精品解析：湖南省衡阳市第九中学2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题

2025年下第二次月作业调研八年级数学 一、选择题（共10小题） 1. 在（相邻两个1之间0的个数依次加1），中，无理数有（ ）个． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）等． 【详解】解：，， 在，，，（相邻两个1之间0的个数依次加1），，，中，无理数有，（相邻两个1之间0的个数依次加1），，，共4个． 故选：C． 2. 在中，下列条件中，不能判是直角三角形的是（ ） A. B. C. ，， D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的定义及勾股定理的逆定理，熟练掌握“当三角形的三边长满足，那么这个三角形是直角三角形”是解题的关键．利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐选项判断即可． 【详解】A．设，，， ，， ， 是直角三角形，故选项A不符合题意； B．， ，， 又， ， ， 是直角三角形，故选项B不符合题意； C．，，，， 不是直角三角形，故选项C符合题意； D．，， ， 是直角三角形，故选项D不符合题意； 故选：C． 3. 若，则a、b的值分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是整式的乘法运算，熟练的利用多项式乘以多项式的法则进行运算是解本题的关键．先按照多项式乘以多项式的法则进行计算，再利用多项式的恒等进行比较即可． 【详解】解：∵， ∴，． 故选：B． 4. 如图，点E，点F在直线上，，，下列条件中不能判断的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在与中，，，所以结合全等三角形的判定方法分别分析四个选项即可． 【详解】解：∵， ∴， A、添加，可得到，由全等三角形的判定定理可以判定，故本选项不合题意． B、添加，可得到，不能判定，故本选项符合题意． C、添加，由全等三角形的判定定理可以判定，故本选项不合题意． D、添加，由全等三角形的判定定理可以判定，故本选项不合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、． 注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 5. 若代数式可化为，则b－a的值（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据完全平方公式得出−2ax＝−6x，，求出a、b的值，再代入求出即可． 【详解】解：∵代数式可化为， ∴−2ax＝−6x，， ∴a＝3，b＝9， ∴b−a＝9−3＝6， 故选：D． 【点睛】本题考查了因式分解和完全平方公式，能熟记完全平方公式是解此题的关键． 6. 下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A. 全等三角形的对应角相等 B. 如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等 C. 如果直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为，那么 D. 如果两个实数都是正数，那么它们的积是正数 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了真假命题和逆命题，熟练掌握相关知识是解题的关键． 将原命题的条件和结论互换得到逆命题，再判断每个选项的逆命题的真假即可． 【详解】解：选项A的逆命题是如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形全等，假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等； 选项B的逆命题是如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等，假命题，例如3和绝对值相等但不相等； 选项C的逆命题是如果三角形的三条边长满足，那么这个三角形是直角三角形，这是勾股定理的逆定理，真命题； 选项D的逆命题是如果两个实数的积是正数，那么这两个实数都是正数，假命题，例如两个负数的积也是正数但实数不是正数； 只有选项C的逆命题是真命题， 故选：C 7. 如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三顶点的距离相等，凉亭的位置应选在（ ） A. 的三条中线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三条高所在直线的交点 D. 三边的中垂线的交点 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，根据线段垂直平分线的判定：与线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上即可确定凉亭位置，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵凉亭到草坪三个顶点的距离相等， ∴凉亭选择三条边的垂直平分线的交点，即凉亭选择三条边的中垂线的交点， 故选：． 8. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab＝6，大正方形的面积为16，则小正方形的面积为（　　） A. 8 B. 6 C. 4 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理可得，利用整体代入的思想求出（a−b）2的值即可． 【详解】解：根据勾股定理得：，且ab＝6， ∴小正方形的面积＝（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝16﹣12＝4， 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理并能准确对代数式进行变形、求值． 9. 如图，在中，，的角平分线交于点，交于点，于点，，，则的长为（ ） A. 5 B. 7 C. 9 D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理，解题关键是学会利用数形结合的思想，熟练运用所学知识答题． 根据角平分线的性质得到，由平行线的性质得，则为等腰三角形，因此，再根据勾股定理得，最后由即可求解． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴． 故选：C． 10. 如图，已知是等边三角形，点分别在边、上，、交于点，．为的角平分线，点在的延长线上，，连接、．①；②；③；④；其中说法正确的是（ ） A. ①②④ B. ①③④ C. ②④ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． 证明，从而得出，即可判断①；作交的延长线于，作于，可证明，得到，，，即可证明得到，从而得出是等边三角形，即可判断②；由，若，则，从而，这与相矛盾，即可判断③；根据④，，，即可判断④． 【详解】解：①是等边三角形， ，， ，， ， 在和中， ， ， ，故①正确，符合题意； ②如图，作交的延长线于，作于， ， ， ， 为的角平分线， ， ， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ，，， ， 由①知， ， ， ， ，即， 在和中， ， ， ，， ，即， 是等边三角形， ，故②正确，符合题意； ③由②知，， 若，则，从而，这与相矛盾，故③错误，不符合题意； ④，， ， 即， ， ，故④正确，符合题意； 综上所述，正确的有①②④， 故选：A． 二、填空题（共8小题） 11. 把因式分解的结果是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，直接提取公因数3即可因式分解． 【详解】解： ， 故答案为 12. ，，则的值为______． 【答案】 6 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法的逆运算法则将所求式子变形，再代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 13. 若与的乘积中不含的一次项，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键，利用多项式乘以多项式法则计算，由结果不含x的一次项确定出m的值即可． 【详解】解： ， ∵与的乘积中不含的一次项， ∴ 解得：， 故答案为：． 14. 如图所示的是一个圆柱，底面圆的周长是，高是，现在要从圆柱上点沿表面把一条彩带绕到点，则彩带最短需要______． 【答案】13 【解析】 【分析】本题考查了平面展开−最短路线问题和勾股定理的应用，关键是知道求出的长就是蚂蚁在圆柱表面从A点爬到B点的最短路程．过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连接，则的长是蚂蚁在圆柱表面从A点爬到B点的最短路程，求出和的长，根据勾股定理求出斜边即可． 【详解】解：如图所示： 沿过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连接， 则的长是蚂蚁在圆柱表面从A点爬到B点的最短路程， ，，， 由勾股定理得：． 故答案为：13． 15. 如图，中，平分交于点 D，，，则的长为_______________________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，等腰三角形的判定． 根据角平分线得到，再由平行线的性质得到，然后等量代换，再由等角对等边即可求解． 【详解】解：∵平分交于点 D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6． 16. 如图，在中，，沿直线翻折，使得点与点重合，若，则的度数是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质、三角形内角和定理、等边对等角，由三角形内角和定理求出，由折叠的性质可得，再由等边对等角可得，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵沿直线翻折，使得点A与点B重合， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 17. 如图，在梯形中，，，点为边上一点，连结、，已知，，，，那么的长为______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查勾股定理.设，则，利用勾股定理可得，，则，而，即可建立方程求解. 【详解】解：如图所示，过B作于F点，设， 由题意得，，，，， ∴，四边形为矩形 ∴， ∴ 在中， 在中， 在中， 在中， ∴ 解得 ∴. 故答案为：5. 18. 如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M、N、P分别是边AB、AC、BC上的动点，连接PM、PN和MN，则PM+PN+MN的最小值是 _____． 【答案】 【解析】 【分析】如图，作点P关于AB，AC的对称点E，F，连接．首先证明E，A，F共线，则，推出EF的值最小时，的值最小，求出PA的最小值，可得结论． 【详解】如图，作点P关于AB，AC的对称点E，F，连接PE，PF，PA，EM，FN，AE，AF． ∵∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3， ∴BC＝＝＝5， 由对称的性质可知，AE＝AP＝AF，∠BAP＝∠BAE，∠CAP＝∠CAF， ∵∠PAB+∠PAC＝∠BAC＝90°， ∴∠EAF＝180°， ∴E，A，F共线， ∵ME＝MP，NF＝NP， ∴PM+MN+PN＝EM+MN+NF， ∵EM+MN+NF≥EF， ∴EF的值最小时，PM+MN+PN的值最小， ∵EF＝2PA， ∴当PA⊥BC时，PA的值最小，此时PA＝＝， ∴PM+MN+PN≤， ∴PM+MN+PN的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称最短问题，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用轴对称添加辅助线，把问题转化为两点之间线段最短． 三、解答题（共8小题） 19. 计算：． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，负整数指数幂和零指数幂等知识点，正确计算是解题的关键． 分别计算有理数的乘方，绝对值，算术平方根，零指数幂和负整数指数幂，再进行有理数的混合运算． 【详解】解： ． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】；8 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，利用平方差公式和完全平方公式先去中括号内的小括号，然后合并同类项，再根据整式的除法法则将原式化简后代入数值计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 21. 如图，已知、、、在同一条直线上，，，，与交于点． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 即， ∵， ∴， 在和中， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形内角和定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． （1）由得，根据平行线的性质求出，然后根据可证明； （2）根据全等三角形的性质求出，由三角形内角和定理可得，根据平行线的性质可求的度数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 22. 如图1是某超市的购物车，如图2为其侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，滚轮半径． （1）判断支架与的位置关系，并说明理由． （2）若购物车上篮子的左边缘与点的距离，，且，和都与地面平行，求购物车上篮子的左边缘到地面的距离． 【答案】（1） ，理由如下 ，， ∵， ∴ ∴是直角三角形； 即； （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理、三角形面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据勾股定理逆定理计算即可得解； （2）运用勾股定理可得，过点作于点，运用等面积法求得，即可求解． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 解：， ∴， 如图所示，过点作于点， 由（1）得，是直角三角形， ∴， ∴， ∴购物车上篮子的左边缘到地面的距离为． 23. 图是一个长为，宽为的长方形，用剪刀沿图中虚线剪开，把它平均分成形状和大小都一样的四块小长方形，然后按图那样拼成一个正方形． （1）观察图，发现有两种不同的方法表示图中阴影部分的面积，得到等量关系为：__________；（填选项） ． ． ． ． （2）利用（）中的等量关系解决下面的问题： ① ，求； ②如图，在线段上取一点，分别以为边作正方形、正方形，连接．设，若的面积为，长为，求阴影部分的面积． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（）用两种不同的方法表示出阴影部分的面积即可求解； （）①利用（）所得等量关系计算即可求解；②由题意得，即可得，，再利用（）所得等量关系可得，进而根据解答即可求解； 本题考查了完全平方公式与几何图形，完全平方公式的变形运算及运用，正确识图是解题的关键． 【小问1详解】 解：阴影部分的面积可看作大正方形的面积减去四个长方形的面积，即； 阴影部分是一个边长为的正方形，所以阴影部分的面积又可以表示为， ∴得到等量关系为， 故选：； 【小问2详解】 解：①∵，， ∴； ②∵四边形为正方形， ∴， ∵，的面积为， ∴，， ∴， ∴ ， ∴， ∴ ， 答：阴影部分的面积为． 24. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝Rt∠，AC＝8，AB＝10，动点D从点A出发，沿线段AB以每秒2个单位的速度向B运动，过点D作DF⊥AB交BC所在的直线于点F，连结AF，CD．设点D运动时间为t秒． （1）BC的长为　 　； （2）当t＝2时，求△ADC的面积． （3）当△ABF是等腰三角形时，求t的值． 【答案】（1）6；（2）；（3）或或2 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理计算即可； （2）过点C作CH⊥AB于H，根据等面积法计算即可； （3）根据等腰三角形的性质分类讨论即可； 【详解】解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10， 由勾股定理得：BC＝， 故答案为：6； （2）如图1，过点C作CH⊥AB于H， S△ABC＝AC•BC＝AB•CH， 则×8×6＝×10×CH， 解得：CH＝， 当t＝2时，AD＝2×2＝4， 则S△ADC＝×4×＝； （3）当FA＝FB时，DF⊥AB， ∴AD＝AB＝×10＝5， ∴t＝5÷2＝； 当AF＝AB＝10时，∠ACB＝90°， 则BF＝2BC＝12， ∴AB•DF＝BF•AC，即×10×DF＝×12×8， 解得：DF＝， 由勾股定理得：AD＝， ∴t＝÷2＝； 当BF＝AB＝10时， ∵BF＝10，BC＝6， ∴CF＝BF﹣BC＝10﹣6＝4， 由勾股定理得：AF＝， ∵BF＝BA，FD⊥AB，AC⊥BF， ∴DF＝AC＝8， ∴AD＝， ∴t＝4÷2＝2； 综上所述，△ABF是等腰三角形时，t的值为或或2． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用和等腰三角形的性质，准确计算是解题的关键． 25. 定义：为正整数，若，则称为“完美勾股数”，为的“伴侣勾股数”．如，则25是“完美勾股数”，7，24是25的”伴侣勾股数”． （1）木工师傅要制作一个直角三角形支架，要求三边长均为正整数，且斜边长为，则两条直角边的长度分别是___________cm和___________cm； （2）已知的三边满足．求证：是“完美勾股数”； （3）已知且为“完美勾股数”，为的“伴侣勾股数”．多项式有一个因式，求的值． 【答案】（1）5， 12 （2） 证明：∵， ∴， 即， ∴， 解得． ∵，即， ∴c是“完美勾股数”； （3）3 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股数问题，完全平方公式的应用，多项式乘以多项式，因式分解等，熟练掌握相关内容是解题的关键． （1）根据勾股数可知，即可得出答案； （2）将原等式根据完全平方公式整理得，再根据新定义解答即可； （3）根据新定义可得，再根据多项式乘以多项式可得，然后根据法则计算整理，最后根据系数相等得出答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴斜边为，两条直角边的长度分别是和； 故答案为：5,12； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵a，b为c的“伴侣勾股数”， ∴， ∴， ∴， 则． ∵， ∴． ∵多项式有一个因式， 设， ∴， 则， 解得． 26. （1）如图①，已知，以、为边向外分别作等边和等边，连接．试探究与的数量关系，并说明理由． 问题探究： （2）如图②，四边形中，，，，．求的长． 问题解决： （3）如图③，中，，是一个变化的角，以为边向外作等边，连接，试探究，随着的变化，的长是否存在最大值？若存在，求出长的最大值及此时的大小；若不存在，请说明理由． 【答案】 （1）（1）． 理由：∵，都是等边三角形， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴； （2）；（3）存在，的最大值为13，此时． 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质，求出，证明，可得结论； （2）如图②中，以为边向外作等腰直角，证明，推出，利用勾股定理求出即可； （3）存在，如图③中，以为边向外作等边，连接，证明，推出，可得结论． 【详解】解：略． （2）如图②中，以为边向外作等腰直角，，连接． ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴； （3）存在．如图③中，以为边向外作等边，连接． ∵，都是等边三角形， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴当A，C，F共线时，的值最大，最大值为， ∴的最大值为，此时． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年下第二次月作业调研八年级数学 一、选择题（共10小题） 1. 在（相邻两个1之间0的个数依次加1），中，无理数有（ ）个． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 在中，下列条件中，不能判是直角三角形的是（ ） A. B. C. ，， D. 3. 若，则a、b的值分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 如图，点E，点F在直线上，，，下列条件中不能判断的是（ ） A. B. C. D. 5. 若代数式可化为，则b－a的值（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A. 全等三角形的对应角相等 B. 如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等 C. 如果直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为，那么 D. 如果两个实数都是正数，那么它们的积是正数 7. 如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三顶点的距离相等，凉亭的位置应选在（ ） A. 的三条中线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三条高所在直线的交点 D. 三边的中垂线的交点 8. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab＝6，大正方形的面积为16，则小正方形的面积为（　　） A. 8 B. 6 C. 4 D. 3 9. 如图，在中，，的角平分线交于点，交于点，于点，，，则的长为（ ） A. 5 B. 7 C. 9 D. 11 10. 如图，已知是等边三角形，点分别在边、上，、交于点，．为的角平分线，点在的延长线上，，连接、．①；②；③；④；其中说法正确的是（ ） A. ①②④ B. ①③④ C. ②④ D. ①②③④ 二、填空题（共8小题） 11. 把因式分解的结果是___________． 12. ，，则的值为______． 13. 若与的乘积中不含的一次项，则的值为___________． 14. 如图所示的是一个圆柱，底面圆的周长是，高是，现在要从圆柱上点沿表面把一条彩带绕到点，则彩带最短需要______． 15. 如图，中，平分交于点 D，，，则的长为_______________________． 16. 如图，在中，，沿直线翻折，使得点与点重合，若，则的度数是___________． 17. 如图，在梯形中，，，点为边上一点，连结、，已知，，，，那么的长为______． 18. 如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M、N、P分别是边AB、AC、BC上的动点，连接PM、PN和MN，则PM+PN+MN的最小值是 _____． 三、解答题（共8小题） 19. 计算：． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 如图，已知、、、在同一条直线上，，，，与交于点． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 22. 如图1是某超市的购物车，如图2为其侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，滚轮半径． （1）判断支架与的位置关系，并说明理由． （2）若购物车上篮子的左边缘与点的距离，，且，和都与地面平行，求购物车上篮子的左边缘到地面的距离． 23. 图是一个长为，宽为的长方形，用剪刀沿图中虚线剪开，把它平均分成形状和大小都一样的四块小长方形，然后按图那样拼成一个正方形． （1）观察图，发现有两种不同的方法表示图中阴影部分的面积，得到等量关系为：__________；（填选项） ． ． ． ． （2）利用（）中的等量关系解决下面的问题： ① ，求； ②如图，在线段上取一点，分别以为边作正方形、正方形，连接．设，若的面积为，长为，求阴影部分的面积． 24. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝Rt∠，AC＝8，AB＝10，动点D从点A出发，沿线段AB以每秒2个单位的速度向B运动，过点D作DF⊥AB交BC所在的直线于点F，连结AF，CD．设点D运动时间为t秒． （1）BC的长为　 　； （2）当t＝2时，求△ADC的面积． （3）当△ABF是等腰三角形时，求t的值． 25. 定义：为正整数，若，则称为“完美勾股数”，为的“伴侣勾股数”．如，则25是“完美勾股数”，7，24是25的”伴侣勾股数”． （1）木工师傅要制作一个直角三角形支架，要求三边长均为正整数，且斜边长为，则两条直角边的长度分别是___________cm和___________cm； （2）已知的三边满足．求证：是“完美勾股数”； （3）已知且为“完美勾股数”，为的“伴侣勾股数”．多项式有一个因式，求的值． 26. （1）如图①，已知，以、为边向外分别作等边和等边，连接．试探究与的数量关系，并说明理由． 问题探究： （2）如图②，四边形中，，，，．求的长． 问题解决： （3）如图③，中，，是一个变化的角，以为边向外作等边，连接，试探究，随着的变化，的长是否存在最大值？若存在，求出长的最大值及此时的大小；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $