精品解析：湖北省襄阳市樊城区襄阳普陀学校教联体2025-2026学年九年级上学期1月月考数学试题

2025-2026学年九年级数学12月月考试题 一、选择题（本大题共10小题，共30分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 下列关于数字变换的图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念对每一个选项进行判断即可． 【详解】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项符合题意； B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．解题的关键是掌握轴对称图形与中心对称图形的概念． 2. 对于二次函数的图象，下列说法中正确的是（ ） A. 有最低点，坐标是 B. 有最高点，坐标是 C. 有最高点，坐标是 D. 有最低点，坐标是 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数解析式，得出顶点坐标为，开口向下，即可求解． 【详解】解：二次函数的图象，顶点坐标为，开口向下， ∴有最高点，坐标是， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数顶点式的顶点坐标为，掌握顶点式求顶点坐标是解题的关键． 3. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用方程有两个相等的实数根，得到=0，建立关于m的方程，解答即可． 【详解】∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴=0， ∴， 解得，故C正确． 故选：C． 【点睛】此题考查利用一元二次方程的根的情况求参数，一元二次方程的根有三种情况：有两个不等的实数根时>0；当一元二次方程有两个相等的实数根时，=0；当方程没有实数根时，<0，正确掌握此三种情况是正确解题的关键． 4. 如图，在中，，，则之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，先求出，再根据相似三角形对应边成比例解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 5. 如图，在边长为1的正方形网格上有两个相似和，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，先证明，再利用相似三角形的性质可得答案． 【详解】解：∵、，，、，， ∴， ∴，而， ∴， ∴． 故选：D． 6. 如图，将绕顶点旋转得到，且点刚好落在上．若，，则等于（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查三角形外角的性质以及旋转的性质，由旋转的性质可得出，由已知条件结合三角形外角的性质求出的度数，即可得出的度数，即可得出的度数． 【详解】解：由旋转的性质可得：， ， ， ， ， ， ． 故选B． 7. 如图，两个反比例函数y1＝和y2＝在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例函数y=（k≠0）系数k的几何意义得到，然后利用进行计算即可． 【详解】解：∵PA⊥x轴于点A，交于点B， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数y=（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y=（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|． 8. 如图，AB是⊙O的直径，C，D两点在⊙O上，∠BCD＝25°，则∠AOD的度数为（　　） A. 120° B. 125° C. 130° D. 135° 【答案】C 【解析】 【分析】由∠BCD＝25°，根据圆周角定理得出∠BOD＝50°，再利用邻补角的性质即可得出∠AOD的度数． 【详解】解：∵∠BCD＝25°，， ∴∠BOD＝2∠BCD＝50°， ∴∠BCD＝180°﹣50°＝130°． 故选：C． 【点睛】本题考查圆周角定理，邻补角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 9. 函数和在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题目中的函数解析式，利用分类讨论的方法可以判断各个选项中的函数图象是否正确，从而可以解答本题． 【详解】∵反比例函数和一次函数 ∴当时，函数在第一、三象限，一次函数经过一、二、四象限，故选项A、B错误，选项D正确； 当时，函数在第二、四象限，一次函数经过一、二、三象限，故选项C错误， 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的方法解答． 10. 如图，折叠正方形的一边，使点落在上的点处，折痕交于点．若，则的长是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图，过作于，由对折可得：，，，，证明，而，可得，求解，，证明，，可得，再进一步求解即可. 【详解】解：如图，过作于， ∵正方形， ∴，，，，，， 由对折可得：，，，， ∴，而， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴； 故选：B. 【点睛】本题考查的是正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键. 二、填空题（本大题共5小题，共15分） 11. 如图，一只蚂蚁在树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个叉路口都随机选择一条路径，它获得食物的概率是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了求概率．直接根据概率公式计算，即可求解． 【详解】解：∵当蚂蚁走到第一岔路口选择右侧岔路口的概率为，当蚂蚁走到第二个岔路口选择左侧岔路口的概率为， ∴它获得食物的概率是． 故答案为：． 12. 若一元二次方程的两根为，，则二次函数的图象的对称轴是______． 【答案】直线 【解析】 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，根据题意可得二次函数的图象与x轴的两个交点坐标为，进而根据对称性求得对称轴，即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为，， ∴二次函数的图象与x轴的两个交点坐标为 ∴二次函数的图象的对称轴是直线． 故答案为：直线． 13. 已知蓄电池的电压恒定，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器，流过的电流是，那么此用电器的电阻是________． 【答案】 【解析】 【分析】设，根据函数图象得出，进而即可求解． 【详解】解：设，依题意， ∴， 当时， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键． 14. 圆锥母线长，底面圆半径，则圆锥侧面展开图的圆心角是______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了求圆锥侧面展开图的圆心角．圆锥侧面展开图的扇形的弧长等于圆锥底面的周长，利用弧长公式建立等式求解． 【详解】解：由圆锥侧面展开性质，扇形的弧长等于底面圆的周长，即． 代入，，得， 简化得． 两边除以， 得， 解得． 故答案为：． 15. 如图1， 在钝角中，， D为边上一动点(不与C点重合) ， 以点D为直角顶点，以为一条直角边作等腰直角，连结．设 若y关于x的函数图象如图2所示， 则（1）_________; （2）的面积为__________． 【答案】 ①. 5 ②. 【解析】 【分析】本题主要考查动点问题的函数图象，由函数图象判断出的长度，并画出此时的图形，利用数形结合思想解决问题是解题关键． 由图②可知，当点在点处时，取得最大值为5，即，当点在点处时，过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，由求出，根据等腰直角三角形的性质可得，，余角相等可得，证明，得到，再根据勾股定理求出，最后根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：由图②可知，当点在点处时，取得最大值为5，即， 如图，当点在点处时，过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点， 由图②可知，此时， ， 解得， 为等腰直角三角形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ． 故答案为：；． 三、解答题（本大题共9小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 解方程： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （1）使用公式法解一元二次方程； （2）通过因式分解法解方程. 【小问1详解】 解： ∵ ， ∴ ， ∴ ， 即 . 【小问2详解】 解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴  或 ， ∴  或 . 17. 关于x的一元二次方程有实数根 （1）求m的取值范围 （2）若两根为、且，求m的值 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键； （1）根据一元二次方程根的判别式可进行求解； （2）根据一元二次方程根与系数的关系可进行求解． 【小问1详解】 解：由题意得， 解得：； 【小问2详解】 解：∵方程的两个根为、， ∴，， ∵， ∴，即， 解得：， ∵， ∴． 18. 如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数（为常数，）的图象在第一象限的部分交于点． （1）求，，的值； （2）点是（）的图象上一点，轴交轴于点，轴交轴于点，若的面积小于四边形的面积，直接写出此时点的横坐标的取值范围． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，反比例系数的几何意义，解一元一次不等式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）将点代入，即可求得，将代入，即可求得的值，进而得到点的坐标，最后将点的坐标代入反比例函数的解析式即可求得的值； （2）由题意可设，所以，又的面积小于四边形的面积，所以，结合，解出的取值范围即可． 【小问1详解】 解：在上， ， ， ， 在上， ， ， 在上， ，即，，； 【小问2详解】 解：由题意可设， ， ， ， ， ． 19. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABO的三个顶点A、B、O都在格点上． （1）画出△ABO绕点O逆时针旋转90°后得到的△A1B1O三角形； （2）点B的运动路径的长； （3）求△ABO在上述旋转过程中所扫过的面积． 【答案】 （1）旋转后的图形如下图所示． （2）2π；（3）4π+4． 【解析】 【分析】（1）根据网格结构找出点A、B绕点O逆时针旋转90°后的对应点A1、B1的位置，然后顺次连接即可； （2）利用弧长公式列式计算即可得解； （3）观察图形，△ABO旋转过程中所扫过的面积等于一个扇形的面积加上一个三角形的面积列式计算即可得解． 【详解】（1） 略 (2) 点B的运动路径的长为：． （3）△ABO旋转过程中所扫过的面积． 【点睛】本题考查了作图-旋转变换；弧长的计算；扇形面积的计算等知识．难点是计算△ABO旋转过程中所扫过的面积等于一个扇形的面积加上三角形的面积． 20. 如图，在△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝AB，∠DEC＝∠B． （1）求证：△AED∽△ADC； （2）若AE＝1，EC＝3，求AB的长． 【答案】（1）证明：∵∠DEC=∠DAE+∠ADE，∠ADB=∠DAE+∠C，∠DEC=∠ADB， ∴∠ADE=∠C． 又∵∠DAE=∠CAD， ∴△AED∽△ADC． （2）2 【解析】 【分析】（1）利用三角形外角的性质及∠DEC=∠ADB可得出∠ADE=∠C，结合∠DAE=∠CAD即可证出△AED∽△ADC； （2）利用相似三角形的性质可求出AD的长，再结合AD=AB即可得出AB的长． 【详解】解：（1） 略 （2）∵△AED∽△ADC， ∴，即， ∴AD＝2或AD＝﹣2（舍去）． 又∵AD＝AB， ∴AB＝2 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）利用“两角对应相等，两三角形相似”证出△AED∽△ADC；（2）利用相似三角形的性质，求出AD的长． 21. 如图，是的外接圆，．过点作，垂足为，交于点，交于点．过点作的切线，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，求的半径． 【答案】（1）证明：∵，是的切线，即， ∴， ∴， ∴，即是等腰直角三角形， ∴； （2）的半径 【解析】 【分析】（1）根据垂直，切线的性质得到，可得是等腰直角三角形，由此即可求解； （2）根据垂径定理得到，是等腰直角三角形，由（1）得到，则，如图所示，连接，设，则，由此勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴，即是等腰直角三角形， ∴， 由（1）得， ∴， 如图所示，连接，设，则， ∴在中，， ∴， 解得，， ∴， ∴的半径． 【点睛】本题主要考查圆内接三角形的综合，掌握垂径定理，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，切线的性质等周四，数形结合分析是关键． 22. 问题背景：对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．例如：在函数中，当时，，则我们称函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点、某数学兴趣小组围绕该定义进行了如下相关探究． 探究1： （1）请判断：二次函数______“不动点函数”（填写“是”或“不是”）． 探究2： （2）对二次函数进行探究后，该小组设计了以下问题，请你解答．若抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点，求b，c满足的关系式． 探究3： （3）某种商品每件的进价为6元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出件，获得利润y元．请写出y关于x的函数表达式，判断该函数是否是“不动点函数”，并说明理由；若该函数是“不动点函数”，请联系以上情境说明该函数不动点表达的实际意义． 【答案】（1）是；（2）；（3），该函数是“不动点函数”，不动点表达的实际意义为：在这段时间内，当销售单价为 8 元或 9 元时，销售总利润与销售单价相等 【解析】 【分析】本题考查了二次函数和一元二次方程的应用．正确理解“不动点函数”的定义是解题的关键． （1）根据“不动点函数”的定义，即可判断； （2）先求得顶点坐标为，根据“不动点函数”的定义，即可得到； （3）根据题意得，，令，解方程即可求解． 【详解】解：（1）令，则，解得：或， ∴点和为该函数图象上的不动点， ∴二次函数是“不动点函数”． （2）由抛物线得， 顶点坐标为， ∵拋物线的顶点为该函数图象上的一个不动点， ； （3）根据题意得，， ， 整理得， 解得， ∴该函数是“不动点函数”，不动点表达的实际意义为：在这段时间内，当销售单价为 8 元或 9 元时，销售总利润与销售单价相等． 23. 已知的顶点在的边所在的直线上（不与重合），交直线于点交直线于点． （1）[初步探究]如图1，若点D，M，N分别在边上，且，求证：； （2）[深入探究]如图2，若点在边上，点在的延长线上，点在边上，试探究与具有什么关系？并说明理由； （3）[拓展应用]如图3，若点在的延长线上，点与点重合，点在的延长线上，且，请直接写出的长． 【答案】（1） 证明：在中，， ， ， ． ； （2） 解：． 理由如下：在中， ， ， 又， ； （3） 【解析】 【分析】（1）根据三角形外角的性质得到，结合已知利用即可证明结论； （2）根据三角形外角的性质得到，即可证明； （3）同（2）先证明，由相似三角形的性质及，求出，，再证明，得到，由，即可求出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由， ， ． 【点睛】本题考查了三角形综合问题，涉及三角形全等的判定，相似三角形的判定与性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，灵活运用三角形外角的性质和熟记判定定理是解题的关键． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交点，连接．若点是直线下方抛物线上一动点，其横坐标为． （1）求该抛物线的解析式； （2）连接交于点，当时，求点的坐标； （3）设该抛物线在点与点之间（包含点和点）的部分的最高点和最低点到轴的距离分别为，设． ①直接写出关于的函数解析式； ②当时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）点的坐标为或 （3）①；② 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法把代入，解二元一次方程组即可求解； （2）运用待定系数法求直线的解析式，如图所示，过点作轴交于点，得到，证明，得到，根据题意则有，由此解一元二次方程得到的值，代入点坐标即可求解； （3）①根据题意，得到二次函数对称轴直线，点关于对称轴的对称点，由此分类讨论，结合图形分析可得出关于的函数解析式；②根据图示即①中的计算结果进行判定即可求解． 【小问1详解】 解：抛物线与轴交于点，与轴交点， ∴， 解得，， ∴抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解：∵， ∴设直线的解析式为：， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， ∵点是直线下方抛物线上一动点，其横坐标为， ∴， 如图所示，过点作轴交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 整理得，， ∴， 解得，， 当时，，即， 当时，，即， 综上所述，当时，点的坐标为或； 【小问3详解】 解：①二次函数的图像如图所示，设顶点坐标为，点关于对称轴对称的点为， ∴对称轴直线为，即 由题意可得，，抛物线在点与点之间的部分包含点和点， ∴， 令时，， 解得，， ∴点关于对称轴对称的点的坐标为， 当时，， ∴； 当时，， ∴； 当时，， ∴； 综上所述，； ②根据题意，当时，，不符合题意，舍去； 当，； 当时，（不符合题意，舍去），； ∴当时，的取值范围为． 【点睛】本题主要考查待定系数法求解析式，二次函数图象的性质，相似三角形的判定和性质，动点与函数图象的性质等知识的综合，掌握二次函数图象的性质，相似三角形的判定和性质，数形结合思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级数学12月月考试题 一、选择题（本大题共10小题，共30分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 下列关于数字变换的图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 对于二次函数的图象，下列说法中正确的是（ ） A. 有最低点，坐标是 B. 有最高点，坐标是 C. 有最高点，坐标是 D. 有最低点，坐标是 3. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，，则之比为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在边长为1的正方形网格上有两个相似和，则的度数为（　　） A. B. C. D. 6. 如图，将绕顶点旋转得到，且点刚好落在上．若，，则等于（    ） A. B. C. D. 7. 如图，两个反比例函数y1＝和y2＝在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 6 8. 如图，AB是⊙O的直径，C，D两点在⊙O上，∠BCD＝25°，则∠AOD的度数为（　　） A. 120° B. 125° C. 130° D. 135° 9. 函数和在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，折叠正方形的一边，使点落在上的点处，折痕交于点．若，则的长是（ ） A. B. 2 C. D. 二、填空题（本大题共5小题，共15分） 11. 如图，一只蚂蚁在树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个叉路口都随机选择一条路径，它获得食物的概率是________． 12. 若一元二次方程的两根为，，则二次函数的图象的对称轴是______． 13. 已知蓄电池的电压恒定，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器，流过的电流是，那么此用电器的电阻是________． 14. 圆锥母线长，底面圆半径，则圆锥侧面展开图的圆心角是______． 15. 如图1， 在钝角中，， D为边上一动点(不与C点重合) ， 以点D为直角顶点，以为一条直角边作等腰直角，连结．设 若y关于x的函数图象如图2所示， 则（1）_________; （2）的面积为__________． 三、解答题（本大题共9小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 解方程： （1）； （2） 17. 关于x的一元二次方程有实数根 （1）求m的取值范围 （2）若两根为、且，求m的值 18. 如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数（为常数，）的图象在第一象限的部分交于点． （1）求，，的值； （2）点是（）的图象上一点，轴交轴于点，轴交轴于点，若的面积小于四边形的面积，直接写出此时点的横坐标的取值范围． 19. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABO的三个顶点A、B、O都在格点上． （1）画出△ABO绕点O逆时针旋转90°后得到的△A1B1O三角形； （2）点B的运动路径的长； （3）求△ABO在上述旋转过程中所扫过的面积． 20. 如图，在△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝AB，∠DEC＝∠B． （1）求证：△AED∽△ADC； （2）若AE＝1，EC＝3，求AB的长． 21. 如图，是的外接圆，．过点作，垂足为，交于点，交于点．过点作的切线，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，求的半径． 22. 问题背景：对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．例如：在函数中，当时，，则我们称函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点、某数学兴趣小组围绕该定义进行了如下相关探究． 探究1： （1）请判断：二次函数______“不动点函数”（填写“是”或“不是”）． 探究2： （2）对二次函数进行探究后，该小组设计了以下问题，请你解答．若抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点，求b，c满足的关系式． 探究3： （3）某种商品每件的进价为6元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出件，获得利润y元．请写出y关于x的函数表达式，判断该函数是否是“不动点函数”，并说明理由；若该函数是“不动点函数”，请联系以上情境说明该函数不动点表达的实际意义． 23. 已知的顶点在的边所在的直线上（不与重合），交直线于点交直线于点． （1）[初步探究]如图1，若点D，M，N分别在边上，且，求证：； （2）[深入探究]如图2，若点在边上，点在的延长线上，点在边上，试探究与具有什么关系？并说明理由； （3）[拓展应用]如图3，若点在的延长线上，点与点重合，点在的延长线上，且，请直接写出的长． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交点，连接．若点是直线下方抛物线上一动点，其横坐标为． （1）求该抛物线的解析式； （2）连接交于点，当时，求点的坐标； （3）设该抛物线在点与点之间（包含点和点）的部分的最高点和最低点到轴的距离分别为，设． ①直接写出关于的函数解析式； ②当时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $