期末学情评估-【探究在线】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂导学案（湘教版·新教材）

期末学情评估 (时间：120分钟满分：120分) 选择题（每小题3分，共30分） 1.下列方程中，是一元二次方程的是 A.x-3=1 B.x3-x2=1 C.xy=0 D.7-3x=x 2.数学课上，老师给出二次函数的四幅图象，根据二次函数的 图象与性质可知，下列图象可能是二次函数y=ax2十 2ax十c(a≠0，a,c是常数)的图象的是 密 3.在以点O为原点的直角坐标平面内，有一点A(3,4),射线 OA与x轴正半轴的夹角为a,那么cosa的值为 () 如 A B c D 封 4.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标 原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA'BC'与 矩形OABC关于点O位似，且矩形OA'B'C的面积是矩形 OABC的面积的，那么点B'的坐标是 A.(3,2) B.(-2,-3) C.(2,3)或(-2，-3) D.(3,2)或(-3，-2) 线 0 第4题图 第5题图 5.(中考·青岛)将二次函数y=x2一2x一3的图象在x轴下 方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方，得到如图所示 的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是 () A.图象与y轴的交点坐标是(0，一3) B.当x=1时，函数取得最大值 串串串 C.图象与x轴两个交点之间的距离为4 D.当x>1时，y的值随x值的增大而增大 6.关于x的一元二次方程x2十(k一3)x十1一k=0根的情况， 下列说法正确的是 ( ) A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根 C.无实数根 D.无法确定 7.为传递正能量，在中考百日誓师大会上，九年级各班决定互 送励志祝福.若规定每个班要给本年级其他所有班级各送 1条祝福，且所有班级送出的祝福总数是132条，则九年级 的班级数为 () A.11 B.12 C.13 D.14 8.(中考·绥化)如图，二次函数y=ax2十bx十c与x轴交于 点A(3,0),B(一1,0)，与y轴交于点C(0,m),其中-4<m <一3.则下列结论： ①a-c>0;②方程ax2+bx十c-5=0没有实数根：③- 8 <b-2:®>0 其中错误的有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 y B -3-2-10 2 B x -5 第8题图 第9题图 第10题图 9.(中考·丽水)如图，已知菱形ABCD的边长为4，点E是 BC的中点，AF平分∠EAD交CD于点F,FG∥AD交 AE于点G,若c0sB=是，则FG的长是 () A.3 B子 C.2⑤ 3 10.如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，AE与BD 交于点P,F是CD上一点，连接AF分别交BD,DE于点 M,N,且AF⊥DE,连接PN,则以下结论：①点F是CD 的中点；②S△ABM=4S△DM;③tan∠EAF=0.75;④△PMN Cp△DPE.其中正确的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 一探究在线·九年级数学（上）·XJ一 二、填空题（每小题3分，共24分） 11.已知关于x的一元二次方程x2+5x一m=0的一个根是2，则 m的值为 12.（中考·上海)将函数y=3x2的图象向下平移2个单位长 度后得到的新函数的表达式为 13.若∠A是锐角，且cosA=3,则sinA= 14.如图，已知AC,BD相交于点O,若补充一个条件后，便可 得到△AOB∽△DOC,则要补充的条件可以是 B Aam 第14题图 第16题图 第17题图 15.已知a,b是方程x2一x-1=0的两根，则代数式a2+ b+1的值是 16.如图，点D是△ABC的边BC的中点，且∠CAD=∠B, 若△ABC的周长为5，则△ACD的周长为 17.一个长方体木箱沿坡度i=1:√3（即∠BAF=30)的坡面下 滑，当木箱滑至如图的位置时，AB=3m,已知木箱的高BE =√3m,则木箱端点E距地面AC的高度EF为m. 18.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2十bx十1 (a,b为常数且a≠0)，已知2a2十b=0,A(c1,y1)和B(3a, y2)是抛物线上的两点，对于2≤x1≤6有y1<y2,则a 的取值范围是 三、解答题（共66分） 19.(6分)（长沙模拟）计算： (-1)2o26-|-2|+√2sin45°-(cos45°-√3)°. 11 20.(6分)（永州期末）解方程： (1)3x2-4x=2x; (2)x2-7x+11=0. 21.(8分)（株洲期中）如图，四边形ABCD是某校一块学农基 地，其中△ABD是蔬菜园，△CDB是水果园，已知AB∥ CD,AB=40 m,BD=60 m,CD=90 m. (1)求证：△ABD∽△BDC; (2)若蔬菜园△ABD的面积为800m,求水果园△CDB 的面积. D 22.(8分)（长沙一模）我国生产的无人机畅销世界，在长沙某 跨江大桥修建过程中，需要测量湘江某段河面宽度MN, 工作人员操控无人机在P处测得M,N两处的俯角分别 为α=45°，B=30°，测得无人机高于水平地面的高度PQ为 300米，且Q,M,N三点在同一条水平直线上，求这条河的 宽度MN为多少米？（参考数据：w3≈1.73，结果保留整数) A M 12 23.(9分)如图，某城建部门计划在新修的城市广场的一块长 方形空地上修建一个面积为1200m2的停车场，将停车场 四周余下的空地修建成同样宽的通道，已知长方形空地的 长为50m、宽为40m. (1)求通道的宽度； (2)某公司希望用80万元的承包金额承揽修建广场的工 程，城建部门认为金额太高需要降价，通过两次协商，最终 以51.2万元达成一致，若两次降价的百分率相同，求每次 降价的百分率. 通道 24.(9分)随着乡村振兴战略的不断推进，为了让自己的土地 实现更大价值，某农户在屋侧的菜地上搭建一抛物线形蔬 菜大棚，其中一端固定在离地面1米的墙体点A处，另一 端固定在离墙体5米的地面点B处，现以地面和墙体为 x轴和y轴建立平面直角坐标系，已知大棚的高度y(米) 与地面水平距离x(米)之间的关系式用y=ax2十bx十1 表示.将大棚正面抽象成如图所示图形，已知抛物线对称 轴为直线x=2,结合信息回答下列问题： (1)抛物线的表达式为 (2)该农户准备在抛物线上点C(不与点A,B重合)处，安 装一直角形钢架ECD对大棚进行加固（点D在x轴上， 点E在OA上，且CE∥x轴，CD∥y轴)，若忽略接口处的 材料损耗，使钢架ECD总长度EC与CD之和最大，该农 户需要准备多少米钢材？ E 0 DB 一探究在线·九年级数学（上）·XJ一 25.(10分)（中考·宁夏）如图，抛物线y=ax2一2x十3与x轴 负半轴交于点A,与y轴交于点B,顶点C的横坐标为一1. (1)抛物线的表达式为 (2)如图①，将直线AB沿y轴向上平移m(m>0)个单位 长度，当它与抛物线有交点时，求的取值范围； (3)如图②，抛物线的对称轴交直线AB于点D,交x轴于 点E,连接AC.抛物线上是否存在点P(不与点C重合)， 使得S△PAD=S△cMD.若存在，直接写出点P的横坐标；若 不存在，说明理由. 图① 图② 26.(10分)如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，B,C,E 三点在同一直线上，连接BD,AD,BD交AC于点F. (1)若AD=DF·DB,求证：AD=BF; (2)若∠BAD=90°，BE=6. ①求tan∠DBE的值；②求DF的长.PA=2PC,∴.PA=2BE .|2m+11=|m2+2m, .∠APD=∠BED=90°，∠ADP=∠BDE, ①当2m+1=m2+2m时，解得m=1或m=-1, ∴.△PAD∽△EBD. .AD=PA=2.:.AD=2BD. :m≤4m=1舍去，m=-1符合； 'BD BE ②当2m+1=-(m2+2m)时，解得m=-2士√3， 第3章学情评估 1.D2.C3.C4.D5.B6.A7.C8.B9.C :-2+5<,-2-5<,均符合条件， 10.C11.512.113.314.615.-2或-1216.10 综上，m的值为-1或-2十√3或-2一√5. 17.5518.3 2 26.(1)设3月份再生纸产量为x吨，则4月份的再生纸产量 19.(1)x=1,x=3.(2)=2,x=-3 为(2x100)吨， 20.(2=11 m+1 m ÷m2m 由题意，得x+(2x一100)=800，解得x=300, .2x-100=500. m2+2m+1 答：4月份再生纸的产量为500吨， =2m-m-1 .(m+1)2 m(m+1) m(m-1) (2)由题意，得50(1+m%)·100(1+受%）=66000， m-1 (m+1)2 解得m%=20%或m%=-3.2(不合题意，舍去)， m(m+1)m(m-1) ∴.m=20,.m的值为20. m+1 (3)设4至6月份每吨再生纸利润的月平均增长率为y, 72 5月份再生纸的产量为a吨， ,m是方程x2一x一1=0的一个根，.m2一m一1=0， 1200(1+y)2·a(1+y)=(1+25%)X1200(1+y)·a, 州0+1原式-1 .1200(1+y)2=1500. 答：6月份每吨再生纸的利润是1500元. 21.(1)解方程x十1 =3,得x=2 第4章学情评估 x-1 1.D2.B3.C4.D5.A6.D7.A8.C9.B 经检验，x=2是+-3的解。 10.B11.312.y=-(x+2)2+713.<14.13 x-1 15.x=1或x=316.y=3(x-2)2+117.121 将x=2代人方程x2十kx一2=0，得4十2k一2=0， 18.平行四边形一1 解得k=一1. (2)将=-1代入方程x2+kx-2=0,得x2-x-2=0, 19.()二次函数y=一号(z+1)”+3的图象的顶点坐标为 解这个方程，得x1=2,x2=一1. (一1,3)，把点（一1,3）先向右平移2个单位长度，再向 .方程的另一个根为一1. 下平移4个单位长度得到点的坐标为(1，一1)， 22.(1):一元二次方程x2一2x十k十2=0有两个实数根， .△=(-2)2-4×1X(k十2)≥0，解得≤-1. “原二次函数的表达式为y=-2(x-1)2-1. (2)存在.理由如下： :,x是一元二次方程x2一2x十k十2=0的两个实数根， ∴a=-2h=1,k=-1. x十x2=2,x1x2=k+2. :1+1=k-2,…西+= 2 (2)由(1)可知，二次函数y=a(x一h)2+k,即y=一2（x x1 x2 西2gb+2=k-2. -1)2-1, ∴.2-6=0，解得1=一√6,2=√6， ,.二次函数的图象开口向下，对称轴为直线x=1,顶点 经检验，k1=一√6，k2=√6均为上述方程的解。 坐标为(1，一1). 又≤一1，∴.k=一√6 20.(1)下直线x=1 (2)把(-1,0)，(0,3)，(2,3)代入y=ax2+bx+c,得 “存在实数，使得等式十1=-2成立，k的值为一6. 抛物线的表达式为y=一x2十2x十3. 23.(1)小静的解法是从第⑤步开始出现错误的.正确解法如下： 当x=一2时，m= -(-2)2-2×2+3=-4-4+3=-5: x2+2x-8=0,.x2+2x=8,.x2+2x+1=8+1, 当x=1时，n=-12+2×1十3=-1+2+3=4. 即(x十1)2=9，则x十1=±3， ∴.|m-n=-5-4|=9. ∴.x=-1±3，x1=2,x2= -4. 21.(1)证明：.b-4ac=[2(m-1)]2一4X(一1)×(m+1) (2)x2+2nx-8n2=0,∴.x2+2nx=8n2, =(2m一1)2十7>0，∴.抛物线与x轴总有两个不同的交点. .x2+2nx+n2=8n2+n2,.(x十n)2=9n2 (2)设A(x1,0),B(x2,0),则x1>0,x2<0, .x十n=士3n,'.x1=2n,x2=一4n. ,.x1x2=-(m十1)<0..m>-1. 24.①当蚂蚁甲在AO段时，设t(0≤t25)s后，两只蚂蚁与 22.(1)由题意，得y=50-2(x-25)=-2x+100(x≥25). (2)设当柑橘的销售单价为x元时，该商店销售柑橘每天 0点组成的三角形的面积是450cm2,根据题意，得号(50 获得的利润为w元，由题意，得w=(100-2x)(x-20) -2t)·3t=450. =-2x2+140x-2000=-2(x-35)2+450, 整理，得2一25t+150=0,解得=10，t2=15. ,一2<0，.当x=35时，w有最大值，最大值为450. ②当蚂蚁甲在OB段时，设x(x>25)s后，两只蚂蚁与O ∴.柑橘的销售单价定为35元时，该商店销售柑橘每天获 得的利润最大，最大利润为450元. 点组成的三角形的面积为450cm,依题意，得7×(2x 23.(1)根据题意，得AP=2tcm,BQ=4tcm, 则BP=(12-2t)cm, 一50)X3x=450,解得x1=30,x2=-5(舍去)，即这时 蚂蚁爬了30s. .S= 2BP·BQ-=2(12-2)·4t=-4+240<K6). 答：分别在10s,15s,30s时，两只蚂蚁与O点组成的三 角形的面积为450cm2. (2)当S=20时，-4t+24t=20. 解得t1=1,t2=5.∴.t的值为1或5. 25.(1)不是(2)号或- (3)S=-4t+24t=-4(t-3)2+36, (3)方程有两个实数根 ∴.当t=3时，面积S最大，最大值为36cm2. 24.(1)由题意，得缆索L1所在抛物线的顶点P的坐标为 ,'.△=(2m+1)2-4(m2十2m)≥0， 整理，得4m2+4m+1-4m2-8m≥0，即-4m+1≥0， (50,2),点A的坐标为(0,17)， 设缆索L所在抛物线的函数表达式为y=a(x一50)2+2， 解得m≤4， 把(0,17)代入，得17=a(0-50)2+2,解得a=50: 由根与系数的关系，得x1十x2=一(2m十1)，x1·x2= 3 m2+2m, 缆索L所在抛物线的函数表达式为)y一00(x-50》+2, ·方程是“和积方程”， (2).缆索L1所在抛物线与缆索L2所在抛物线关于 则x十x2|=x1·x2|, y轴对称， 即|-(2m+1)|=|m2+2m, 24 一探究在线·九年 :缆素☑所在抛物线的函数表达式为y一忌x十50+2 22.PA∥QN, ∴.∠PNQ=B=30°，∠PMQ=a=45°， “EF=2.6,把y=2.6代人，得2.6=00(x+50)2+2, 3 ..在Rt△PMQ中，QM= 300 tan∠MQ tand45 =300(米)， 解得x1=-40,x2=-60..∴.FO=40m或FO=60m. PQ tan∠NQ tans30≈300W3(米)， 300 .FO<OD,.FO的长为40m. 在Rt△PQN中，QN 25.(1)①-31②③如图. ..MN=QN-QM=300W3-300≈219（米）. 答：这条河的宽度MN约为219米。 23.(1)设通道的宽度为xm,依题意，得(50一2x)(40-2x) =1200,即x2-45x+200=0, 解得x1=5,x2=40(舍去). 3-2-10123456x 答：通道的宽度为5m. 2 (2)设每次降价的百分率为y,依题意，得80(1一y)2=51.2, 解得y1=0.2=20%,y2=1.8(舍去). 答：每次降价的百分率为20%. (2)函数的图象关于y轴对称（答案不唯一） (3)士2或0(4)一4<k<一3 24.(1)y=-号2+号x+1 26.(1)把(-1,0)和(0，-3)代入，得 1 (2>设点C(m,-号m+号m+1),L为鲷架ECD的长度， 2一b十c一0，程得b二一， c=-3, c=-3. 根据题意，得L=CE十CD=m-弓m十号n十1 小二次函数的表达式为y合产- 2x-3. m2+ 1 m-9121101 +号m+1=-号(m-号)+g. (2②)令y=0,则0=2-号x-3,解得=-1，=6， 当m=2时，= 点B的坐标为(6,0). .BC=√OB2+OC=√62+32=3√5. 所以该农户需要准备米钢材。 设直线BC的表达式为y=mx十n,将(0，一3)和(6,0)代 25.(1)y=-x2-2x+3. 入，得 (2)当y=0时，-x2-2x十3=0，即x2+2x-3=0, 1 解得x=一3或x=1(舍去)， (6+30,解得m= 故A(-3,0). (n=-3. 当x=0时，y=3,故B(0,3). ,直线BC的表达式为y= 1 x-3. 设直线AB的表达式为y=kx十b, 将点A(-3,0)与点B(0,3)代入，得b=3,k=1, 过点P作PD⊥x轴交BC于点D, .直线AB的表达式为y=x+3. 设底P的坐标为(2，合r- x-3), 5 向上平移m个单位长度后，直线表达式为y=x十3十m. 与抛物线y=一x2-2x十3联立，得-x2-2x十3=x十3 1 则点D的坐标为(x,2x一3)小 十m, 整理，得x2十3x+m=0, -3-(-8x PD=1 当抛物线与直线有交点时，△=32一4×1×m=9一4m≥0， Γ2x-3）= 2 -x2十3x. 解得m≤是又：m>0, ∴Sm=PD0B=×6(-2+3)= 3(x 9 m的取值范围为0<m≤4 3)2+27 2 (3)存在点P,其横坐标为-2或一3+或3,7 2 2 5m最大为贸PN-2整-27-95 BC 3√55 26.1E明：A0=DF.DB提-8. 期末学情评估 '∠ADF=∠BDA,∴.△ADFO△BDA, 1.D2.D3.A4.D5.C6.A7.B8.A9.B .∠ABD=∠FAD, 0.C1.1412.y=3x2-213.3 △ABC,△DCE都是等边三角形， .AB=AC,∠BAC=∠ACB=∠DCE=60°， 14.∠B=∠C(答案不唯一) ∴.∠ACD=60°，.∠ACD=∠BAF, 15.316.5巨1.318.-2<a<0或>2 .△ADC≌△BFA(ASA),.AD=BF (2)①过点D作DG⊥BE于点G. 19.原式=1-2+2×号-1=1-2+1-1=-1. .∠BAD=90°，∠BAC=60°， .∠DAC=30°， 20.(1)x1=0,x2=2. ∠ACD=60°，.∠ADC=90°， DC=2AC,∴CE=2BC, 2 21.(1)证明：，AB∥CD,AB=40m,BD=60m,CD=90m, BE=6,.CE=2,BC=4, ∠A8D-∠BDc部铝台B28号 ∴.CG=EG=1,BG=5,DG=√3， 铝腮景， ∴an∠DBE-Be-S ②在Rt△BDG中，：∠BGD=90°，DG=√3，BG=5, .△ABD∽△BDC. .BD=√DG+BG=√52+(W3)2=2√7， (2)由(I),知△ABDn△BDC,且相似比为号， '∠ABC=∠DCE=60°，'.CD∥AB: ∴.△CDFC∽△ABF, SAABD=800 m, 骠-器-器-言D2 3 ÷5Aac=是SMD=180m2. 级数学（上）·X灯一