商店购买较为合算； （3） 解得： 答：小新需要购买50张宣纸． 变式2．（25-26七年级上·湖北襄阳·开学考试）某公司帮员工办理了商业医疗保险，员工可在定点医院就医，在规定的药品品种范围内用药，由患者先垫付医疗费，然后到医保中心报销． 医疗费的报销比例标准如下表： 费用范围 500元以下（含500 元） 超过500元且不超过 10000元的部分 超过10000元的部分 报销比例标准 不予报销 （自付医疗费＝实际医疗费－按标准报销的金额） (1)李叔叔在一次就医中，实际医疗费为9000元，则按标准李叔叔可以报销多少元？ (2)王叔叔某次生病就医，经过报销后自付医疗费为8650元，则王叔叔这次就医实际医疗费为多少元？ 【答案】(1)5950元； (2)36500元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，列代数式，有理数四则混合计算的实际应用： （1）根据所给报销标准列式计算即可； （2）设王叔叔这次就医实际医疗费为y元，先证明，再根据题意可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：元； （2）解：王叔叔这次就医实际医疗费为y元， ∵， ∴， ∴， 解得， 答：王叔叔这次就医实际医疗费为36500元． 变式3．（25-26七年级上·山西朔州·月考）综合与实践 数学兴趣小组用一根质地均匀的木杆和一些相同质量的重物（每个重物的质量均为）进行如下实验： ①在木杆中点（支点）处拴绳，将木杆吊起，两端各挂一个重物，观察是否平衡； ②木杆右端仍挂一个重物，在木杆左端逐次加挂重物，每次将左端重物整体右移至使木杆平衡，记录支点到两端挂重物处的距离． 【初步探究】 如图，在木杆右端挂一重物，支点左端挂n个重物，并使左右平衡．设木杆长为，支点在木杆中点处，左端挂重物处到支点的距离为，探究记录如下： 支点左边 支点右边 木杆状态 重物质量（g） 到支点的距离（） 重物质量（g） 到支点的距离（） 5 30 5 30 平衡 10 15 5 30 平衡 15 10 5 30 平衡 20 a 5 30 平衡 b 6 5 30 平衡 (1)请你通过实验发现的规律补全实验记录：______，______； (2)把n作为已知数，列出关于x的一元一次方程：______． (3)【深入探究】 小明把相同质量的重物全部换成了每个质量为的重物再次进行实验，此时支点右端悬挂一个重物且与支点的距离为，左端悬挂4个重物，并移动至左右平衡，求此时左端重物到支点的距离． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）观察表中数据，即可得出规律求解； （2）根据得出的规律列方程求解即可． 此题是一道探究型的活动题，对于此类题目，一定要根据操作步骤，动手认真实验并记录数据，然后根据所得实验结果，找出规律或得出结论，从而使问题得以解答．本题还考查了根据题意列方程的相关知识，列方程的关键是找到等量关系． 【详解】（1）解：观察表格得，左边重物质量与物体到支点距离的乘积等于右边重物质量与物体到支点距离的乘积， 则， 解得， ， 解得， 故答案为：，； （2）解：由题意， 整理得， 故答案为：； （3）解：设此时左端重物到支点的距离为， ， 解得， 则此时左端重物到支点的距离为． 1．（25-26七年级上·安徽合肥·月考）已知关于的两个一元一次方程与的解互为相反数，则的绝对值为（    ） A．－26 B．26 C．14 D．－14 【答案】B 【分析】本题考查解一元一次方程，相反数，绝对值，掌握相关知识是解决问题的关键．先解方程 得的值，根据解互为相反数，得第二个方程的解，代入求，再求的绝对值 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ∵ 两个方程的解互为相反数， ∴ 方程 的解为 将 代入： ∴ ∴ ∴ ∴ ． 故选：B． 2．（25-26七年级上·安徽淮北·月考）已知关于的方程有整数解，且是整数，则所有满足条件的值的和为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的解和一元一次方程的解法． 先求解方程得到，由为整数且为整数，可知是8的约数，且与5之和为偶数以保证为整数，从而找出所有满足条件的值并求和． 【详解】解： ， 去括号得： ， 移项得： ， 即， ∴ ． ∵ 为整数，∴ 为偶数，即为奇数． 又∵ 为整数， ∴ 是8的约数，8的约数中奇数只有．即． 当时，； 当时，． ∴满足条件的值为2和3，和为． 故选D． 3．（25-26七年级上·安徽淮南·月考）如图，表中给出的是2026年元月的日历，任意选取“H”形框中的7个数（如阴影部分所示），那么在本月日历中这7个数的和可能是（   ）． A．70 B．77 C．84 D．210 【答案】A 【分析】本题主要考查了日历中的数的规律、一元一次方程的应用等知识点，熟练掌握“用中间数表示日历中相邻数，结合数的位置范围分析和的合理性”是解题的关键． 如图：设“H”形框中间的数为x，根据日历数的排列规律表示出其余6个数，求和得到和为，再结合各选项列一元一次方程求解，并结合日历中数的范围验证即可解答． 【详解】解：如图：设“H”形框中间的数为x，则其余六个数为， x 则． 当时，解得， 能构成“H”形，故符合题意； 当时，解得，不能构成“H”形，故不符合题意； 当时，解得，不能构成“H”形，故不符合题意； 当时，解得，不能构成“H”形，故不符合题意． 故选A． 4．（25-26七年级上·安徽淮南·月考）《九章算术》中记载了这样一个数学问题，其大意为：甲从长安出发，5日到齐国；乙从齐国出发，7日到长安．现乙先出发2日，甲才从长安出发，问乙出发几日后甲乙相逢？设乙出发x日后甲乙相逢，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根据实际情况，列一元一次方程，设全程为1，则甲的速度为，乙的速度为． 乙先出发2日，甲出发后相遇时，乙行走日，甲行走日． 相遇时两人行走距离之和等于全程，列出方程即可． 【详解】解：设全程为1，则甲的速度为，乙的速度为，由题意，甲行走距离为 ，乙行走距离为 ， ∴ ， 故选C． 5．（24-25七年级上·安徽合肥·月考）如图，数轴上有A，B，C，D四个整数点（即各点均表示整数），且，若A，D两点所表示的数分别是和3，则线段的三等分点所表示的数是（　　） A． ， B．， C． ， D．， 【答案】D 【分析】本题考查实数与数轴，设，根据题意可得，解得，再求出，再由，分别求出的三等分点表示的数为或即可． 【详解】解：设， ∵， ∴，， ∴， 解得， ∴，，， ∴B点表示的数是，C点表示的数是1， ∴， ∵， ∴的三等分点表示的数为或， 故选：D． 6．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）已知：关于x的方程与有相同的解，则 ． 【答案】 【分析】本题考查同解方程，求出方程的解，把解代入到，进行计算即可． 【详解】解：， ， 解得， 把代入，得，解得； 故答案为：． 7．（25-26七年级上·四川成都·期中）已知关于x的方程的解是整数，则满足条件的所有整数m的和为 ． 【答案】0 【分析】本题考查解一元一次方程，方程的整数解，解题的关键是根据整数解确定参数的值． 先求解方程，解得，再根据x为整数，m是整数，可得是5的因数，进而求出m的值即可求出所有m值的和． 【详解】解：， 两边同乘6得： ， 即， 整理得：， 移项得：， 解得：， ∵为整数， ∴是5的因数，即， 当时，； 当时，（舍去）； 当时，（舍去）； 当时，； ∴满足条件的整数为1和， ∴满足条件的所有整数m的和为． 故答案为：． 8．（25-26七年级上·安徽淮北·月考）把几个数用大括号括起来，中间用逗号隔开，如，我们称之为集合，其中的数称为集合的元素．一个集合中没有相同的元素．如果一个集合中有一个元素，且也是这个集合的元素，那么这样的集合我们称之为“距离集合”．例如，集合，因为当时，，而1恰好是这个集合的元素，所以是一个“距离集合”． （1）集合 （填“是”或“不是”）“距离集合”． （2）已知集合是“距离集合”，且是整数，则所有符合条件的的值为 ． 【答案】 是 0，1，4 【分析】本题考查了“距离集合”的定义，绝对值方程，理解“距离集合”的定义是解题的关键． （1）直接根据定义判断即可； （2）根据“距离集合”的定义，分和两种情况讨论，解方程求整数b即可． 【详解】解：（1）由题意可知，当集合中取时，，2是集合的元素， ∴集合是“距离集合”． 故答案为：是． （2）∵集合是“距离集合”，且b为整数， ∴集合中的元素需至少有一个满足也是该集合的元素， ①当时，，则0必须是集合的元素， ∴； ②当时，必须是集合的元素， ∴或， 若，解得， 若，解得或， 综上，所有符合条件的b值为0，1，4． 故答案为：0，1，4． 9．（25-26七年级上·安徽阜阳·月考）为了鼓励市民节约用水，某市采用分档计费的方式计算水费．下表是家庭人口不超过人时户年用水量及分档计费标准：计费规则为按用量区间分段累加收费，即用水量的部分按第一档单价计费，的部分按第二档单价计费，的部分按第三档单价计费． 计费档 户年用水量 单价/（元/） 第一档 第二档 第三档 （）某户一年用水量是，该户这一年的水费为 元； （）某户去年一年的水费是元，求该户去年一年的用水量为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用、有理数的四则混合运算的应用，理解表格中每档的费用，正确列式求解是关键． （1）理解题意，根据用水量及分档计费标准且结合进行列式化简，即可作答， （2）先充分分析题意，得出水费在第三档，再结合第三档的计费方式进行列方程求解，即可作答． 【详解】解：（1）用水量在第二档范围内（）， ∴水费为（元）， 故该户水费为元， 故答案为：1040． （2）水费元， 先判断档位：第一档最大水费元， 第二档最大水费元，由于，故属第三档， 第三档水费公式为， 解得， 故用水量为． 故答案为：290． 10．（25-26七年级上·安徽宿州·月考）九宫格是一款数学游戏，起源于河图洛书．如下表，将九个数分别填入九宫格内，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等．若，，，，分别表示其中的一个数．解决下列问题： （1）的值为 ； （2）的值为 ． 0 3 1 【答案】 6 15 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，代数式求值．利用每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，多次建立方程求解是解题的关键； （1）根据即可得解； （2）根据可求出b，根据可求出a，根据可求出c，根据可求出e，再代入求值即可得解． 【详解】（1）解：每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等， ， ， 故答案为：6； （2）解：每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等， ，，， ， ， 故答案为：15． 11．（25-26七年级上·安徽滁州·期中）如图，分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为80． （1）点和点之间的距离为 ； （2）若点从点出发，以2个单位／秒的速度向左运动，同时另一点恰好从点出发，以3个单位／秒的速度向右运动，当两点在数轴上相距15个单位时，运动时间为 秒． 【答案】 100 17或23 【分析】该题考查了数轴表示数的意义和方法，列代数式，一元一次方程的应用． （1）根据两点之间的距离等于两点表示的数的差的绝对值计算即可； （2）设运动的时间为t秒，则点表示的数为，点表示的数为，再根据两点在数轴上相距15个单位，得，解方程即可． 【详解】解：（1）， 即点和点之间的距离为100， 故答案为：100； （2）设运动的时间为t秒，则点表示的数为，点表示的数为， ∵两点在数轴上相距15个单位， ∴，即， ∴或， 解得或， 故答案为：17或23． 12．（25-26七年级上·安徽合肥·月考）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次方程，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）去括号，移项，合并同类项，最后未知数系数化为1即可 （2）先去分母，去括号，移项，合并同类项，最后未知数系数化为1． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， ， ． 13．（25-26七年级上·安徽淮南·月考）已知是关于x的一元一次方程． (1)求m的值． (2)若上述方程的解比方程的解小3，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元一次方程的定义，解一元一次方程，一元一次方程的解的关系，熟练掌握相关知识点，解一元一次方程的步骤，是解题的关键： （1）根据一元一次方程的定义，得到，进行求解即可； （2）先求出的解，根据解的关系，得到的解，代入方程，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，， 解得； （2）解：由（1）可知方程为， 解得； ∵上述方程的解比方程的解小3， ∴的解为， ∴， ∴． 14．（25-26七年级上·安徽宿州·月考）企业对某品牌养生糁汤开展优惠活动，每箱养生糁汤定价160元，每袋调味料包定价20元，优惠方案有以下两种： 方案一：买一箱养生糁汤送一袋调味料包； 方案二：养生糁汤和调味料包都按定价打九折． 现某客户需要购买养生糁汤30箱，调味料包袋． (1)若该客户按方案一购买，需付款________元（用含的式子表示）；若该客户按方案二购买，需付款________元（用含x的式子表示）． (2)当时，通过计算说明选择哪种方案更优惠？ (3)试求当取何值时，不论采用哪种方案购买，所需费用都是相等的． 【答案】(1)； (2)方案一更优惠，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查列代数式及代数式求值，一元一次方程的应用，理解题意是解题的关键． （1）根据题意列出代数式即可； （2）将分别代入（1）中代数式，在进行比较即可； （3）根据已知条件可得，进而得出答案． 【详解】（1）解：该客户按方案一购买，需付款元， 该客户按方案二购买，需付款元． 故答案为：；； （2）解：当时，按方案一购买，需付款（元， 按方案二购买，需付款（元， 因为，所以方案一更优惠； （3）解：， 解得：， 答：当时，不论采用哪种方案购买，所需费用都是相等的． 15．（25-26七年级上·安徽铜陵·期中）如图，已知在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，且． (1)点，点表示的数分别是 ； (2)若点是数轴上一动点，其表示的数为利用绝对值的几何意义，探索的最小值为 ； (3)若点，点同时沿数轴向正方向运动，点运动的速度为个单位长度秒，点运动的速度为个单位长度秒，若运动的过程中，当点、之间相距个单位长度时，求运动时间的值． 【答案】(1)， (2)7 (3)或 【分析】此题主要考查数轴上点的坐标与距离表示方法，绝对值的化简，一元一次方程的应用． （1）根据几个非负数和为0，则这几个非负数均为0，即可得出，，由此得答案； （2）数轴上两点之间的距离可知：表示的是点到、两点的距离之和，结合数轴可知点到、两点的距离之和最小，由此即可求出最小值； （3）表示出运动t秒时，点A，B，P表示的数，从而得到A，B的距离，根据该距离为6个单位长度可求得t的值． 【详解】（1）解：因为， 所以，， 解得，， 即点表示的数是，点表示的数是． 故答案为：， （2）解：由（1）知，点表示的数是，点表示的数是， 所以表示的是点到、两点的距离之和． 当点在点，之间， 即时， 点到、两点的距离之和最小， 即， 最小值为． 故答案为： （3）解：点运动时表示的数为， 点运动时表示的数为， 所以， 即或， 解得或， 所以当运动过程中，点，之间相距个单位长度时，运动时间的值为秒或秒． 16．（25-26七年级上·安徽安庆·月考）如图，将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示，点表示，我们称点和点在数轴上相距个长度单位．动点从点出发，以单位秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点从点出发，以单位秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．点运动到点时停止，此时点也随之停止．设运动的时间为秒．问： (1)动点从点运动至点需要多少时间？ (2)、两点相遇时，求出相遇点所对应的数是多少； (3)求当为何值时，、两点在数轴上相距的长度与、两点在数轴上相距的长度相等． 【答案】(1)需要15秒 (2)相遇点所对应的数是 (3)的值为、或时 【分析】（1）由路程、速度、时间三者关系分两段求出各段时间，再相加求出总时间为即可； （2）根据相遇时、的时间相等列方程求解即可； （3）分、两点相遇前和相遇后两种情况求解即可． 【详解】（1）解：（1）点运动至点时，所需时间（秒）； （2）（2）由题可知，、两点相遇在线段上于处，设， 则， 解得， 故相遇点所对应的数是； （3）（3）、两点在数轴上相距的长度与、两点在数轴上相距的长度相等有种可能： ①动点在上，动点在上，则：，解得：， ②动点在上，动点在上，则：，解得：， ③动点在上，动点在上，则：，解得：， ④动点在上，动点在上，则：，解得：， ∵点运动到点时停止，此时点也随之停止， ∴舍去； 综上所述：的值为、或． 【点睛】本题考查了数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，路程、速度、时间三者的关系等相关知识点，重点掌握一元一次方程的应用，易错点是分类计算时不重不漏． 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 一次方程的解法与应用 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1 ：一元一次方程的相关概念 一元一次方程的概念：只含有一个未知数（元），且未知数的次数都是1，这样的整式方程叫一元一次方程. 一元一次方程的标准形式：ax+b=0（a、b是常数，且a≠0）. 方程的解：能使方程两边的值相等的未知数的值叫做方程的解. 解方程：求方程的解得过程叫做解方程. 知识点2 ：等式的性质 等式的性质1：等式的两边都加上(或减去)同一个数（或同一个式子），所得的结果仍是等式.即： 如果a=b，那么a±c=a±c 等式的性质2：等式两边都乘以同一个数，或都除以同一个不为0的数，结果仍相等. 【易错易混】 （1）利用等式的性质进行变形时，等式两边都要参加运算，而且是同一种运算. （2）等式两边同时除以一个字母时，字母不能为0，若题目没有注明该字母不为0，那么这个变形就不成立. 知识点3 ：一元一次方程的解法 步骤 具体做法 去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 移项 把含有未知数的项移到方程一边，其它项都移到方程另一边 合并同类项 把方程变为ax=b（a≠0 )的形式 系数化为1 将方程两边都除以未知数系数a，得到方程的解x= 知识点3 ：用一元一次方程解决实际问题的一般步骤： 审：审清题意（注意关键词），找出题中的等量关系，理清题中的已知量与未知量； 设：设未知数，并用含未知数的代数式表示其他未知量； 列：根据题中相等关系，列出方程； 解：解所列出的方程； 验：检验所得的解是不是所列方程的解、是否符合实际意义（这一步可在草稿纸上完成）； 答：写出答案，包括单位. 知识点4 ：用一元一次方程解决实际问题的常见类型 （1）探索规律型问题； （2）数字问题； （3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率＝×100%）； （4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）； （5）行程问题（路程＝速度×时间）；速度×时间=路程；相遇问题：S甲＋S乙=S总 ；追及问题：S快-S慢=S相距 ； （6）等值变换问题； （7）和，差，倍，分问题； （8）分配问题； （9）比赛积分问题； （10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）． 【考点1 方程的相关概念】 例1．（24-25七年级下·湖南张家界·期末）下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是方程的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式1．（24-25七年级上·全国·阶段练习）下列各式中，属于方程的是（　　） A． B． C． D． 变式2．（25-26七年级上·广西崇左·月考）下列各式中 是等式， 是方程(填序号)． ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩． 变式3．（2025七年级上·北京·专题练习）下列各式中，是等式的有 ，是方程的有 ．（填序号） ①；②；③；④；⑤． 【考点2 已知方程的解求参数】 例2．（24-25七年级上·山东济南·期末）已知是关于x的方程的解，则a的值为 ． 变式1．（25-26七年级上·河南安阳·月考）若是关于x的方程的解，则 ． 变式2．（25-26七年级上·浙江杭州·月考）已知为实数，关于x的方程的解为，则关于y的方程的解为 ． 变式3．（25-26七年级上·山东德州·月考）已知，为定值，关于的方程，无论为何值，它的解总是．求． 【考点3 等式的性质】 例3．（25-26七年级上·浙江·期末）下列等式的变形中，错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 变式1．（25-26七年级上·广东清远·月考）下列等式变形正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 变式2．（25-26七年级上·江苏南京·期中）已知，均是关于的整式，其中，，且当时，，则代数式的值为 ． 变式3．（2025七年级上·全国·专题练习）利用等式的性质解下列方程： (1)； (2)． 【考点4 一元一次方程的相关概念】 例4．（25-26七年级上·河南信阳·月考）如果关于x的方程是一元一次方程．那么m，n应满足的条件是（   ） A． B． C． D． 变式1．（25-26七年级上·天津静海·月考）下列各式中，一元一次方程的个数有（   ） ①；②；③；④；⑤ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 变式2．（25-26七年级下·全国·期末）若是关于x的一元一次方程，则m的取值范围是 ． 变式3．（25-26七年级上·黑龙江大庆·期中）若是关于x的一元一次方程． (1)求a的值； (2)请写出这个方程； (3)解这个方程． 【考点5 解一元一次方程】 例5．（25-26七年级上·吉林四平·期末）解方程： 变式1．（25-26七年级上·浙江温州·月考）依据下列解方程的过程，请在前面的括号内填写变形步骤，在后面的括号内填写变形依据． 解：原方程可变形为 去分母，得（①） 去括号，得 （②），得（③） 合并同类项，得（④） 系数化为1，得． 变式2．（河南省新乡市部分学校联考2025-2026学年七年级上学期期末质检数学试卷）已知关于x的一元一次方程：，且a，b满足． (1)______， ； (2)在（1）的条件下，求题中关于x的一元一次方程的解． 变式3．（2025七年级上·重庆·专题练习）解方程： (1)； (2)． 【考点6 已知一元一次方程的解求参数】 例6．（25-26七年级上·江苏宿迁·月考）关于x的方程的解是正整数，则符合条件的所有整数k的和为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 变式1．（25-26七年级上·全国·期末）若关于的方程的解是正整数，则整数的取值个数为（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 变式2．（25-26七年级上·湖北武汉·月考）已知关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为 ． 变式3．（24-25七年级上·全国·阶段练习）当m为何值时，关于x的方程的解与关于x的方程的解相同？ 【考点7 一元一次方程解的关系】 例7．（25-26七年级上·浙江·月考）若关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级上·广东广州·期末）关于x的两个一元一次方程与的解互为相反数，m的值为（   ） A． B．26 C．15 D． 变式2．（2025七年级上·湖北武汉·专题练习）如果关于的方程与的解相同，那么的值是 ． 变式3．（24-25六年级下·山东淄博·月考）已知关于x的方程有非负整数解，求整数a的所有可能的取值的和． 【考点8 绝对值方程】 例8．（25-26七年级上·安徽黄山·期中）若为有理数且，则的取值是（    ） A． B． C．或2 D． 变式1．（24-25七年级下·四川乐山·期末）方程的解为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 变式2．（25-26七年级上·河北石家庄·月考）若，则 ． 变式3．（25-26七年级上·全国·单元测试）解方程：． 解：①当时，解得； ②当时，解得． 所以原方程的解是或． (1)解方程：； (2)解方程：． 【考点9 配套问题】 例9．（25-26七年级上·福建龙岩·月考）（1）学校组织七年级7个班开展篮球赛．规定本班和其他班每班只打一场，赢一场积3分，输一场扣1分（无平局），已知四班同学获得积分为14分，那么四班赢了多少场？ （2）某车间有22名工人，每名工人每天可以生产240个螺栓或400个螺母，1个螺栓需要2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应该安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？ 变式1．（24-25七年级上·湖北荆州·期末）七（1）班共有学生52人，其中男生人数比女生人数少6人，劳技课上，老师组织同学们自己动手设计制作便携式垃圾盒，每名学生一节课能做盒身12个或盒底28个． (1)七（1）班有男生和女生各多少人？ (2)原计划男生负责做盒身，女生负责做盒底，1个盒身和2个盒底配套，那么这节课做出的盒身和盒底不能完全配套，最后决定女生去支援男生，问有多少女生去支援男生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套？ 变式2．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）2024年12月4日，联合国教科文组织决定将“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”列入人类非物质文化遗产代表作名录．而春节期间带一份包装精美的礼品走亲访友更是一种传统，因此市场上对礼品盒的需求量也随之激增．为了满足市场的需求，遵义市某工厂计划制作一批圆柱形礼品盒，已知该工厂共有90名工人，其中女工人数比男工人数的3倍少10名，并且每名工人平均每天可以制作这种礼品盒的盒身400个或盒底1000个． (1)该工厂有男工、女工各多少名？ (2)该工厂计划安排一部分工人负责制作盒身，另一部分工人负责制作盒底，要求一个盒身配两个盒底，那么应安排制作盒身和盒底的工人各多少名，才能使每天生产的产品刚好配套？ 变式3．（24-25七年级上·新疆伊犁·期末）七年级一班共有学生45人，其中男生人数比女生人数的2倍少15人． 劳动课上，老师组织同学们动手设计制作便携式垃圾盒，每名学生一节课能做盒身10个或盒底30个． (1)七年级一班有男生和女生各多少人？ (2)每个盒身匹配2个盒底，问怎样分配人数，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套？ 【考点10 工程问题】 例10．（2025七年级上·全国·专题练习）甲、乙两队修一座桥，如果由甲队单独完成，需要天；如果由乙队单独完成，需要天．现在由甲队单独做了天后，承办方接到通知，需要加快修桥进度，后续工程由甲、乙两队共同完成，则甲、乙两队后续需要合作多少天才能修完这座桥？ 变式1．（25-26七年级上·重庆开州·月考）现有一道路改造修复工程，甲工程队单独完成需要18天，乙工程队单独完成需要12天．甲队单独施工3天后接到通知要缩短工期，剩余的部分由甲、乙两工程队合作完成． (1)甲、乙两工程队还需合作多少天才能完成？（用方程解决） (2)若甲队每天的工资为1000元，乙队每天的工资为1500元，问完成这项工程需支付两队工资一共多少钱？ 变式2．（25-26七年级上·辽宁铁岭·期中）某中学有甲、乙两台印刷机，学校期末考试所需数学试卷如果用甲、乙两台印刷机单独印刷分别需要1小时和小时，为了保密，学校决定在考试前的一小时开始印刷数学试卷． (1)若甲、乙两台印刷机同时印刷，共需要多少小时才能印完？（要求列方程解答） (2)在两台印刷机同时印刷半小时后，甲印刷机出现故障停止印刷，此时离发卷还有分钟．请你计算一下，如果乙印刷机单独完成剩下的印刷任务，会不会影响按时发卷？ 变式3．（2023七年级上·湖南邵阳·竞赛）为确保邵阳市第二届旅游发展大会“早安隆回，云上花瑶”成功举办，县委县政府要求云溪路彩虹大道修路工程6个月完工．现由甲、乙两工程队参与施工，已知甲队单独完成需要8个月，乙队单独完成需要12个月．为了能如期完工，前期由甲、乙两队共同施工，后期改由一个工程队单独施工．现工程队指挥部结合实际情况拟定两套工程方案： ①先由甲、乙两个工程队合作个月后，再由甲队单独施工，保证恰好按时完成； ②先由甲、乙两个工程队合作个月后，再由乙队单独施工，也保证恰好按时完成； 求两套方案中和的值． 【考点11 销售盈亏】 例11．（25-26七年级上·全国·期末）某商品的进价是100元，原定售价为180元，由于该商品积压，商店准备打折销售，若要保持利润率为，则商店应打几折？ 变式1．（2025七年级上·重庆·专题练习）某商家销售羽绒服，为在春节前卖完，决定将其打折销售．若按标价的8折销售比直接降价40元销售少收入20元． (1)求每件羽绒服的标价为多少元？ (2)商家需销售完80件羽绒服，每件羽绒服进价是220元．按标价出售一部分后，将余下羽绒服按标价的8折全部售出，结算时发现共获利3400元，求按标价售出的羽绒服有多少件？ 变式2．（25-26七年级上·安徽马鞍山·期中）综合应用：某商场计划购进甲、乙两种商品共100件，甲种商品每件进价50元，售价80元；乙种商品每件进价70元，售价110元． (1)若全部售出后获利3600元，求甲、乙两种商品分别有多少件？ (2)在第（1）题结论的条件下，该商场开展让利促销活动，若甲种商品每件售价60元，要使得这100件商品利润率为，乙种商品每件售价多少元？（商品销售总价商品总进价（利润率） 变式3．（25-26七年级上·吉林长春·期中）【课本再现】下面是新人教版数学教材七年级上册135页探究1的部分内容． 探究1销售中的盈亏 一商店以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利，另一件亏损，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏？ 解：设盈利的那件衣服的进价是x元， 根据题意，得，解得， 设亏损的那件衣服的进价是y元， ， 由此可知卖这两件衣服共________（填“盈利”或“亏损”）了________元． 【解决问题】某商店有两种书包．每个小书包比大书包的进价少10元，而它们的售后利润额相同，其中，每个小书包的利润率为，每个大书包的利润率为．试求两种书包的进价． 【考点12 方案选择】 例12．（2025七年级上·全国·专题练习）某商场销售一种乒乓球拍和乒乓球，乒乓球拍每副的售价为80元，乒乓球每盒的售价为元，国庆节期间该商场决定开展促销活动，向顾客提供两种优惠方案： 方案一：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球； 方案二：乒乓球拍和乒乓球都打九折． 某顾客要在该商场购买20副乒乓球拍和30盒乒乓球． (1)按两种方案购买各需付款多少元（用含的代数式表示）？ (2)若，通过计算说明此时按哪种方案购买较合算． 变式1．（25-26七年级上·陕西西安·月考）随着时代的来临，小李换了新发布的手机并且需要新办一种套餐．运营商提出了两种包月套餐方案，第一种是每月50元月租费，流量资费元/；第二种是没有月租费，但流量资费元/．设小李每月使用流量． (1)小李按第一种套餐每月需花费___________元，按第二种套餐每月需花费___________元；（用含的式子表示） (2)小李每月使用多少流量时，两种套餐花费一样多？ 变式2．（24-25七年级上·河南郑州·月考）已知公园门票价格规定如下表： 购票张数 1~50张 51~100张 100张以上 每张票的价格 13元 11元 9元 某校七年级（1）、（2）两个班共104人去该公园游玩，其中（1）班人数较少，不足50人．经计算，如果两个班都以班为单位购票，则一共应付1240元，问： (1)两班各有多少名学生？ (2)如果两个班联合起来，作为一个团体购票，可以节省多少钱？ (3)如果七（1）班单独组织去游公园，作为组织者的你将如何购票才最省钱？ 变式3．（24-25六年级下·山东烟台·期中）临近“五一”，各大商场掀起促销狂潮，甲、乙、丙三个商场的促销活动如下表所示： 商场 促销活动 甲 全场按标价的6折销售 乙 实行“每满100元送100元的购物券”的优惠，再购物时，购物券可冲抵现金．（如：顾客购物240元，赠券200元；再购买340元的商品时可抵现金200元，只需付款140元，不再送券．） 丙 实行“每满100元减50元”的优惠．（如：顾客购物240元，可减100元，只需付款140元．） 根据以上活动信息，解答以下问题： (1)三个商场同时出售一双标价299元的皮鞋和一双标价229元的运动鞋，王阿姨想买这两双鞋，她应选哪家商场？ (2)张阿姨发现在甲、乙商场同时出售一件标价380元的上衣和一条标价300多元的裤子，两家商场所需费用相等，求这条裤子的标价． (3)丙商场又推出“先打九折”，再实行“每满100元减50元”的新优惠活动．李阿姨购买了该商场一件标价600元的小家电，她按照新优惠活动结算，发现费用反而比老优惠活动多20元，求被墨水遮盖的数字． 【考点13 数字问题】 例13．（25-26七年级上·河南南阳·月考）如图，某数学课外活动小组的同学做了一个数学风车，现在数学风车的每片叶片上都标有一个有理数． (1)若，求这四个有理数的和． (2)若相对的两个叶片上的数字的和相等，求的值． 变式1．（25-26七年级上·四川广元·期中）我们知道，． (1)一个两位数个位上的数字是1，十位上的数字是．把1与对调，原两位数比新两位数大9，的值是多少？请你用方程解决这个问题． (2)如果一个两位数十位上的数字是、个位上的数字是，现把与对调，计算原两位数与新两位数的差．并判断这个差能被9整除吗？说明原因． 变式2．（25-26七年级上·山东聊城·期中）如图，将这40个数按照下表进行排列，现用一个字框（图中阴影部分）框住表中的4个数，移动该框，设框中最小的数为． (1)求出框中4个数的和（用含的代数式表示）； (2)框中4个数的和可能是124吗？若能，请求出最小的数． 变式3．（25-26七年级上·山西太原·月考）阅读与思考 请认真阅读，并完成相应任务. 我们知道，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数.事实上，所有的有理数都可以化为分数形式（整数可以看作分母为1的分数），那么无限循环小数如何表示为分数形式呢？请看以下示例. 例：将化成分数，解决方法如下. 设，即， 将方程两边都乘10，得，即. 又因为，所以，所以， 所以，所以. 任务： (1)请利用材料中给出的方法，把化成分数； (2)把化成分数为_____． 【考点14 几何问题】 例14．（25-26七年级上·陕西西安·月考）某工厂要锻造一个直径为、高为的圆柱形实心毛坯、需截取一段直径为的圆柱形实心钢材作为原材料，如图，那么这段原材料的高应为多少？（列方程解答；锻造前后钢材体积不变） 变式1．（25-26七年级上·陕西榆林·月考）如图，是将一个大长方形平均分成上下两个长方形，再将上面这个长方形平均分成两份，将下面这个长方形平均分成三份，若图中阴影部分的面积为，求这个大长方形的面积．（列方程解答） 变式2．（25-26七年级上·安徽安庆·期中）小方家的住房户型呈长方形，平面图如图（单位：米），现准备铺设地面．三间卧室铺设木地板，其他区域铺设地砖． (1)求的值； (2)铺设地面需要木地板和地砖各多少平方米（用含的代数式表示）？ 变式3．（2023七年级上·安徽阜阳·竞赛）数轴上A，两个点对应的数分别是，，一般地，把称为点A与点之间的距离，并记作．如图：数轴上A，两个点对应的数分别是，，且． (1)求． (2)点为数轴上一点，当时，求点所对应的数． (3)点对应的数为__________时，． 【考点15 动点问题】 例15．（25-26六年级上·山东威海·期中）如图A在数轴上所对应的数为． (1)点B在点A右边距A点6个单位长度，求点B所对应的数； (2)在（1）的条件下，点A以每秒1个单位长度沿数轴向左运动，同时点B以每秒2个单位长度沿数轴向右运动，当点A运动到所在的点处时，求A，B两点间距离； (3)在（2）的条件下，现A点静止不动，B点沿数轴向左运动时，经过多长时间A，B两点相距4个单位长度． 变式1．（25-26七年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，点A、B在数轴上表示的数分别为和6，两只蚂蚁M、N分别从A、B两点同时出发，相向而行．M的速度为2个单位长度/秒，N的速度为3个单位长度/秒． (1)运动________秒钟时，两只蚂蚁相遇；相遇点在数轴上表示的数是________； (2)若运动t秒钟时，两只蚂蚁的距离为8，求出t的值（写出解题过程）． 变式2．（25-26七年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，数轴上的单位长度为1，、两点表示的数是互为相反数． (1)点表示的数是______，点表示的数______． (2)数轴上一个动点先向左移动2个单位长度，再向右移动5个单位到达点，若点表示的数是1，求点所表示的数． (3)在数轴上，点为坐标原点，若点、点分别以2个单位长度/秒和0.5个单位长度/秒的速度向右运动，当两点同时运动时，秒（）后分别运动到点、点，请用含代数式表示点、点的数． 变式3．（25-26七年级上·黑龙江绥化·期中）已知多项式 (1)若该多项式的值与字母x的取值无关，则 ， ； (2)在（1）的条件下，数轴上点A 表示的数字为a，点B 表示的数字为b，则线段 (3)在（2）的条件下，点M从点A开始，以每秒3个单位长度的速度向右运动，同时点N从点 B 开始，以每秒1个单位长度的速度向左运动， 秒后M与N表示的数互为相反数． 【考点16 和差倍分问题】 例16．（25-26七年级上·江苏宿迁·月考）甲组有37人，乙组有23人，现在需要从甲、乙两组抽调相同数量的人去做其他工作，已知甲组剩下的人数是乙组剩下人数的2倍，求从甲组调出的人数． 变式1．（25-26七年级上·山西运城·月考）问题解决 2025年全国“敬老月”活动于10月10日至31日开展，此次活动的主题为“弘扬孝亲敬老美德共建老年友好社会”．某校学生为敬老院的老人们表演了《花样跳绳》节目．已知甲种跳绳每根20元，乙种跳绳每根15元，用390元购买这两种跳绳，一共买了22根，求两种跳绳各买了几根． 变式2．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）于都三中教学质量的稳步提高，学校不断发展壮大．学校食堂的早餐供应面食．已知4名一级面点师每十分钟可做4笼馒头还多32个；5名二级面点师每十分钟可做馒头6笼少30个．已知十分钟内每位一级面点师比二级面点师多做5个馒头．每笼馒头有几个？ 变式3．（24-25七年级下·吉林长春·期末）“星耀舞台”是力旺中学的传统活动．在准备阶段，需要根据节目个数和所计划的节目表演时长（不包含报幕、串场等时间）进行安排．如果每个节目表演3分钟，则所有节目表演完还剩下7分钟；如果每个节目表演4分钟，则所有节目表演完比计划表演时长超出4分钟．求此次“星耀舞台”一共有多少个节目？ 【考点17 水电费问题】 例17．（25-26七年级上·全国·期末）某市居民生活用水实行阶梯水价，具体收费标准如下表： 用水量（立方米） 单价（元/立方米） 不超过20立方米的部分 3.5 超过20立方米但不超过30立方米的部分 4.2 超过30立方米的部分 5.0 例如：某户家庭用水量为25立方米，则应交水费为：（元）． (1)若小明家11月份用水量为15立方米，则应交水费________元； (2)若小红家11月份应交水费119元，则她家11月份用水量为多少立方米？ (3)若小刚家11月份用水量为x立方米（），求小刚家11月份应交水费多少元？（用含x的代数式表示） 变式1．（25-26七年级上·吉林·期末）为鼓励居民节约用电，某市电力公司采用分段计费方式计算电费：每月用电不超过180度时，按每度0.5元计费：每月用电超过180度但不超过280度时，其中的180度仍按每度元收费，超过部分按每度0.6元计费，每月用电超过280度时，其中的180度按0.5元/度收费，180度到280度之间的部分按0.6元/度收费，超过280度的部分按0.8元/度计费．收费标准如表： 用电量 不超过180度 超过180度但不超过280度的部分 超过280度的部分 收费标准（元/度） (1)若小明家9月用电量为160度，则他们家9月的电费是________元； 若小明家10月用电量为230度，他们家10月的电费是________元． (2)若小明家11月用电量x度（）；请用含x的代数式表示他们家11月应缴的电费； (3)若小明家12月缴的电费166元，则该月小明家用电量是多少？ 变式2．（25-26七年级上·江苏南通·月考）为鼓励节约能源，某电力公司特别出台了新的用电收费标准： 每户每月用电量 不超过200度 超过200度（超出部分的收费） 收费标准 每度元 每度元 (1)小林家4月份用电160度，则小林家4月份应付的电费为多少元？ (2)小林家6月份用电度，请你用x表示小林家6月份应付的电费； (3)小林家11月份交付电费156元，请利用方程的知识，求出小林家11月份的用电量． 变式3．（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）为鼓励市民节约资源，某市实施阶梯电价制，居民生活用电价格表如下： 档次 月用电量 电价（元/度） 第1档 不超出200度的部分 第2档 超出200度但不超出400度的部分 第3档 超出400度的部分 例如：若某用户2025年7月份的用电量为270度，则需缴电费为： （元）．设小辰家8月份用电量为x度． (1)若小辰家8月份用电量属于第2档，请用含x的代数式表示出她家8月应缴的电费金额； (2)若小辰家8月份所缴电费是190元，则她家8月份用电多少度? 【考点18 行程问题】 例18．（25-26七年级上·湖北宜昌·月考）两船从港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是50千米/时，水流速度是千米/时． (1)4小时后两船相距多远？ (2)若甲船由港到港用了2小时30分钟．再立即由港返回港时，用了10小时，试求水流速度． 变式1．（25-26七年级上·云南昆明·月考）一艘货轮往返于上下游两个码头之间，逆流而上需要6小时，顺流而下需要4小时，若船在静水中的速度为20千米/时． (1)求水流的速度是多少千米/时？ (2)求两个码头之间的距离是多少千米？ 变式2．（25-26七年级上·辽宁大连·期中）甲，乙两船从港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是，水流速度是． (1)后甲，乙两船相距多远？ (2)若甲船从港口顺水航行到达港口；从港口返回港口逆水而行，用了，求水流速度． 变式3．（25-26七年级上·湖南郴州·开学考试）甲、乙两车从相距千米的两地同时出发，相向而行，3小时后两车还相距千米（未相遇）．甲车每小时行千米，乙车每小时行多少千米？ 【考点19 古代问题】 例19．（25-26七年级上·四川广安·期中）列方程解应用题． 我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数几何？”意思是现有几个人共买一件物品，每人出8钱．多出3钱；每人出7钱，差4钱．问人数是多少？ 变式1．（24-25七年级上·吉林·期末）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“庭前孩童闹如簇，不知人数不知梨，每人四梨多十二，每人六梨恰齐足，”其大意：“孩童们在庭院玩耍，不知有多少人和梨，每人分4个梨，多12个梨；每人分6个梨，恰好分完．”请你用方程求庭前孩童人数和梨的数量． 变式2．某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．求：该店有客房多少间？房客多少人？ 变式3．（25-26七年级上·河南信阳·开学考试） 求碗问题 今有妇人河上荡杯，津吏问曰：“杯何以多？”妇人曰：“家有客．”津吏曰：“客几何？”妇人曰：“二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用桮六十五，不知客几何？” ——出自《孙子算经》 上文大概意思是：有人看到一位妇女在河边洗碗，就问她：“怎么这么多碗？”妇女回答：“家里请人吃饭．”又问她：“有多少客人啊？”妇女回答：“吃饭的时候，两个人共用一个饭碗，三个人共用一个汤碗，四个人共用一个肉碗，一共用了六十五个碗，不知道有多少位客人？” 我们学过很多解决问题的方法，比如：画图、列表尝试、列式计算、列方程等．请你选择一种方法试一试，看看到底有多少位客人用餐． 【考点20 日历问题】 例20．（25-26七年级上·河南郑州·开学考试）观察下图阴影方框内中间的数与其他四个数的关系． (1)中间的数用y表示，左边的数是（   ），下面的数是（   ），方框中5个数的和是（   ）． (2)当5个数的和是时，这5个数分别是多少？在下图方格中填一填． 变式1．（25-26七年级上·江苏常州·期中）按照图1所示方法，可以用平行四边形框出月历中的4个数． (1)若框出的4个数中左下角的数为（如图）则这4个数的和为______；（用含有x的代数式表示，需化简） (2)当时，求（1）中代数式的值； (3)在图1的月历中，按照图1的框法，能否框出4个数的和为．若能，求出这4个数；若不能，请说明理由． 变式2．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图（1）是2025年11月的日历，用形如X型框，去框日历中的日期数每次同时框5个数． (1)设X框最中间的数为a，则这5个数之和为______（用含a的代数式表示）； (2)这5个数的和能等于50吗？若能，求出这五个数中最小的数，若不能请说明理由； (3)图（2）是2025年十二月份的日历，用这样的“X”形框能框出的五个数的和的最大值是多少？ 变式3．（24-25七年级上·河北邢台·期末）数学活动−−探究日历中的数字规律．如图，这是2025年1月的月历表．在表中用对称的型框“”框住七个数． (1)若型框中其中最小的数字为2，求型框中的七个数字之和． (2)在表中移动型框的位置，若型框框住的七个数字之和为147，求这七个数字中最大的数． (3)在表中移动型框的位置，请判断型框框住的七个数字之和能否为168，若能，请直接写出七个数字中最小的数；若不能，请说明理由． 【考点21 其他问题】 例21．（25-26七年级上·陕西咸阳·月考）2026年元旦即将来临，校团委准备订购一批陶艺文创产品．经过一系列的筛选，最终决定由甲、乙两个工厂共同生产，并在元旦前赶制完成．经考察，乙工厂每天生产陶艺文创产品的数量比甲工厂每天生产陶艺文创产品的数量的1.4倍少45件，若甲工厂每天生产陶艺文创产品件． (1)乙工厂每天生产陶艺文创产品___________件；（用含的代数式表示） (2)甲工厂和乙工厂每天生产陶艺文创产品的总数量能否为210件？请说明理由． 变式1．（25-26七年级上·江西赣州·月考）为了参加校园文化艺术节，书画社计划买一些宣纸和毛笔，现了解情况如下：甲、乙两家文具商店出售同样的毛笔和宣纸，毛笔每支20元，宣纸每张4元．甲商店的优惠办法是：买1支毛笔送1张宣纸；乙商店的优惠办法是：全部商品按定价的9折出售．书画社想购买毛笔10支，宣纸张． (1)若到甲商店购买，应付_____元；若到乙商店购买，应付_____元（用含的代数式表示，要化简）； (2)若时，去哪家商店购买较合算？请计算说明； (3)小新根据需要购买的宣纸数量，通过计算发现去两家商店需要支付金额相同，请你帮忙算一算，小新需要购买多少张宣纸？ 变式2．（25-26七年级上·湖北襄阳·开学考试）某公司帮员工办理了商业医疗保险，员工可在定点医院就医，在规定的药品品种范围内用药，由患者先垫付医疗费，然后到医保中心报销． 医疗费的报销比例标准如下表： 费用范围 500元以下（含500 元） 超过500元且不超过 10000元的部分 超过10000元的部分 报销比例标准 不予报销 （自付医疗费＝实际医疗费－按标准报销的金额） (1)李叔叔在一次就医中，实际医疗费为9000元，则按标准李叔叔可以报销多少元？ (2)王叔叔某次生病就医，经过报销后自付医疗费为8650元，则王叔叔这次就医实际医疗费为多少元？ 变式3．（25-26七年级上·山西朔州·月考）综合与实践 数学兴趣小组用一根质地均匀的木杆和一些相同质量的重物（每个重物的质量均为）进行如下实验： ①在木杆中点（支点）处拴绳，将木杆吊起，两端各挂一个重物，观察是否平衡； ②木杆右端仍挂一个重物，在木杆左端逐次加挂重物，每次将左端重物整体右移至使木杆平衡，记录支点到两端挂重物处的距离． 【初步探究】 如图，在木杆右端挂一重物，支点左端挂n个重物，并使左右平衡．设木杆长为，支点在木杆中点处，左端挂重物处到支点的距离为，探究记录如下： 支点左边 支点右边 木杆状态 重物质量（g） 到支点的距离（） 重物质量（g） 到支点的距离（） 5 30 5 30 平衡 10 15 5 30 平衡 15 10 5 30 平衡 20 a 5 30 平衡 b 6 5 30 平衡 (1)请你通过实验发现的规律补全实验记录：______，______； (2)把n作为已知数，列出关于x的一元一次方程：______． (3)【深入探究】 小明把相同质量的重物全部换成了每个质量为的重物再次进行实验，此时支点右端悬挂一个重物且与支点的距离为，左端悬挂4个重物，并移动至左右平衡，求此时左端重物到支点的距离． 1．（25-26七年级上·安徽合肥·月考）已知关于的两个一元一次方程与的解互为相反数，则的绝对值为（    ） A．－26 B．26 C．14 D．－14 2．（25-26七年级上·安徽淮北·月考）已知关于的方程有整数解，且是整数，则所有满足条件的值的和为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（25-26七年级上·安徽淮南·月考）如图，表中给出的是2026年元月的日历，任意选取“H”形框中的7个数（如阴影部分所示），那么在本月日历中这7个数的和可能是（   ）． A．70 B．77 C．84 D．210 4．（25-26七年级上·安徽淮南·月考）《九章算术》中记载了这样一个数学问题，其大意为：甲从长安出发，5日到齐国；乙从齐国出发，7日到长安．现乙先出发2日，甲才从长安出发，问乙出发几日后甲乙相逢？设乙出发x日后甲乙相逢，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·安徽合肥·月考）如图，数轴上有A，B，C，D四个整数点（即各点均表示整数），且，若A，D两点所表示的数分别是和3，则线段的三等分点所表示的数是（　　） A． ， B．， C． ， D．， 6．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）已知：关于x的方程与有相同的解，则 ． 7．（25-26七年级上·四川成都·期中）已知关于x的方程的解是整数，则满足条件的所有整数m的和为 ． 8．（25-26七年级上·安徽淮北·月考）把几个数用大括号括起来，中间用逗号隔开，如，我们称之为集合，其中的数称为集合的元素．一个集合中没有相同的元素．如果一个集合中有一个元素，且也是这个集合的元素，那么这样的集合我们称之为“距离集合”．例如，集合，因为当时，，而1恰好是这个集合的元素，所以是一个“距离集合”． （1）集合 （填“是”或“不是”）“距离集合”． （2）已知集合是“距离集合”，且是整数，则所有符合条件的的值为 ． 9．（25-26七年级上·安徽阜阳·月考）为了鼓励市民节约用水，某市采用分档计费的方式计算水费．下表是家庭人口不超过人时户年用水量及分档计费标准：计费规则为按用量区间分段累加收费，即用水量的部分按第一档单价计费，的部分按第二档单价计费，的部分按第三档单价计费． 计费档 户年用水量 单价/（元/） 第一档 第二档 第三档 （）某户一年用水量是，该户这一年的水费为 元； （）某户去年一年的水费是元，求该户去年一年的用水量为 ． 10．（25-26七年级上·安徽宿州·月考）九宫格是一款数学游戏，起源于河图洛书．如下表，将九个数分别填入九宫格内，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等．若，，，，分别表示其中的一个数．解决下列问题： （1）的值为 ； （2）的值为 ． 0 3 1 11．（25-26七年级上·安徽滁州·期中）如图，分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为80． （1）点和点之间的距离为 ； （2）若点从点出发，以2个单位／秒的速度向左运动，同时另一点恰好从点出发，以3个单位／秒的速度向右运动，当两点在数轴上相距15个单位时，运动时间为 秒． 12．（25-26七年级上·安徽合肥·月考）解方程： (1)； (2)． 13．（25-26七年级上·安徽淮南·月考）已知是关于x的一元一次方程． (1)求m的值． (2)若上述方程的解比方程的解小3，求k的值． 14．（25-26七年级上·安徽宿州·月考）企业对某品牌养生糁汤开展优惠活动，每箱养生糁汤定价160元，每袋调味料包定价20元，优惠方案有以下两种： 方案一：买一箱养生糁汤送一袋调味料包； 方案二：养生糁汤和调味料包都按定价打九折． 现某客户需要购买养生糁汤30箱，调味料包袋． (1)若该客户按方案一购买，需付款________元（用含的式子表示）；若该客户按方案二购买，需付款________元（用含x的式子表示）． (2)当时，通过计算说明选择哪种方案更优惠？ (3)试求当取何值时，不论采用哪种方案购买，所需费用都是相等的． 15．（25-26七年级上·安徽铜陵·期中）如图，已知在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，且． (1)点，点表示的数分别是 ； (2)若点是数轴上一动点，其表示的数为利用绝对值的几何意义，探索的最小值为 ； (3)若点，点同时沿数轴向正方向运动，点运动的速度为个单位长度秒，点运动的速度为个单位长度秒，若运动的过程中，当点、之间相距个单位长度时，求运动时间的值． 16．（25-26七年级上·安徽安庆·月考）如图，将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示，点表示，我们称点和点在数轴上相距个长度单位．动点从点出发，以单位秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点从点出发，以单位秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．点运动到点时停止，此时点也随之停止．设运动的时间为秒．问： (1)动点从点运动至点需要多少时间？ (2)、两点相遇时，求出相遇点所对应的数是多少； (3)求当为何值时，、两点在数轴上相距的长度与、两点在数轴上相距的长度相等． 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $